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Equações Diferenciais Ordinárias

Semanas 15, 16 e 17

Professor Luiz Claudio Pereira

Departamento Acadêmico de Matemática

Universidade Tecnológica Federal do Paraná

Material Previsto para três semanas

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 1 / 149

Equações Diferenciais Ordinárias

1 Sistemas Gerais de Equações Diferenciais

De ordem 1: forma normal, sistema canônico.

De ordem k ≥ 1: desacoplamento, sistema canônico, forma simétrica.

2 Sistema linear, não-homogêneo, de equações diferenciais ordinárias

3 Série de potências e equações diferenciais ordinárias

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 2 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema linear de equações de ordem 1

Conceitos

A forma normal de uma edo, de ordem k , ψ(x ,y ,y ′, . . . ,y (k)

)= 0 é dada

por y (k) = φ(x ,y ,y ′, . . . ,y (k−1)

).

Sejam y1,y2, . . . ,yn funções dependentes de x . Um sistema de m equações

de ordem 1, envolvendo n incógnitas yi , consiste em um conjunto de

expressões da forma

φi

(x ,y1,y

′1,y2,y

′2 . . . ,yn,y

′n

)= 0, i = 1,2, . . . ,m

Quando m = n, o sistema é dito canônico.

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 3 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema linear de equações de ordem 1

Conceitos

A forma normal de uma edo, de ordem k , ψ(x ,y ,y ′, . . . ,y (k)

)= 0 é dada

por y (k) = φ(x ,y ,y ′, . . . ,y (k−1)

).

Sejam y1,y2, . . . ,yn funções dependentes de x . Um sistema de m equações

de ordem 1, envolvendo n incógnitas yi , consiste em um conjunto de

expressões da forma

φi

(x ,y1,y

′1,y2,y

′2 . . . ,yn,y

′n

)= 0, i = 1,2, . . . ,m

Quando m = n, o sistema é dito canônico.

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 3 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1

Conceitos

A solução geral de um sistema de m equações de ordem 1, envolvendo n

funções incógnitas yi , é uma n-upla (f1(x), f2(x), . . . , fn(x)), contendo k ≤ n

constantes, tal que, tomando yi = fi (x), i = 1,2, . . . ,n , cada equação do

sistema é satisfeita. Uma solução particular é obtida pela atribuição de

valores particulares às constantes da solução geral.

Ao invés de indicar a solução geral por um n-upla, é possível denotá-la por

uma matriz-coluna f1(x)f2(x)...

fn(x)

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 4 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1

Conceitos

A solução geral de um sistema de m equações de ordem 1, envolvendo n

funções incógnitas yi , é uma n-upla (f1(x), f2(x), . . . , fn(x)), contendo k ≤ n

constantes, tal que, tomando yi = fi (x), i = 1,2, . . . ,n , cada equação do

sistema é satisfeita. Uma solução particular é obtida pela atribuição de

valores particulares às constantes da solução geral.

Ao invés de indicar a solução geral por um n-upla, é possível denotá-la por

uma matriz-coluna f1(x)f2(x)...

fn(x)

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 4 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1

Conceitos

Sejam y1,y2, . . . ,yn funções dependentes de x . Diz-se que um sistema de m

equações de ordem 1, envolvendo n incógnitas yi , está na forma normal

quando está escrito na forma

dyjdx

= ϕj (x ,y1,y2, . . . ,yn) , j = 1,2, . . . ,m (1)

Eventualmente, para obter a forma normal (1) a partir de

φi

(x ,y1,y

′1,y2,y

′2 . . . ,yn,y

′n

)= 0, i = 1,2, . . . ,m

pode ser necessário um reordenamento das funções incógnitas.

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 5 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1

Exemplo

O sistema, de ordem 1,

2dy

dx− dz

dx= y − z

dy

dx+

dz

dx= 2z

não está na forma normal,

mas é canônico.

Sua solução geral (y(x),z(x)) é dada pela matriz-coluna c1e(3+√3)x/3 + c2e

(3−√3)x/3

c1(2+√3)e(3+

√3)x/3 + c2

(2−√3)e(3−

√3)x/3

Veri�que!

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 6 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1

Exemplo

O sistema, de ordem 1,

2dy

dx− dz

dx= y − z

dy

dx+

dz

dx= 2z

não está na forma normal,

mas é canônico.

Sua solução geral (y(x),z(x)) é dada pela matriz-coluna c1e(3+√3)x/3 + c2e

(3−√3)x/3

c1(2+√3)e(3+

√3)x/3 + c2

(2−√3)e(3−

√3)x/3

Veri�que!

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 6 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1

Veri�cação

Como

[y(x)z(x)

]=

c1e(3+√3)x/3 + c2e

(3−√3)x/3

c1(2+√3)e(3+

√3)x/3 + c2

(2−√3)e(3−

√3)x/3

tem-se:

(i) 2dy

dx− dz

dx=

{2c1

(3+√3

3

)− c1

(2+√3)(3+

√3

3

)}e(3+

√3)x/3

+

{2c2

(3−√3

3

)− c2

(2−√3)(3−

√3

3

)}e(3−

√3)x/3

=−c1(√

3+1)e(3+

√3)x/3 + c2

(√3−1

)e(3−

√3)x/3

= y(x)− z(x)

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 7 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1

Veri�cação

Como

[y(x)z(x)

]=

c1e(3+√3)x/3 + c2e

(3−√3)x/3

c1(2+√3)e(3+

√3)x/3 + c2

(2−√3)e(3−

√3)x/3

tem-se:

(ii)dy

dx+

dz

dx=

{c1

(3+√3

3

)+ c1

(2+√3)(3+

√3

3

)}e(3+

√3)x/3

+

{c2

(3−√3

3

)+ c2

(2−√3)(3−

√3

3

)}e(3−

√3)x/3

= c1(3+2

√3+1

)e(3+

√3)x/3 + c2

(3−2

√3+1

)e(3−

√3)x/3

= 2 · z(x)

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 8 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1

Observação

Note que também se pode escrever que c1e(3+√3)x/3 + c2e

(3−√3)x/3

c1(2+√3)e(3+

√3)x/3 + c2

(2−√3)e(3−

√3)x/3

=

c1e(3+√3)x/3

c1(2+√3)e(3+

√3)x/3

+

c2e(3−√3)x/3

c2(2−√3)e(3−

√3)x/3

=

c1e(3+√3)x/3

[1

2+√3

]+ c2e

(3−√3)x/3

[1

2−√3

]=

[y(x)z(x)

]EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 9 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema linear de equações de ordem 1

Conceitos

Na forma normal, um sistema de m equações de ordem 1, envolvendo n

funções incógnitas xi é dado por

dxidt

= ϕi (t,x1,x2, . . . ,xn) , i = 1,2, . . . ,m

O sistema é dito linear quando

ϕi (t,x1,x2, . . . ,xn) =n

∑j=1

aij (t)xj +gi (t)

= ai1 (t)x1 +ai2 (t)x2 + . . .+ain (t)xn +gi (t)

Sendo o sistema linear canônico, tem-se m = n, ou seja, o número de

(funções) incógnitas é igual ao número de equações.

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 10 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema linear de equações de ordem 1

Conceitos

Assim, na forma normal, um sistema linear de m equações de ordem 1,

envolvendo n funções incógnitas xi é dado por

dxidt

=n

∑j=1

aij (t)xj +gi (t)

= ai1 (t)x1 +ai2 (t)x2 + . . .+ain (t)xn +gi (t) , i ∈ {1,2, . . . ,m}

Mais detalhadamente, tem-sex ′1 = a11 (t)x1 +a12 (t)x2 + . . .+a1n (t)xn +g1 (t)

x ′2 = a21 (t)x1 +a22 (t)x2 + . . .+a2n (t)xn +g2 (t)

...

x ′m = am1 (t)x1 +am2 (t)x2 + . . .+amn (t)xn +gm (t)

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 11 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema linear de equações de ordem 1

Conceitos

Ora, um sistema linear de m equações de ordem 1, envolvendo n funções

incógnitas xi ,x ′1 = a11 (t)x1 +a12 (t)x2 + . . .+a1n (t)xn +g1 (t)

x ′2 = a21 (t)x1 +a22 (t)x2 + . . .+a2n (t)xn +g2 (t)

...

x ′m = am1 (t)x1 +am2 (t)x2 + . . .+amn (t)xn +gm (t)pode ser escrito na forma matricial

x ′1x ′2...

x ′m

=

a11(t) a12(t) . . . a1n(t)a21(t) a22(t) . . . a2n(t)

......

...

am1(t) am1(t) . . . amn(t)

·

x1 (t)x2 (t)...

xn (t)

+

g1 (t)g2 (t)...

gn (t)

⇔ X ′ (t) = A(t) · X (t) + G (t)

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 12 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema linear de equações de ordem 1

Conceitos

Na forma matricial, um sistema linear de m equações de ordem 1,

envolvendo n funções incógnitas xi ,

X ′ (t) = A(t) ·X (t) +G (t)

é dito homogêneo quando a matriz G (t) = 0. Neste caso, o sistema linear

se reduz a forma X ′(t) = A(t) ·X (t).

Sejam Ψ1,Ψ2, . . . ,Ψk (matrizes-coluna) soluções deste sistema linear

homogêneo. Quaisquer que sejam as constantes ci , tem-se

d

dt

{k

∑i=1

ciΨi

}=∑

ki=1 ciΨ

′i = ∑

ki=1 ciA(t) ·Ψi = A(t) ·

{∑ki=1 ciΨi

}Mostrou-se assim que o principio da superposição também se aplica a um

sistema linear homogêneo.

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 13 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema linear de equações de ordem 1

De�nição

Considere

X ′ (t) = A(t) ·X (t)

(a forma matricial de) um sistema linear (homogêneo) de m equações de

ordem 1, envolvendo n funções incógnitas xi . Diz-se que {Ψ1,Ψ2, . . . ,Ψk}é um conjunto fundamental de soluções quando (i) é linearmente

independente; (ii) cada função Ψi é solução do sistema dado; (iii) dada

qualquer solução Ψ, o conjunto {Ψ,Ψ1,Ψ2, . . . ,Ψk} é LD, ou seja, ∃ci ∈ Rtais que

Ψ(t) = c1Ψ1 (t) + c2Ψ2 (t) + . . .+ ckΨk (t)

Quando o sistema linear homogêneo é canônico, tem-se m = n e se espera

que ocorra k = n. Por quê?

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 14 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1

Preliminares de álgebra linear

Seja T um operador linear de um espaço vetorial V de dimensão (�nita)

m. Um escalar k é dito autovalor de T , quando

Tv = kv ⇔ (kI −T )v = 0 (2)

para algum v ∈ V −{0}. Neste caso, os elementos v 6= 0 que satisfazem

(2) são chamados autovetores associados ao autovalor k . O polinômio

(mônico, de grau m) de�nido por

p(x) = det{xI − [T ]}

é dito polinômio característico de T . Destarte, os autovalores de T são as

raízes do polinômio característico de T .

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 15 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1

Observação

Do sistema canônico, de ordem 1,

2dy

dx− dz

dx= y − z

dy

dx+

dz

dx= 2z

segue o sistema

na forma normaldy

dx=

y

3+z

3

dz

dx=−y

3+

5z

3

⇔ d

dx

[y

z

]≡[y ′

z ′

]=

[1/3 1/3−1/3 5/3

][y

z

]

Exercício

Determine os autovalores e autovetores da matriz

[1/3 1/3−1/3 5/3

].

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 16 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1

Observação

Do sistema canônico, de ordem 1,

2dy

dx− dz

dx= y − z

dy

dx+

dz

dx= 2z

segue o sistema

na forma normaldy

dx=

y

3+z

3

dz

dx=−y

3+

5z

3

⇔ d

dx

[y

z

]≡[y ′

z ′

]=

[1/3 1/3−1/3 5/3

][y

z

]

Exercício

Determine os autovalores e autovetores da matriz

[1/3 1/3−1/3 5/3

].

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 16 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem k

Conceitos

Pode ocorrer de que dado um sistema canônico, de ordem k , envolvendo n

funções incógnitas yj ,

φi

(x ,y1,y

′1, . . . ,y

(k)1 ,y2,y

′2, . . . ,y

(k)2 , . . . ,yn,y

′n, , . . . ,y

(k)n

)= 0, j = 1,2, . . . ,n

seja possível obter n equações diferenciais, cada uma envolvendo apenas a

função yj . Assim, cada função yj pode ser obtida independentemente das

demais incógnitas. Neste caso, diz-se que o sistema foi desacoplado.

Exemplo

(a) Obtenha um sistema desacoplado a partir do sistema de equações{x ′(t) = y(t)

y ′(t) =−x(t)EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 17 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem k

Conceitos

Pode ocorrer de que dado um sistema canônico, de ordem k , envolvendo n

funções incógnitas yj ,

φi

(x ,y1,y

′1, . . . ,y

(k)1 ,y2,y

′2, . . . ,y

(k)2 , . . . ,yn,y

′n, , . . . ,y

(k)n

)= 0, j = 1,2, . . . ,n

seja possível obter n equações diferenciais, cada uma envolvendo apenas a

função yj . Assim, cada função yj pode ser obtida independentemente das

demais incógnitas. Neste caso, diz-se que o sistema foi desacoplado.

Exemplo

(a) Obtenha um sistema desacoplado a partir do sistema de equações{x ′(t) = y(t)

y ′(t) =−x(t)EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 17 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem k

Exemplo

(a) Obtenha um sistema desacoplado a partir do sistema de equações{x ′(t) = y(t)

y ′(t) =−x(t)

Solução

(a) Ora, do sistema dado decorre que y ′′(t) =−x ′(t) e x ′′(t) = y ′(t).Logo, o sistema desacoplado é{

x ′′(t) =−x(t)

y ′′(t) =−y(t)

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 18 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem k

Exemplo

(a) Obtenha um sistema desacoplado a partir do sistema de equações{x ′(t) = y(t)

y ′(t) =−x(t)

Outras perguntas

(b) Quantas constantes (independentes) estão envolvidas na solução do

sistema dado? Por quê?

(c) Resolva o sistema e con�rme (ou não) sua resposta ao item(a).

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 19 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem k

Preliminares

Pode ocorrer de que dado um sistema canônico, de ordem k , envolvendo n

funções incógnitas yj ,

φi

(x ,y1,y

′1, . . . ,y

(k)1 ,y2,y

′2, . . . ,y

(k)2 , . . . ,yn,y

′n, , . . . ,y

(k)n

)= 0, j = 1,2, . . . ,n

seja possível obter n equações diferenciais, cada uma envolvendo apenas a

função yj . Assim, cada função yj pode ser obtida independentemente das

demais incógnitas. Neste caso, diz-se que o sistema foi desacoplado.

No desacoplamento de um sistema, por vezes, o uso do operador D =d

dxsimpli�ca a manipulação algébrica.

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 20 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem k

Exercício

Use o operador D =d

dxpara desacoplar o sistema

d2y

dx2−3

dz

dx= x2

d2y

dx2−2

dz

dx= x +2y − z

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 21 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem k

Exercício

Use o operador D =d

dxpara desacoplar o sistema

d2y

dx2−3

dz

dx= x2

d2y

dx2−2

dz

dx= x +2y − z

Solução

Como D2y −3Dz = x2 e

D2y −2Dz = x +2y − z ⇔ (D2−2)y − (2D−1)z = x , decorre que{ (D2−2

)D2y −3

(D2−2

)Dz = 2−2x2

D2(D2−2)y −D2(2D−1)z = 0e

D2(2D−1)z−3(D2−2

)Dz = 2−2x2⇔ D3z +D2z−6Dz =−2+2x2.

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 22 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem k

Exercício

Use o operador D =d

dxpara desacoplar o sistema

d2y

dx2−3

dz

dx= x2

d2y

dx2−2

dz

dx= x +2y − z

Solução

Como D2y −3Dz = x2 e

D2y −2Dz = x +2y − z ⇔ (D2−2)y − (2D−1)z = x , decorre que{(2D−1)D2y −3(2D−1)Dz = 4x− x2

−3D(D2−2)y +3D(2D−1)z =−3 e

D3y +D2y +6Dy = 3−4x + x2

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 23 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem k

Exercício

Use o operador D =d

dxpara desacoplar o sistema

d2y

dx2−3

dz

dx= x2

d2y

dx2−2

dz

dx= x +2y − z

Solução

As equações desacopladas obtidas do sistema

são

{D3z +D2z−6Dz =−2+2x2

D3y +D2y +6Dy = 3−4x + x2.

Quantas constantes (independentes) estão envolvidas na solução do

sistema? Por quê?

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 24 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem k

Exercício

Resolva o sistema d2y

dx2−3

dz

dx= x2

d2y

dx2−2

dz

dx= x +2y − z

sabendo que as equações desacopladas obtidas do sistema são{D3z +D2z−6Dz =−2+2x2

D3y +D2y +6Dy = 3−4x + x2

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 25 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1

Conceito

A forma simétrica de um sistema canônico de n equações, de ordem 1, na

forma normal

dyjdx

= φj (x ,y1,y2, . . . ,yn) , j = 1,2, . . . ,n

é dada pordy1φ1

=dy2φ2

=dy3φ3

= . . . =dynφn

=dx

1

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 26 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1

Observações

Eventualmente, dependendo da forma de φj , um sistema canônico de n

equações, de ordem 1, na forma normal assume a forma simétrica

dy1F1

=dy2F2

=dy3F3

= . . . =dynFn

=dx

M

Em particular, sendo y e z funções desconhecidas da variável x , tem-se

dy

P(x ,y ,z)=

dz

R(x ,y ,z)=

dx

M(x ,y ,z)

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 27 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1

Observações

Seja y e z funções desconhecidas da variável x . Considere a equação na

forma simétricady

P(x ,y ,z)=

dz

R(x ,y ,z)=

dx

M(x ,y ,z). Geometricamente, a

solução deste sistema representa uma família de curvas dependente de dois

parâmetros. Além disso, se for possível encontrar funções auxiliares

p(x ,y ,z),r(x ,y ,z) e m(x ,y ,z) tais que

dy

P(x ,y ,z)=

dz

R(x ,y ,z)=

dx

M(x ,y ,z)=

pdy + r dz +mdx

p ·P + r ·R +m ·M

então, a partir das condições impostas p ·P + r ·R +m ·M = 0 e

pdy + r dz +mdx = 0, obtém-se duas relações distintas entre as variáveis

x , y e z que representam a solução do sistema.

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 28 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1

Exemplo

Resolva o sistema (dado na forma simétrica)dx

y=

dy

x=

dz

x.

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 29 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1

Exemplo

Resolva o sistema (dado na forma simétrica)dx

y=

dy

x=

dz

x.

Solução

Sejam p, r , m funções tais que p · y +q · x + r · x = 0 e

pdx +q dy + r dz = 0.

(i) Tomando p = 0, q = 1, r =−1 resulta que

dy −dz = 0⇔ d(y − z) = 0⇔ y − z = const.

(ii) Tomando p = x e q =−y decorre que

x dx− y dy = 0⇔ d

(x2− y2

2

)= 0⇔ x2− y2

2= const.

Portanto, a solução (geral) do sistema é dado pelas

relações

{y − z = k1

x2− y2 = k2EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 30 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1

Exemplo

Resolva o sistema (dado na forma simétrica)dx

x(z2− y2)=

dy

y(x2− z2)=

dz

z(y2− x2).

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 31 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1

Exemplo

Resolva o sistema (dado na forma simétrica)dx

x(z2− y2)=

dy

y(x2− z2)=

dz

z(y2− x2).

Solução

Sejam p, r , m funções tais que

p · x(z2− y2) +q · y(x2− z2) + r · z(y2− x2) = 0 e pdx +q dy + r dz = 0.

(i) Note quep · x(z2− y2) +q · y(x2− z2) + r · z(y2− x2) = 0 ⇔z2 · (px−qy) + y2 · (rz−px) + x2 · (qy − rz) = 0

Tomando p = yz , q = xz , r = xy resulta que

yz dx + xz d+xy dz = 0⇔ d(xyz) = 0⇔ xyz = const.

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 32 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1

Exemplo

Resolva o sistema (dado na forma simétrica)dx

x(z2− y2)=

dy

y(x2− z2)=

dz

z(y2− x2).

Solução

Sejam p, r , m funções tais que

p · x(z2− y2) +q · y(x2− z2) + r · z(y2− x2) = 0 e pdx +q dy + r dz = 0.

(ii) Observe que

p · x(z2− y2) +q · y(x2− z2) + r · z(y2− x2) = 0 ⇔xz · (pz− rx) + xy · (qx−py) + yz · (ry −qz) = 0

Tomando p = x , r = z , q = y decorre que

x dx + y dy + z dz = 0⇔ d

(x2 + y2 + z2

2

)= 0⇔ x2 + y2 + z2

2= const.

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 33 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1

Exemplo

Resolva o sistema (dado na forma simétrica)dx

x(z2− y2)=

dy

y(x2− z2)=

dz

z(y2− x2).

Solução

Portanto, a solução (geral) do sistema é dado pelas relações{xyz = k1

x2 + y2 + z2 = k2

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 34 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1

Observação

O método de resolução em que se impõem as condições

(∗){

p ·P + r ·R +m ·M = 0

pdy + r dz +mdx = 0

à equação diferencial na forma simétrica

dy

P(x ,y ,z)=

dz

R(x ,y ,z)=

dx

M(x ,y ,z)

(=

pdy + r dz +mdx

p ·P + r ·R +m ·M

)permite obter uma in�nidade de soluções, dependendo da habilidade em

resolver (∗).

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 35 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1

Exercício

Resolva o sistema (dado na forma simétrica)dx

y=

dy

x=

dz

z.

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 36 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1

Preliminares 1

Seja Xj(t) =

x1j(t)x2j(t)

...

xnj(t)

, j = 1,2, . . . ,n uma matriz-coluna. Segue que

n

∑j=1

cjXj(t) = c1

x11(t)x21(t)

...

xn1(t)

+ c2

x12(t)x22(t)

...

xn2(t)

+ . . .+ cn

x1n(t)x2n(t)

...

xnn(t)

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 37 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1

Preliminares 1

Seja Xj(t) =

x1j(t)x2j(t)

...

xnj(t)

, j = 1,2, . . . ,n uma matriz-coluna. Segue que

n

∑j=1

cjXj(t) =

c1x11(t) + c2x12(t) + . . .+ cnx1n(t)c1x21(t) + c2x22(t) + . . .+ cnx2n(t)

...

c1xn1(t) + c2xn2(t) + . . .+ cnxnn(t)

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 38 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1

Preliminares 1

Seja Xj(t) =

x1j(t)x2j(t)

...

xnj(t)

, j = 1,2, . . . ,n uma matriz-coluna. Segue que

n

∑j=1

cjXj(t) =

x11(t) x12(t) . . . x1n(t)x21(t) x22(t) . . . x2n(t)

......

...

xn1(t) xn1(t) . . . xnn(t)

c1c2...

cn

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 39 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1

Preliminares 1

Seja Xj(t) =

x1j(t)x2j(t)

...

xnj(t)

, j = 1,2, . . . ,n uma matriz-coluna. Segue que

n

∑j=1

cjXj(t) =[X1(t) X2(t) . . . Xn(t)

c1c2...

cn

= Φ(t) · C

Assim, {X1(t),X2(t), . . . ,Xn(t)} é LI se, e só se, detΦ(t) 6= 0.

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 40 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1

Preliminares 2

Seja B uma matriz constante, quadrada, de ordem n. A função exponencial

ex , para todo x ∈ R, admite a representação em série de potências:

+∞

∑k=0

xk

k!= 1+ x +

x2

2!+x3

3!+ . . .

Admitindo que seja possível usar, no lugar de x , a matriz t ·B , segue a série

+∞

∑k=0

(tB)k

k!=

+∞

∑k=0

tkBk

k!= I + tB +

t2B2

2!+t3B3

3!+ . . .

a qual, em sendo convergente, determina uma nova função de t.

Denotando-se por exp(tB) esta (nova) função, pode-se

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 41 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1

Preliminares 2

de�nir que

exp(tB) = I + tB +t2B2

2!+t3B3

3!+ . . .

sendo B uma matriz constante, quadrada, de ordem n, e t ∈ R.

Note que

exp(0) = I

Uma questão de notação

Frequentemente, os autores, abusando da notação, escrevem exp(Bt) ao

invés de exp(tB).

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 42 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1

Preliminares 2

de�nir que

exp(tB) = I + tB +t2B2

2!+t3B3

3!+ . . .

sendo B uma matriz constante, quadrada, de ordem n, e t ∈ R.

Note que

exp(0) = I

Uma questão de notação

Frequentemente, os autores, abusando da notação, escrevem exp(Bt) ao

invés de exp(tB).

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 42 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1

Preliminares 2

Derivando, termo a termo, em relação a t, a série

exp(tB) = I + tB +t2B2

2!+t3B3

3!+ . . .

obtém-se que

d

dt{exp(tB)}=B + tB2 +

t2B3

2!+t3B4

4!+ . . .

=B

(I + tB +

t2B2

2!+t3B3

3!+ . . .

)=B exp(tB)

sendo B uma matriz constante, quadrada, de ordem n, e t ∈ R.

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 43 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1

Preliminares 2

Porque B é uma matriz constante, quadrada, de ordem n, da igualdade

d

dt{exp(tB)}= B exp(tB)

decorre que, qualquer que seja a matriz-coluna, de n linhas, constante C ,

d

dt{exp(tB) ·C}= B exp(tB) ·C

Assim, pondo Z (t) = exp(tB) ·C , tem-se que{Z ′ (t) = B ·Z (t)

Z (0) = C

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 44 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1

Preliminares 2

O raciocínio desenvolvido revelou que se B é uma matriz constante,

quadrada, de ordem n, e C é qualquer matriz-coluna, de n linhas,

constante, então a função

Z (t) = exp(tB) ·C

é tal que

(∗)

{Z ′ (t) = B ·Z (t)

Z (0) = C

Interpretando um pouco mais

Se a matriz-coluna C for especi�cada numericamente, Z (t) será solução

particular. Caso contrário, será solução geral.

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 45 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1

Preliminares 2

O raciocínio desenvolvido revelou que se B é uma matriz constante,

quadrada, de ordem n, e C é qualquer matriz-coluna, de n linhas,

constante, então a função

Z (t) = exp(tB) ·C

é tal que

(∗)

{Z ′ (t) = B ·Z (t)

Z (0) = C

Interpretando um pouco mais

Se a matriz-coluna C for especi�cada numericamente, Z (t) será solução

particular. Caso contrário, será solução geral.

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 45 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1

Exemplo

Determine a solução geral do sistema de equações

{x ′(t) = y(t)

y ′(t) =−x(t)

Uma técnica de resolução consiste em: (i) reescrever o sistema na forma

matricial{x ′(t) = y(t)

y ′(t) =−x(t)⇔

[x ′(t)y ′(t)

]=

[0 1

−1 0

]·[x(t)y(t)

]⇔ X ′(t) = A · X (t)

com A =

[0 1

−1 0

]e X (t) =

[x(t)y(t)

].

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 46 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1

Exemplo

Determine a solução geral do sistema de equações

{x ′(t) = y(t)

y ′(t) =−x(t)

Uma técnica de resolução consiste em: (i) reescrever o sistema na forma

matricial{x ′(t) = y(t)

y ′(t) =−x(t)⇔

[x ′(t)y ′(t)

]=

[0 1

−1 0

]·[x(t)y(t)

]⇔ X ′(t) = A · X (t)

com A =

[0 1

−1 0

]e X (t) =

[x(t)y(t)

].

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 46 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1

Exemplo

Determine a solução geral do sistema de equações

{x ′(t) = y(t)

y ′(t) =−x(t)

Uma técnica de resolução consiste em: (ii) observar - a partir do vimos

acima - que a solução geral do sistema

X ′(t) = A ·X (t)

é dado pela função

X (t) = exp(tA) ·C

com A =

[0 1

−1 0

]e C =

[c1c2

]uma matriz-coluna, constante qualquer.

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 47 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1

Exemplo

Determine a solução geral do sistema de equações

{x ′(t) = y(t)

y ′(t) =−x(t)

Ora - desenvolvendo um pouco mais - como X (t) = exp(tA) ·C e

A =

[0 1

−1 0

], segue que A2 =

[0 1

−1 0

]·[

0 1

−1 0

]=

[−1 0

0 −1

]

A3 =

[0 −11 0

], A4 =

[1 0

0 1

], A5 = A, A6 = A2, . . .

e, por conseguinte,

exp(tA) = I + tA+t2A2

2!+t3A3

3!+ . . .

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 48 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1

Exemplo

Determine a solução geral do sistema de equações

{x ′(t) = y(t)

y ′(t) =−x(t)

Ora - desenvolvendo um pouco mais - como X (t) = exp(tA) ·C e

A =

[0 1

−1 0

], A2 =

[−1 0

0 −1

], A3 =

[0 −11 0

], A4 = I , A5 = A, ...

obtém-se que

exp(tA) =

[1 0

0 1

]+ t

[0 1

−1 0

]+t2

2!

[−1 0

0 −1

]+t3

3!

[0 −11 0

]+t4

4!

[1 0

0 1

]+t5

5!

[0 1

−1 0

]+ . . .

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 49 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1

Exemplo

Determine a solução geral do sistema de equações

{x ′(t) = y(t)

y ′(t) =−x(t)

Ora - desenvolvendo um pouco mais - como X (t) = exp(tA) ·C e

A =

[0 1

−1 0

], A2 =

[−1 0

0 −1

], A3 =

[0 −11 0

], A4 = I , A5 = A, ...

obtém-se que

exp(tA) =

1− t2

2!+t4

4!− t6

6!+ . . . t− t3

3!+t5

5!− t7

7!+ . . .

−t +t3

3!− t5

5!+t7

7!− t9

9!+ . . . 1− t2

2!+t4

4!− t6

6!+ . . .

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 50 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1

Exemplo

Determine a solução geral do sistema de equações

{x ′(t) = y(t)

y ′(t) =−x(t)

Ora - desenvolvendo um pouco mais - como X (t) = exp(tA) ·C e

A =

[0 1

−1 0

], A2 =

[−1 0

0 −1

], A3 =

[0 −11 0

], A4 = I , A5 = A, ...

obtém-se que

exp(tA) =

cos t t− t3

3!+t5

5!− t7

7!+ . . .

−t +t3

3!− t5

5!+t7

7!− t9

9!+ . . . 1− t2

2!+t4

4!− t6

6!+ . . .

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 51 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1

Exemplo

Determine a solução geral do sistema de equações

{x ′(t) = y(t)

y ′(t) =−x(t)

Ora - desenvolvendo um pouco mais - como X (t) = exp(tA) ·C e

A =

[0 1

−1 0

], A2 =

[−1 0

0 −1

], A3 =

[0 −11 0

], A4 = I , A5 = A, ...

obtém-se que

exp(tA) =

cos t sen t

−t +t3

3!− t5

5!+t7

7!− t9

9!+ . . . 1− t2

2!+t4

4!− t6

6!+ . . .

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 52 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1

Exemplo

Determine a solução geral do sistema de equações

{x ′(t) = y(t)

y ′(t) =−x(t)

Ora - desenvolvendo um pouco mais - como X (t) = exp(tA) ·C e

A =

[0 1

−1 0

], A2 =

[−1 0

0 −1

], A3 =

[0 −11 0

], A4 = I , A5 = A, ...

obtém-se que

exp(tA) =

cos t sen t

−sen t cos t

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 53 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1

Exemplo

Determine a solução geral do sistema de equações

{x ′(t) = y(t)

y ′(t) =−x(t)

Ora - desenvolvendo um pouco mais - como X (t) = exp(tA) ·C ,

exp(tA) =

[cos t sen t

−sen t cos t

]e C =

[c1c2

], tem-se que

X (t) =

[cos t sen t

−sen t cos t

]·[c1c2

]=

[c1 cos t + c2 sen t

−c1 sen t + c2 cos t

]Noutras palavras, a solução geral do sistema é dada pelas funções{

x(t) = c1 cos t + c2 sen t

y(t) =−c1 sen t + c2 cos tEDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 54 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1

O raciocínio desenvolvido revelou que

Se A é uma matriz constante, quadrada, de ordem n, então a função

φ(t) = exp(tA) ·C

é solução geral do sistema (linear) de equações

X ′ (t) = A ·X (t)

sujeito ao valor inicial

X (0) = C

onde C é uma matriz-coluna, de n linhas, constante.

Que críticas podem ser tecidas sobre o método de resolução apresentado?

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 55 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1

Sistemas não-homogêneo e homogêneo associado

Considere o sistema de equações não-homogêneo, na forma matricial,

X ′(t) = A ·X (t) +F (t) (3)

onde A é uma matriz constante, quadrada, de ordem n, X (t) =

x1(t)x2(t)...

xn(t)

é a matriz incógnita e F (t) é uma matriz-coluna de n linhas.

Se Γ(t) é solução particular de (3) e Ψ(t) é qualquer solução, entãod

dt{Ψ(t)−Γ(t)} = Ψ′(t)−Γ′(t)

= A ·Ψ(t) +F (t)−A ·Γ(t)−F (t) = A · {Ψ(t)−Γ(t)}

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 56 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1

Sistemas não-homogêneo e homogêneo associado

Considere o sistema de equações não-homogêneo, na forma matricial,

X ′(t) = A ·X (t) +F (t) (3)

onde A é uma matriz constante, quadrada, de ordem n, X (t) =

x1(t)x2(t)...

xn(t)

é a matriz incógnita e F (t) é uma matriz-coluna de n linhas.

Se Γ(t) é solução particular de (3) e Ψ(t) é qualquer solução, entãod

dt{Ψ(t)−Γ(t)} = Ψ′(t)−Γ′(t)

= A ·Ψ(t) +F (t)−A ·Γ(t)−F (t) = A · {Ψ(t)−Γ(t)}

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 56 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1

Sistemas não-homogêneo e homogêneo associado

Considere o sistema de equações não-homogêneo, na forma matricial,

X ′(t) = A ·X (t) +F (t) (3)

onde A é uma matriz constante, quadrada, de ordem n, X (t) =

x1(t)x2(t)...

xn(t)

é a matriz incógnita e F (t) é uma matriz-coluna de n linhas.

Noutras palavras, se Γ(t) é solução particular de (3) e Ψ(t) é qualquer

solução, então Ψ(t)−Γ(t) é solução do sistema homogêneo associado

X ′(t) = A ·X (t)

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 57 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1

Conceito

A solução geral do sistema homogêneo X ′(t) = A ·X (t) associado ao

sistema não-homogêneo X ′(t) = A ·X (t) +F (t) é chamada solução

complementar.

A solução geral de X ′(t) = A ·X (t) é uma combinação linear da forma

c1X1(t) + c2X2(t) + . . .+ cnXn(t) = Φ(t) ·C

tal que {X1(t),X2(t), . . . ,Xn(t)} é um conjunto LI, ou seja, um conjunto

fundamental de soluções. Neste caso,

Φ(t) =[X1(t) X2(t) . . . Xn(t)

]é dita matriz fundamental. Note que

a matriz fundamental é não-singular e tem inversa.

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 58 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema de equações de ordem 1

Sistemas não-homogêneo e homogêneo associado

Considere o sistema de equações não-homogêneo, na forma matricial,

X ′(t) = A ·X (t) +F (t) (3)

Seja Φ(t) ·C a solução complementar do sistema homogêneo associado

X ′(t) = A ·X (t) (4)

Se Γ(t) é solução particular de (3) e Ψ(t) é qualquer solução, então

Ψ(t)−Γ(t) é solução de (4). Desta forma,

Ψ(t)−Γ(t) = Φ(t) ·C ⇔Ψ(t) = Φ(t) ·C + Γ(T ) (5)

A solução qualquer Ψ(t) dada pela expressão (5) é chamada solução geral

de (3).

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 59 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema, não-homogêneo, de equações de ordem 1

Resumo

Para obter a solução geral do sistema não-homogêneo de equações

X ′(t) = A ·X (t) +F (t) (3)

(i) Encontre a solução complementar do sistema homogêneo associado

X ′(t) = A ·X (t) (4)

(ii) Ache uma solução particular do sistema não-homogêneo (3).

(iii) A solução geral do sistema não-homogêneo é a soma das soluções

complementar e particular.

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 60 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema, não-homogêneo, de equações de ordem 1

Resumo

Para obter a solução geral do sistema não-homogêneo de equações

X ′(t) = A ·X (t) +F (t) (3)

(i) Encontre a solução complementar do sistema homogêneo associado

X ′(t) = A ·X (t) (4)

(ii) Ache uma solução particular do sistema não-homogêneo (3).

(iii) A solução geral do sistema não-homogêneo é a soma das soluções

complementar e particular.

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 60 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema, não-homogêneo, de equações de ordem 1

Resumo

Para obter a solução geral do sistema não-homogêneo de equações

X ′(t) = A ·X (t) +F (t) (3)

(i) Encontre a solução complementar do sistema homogêneo associado

X ′(t) = A ·X (t) (4)

(ii) Ache uma solução particular do sistema não-homogêneo (3).

(iii) A solução geral do sistema não-homogêneo é a soma das soluções

complementar e particular.

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 60 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema, não-homogêneo, de equações de ordem 1

Resumo

Para obter a solução geral do sistema não-homogêneo de equações

X ′(t) = A ·X (t) +F (t) (3)

(i) Encontre a solução complementar do sistema homogêneo associado

X ′(t) = A ·X (t) (4)

(ii) Ache uma solução particular do sistema não-homogêneo (3).

(iii) A solução geral do sistema não-homogêneo é a soma das soluções

complementar e particular.

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 60 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - solução complementar

Considere o sistema homogêneo de equações

X ′(t) = A ·X (t) (∗)

Baseado no que já vimos, um palpite para solução de (∗) é uma função

(matricial) da forma

X (t) = eλ t ·B

sendo λ e B elementos ainda desconhecidos. Ora, X ′(t) = λeλ t ·B e

X ′(t) =A ·X (t)⇔ λeλ t ·B =A ·eλ t ·B⇔ eλ t (λ I −A) ·B = 0⇔A ·B = λB

Assim, pode-se a�rmar que λ é autovalor de A e B é autovetor associado

ao autovalor λ . Ora, determinando todos os autovalores λ1,λ2, . . . ,λk de A

e os autovetores associados, obtém-se Xi (t) = eλi t ·Bi , i ∈ {1,2, . . . ,k},k ≤ n, vetores linearmente independentes. Por quê?

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 61 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - solução complementar

Considere o sistema homogêneo de equações

X ′(t) = A ·X (t) (∗)

Se k = n, então as matrizes-coluna Xi (t) = eλi t ·Bi , i ∈ {1,2, . . . ,n}, ondeλi são os autovalores de A e Bi os autovetores associados, são tais que

c1X1(t) + c2X2(t) + . . .+ cnXn(t) = Φ(t) ·C

fornece a solução geral de (∗).

Pergunta

O que se pode fazer quando k < n? E se ocorrer λi ∈ C?

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 62 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - solução complementar

Exemplo

Resolva o sistema homogêneo

{x ′ = x +3y

y ′ = 5x +3y⇔ X ′ =

[1 3

5 3

]X .

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 63 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - solução complementar

Exemplo

Resolva o sistema homogêneo

{x ′ = x +3y

y ′ = 5x +3y⇔ X ′ =

[1 3

5 3

]X .

(i) Autovalores de A =

[1 3

5 3

].

0 = det(λ I −A) =

∣∣∣∣ λ −1 −3−5 λ −3

∣∣∣∣= λ2−4λ −12 = (λ +2)(λ −6)

Logo, os autovalores de A são λ1 =−2 e λ2 = 6.

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 64 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - solução complementar

Exemplo

Resolva o sistema homogêneo

{x ′ = x +3y

y ′ = 5x +3y⇔ X ′ =

[1 3

5 3

]X .

(ii) Autovetores B =

β

]associados aos autovalores. Para λ1 =−2,

tem-se

0 = (−2I −A) ·B =

[−3 −3−5 −5

][α

β

]⇔ α + β = 0⇔ β =−α

Logo, B1 = α

[1

−1

]e X1 = e−2t

[1

−1

].

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 65 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - solução complementar

Exemplo

Resolva o sistema homogêneo

{x ′ = x +3y

y ′ = 5x +3y⇔ X ′ =

[1 3

5 3

]X .

(ii) Autovetores B =

β

]associados aos autovalores. Para λ2 = 6,

tem-se

0 = (6I −A) ·B =

[5 −3−5 3

][α

β

]⇔ 5α−3β = 0⇔ β =

3

Logo, B2 = α

[1

5/3

]e X2 = e6t

[1

5/3

].

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 66 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - solução complementar

Exemplo

Resolva o sistema homogêneo

{x ′ = x +3y

y ′ = 5x +3y⇔ X ′ =

[1 3

5 3

]X .

(iii) As matrizes-coluna X1(t) = e−2t[

1

−1

]=

[e−2t

−e−2t]e

X2 (t) = e6t[

1

5/3

]=

[e6t

5e6t/3

]são tais que {X1(t),X2(t)} é um

conjunto fundamental de soluções. Porquê? A solução geral do sistema

dado é

X (t) = c1X1(t) + c2X2(t)

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 67 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - solução complementar

Exemplo

Resolva o sistema homogêneo

{x ′ = x +3y

y ′ = 5x +3y⇔ X ′ =

[1 3

5 3

]X .

(iii) A solução geral do sistema dado é

X (t) = c1X1(t) + c2X2(t) =

[c1e−2t + c2e

6t

−c1e−2t +5c2e6t/3

]=

[e−2t e6t

−e−2t 5e6t/3

][c1c2

]Uma matriz fundamental do sistema é

Φ(t) =

[e−2t e6t

−e−2t 5e6t/3

]=[X1(t) X2(t)

]EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 68 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - solução complementar

Exemplo

Resolva o sistema homogêneo

{x ′ = x +2y

y ′ =−x/2+ y⇔ X ′ =

[1 2

−1/2 1

]X .

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 69 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - solução complementar

Exemplo

Resolva o sistema homogêneo

{x ′ = x +2y

y ′ =−x/2+ y⇔ X ′ =

[1 2

−1/2 1

]X .

(i) Autovalores de A =

[1 2

−1/2 1

].

0 = det(λ I −A) =

∣∣∣∣ λ −1 −21/2 λ −1

∣∣∣∣= λ2−2λ +2 = (λ −1− i)(λ −1+ i)

Logo, os autovalores de A são λ1 = 1+ i e λ2 = 1− i .

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 70 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - solução complementar

Exemplo

Resolva o sistema homogêneo

{x ′ = x +2y

y ′ =−x/2+ y⇔ X ′ =

[1 2

−1/2 1

]X .

(ii) Autovetores B =

β

]associados aos autovalores. Para λ1 = 1+ i ,

tem-se

0 = [(1+ i) I −A] ·B =

[i −2

1/2 i

][α

β

]⇔ iα−2β = 0⇔ β = iα/2

Logo, B1 = α

[1

i/2

]e X̃1 = e(1+i)t

[1

i/2

]= et (cos t + i sen t)

[1

i/2

].

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 71 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - solução complementar

Exemplo

Resolva o sistema homogêneo

{x ′ = x +2y

y ′ =−x/2+ y⇔ X ′ =

[1 2

−1/2 1

]X .

(ii) Autovetores B =

β

]associados aos autovalores. Para λ2 = 1− i ,

tem-se

0 = [(1− i) I −A] ·B =

[−i −21/2 −i

][α

β

]⇔−iα−2β = 0⇔ β =− iα

2

Logo, B2 = α

[1

−i/2

]e

X̃2 = e(1−i)t[

1

−i/2

]= et (cos t− i sen t)

[1

−i/2

]= X̃ ∗1 .

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 72 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - solução complementar

Exemplo

Resolva o sistema homogêneo

{x ′ = x +2y

y ′ =−x/2+ y⇔ X ′ =

[1 2

−1/2 1

]X .

(iii) As soluções reais para o sistema linear são

X1 (t) =X̃1 + X̃2

2=

1

2

{et (cos t + i sen t)

[1

i/2

]+ et (cos t− i sen t)

[1

−i/2

]}= et cos t

[1

0

]− et sen t

[0

1/2

]e

X2 (t) =X̃1− X̃2

2i=

1

2i

{et (cos t + i sen t)

[1

i/2

]− et (cos t− i sen t)

[1

−i/2

]}= et sen t

[1

0

]+ et cos t

[0

1/2

]EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 73 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - solução complementar

Exemplo

Resolva o sistema homogêneo

{x ′ = x +2y

y ′ =−x/2+ y⇔ X ′ =

[1 2

−1/2 1

]X .

(iv) As matrizes-coluna

X1(t) = et cos t

[1

0

]− et sen t

[0

1/2

]=

[et cos t

−(et sen t)/2

]e

X2 (t) = et sen t

[1

0

]+ et cos t

[0

1/2

]=

[et sen t

(et cos t)/2

]são tais que

{X1(t),X2(t)} é um conjunto fundamental de soluções. Porquê? A solução

geral do sistema dado é

X (t) = c1X1(t) + c2X2(t)

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 74 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - solução complementar

Exemplo

Resolva o sistema homogêneo

{x ′ = x +2y

y ′ =−x/2+ y⇔ X ′ =

[1 2

−1/2 1

]X .

(iv) A solução geral do sistema dado é

X (t) = c1X1(t) + c2X2(t) = c1

[et cos t

−(et sen t)/2

]+ c2

[et sen t

(et cos t)/2

]=

[et cos t et sen t

−(et sen t)/2 (et cos t)/2

][c1c2

]Uma matriz fundamental do sistema é

Φ(t) =

[et cos t et sen t

−(et sen t)/2 (et cos t)/2

]=[X1(t) X2(t)

]EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 75 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - solução complementar

Exemplo

Resolva o sistema não-homogêneox ′ = 3x−5y + et/2

y ′ =3

4x− y − et/2

⇔ X ′ =

[3 −53/4 −1

]X +

[et/2

−et/2].

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 76 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - solução complementar

Exemplo

Resolva o sistema não-homogêneox ′ = 3x−5y + et/2

y ′ =3

4x− y − et/2

⇔ X ′ =

[3 −53/4 −1

]X +

[et/2

−et/2].

Primeiro passo - A solução do sistema linear homogêneo associado

(i) Autovalores de A =

[3 −53/4 −1

].

0 = det(λ I −A) =

∣∣∣∣ λ −3 5

−3/4 λ +1

∣∣∣∣= λ2−2λ +

3

4= (λ −3/2)(λ −1/2)

Logo, os autovalores de A são λ1 = 3/2 e λ2 = 1/2.

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 77 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - solução complementar

Exemplo

Resolva o sistema não-homogêneox ′ = 3x−5y + et/2

y ′ =3

4x− y − et/2

⇔ X ′ =

[3 −53/4 −1

]X +

[et/2

−et/2].

(ii) Autovetores B =

β

]associados aos autovalores. Para λ1 = 3/2,

tem-se

0 =

(3

2I −A

)·B =

[−3/2 5

−3/4 5/2

][α

β

]⇔−3

2α +5β = 0⇔ β =

10

Logo, B1 = α

[1

3/10

]e X1 = e3t/2

[10

3

].

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 78 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - solução complementar

Exemplo

Resolva o sistema não-homogêneox ′ = 3x−5y + et/2

y ′ =3

4x− y − et/2

⇔ X ′ =

[3 −53/4 −1

]X +

[et/2

−et/2].

(ii) Autovetores B =

β

]associados aos autovalores. Para λ2 = 1/2,

tem-se

0 =

(1

2I −A

)·B =

[−5/2 5

−3/4 3/2

][α

β

]⇔−5

2α +5β = 0⇔ β =

α

2

Logo, B2 = α

[1

1/2

]e X2 = et/2

[2

1

].

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 79 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - solução complementar

Exemplo

Resolva o sistema não-homogêneox ′ = 3x−5y + et/2

y ′ =3

4x− y − et/2

⇔ X ′ =

[3 −53/4 −1

]X +

[et/2

−et/2].

(iii) As matrizes-coluna X1(t) = e3t/2[10

3

]=

[10e3t/2

3e3t/2

]e

X2 = et/2[2

1

]=

[2et/2

et/2

]são tais que {X1(t),X2(t)} é um conjunto

fundamental de soluções. (Porquê?) Assim, a solução complementar do

sistema linear homogêneo associado X ′ = A ·X é

Xc(t) = c1X1(t) + c2X2(t) = c1e3t/2

[10

3

]+ c2e

t/2

[2

1

]EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 80 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - solução complementar

Exemplo

Resolva o sistema não-homogêneox ′ = 3x−5y + et/2

y ′ =3

4x− y − et/2

⇔ X ′ =

[3 −53/4 −1

]X +

[et/2

−et/2].

A solução complementar pode ser escrita na forma

Xc(t) = c1X1(t) + c2X2(t) =

[10c1e

3t/2 +2c2et/2

3c1e3t/2 + c2e

t/2

]=

[10e3t/2 2et/2

3e3t/2 et/2

][c1c2

]Assim, Φ(t) =

[10e3t/2 2et/2

3e3t/2 et/2

]=[X1(t) X2(t)

]é uma matriz

fundamental do sistema.

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 81 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - solução particular

Exemplo

Resolva o sistema não-homogêneox ′ = 3x−5y + et/2

y ′ =3

4x− y − et/2

⇔ X ′ =

[3 −53/4 −1

]X +

[et/2

−et/2].

Segundo passo - Uma solução particular do sistema dado

Para determinar uma solução particular de um sistema da forma

X ′ (t) = A ·X (t) +F (t)dispõe-se de alguns métodos:

(i) Da diagonalização, quando a matriz constante A é diagonalizável.

(ii) Dos coe�cientes indeterminados, quando quando as componentes de

F (t) são funções polinomiais, exponenciais, senoidais ou produtos dessas.

(iii) De variação de parâmetros, que se aplica a casos em que a matriz A

não é constante ou não é diagonalizável.

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 82 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - solução particular

Método de variação de parâmetros

Considere um sistema não-homogêneo da forma

X ′ (t) = A(t) ·X (t) +F (t)

Seja

Xc (t) = Φ(t) ·C

a solução complementar do sistema homogêneo correspondente

X ′ (t) = A(t) ·X (t). O método de variação de parâmetros consiste em

buscar uma solução particular para o sistema não-homogêneo da forma

Xp (t) = Φ(t) ·U (t)

onde U (t) é uma função vetorial a ser encontrada; Φ(t) é uma matriz

fundamental do sistema homogêneo correspondente.

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 83 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - solução particular

Método de variação de parâmetros

Como Xp (t) = Φ(t) ·U (t), tem-se que X ′p (t) = Φ′ (t) ·U (t) + Φ(t) ·U ′ (t)e

X ′ (t) = A(t) ·X (t) +F (t) ⇔Φ′ (t) ·U (t) + Φ(t) ·U ′ (t) = A(t) ·Φ(t) ·U (t) +F (t) ⇔

[Φ′ (t)−A(t) ·Φ(t)]U (t) + Φ(t) ·U ′ (t) = F (t)

Por outro lado, Xc (t) = Φ(t) ·C é tal que, para toda matriz constanteC ,

X ′c (t) = A(t) ·Xc (t) ⇔ Φ′ (t) ·C = A(t) ·Φ(t) ·C⇔ [Φ′ (t)−A(t) ·Φ(t)] ·C = 0

Logo, Φ′ (t)−A(t) ·Φ(t) = 0 e

Φ(t) ·U ′ (t) = F (t)⇔ U ′ (t) = Φ−1 (t) ·F (t)

que permite determinar uma solução particular!EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 84 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - método de variaçao de parâmetros

Exemplo

Resolva o sistema não-homogêneox ′ = 3x−5y + et/2

y ′ =3

4x− y − et/2

⇔ X ′ =

[3 −53/4 −1

]X +

[et/2

−et/2].

Solução particular

Em relação ao sistema homogêneo associado, Φ(t) =

[10e3t/2 2et/2

3e3t/2 et/2

uma matriz fundamental e Xc(t) = Φ(t) ·C é a solução complementar.

Sendo U (t) =

[α (t)β (t)

], U ′ (t) =

[α ′ (t)β ′ (t)

]e, pelo método de variação de

parâmetros,

U ′ (t) = Φ−1 (t) ·F (t)

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 85 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - método de variaçao de parâmetros

Exemplo

Resolva o sistema não-homogêneox ′ = 3x−5y + et/2

y ′ =3

4x− y − et/2

⇔ X ′ =

[3 −53/4 −1

]X +

[et/2

−et/2].

Solução particular

Em relação ao sistema homogêneo associado, Φ(t) =

[10e3t/2 2et/2

3e3t/2 et/2

uma matriz fundamental e Xc(t) = Φ(t) ·C é a solução complementar.

Sendo U (t) =

[α (t)β (t)

], U ′ (t) =

[α ′ (t)β ′ (t)

]e, pelo método de variação de

parâmetros, [α ′ (t)β ′ (t)

]=

1

4e4t/2

[et/2 −2et/2−3e3t/2 10e3t/2

]·[

et/2

−et/2]

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 86 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - método de variaçao de parâmetros

Exemplo

Resolva o sistema não-homogêneox ′ = 3x−5y + et/2

y ′ =3

4x− y − et/2

⇔ X ′ =

[3 −53/4 −1

]X +

[et/2

−et/2].

Solução particular

Em relação ao sistema homogêneo associado, Φ(t) =

[10e3t/2 2et/2

3e3t/2 et/2

uma matriz fundamental e Xc(t) = Φ(t) ·C é a solução complementar.

Sendo U (t) =

[α (t)β (t)

], U ′ (t) =

[α ′ (t)β ′ (t)

]e, pelo método de variação de

parâmetros, [α ′ (t)β ′ (t)

]=

1

4

[e−3t/2 −2e−3t/2−3e−t/2 10e−t/2

]·[

et/2

−et/2]

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 87 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - método de variaçao de parâmetros

Exemplo

Resolva o sistema não-homogêneox ′ = 3x−5y + et/2

y ′ =3

4x− y − et/2

⇔ X ′ =

[3 −53/4 −1

]X +

[et/2

−et/2].

Solução particular

Em relação ao sistema homogêneo associado, Φ(t) =

[10e3t/2 2et/2

3e3t/2 et/2

uma matriz fundamental e Xc(t) = Φ(t) ·C é a solução complementar.

Sendo U (t) =

[α (t)β (t)

], U ′ (t) =

[α ′ (t)β ′ (t)

]e, pelo método de variação de

parâmetros, [α ′ (t)β ′ (t)

]=

1

4

[e−t +2e−t

−3−10

]EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 88 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - método de variaçao de parâmetros

Exemplo

Resolva o sistema não-homogêneox ′ = 3x−5y + et/2

y ′ =3

4x− y − et/2

⇔ X ′ =

[3 −53/4 −1

]X +

[et/2

−et/2].

Solução particular

Em relação ao sistema homogêneo associado, Φ(t) =

[10e3t/2 2et/2

3e3t/2 et/2

uma matriz fundamental e Xc(t) = Φ(t) ·C é a solução complementar.

Sendo U (t) =

[α (t)β (t)

], U ′ (t) =

[α ′ (t)β ′ (t)

]e, pelo método de variação de

parâmetros, [α ′ (t)β ′ (t)

]=

[3e−t/4−13/4

]EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 89 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - método de variaçao de parâmetros

Exemplo

Resolva o sistema não-homogêneox ′ = 3x−5y + et/2

y ′ =3

4x− y − et/2

⇔ X ′ =

[3 −53/4 −1

]X +

[et/2

−et/2].

Solução particular

Em relação ao sistema homogêneo associado, Φ(t) =

[10e3t/2 2et/2

3e3t/2 et/2

uma matriz fundamental e Xc(t) = Φ(t) ·C é a solução complementar.

Sendo U (t) =

[α (t)β (t)

], U ′ (t) =

[α ′ (t)β ′ (t)

]e, pelo método de variação de

parâmetros,

α ′ (t) = 3e−t/4 e β ′ (t) =−13/4

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 90 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - método de variaçao de parâmetros

Exemplo

Resolva o sistema não-homogêneox ′ = 3x−5y + et/2

y ′ =3

4x− y − et/2

⇔ X ′ =

[3 −53/4 −1

]X +

[et/2

−et/2].

Solução particular

Em relação ao sistema homogêneo associado, Φ(t) =

[10e3t/2 2et/2

3e3t/2 et/2

uma matriz fundamental e Xc(t) = Φ(t) ·C é a solução complementar.

Sendo U (t) =

[α (t)β (t)

], U ′ (t) =

[α ′ (t)β ′ (t)

]e, pelo método de variação de

parâmetros,

α (t) =−3e−t/4 e β (t) =−13t/4. Daí,

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 91 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - método de variaçao de parâmetros

Exemplo

Resolva o sistema não-homogêneox ′ = 3x−5y + et/2

y ′ =3

4x− y − et/2

⇔ X ′ =

[3 −53/4 −1

]X +

[et/2

−et/2].

Solução particular

Em relação ao sistema homogêneo associado, Φ(t) =

[10e3t/2 2et/2

3e3t/2 et/2

uma matriz fundamental e Xc(t) = Φ(t) ·C é a solução complementar.

Uma solução particular da forma Xp (t) = Φ(t) ·U (t) é

Xp (t) =

[10e3t/2 2et/2

3e3t/2 et/2

][−3e−t/4−13t/4

]=−et/2

[15/29/4

]−tet/2

[13/213/4

]EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 92 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - método de variaçao de parâmetros

Exemplo

Resolva o sistema não-homogêneox ′ = 3x−5y + et/2

y ′ =3

4x− y − et/2

⇔ X ′ =

[3 −53/4 −1

]X +

[et/2

−et/2].

Solução geral

A solução complementar é Xc(t) = Φ(t) ·C =

[10c1e

3t/2 +2c2et/2

3c1e3t/2 + c2e

t/2

].

Uma solução particular é Xp (t) =−et/2[15/29/4

]− tet/2

[13/213/4

]. Logo,

a solução geral do sistema não-homogêneo é

X (t) = c1e3t/2

[10

3

]+ c2e

t/2

[2

1

]− et/2

[15/29/4

]− tet/2

[13/213/4

]EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 93 / 149

Equação Diferencial Ordináriasistema, homogêneo, de equações de ordem 1 - método de variaçao de parâmetros

Exercício

Considere o sistema não-homogêneo{x ′ = 2x +3y −7

y ′ =−x−2y +5⇔ X ′ (t) = A ·X (t) +F (t).

1. Em relação ao sistema homogêneo associado:

(a) Mostre que os autovalores de A são −1 e 1.

(b) Prove que Φ(t) =

[e−t −3et−e−t et

]é uma matriz fundamental.

(c) Determine Φ−1 (t), isto é, a matriz inversa de Φ(t).2. Em relação ao sistema não-homogêneo:

(d) Use o método de variação de parâmetros para mostrar que é

solução particular a função vetorial Xp (t) =

[−13

].

(e) Encontre a solução geral.EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 94 / 149

Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências

Preliminares

Uma série de potências em torno do ponto x0 é uma expressão da forma

+∞

∑j=0

aj (x− x0)j = a0 +a1 (x− x0) +a2 (x− x0)2 + . . .

em que x é uma variável (independente) e cada aj é uma constante.

A série de potências é dita convergente no ponto x = c , quando o limite

das somas parciais

limn→+∞

n

∑j=0

aj (c− x0)j

é um número real L. Neste caso, escreve-se+∞

∑j=0

aj (x− x0)j = L. Caso

contrário, a série de potências é dita divergente.EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 95 / 149

Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências

Preliminares

Uma série de potências em torno do ponto x0 é uma expressão da forma

+∞

∑j=0

aj (x− x0)j = a0 +a1 (x− x0) +a2 (x− x0)2 + . . .

em que x é uma variável (independente) e cada aj é uma constante.

A série de potências é dita convergente no ponto x = c , quando o limite

das somas parciais

limn→+∞

n

∑j=0

aj (c− x0)j

é um número real L. Neste caso, escreve-se+∞

∑j=0

aj (x− x0)j = L. Caso

contrário, a série de potências é dita divergente.EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 95 / 149

Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências

Preliminares

A série de potências+∞

∑n=0

an (x− x0)n = a0 +a1 (x− x0) +a2 (x− x0)2 + . . .

é convergente no ponto x = x0, pois

limn→+∞

n

∑j=0

aj (x− x0)j = limn→+∞

n

∑j=0

aj (x0− x0)j = limn→+∞

0 = 0

Nesta situação,+∞

∑n=0

an (x− x0)n =+∞

∑n=0

an (x0− x0)n = a0 +0+0+ . . . = a0

Uma pergunta natural

A série de potências+∞

∑n=0

an (x− x0)n é convergente em outros valores de x

diferentes de x0? Em caso a�rmativo, como se determina tais valores?EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 96 / 149

Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências

Preliminares

A série de potências+∞

∑n=0

an (x− x0)n = a0 +a1 (x− x0) +a2 (x− x0)2 + . . .

é convergente no ponto x = x0, pois

limn→+∞

n

∑j=0

aj (x− x0)j = limn→+∞

n

∑j=0

aj (x0− x0)j = limn→+∞

0 = 0

Nesta situação,+∞

∑n=0

an (x− x0)n =+∞

∑n=0

an (x0− x0)n = a0 +0+0+ . . . = a0

Uma pergunta natural

A série de potências+∞

∑n=0

an (x− x0)n é convergente em outros valores de x

diferentes de x0? Em caso a�rmativo, como se determina tais valores?EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 96 / 149

Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências

Preliminares

Para uma dada série de potências+∞

∑j=0

aj (x− x0)j pode ocorrer convergência:

(a) ou apenas em x = x0; (b) ou em qualquer x ∈ R; (c) ou somente em x

pertencente a um intervalo de x0−ρ até x0 + ρ , para algum ρ > 0.

Visando uni�car a nomenclatura, é usual indicar a ocorrência de (a) pela

notação ρ = 0; de (b) por ρ = +∞ e chamar ρ de raio de convergência.

O intervalo de (convergência) de x0−ρ até x0 + ρ , determinado pelo raio

de convergência ρ , pode ser aberto, fechado ou aberto em uma

extremidade e fechado em outra.

Existem diversos modos de determinar o raio de convergência de uma dada

série de potências. Dois critérios, particularmente simples e úteis, são

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 97 / 149

Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências

Preliminares

Para uma dada série de potências+∞

∑j=0

aj (x− x0)j pode ocorrer convergência:

(a) ou apenas em x = x0; (b) ou em qualquer x ∈ R; (c) ou somente em x

pertencente a um intervalo de x0−ρ até x0 + ρ , para algum ρ > 0.

Visando uni�car a nomenclatura, é usual indicar a ocorrência de (a) pela

notação ρ = 0; de (b) por ρ = +∞ e chamar ρ de raio de convergência.

O intervalo de (convergência) de x0−ρ até x0 + ρ , determinado pelo raio

de convergência ρ , pode ser aberto, fechado ou aberto em uma

extremidade e fechado em outra.

Existem diversos modos de determinar o raio de convergência de uma dada

série de potências. Dois critérios, particularmente simples e úteis, são

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 97 / 149

Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências

Preliminares

Para uma dada série de potências+∞

∑j=0

aj (x− x0)j pode ocorrer convergência:

(a) ou apenas em x = x0; (b) ou em qualquer x ∈ R; (c) ou somente em x

pertencente a um intervalo de x0−ρ até x0 + ρ , para algum ρ > 0.

Visando uni�car a nomenclatura, é usual indicar a ocorrência de (a) pela

notação ρ = 0; de (b) por ρ = +∞ e chamar ρ de raio de convergência.

O intervalo de (convergência) de x0−ρ até x0 + ρ , determinado pelo raio

de convergência ρ , pode ser aberto, fechado ou aberto em uma

extremidade e fechado em outra.

Existem diversos modos de determinar o raio de convergência de uma dada

série de potências. Dois critérios, particularmente simples e úteis, são

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 97 / 149

Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências

O critério da razão

A série de potências+∞

∑j=0

aj (x− x0)j é convergente em todos os valores de

x ∈ R tais que

|x− x0|<1

limn→+∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ = limn→+∞

∣∣∣∣ an

an+1

∣∣∣∣Deste modo, de acordo com o critério da razão, o raio de convergência é

ρ = limn→+∞

∣∣∣∣ an

an+1

∣∣∣∣EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 98 / 149

Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências

O critério da raiz

A série de potências+∞

∑j=0

aj (x− x0)j é convergente em todos os valores de

x ∈ R tais que

|x− x0|<1

limn→+∞

n√|an|

= limn→+∞

|an|−1/n

Assim, de acordo com o critério da raiz, o raio de convergência é

ρ = limn→+∞

|an|−1/n

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 99 / 149

Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências

Preliminares

Existem a derivada e a integral de�nida de uma série de potências+∞

∑n=0

an (x− x0)n = a0 +a1 (x− x0) +a2 (x− x0)2 + . . .

em todos os pontos do intervalo de convergência.

A derivação termo a termo e a integração termo a termo de uma série de

potências não altera o raio de convergência, porém pode alterar o intervalo

de convergência.

Por esta (e outras razões), em geral, a análise da convergência de uma

série de potências nos extremos do intervalo exige mais cautela.

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 100 / 149

Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências

Anteriormente, foi visto que, para todo x ∈ R, vale a representação em

série de potências

ex =+∞

∑n=0

xn

n!, senx =

+∞

∑n=0

(−1)nx2n+1

(2n+1)!, cosx =

+∞

∑n=0

(−1)nx2n

(2n)!

De�nição

Uma função f é dita analítica em x0, quando existe um intervalo aberto I ,

em torno de x0, e uma série de potências+∞

∑n=0

an (x− x0)n , com raio de

convergência ρ > 0, tal que

f (x) =+∞

∑n=0

an (x− x0)n

para todo x ∈ I .

Nesta perspectiva, as funções elementares ex , senx e cosx são analíticas

em todo x0 ∈ R.EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 101 / 149

Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências

Anteriormente, foi visto que, para todo x ∈ R, vale a representação em

série de potências

ex =+∞

∑n=0

xn

n!, senx =

+∞

∑n=0

(−1)nx2n+1

(2n+1)!, cosx =

+∞

∑n=0

(−1)nx2n

(2n)!

De�nição

Uma função f é dita analítica em x0, quando existe um intervalo aberto I ,

em torno de x0, e uma série de potências+∞

∑n=0

an (x− x0)n , com raio de

convergência ρ > 0, tal que

f (x) =+∞

∑n=0

an (x− x0)n

para todo x ∈ I .

Nesta perspectiva, as funções elementares ex , senx e cosx são analíticas

em todo x0 ∈ R.EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 101 / 149

Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências

Anteriormente, foi visto que, para todo x ∈ R, vale a representação em

série de potências

ex =+∞

∑n=0

xn

n!, senx =

+∞

∑n=0

(−1)nx2n+1

(2n+1)!, cosx =

+∞

∑n=0

(−1)nx2n

(2n)!

De�nição

Uma função f é dita analítica em x0, quando existe um intervalo aberto I ,

em torno de x0, e uma série de potências+∞

∑n=0

an (x− x0)n , com raio de

convergência ρ > 0, tal que

f (x) =+∞

∑n=0

an (x− x0)n

para todo x ∈ I .

Nesta perspectiva, as funções elementares ex , senx e cosx são analíticas

em todo x0 ∈ R.EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 101 / 149

Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências

Exemplo

Se S = 1+ x + x2 + x3 + . . . , então xS = x + x2 + x3 + . . . ,

(1− x)S = 1⇔ S =1

1− xe

1

1− x= 1+ x + x2 + x3 + . . .

para todo x ∈ R−{1}. Fazendo x =−t, com |t|< 1⇔ t ∈ (−1,1),obtém-se

1

1+ t= 1− t + t2− t3 + . . .

Integrando termo a termo em relação a t, de 0 até x , com x ∈ (−1,1),tem-se ∫ x

0

dt

1+ t=

t

1

∣∣∣x0− t2

2

∣∣∣∣x0

+t3

3

∣∣∣∣x0

− t4

4

∣∣∣∣x0

+ . . .

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 102 / 149

Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências

Exemplo

Se S = 1+ x + x2 + x3 + . . . , então xS = x + x2 + x3 + . . . ,

(1− x)S = 1⇔ S =1

1− xe

1

1− x= 1+ x + x2 + x3 + . . .

para todo x ∈ R−{1}. Fazendo x =−t, com |t|< 1⇔ t ∈ (−1,1),obtém-se

1

1+ t= 1− t + t2− t3 + . . .

Integrando termo a termo em relação a t, de 0 até x , com x ∈ (−1,1),tem-se ∫ x

0

dt

1+ t= x− x2

2+x3

3− x4

4+ . . .

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 103 / 149

Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências

Exemplo

Se S = 1+ x + x2 + x3 + . . . , então xS = x + x2 + x3 + . . . ,

(1− x)S = 1⇔ S =1

1− xe

1

1− x= 1+ x + x2 + x3 + . . .

para todo x ∈ R−{1}. Fazendo x =−t, com |t|< 1⇔ t ∈ (−1,1),obtém-se

1

1+ t= 1− t + t2− t3 + . . .

Integrando termo a termo em relação a t, de 0 até x , com x ∈ (−1,1),tem-se

ln(1+ x) = x− x2

2+x3

3− x4

4+ . . .

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 104 / 149

Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências

Exemplo

Se S = 1+ x + x2 + x3 + . . . , então xS = x + x2 + x3 + . . . ,

(1− x)S = 1⇔ S =1

1− xe

1

1− x= 1+ x + x2 + x3 + . . .

para todo x ∈ R−{1}. Fazendo x =−t, com |t|< 1⇔ t ∈ (−1,1),obtém-se

1

1+ t= 1− t + t2− t3 + . . .

Integrando termo a termo em relação a t, de 0 até x , com x ∈ (−1,1),tem-se

ln(1+ x) = x− x2

2+x3

3− x4

4+ . . . =

+∞

∑n=1

(−1)n−1

nxn

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 105 / 149

Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências

Exemplo

Como, para todo x ∈ (−1,1),

ln(1+ x) =+∞

∑n=1

(−1)n−1

nxn

conclui-se que a função f (x) = ln(1+ x) é analítica em todo x ∈ (−1,1).Além disso, a mudança de variável t = x +1⇔ x = t−1, permite escrever

que

ln t =+∞

∑n=1

(−1)n−1

n(t−1)n

Deste modo, veri�ca-se que a função ϕ(x) = lnx também é analítica em

qualquer x ∈ (0,2).

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 106 / 149

Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências

Exemplo

Determine a solução da equação

y ′ = x2y

em série de potências de x . Se possível, ache uma relação de recorrência e

escreva a série na forma (compacta)+∞

∑n=n0

anxn.

Solução

Considere uma solução da forma y =+∞

∑n=0

anxn = a0 +a1x +a2x

2 +a3x3 + . . .

Segue que y ′ = a1 +2a2x +3a3x2 + . . . =

+∞

∑n=1

nanxn−1 e

y ′ = x2y ⇔+∞

∑n=1

nanxn−1 = x2

+∞

∑n=0

anxn. Daí,

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 107 / 149

Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências

Exemplo

Determine a solução da equação

y ′ = x2y

em série de potências de x . Se possível, ache uma relação de recorrência e

escreva a série na forma (compacta)+∞

∑n=n0

anxn.

Solução

y ′ = x2y ⇔+∞

∑n=1

nanxn−1 = x2

+∞

∑n=0

anxn

⇔+∞

∑n=1

nanxn−1−

+∞

∑n=0

anxn+2 = 0

⇔ a1 +2a2x ++∞

∑n=3

nanxn−1−

+∞

∑n=0

anxn+2 = 0

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 108 / 149

Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências

Exemplo

Determine a solução da equação

y ′ = x2y

em série de potências de x . Se possível, ache uma relação de recorrência e

escreva a série na forma (compacta)+∞

∑n=n0

anxn.

Solução

a1 +2a2x ++∞

∑n=3

nanxn−1−

+∞

∑n=0

anxn+2 = 0

A mudança de variável m = n−3⇔ n = m+3, acarreta

a1 +2a2x ++∞

∑m=0

(m+3)am+3xm+2−

+∞

∑n=0

anxn+2 = 0

Logo, a1 +2a2x ++∞

∑n=0

(n+3)an+3xn+2−

+∞

∑n=0

anxn+2 = 0

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 109 / 149

Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências

Exemplo

Determine a solução da equação

y ′ = x2y

em série de potências de x . Se possível, ache uma relação de recorrência e

escreva a série na forma (compacta)+∞

∑n=n0

anxn.

Solução

Logo, a1 +2a2x ++∞

∑n=0

(n+3)an+3xn+2−

+∞

∑n=0

anxn+2 = 0

a1 +2a2x ++∞

∑n=0

[(n+3)an+3−an]xn+2 = 0

Disso segue que a1 = 0, a2 = 0 e, vale a relação de recorrência,

(n+3)an+3−an = 0⇔ an+3 =an

n+3, para todo n = 0,1,2,3, . . .

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 110 / 149

Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências

Exemplo

Determine a solução da equação

y ′ = x2y

em série de potências de x . Se possível, ache uma relação de recorrência e

escreva a série na forma (compacta)+∞

∑n=n0

anxn.

Solução

De a1 = 0, a2 = 0 e, da relação de recorrência, an+3 =an

n+3, n = 0,1,2, . . .

segue que a3 =a0

3, a4 = 0, a5 = 0, a6 =

a0

3 ·6=

a0

1 ·2 ·32, a7 = 0, a8 = 0,

a9 =a0

3 ·6 ·9=

a0

1 ·2 ·3 ·33, a10 = 0, a11 = 0,

a12 =a0

3 ·6 ·9 ·12=

a0

1 ·2 ·3 ·4 ·34, a13 = 0, a14 = 0, ... Em resumo,

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 111 / 149

Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências

Exemplo

Determine a solução da equação

y ′ = x2y

em série de potências de x . Se possível, ache uma relação de recorrência e

escreva a série na forma (compacta)+∞

∑n=n0

anxn.

mostrou-se que a3k =a0

k!3k, k = 0,1,2, . . ., e que an = 0 para n 6= 3k .

A solução em série de potências de x é dada pela funçãoy = a0 +a1x +a2x

2 +a3x3 + . . .

= a0 +a0

1!31x3 +

a0

2!32x6 +

a0

3!33x9 +

a0

4!34x12 + . . .

= a0

(1+

x3

1!31+

x6

2!32+

x9

3!33+

x12

4!34+ . . .

)EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 112 / 149

Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências

Exemplo

Determine a solução da equação

y ′ = x2y

em série de potências de x . Se possível, ache uma relação de recorrência e

escreva a série na forma (compacta)+∞

∑n=n0

anxn.

mostrou-se que a3k =a0

k!3k, k = 0,1,2, . . ., e que an = 0 para n 6= 3k .

A solução em série de potências de x é dada pela funçãoy = a0 +a1x +a2x

2 +a3x3 + . . .

= a0 +a0

1!31x3 +

a0

2!32x6 +

a0

3!33x9 +

a0

4!34x12 + . . .

= a0

(1+

x3

1!31+

x6

2!32+

x9

3!33+

x12

4!34+ . . .

)= a0

+∞

∑n=0

x3n

n!3n

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 113 / 149

Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências

Observação

A solução, em série de potências, de y ′ = x2y é y(x) = a0+∞

∑n=0

x3n

n!3n.

Ora, sabemos que, para todo x ∈ R, ex =+∞

∑n=0

xn

n!. Nesta função, pondo

x 7→ x3/3, tem-se

ex3/3 =

+∞

∑n=0

1

n!

(x3

3

)n

=+∞

∑n=0

x3n

n!3n

Assim, reconhecemos a função y (x) = a0ex3/3 como solução da equação.

Esta solução é a que seria obtida, v. g., pelo método do fator integrante!

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 114 / 149

Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências

Exercício

Determine a solução da equação

y ′ = x +1

y

em série de potências de x . Se possível, ache uma relação de recorrência e

escreva a série na forma (compacta)+∞

∑n=n0

anxn.

Resposta

y(x) = a0 +x

a0+a30−1

2a30x2 +

3−a306a50

x3 + . . .

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 115 / 149

Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências

Observação

Funções elementares como polinômios, exponenciais, logaritmos, senos e

cossenos (e outras relacionadas) admitem representação em série de

potências. Por outro lado, do exercício anterior, conclui-se que funções

de�nidas por série de potências formam uma classe mais abrangente de

funções, que são distintas das funções elementares.

Deste modo, quando se encontra uma equação (diferencial), cujas soluções

não podem ser expressas em termos de funções elementares, deve-se

contentar em expressar a solução como uma integral, ou como uma

aproximação numérica ou como uma série de potências (em torno de algum

ponto).

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 116 / 149

Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências

Então, saber encontrar uma solução em série de potências e conhecer suas

propriedades são fundamentais, uma vez que existem equações importantes

cujas soluções são funções de�nidas por série de potências.

Exemplo

y(x) = 1+Γ(γ)

Γ(α)Γ(β )

+∞

∑n=1

Γ(α +n)Γ(β +n)

n!Γ(γ +n)xn é solução da equação hiper-

geométrica x (1− x)y ′′+ [γ− (α + β +1)x ]y ′−αβy = 0, com α , β e γ

parâmetros �xos. A função y(x) é chamada de função hipergeométrica ga-

ussiana, sendo indicada pelo símbolo F (α;β ;γ;x). A equação hipergeomé-

trica é uma equação genérica cujas soluções incluem as funções especiais

de Legendre (referente à dependência latitudinal em coordenadas esféricas),

Chebyshev (relativa à teoria da aproximação e �ltros), Gegenbauer (referen-

te à eletrostática ultraesférica) e Jacobi (relativa a polinômios ortogonais).

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 117 / 149

Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências

Suponha que a edo linear de primeira ordem

a1 (x)y ′+a0 (x)y = g (x) (5)seja colocada na forma padrão

y ′+P (x)y = f (x) (6)

De�nição

Os valores de x para os quais a1 (x) = 0 são chamados pontos singulares da

equação.

Observação

Os pontos singulares são potencialmente perturbadores. Especi�camente,

em (6), se P (x)≡ a0 (x)/a1 (x) for descontínua em um ponto, a

descontinuidade poderá ser transportada para as soluções da equação

diferencial.

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 118 / 149

Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências

Suponha que a edo linear de primeira ordem

a1 (x)y ′+a0 (x)y = g (x) (5)seja colocada na forma padrão

y ′+P (x)y = f (x) (6)

De�nição

Os valores de x para os quais a1 (x) = 0 são chamados pontos singulares da

equação.

Observação

Os pontos singulares são potencialmente perturbadores. Especi�camente,

em (6), se P (x)≡ a0 (x)/a1 (x) for descontínua em um ponto, a

descontinuidade poderá ser transportada para as soluções da equação

diferencial.

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 118 / 149

Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências

Exercício

Determine a solução da equação xy ′− y = x ⇔ y ′− 1

xy = 1 em série de

potências de x−1. Se possível, ache uma relação de recorrência e escreva

a série na forma (compacta)+∞

∑n=n0

an(x−1)n.

Solução

Note que a equação diferencial possui um ponto singular em x = 0. A

técnica do fator integrante conduz à solução y = x lnx +kx , k ∈ R , que é

descontínua em x = 0.

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 119 / 149

Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências

Solução:

Da série de potências y (x) =+∞

∑n=0

an(x−1)n, obtém-se

y ′ (x) =+∞

∑n=1

nan(x−1)n−1 =+∞

∑n=0

(n+1)an+1(x−1)n.

Como x = (x−1) +1, decorre que

x = xy ′− y ⇔ 1+ (x−1) = (x−1)y ′+ y ′− y e, por conseguinte,

1+ (x−1) =+∞

∑n=1

nan(x−1)n ++∞

∑n=0

(n+1)an+1(x−1)n−+∞

∑n=0

an(x−1)n

= a1 (x−1) ++∞

∑n=2

nan(x−1)n +a1 +2a2 ++∞

∑n=2

(n+1)an+1(x−1)n

−a0−a1 (x−1)−+∞

∑n=2

an(x−1)n. Assim, a1 = 1+a0, a2 = 1/2 e

nan + (n+1)an+1−an = 0⇔ an+1 =1−n

1+nan, n ≥ 2.

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 120 / 149

Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências

Exercício

Determine a solução da equação xy ′− y = x ⇔ y ′− 1

xy = 1 em série de

potências de x−1. Se possível, ache uma relação de recorrência e escreva

a série na forma (compacta)+∞

∑n=n0

an(x−1)n.

Solução

Porque a1 = 1+a0, a2 = 1/2 e vale a relação de recorrência

an+1 =1−n

1+nan, para n ≥ 2, tem-se a3 =−1

3a2, a4 =−2

4a3, ... e a série

y (x) = a0 +a1 (x−1) +a2 (x−1)2 + . . . , solução da equação, é dada por

y(x) = a0 + (1+a0)(x−1) +(x−1)2

2− (x−1)3

6+

(x−1)4

12− . . .

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 121 / 149

Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências

Suponha que a edo linear de segunda ordem

a2 (x)y ′′+a1 (x)y ′+a0 (x)y = 0 (7)seja colocada na forma padrão

y ′′+P (x)y ′+Q (x)y = 0 (8)

De�nição

Diz-se que x0 é um ponto ordinário da equação (7) se tanto

P (x)≡ a1 (x)/a2 (x) quanto Q (x)≡ a0 (x)/a2 (x) na forma padrão forem

analíticas em x0. Um ponto singular da equação é um ponto que não é

ordinário.

Teorema de existência de soluções em série de potências

Se x = x0 é um ponto ordinário da equação (7), então é sempre possível

encontrar duas soluções linearmente independentes na forma de série de

potências, centradas em x0, com raio de convergência ρ > 0.

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 122 / 149

Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências

Suponha que a edo linear de segunda ordem

a2 (x)y ′′+a1 (x)y ′+a0 (x)y = 0 (7)seja colocada na forma padrão

y ′′+P (x)y ′+Q (x)y = 0 (8)

De�nição

Diz-se que x0 é um ponto ordinário da equação (7) se tanto

P (x)≡ a1 (x)/a2 (x) quanto Q (x)≡ a0 (x)/a2 (x) na forma padrão forem

analíticas em x0. Um ponto singular da equação é um ponto que não é

ordinário.

Teorema de existência de soluções em série de potências

Se x = x0 é um ponto ordinário da equação (7), então é sempre possível

encontrar duas soluções linearmente independentes na forma de série de

potências, centradas em x0, com raio de convergência ρ > 0.

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 122 / 149

Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências

Exercício

Determine a solução da equação (de Airy) y ′′− xy = 0 em série de

potências de x−1. Se possível, ache uma relação de recorrência e escreva

a série na forma (compacta)+∞

∑n=n0

an (x−1)n.

Solução

Note que x0 = 1 é um ponto ordinário da equação. Da série de potências,

y (x) =+∞

∑n=0

an(x−1)n, obtém-se y ′ (x) =+∞

∑n=1

nan(x−1)n−1 e

y ′′ (x) =+∞

∑n=2

n (n−1)an(x−1)n−2. Como x = (x−1) +1, decorre que

0 = y ′′− xy = y ′′− (x−1)y − y e, por conseguinte,

0 =+∞

∑n=2

n (n−1)an(x−1)n−2−+∞

∑n=0

an(x−1)n+1−+∞

∑n=0

an(x−1)n. Daí,

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 123 / 149

Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências

0 = 2a2 ++∞

∑n=3

n (n−1)an(x−1)n−2 −+∞

∑n=0

an(x−1)n+1

n = m+3⇔m = n−3

m 7→ n

−a0 −+∞

∑n=1

an(x−1)n

n = m+1⇔m = n−1

m 7→ n

= 2a2−a0 ++∞

∑n=0

(n+3)(n+2)an+3(x−1)n+1−+∞

∑n=0

an(x−1)n+1

−+∞

∑n=0

an+1(x−1)n+1

= 2a2−a0 ++∞

∑n=0

[(n+3)(n+2)an+3−an−an+1] (x−1)n+1. Assim,

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 124 / 149

Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências

Exercício

Determine a solução da equação (de Airy) y ′′− xy = 0 em série de

potências de x−1. Se possível, ache uma relação de recorrência e escreva

a série na forma (compacta)+∞

∑n=n0

an (x−1)n.

a2 =a0

2e (n+3)(n+2)an+3 = an +an+1, n ≥ 0, é a relação de recorrência.

Em particular, a3 =a0

6+a1

6, a4 =

a1

12+

a2

12, a5 =

a2

20+

a3

20, ... A série,

solução da equação, y (x) = a0 +a1 (x−1) +a2 (x−1)2 +a3 (x−1)3 + . . . ,é dada por

y(x) = a0

[1+

(x−1)2

2+

(x−1)3

6+

(x−1)4

24+

(x−1)5

30+ . . .

]+a1

[(x−1) +

(x−1)3

6+

(x−1)4

12+

(x−1)5

120+ . . .

]EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 125 / 149

Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências

Exemplo

Uma equação não-linear clássica que ocorre no estudo do comportamento

termal de uma nuvem esférica é a equação de Emden

y ′′+2

xy + yα = 0

com condições iniciais y (0) = 1 e y ′ (0) = 0. Embora x = 0 não seja um

ponto ordinário para essa equação (que é não-linear para α 6= 1), acontece

que existe uma solução analítica em x = 0.

Supondo que α é um inteiro positivo, uma solução em série de potências

da equação é a função (não elementar)

y (x) = 1− x2

3!+n

x4

5!+ . . .

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 126 / 149

Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências

Suponha que a edo linear de segunda ordem

a2 (x)y ′′+a1 (x)y ′+a0 (x)y = 0 (7)seja colocada na forma padrão

y ′′+P (x)y ′+Q (x)y = 0 (8)

De�nição

Um ponto singular x0 é dito ponto singular regular da equação (7) se as

funções p (x) = (x− x0)P (x) e q (x) = (x− x0)2Q (x) forem ambas

analíticas em x0. Um ponto singular que não seja regular é chamado ponto

singular irregular da equação.

Observação

Note que, se x0 é um ponto singular regular, a equação original pode ser

posta na forma (x− x0)2 y ′′+ (x− x0)p (x)y ′+q (x)y = 0, onde p (x) e

q (x) são analíticas em x0.EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 127 / 149

Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências

Suponha que a edo linear de segunda ordem

a2 (x)y ′′+a1 (x)y ′+a0 (x)y = 0 (7)seja colocada na forma padrão

y ′′+P (x)y ′+Q (x)y = 0 (8)

Teorema de Frobenius

Se x0 é um ponto singular regular da equação (7), então existirá pelo

menos uma solução, com raio de convergência ρ > 0, da forma

y (x) = (x− x0)r ·+∞

∑n=0

an (x− x0)n = ∑n≥0

an (x− x0)n+r

onde r é uma constante a ser determinada.

Observação

A equação envolvendo r é chamada equação indicial, e os valores soluções

dela são ditos raízes indiciais ou expoentes da singularidade x0.

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 128 / 149

Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências

Suponha que a edo linear de segunda ordem

a2 (x)y ′′+a1 (x)y ′+a0 (x)y = 0 (7)seja colocada na forma padrão

y ′′+P (x)y ′+Q (x)y = 0 (8)

Teorema de Frobenius

Se x0 é um ponto singular regular da equação (7), então existirá pelo

menos uma solução, com raio de convergência ρ > 0, da forma

y (x) = (x− x0)r ·+∞

∑n=0

an (x− x0)n = ∑n≥0

an (x− x0)n+r

onde r é uma constante a ser determinada.

Observação

Se a raiz indicial r não é um inteiro não-negativo, a solução correspondente

y = ∑n≥0

an (x− x0)n+r não será uma série de potências.

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 129 / 149

Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências

Suponha que a edo linear de segunda ordem

a2 (x)y ′′+a1 (x)y ′+a0 (x)y = 0 (7)seja colocada na forma padrão

y ′′+P (x)y ′+Q (x)y = 0 (8)

Resumo

ponto x0

ordinário

singular

{regular

irregular

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 130 / 149

Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências

Exercício

Resolva 2xy ′′+ (1+ x)y ′+ y = 0, usando séries.

Solução

Note que

2xy ′′+ (1+ x)y ′+ y = 0 ⇔ y ′′+

(1

2x+

1

2

)y ′+

1

2xy = 0

⇔ (x−0)2 y ′′+ (x−0)

(1

2+x

2

)y ′+

x

2y = 0

e as funções p (x)≡ 1

2+x

2e q (x)≡ x

2são analíticas em x0 = 0. Assim,

x0 = 0 é um ponto singular regular e uma solução deve ser alcançada

através do teorema (ou método) de Frobenius.

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 131 / 149

Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências

Exercício

Resolva 2xy ′′+ (1+ x)y ′+ y = 0, usando séries.

De y =+∞

∑n=0

anxn+r = a0x

r +a1xr+1 +a2x

r+2 +a3xr+3 + . . . segue que

y ′ =+∞

∑n=0

(n+ r)anxn+r−1, y ′′ =

+∞

∑n=0

(n+ r)(n+ r −1)anxn+r−2 e

0 = 2xy ′′+ (1+ x)y ′+ y

= 2 ∑n≥0

(n+ r)(n+ r −1)anxn+r−1

+ ∑n≥0

(n+ r)anxn+r−1 + ∑

n≥0(n+ r)anx

n+r + ∑n≥0

anxn+r

0 = 2r (r −1)a0xr−1 +2

+∞

∑n=1

(n+ r)(n+ r −1)anxn+r−1

+ra0xr−1 +

+∞

∑n=1

(n+ r)anxn+r−1 +

+∞

∑n=0

(n+ r)anxn+r +

+∞

∑n=0

anxn+r .

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 132 / 149

Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências

Exercício

Resolva 2xy ′′+ (1+ x)y ′+ y = 0, usando séries.n = m+1⇔m = n−1

m 7→ n

0 = 2r (r −1)a0xr−1 +2

+∞

∑n=1

(n+ r)(n+ r −1)anxn+r−1

+ra0xr−1 +

+∞

∑n=1

(n+ r)anxn+r−1 +

+∞

∑n=0

(n+ r)anxn+r +

+∞

∑n=0

anxn+r

= r (2r −1)a0xr−1 +2

+∞

∑n=0

(n+1+ r)(n+ r)an+1xn+r

++∞

∑n=0

(n+1+ r)an+1xn+r +

+∞

∑n=0

(n+ r +1)anxn+r

= r (2r −1)a0xr−1 +

+∞

∑n=0

(n+ r +1) [(2n+2r +1)an+1 +an]an+1xn+r .

Daí,

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 133 / 149

Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências

Exercício

Resolva 2xy ′′+ (1+ x)y ′+ y = 0, usando séries.

r (2r −1) = 0 é a equação indicial. r = 0 ou r = 1/2 são os expoentes da

singularidade x0 = 0. (n+ r +1) [(2n+2r +1)an+1 +an] = 0, n ≥ 0, é a

relação de recorrência.

(i) Para r = 0, an+1 =− an

2n+1, para n ≥ 0. Assim, a1 =−a0, a2 =

a0

1 ·3,

a3 =− a0

1 ·3 ·5, a4 =

a0

1 ·3 ·5 ·7, a5 =− a0

1 ·3 ·5 ·7 ·9, ... e, por indução,

an =(−1)n a0

1 ·3 ·5 · . . . · (2n−1), para todo n ≥ 1. Neste caso, uma solução é a

série (de potências) y1 = x0 ·[1+

+∞

∑n=1

(−1)n

1 ·3 ·5 · . . . · (2n−1)xn].

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 134 / 149

Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências

Exercício

Resolva 2xy ′′+ (1+ x)y ′+ y = 0, usando séries.

r (2r −1) = 0 é a equação indicial. r = 0 ou r = 1/2 são os expoentes da

singularidade x0 = 0. (n+ r +1) [(2n+2r +1)an+1 +an] = 0, n ≥ 0, é a

relação de recorrência.

(ii) Para r = 1/2, an+1 =− an

2(n+1), para n ≥ 0. Assim, a1 =− a0

2 ·1,

a2 =a0

22 ·1 ·2, a3 =− a0

23 ·1 ·2 ·3, a4 =

a0

24 ·1 ·2 ·3 ·4, a5 =− a0

25 ·5!, ... Por

indução, an =(−1)n a02n ·n!

, para todo n ≥ 1. Neste caso, uma solução é a

série y2 = x1/2 ·[1+

+∞

∑n=1

(−1)n

2n ·n!xn]

=+∞

∑n=0

(−1)n

2n ·n!xn+1/2.

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 135 / 149

Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências

Exercício

Resolva 2xy ′′+ (1+ x)y ′+ y = 0, usando séries.

O desenvolvimento precedente permitiu obter duas soluções da equação, a

saber,

y1 = 1++∞

∑n=1

(−1)n

1 ·3 ·5 · . . . · (2n−1)xn e

y2 = x1/2[1+

+∞

∑n=1

(−1)n

2n ·n!xn]

=+∞

∑n=0

(−1)n

2n ·n!xn+1/2.

Baseado na forma dessas soluções, nenhuma das séries é um múltiplo

constante da outra. Logo, {y1,y2} é um conjunto fundamental de soluções

e, pelo princípio da superposição, a solução geral da equação é

y = c1 ·[1+

+∞

∑n=1

(−1)n

1 ·3 ·5 · . . . · (2n−1)xn]

+ c2 ·+∞

∑n=0

(−1)n

2n ·n!xn+1/2.

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 136 / 149

Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências

Suponha que a edo linear de segunda ordem

a2 (x)y ′′+a1 (x)y ′+a0 (x)y = 0 (7)seja colocada na forma padrão

y ′′+P (x)y ′+Q (x)y = 0 (8)

Seja x0 um ponto singular regular de (7). Suponha que as raízes indiciais

desta singularidade r1 e r2, r1 ≥ r2, sejam números reais. Ao usar o método

de Frobenius, distinguem-se três casos:

(i) r1 e r2 são distintos e não diferem por um inteiro positivo .

Neste caso, há duas soluções y1 =+∞

∑n=0

xn+r1 e y2 =+∞

∑n=0

xn+r2 ; y1 não é

múltiplo constante de y2; {y1,y2} é um conjunto fundamental de soluções;

a solução geral é da forma

y (x) = c1 · x r1+∞

∑n=0

xn + c2 · x r2+∞

∑n=0

xn = (c1 · x r1 + c2 · x r2) ·+∞

∑n=0

xn

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 137 / 149

Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências

Suponha que a edo linear de segunda ordem

a2 (x)y ′′+a1 (x)y ′+a0 (x)y = 0 (7)seja colocada na forma padrão

y ′′+P (x)y ′+Q (x)y = 0 (8)

Seja x0 um ponto singular regular de (7). Suponha que as raízes indiciais

desta singularidade r1 e r2, r1 ≥ r2, sejam números reais. Ao usar o método

de Frobenius, distinguem-se três casos:

(ii) r1 e r2 são iguais.

Neste caso, há apenas uma solução y1 =+∞

∑n=0

xn+r1 . Uma outra solução y2

pode ser obtida a partir do método de redução de ordem, usando

y2 = u · y1 = y1 (x)∫

e−∫P(x)dx

[y1 (x)]2dx . O conjunto {y1,y2} será linearmente

independente e a solução geral será uma combinação linear de y1 e y2.

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 138 / 149

Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências

Suponha que a edo linear de segunda ordem

a2 (x)y ′′+a1 (x)y ′+a0 (x)y = 0 (7)seja colocada na forma padrão

y ′′+P (x)y ′+Q (x)y = 0 (8)

Seja x0 um ponto singular regular de (7). Suponha que as raízes indiciais

desta singularidade r1 e r2, r1 ≥ r2, sejam números reais. Ao usar o método

de Frobenius, distinguem-se três casos:

(iii) r1 e r2 são distintos e diferem por um inteiro positivo.

Neste caso, pode-se encontrar ou não duas soluções linearmente indepen-

dentes. Se eventualmente apenas uma solução y1 for obtida, uma outra

solução y2 pode ser obtida a partir do método de redução de ordem, usando

y2 = u · y1 = y1 (x)∫

e−∫P(x)dx

[y1 (x)]2dx . O conjunto {y1,y2} será linearmente

independente e a solução geral será uma combinação linear de y1 e y2.

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 139 / 149

Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências

Exercício

Resolva xy ′′+ y = 0, usando séries.

Solução

Note que

xy ′′+ y = 0 ⇔ y ′′+1

xy = 0

⇔ (x−0)2 y ′′+ (x−0) ·1 · y = 0e as funções p (x)≡ 0 e q (x)≡ 1 são analíticas em x0 = 0. Assim, x0 = 0 é

um ponto singular regular e uma solução deve ser alcançada através do

teorema (ou método) de Frobenius.

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 140 / 149

Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências

Exercício

Resolva xy ′′+ y = 0, usando séries.

De y =+∞

∑n=0

anxn+r = a0x

r +a1xr+1 +a2x

r+2 +a3xr+3 + . . . segue que

y ′ =+∞

∑n=0

(n+ r)anxn+r−1, y ′′ =

+∞

∑n=0

(n+ r)(n+ r −1)anxn+r−2 e

0 = xy ′′+ y

= ∑n≥0

(n+ r)(n+ r −1)anxn+r−1 + ∑

n≥0anx

n+r

= r (r −1)a0xr−1 +

+∞

∑n=1

(n+ r)(n+ r −1)anxn+r−1 +

+∞

∑n=0

anxn+r

= r (r −1)a0xr−1 +

+∞

∑n=0

(n+1+ r)(n+ r)an+1xn+r +

+∞

∑n=0

anxn+r

= r (r −1)a0xr−1 +

+∞

∑n=0

[(n+1+ r)(n+ r)an+1 +an]xn+r . Daí,

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 141 / 149

Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências

Exercício

Resolva xy ′′+ y = 0, usando séries.

r (r −1) = 0 é a equação indicial. r = 0 ou r = 1 são os expoentes da

singularidade x0 = 0, que diferem por um inteiro positivo.

(n+ r +1)(n+ r)an+1 +an = 0, n ≥ 0, é a relação de recorrência.

(i) Para r = 0, (n+1)nan+1 =−an, para n≥ 0. Assim, a0 = 0, a2 =− a1

1 ·2,

a3 =a1

1 ·2 ·2 ·3, a4 =− a1

1 ·2 ·3 ·2 ·3 ·4, a5 =

a1

1 ·2 ·3 ·4 ·2 ·3 ·4 ·5, ... Por

indução, an =(−1)n−1 a1(n−1)! ·n!

, para todo n ≥ 2. Neste caso, uma solução é a

série (de potências) y1 = x0 ·

[x +

+∞

∑n=2

(−1)n−1

(n−1)! ·n!xn

].

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 142 / 149

Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências

Exercício

Resolva xy ′′+ y = 0, usando séries.

r (r −1) = 0 é a equação indicial. r = 0 ou r = 1 são os expoentes da

singularidade x0 = 0, que diferem por um inteiro positivo.

(n+ r +1)(n+ r)an+1 +an = 0, n ≥ 1, é a relação de recorrência.

(ii) Para r = 1, (n+2)(n+1)an+1 =−an, para n ≥ 0. Assim, a1 =− a0

1 ·2,

a2 =a0

1 ·2 ·2 ·3, a3 =− a0

1 ·2 ·3 ·2 ·3 ·4, a4 =

a0

1 ·2 ·3 ·4 ·2 ·3 ·4 ·5, ... Por

indução, an =(−1)n a0

n! · (n+1)!, para todo n ≥ 1. Uma solução é a série (de

potências) y2 = x1 ·[1+

+∞

∑n=1

(−1)n

n! · (n+1)!xn]

= x ++∞

∑n=2

(−1)n−1

(n−1)! ·n!xn = y1.

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 143 / 149

Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências

Exercício

Resolva xy ′′+ y = 0, usando séries.

A partir de y1 = x ++∞

∑n=2

(−1)n−1

(n−1)! ·n!xn =

+∞

∑n=1

(−1)n−1

(n−1)! ·n!xn

= x− x2

2+x3

12− x4

144+

x5

2880− . . .

uma segunda solução pode ser construída pelo método de redução de

ordem, usando

y2 = u · y1 (x) = y1 (x)∫

e−∫P(x)dx

[y1 (x)]2dx .

Como P (x) = 0, y2 = y1 (x) ·∫

1

[y1 (x)]2dx . Ora,

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 144 / 149

Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências

Exercício

Resolva xy ′′+ y = 0, usando séries.

y1 = x− x2

2+x3

12− x4

144+

x5

2880− . . .

x− x2

2+x3

12− x4

144+

x5

2880− . . .

[y1 (x)]2 = x2 +

(−1

2− 1

2

)x3 +

(1

12+

3

12+

1

12

)x4

+

(− 6

144− 6

144− 1

144− 1

144

)x5 + . . .

= x2− x3 +5

12x4− 7

72x5 + . . . e

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 145 / 149

Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências

1 x2− x3 + 512x4− 7

72x5 + . . .

−1+ x− 512x2 + 7

72x3 + . . . 1

x2+ 1

x+ 7

12+ 19

72x + . . .

x− 512x2 + 7

72x3 + . . . Assim, 1

[y1(x)]2 = 1

x2+ 1

x+ 7

12+ 19

72x + . . .

−x + 1212x2− 30

72x3 + 7

72x4− . . . e, por conseguinte,

712x2− 23

72x3 + . . .

∫1

[y1(x)]2 dx =− 1

x+ lnx

− 712x2 + 42

72x3− . . . + 7

12x + 19

144x2 + . . .

1972x3 + . . . Como y2 (x) = y1 (x) ·

∫1

[y1(x)]2 dx

segue que

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 146 / 149

Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências

Exercício

Resolva xy ′′+ y = 0, usando séries.

y2 (x) = y1 (x) lnx + y1 (x)

[−1

x+

7

12x +

19

144x2 + . . .

]Lembrando que

y1 (x) =+∞

∑n=1

(−1)n−1

(n−1)! ·n!xn = x− x2

2+x3

12− x4

144+

x5

2880− . . .

conclui-se que a solução geral da equação é dada por

y (x) = c1y1 (x) + c2y2 (x)

= y1 (x) ·{c1 + c2

[lnx +

(−1

x+

7

12x +

19

144x2 + . . .

)]}EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 147 / 149

Equação Diferencial Ordináriade ordem n ≥ 1 - Solução em série de potências

Exercício

Determine a solução da equação (de Airy)

y ′′− xy = 0

em série de potências de x . Se possível, ache uma relação de recorrência e

escreva a série na forma (compacta)+∞

∑n=n0

anxn.

Exercício

Resolva a equação dada, usando séries.

(a) 9x2y ′′+9x2y ′+2y = 0.

(b) xy ′′− xy ′+ y = 0.

(c) xy ′′+ (1− x)y ′− y = 0.

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 148 / 149

Leitura Recomendada I

Abunahman, S. A.

Equações diferenciais.

Rio de Janeiro: EDC, 1989.

Boyce, W. E. e Diprima, R. C.

Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno.

Rio de Janeiro: LTC, 2002.

Edwards, C. H. e Penney, D. E.

Equações diferenciais elementares com problemas de contorno.

Rio de Janeiro: Prentice-Hall, 1995.

Zill, D. G.

Equações diferenciais: com aplicações em modelagem.

São Paulo: Pioneira Thomson, 2003.

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 149 / 149