dokuz eylül Üniversitesi mühendislik fakültesi endüstri...

Dokuz Eylül Üniversitesi

Mühendislik Fakültesi

Endüstri Mühendisliği BölümüEND 2303 İstatistik-I

Bölüm 4: Sürekli Rastgele Değişkenler &

Karışık Rastgele Değişkenler

Dr. Öğr. Üyesi Kemal SUBULAN

Ekim, 2019

Örnek-2

Benzindeki kurşun konsantrasyonu 0.1 ile 0.5 arasında

değişmektedir.

a) Depodan rastgele alınan 1 L benzin konsantrasyonunun 0.2 ile

0.3 arasında bulunma olasılığı nedir?

b) X’in kümülatif dağılım fonksiyonunu bulunuz ve çiziniz.

c) Kümülatif dağılım fonksiyonunu kullanarak P (0.2 < x <0.3)

olasılığını hesaplayınız.

Not: Kümülatif dağılım fonksiyonunun türevi, olasılık yoğunluk

fonksiyonunu verecektir.

𝑓 𝑥 = 12.5𝑥 − 1.25 0.1 < 𝑥 < 0.5

0 𝐴𝑘𝑠𝑖 ℎ𝑎𝑙𝑑𝑒

Örnek-3

𝐹 𝑡 = 0 𝑡 < 0

𝑡 − 99 99 ≤ 𝑡 ≤ 1001 100 < 𝑡

Verilen fonksiyonlar, sürekli bir rastgele değişken için bir

kümülatif dağılım fonksiyonu mudur ?

Örnek-4

𝐹 𝑥 =

0 𝑥 ≤ 0𝑥2 0 < 𝑥 ≤ 1/21

2𝑥

1

2< 𝑥 ≤ 1

1 𝑥 > 1

Bir imalat işletmesindeki elektriksel bir arızayı gidermek

için geçen zaman (saat) bir rastgele değişkenle ifade

edilmektedir. Bu rastgele değişkenin olasılık yoğunluk

fonksiyonu aşağıda verilmiştir. Bu elektriksel arızasının

giderilmesi sırasında oluşan maliyet 𝑥3 ise, beklenen arıza

maliyeti ne kadardır ? (Birim/saat)

Örnek-6

𝑓 𝑥 = 1 0 < 𝑥 < 10 𝐴𝑘𝑠𝑖 ℎ𝑎𝑙𝑑𝑒

Örnek-7:

𝑓 𝑥 =

125

216𝑥 = −1

75

216𝑥 = 1

15

216𝑥 = 2

1

216𝑥 = 3

a) Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonundan yola çıkarak, X rastgele

değişkeninin kümülatif dağılım fonksiyonunu elde ederek çiziniz.

b) 𝑃 0 < 𝑥 ≤ 3 = ?

c) 𝐹 0 = ?

d) 𝑃 −1 < 𝑥 ≤ 0 = ?

e) 𝑃 1 < 𝑥 ≤ 2 = ?

Kesikli Rassal değişken !

Aşağıda kümülatif dağılım fonksiyonu verilen X rastgele

değişkeni için f (0), f (2) ve f (3) olasılık yoğunluk fonksiyonu

değerlerini elde ediniz.

Örnek-8

𝐹 𝑥 =

0 𝑥 < 01

20 ≤ 𝑥 < 2

5

62 ≤ 𝑥 < 3

1 𝑥 ≥ 3

Kesikli Rassal değişken !

Kümülatif dağılım fonksiyonu verilen T sürekli rastgele

değişkeni için f (t) olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulunuz

ve 𝑃(1 < 𝑇 < 3) , 𝑃 𝑇 < 2 ve 𝑃 𝑇 > 4 olasılık

değerlerini hesaplayınız.

Örnek-9

𝐹 𝑡 = 0 𝑡 < 0

1 − 𝑒−𝑡 𝑡 ≥ 0

Karışık Rastgele Değişkenler (Mixture

Random Variables) Bazen kesikli, bazen ise sürekli gibi hareket eden rastgele

değişkenlerdir. Tanımlı olduğu aralığın belli bir bölümündekesikli, diğer bölümlerinde sürekli olan rastgele değişkenlerdir.

Aşağıda kümülatif dağılım fonksiyonu verilen bir T karışıkrastgele değişkeni için Kümülatif dağılım fonksiyonunu çizerekilgili olasılık değerlerini hesaplayınız.

Örnek-10

𝐹 𝑡 =

0 𝑡 < 01

20 ≤ 𝑡 < 1/2

𝑡 1/2 ≤ 𝑡 < 11 𝑡 ≥ 1

𝑃1

4< 𝑇 <

3

4=?

𝑃 −1 < 𝑇 <1

2=?

Örnek-11

Bir X rastgele değişkenine ait dağılım fonksiyonu

(Kümülatif dağılım) aşağıda verilmiştir.

𝐹 𝑥 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 =

0 𝑥 < 0

𝑥 2 0 ≤ 𝑥 < 1

2 3 1 ≤ 𝑥 < 2

1112 2 ≤ 𝑥 < 3

1 3 ≤ 𝑥

a) 𝑃 𝑥 > 1 2 =?

b) 𝑃 2 < 𝑥 ≤ 4 =?

c) 𝑃 𝑥 ≤ 3 =?

d) 𝑃 𝑥 = 1 =?

Örnek-12

Aşağıda karışık bir rastgele değişkene ait kümülatif dağılım

fonksiyonu verilmiştir.

a) Verilen kümülatif dağılım fonksiyonunun grafiğini çiziniz.

b) 𝑃 −3 < 𝑥 ≤1

2=?

c) 𝑃 𝑥 = 0 =?

𝐹 𝑥 =

0 𝑥 < 0𝑥 + 1

20 ≤ 𝑥 < 1

1 𝑥 ≥ 1

X rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda

verilmiştir.

a) a sabitinin değerini bulunuz.

b) 𝑃 𝑥 ≥ 4 =?

c) 𝑃 𝑥 − 5 < 0.5 =?

Örnek-13

𝑓 𝑥 = 𝑎. 𝑥 + 3 2 ≤ 𝑥 < 80 𝐴𝑘𝑠𝑖 ℎ𝑎𝑙𝑑𝑒

Bir ürünün ağırlığı kg. cinsinden X rastgele değişkeni ile

gösterilmektedir. X’in olasılık yoğunluk fonksiyonu verilmiştir.

a) Bir ürünün ortalama ağırlığı ne kadardır ?

b) Ürün ağırlıklarının ortalamadan sapması ne kadardır ? Var(x)

c) İmalatçı bu ürünü 20$’a satmaktadır. 𝑥 < 8.25 kg. ise

müşteriye parası iade edilmektedir. Üretim maliyeti ürünün

ağırlığı ile ilişkili olup, 𝑌 =𝑥

15+ 0.35 dir. Ürün başına

beklenen karı bulunuz.

Örnek-14

𝑓 𝑥 = 𝑥 − 8 8 ≤ 𝑥 ≤ 910 − 𝑥 9 < 𝑥 ≤ 100 𝐴𝑘𝑠𝑖 ℎ𝑎𝑙𝑑𝑒

Örnek-15

X rastgele değişkeni, telefon konuşmasının uzunluğunugöstermektedir. Olasılık yoğunluk fonksiyonu;

𝑓 𝑥 =1

10𝑒 −𝑥

10 𝑥 > 0 olduğuna göre,

a) Bu fonksiyon bir yoğunluk fonksiyonu mudur ?

b) Bu fonksiyonun yoğunluk fonksiyonu olduğunuvarsayarsak, rastgele seçilen bir konuşmanın en fazla 7 dk.ile sonuçlanma olasılığı nedir ?

c) Bir konuşmanın 1 veya 2 dk. sürmesi olasılığı nedir ?

d) Olasılık yoğunluk fonksiyonunun grafiğini çizerek, B ve Cşıkkındaki olasılıkları grafik üzerinde gösteriniz.

Örnek-16

Bir bilgisayarın bozuluncaya kadar fonksiyonunu yerine

getirme süresi bir rastgele değişken olarak tanımlanıyor. Bu

değişkene ait olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir.

a) Bilgisayar bozuluncaya kadar 50-150 saat arasında çalışma

olasılığı nedir ?

b) 100 saatten daha az çalışma olasılığı nedir ?

Örnek-17

𝑓 𝑥 = 𝜆. 𝑒 −𝑥100 𝑥 ≥ 0 𝜆 𝑠𝑎𝑏𝑖𝑡

0 𝑥 < 0

Bir radyo tüpünün ömrü (saat) rastgele değişken olarak

tanımlanıyor ve aşağıdaki olasılık yoğunluk fonksiyonu

elde ediliyor.

Radyonun içindeki 5 tüpten tam olarak ikisinin 150 saat

içinde yenisiyle değiştirilme olasılığı nedir ?

Not: Tüplerin ömürlerini yitirme olaylarının birbirinden

bağımsız olduğunu varsayınız.

Örnek-18

𝑓 𝑥 = 100

𝑥2𝑥 > 100

0 𝑥 ≤ 100

Örnek-20

Örnek-19

𝑓 𝑥 = 1

20 < 𝑥 < 2

0 𝐴𝑘𝑠𝑖 ℎ𝑎𝑙𝑑𝑒

𝑓 𝑦 = 40 + 30 𝑋 𝑖𝑠𝑒 𝐸 𝑌 =?

𝐸 𝑋 = 2 𝑣𝑒 𝐸 𝑋2 = 8 ise;

𝐸 2 + 4𝑋 2 =? E 𝑋2 + 𝑋 + 1 2 =?

Bir X sürekli rastgele değişkenine ait olasılık yoğunluk

fonksiyonu:

𝑓 𝑥 =𝑥

80 ≤ 𝑥 ≤ 4

X rastgele değişkeninin bir fonksiyonu olan başka bir Y sürekli

rastgele değişkeni 𝑌 = 2𝑋 + 8 olarak ifade ediliyor. Y sürekli

rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonunu elde ediniz.

Örnek-21: Bir Rassal Değişkenin Fonksiyonu

olan Rassal Değişkenler

Y kesikli rastgele değişkeni, bir X sürekli rastgele

değişkeninin fonksiyonudur.

X’in olasılık yoğunluk fonksiyonu;

𝑓 𝑥 = 𝜆. 𝑒−𝜆𝑥 𝑥 ≥ 0

0 𝐴𝑘𝑠𝑖 ℎ𝑎𝑙𝑑𝑒

𝑌 = 0 𝑋 ≤ 1 𝜆

1 𝑋 > 1 𝜆

ise P(Y = 0) = ? P(Y = 1) = ?

Örnek-22

Özel Sürekli Olasılık Dağılımları

• Sürekli Üniform (Tekdüze Dağılım)

• Exponensiyal (Üstel) Dağılım

• Normal Dağılım

• Gama Dağılımı

• Beta Dağılımı

• Cauchy Dağılımı

• Lognormal Dağılım

• Laplace (Çift Üstel) Dağılım

İlerleyen derslerde anlatılacak

Birlikte Dağılan Rastgele Değişkenler

(Bivariate) Şimdiye kadar anlatılan derslerde, kesikli yada sürekli tipte dağılan

tek bir rastgele değişken söz konusuydu (Univariate değişkenler).

Birlikte dağılan rastgele değişkenler, iki rastgele değişkenin aynı

anda incelendiği problemlerde ortaya çıkabilmektedir.

Örneğin, bir kimyasal reaksiyon sonucu ortaya çıkan ürün

miktarı ile sıcaklığı aynı anda incelenmek istenebilir. Bu durumda

sorulacak sorular şunlar olabilir:

1. Elde edilen ürün miktarı sıcaklıktan bağımsız mı?

2. Sıcaklık 34C olursa elde edilecek ürün miktarı ne olur?

Benzer problemleri çözebilmek için iki boyutlu rastgele değişkenleri

ve bunların kesikli ve sürekli tiplerini incelemek gerekmektedir.

Kesikli Bileşik Rastgele Değişkenler

X ve Y kesikli rastgele değişkenler olsun.

(X, Y) iki boyutlu kesikli rastgele değişken olarak

isimlendirilir.

(X, Y) için bileşik yoğunluk fonksiyonu: fXY(x,y)

fXY(x,y) = P(X = x ve Y = y)

Herhangi bir fonksiyonun bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonu

olabilmesi için;

1) X ve Y’nin tanım aralığı için fXY (x,y) ≥ 0,

2) şartlarını sağlaması gereklidir.

fXY(x,y)tüm y

1tüm x

Örnek-23 Bir otomobil fabrikasında robotlar tarafından her bir araba üzerinde

2 kaynak ve 3 cıvata bağlanması işleri yapılmaktadır.

X rastgele değişkeni: kusurlu kaynak sayısı/araba başına

Y rastgele değişkeni: iyi bağlanmamış cıvata sayısı/araba başına

X ve Y kesikli rastgele değişkenler olduğundan (X,Y) iki boyutlu

kesikli rastgele değişkendir. Geçmiş verileri kullanarak bileşik

yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi bulunmuştur.

Y

0 1 2 3

X

0 0,840 0,030 0,020 0,010

1 0,060 0,010 0,008 0,002

2 0,010 0,005 0,004 0,001

a) Rastgele seçilen bir arabada, robot tarafından yapılan hiçbir

hatanın bulunmaması olasılığı nedir ?

b) Rastgele seçilen bir arabada, tam olarak bir hatanın bulunması

olasılığı nedir ?

c) Rastgele seçilen bir arabada, kusurlu cıvata sayısının sıfır

olması olasılığı nedir ?

d) Rastgele seçilen bir arabada, kusurlu kaynak sayısının sıfır

olması olasılığı nedir ?

Örnek-23 (Devam)

e) Robotun iki hatalı kaynak yapma olasılığı nedir ?

f) Robotun bir tane hatalı kaynak ve bir tane iyi bağlanmamış

cıvata işlemi yapma olasılığı nedir ?

g) Robotun üç adet cıvatayı iyi bağlamamış olma olasılığı nedir ?

h) Rastgele seçilen bir arabada, tam olarak iki kusurlu kaynak ve

bir hatalı cıvata bulunma olasılığı nedir ?

ı) Rastgele seçilen bir arabada, en az bir kusurlu kaynak ve en az

bir kusurlu cıvata bulunma olasılığı nedir ?

j) Rastgele seçilen bir arabada, en az iki kusurlu cıvata bulunma

olasılığı nedir ?

Örnek-23 (Devam)

Kaynakça D. C. Montgomery and G.C. Runger, (1999). Applied Statistics and Probability for

Engineers, 2nd Edition. John Wiley and Sons, USA.

R. E. Walpole, R. H. Myers, S. L. Myers, (1998). Probability and Statistics for

Engineers and Scientists, 6th Edition. Prentice Hall, USA.

F. Akdeniz. (2010). Olasılık ve İstatistik, 15.Baskı. Nobel Yayın Dağıtım, Adana.

Prof. Dr. G. Miraç Bayhan, Ders notları.

Dr. Öğr. Üyesi Seren Özmehmet Taşan, Ders notları.

Prof. Dr. Ali Kemal Şehirlioğlu Ders notları,

http://kisi.deu.edu.tr/kemal.sehirli/%C4%B0STAT%C4%B0ST%C4%B0K%20I-IV.pdf

http://www.khanacademy.org.tr/matematik/%C4%B0statistik-ve-olasilik/rassal-

(rastgele)-degiskenler/beklenen-deger/lotodan-beklenen-k%C3%A2r-/3106

https://slideplayer.biz.tr/slide/2674577/

https://www.yumpu.com/tr/document/view/50512126/tek-boyutlu-rassal-

deaayiaaykenler/11