control de ejecucion de trayectorias para un robot holonomico omnidireccional

8/9/2019 Control de ejecucion de trayectorias para un robot holonomico omnidireccional

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IntroduccionSolucion del Problema

ResultadosConclusiones

Control de ejecucion de trayectorias para un robot

holonomico omnidireccional

Josue R. Rabadan Martin1

1Laboratorio de Robotica Movil y Sistemas AutomatizadosEscuela de Ingenierıa, Universidad La Salle

Universidad La Salle Josue R. Rabadan Control de ejecucion de trayectorias 1/30

Panorama

1 IntroduccionMotivacionDefinicionesPlanteamiento del problema

2 Solucion del ProblemaModelo DinamicoLinealizacionControl de trayectorias optimas por segmentos

ResultadosSimulacion del experimentoVisualizacion del modelo 3DComparacion por estrategia

Panorama

I d i´

MotivacionDefinicionesPlanteamiento del problema

Motivacion

Sobre los robots F-180....Robot movil autonomo.Conectado vıa inalambrica a una unidad de proceso central.Hasta el momento los grupos participantes se han enfocado enresolver el problema de comportamiento cooperativo bajo el

paradigma de multi-agentes.

I t d i´

Motivacion

Introduccion

Motivacion

Introduccion

Motivacion

Introduccion

Motivacion

En la literatura cientıfica sobre robotica movil existen algunosartıculos publicados.

“Near-optimal dynamic trajectory generation and control of an omnidirectional vehicle.” [1]

“Trajectory generation for four wheeled omnidirectionalvehicles.” [2]

IntroduccionM i i´

Motivacion

IntroduccionM ti i´

Solucion del ProblemaResultados

Conclusiones

Motivacion

IntroduccionMotivacion

Conclusiones

Motivacion

En estos artıculos...no se da una descripcion completa del estado del robot

se enfocan en optimizar exclusivamente el tiempo de ejecucion

La solucion que nosotros proponemos es mucho mas versatil.

Introduccion Motivacion

Conclusiones

Motivacion

IntroduccionS

Motivacion

Conclusiones

Motivacion

IntroduccionS l i´ d l P bl

Motivacion

Conclusiones

Definiciones

Region objetivo

IntroduccionS l i´ d l P bl

Motivacion

Conclusiones

DefinicionesPlanteamiento del problema

Definiciones

Segmento

Motivacion

Conclusiones

Definiciones

Trayectoria por segmentos

Motivacion

Conclusiones

Definiciones

Alcanzar region objetivo

MotivacionD fi i i

Conclusiones

Planteamiento del problema

Controlar el robot dentro de la cancha y de algun modo hacerque este siga una determinada trayectoria.

La solucion que proponemos consiste en que al robot se leespecifique una secuencia de regiones objetivo.

El robot alcanzara estas regiones en una secuenciadeterminada.

MotivacionD fi i i

Conclusiones

MotivacionDefiniciones

En cada una de las regiones objetivo se especifican ademas lavelocidad y orientacion deseadas al llegar a dicha region.Podemos decir que el algoritmo es “libre” de escoger la formacon la que cubre las distancias entre estas regiones

intermedias.

R lt d

intermedias.

Resultados

intermedias.

Resultados

intermedias.

Resultados

intermedias.

Resultados

MotivacionDefinicionesPl i d l bl

intermedias.

Resultados

MotivacionDefinicionesPl t i t d l bl

ConclusionesPlanteamiento del problema

Cada una de las regiones objetivo tiene un diametro paraindicar la importancia de la precision deseada de la trayectoriaal pasar por dicho punto.

Resultados

IntroduccionSolucion del ProblemaResultados

Concl siones

Conclusionesp

Conclusiones

Co c us o es

Desarrollamos un algoritmo de control optimo por segmentosel cual esta basado en LQR (regulador cuadratico lineal, porsus siglas en ingles). Esto significa que para cada segmento dela trayectoria se resuelve un problema de control optimo LQR.

Conclusiones

Con este fin nosotros propusimos un modelo dinamico en elespacio de estado para robots omnidireccionales.

Conclusiones

Objetivos

Plantear modelo en el espacio de estado de la dinamica delrobot.

Desarrollar un controlador que permita al robot viajar de una

region inicial a una region final con velocidad y orientacionespecificadas siguiendo una trayectoria determinada.

El controlador debera tener la versatilidad para cambiar elcriterio de optimalidad de una manera eficiente y ası poderaplicar una estrategia distinta entre cada segmento.

Presentar los resultados por medio de una serie de pruebasdentro de un ambiente virtual.

Conclusiones

Objetivos

Conclusiones

Objetivos

Conclusiones

Objetivos

Conclusiones

Modelo DinamicoLinealizacionControl de trayectorias optimas por segmentos

Dinamica de un robot movil omnidireccional

La dinamica del robot puede ser modelada de la siguiente forma

ay R ω

− sin θ1 . . . − sin θ4

cos θ1 . . . cos θ4MR 2

I . . . MR 2

f 1f 2f 3f 4

(ax , ay ) = Aceleracion con la que se transladael robot

Conclusiones

ay R ω

− sin θ1 . . . − sin θ4

I . . . MR 2

f 1f 2f 3f 4

ω = Aceleracion con la que rota elrobot

Conclusiones

ay R ω

− sin θ1 . . . − sin θ4

I . . . MR 2

f 1f 2f 3f 4

θi = Posicion angular del motor i re-specto a un punto de referencia enel robot

Conclusiones

ay R ω

− sin θ1 . . . − sin θ4

I . . . MR 2

f 1f 2f 3f 4

f i = Fuerza escalar aplicada por cadamotor i

ay R ω

− sin θ1 . . . − sin θ4

cos θ1 . . . cos θ4M R 2

I . . . M R 2

f 1f 2f 3f 4

M = Masa del robot

ay R ω

− sin θ1 . . . − sin θ4

I . . . MR 2

f 1f 2f 3f 4

I = Momento de inercia del robot

ay R ω

− sin θ1 . . . − sin θ4

cos θ1 . . . cos θ4M R 2

I . . . M R 2

f 1f 2f 3f 4

R = Radio del cuerpo del robot

M d l Di ´ i V i bl d d

Modelo Dinamico: Variables de estado

x y β x y β µ1 . . . µ4T

(x , y ) = Posicion del robot respecto al la cancha

M d l Di ´ i V i bl d d

x y β x y β µ1 . . . µ4T

β = Posicion angular del robot respecto al la cancha

M d l Di ´ i V i bl d t d

x y β x y β µ1 . . . µ4T

(x , y ) = Vector de velocidad del robot respecto a la cancha

M d l Di ´ i V i bl d t d

x y β x y β µ1 . . . µ4T

β = Velocidad angular del robot respecto a la cancha

M d l Di ´ i V i bl s d st d

x y β x y β µ1 . . . µ4T

(µ1, . . . , µ4) = Posicion angular de las ruedas

z ≡ (x y β x y β z1

µ1 . . . µ4 z2

Particion del vector de estado

Introduccion

Conclusiones

z ≡ (x y β z11

x y β z12

µ1 . . . µ4 z2

Particion del vector de estado

Introduccion

Conclusiones

Modelo Dinamico: Variables de control

u ≡1

f 1 f 2 f 3 f 4

T f i = fuerza escalar aplicada por cada rueda i tangente al piso de la

cancha

Introduccion

Conclusiones

Modelo Dinamico: Ecuacion del Espacio de Estado

La ecuacion del espacio de estado del robot puede ser escrita de la

siguiente manera:z1

A11 A12

A21 A22

B 1B 2

03×3 I3×3

03×3 03×3

Introduccion

Conclusiones

siguiente manera:z1

A11 A12

A21 A22

B 1B 2

A12 = 06×6

Introduccion

Conclusiones

siguiente manera:z1

A11 A12

A21 A22

B 1B 2

0 0 0 00 0 0 00 0 0 0

− sin θ1 − sin θ2 − sin θ3 − sin θ4

cos θ1 cos θ2 cos θ3 cos θ4MR I

Introduccion

Conclusiones

siguiente manera:z1

A11 A12

A21 A22

B 1B 2

B 1(β ) =

0 0 0 00 0 0 00 0 0 0

− sin(θ1 + β ) − sin(θ2 + β ) . . . − sin(θ4 + β )cos(θ1 + β ) cos (θ2 + β ) . . . cos(θ4 + β )

Introduccion

Conclusiones

siguiente manera:z1

A11 A12

A21 A22

B 1B 2

A21(β ) =1

04×3 A212(β )

A212(β ) = 1r

sin(θ1 + β ) − cos(θ1 + β ) −R

sin(θ2 + β ) − cos(θ2 + β ) −R sin(θ3 + β ) − cos(θ3 + β ) −R

sin(θ4 + β ) − cos(θ4 + β ) −R

Introduccion

Conclusiones

siguiente manera:z1

A11 A12

A21 A22

B 1B 2

A22 = 04×4

Introduccion

Conclusiones

siguiente manera:z1

A11 A12

A21 A22

B 1B 2

B 2 = 04×4

Introduccion

Conclusiones

Ahora podemos expresar la ecuacion del espacio de estados de lasiguiente forma:

= A11 06×4A21(β ) 04×4

+ B 1(β )04×4

Claramente este es un modelo dinamico no lineal dado que loscoeficientes de las matrices A21(β ) y B 1(β ) dependen de β , la cual

es una de las variables del espacio de estado del sistema.

Introduccion

Conclusiones

Ahora podemos expresar la ecuacion del espacio de estados de lasiguiente forma:

= A11 06×4A21(β ) 04×4

+ B 1(β )04×4

Claramente este es un modelo dinamico no lineal dado que loscoeficientes de las matrices A21(β ) y B 1(β ) dependen de β , la cual

es una de las variables del espacio de estado del sistema.

Introduccion

Conclusiones

Linealizacion del Modelo

Para linealizar el modelo vamos a necesitar un cambio devariable.

La unica razon por la cual el modelo es no lineal es porque ladirecion del vector de fuerza resultante aplicado por las cuatro

ruedas depende de la posicion angular β .

Introduccion

Conclusiones

Introduccion

Solucion del ProblemaResultadosConclusiones

Introduccion

Digamos que F = F 1 + F 2 + F 3 + F 4 es el vector de fuerzaresultante aplicado a por las ruedas del robot cuando este estaen una posicion β .

Introduccion

Digamos que u sera nuestro vector de control el cualproducira el mismo vector de fuerza resultante F cuando el

robot este en la posicion angular β = 0.

Introduccion

Modelo Dinamico

LinealizacionControl de trayectorias optimas por segmentos

Introduccion

Modelo Dinamico

Introduccion

Modelo Dinamico

robot este en la posicion angular β = 0.Entonces los vectores de control u y u se relacionan de lasiguiente forma

sin(θ1) . . . sin(θ4)

sin(θ1 + β ) . . . sin(θ4 + β )

cos(θ1) . . . cos(θ4)

cos(θ1 + β ) . . . cos(θ4 + β )

u1 1 1 1

1 1 1 1

Introduccion

Modelo Dinamico

Este sistema de tres ecuaciones no esta completamentedeterminado porque u es de 4 dimensiones

Por lo tanto requerimos una cuarta ecuacion para tener unatransformacion de rango completo de u a u.

Introduccion

Modelo Dinamico

Universidad La Salle Josue R Rabadan Control de ejecucion de trayectorias 15/30

Introduccion

Modelo Dinamico

La transformacion lineal de rango completo que mapeabiyectivamente de u a u es entonces

sin(θ)cos(θ)

1 1 1 11 −1 1 −1

sin(θ + β )cos(θ + β )

1 1 1 11 −1 1 −1

Introduccion

Modelo Dinamico

Digamos que Ω(β ) esta definido como

Ω(β ) =

sin(θ)cos(θ)

1 1 1 1

1 −1 1 −1

1 1 1 1

1 −1 1 −1

Introduccion

Modelo Dinamico

Ω(β ) =

sin(θ)cos(θ)

1 1 1 1

1 −1 1 −1

1 1 1 1

1 −1 1 −1

El cambio de variable de u a u puede ahora ser expresadocomo

= Ω(β )uu = Ω(β )−1u

Modelo Dinamico

Ω(β ) =

sin(θ)cos(θ)

1 1 1 1

1 −1 1 −1

1 1 1 1

1 −1 1 −1

Ω(β ) tiene la propiedad de cancelar el efecto no lineal de β enla matriz B 1(β ) ya que B 1(0) = B 1(β )Ω(β )−1

Modelo Dinamico

Modelo Linealizado

El modelo dinamico del robot puede ser linealizado de lasiguiente forma...

A11 06×4

A21(β ) 04×4

B 1(β )04×4

Modelo Dinamico

Modelo Linealizado

A11 06×4

A21(β ) 04×4

B 1(β )04×4

Ω(β )−1u

Modelo Dinamico

Modelo Linealizado

A11 06×4

A21(β ) 04×4

B 1(β )Ω(β )−1

04×4Ω(β )−1

Modelo Dinamico

Modelo Linealizado

A11 06×4

A21(β ) 04×4

B 1(0)04×4

Modelo Dinamico

Modelo Linealizado

A11 06×4

A21(β ) 04×4

B 1(0)04×4

El cual puede ser escrito como

z1 = A11z1 + B 1(0)u

z2 = A21(β )z1(4)

Donde la primer ecuacion es lineal respecto a z1 y u.

Modelo Dinamico

Especificacion de la trayectoria

La trayectoria del robot es especificada por una secuencia de“regiones objetivo”.

Modelo Dinamico

Cada region objetivo especifica un valor deseado para cadavariable de estado ademas de un radio para cada region.

Modelo Dinamico

Tan pronto como el robot entra a la region objetivo este esforzado por el controlador para dirigirse al siguiente objetivo.

U i e sidad La Salle Jos e R Rabada Co t ol de ejec cio de t a ecto ias 18/30

Modelo Dinamico

Tan pronto como el robot entra a la region objetivo este esforzado por el controlador para dirigirse al siguiente objetivo.

Esto da como resultado una trayectoria suave segmentada queguia al robot por todos los objetivos propuestos.

U i id d L S ll J ´ R R b d´ C t l d j i´ d t t i 18/30

Modelo Dinamico

Control de trayectorias optimas por segmentos

La secuencia de regiones objetivo debera ser especificada(dinamica o estrategicamente) por una capa superior de“inteligencia” la cual tomara las desiciones sobre latrayectoria.

U i id d L S ll J ´ R R b d´ C t l d j i´ d t t i 19/30

Modelo Dinamico

La ejecucion de la trayectoria de cada segmento es calculada

como un problema de control LQR independiente.

Modelo Dinamico

La ejecucion de la trayectoria de cada segmento es calculada

como un problema de control LQR independiente.

La estrategia de control para cada segmento es obtenidaencontrando la matriz de retroalimentacion K para conseguirque u = −Kz 1 minimice el ındice de desempeno J dado por

J = ∞

0(z T 1 Qz 1 + u T Ru )dt

Modelo Dinamico

Especificacion del ındice de desempeno

El ındice de desempeno J depende de las especificaciones dedos matrices definidas positivas y simetricas Q y R .

Modelo Dinamico

Para simplificar en nuestra aproximacion Q y R son definidascomo matrices diagonales

Q = diag(w xy , w xy , w β , w v , w v , w β )R = w mI 4×4

Modelo Dinamico

w xy : es el costo del peso de la XY posicion del robot

Modelo Dinamico

w v : es el costo del peso de la XY velocidad del robot

Modelo Dinamico

w β : es el costo del peso de la posicion angular del robot

Modelo Dinamico

w m : es el costo del peso del torque de los motores

Cada region objetivo especifica un conjunto de pesos para elındice de desempeno.

Esto permite aplicar una estrategia de control diferente a cadasegmento.

De esta forma, por ejemplo,

El robot puede ser forzado a moverse rapidamente ensegmentos donde la trayectoria no requiere tener precision.

Ası tambien es libre de rotar en aquellos segmentos en loscuales la orientacion no tiene importancia.

Entonces, este puede limitar su consumo de energıa para solousarla en aquellos objetivos que realmente la requieren.

Simulacion del experimentoVisualizacion del modelo 3DComparacion por estrategia

Problema de prueba

Se probo nuestra estrategia de control con el siguiente

problema:Con un robot con la siguiente distribucion de ruedas

θ1 θ2 θ3 θ4

60 135−135

Problema de prueba

problema:Los parametros del ındice de optimalidad para cada segmento

Par. 1 2 3 4 5 6 7 8 9

w xy 1 5 5 5 5 1 1 1 5w v 1 1 1 1 1 1 1 0.1 0.1w β 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 1 5 5w β

1 0.1 0.1 0.1 0.1 1 0.1 0.1 0.1

w m 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Problema de prueba

problema:

Experimento de simulacion del modelo en 3D desarrollado

con OpenGL

Comparacion por estrategia

Se propuso una serie de tres estrategias distintasNuestro criterio fue el consumo de energia

Alto consumoMedio consumoBajo consumo

Simulacion del experimentoVisualizacion del modelo 3D

Se propuso una serie de tres estrategias distintas

Nuestro criterio fue el consumo de energia

Se propuso una serie de tres estrategias distintas

Nuestro criterio fue el consumo de energia

Comparacion por estrategia... Resultados

Estrategia de bajo consumo

Estrategia de mediano consumo

C i´ d l id d

Comparacion de velocidades

Tabla de comparacion por estrategia:

Estrategia Energıa consumida Tiempo del trayecto

Alto consumo 3250000 16.28Mediano consumo 765000 20.32

Bajo consumo 203000 30.48

ConclusionesTrabajo a futuro

References

Conclusiones

Hemos formulado un modelo en el espacio de estado para un

robot mo il omnidireccional de 4 r edas

robot movil omnidireccional de 4 ruedas.este puede ser facilmente modificado para tener un robot de n

numero de ruedas con n ≥ 3.

El modelo en espacio de estado es no lineal. Sin embargo,mostramos como linealizarlo usando un cambio de variable.

Hemos introducido un algoritmo de control basado en unasecuencia de regiones objetivo.

Cada segmento en la secuencia es calculado como unproblema de control LQR independiente.

Esto permite aplicar una gran variedad de estrategiasdiferentes para cada segmento.

References

Conclusiones

robot movil omnidireccional de 4 ruedas

References

Conclusiones

References

Conclusiones

References

Conclusiones

References

Trabajo a futuro

Dentro del trabajo a futuro se requiere...

Estimar las variables de estado.El desarrollo de una version discreta en el tiempo del modelo yde la estrategia de control.El desarrollo de una capa superior de inteligencia para generardinamicamente la secuencia de objetivos.

References

Trabajo a futuro

References

Trabajo a futuro

References

Bibliografia

T. Kalmar-Nagy, R. D’Andrea and P. Ganguly.Near-optimal dynamic trajectory generation and control of an

gy, g yNear optimal dynamic trajectory generation and control of anomnidirectional vehicle.Robotics and Autonomous Systems , 46:47–64, 2004.

O. Purwin and R. D’Andrea.

Trajectory generation for four wheeled omnidirectional vehicles.American Control Conference , 4979–4984, Jun. 2005.

L. F. Lupian and J.R. Rabadan.Segment-wise optimal trajectory exectution control for four-wheeledomnidirectional mobile robots.

IEEE Latin American Robotics Symposium, 2009.

Resultados

Conclusiones

References

Bibliografia

T. Kalmar-Nagy, R. D’Andrea and P. Ganguly.Near-optimal dynamic trajectory generation and control of an

gy g yNear optimal dynamic trajectory generation and control of anomnidirectional vehicle.Robotics and Autonomous Systems , 46:47–64, 2004.

O. Purwin and R. D’Andrea.

Trajectory generation for four wheeled omnidirectional vehicles.American Control Conference , 4979–4984, Jun. 2005.

L. F. Lupian and J.R. Rabadan.Segment-wise optimal trajectory exectution control for four-wheeledomnidirectional mobile robots.

IEEE Latin American Robotics Symposium, 2009.

control de ejecucion de trayectorias para un robot holonomico omnidireccional

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