deformable bodies

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Deformable Bodies

Volker Jacht01. Juni 2011

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It‘s so fluffy, I‘m gonna die!!

Motivation?

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Motivation

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Deformierbare Körper

• Menschen, Tiere• Haare, Seile• Kleidung, Stoffe• Pflanzen• Fachwerke

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Inhalt• Motivation• Masse-Feder-Systeme• Simulation– Kräfte berechnen– Differentialgleichung– Numerische Lösungsverfahren

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Masse-Feder-System• Körper wird durch viele Partikel repräsentiert, die

untereinander mit Federn verbunden sind

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Masse-Feder-System• Partikel – Masse: – Geschwindigkeit: – Position:

• Feder – Verbunden mit Partikel: , – Normalauslenkung: – Federkonstante: – Dämpfungskoeffizient:

i

j

𝑺𝒊 , 𝒋𝒍 𝟎

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Masse-Feder-System• Erste Idee: ein vereinfachtes 2D-Gitter• Was geschieht bei Kräfteeinwirkung?• Ausprobieren gibt Aufschluss

?

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Masse-Feder-System• Hinzufügen von

Diagonalfedern• => robuster?• Simulation…

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Inhalt• Motivation• Masse-Feder-Systeme• Simulation– Kräfte berechnen– Differentialgleichung– Numerische Lösungsverfahren

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Simulation?• aller Partikel von Interesse

– ist der „jetzt“-Zeitpunkt,ein bekannter Zustand/Bild:

– Benötigt wird das Folgebild nachverstrichener Zeit :

• Berechnung aus Daten/Formeln, die wir kennen!

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Inhalt• Motivation• Masse-Feder-Systeme• Simulation– Kräfte berechnen– Differentialgleichung– Numerische Lösungsverfahren

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Masse-Feder-System• Hookesches Gesetz:• Federkraft auf Partikel durch Partikel über Feder

Längenänderung der FederRichtungsvektor von nach

(3. Newtonsches Gesetz)

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ji

‖𝒙 𝒋−𝒙 𝒊‖

�⃗� 𝑺 , 𝒊 , 𝒋 �⃗� 𝑺 , 𝒋 ,𝒊

ji𝒍𝟎

�⃗� 𝑺 , 𝒊 , 𝒋=𝒌𝑺 ∙(‖𝒙 𝒋− �⃗�𝒊‖− 𝒍𝟎) ∙�⃗� 𝒋−𝒙 𝒊

‖�⃗� 𝒋−𝒙 𝒊‖

ji

‖𝒙 𝒋−𝒙 𝒊‖

�⃗� 𝑺 , 𝒊 , 𝒋 �⃗� 𝑺 , 𝒋 ,𝒊

Masse-Feder-System

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Masse-Feder-System• Dämpungskraft (Reibung): • Dämpfungskraft auf Partikel durch Partikel

über Feder

Relative Geschwindigkeit zwischen und Richtungsvektor von nach

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ji

�⃗� 𝐃, 𝐢 , 𝒋=𝒌𝑫 ∙ (( �⃗� 𝒋−�⃗� 𝒊 )∗𝒙 𝒋− �⃗� 𝒊

‖𝒙 𝒋− �⃗� 𝒊‖) ∙ �⃗� 𝒋− �⃗�𝒊

‖�⃗� 𝒋− �⃗�𝒊‖

Masse-Feder-System

�⃗� 𝑫 , 𝒋 ,𝒊�⃗� 𝐃 , 𝐢 , 𝒋 �⃗� 𝒋

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• +…• ist abhängig von und

(und allen mit )

Masse-Feder-System

𝑭𝑺𝟑

�⃗� 𝑺𝟏

𝑭 𝑺 𝟐

�⃗� 𝑮

�⃗� 𝒊

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Inhalt• Motivation• Masse-Feder-Systeme• Simulation– Kräfte berechnen– Differentialgleichung– Numerische Lösungsverfahren

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Simulation

MMit 2. Newtonsches Gesetz () erhält man eine Differentialgleichung 2. Ordnung:

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Inhalt• Motivation• Masse-Feder-Systeme• Simulation– Kräfte berechnen– Differentialgleichung– Numerische Lösungsverfahren

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Simulation: expliziter Euler• Auswertung der Steigung am Anfang

des Zeitschritts

• Je größer ,umso größer der Fehler

Genaue Lösung

Euler mit versch.

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Simulation: expliziter Euler forEver ( ) {

forall Particles p {p.setForce()

}

// compute spring and damping forces for each particle forall Springs s {

s.getI().addForce();s.getJ().addForce();

}

// Euler with stepsize forall Particles p {

p.addVelocity(p.getForce() * / p.getMass());p.addPosition(p.getVelocity * );

}}

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Simulation: expliztier Euler Test1. Setup und gering 2. Setup und mittel3. Setup und hoch

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Simulation: explizier Euler Test1. Setup und gering 2. Setup und mittel3. Setup und hoch

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Simulation: explizier Euler Test1. Setup und gering 2. Setup und mittel3. Setup und hoch

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Simulation: Instabilität Auf zum Neptun!

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Simulation: expliziter EulerFazit:– Sehr einfach zu implementieren– Ausreichend für „kleine“ Probleme– Hohe Ungenauigkeit im Verhältnis zur Schrittgröße– Steife Systeme erzwingen kleine Zeitschritte,

da sie sonst „explodieren“– Ineffektiv

• Verbesserungsmöglichkeiten?

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Simulation• Taylor-Reihenentwicklung– 1. Grad entspricht dem expliziten Eulerverfahren– Erhöhung des Grads durch weiteres Ableiten erhöht die

Genauigkeit– Rechenaufwendiger– ist für größere immer noch instabil

• Implizite Verfahren– Kompliziert– Erfordern deutlich höheren Rechenaufwand– Auch bei größeren stabil

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Fragen?

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Quellen• http://www.cs.cmu.edu/~baraff/sigcourse/– Differential Equation Basics– Particle Dynamics– Implicit Methods

• Wiki– Masse-Feder-System_(Computergrafik)– Implizites_Euler-Verfahren

• http://public.beuth-hochschule.de/~stevie/mod+sim/node40.html