Dokuz Eylül Üniversitesi

Mühendislik Fakültesi

Endüstri Mühendisliği

Metalurji & Malzeme Mühendisliği

END 3618 & END 4822 Kalite Planlama & Kontrol

Mayıs - 2019

Bölüm 12: Standart Örnekleme Planları ve

Değişkenlere Göre Kabul Örneklemesi

Dr. Öğr. Üyesi Kemal SUBULAN

Dodge-Roming Örnekleme Planları Dodge-Roming tabloları, ürünlerin niteliklere göre kontrolüne yönelik

olarak, iki tip örneklem planı için (i) Parti toleransı (PT), (ii) Çıkan

ortalama kalite limiti (AOQL) kriterlerine dayanarak tek ve çift katlı

örnekleme muayeneleri için hazırlanmıştır.

Kritik öneme sahip malzeme ve parçalar için, AQL odaklı

örnekleme planlarından (MIL STD 105E) ziyade, PT koruması

sağlayan Dodge-Roming planlarının kullanılması tercih edilmektedir.

Birçok üretici firma artık, 1 milyon adet üretimde karşılaşılan hatalı

parça sayısını (Defective parts per million – ppm) performans

göstergesi olarak kabul etmektedir.Çok küçük AQL’lerin kullanılması

durumunda dahi, fazla sayıda hatalı

parçalarla karşılaşılması söz

konusu olabilmektedir.

Tüketiciye kalite güvence sağlayan

örnekleme planlarıdır.

Özellikle kompleks yapıdaki ürünlerde, bunun etkisi daha da fazladır.

Örneğin, 100 parçadan oluşan bir elektrik devresi üretiminde, üretim

esnasında her bir parça için kabul edilebilir kalite seviyesinin AQL =

%0.5 olması durumunda (Her bir parça üretiminde %0.5 hata olasılığı),

üretilen elektrik devresinin fonksiyonlarını istenilen/uygun şekilde

yerine getirebilme olasılığı:

Düşük AQL seviyesinde dahi, PT koruması sağlayacak örneklem

planlarının kullanılması gerekliliği ortaya konulmuştur. Bu nedenle,

LTPD (Lot tolerance percent defective) planları, ortalama toplam

muayeneyi minimize edecek şekilde tasarlanmıştır.

Dodge-Roming AOQL planları ise, verilen bir AOQL için ortalama

toplam muayene ve belirlenen proses ortalamasını (p) minimize

edecek şekilde tasarlanmıştır. Bu da, Dodge-Roming örnekleme

planlarını tesis içerisinde yarı mamullerin muayenesi için kullanışlı

hale getirmektedir.

Dodge-Roming Örnekleme Planları

Dodge-Roming tablolarında, reddedilen partilerin %100 muayene ilehatasız duruma getirilmesi esasına dayanılarak, toplam muayeneyiminimum kılan kabul planları, ortalama hatalı/kusurlu oranı (p)verildiğinde, gelen parti ölçümlerine göre n ve c değerlerini verir.

Üretici-tüketici arasındaki anlaşmalar, reddedilen partilerin üreticiyegeri gönderilmesi kararına göre yapıldığında ise bu tablolardanyararlanılmaz.

Reddedilen partilerin üreticiye geri gönderilmesinin tüketici içinyaratacağı sakıncalar göz önüne alınarak, uygulamalarda genellikle,reddedilen parti %100 muayene ile bütün hatalı birimlerhatasızlarla değiştirildikten sonra teslim alınmak üzere planlanankabul planları kullanılır.

Dodge-Roming tablolarını kullanmak için yüksek bir prosesortalaması (p) seçildiğinde, herhangi bir büyüklükteki parti içinbelirlenen örneklem ölçümü de büyük olacaktır.

Dodge-Roming Örnekleme Planları

Proses Ortalamasının Tahmin Edilmesi

Dodge-Roming planlarını kullanmak için proses ortalamasının (Satın

alınan malzemeler için ortalama kusurlu oranı) bilinmesi gereklidir.

Eğer tedarikçi ile ilişkiler yeni ise, tedarikçinin proses ortalamasının

kesin ve net bir şekilde bilinmesi söz konusu değildir.

Bu nedenle, uygun örnekleme planlarının oluşturulması için,

tedarikçinin proses ortalaması, geçmiş örneklem verilerine

dayandırılarak tahmin edilebilir.

Proses ortalamasını tahmin etmek için tedarikçiden satın alınan ilk 25

parti için kusurlu oranı – p kontrol grafiği kullanılabilir. Kusurlu

oranı, üst kontrol limitini aşan partiler reddedilir.

Alternatif olarak, tedarikçinin proses ortalaması hakkında daha doğru

bilgiler edinceye kadar, Dodge-Roming tablolarındaki en yüksek

proses ortalaması değerleri kullanılabilir.

Tek Katlı Kabul Örneklemesi için PT Tabloları

Dodge-Roming LTPD tabloları, tüketici riskinin 𝜷 = 𝟎. 𝟏 olacak şekilde

tasarlanmıştır.

Bir başka ifadeyle, belirlenen PT değerinde partinin kabul olasılığı

%10’dur.

Tablolar, %0.5, %1, %2, %3, %4, %5, %7 ve %10 PT değerleri için

geliştirilmiştir.

PT tablolarında, proses ortalaması, ‘0’ ile PT değerinin yarısına kadar

verilmiştir.

Daha yüksek proses ortalamaları için %100 muayene daha ekonomik

olacaktır.

Bu nedenle, eğer proses ortalaması, PT değerinin yarısından fazla ise

kabul örneklemesi yerine %100 muayene gerçekleştirilir.

Örnek - 1

Bir işletme tedarikçisinden N = 5000 birimlik partiler halinde hammaddesatın almaktadır.

Tedarikçinin imalat sürecinde ortalama kusurlu oranı p = %0.25’dir.

Tedarikçi ile yapılan sözleşmede, parti toleransı, PT=%1 olarakbelirtilmiştir (%10 kabul olasılığına karşılık gelen kusurlu oranı),

İşletmenin, tek katlı kabul örneklemesi gerçekleştirdiği bilindiğine göre,Dodge-Roming tablolarını kullanarak;

a) Örnekleme planı için alınması gereken örneklem büyüklüğü (n) vekabul sayısı (c) ne olmalıdır ?

b) İşletme ile tedarikçisinin sürekli olarak aynı parti büyüklüğü ile çalıştığıvarsayılırsa ve işletmenin reddettiği partilerin %100 muayeneye tabitutularak, kusurlu parçaların yenileri ile değiştirildiği varsayılırsa, bu kabulörneklemesi planı için, çıkan ortalama kalite limiti, AOQL (Ürün içinmaksimum kusurlu oranı) ne olacaktır ?

LTPD = %1 Tek Katlı Örnekleme için

Dodge-Roming Tablosu

Çıkan Ortalama Kalite Eğrisi ve AOQL Çıkan Ortalama Kalite Eğrisi (AOQ), reddedilen partiler %100

muayeneden geçirilip, kusurlu parçalar ayıklandıktan sonra tüm

partilerin ortalama kalite düzeyini belirlemeye yarar.

Bir başka deyişle, partinin reddi durumunda %100 muayeneye

geçilir ve uygun olmayan ürünler, uygun olanlar ile değiştirilir ya da

yeniden işlenir. Ortalama çıktı kalitesi, bu tür düzeltmeli örnekleme

planlarının değerlendirilmesinde kullanılmaktadır.

AOQ’nun maksimum değerine, çıkan ortalama

kalite limiti (AOQL) denir. AOQ’nun maksimum

olması, satın alınan malların maksimum kusurlu

mal olduğunu gösterir.

AOQ girdi kalitesi ile çıktı kalitesi arasındaki

ilişkiyi göstermektedir.

Gelen partilerin kusurlu oranı değiştikçe, çıkan

ortalama kalite de değişecektir.

Çıkan Ortalama Kalite (AOQ) Bir örnekleme planı uygulandığında partinin reddedildiği durumlar

olabilir. Reddedilen bu parti, %100 muayeneye tabi tutularakkusurlular ayıklanır ve yerine kusursuz (sağlam) parçalar konulur.

Dolayısıyla, reddedilip te düzeltmeye tabi tutulan söz konusupartide "kusurlu oranı = sıfır" olacaktır.

Ancak, plana göre "kabul edilen" partide belirli bir oranda "kusurlubirim" bulunacaktır. Bu durumda, kabul planı uygulandıktan sonrapartinin kalite düzeyinde bir artış olacağı açıktır.

Özetle, tüketici uygulanan kabul planı ile (kabul veya reddedilen)partiler toplamında bulunması mümkün olan "en kötü kaliteyi"bilmek ister. İşte, reddedilen partiler ayıklanıp, kusurlular atıldıktansonra, bütün partilerdeki ortalama kusurlu yüzdesi ortalama çıkışkalitesini verir.

Bu yüzde, kusursuz partilerin (%100 muayene edilmiş veayıklanmış) ve hala yaklaşık olarak belli bir p kusur yüzdesi içerenpartilerin ortalamasıdır.

Partiler kusurlu üretim oranı (Ortalama Girdi Kalitesi AIQ -Average incoming quality) p olan bir üretimden geliyor olsun,

Parti büyüklüğü N olsun ve tüm fark edilen uygun olmayanürünler sağlam olanlarla değiştirilsin. Bu durumda;

Örnekteki n ürün, uygun olmayanlar sağlam olanlarla değiştirileceğiiçin, kusurlu içermez.

Parti reddedilirse, N – n ürün kusurlu içermez.

Parti kabul edilirse, N – n üründeki kusurlu miktarı, p.(N – n)olacaktır.

Böylece, bir muayene işlemi sonunda kusurlu ürünlerin beklenendeğeri, Pa. p. (N – n) olacaktır (Pa partinin kabul olasılığı).

Çıkan Ortalama Kalitenin (AOQ) Hesaplanması

Bir işletme, N = 10000’lik partiler halinde hammadde satın almakta

olup, giriş kalite kontrol işlemlerinde, n = 89 ve c = 2 olan tek katlı

kabul örneklemesi uygulamaktadır. İşletmeye gelen bir parti malın

kusurlu oranı p = 0.01 ise, parti için çıkan ortalama kalite (kusurlu

oranı) ne olacaktır ?

Not: Örnek hacmi, parti hacmine nazaran çok küçük olduğundan,

kabul olasılığı hesaplanırken, Hipergeometrik dağılım yerine

(İadesiz örnekleme), Binom dağılımı (İadeli örnekleme)

kullanılabilir. Ayrıca, çıkan ortalama kalite (AOQ), yaklaşık olarak

hesaplanabilir.

Örnek - 2

Örnek 3: Çıkan Ortalama Kalite Limiti (AOQL)

Yandaki tabloda, farklı satın alma partilerine (hammadde) ilişkin kusurlu

oranları (Giren ortalama kalite düzeyleri) verilmiştir. İşletme her

seferinde tedarikçisinden N = 5000 adetlik partiler halinde hammadde

satın almakta olup, tek katlı kabul örneklemesi (n =30 ve c = 1)

uygulamaktadır. İşletmenin ürettiği ürüne ilişkin çıkan ortalama kalite

limitini (AOQL) hesaplayıp, yorumlayınız.

AOQ’nun maksimum değeri, AOQL

= 0.028’dir.

Çıkan ortalama ürün kalitesi için,

kusurlu oranı en fazla %2,8

olacaktır.

Örnek 4: Tek Katlı Örnekleme Planında

AOQL Hesaplanması

Tek katlı kabul örneklemesi planı dahilinde (N= 300, n=24, c=2) için

çeşitli kusurlu oranlarına (Giren ortalama kalite düzeyleri) ait

kabul olasılıkları hesaplanarak, aşağıdaki tabloda verilmiştir.

a) Çıkan ortalama kalite limiti değerini bularak yorumlayınız.

b) Partiler halinde üretim gerçekleştiren bu işletme için, parti başına

maksimum kusurlu ürün sayısının ne kadar olmasını beklersiniz ?

Çift katlı örnekleme planı dahilinde (N= 400 , n1=10 , c1=0 , n2=20,

c2=3) için çeşitli kusurlu oranları ve bunlara karşılık gelen P(a) kabul

olasılıkları aşağıdaki tabloda verilmiştir. a) AOQL değerini

hesaplayıp, yorumlayınız. b) Partiler halinde üretim gerçekleştiren bu

işletme için, parti başına maksimum kusurlu ürün sayısının ne kadar

olmasını beklersiniz ?

Örnek 5: Çift Katlı Örnekleme Planında

AOQL Hesaplanması

Bir işletme, tedarikçisinden N = 5000’lik partiler halinde

hammadde satın almaktadır. Tedarikçinin üretim prosesine ait

kusurlu oranının ortalamasının p = %1 olduğu bilinmektedir.

İşletme, çıkan ortalama kalite limitinin AOQL = %3 olmasını

istemekte ve tek katlı kabul örneklemesi uygulamaktadır.

a) Partiden alınması gereken örneklem büyüklüğü (n) ve kabul sayısı

(c) ne olmalıdır ?

b) Bu örneklem planı için parti toleransı, LTPD nedir ? (Bu durumda,

gelen partilerin %90’ının reddedileceği kusurlu oranı nedir ?)

Örnek – 6: Tek Katlı Kabul Örneklemesi için

AOQL Tabloları

AOQL = %3 Olduğu Tek Katlı Örnekleme

Planı için Dodge-Roming Tablosu

Örnek 7: Dodge- Romig Tabloları Kullanarak

Çift Katlı Örnekleme Planının Oluşturulması

N = 5000 birimden oluşan bir partinin ortalama kusurlu yüzdesi

%1’dir. AOQL=%3 olmak üzere, İki Katlı Örnekleme Planını

oluşturunuz.

Bu planın LTPD değeri nedir ? Buna göre % kaç kusurlu içeren

partiler, %90 güvence ile reddedilecektir ?

Değişkenlere Göre Örnekleme Planları Avantajları: (i) Niteliklere göre örnekleme planlarından daha az örneklem

büyüklüğü ile çalışılarak aynı operasyon karakteristik eğrisi elde edilebilir.

Tahribatlı muayene durumunda, değişkenlere göre örnekleme, muayenemaliyetlerini azaltacağından daha kullanışlıdır (Daha küçük örneklem grubu).

(ii) Ölçüm verisi, üretim/imalat süreci hakkında daha fazla bilgi sağlar.

(iii) Kabul edilebilir kalite düzeyinin (AQL) çok küçük olduğu durumlarda;niteliklere göre örnekleme planlarında örneklem büyüklüğü çok fazla olması gerekir.

Dezavantajları: (i) Kalite karakteristiğine ilişkin dağılımın bilinmesi gerekir. Birçokdeğişkenlere göre standart örnekleme planı, kalite karakteristiğinin normaldağıldığını varsayar.

(ii) İncelenen her bir kalite karakteristiği için ayrı ayrı örnekleme planıoluşturulur. Niteliklere göre örnekleme planlarında ise tek bir örnekleme planı ileçalışılır.

(iii) Parti, gerçekte hiç kusurlu ürün içermemesine rağmen, değişkenlere göreörnekleme planı ile reddedilmesi mümkündür.

Değişkenlere Göre Örnekleme Plan Tipleri Değişkenlere göre örnekleme prosedürleri ikiye ayrılır:

(i) Parti veya prosesteki kusurlu oranının (kalite düzeyi) kontrolü,

(ii) Parti veya proses parametrelerinin (Genellikle: ortalama) kontrolü.

Parti veya prosesteki kusurlu oranının kontrolünde, kalite karakteristiği

değişken türünde olduğundan, alt/üst veya her iki spesifikasyon limiti de söz

konusu olabilir.

p partideki kusurlu oranını temsil etmektedir ve kusurlu oranı ile normal

dağılan bir kalite karakteristiği için parti/proses ortalaması µ ve standart

sapması σ arasında fonksiyonel bir ilişki vardır. Bu ilişki normal dağılım

eğrisinin altında kalan olup, 𝑍𝐿𝑆𝐿 veya 𝑍𝑈𝑆𝐿 ile gösterilir.

Standart sapma biliniyorsa, partiden

örneklem alınarak, örneklem ortalamasının

değerine göre, kusurlu oranının kabul

edilebilir seviyede olup/olmadığı araştırılır.

Standart sapma sabit ise, kusurlu oranı

örneklem ortalamasına bağlı olarak değişir.

Standart sapma sabit ise, kusurlu oranı doğrudan doğruya ortalamaya

bağlı olarak değişir.

Ortalama, spesifikasyon limitine ne kadar yakınsa, kusurlu oranı o derece

büyür.

Standart sapma sabit değilse, kusurlu oranı hem ortalama hem de

standart sapmadan etkilenir.

1. Standart sapma belli

1.1. Tek özellik limiti söz konusu ise,

1.2. Çift özellik limiti söz konusu ise,

2. Standart sapma belli değil,

2.1. Tek özellik limiti söz konusu ise,

2.2. Çift özellik limiti söz konusu ise.

Değişkenlere Göre Örnekleme Planları

Prosedür - I Partiden rastgele n hacminde örnek alınarak, örneklem ortalaması 𝑿

ve alt spesifikasyon (özellik) limiti (LSL) arasındaki uzaklık/mesafe,

standart sapma cinsinden hesaplanır:

Hesaplanan bu mesafe ne kadar büyükse, bir başka ifadeyle;

örneklem ortalaması özellik limitinden ne kadar uzakta ise, parti

kusurlu oranı o kadar küçük olacaktır.

Parti kusurlu oranı (p) için aşılmaması gereken bir kritik değer (Eşik

değer) belirlenirse, bu oran k-kritik uzaklığa dönüştürülerek, partinin

kabul veya red kararı verilebilir.Parti ortalaması, özellik limitinden yeterince

uzak ve parti kusurlu oranı kabul edilebilir

seviyede; parti kabul edilir.

Parti reddedilir.

Partiden rastgele n hacminde örnek alınarak, 𝒁𝑳𝑺𝑳 hesaplanır.

Bu uzaklık değeri kullanılarak, standart normal dağılım eğrisi altında

kalan hesaplanarak, parti kusurlu oranı tahmin edilmeye çalışılır, veya;

Elde edilen tahmin değeri 𝑝 , önceden belirlenen maksimum kusurlu

oranı değerini (M) aşarsa, parti reddedilir.

Kalite karakteristiği için üst özellik limiti söz konusu ise test istatistiği:

Standart sapma bilinmiyorsa, test istatistikleri hesaplanırken, σ

yerine örneklem standart sapması s (nokta tahminleyicisi) kullanılır.

Örneklem aralığı, R kullanılarak ta standart sapma tahmin edilebilir.

Prosedür - II

𝑸𝑳𝑺𝑳 standart normal dağılan rastgele değişkeni

kullanılarak, kusurlu oranı p tahmin edilir.

Kalite karakteristiği için hem alt hem de üst özellik limiti

söz konusu ise, prosedür – II’de M metodu kullanılır.

Değişkenlere Göre Örneklem Planlarının

Kullanımı için Dikkat Edilmesi Gereken Hususlar İlgilenilen kalite karakteristiğinin hangi dağılıma uyduğu bilinmelidir. İlgilenilen

kalite karakteristiğinin normal dağılım gösterdiği varsayılır.

Eğer kalite karakteristiği normal dağılım özelliği göstermiyorsa; örneklem ortalaması

ve standart sapması kullanılarak tahmin edilen parti kusurlu oranı, normal dağılım

varsayımı ile hesaplanan değer ile aynı olmayacak ve parti kusurlu oranından

(Popülasyon kusurlu oranı) önemli ölçüde sapma gösterebilecektir.

Özellikle, çok küçük kusurlu oranları ile ilgilenildiğinde, normal dağılmayan bir

kalite karakteristiği için tahmin edilen kusurlu oranı ile normal dağılan için tahmin

edilen kusurlu oranı arasındaki fark oldukça fazla olacaktır.

Örneğin, normal dağılan bir kalite karakteristiği için örneklem ortalaması, üst

spesifikasyon limitinin 3σ gerisinde ise, parti en fazla %0.135 oranında kusurlu

içerirken; kalite karakteristiğinin normal dağılmaması durumunda bu oran, ortalama

spesifikasyon limitinin 3σ gerisinde olmasına rağmen, %1 ve daha fazla olabilmektedir.

Belirlenen Bir Operasyon Karakteristik Eğrisi ile

Değişkenlere Göre Örnekleme Planı Tasarlanması

Prosedür-I’deki k-metodu kullanılarak, belirli bir OC eğrisine sahip

değişkenlere göre kabul örnekleme planı tasarlanabilmektedir.

𝑝1, 1 − 𝛼 ve 𝑝2, 𝛽 ilginlenilen OC eğrisinin iki noktası olsun. 𝑝1 ve

𝑝2 kabul edilebilir kalite seviyesi (AQL) ve reddedilebilir kalite

seviyesidir (LTPD – Parti toleransı).

Değişkenlere göre örnekleme planları için hazırlanan nomograf

kullanılarak, verilen koşulları (𝑝1, 1 − 𝛼 ve 𝑝2, 𝛽) sağlayan örneklem

büyüklüğü (n) ve k-kritik uzaklığı, standart sapmanın bilindiği ve

bilinmediği durumlar için bulunmaktadır.

Belirsizliğin fazla olduğu durumda (standart sapmanın bilinmediği),

örnek hacmi daha fazla olacak; ancak aynı k-kritik uzaklık değeri

kullanılacaktır. Ayrıca, verilen bir örnekleme planı için nomograf

kullanılarak belirli bir kusurlu orana ait kabul olasılığı da bulunabilir.

Değişkenlere Göre Örnekleme

Planlarının Tasarımı için

Kullanılan Nomograf

Örnek 8: Değişkenlere Göre Örnekleme Planı Tasarımı

Bir meşrubat üreticisi, tedarikçisinden meyve sularının doldurulduğucam şişeleri satın almaktadır. Meşrubat üreticisi, cam şişelerinpatlamaya karşı dayanımı (kalite karakteristiği) için 225 psi altspesifikasyon limiti belirlemiştir. Eğer şişelerin %1 veya daha azıbelirlenen limitin altındaysa, meşrubat üreticisi partiyi %95 olasılıkla(𝑝1 = 0.01, 1 − 𝛼 = 0.95) kabul etmektedir.

Eğer şişelerin %6 veya daha fazlası belirlenen alt özellik limitininaltındaysa, parti %90 𝒑𝟐 = 𝟎. 𝟎𝟔, 𝜷 = 𝟎. 𝟏 olasılıklareddedilmektedir. Uygun örneklem planını teşkil ediniz..

Öncelikle, %1 ve %6 kusurlu oranları ile %95 ve %10 kabulolasılığı değerlerini birleştiren doğrular çizilir. Bu doğruların kesişimnoktasındaki k-kritik uzaklık değeri 1.9 olarak elde edilir.

Kalite karakteristiğinin standart sapması verilmediği için (Standartsapma belli değil), kesişim noktasından yukarı doğru çıkan eğrininbitiminde örneklem büyüklüğü n = 40 olarak bulunur.

Gelen partiden rastgele 40 cam şişe alınarak, patlamaya karşı dayanımları ölçülür.

Örneklem ortalaması ve standart sapması kullanılarak 𝒁𝑳𝑺𝑳 test istatistiği hesaplanır.

Eğer 𝒁𝑳𝑺𝑳 ≥ 𝟏. 𝟗 ise parti kabul edilir.

Standart sapmanın bilindiği durumda ise, kesişim noktasından aşağı doğru dik inerek örneklem büyüklüğü n = 15 olarak bulunur.

Standart sapmanın bilindiği durumda, örneklem büyüklüğünde önemli ölçüde azalma sağlanır.

Standart Sapma Belli ve Tek Özellik Limiti Varsa Parti veya prosesten alınması gereken minimum örnek sayısı:

𝑍𝛼, üretici riski kabul olasılığına (1-α) karşılık gelen z standart değeri,

𝑍𝛽, tüketici riski kabul olasılığına (1-β) karşılık gelen z standart değeri,

𝑍1, Kabul edilebilir kalite düzeyi (AQL) için kabul olasılığına (1 − 𝑝1) karşılık

gelen z standart değeri,

𝑍2, Parti toleransı (PT) için kabul olasılığına (1 − 𝑝2) karşılık gelen z standart değeri,

𝑛 =𝑍𝛼 + 𝑍𝛽

𝑍1 − 𝑍2

2

Parti kabul edilir; aksi

durumda reddedilir.

Kritik k-uzaklığı, AQL ve PT için

ayrı ayrı hesaplanır ve ortalaması

alınarak 𝑘 , tek bir k değeri ile

karşılaştırma yapılabilir.

𝑘1 = 𝑍1 −𝑍𝛼

𝑛𝑘2 = 𝑍2 +

𝑍𝛽

𝑛

𝑘 =𝑘1 + 𝑘2

2

I. Yöntem

II. Yöntem

I. Yöntemde elde edilen 𝒌 kritik değeri, düzeltme faktörü𝒏

𝒏−𝟏ile

çarpılarak elde edilen standart değere karşılık gelen kusurlu oranı (M)

standart normal dağılım tablosundan bulunur. Bu değer, partiden ya

da prosesten beklenen kusurlu oranıdır.

Alt veya üst özellik limit değeri için bulunacak standart değer de,

düzeltme faktörü ile çarpılır ve elde edilen standart değere karşılık

gelen kusurlu oranı bulunur.

Elde edilen her iki kusurlu oranı karşılaştırılarak kabul ya da red

kararı verilir. Özellik limiti ile elde edilen standart değere karşılık

gelen kusurlu oranı, beklenen kusurlu oranından küçük ve eşit ise parti

kabul edilir; aksi durumda ise reddedilir.

Örnek 9: Standart Sapma Belli ve Tek bir

Özellik Limiti Söz Konusu ise AQL = %1 ve PT = %8 olarak belirlenen bir işletme için, üretici riskinin (1-α) %5 ve

tüketici riskinin (β) %10 olması halinde, imalattan çıkan ipliklerin gerilme

dirençlerinin kontrolü yapılacaktır.

Mamulün özellik alt limiti 425 gr/m olarak saptanmış olup, prosesin/partinin standart

sapması 20 gr/m olarak bilinmektedir.

a) Partiden alınacak örneklemdeki iplik gerilme dirençlerinin ortalamasının hangi değer

aralığında olması beklenir ?

b) Alınması gereken minimum örnek büyüklüğü ne kadar olmalıdır ?

c) Partiden alınan örnek değerleri: 417, 450, 433, 429, 455, 422, 438, 449, 462 ve 425 ise, I.

yöntem ve II. yöntemi kullanarak, tezgahtan çıkan mamulün ortalama özelliğinin, kabul

edilebilir bir kusurlu oranı verip vermediğini araştırınız. Partiyi kabul eder misiniz ?

d) Mamulün sadece üst özellik limiti olsaydı (450 gr/m), partiyi kabul eder miydiniz ?

Kümülatif Standart Normal Dağılım Tablosu

Örneklemin standart sapması s kullanılarak işlemler yapılır.

Alınması gereken örneklem büyüklüğü aşağıdaki gibi hesaplanır:

Standart sapmanın bilinmediği durumda, örneklem hacmini veren oran bir

düzeltme faktörü ile çarpılır. Aynı zamanda, örnek hacminin

bulunabilmesi için k-kritik mesafe değerinin de hesaplanmış olması

gerekmektedir.

Standart sapma bilinmiyorsa, örneklem hacmi artmaktadır.

Standart sapma, parti (ana kitle, yığın) hakkında bilgi içerir.

Standart Sapma Belli Değil ve Tek Özellik

Limiti Varsa

𝑛 = 1 +𝑘2

2

𝑍𝛼 + 𝑍𝛽

𝑍1 − 𝑍2

2

𝑘 =𝑍𝛼 . 𝑍1 + 𝑍𝛽 . 𝑍2

𝑍𝛼 + 𝑍𝛽

Örnek 10: Standart Sapma Belli Değil ve

Tek bir Özellik Limiti Söz Konusu ise

a) Bir evvelki iplik gerilme direncinin analiz edildiği örnekte, standart

sapmanın bilinmediğini varsayarak ve sadece alt spesifikasyon limitinin

önemli olduğu durumda, k-kritik uzaklık değerini hesaplayıp, alınması

gereken minimum örnek sayısını bulunuz. Hesapladığınız değerleri,

standart sapmanın bilindiği durum ile karşılaştırınız.

b) Partinden alınması gereken minimum örnek sayısı kadar örneğin alınıp;

örnek standart sapmasının 18; iplik gerilme direnci değerlerinin

ortalamasının ise 445 bulunduğunu varsayarak, partinin kabul ya da

red edilme kararını I. yöntem ve II. yöntemi kullanarak veriniz.

Kümülatif Standart Normal Dağılım Tablosu

Kalite karakteristiği için hem alt hem de üst özellik limiti belirlenmiş

ise ve parti için kalite karakteristiği değerlerinin normal dağıldığı

varsayılırsa, örneklem ortalamasının bu iki özellik limitinin tam

ortasında olması beklenir. Buradan, z istatistiği her iki limit için:

z istatistiğine karşılık gelen kusurlu oranı, standart normal dağılım

tablosundan bulunarak, parti hakkında kabul/red kararı verilir.

Standart Sapma Belli ve

Çift Özellik Limiti Söz Konusu ise

∓𝑈𝑆𝐿 − 𝐿𝑆𝐿

2 𝜎aralığında değişecektir.

𝑋 − 𝐿𝑆𝐿

𝜎≥ 𝑘 𝑈𝑆𝐿 − 𝑋

𝜎≥ 𝑘 ise parti kabul edilir. ve

a) Bir evvelki iplik gerilme direncinin analiz edildiği örnekte, Alt ve üst

özellik limitleri 425 ve 450 olarak belirlenmiş, alınan örneklem ortalaması

438 bulunmuş ve parti standart sapmasının 20 olduğu bilindiğine göre, parti

hakkında kabul veya red kararı veriniz.

b) AQL = %1’inin 425 gr/m ve altında olan bir parti ile eşdeğer partinin

özelliklerini bulunuz.

c) PT = %8’inin 425 gr/m ve altında olan bir parti ile eşdeğer partinin

özelliklerini bulunuz.

Örnek-11: Standart Sapma Belli ve

Çift Özellik Limiti Söz Konusu ise

Kümülatif Standart Normal Dağılım Tablosu

Standart Sapma Belli Değil ve Çift Özellik

Limiti Söz Konusu ise

Kalite karakteristiği için hem alt ve hem de üst spesifikasyon limiti

söz konusu ise ve partinin/yığının standart sapma bilinmiyorsa; her iki

limit için ayrı ayrı örneklem planları düzenlemek bir çözümdür.

Çift özellik limiti söz konusu ise, partinin kabul edilebilmesi için

örneklem standart sapmasının, hesaplanan maksimum standart

sapma (MSS) değerinden küçük veya eşit olması gerekmektedir.

MSS hesaplanabilmesi için k-kritik uzaklık değeri hesaplanmış

olmalıdır veya nomograflar kullanılarak bu değer tespit edilebilir.

𝑀𝑆𝑆 =𝑈𝑆𝐿 − 𝐿𝑆𝐿

2 𝑘

Bir evvelki iplik gerilme direncinin analiz edildiği örnekte,

ÜSL = 450, ASL = 425 gr/m olarak belirlenmiş ve partiden alınan 27

örneğin ortalaması 445, standart sapması 18 olarak hesaplanmıştır

(Partinin ilgili kalite karakteristiği için standart sapması

bilinmemektedir). Partinin kabul/red kararını veriniz.

Örnek-12: Standart Sapma Belli Değil ve

Çift Özellik Limiti Söz Konusu ise

Örnek-13

Ürününüzün ana parçalarından birine ait kalite planı değerleriniz şu

şeklidedir; p1= 0.008, p2=0.025, α = 0.04 ve β = 0.08. Bu parça için

uyguladığınız özellik limitleri de 125 – 148 olarak belirlenmiştir.

a) Parça için ilgili kalite karakteristiğine ait standart sapmanın 5 olduğu

biliniyor ise, partiden kaç adet gözlem alınması gereklidir? Aldığınız

örneklemin ortalaması ne olursa partiyi kabul edersiniz, yorumlayınız.

b) Parça için ilgili kalite karakteristiğine ait standart sapmanın

bilinmediğini varsayarsak, bu kez partiden kaç adet gözlem alınması

gereklidir? Belirlediğiniz adet kadar alınan örneklemin ortalaması 128

ise, partiyi kabul etmek için aldığınız örneklemin standart sapması ne

olmalıdır?

Kümülatif Standart Normal Dağılım Tablosu

Proses veya Parti Değişkenleri Açısından

Kalite Güvencesi Veren Planlar

Bu tür planlar, malzemelerin kusurlu oranı açısından değil de,

ortalama kalitesi ya da kalitedeki değişimler açısından güvence

sağlayan planlardır.

Daha çok kutu, torba, varil gibi kaplar içerisinde döküm

şeklinde gelen malzemelerin kabul kontrolü için kullanılır.

Temel varsayım, proses ya da partideki birimlerin incelenen kalite

karakteristiğinin normal dağılım özelliği göstermesidir.

Bu tür planlarda da, standart sapmanın bilindiği ve bilinmediği

durumlar ile tek veya çift özellik limiti olması durumları dikkate

alınmaktadır.

Standart Sapma Belli ve Tek Özellik Limiti

Söz Konusu ise Öncelikle, malzemenin iyi kalite sayılabileceği bir özellik ortalaması

𝑿𝟏ile daha aşağı bir değer taşıdığında istenmeyen kaliteyi oluşturacakbir alt limit ortalama değeri 𝑿𝟐 belirlenir.

Proses veya parti standart sapması bilindiğine göre, plan için α ve βdeğerleri belirlenir.

Malzemenin ortalama kalitesini belirleyen ve kabul limiti olarakadlandırılan 𝑿𝒌 değeri ve örneklem büyüklüğü n hesaplanır.

𝑋𝑘 ve örneklem büyüklüğü n değerleri için üretici riski ve tüketici riskiaçısından aşağıdaki iki eşitlik oluşturulmuştur:

Belirlenen n adet örnek alınıp, ölçümler yapılır ve ölçüm ortalaması 𝑿ö ≥ 𝑿𝒌 ise malzeme kabul edilir.

𝑋𝑘 − 𝑋1

𝜎

𝑛

= −𝑍𝛼

𝑋𝑘 − 𝑋2

𝜎

𝑛

= +𝑍𝛽

Örnek 14: Standart Sapma Belli ve Tek

Özellik Limiti Söz Konusu ise

Belirli kalite karakteristiği açısından malzemenin iyi sayılması için

sahip olması gereken değer 𝑿𝟏= 13.5 ve özellik alt limiti değeri de 𝑿𝟐= 13 olarak belirlenmiştir.

Prosesin standart sapması σ = 0.512 olarak bilinmektedir.

Üretici ve tüketici riski standart değerleri sırasıyla α = 0.05 ve β = 0.10

olarak belirlenmiştir.

Üretici riski kabul olasılığı, iyi sayılacak malzemenin kabul olasılığıdır.

Tüketici riski kabul olasılığı ise, alt limit değerinden daha düşük

malzemeyi kabul etmeme olasılığıdır.

Alınması gereken minimum örneklem büyüklüğünü bulunuz.

Minimum örnek büyüklüğü ile alınan örneklemin ortalamasının

13.30 olması durumunda partinin kabul/red kararını veriniz.

Örnek 15:

Bir işletme tedarikçisinden satın aldığı bir hammadde için emisyon

seviyesi 0.3 ppm’in altında olduğu sürece, partiyi kabul etmektedir.

Bir başka ifadeyle, emisyon düzeyi 0.3 ppm olan bir partinin kabul

edilme olasılığı %95’tir.

Emisyon seviyesi 0.4 ppm’e yükseldiğinde ise kabul olasılığı %10’a

düşmektedir.

Geçmiş deneyimlerden emisyon düzeyi için mümkün olan en yüksek

standart sapma değerinin 𝝈 = 𝟎. 𝟏𝟎 ppm olduğu bilinmektedir.

a) Emisyon seviyesinin hangi değerden yüksek olması halinde, gelen

partiler reddedilir ?

b) Partiden alınması gereken minimum örneklem büyüklüğü ne

kadar olmalıdır ?

Standart Sapma Belli ve Çift

Özellik Limiti Söz Konusu ise Malzeme için alt ve üst spesifikasyon limiti söz konusu ise, kabul limiti de

iki tane olacaktır ( 𝑋𝑘𝑎 ve 𝑋𝑘ü). Örneklem büyüklüğü ve kabul limitleriaşağıdaki 3 eşitliğin ardışık çözümü ile elde edilir.

Tüketici alt limitin altına inmemeyi tercih eder. Bu nedenle, 𝒁𝜷 tek yanlı

olarak alınır. Üretici ise hem alt hem de üst limiti aşmamak ve ortalamadeğerde kalmak ister, bu nedenle 𝒁𝜶 değeri çift yanlı olarak alınır.

1. ve 3. denklemler kullanılarak örneklem büyüklüğü n hesaplanır.

1. denklemde yerine konularak, üst özellik limiti için kabul limitihesaplanır. Alt özellik limiti için normal muayene durumunda kabul limiti, 𝑿𝒌𝒂 = 𝑼𝑺𝑳 + 𝑳𝑺𝑳 − 𝑿𝒌ü olarak hesaplanır. Eğer n değeri, 3. denklemdeyerine konularak hesaplama yapılırsa, bulunacak değerler sıkı muayene içingeçerli olacaktır.

𝑋𝑘ü − 𝑈𝑆𝐿

𝜎

𝑛

= −𝑍𝛽

𝑋𝑘𝑎 − 𝐿𝑆𝐿

𝜎

𝑛

= +𝑍𝛽

𝑋𝑘ü,𝑎 − 𝑋1

𝜎

𝑛

= ±𝑍 𝛼2

Örnek 16: Standart Sapma Belli Çift Özellik

Limiti Söz Konusu ise

Bir yakıt besleme pompasında, motorun eksantrik miline basan dilin

sertliğinin 64 ± 4 Rockwell olması istenir. Daha sert metal, eksantrik

miline zarar verebilir veya kırılabilir. Daha yumuşak metal ise çabuk

aşınır ve eğilebilir.

Isıl işlem prosesinin standart sapması 2 Rockwell’dir.

Üretici ve tüketici riskleri standart değerleri ile kabul edilmektedir.

a) Pompaya monte edilecek dil parçasını oluşturacak metalden kaç

birim örnek alınmalıdır ?

b) Normal muayene için kabul limitleri ne olmalıdır ? Sıkı muayene

yapılmak istenirse kabul limitleri ne olmalıdır ?

Not: Normal muayeneye göre; sıkı muayene ile elde edilen kabul

limitlerinin daha dar olması beklenir.

Standart Sapma Belli Değil ve Tek Özellik

Limiti Söz Konusu ise

Parti veya prosesin standart sapması bilinmiyorsa, karar

aşamasında normal dağılımdan türeyen, t-istatistiğinden yararlanılır.

Partiden belirli miktarda örneklem alınarak, örneklem ortalaması

ve standart sapması hesaplanarak; örneklem için 𝒕ö istatistiği

hesaplanır.

n-1 serbestlik derecesi dikkate alınarak, üretici riski veya tüketici

riski güven düzeyi için t-dağılım tablosundan 𝒕𝒕 değeri okunur.

𝒕ö ≤ 𝒕𝒕 ise parti kabul edilir; aksi halde reddedilir.

Örnek 17: Standart Sapma Belli Değil ve

Tek Özellik Limiti Söz Konusu ise

Bir malzemenin ölçülebilen bir kalite karakteristiği için üst özellik

limiti 24.5 birim olarak belirlenmiştir.

Satın alınan partiden alınan örneklerin ölçümleri sonucu: 22, 27, 23,

25, 26, 24, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 23, 25 ve 24 birimdir.

Partinin durumunu a) Üretici riski b) Tüketici riski açısından

irdeleyiniz.

Standart Sapma Belli Değil ve Çift Özellik

Limiti Söz Konusu ise

Satın alınan malzemenin hem alt hem de üst özellik limiti söz

konusu ise alt ve üst limitler için ayrı ayrı örneklem planı

düzenlenebilir.

Bir başka deyişle, bir alt bir de üst özellik limiti için 𝒕ö istatistiği

değerleri hesaplanır.

Üst özellik limiti için hesaplanan 𝒕ö istatistiği değerini %95, alt

özellik limiti için hesaplanan 𝒕ö istatistiği değerini %90 güven

düzeyi açısından tablo değerleri ile karşılaştırmak uygun olur.

Bir malzeme için özellik toleransı 48 ± 2 olarak belirlenmiştir.

İmalat sürecinin standart sapması bilinmemektedir.

Gelen malzemeden 30 birim örnek alınarak özellik değeri ölçülmüş

ve bu değerlerin ortalaması 𝑿ö = 𝟒𝟕. 𝟓 ve ölçüm değerlerinin

standart sapması s = 5 olarak bulunmuştur.

Malzemenin kabul kontrolünü a) Üretici riski, b) Tüketici riski

açısından gerçekleştiriniz.

Örnek 18: Standart Sapma Belli Değil ve

Çift Özellik Limiti Söz Konusu ise

Kaynakça

Douglas C. Montgomery (2009). Introduction to Statistical Quality Control, John Wiley & Sons, Inc.

Demir Aslan (2003). Proses Kontrol ve Toplam Kalite, DEU Mühendislik Fakültesi Basım Ünitesi.

Şanslı Şenol (2012). İstatistiksel Kalite Kontrol, Nobel Akademik Yayıncılık.

Tayfun Özdemir (2000). İstatistiksel Kalite Kontrol, A.Ü.F.F. Döner Sermaye İşletmesi Yayınları, 62.

Sermin Elevli. Kalite Kontrol Ders Notları.

http://content.lms.sabis.sakarya.edu.tr/Uploads/33730/50954/kal_12(kabul_%C3%B6rneklemesi).pdf

http://www.uzaktanegitimplatformu.com/E_Oner_Kabul_Orneklemesi_EkDersNotu_2016.pdf

http://kisi.deu.edu.tr/cenk.ozler/ Kabul Örneklemesi Ders Notları

Yıllar boyunca hep sayılara inandım ve de nedenleri getiren denklemlere ve mantığa..

Bu şekilde geçen bir yaşamdan sonra, mantık aslında nedir ? diye soruyorum..

Nedenlerine kim karar verir ? Yaşamım matematik, fizik, metafizik & halüsinasyonlar

arasında gidip geldi..

Ve akademik kariyerim en önemli buluşunu yaptım.. Hayatımın da en önemli buluşu bu..

Mantıklı sebepler ancak ve ancak gerçek sevginin gizem dolu denklemlerinde bulunabilir.

John Forbes Nash, Jr.

Nobel ödülü konuşmasından (1994)