dimensi tiga ipa

www.belajar-matematika.com 1

Dimensi Tiga - IPA

Tahun 2005 1. Pada kubus PQRS.TUVW dengan panjang rusuk a satuan, terdapat bola luar

dinyatakan B1 dan bola dalam dinyatakan B2. Perbedaan Volume bola B1 dan bola B2 adalah ........

A . 3 3 : 1 C . 3 : 1 E. 2 : 1

B . 2 3 : 1 D. 3 : 1 Jawab: W V T U O r2 T r1 S R P a Q

Jari jari bola dalam = r2 = OT= PQ2

1

= a2

1

PV = panjang diagonal ruang = a 3

Jari jari bola luar = r1 = OP= 2

1PV =

2

1 a 3

Volume bola dalam B 2 = 32.3

4rπ

Volume bola luar B1 = 31.3

4rπ

Perbedaan Volume bola B1 dan bola B2 adalah:

www.belajar-matematika.com 2

31.3

4rπ : 32.

3

4rπ = 31.r : 32.r

= (2

1 a 3 ) 3 : ( a

2

1) 3

= 8

1a 3 . 3 3 :

8

1a 3 = 3 3 : 1

Jawabannya adalah A

2. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 3 cm dan T pada AD dengan panjang AT = 1 cm. Jarak A pada BT adalah ........

A . 2

1cm C . 3

2

1cm E. 3

3

2cm

B . 33

1cm D. 1 cm

Jawab: H G E F T O 1 D C A B T O 3 A B 3

BT = 22 ATAB +

= 22 1)3( + = 13+ = 4 = 2

Luas ∆ABT = 2

1AB . AT =

2

1BT. AO

2

1. 3 . 1 =

2

1. 2 . AO

3 = 2 AO

AO = 32

1

Jawabannya adalah C

www.belajar-matematika.com 3

3. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Titik P dan Q masing-masing terletak pada pertengahan CG dan HG. Sudut antara BD dan bidang BPQE adalah α , nilai tanα = …

A. 28

3. C. 2 E. 2 2

B. 24

3 D. 2

2

3

Jawab: H M Q G E F P D α C N A 4 B

Tan α = BN

MN

MN = 4

MH = titik berat = HF3

1

FM= BN = (1 - 3

1) HF =

3

2 HF =

3

2. 4 . 2 ; (HF = diagonal bidang = 4 2 )

= 3

82

Tan α = BN

MN =

23

8

4 =

28

12.2

2 =

16

212= 4

32

Jawabannya adalah B

www.belajar-matematika.com 4

Tahun 2006 4. Diketahui kubus ABCD.EFGH. Dari pernyataan berikut:

(1) AH dan BE berpotongan (2) AD adalah proyeksi AH pada bidang ABCD (3) DF tegak lurus bidang ACH (4) AG dan DF bersilangan yang benar adalah nomor… A. (1) dan (2) saja C. (3) dan (4) saja E. (2) dan (4) saja B. (2) dan (3) saja D. (1) dan (3) saja

Jawab: H G E F P D C A B Perhatikan gambar: untuk kondisi 1 AH dan BE tidak berpotongan karena AH dan BE tidak terletak pada bidang yang terpisah Untuk kondisi 2 AD adalah proyeksi AH pada bidang ABCD adalah benar tarik salah satu titik dari gris AH yang berada di luar bidang ABCD yaitu titik H ke bidang ABCD yang membentuk siku –siku ke ujung titik yang lain (titik A), kemudian tarik titik tersebut didapat garis AD untuk kondisi 3. DF tegak lurus bidang ACH d titik P (titik berat ∆ ACH) Untuk kondisi 4 terlihat pada gambar bahwa garis AG dan DF bersilangan, karena masing-masing merupakan garis diagonal ruang yang saling berpotongan

www.belajar-matematika.com 5

Penyataan 2, 3 dan 4 benar Tidak ada jawaban yang tepat

5. Diketahui bidang empat beraturam ABCD dengan panjang rusuk 8 cm. Cosinus sudut antara bidang ABC dan bidang ABD adalah…..

A. 3

1 C. 3

3

1 E. 2

2

1

B. 2

1 D.

3

2

Jawab: D 8cm α C A O B ∠ (ABC,ABD)= ∠COD

OD =OC = 22 OBBD − ; OB = 2

1 AB =

2

1 . 8 = 4

= 22 48 − = 1664 − = 48 = 4 3 Aturan cosinus: CD 2 = OC 2 + OD 2 - 2 OC.OD cos α 2 OC.OD cos α = OC 2 + OD 2 - CD 2

cos α = ODOC

CDODOC

..2

222 −+

= 3.4.3.4.2

8)34()34( 222 −+

=3.32

644848 −+

www.belajar-matematika.com 6

= 3.32

32 = 3

1

Jawabannya adalah A Tahun 2007 6. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6√3 cm. Jarak bidang ACH dan

EGB

adalah….cm.

A. 4√3 C. 4 E. 12

B. 2√3 D.6

Jawab:

H Q G

E R F

S

D C

P

A B

Lihat bidang BDHG : Q

H F R S D B P

yang ditanya adalah jarak SR. SR = DF – FR – DS DF = 6 3 . 3 = 18 (diagonal ruang) FR: ∆EGB mempunyai titik berat di QR ingat titik berat ∆ = 1/3 tinggi QR = 1/3 QB

www.belajar-matematika.com 7

QB = 22 FQFB +

FB = 6 3

FQ = ½ GH = ½ 6. 3 . 2 = 3. 6 QB = 54108 + = 162 = 9 2

QR = 1/3 QB = 1/3. 9 2 = 3 2

FR = 22 QRFQ −

= 1854 − = 36 = 6 DS : ∆ DSP sebangun dengan ∆FQR sehingga DS = FR = 6 Kita cari dan buktikan : PS = 1/3 PH

PH = 22 DPDH + DH = 6 3

DP = ½ DB = ½ 6. 3 . 2 = 3. 6 PH = 54108 + = 162 = 9 2

PS = 1/3 PH = 1/3. 9 2 = 3 2

DS = 22 PSDP − = 1854 − = 36 = 6 (terbukti) Sehingga panjang SR = DF – FR – DS = 18 – 6 – 6 = 6 cm Jawabannya adalah D

www.belajar-matematika.com 8

7. Diketahui kubus ABCD.EFGH. Besar sudut yang dibentuk oleh garis BG dengan bidang

BDHF

adalah ….

A. 900 C. 450 E. 150

B. 600 D. 300

Jawab:

T

H G

E F

D α C

A B

Cara 1 :

∠ (BG,BDHF)= ∠ (BG,BT)

∆BGT siku-sku di T

Sin α = BG

GT ; misal panjang rusuk =a maka BG = a 2 dan GT =

2

1a 2

= 2

22

1

a

a

= 2

1 � a = 30 0

Cara 2 :

∠ (BG,BDHF)= ∠ (BG,BT)

= 2

1∠ (EBG) ; ∆EBG adalah sama sisi sehingga masing-masing

sudutnya

adalah 60 0

= 2

1 . 60 0 = 30 0

Jawabannya adalah D

www.belajar-matematika.com 9

Tahun 2008 8. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jika sudut antara diagonal

AG

dengan bidang alas adalah α , maka sinα adalah ….

A. 32

1 33

1 23

1

B. 22

1 2

1

Jawab:

H G

E F

6 cm

D C

α

A B

Sin α = miringsisi

tegaksisi = AG

CG =

36

6 =

3

1 = 33

1

Jawabannya adalah C

9. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Jarak titik H dan garis AC

adalah….cm.

A. 38 C. 64 E. 24

B. 28 D. 34

Jawab:

H G

E F

8 cm

D C

R

A B

www.belajar-matematika.com 10

Jarak titik H dan garis AC adalah HR

Sudut R adalah tegak lurus.

AH = 8 2 ; AR = 2

1 AC =

2

1 8 2 = 4 2

HR = 22 ARAH −

= 2.162.64 − = 32128 −

= 96 = 6.16 = 4 6

Jawabannya adalah C

Tahun 2009 10. Diketahui prisma segitiga tegak ABC.DEF. Panjang rusuk- rusuk alas AB = 5 cm, BC =

7 cm dan AC = 8 cm. Panjang rusuk tegak 10 cm. Volume prisma tersebut adalah …

cm3.

A. 100 C. 175 E. 200 15

B. 100 3 D. 200

Jawab:

D F

E 10

8

A C

5 7

B

Volume prisma = L alas x tinggi

Luas alas prisma = )).().(( CAsBCsABss −−−

dimana s = 2

1(AB+ BC+ CA)

= 2

1(5+ 7+ 8) = 10

www.belajar-matematika.com 11

L alas = )810).(710).(510(10 −−−

= 2.3.5.10 = 300 = 10 3

Volume Prima = 10 3 . 10

= 100. 3 cm 3

Jawabannya adalah B

11. Luas segi 12 beraturan dengan panjang jari- jari lingkaran luar 8 cm adalah … cm2.

A. 192 C. 162 E. 144

B. 172 D. 148

Jawab:

Luas segi n beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran r adalah:

L = n . 2

1 . r 2 . sin

0360

n

Luas segi 12 beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran luar 8 cm adalah:

L = 12. 2

1. 8 2 . Sin

0

12

360

= 384 . sin 30 0 = 384 . 2

1 = 192

Jawabannya adalah A

12. Diketahui kubus ABCD.EFGH, panjang rusuk kubus 12 cm. Titik P terletak pada

perpanjangan rusuk DC sehingga CP : DP = 1 : 3. Jarak titik P dengan bidang BDHF

adalah … cm.

A. 6 2 C. 12 2 E. 18 2

B. 9 2 D. 16 2

www.belajar-matematika.com 12

Jawab:

H G

E F

D C P

P’

A B

CP : DP = 1 : 3 � CP = 2

1 DC

CP = 2

1 . 12 = 6 �

DP = DC + CP = 12 + 6 = 18

Luas∆BDP = 2

1 . alas x tinggi =

2

1. DP . CB ; (CB ⊥DP)

= 2

1. 18 . 12 = 108

PP ' ⊥ BD maka :

Luas∆BDP = 2

1. BD. PP '

= 2

1. 12 2 . PP ' = 6 2 . PP ' = 108

PP ' = 26

108 =

2

18=

2

18

2

2 =

2

182 = 9 2

Jawabannya adalah D

13. Balok ABCD.EFGH dengan panjang AB = BC = 3 cm dan AE = 5 cm. P terletak pada

AD sehingga AP : PD = 1 : 2 dan Q pada FG sehingga FQ : QG = 2 : 1. Jika adalah

sudut antara PQ dengan ABCD, maka tan = ….

A. 52

1 C. 10

2

1 E. 35

7

1

B. 510

1 D. 14

7

1

www.belajar-matematika.com 13

H Q G

Jawab:

E F

5

D C

P α 3 Q’

P’

A 3 B

α adalah sudut QPQ’

Tan α = datarbidang

tegakbidang =

'

'

PQ

QQ

QQ’ = AE = 5

PQ’ = 22 )''()'( QPPP + ; PP’ = AB = 3 ; P’Q’ = 3 – BP’- CQ’ = 3 – 1 – 1 = 1

= 22 13 + = 10

Tan α =10

5 =

10

5

10

10 = 10

510 =

2

110

Jawabannya adalah C

Tahun 2010

14. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm dan T adalah titik tengah

CG. Jarak titik E ke BT adalah ….

A. 5

35 cm C.

5

185 cm E. 5 5 cm

B. 5

95 cm D.

5

1810 cm

www.belajar-matematika.com 14

Jawab:

H G

E F

T

6 D P C

A 6 B

Dari gambar terlihat Jarak titik E ke BT adalah EP

EP 2 = EB 2 - BP 2 = ET 2 - TP 2

mencari ET:

Lihat ∆ETG � ∠G = siku-siku

ET= 22 GTEG +

EG =diagonal bidang =6 2

GT = 2

1CG =

2

1. 6 = 3

ET= 22

3)26( +

= 972 + = 81 = 9

Titik P terletak diantara titik BT

Misal TP = x maka BP = BT – x

BT= 22 CTBC + ; CT = CG.2

1=2

1. 6 = 3

= 22 36 + = 936 + = 45 = 3 5

EP 2 = EB 2 - BP 2 = ET 2 - TP 2

(6 2 ) 2 - (3 5 - x ) 2 = 81 - x 2

72 - (45 - 6 5 x + x 2 ) = 81 - x 2

72 – 45 + 6 5 x - x 2 = 81 - x 2

72 – 45 – 81 + 6 5 x = x 2 - x 2

www.belajar-matematika.com 15

-54 = - 6 5 x

6

54 = 5 x

5 x = 9

x = 5

9 = TP

EP 2 = ET 2 - TP 2 = 9 2 - (5

9) 2

= 81 - 5

81 =

5

81405 − =

5

324

EP= 5

324=5

18 =

5

18 5

5 =

5

185 cm

Jawabannya adalah C

15. Diketahu kubus ABCD.EFGH. Nilai cosinus sudut antara CF dan bidang ACH adalah

….

A. 6

13 C.

2

13 E. 3

B. 3

13 D.

3

23

Jawab:

H G

E F

P O

D C

Q

A B

Yang dicari adalah )(),( COFC∠

www.belajar-matematika.com 16

F

Cos α = miringbidang

datarbidang = FC

CO

α

O C

Titik P adalah titik tengah AH maka AP = 2

1AH ; misal panjang rusuk =a

= 2

1.a 2

CP = 22 APAC −

= 22 )22

1()2( aa −

= 22

2

12 aa − = 2

2

3a =

2

2.

2

3 2a = 62

1a

PO adalah titik berat segitiga = 3

1CP

CO = CP – PO = CP - 3

1CP =

3

2CP =

3

26

2

1a = 6

3

1a

Cos α = FC

CO =

2

63

1

a

a

= 2

63

1

a

a

2

2 = 3

1.2

112 =

6

1.2 3 =

3

1. 3

Jawabannya adalah B

16. Luas segi 12 beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran luar 8 cm adalah ….

A. 192 cm2 C. 162 cm2 E. 144 cm2

B. 172 cm2 D. 148 cm2

Jawab:

Luas segi n beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran r adalah:

L = n . 2

1 . r 2 . sin

0360

n

Luas segi 12 beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran luar 8 cm adalah:

www.belajar-matematika.com 17

L = 12. 2

1. 8 2 . Sin

0

12

360

= 384 . sin 30 0 = 384 . 2

1 = 192

Jawabannya adalah A

17. Diberikan prisma tegak segitiga ABC.DEF dengan panjang rusuk AB = 6 cm, BC = 3 7

cm, dan AC = 3 cm. Tinggi prisma adalah 20 cm. Volume prisma adalah ….

D F

E

A C

B

A. 55 2 cm3 C. 75 3 cm3 E. 120 3 cm3

B. 60 2 cm3 D. 90 3 cm3

Jawab:

D F

E

20

A 3 C

6 3 7

B

Volume = L alas x tinggi

www.belajar-matematika.com 18

Mencari L alas :

L alas = 2

1x jarak bidang datar x t

Lihat ∆ABC:

B

6 t 3 7

A 3-x x C

t 2 = 6 2 - (3-x) 2 = (3 7 ) 2 - x 2

36 - (9 - 6x + x 2 ) = 63 - x 2

36 - 9 + 6x - x 2 = 63 - x 2

36 – 9 – 63 = - 6x

- 36 = - 6x

x = 6

t 2 = (3 7 ) 2 - x 2

= 63 – 36 = 27

t = 27 = 3 3

L alas = 2

1x jarak bidang datar x t =

2

1. 3 . 3 3

= 2

93

Volume = L alas x tinggi

= 2

93 . 20 = 90 3 cm3

Jawabannya adalah D