급수viewpds.jihak.co.kr/tsoldb/%ea%b5%90%ea%b3%bc%ec%84%9c%eb... · 2015-01-14 · 30...
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식물원의 유리 벽은 지구의 대기와 같다.
지구에대기가존재하지않으면태양에서
받는빛에너지를그대로다시방출하게된다.
이러한원리로지구표면의온도를계산하면
약-26 æ 정도까지떨어지게된다. 그러나
지구에는 대기가 존재하여 평균 기온은 약
14 æ정도를유지하고있다.
식물원의천장과벽은보통유리로이루어
져있는데, 유리가지구의대기와같은역할을
함으로써식물원내부의식물이생장하기좋은온도를유지시켜준다. 최근에는유리의구조를여러
가지방법으로개선하여실내에유입되는빛의양과방출되는빛의양을조절하여보다안정적인온
도를유지할수있다고한다.
2 급수
이단원을배우면서다음과제를해결하여보자. 36쪽
유리를통과하여식물원의내부로들어오는햇빛의양을구할수있을까?
28 Ⅰ.수열의극한
(010~047)232교과1(미적분Ⅰ) 2013.7.8 11:33 PM 페이지28 mac02 T
2.급수 29
01●급수의수렴, 발산의뜻을알고, 이를판별할수있다.
급수의수렴과발산
급수의 수렴과 발산은 무엇인가?
탐구 활동 다음그림과같이땅에떨어지면떨어진높이의 배만큼 다시 튀어 오르는 농구공이 있
다고 하자. 이 공이지상 3 m 높이의골대에맞고땅에떨어졌을때, 물음에답하여보자.
1114
생각 열기
1. 땅에떨어진후 n번째튀어오른공의높이를 a«이라고할때, a«의값을구하여보자.
2. 수열 {a«}의첫째항부터제`n항까지의합 S«=a¡+a™+a£+y+a«의값을구하여보자.
3. 2의결과를이용하여공이튀어오른높이의총합을구하는방법을말하여보자.
3`m
위와같이수열 {a«}의첫째항부터제n항까지의합을
S«=a¡+a™+a£+y+a«
이라고하면수열 {a«}의모든항의합
a¡+a™+a£+y+a«+y
은n이한없이커질때S«의극한으로생각할수있다.
공이튀어오른높이
가점점낮아지네.
높이의총합은계속커질까?
(010~047)232교과1(미적분Ⅰ) 2013.7.8 11:33 PM 페이지29 mac02 T
30 Ⅰ.수열의극한
수열의합의수렴과발산에대하여알아보자.
수열 {a«}의각항을차례로덧셈기호+로연결한식
a¡+a™+a£+y+a«+y
을급수라하고, 기호 ; 를사용하여
a«
과같이나타낸다.
급수 a«에서첫째항부터제n항까지의합
S«=a¡+a™+a£+y+a«= a˚
를급수의제n항까지의부분합이라고한다.
이부분합으로이루어진수열 {S«}이일정한값S에수렴할때, 즉
S«=`
a˚=S
이면급수 a«은S에수렴한다고한다.
이때S를이급수의합이라하고, 기호로
a¡+a™+a£+y+a«+y=S 또는 a«=S
와같이나타낸다.
한편급수 a«의부분합으로이루어진수열 {S«}이발산하면이급수는발산한다
고한다.
¶¡
n=1
¶¡
n=1
¶¡
n=1
n¡
k=1limnڦ
limnڦ
n¡
k=1
¶¡
n=1
¶¡¡
n=1
n=1, 2, 3, y, n일때
S¡=a¡
S™=a¡+a™
⋯
S«=a¡+a™+a£+y+a«
먼저 제n항까지의 부분합
S«을구하여극한값 S«을
구한다.
limnڦ
⑴급수 1+2+3+y+n+y의제n항까지의부분합을 S«이라고하면
S«= 이므로 S«= =¶
따라서이급수는양의무한대로발산한다.
⑵급수 1+ + +y+{ }« —⁄ +y의제n항까지의부분합을 S«이라고하면
S«=2[1-{ }«]이므로 S«= 2[1-{ }
«]=2
따라서이급수는 2에수렴한다.
112
limnڦ
limnڦ
112
112
114
112
n(n+1)11112
limnڦ
limnڦ
n(n+1)11112
보기
다음급수의수렴, 발산을조사하여라.
⑴ 2+4+6+y+2n+y ⑵ 3+1+ +y+3¥{ }« —⁄ +y113
113
1문제
(010~047)232교과1(미적분Ⅰ) 2013.7.8 11:33 PM 페이지30 mac02 T
2.급수 31
예제 01
⑴제n항까지의부분합을 S«이라고하면
S«= = { - }
S«={1- }+{ - }+{ - }+y+{ - }
S«=1-
이므로 S«= {1- }=1
따라서주어진급수는수렴하고, 그합은 1이다.
⑵제n항까지의부분합을 S«이라고하면
S«= ('ƒk+1-'k)
S«=('2-'1)+('3-'2)+('4-'3)+y+('ƒn+1-'n)
S«='ƒn+1-1
이므로 S«= ('ƒn+1-1)=¶
따라서주어진급수는양의무한대로발산한다.
답 ⑴수렴, 1 ⑵발산
limnڦ
limnڦ
n
;
k=1
1112n+1
limnڦ
limnڦ
1112n+1
1112n+1
11n
114
113
113
112
112
1112k+1
11k
n
;
k=1
11111k(k+1)
n
;
k=1
다음급수의수렴, 발산을조사하고, 수렴하면그합을구하여라.
⑴ + + +y+ +y
⑵ ('ƒn+1-'n)¶;
n=1
11111n(n+1)1113¥4
1112¥3
1111¥2
풀이
= { - }11B
11A
113213B-A
1132AB
다음급수의수렴, 발산을조사하고, 수렴하면그합을구하여라.
⑴ ⑵ { }211111111
'ƒ2n+1+'ƒ2n-1
¶¡
n=1
11111n(n+2)¶¡
n=1
2문제
다음급수의수렴, 발산을조사하고, 수렴하면그합을구하여라.
log +log +log +y+log +yn+2112n513
412
311
3문제발전
logåx+logåy=logåxy
(010~047)232교과1(미적분Ⅰ) 2013.7.8 11:33 PM 페이지31 mac02 T
32 Ⅰ.수열의극한
이제급수 a«의수렴, 발산과수열의극한값사이의관계에대하여알아보자.
급수 a«이S에수렴할때, 제n항까지의부분합을S«이라고하면
S«=S, S«–¡=S
이다. 그런데 a«=S«-S«–¡ (næ2)이므로
a«= (S«-S«–¡)= S«- S«–¡
=S-S=0
이다. 따라서급수 a«이S에수렴하면 a«=0이다.
이상을정리하면다음과같다.
limn ڦ
¶¡
n=1
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
¶¡
n=1
¶¡
n=1
⑵는⑴의대우이므로참이
다.
급수와일반항
⑴급수 a«이수렴하면 a«=0이다.
⑵ a«+0이면급수 a«은발산한다.¶;
n=1limn ڦ
limnڦ
¶;
n=1
급수 에서 = +0이므로이급수는발산한다.112
n1112n+3
limnڦ
n1112n+3
¶;
n=1보기
다음급수의수렴, 발산을조사하여라.
⑴ ⑵n‹1212
n¤ +1
¶¡
n=1
n12123n-1
¶¡
n=1
4문제
영재는 명제‘급수 a«이 수렴하면 a«=0이다.’의 역이 성립하지 않음을 반례를
통해증명하고있다. 영재가증명한방법을구체적으로설명하여라.
limnڦ
¶¡
n=1
창up의
a«=0이면급수
a«은수렴할까요?¶;
n=1
limn ⁄¶ 항상그렇지는않아요!
;n!;=0이지만 ;n!;은
양의무한대로발산합니다.
¶;
n=1limn ڦ
(010~047)232교과1(미적분Ⅰ) 2013.7.8 11:33 PM 페이지32 mac02 T
2.급수 33
첫째항이 a(a+0), 공비가 r인등비수열 {ar« —⁄ }에서얻은급수
ar« —⁄ =a+ar+ar¤ +y+ar« —⁄ +y
을첫째항이 a, 공비가 r인등비급수라고한다. 등비급수 ar« —⁄의수렴, 발산을알
아보려면부분합으로이루어진수열
S«=a+ar+ar¤ +y+ar« —⁄
이수렴하는지발산하는지를조사하면된다.
¶¡
n=1
¶¡
n=1
02●등비급수의뜻을알고, 그합을구할수있다.
등비급수
등비급수의 합은 어떻게 구하는가?
탐구 활동 오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 1인 정사각형의 넓
이가 이되도록반으로나누고, 나머지직사각형을넓
이가 이 되도록 반으로 나누는 과정을 반복할 때 만
들어진 직사각형을 차례로 a¡, a™, a£, y이라고 하자.
다음물음에답하여보자.
1. 직사각형 a¡부터 a«까지의넓이의합 S«을구하여보자.
2. 직사각형의넓이의합으로이루어진수열 {S«}의극한값
을구하여보자.
3. 2의결과와정사각형의넓이를비교하여보자.
1112
1112
생각 열기
a¡
a™
a£a¢
a∞a§…
1
1
등비수열 , , , y
의각항을모두더하면
어떻게될까요?
112‹
112¤
112
각항이모두양수이니까
무한히커질것같아요!
1은넘지않을것
같은데요…….
다르게
생각하는
사람은
없나요?
(010~047)232교과1(미적분Ⅰ) 2013.8.8 6:32 PM 페이지33 mac01 T
34 Ⅰ.수열의극한
부분합S«=a+ar+ar¤ +y+ar« —⁄에서
r+1이면 S«=a+ar+ar¤ +y+ar« —⁄ =
r=1이면 S«=a+a+y+a=na
이므로등비급수 ar« —⁄의수렴, 발산은다음과같이 r의값에따라결정된다.
⁄ |r|<1일때, r« =0이므로
ar« —⁄ = S«= =
¤ |r|æ1일때, ar« —⁄ +0이므로등비급수 ar« —⁄은발산한다.
이상을정리하면다음과같다.
¶¡
n=1limn ڦ
a1131-ra(1-r« )11111-r
limnڦ
limn ڦ
¶¡
n=1
limn ڦ
¶¡
n=1
a(1-r« )11111-r
등비급수의수렴과발산
등비급수 ar« —⁄ =a+ar+ar¤ +y+ar« —⁄ +y`(a+0)은
⑴ |r|<1일때, 수렴하고그합은 이다.
⑵ |r|æ1일때, 발산한다.
a1121-r
¶;
n=1
예제 01
⑴주어진등비급수는첫째항이 3이고공비가- 이다.
이때 |- |<1이므로이등비급수는수렴하고, 그합은 = =2
⑵주어진등비급수는첫째항이 1이고공비가 이다.
이때 | |>1이므로이등비급수는발산한다.
답 ⑴수렴, 2 ⑵발산
312
312
313312
3111111
1-{-1}2
112
112
다음등비급수의수렴, 발산을조사하고, 수렴하면그값을구하여라.
⑴ 3- + - + -y ⑵ 1+ + + + +y811316
27138
914
312
31316
318
314
312
풀이
다음등비급수의수렴, 발산을조사하고, 수렴하면그값을구하여라.
⑴ { }n ⑵ 2+ + + + +y321381
161327
819
413
413
¶¡
n=1
1문제
(010~047)232교과1(미적분Ⅰ) 2013.7.8 11:33 PM 페이지34 mac02 T
2.급수 35
수렴하는급수의합은부분합으로이루어진수열의극한이므로수열의극한에대
한기본성질을이용하면다음과같은급수의성질이성립함을알수있다.
급수의성질
두급수 a«, b«이수렴할때
⑴ (a«+b«)= a«+ b«
⑵ (a«-b«)= a«- b«
⑶ ca«=c a« (단, c는상수)¶¡
n=1
¶¡
n=1
¶¡
n=1
¶¡
n=1
¶¡
n=1
¶¡
n=1
¶¡
n=1
¶¡
n=1
¶¡
n=1
¶¡
n=1
a«=7, b«=5일때 (3a«-2b«)=3 a«-2 b«=3¥7-2¥5=11¶¡
n=1
¶¡
n=1
¶¡
n=1
¶¡
n=1
¶¡
n=1보기
a«=5이고 b«=10일때, 다음급수의합을구하여라.
⑴ (4a«+3b«) ⑵ {a«- b«}112
¶¡
n=1
¶¡
n=1
¶¡
n=1
¶¡
n=12문제
급수의 성질은 어떠한가?
두등비수열 {a«}, {b«}의일반항이 a«={ }« , b«=3{ } « —⁄일때,
a«+ b«과 (a«+b«)의 값을 비교하면 다음과 같다.¶¡
n=1
¶¡
n=1
¶¡
n=1
11121112
위와같은방법으로주어진두수열 {a«}, {b«}에대하여다음의값을비교하여보자.
1. (a«-b«)과 a«- b« 2. 3a«과 3 a«¶¡
n=1
¶¡
n=1
¶¡
n=1
¶¡
n=1
¶¡
n=1
탐구 활동
a«= =1
b«= =6
a«+ b«=7¶¡
n=1
¶¡
n=1
31111
1-12
¶¡
n=1
1121111
1-12
¶¡
n=1
a«+b«= { }« —⁄
(a«+b«)
= =7
7121111
1-12
¶¡
n=1
112
712
이건7이
나오는데.
이것도
7이나와.
(010~047)232교과1(미적분Ⅰ) 2013.7.8 11:33 PM 페이지35 mac02 T
예제 02
={ } « +{ }«이고
두등비급수 { }« , { }«이각각수렴하므로
= { } « + { }«
= + =
답312
312
11312211
1-13
11212211
1-12
113
¶;
n=1
112
¶;
n=1
3« +2«11236«
¶;
n=1
113
¶;
n=1
112
¶;
n=1
113
112
3« +2«11236«
급수 의합을구하여라.3« +2«122226«
¶¡
n=1
풀이
다음급수의합을구하여라.
⑴ { - } ⑵ { + }5126«
2123«
¶¡
n=1
1124«
1123«
¶¡
n=1
3문제
두 급수 (2a«+3b«)과 (a«-2b«)이 모두 수렴할 때, 두 수열 {a«}, {b«}의 수
렴, 발산을조사하여보자.
¶¡
n=1
¶¡
n=1
사고력기르기▶추론
▶의사소통
▶문제 해결
G¡a G™
2a
8a 8
a 4a2
a
32a 32
a 16a
… …
앞의단원과제에대하여다음을해결하여보자.
어떤 식물원의 벽은 두 겹의 유리로 되어 있다고 한다. 이
벽의 두 유리 G¡, G™는 모두 햇빛의 양의 은 통과시키고,
나머지 은 반사시킨다. 이 식물원의 유리 벽에
비치는 햇빛의 양을 a라고 할 때, 식물원의 내부
로들어오는햇빛의양은얼마인지구하여라.
112
112
36 Ⅰ.수열의극한
(010~047)232교과1(미적분Ⅰ) 2013.7.8 11:33 PM 페이지36 mac02 T
2.급수 37
탐구활동에서와같이등비급수의합을구하는방법을이용하여순환소수를분수
로나타내어보자.
예제 010.2H3=0.2+0.03+0.003+0.0003+y
0.2H7=0.2+{ + + +y}
0.2H7=0.2+ = + =
답71330
71330
11330
115
31431001411
11-14
10
313310›
313310‹
313310¤
등비급수를이용하여순환소수 0.2 H3을분수로나타내어라.
풀이
등비급수를이용하여다음순환소수를분수로나타내어라.
⑴ 0. H3H6 ⑵ 1.3H2H1
1문제
03●등비급수를활용하여여러가지문제를해결할수있다.
등비급수의활용
등비급수를 어떻게 활용하는가?
탐구 활동 순환소수 0. H9에대하여다음물음에답하여보자.
1. 0.H9를등비급수로나타내어보자.
2. 1의등비급수의첫째항과공비를구하여보자.
3. 등비급수의합을구하는방법을이용하여 0.H9의값을확인하여보자.
생각 열기 등식0.999y=1
이성립할까요?
선생님. 0.9는1보다작고0.99도
1보다작은데, 0.999y도1보다
작지않을까요?
그렇게보일수있죠.
하지만등비급수를이용해
확인할수있어요.
(010~047)232교과1(미적분Ⅰ) 2013.7.8 11:33 PM 페이지37 mac02 T
38 Ⅰ.수열의극한
예제 02
오른쪽그림에서
A«≠¡B«≠¡”= A«B«”, B«≠¡C«≠¡”= B«C«”,
A«≠¡C«≠¡”= A«C«”
이므로삼각형A«≠¡B«≠¡C«≠¡과삼각형A«B«C«은
닮음비가 1 : 2인닮은삼각형이다.
따라서 (△A«≠¡B«≠¡C«≠¡의둘레의길이)= (△A«B«C«의둘레의길이)이므로
△A¡B¡C¡, △A™B™C™, △A£B£C£, y의둘레의길이의합은
a+ a+{ }¤ a+y= =2a 답 2aa11121
1-12
112
112
112
112
112
112
오른쪽 그림과 같이 둘레의 길이가 a인 삼각형
A¡B¡C¡의각변의중점을이어삼각형 A™B™C™를만
든다. 이와 같은 방법으로 삼각형 A£B£C£, A¢B¢C¢,
y를만들어나갈때, △A¡B¡C¡, △A™B™C™, △A£B£C£,
y의둘레의길이의합을구하여라.
풀이
A¡
C™
A™
B™A£C¢
A¢
B¢
C£B£…
B¡ C¡
An
Cn+1
An+1
Bn+1
Bn Cn
오른쪽그림과같이 AB”=1, BC”=2이고, ∠B=90˘인직
각삼각형 ABC에 정사각형 S¡, S™, S£, y이 내접하도록
하여 한없이 만들 때, 이들 정사각형의 넓이의 합을 구하
여라.
2문제 A
B C
S¡S™ S£ …2
1
오른쪽그림과같이원점 O에서 x축의양의방향으로 1만큼움
직인점을 P¡, 점 P¡에서 y축의양의방향으로 만큼움직인
점을 P™, 점 P™에서 x축의음의방향으로 { }¤만큼움직인점
을 P£, 점 P£에서 y축의 음의 방향으로 { }‹만큼 움직인 점을 P¢라고 하자. 이와 같은 방
법으로점 P«이한없이움직일때, 점 P«이가까워지는점의좌표를구하여라.
213
213
213
3문제
O x
y
1 P¡
P™P£
P¢ P∞P§Pß
(010~047)232교과1(미적분Ⅰ) 2013.7.8 11:33 PM 페이지38 mac02 T
2.급수 39
1 다음급수의수렴, 발산을조사하고, 수렴하면그합을구하여라.
⑴ 1+3+5+7+y+(2n-1)+y
⑵ 1- + - +y+{- }« —⁄ +y
⑶
⑷21211123112(2n-1)(2n+1)
¶¡
n=1
11211123'ƒn+1+'n
¶¡
n=1
112
118
114
112
5 등비급수를이용하여다음순환소수를분수로나타내어라.
⑴ 0.H1H2 ⑵ 0.7 H1 ⑶ 1.H3H5
중단원 기초 수준별학습
[해답 p.193 ]
등비급수의 수렴과 발산
02 등비급수
01 급수의수렴과발산
2 다음급수가발산함을보여라.
⑴ ⑵ [1-{ }«]
⑶ ("√n¤ +n-n) ⑷ 'n('ƒn+2-'ƒn-2)¶¡
n=2
¶¡
n=1
112¶¡
n=1
2n12123n+2¶¡
n=1
급수와 일반항
01 급수의수렴과발산
3 다음등비급수의합을구하여라.
⑴ { }« ±⁄ ⑵ (2-'3)«
¶¡
n=1
112'2
¶¡
n=1
03 등비급수의활용
4 a«=3, b«=-2일때, 다음급수의합을구하여라.
⑴ (2a«+b«) ⑵ (3a«-2b«) ⑶ { - }b«142
a«143
¶¡
n=1
¶¡
n=1
¶¡
n=1
¶¡
n=1
¶¡
n=1급수의 성질
02 등비급수
(010~047)232교과1(미적분Ⅰ) 2014.8.27 4:3 PM 페이지39 mac02 T
40 Ⅰ.수열의극한
1 다음급수중에서수렴하는것을모두찾아라.
2 수열 {a«}에대하여급수 a«=3일때, 의값을구하여라.3a«-4n+61111125a«+2n+5
limnڦ
¶¡
n=1
3 등비급수 3(1-x¤ )« —⁄에대하여다음물음에답하여라.
⑴위의급수가수렴하기위한실수 x값의범위를구하여라.
⑵⑴에서구한범위에서주어진급수의합을구하여라.
¶¡
n=1
중단원 기본 수준별학습
5
㉠ (-1)« ㉡
㉢ ㉣ log™n+2112n+1
¶¡
n=1
1111111121+2+3+y+n
¶¡
n=1
111113(2n)¤ -1
¶¡
n=1
¶¡
n=1
01 급수의수렴과발산
급수와 일반항
01 급수의수렴과발산
등비급수의 수렴과 발산
02 등비급수
03 등비급수의활용
급수의 성질
02 등비급수4 다음급수의합을구하여라.
⑴ ⑵2« ±⁄ -3« —⁄12111
6« ±⁄
¶¡
n=1
3« +21126« —⁄
¶¡
n=1
연희의태블릿 PC 건전지는방전될때까지처음사용가능한
시간이 90시간이었고, 충전하여사용할때마다사용가능한
시간이바로전사용가능한시간의 배씩줄어들었다.
연희의태블릿 PC를방전되어충전하는과정을반복할때,
사용가능한시간의합을구하여라.
1124100
[해답 p.193 ]
(010~047)232교과1(미적분Ⅰ) 2013.7.8 11:33 PM 페이지40 mac02 T
2.급수 41
3 를소수로나타낼때, 소수점아래 n번째자리숫자를 a«이라고한다.
이때 의값을구하여라.a«132«
¶¡
n=1
304123999
1 수열 {a«}에대하여급수
{ -3}+{ -3}+{ -3}+y
이수렴할때, 의값을구하여라.3a«-4n11118n-a«
limnڦ
a£136
a™134
a¡132
4 다음그림과같이넓이가 1인정삼각형의각변의중점을연결하여가운데
정삼각형을제거한후남은부분의넓이를 a¡, 다시남아있는정삼각형들의
각 변의 중점을 연결하여 각각 가운데 정삼각형을 제거한 후 남은 부분의
넓이를 a™라고 하자. 이와 같은 과정을 한없이 계속할 때, a¡+a™+a£+y
의값을구하여라.
중단원 실력 수준별학습
…
02 등비급수
01 급수의수렴과발산
2 등비수열 {a«}에대하여 a«=2, a«¤ = 일때, a«‹ 의값을구하여라.¶¡
n=1
413
¶¡
n=1
¶¡
n=102 등비급수
03 등비급수의활용
[해답 p.193 ]
(010~047)232교과1(미적분Ⅰ) 2013.8.8 6:32 PM 페이지41 mac01 T
42 Ⅰ.수열의극한
❶길이가 1인선분을그린다.
❷ [1단계] 길이가 1인선분을삼등분하여가운데부분을버린다.
❸ [2단계] 남은두선분을각각삼등분하여가운데부분을버린다.
[1단계]
[2단계]
칸토어집합
독일의수학자칸토어(Cantor, G. ; 1845~1918)는급수
에대한연구에몰두하다가집합에대한개념이필요하다는것을
깨닫고, 오랜 연구끝에집합론을창시하게되었다. 특히 그는
무한집합에깊이있는연구를진행하였는데, 다음은그가생각해
낸집합을구성하는방법이다.
두수열 {a«}, {l«}의일반항을각각구하여보자.| 과 제 | 1
| 과 제 | 2 두극한값`a«,
`l«을각각구하여보자.lim
nڦlimn ڦ
| 과 제 | 3 급수`a«`l«을구하고, 이로부터 알 수있는칸토어집합의특징을말하여보자.
¶¡
n=1
이와같은과정을계속반복하여남게되는점들의집합을칸토어집합(Cantor set)
이라고한다. 이과정의 n단계에서버려지는선분의개수를 a«, 버려지는선분한개의
길이를 l«이라할때, 다음물음에답하여보자.
수행 과제
(010~047)232교과1(미적분Ⅰ) 2013.7.8 11:33 PM 페이지42 mac02 T
대단원학습내용정리 43
대단원 학습 내용 정리
수열의 수렴과 발산
수열 {a«}에서 n이한없이커질때, 일반항 a«의값이어떤실
수 a에 한없이 가까워지면 수열 {a«}은 a에 수렴한다고 하며,
이것을기호로다음과같이나타낸다.
a«=a 또는 n ⁄¶일때 a« ⁄alimn⁄¶
1
수열의 극한에 관한 기본 성질
수열의 극한에 대한 기본 성질
수렴하는두수열 {a«}, {b«}에대하여
a«=a, b«=b일때
⑴ (a«+b«)= a«+ b«=a+b
⑵ (a«-b«)= a«- b«=a-b
⑶ ca«=c a«=ca (단, c는상수)
⑷ a«b«= a«¥ b«=ab
⑸ = = (단, b«+0, b+0)
수열의 극한값의 대소 관계
수렴하는두수열 {a«}, {b«}에대하여
a«=a, b«=b일때
⑴모든자연수 n에대하여 a«…b«이면 a…b이다.
⑵수열 {c«}이 모든 자연수 n에 대하여 a«…c«…b«을 만족시
⑵키고 a=b이면, 수열 {c«}은수렴하고 c«=a이다.
⑶⑴에서 a«<b«이라고 해서 반드시 a«< b«이 성
⑶립하는것은아니다.
limn ڦ
limnڦ
limnڦ
limn ڦ
limnڦ
a1blim a«n⁄¶1311lim b«n⁄¶
a«13b«lim
nڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limn ڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limnڦ
limn ڦ
limnڦ
2
등비수열 {r« }의 극한값
⑴ r>1일때, r« =¶ (발산)
⑵ r=1일때, r« =1 (수렴)
⑶ |r|<1일때, r« =0 (수렴)
⑷ r…-1일때, 수열 {r« }은진동한다. (발산)
limnڦ
limnڦ
limnڦ
3
급수의 수렴과 발산
급수
⑴급수: 수열 {a«}의각항을차례로덧셈기호+를사용하여
연결한식
a¡+a™+a£+y+a«+y= a«
⑵부분합: 급수 a«에서첫째항부터제n항까지의합
S«=a¡+a™+a£+y+a«= a˚
⑶급수의합: 부분합으로이루어진수열 {S«}이수렴하는값
급수와 일반항
⑴급수 a«이수렴하면 a«=0이다.
⑵ a«+0이면급수 a«은발산한다.¶¡
n=1limnڦ
limn ڦ
¶¡
n=1
n
¡
k=1
¶¡
n=1
¶¡
n=1
4
등비급수
등비급수의 수렴과 발산
등비급수 ar« —⁄ =a+ar+ar¤ +y+ar« —⁄ +y(a+0)은
⑴ |r|<1일때, 수렴하고그합은 이다.
⑵ |r|æ1일때, 발산한다.
급수의 성질
두급수 a«, b«이수렴할때
⑴ (a«+b«)= a«+ b«
⑵ (a«-b«)= a«- b«
⑶ ca«=c a« (단, c는상수)¶¡
n=1
¶¡
n=1
¶¡
n=1
¶¡
n=1
¶¡
n=1
¶¡
n=1
¶¡
n=1
¶¡
n=1
¶¡
n=1
¶¡
n=1
a1131-r
¶¡
n=1
5
용어와 기호 수렴, 극한(값), 무한대, 발산, 급수, 부분합, 급수의합, 등비급수, a«, ¶, a«¶;
n=1limnڦ
(010~047)232교과1(미적분Ⅰ) 2013.8.8 6:32 PM 페이지43 mac01 T
44 Ⅰ.수열의극한
㉠ a«=1 ㉡ a¢«=1
㉢ a™«–¡=1limn ⁄¶
limn ڦ
limn ڦ
대 /단 /원 평가 문제
의값은?
① 0 ② ;3!; ③ ;3@;
④ 1 ⑤ ;3$;
1¤ +2¤ +3¤ +y+n¤13111111323n‹
limnڦ4
이차방정식 x¤ -(2n¤ -1)x+n¤ =0의두근을
a«, b«이라할때, { + }의값은?
① 0 ② ;2!; ③ 1
④ ;2#; ⑤ 2
113b«113a«lim
nڦ
3
다음 급수 중에서 수렴하는 것만을 있는 대로
고른것은?
7
수열 {a«}이 a™«=1을만족시킬때, 다음중
에서옳은것만을있는대로고른것은?
limn ڦ
①㉡ ②㉠, ㉡ ③㉠, ㉢
④㉡, ㉢ ⑤㉠, ㉡, ㉢
2
㉠ ㉡
㉢ ㉣3« -2«11223« +2«
¶¡
n=1
311221n(n+2)
¶¡
n=1
5133«
¶¡
n=1
2n11223n+2
¶¡
n=1
①㉠ ②㉡ ③㉠, ㉡
④㉡, ㉢ ⑤㉠, ㉡, ㉣
Ⅰ. 수열의극한
다음수열중에서수렴하는것을모두고르면?
(정답 2개)
① {2+(-1)« } ② [ ]
③ [ ] ④ [ ]
⑤ [ ]50011n
n11'2ån
(-1)« ¥211112n
(-1)« ¥n11112n+2
1
선 택 형 r<-1일때, 수열 [ ]의극한값은?
①-;3@; ② ;3@; ③ 0
④-r ⑤ r
2+r¤ « ±⁄131123+r¤ «5
의값은?
① 0 ② 1 ③ 2
④ 3 ⑤ 4
6« +3«13112111(2« +1)(3« +1)
limnڦ6
급수 a«, b«이수렴하고,
(3a«+b«)=7, (a«-b«)=5일때,
a«+ b«의값은?
① 0 ② 1 ③ 2
④ 3 ⑤ 4
¶¡
n=1
¶¡
n=1
¶¡
n=1
¶¡
n=1
¶¡
n=1
¶¡
n=18
(010~047)232교과1(미적분Ⅰ) 2013.7.8 11:33 PM 페이지44 mac02 T
대단원평가문제 45
다음급수중에서수렴하는것을모두고르면?
(정답 2개)
① - + - + - +y
② - + - + - +y
③ 1+(-1)+1+(-1)+1+y
④ { - }+{ - }+{ - }+y
⑤ 2- + - + - +y514
413
413
312
312
115
114
114
113
113
112
114
114
113
113
112
112
314
314
213
213
112
112
9
오른쪽 그림과 같이 반
지름의 길이가 1인 원
C¡의 중심을 지나고
C¡에내접하는원을 C™,
원 C™의 중심을 지나고
C™에 내접하는 원을
C£이라고 하자. 이와 같은 과정을 한없이 반복
할때, 모든원의넓이의합은?
① ② p ③ p
④ p ⑤ p513
413
213
p13
11
수열 {a«}이 (2n+1)a«=3을만족할때,
(4n+3)a«의값을구하여라.limn ⁄¶
limnڦ
12
급수 log¢'2+log¢"ç'2+log¢øπ"ç'2+y의 합
을구하여라.
13
등비수열 [(x-2){ }n ]이수렴하도록하
는정수 x를구하는풀이과정과답을서술하여
라.
2x+11132314
오른쪽 그림과 같이
점 P«이원점 O를출
발하여 x축또는 y축
과 평행하게 P¡, P™,
P£, y으로움직인다.
O’P¡”=3, P’¡P™”= O’P¡”, P’™P£”= P’¡P™”, y일
때, 점 P«이한없이가까워지는점의좌표를구
하는풀이과정과답을서술하여라.
112
112
15
서 답 형
|서|술|형 |
|서|술|형 |
O x
y
P¡
P™ P£P¢ …
1
C¡
C™C£
등비급수 r«이수렴할때, 다음급수중에서
반드시수렴한다고할수없는것은?
① (r« +r¤ « ) ② (r« -2r¤ « )
③ ④ { }«
⑤ { -1}«r12
¶¡
n=1
r-11132
¶¡
n=1
r« +(-r)«1111232
¶¡
n=1
¶¡
n=1
¶¡
n=1
¶¡
n=110
[해답 p.194]
(010~047)232교과1(미적분Ⅰ) 2013.7.8 11:33 PM 페이지45 mac02 T
코흐곡선은1906년스웨덴의수학자코흐(von Koch, H. ; 1870~1924)가구
성한곡선으로유한의넓이를둘러싸는무한대길이의곡선이다. 코흐곡선가운데
처음으로시작하는도형이정삼각형일경우오른쪽그림과같이그모양이눈의결
정체와유사하여‘눈송이곡선’이라고한다. 이곡선은다음의과정에의하여만들
수있다.
코흐눈송이의둘레의길이는일정한값으로수렴하지않고무한히커지지만, 한변의길이가
1인정삼각형으로만든코흐눈송이의넓이는등비급수의합을구하는방법을이용하면
으로수렴하는것을알수있다.
코흐의눈송이곡선과같이그영역의넓이는유한하지만그둘레의길이는무한대인
도형을프랙털(fractal)이라고한다. 프랙털이라는용어는프랑스의수학자망델
브로(Mandelbrot, B. ; 1924~2010)에의해고안되었다. ‘조각’, ‘부분’을뜻
하는라틴어‘fractus’에서유래한말로, 단순한선이아니면서복잡하고끊
임없이꺾인것처럼보이고, 무수히쪼개진면으로이루어진도형을일컫
는다.
2'3115
Art
수 학 예 술
프랙털의세계
…A¡ A™ A£
❶정삼각형A¡의각변을삼등분하고, 가운데선분위에그것을한변으로하는정삼각형을그리고
가운데선분은지워서도형A™를만든다.
❷도형A™의각변에대하여❶의과정을반복하여도형A£을만든다.
❸이와같은과정을무한히반복하면코흐눈송이가완성된다.
46 Ⅰ.수열의극한
(010~047)232교과1(미적분Ⅰ) 2013.7.8 11:33 PM 페이지46 mac02 T
망델브로는 1967년영국의과학잡지‘사이언스’에‘영국을둘러싸고있는해안선의총길이는얼마인가?’라
는논문을통해프랙털이론을설명하였다. 이논문에서그는영국의프랙털적인해안선(리아스식해안선)의길이는
어떤단위의자로재느냐에따라얼마든지달라질수있다고주장하였다.
프랙털은일부분이전체와닮은기하학적구조를지니고있는데, 이러한특징을자기유사성이라고한다. 자연
계에서도프랙털이자주발견되는데, 구름, 산맥, 강줄기, 번개, 해안선, 고사리잎, 나뭇가지, 인체조직등이프랙
털의모습을하고있다. 오늘날눈송이곡선을포함한프랙털은천문학, 경제학, 기상학, 그리고영화제작에도활
용되고있다.
망델브로집합으로일컬어지는프랙털의일부분을계속하여확대하면다음과같이전체의모습이반복적으
로나타난다.
수학플러스 47
500`km 500`km 500`km
(010~047)232교과1(미적분Ⅰ) 2013.7.8 11:33 PM 페이지47 mac02 T
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