cong spiepap
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8/3/2019 cong spiepap
1/9
F a i r E n d - t o - E n d W i n d o w - b a s e d C o n g e s t i o n C o n t r o l
J e o n g h o o n M o
a
a n d J e a n W a l r a n d
b
a
D e p a r t m e n t o f I E O R , U C B e r k e l e y , B e r k e l e y , C A 9 4 7 2 0
b
D e p a r t m e n t o f E E C S , U C B e r k e l e y , B e r k e l e y , C A 9 4 7 2 0
A B S T R A C T
I n t h i s p a p e r , w e d e m o n s t r a t e t h e e x i s t e n c e o f f a i r e n d - t o - e n d w i n d o w - b a s e d c o n g e s t i o n c o n t r o l p r o t o c o l s f o r p a c k e t -
s w i t c h e d n e t w o r k s w i t h F C F S r o u t e r s . O u r d e n i t i o n o f f a i r n e s s g e n e r a l i z e s p r o p o r t i o n a l f a i r n e s s a n d i n c l u d e s
a r b i t r a r i l y c l o s e a p p r o x i m a t i o n s o f m a x - m i n f a i r n e s s . T h e p r o t o c o l s u s e o n l y i n f o r m a t i o n t h a t i s a v a i l a b l e t o e n d
h o s t s a n d a r e d e s i g n e d t o c o n v e r g e r e a s o n a b l y f a s t .
O u r s t u d y i s b a s e d o n a m u l t i c l a s s u i d m o d e l o f t h e n e t w o r k . T h e c o n v e r g e n c e o f t h e p r o t o c o l s i s p r o v e d u s i n g
a L y a p u n o v f u n c t i o n . T h e t e c h n i c a l c h a l l e n g e i s i n t h e c o n s t r u c t i o n o f t h e p r o t o c o l s .
K e y w o r d s : c o n g e s t i o n c o n t r o l , e n d t o e n d , f a i r n e s s , w i n d o w , m a x - m i n f a i r , p r o p o r t i o n a l l y f a i r
1 . I N T R O D U C T I O N
W e s t u d y t h e e x i s t e n c e o f f a i r e n d - t o - e n d c o n g e s t i o n c o n t r o l s c h e m e s . M o r e p r e c i s e l y , t h e q u e s t i o n i s t h a t o f t h e
e x i s t e n c e o f c o n g e s t i o n c o n t r o l p r o t o c o l s t h a t c o n v e r g e t o a f a i r e q u i l i b r i u m w i t h o u t t h e h e l p o f t h e i n t e r n a l n e t w o r k
n o d e s , o r r o u t e r s . U s i n g s u c h a p r o t o c o l , e n d - n o d e s , o r h o s t s , m o n i t o r t h e i r c o n n e c t i o n s . B y s o d o i n g , t h e h o s t s
g e t i m p l i c i t f e e d b a c k f r o m t h e n e t w o r k s u c h a s r o u n d - t r i p d e l a y s a n d t h r o u g h p u t b u t n o e x p l i c i t s i g n a l s f r o m t h e
n e t w o r k r o u t e r s . T h e h o s t s i m p l e m e n t a w i n d o w c o n g e s t i o n c o n t r o l m e c h a n i s m . S u c h e n d - t o - e n d c o n t r o l s c h e m e s
d o n o t n e e d a n y n e t w o r k c o n g u r a t i o n a n d t h e r e f o r e c o u l d b e i m p l e m e n t e d i n t h e I n t e r n e t w i t h o u t m o d i f y i n g t h e
e x i s t i n g r o u t e r s n o r t h e I P p r o t o c o l .
T h e I n t e r n e t c o n g e s t i o n c o n t r o l i s i m p l e m e n t e d i n e n d - t o - e n d p r o t o c o l s . T h e m o t i v a t i o n f o r s u c h p r o t o c o l s i s
t h a t t h e y p l a c e t h e c o m p l e x f u n c t i o n s i n t h e h o s t s a n d n o t i n s i d e t h e n e t w o r k . C o n s e q u e n t l y , o n l y t h e h o s t s t h a t
w a n t t o i m p l e m e n t d i e r e n t c o m p l e x f u n c t i o n s n e e d t o h a v e t h e i r s o f t w a r e u p g r a d e d . A n o t h e r j u s t i c a t i o n , w h i c h i s
m o r e d i c u l t t o m a k e p r e c i s e , i s t h a t b y k e e p i n g t h e n e t w o r k s i m p l e i t c a n s c a l e m o r e e a s i l y .
T C P i s t h e m o s t w i d e l y u s e d e n d - t o - e n d p r o t o c o l i n t h e I n t e r n e t . W h e n u s i n g T C P ,
1
a s o u r c e h o s t a d j u s t s i t s
w i n d o w s s i z e , t h e m a x i m u m a m o u n t o f o u t s t a n d i n g p a c k e t s i t c a n s e n d t o t h e n e t w o r k , t o a v o i d o v e r l o a d i n g r o u t e r s
i n t h e n e t w o r k a n d t h e d e s t i n a t i o n h o s t .
M a n y r e s e a r c h e r s h a v e o b s e r v e d t h a t , w h e n u s i n g T C P , c o n n e c t i o n s w i t h a l o n g r o u n d - t r i p t i m e t h a t g o t h r o u g h
m a n y b o t t l e n e c k s h a v e a s m a l l e r t r a n s m i s s i o n r a t e t h a t t h e o t h e r c o n n e c t i o n s .
2 4
A b o t t l e n e c k i s a n o d e w h e r e
p a c k e t s a r e b a c k l o g g e d s o t h a t i t s t r a n s m i s s i o n r a t e l i m i t s t h e r a t e o f t h e c o n n e c t i o n s t h a t g o t h r o u g h i t . T h e o b s e r v e d
b i a s c a n b e e x p l a i n e d a s f o l l o w s . W h i l e a h o s t d o e s n o t d e t e c t c o n g e s t i o n , i t i n c r e a s e s i t s w i n d o w s i z e b y o n e u n i t
p e r r o u n d - t r i p t i m e o f t h e c o n n e c t i o n . A c c o r d i n g l y , t h e w i n d o w s i z e o f a c o n n e c t i o n w i t h a s h o r t p r o p a g a t i o n d e l a y
i n c r e a s e s f a s t e r t h a n t h a t o f a c o n n e c t i o n w i t h a l o n g e r p r o p a g a t i o n d e l a y . C o n s e q u e n t l y , a l o n g - d e l a y c o n n e c t i o n
l o o s e s o u t w h e n c o m p e t i n g w i t h a s h o r t - d e l a y c o n n e c t i o n .
B a s e d o n t h i s o b s e r v a t i o n , F l o y d a n d J a c o b s o n
5
p r o p o s e d a c o n s t a n t r a t e a d j u s t m e n t " a l g o r i t h m . H a n d e r s o n e t
a l
6
s i m u l a t e d a v a r i a t i o n o f t h i s s c h e m e . T h e y r e p o r t t h a t i f t h e r a t e o f i n c r e a s e o f t h e w i n d o w s i z e i s n o t e x c e s s i v e ,
t h e n t h i s s c h e m e i s n o t h a r m f u l t o t h e o t h e r c o n n e c t i o n s t h a t u s e t h e o r i g i n a l T C P s c h e m e . M o r e o v e r , a s e x p e c t e d ,
t h i s s c h e m e r e s u l t s i n b e t t e r p e r f o r m a n c e f o r c o n n e c t i o n s w i t h l o n g e r p r o p a g a t i o n t i m e . H o w e v e r , c h o o s i n g t h e
p a r a m e t e r s o f s u c h a l g o r i t h m s i s s t i l l a n o p e n p r o b l e m .
T h u s , a l t h o u g h e n d - t o - e n d p r o t o c o l s s u c h a s t h o s e i m p l e m e n t e d i n T C P a r e v e r y d e s i r a b l e f o r e x t e n s i b i l i t y a n d
s c a l a b i l i t y r e a s o n s , t h e y a r e u n f a i r . R o u g h l y , a f a i r s c h e m e i s o n e t h a t d o e s n o t p e n a l i z e s o m e u s e r s a r b i t r a r i l y .
A c c o r d i n g l y , t h e q u e s t i o n t h a t a r i s e s n a t u r a l l y i s t h e e x i s t e n c e o f f a i r e n d - t o - e n d c o n g e s t i o n p r o t o c o l s .
O t h e r a u t h o r i n f o r m a t i o n : S e n d c o r r e s p o n d e n c e t o J . M o
J . M o : E - m a i l : j h m o @ e e c s . b e r k e l e y . e d u ; W W W : h t t p : p a t h . b e r k e l e y . e d u ~ j h m o
J . W a l r a n d : E - m a i l : w l r @ e e c s . b e r k e l e y . e d u ; W W W : h t t p : p a t h . b e r k e l e y . e d u ~ w l r
-
8/3/2019 cong spiepap
2/9
I n a n e a r l y p a p e r , J a e
7
s h o w s t h a t p o w e r c a n n o t b e o p t i m i z e d i n a d i s t r i b u t e d m a n n e r .
C h i u a n d J a i n
8
s h o w t h a t i n a n e t w o r k w i t h N u s e r s t h a t s h a r e a u n i q u e b o t t l e n e c k n o d e , a l i n e a r i n c r e a s e
a n d m u l t i p l i c a t i v e d e c r e a s e a l g o r i t h m c o n v e r g e s t o a n e c i e n t a n d f a i r e q u i l i b r i u m . M o s t c u r r e n t i m p l e m e n t a t i o n s
o f T C P w i n d o w - b a s e d c o n t r o l u s e a l i n e a r i n c r e a s e a n d m u l t i p l i c a t i v e d e c r e a s e o f t h e w i n d o w s i z e , a s s u g g e s t e d
b y J a c o b s o n .
1
H o w e v e r , t h e s e i m p l e m e n t a t i o n s c o n t r o l t h e s i z e o f t h e i r w i n d o w a n d n o t t h e i r t r a n s m i s s i o n r a t e .
M o r e o v e r , s i m p l e e x a m p l e s s h o w t h a t t h e r e s u l t d o e s n o t h o l d f o r n e t w o r k s w i t h m u l t i p l e b o t t l e n e c k n o d e s .
S h e n k e r
9
c o n s i d e r s a l i m i t e d c l a s s o f p r o t o c o l s a n d a r g u e s t h a t n o a g g r e g a t e f e e d b a c k c o n t r o l i s g u a r a n t e e d f a i r . "
T h i s s t a t e m e n t s u g g e s t s t h a t e n d - t o - e n d c o n t r o l c a n n o t g u a r a n t e e c o n v e r g e n c e t o a f a i r e q u i l i b r i u m . U n f o r t u n a t e l y ,
t h e c l a s s o f p r o t o c o l s t h a t h e c o n s i d e r s e x c l u d e s m a n y i m p l e m e n t a b l e e n d - t o - e n d p r o t o c o l s . J a i n a n d C h a r n y r e f e r s
t o S h e n k e r
9
t o j u s t i f y t h e n e c e s s i t y o f s w i t c h - b a s e d c o n t r o l f o r f a i r n e s s .
1 0 , 1 1
R e c e n t l y , K e l l y e t a l
1 2
e x h i b i t e d a n a g g r e g a t e f e e d b a c k a l g o r i t h m t h a t c o n v e r g e s t o a p r o p o r t i o n a l l y f a i r p o i n t .
I n t h e i r s c h e m e , e a c h u s e r i s i m p l e m e n t i n g a l i n e a r i n c r e a s e a n d m u l t i p l i c a t i v e d e c r e a s e o f i t s r a t e b a s e d o n a n
a d d i t i v e f e e d b a c k f r o m t h e r o u t e r s t h e c o n n e c t i o n g o e s t h r o u g h . T h i s p r o t o c o l r e q u i r e s t h a t t h e r o u t e r s c a n s i g n a l
t h e d i e r e n c e b e t w e e n t h e i r l o a d a n d t h e i r c a p a c i t y . I n o u r p r o t o c o l , e a c h h o s t c o n t r o l s i t s w i n d o w s i z e n o t i t s
r a t e , b a s e d o n t h e t o t a l d e l a y . W i n d o w - b a s e d a l g o r i t h m s a r e u s e d t o c o n t r o l e r r o r s . A r a t e - b a s e d c o n t r o l m u s t b e
a u g m e n t e d w i t h a n o t h e r r e t r a n s m i s s i o n p r o t o c o l f o r e r r o r c o n t r o l . T h e w i n d o w - b a s e d c o n t r o l a l g o r i t h m i n t e g r a t e s
t h e s e t w o f u n c t i o n s o f e r r o r a n d c o n g e s t i o n c o n t r o l . A l t h o u g h t h e d e l a y i s a n a d d i t i v e c o n g e s t i o n s i g n a l , t h i s i s l e s s
i n f o r m a t i v e t h a n K e l l y ' s . O u r p r o t o c o l c a n b e v i e w e d a s a r e n e m e n t o f T C P c o n g e s t i o n c o n t r o l a l g o r i t h m s .
I n t h i s p a p e r w e r e v i s i t t h e f u n d a m e n t a l q u e s t i o n o f t h e e x i s t e n c e o f f a i r e n d - t o - e n d p r o t o c o l s a n d w e p r o v i d e a
p o s i t i v e a n s w e r b y c o n s t r u c t i n g e x p l i c i t l y s u c h p r o t o c o l s .
2 . M O D E L
W i n d o w o w c o n t r o l i s u s u a l l y m o d e l e d a s a c l o s e d q u e u i n g n e t w o r k .
1 3 1 5
F o r i n s t a n c e , M i t r a e t a l
1 3
s t u d y t h e
w i n d o w o w c o n t r o l o f a s i n g l e c o n n e c t i o n w i t h x e d p r o p a g a t i o n d e l a y i n a p r o d u c t f o r m n e t w o r k . T h e y d e r i v e d
t h e o p t i m a l w i n d o w s i z e a n d a n a d a p t i v e w i n d o w - b a s e d c o n t r o l s c h e m e b a s e d o n t h e a n a l y t i c a l m o d e l .
I n t h i s p a p e r w e c o n s i d e r a c l o s e d m u l t i c l a s s u i d n e t w o r k w i t h M l i n k s a n d N c o n n e c t i o n s . W e d e n e t h a t
m o d e l n e x t . T h e s e n d e r o f c o n n e c t i o n i i = 1 ; : : : ; N e x e r c i s e s a w i n d o w - t y p e o w c o n t r o l a n d a d j u s t s t h e w i n d o w
s i z e w
i
o f t h e c o n n e c t i o n . A c o n n e c t i o n f o l l o w s a r o u t e t h a t i s a s e t o f l i n k s . L i n k j j = 1 M h a s c a p a c i t y ,
o r t r a n s m i s s i o n r a t e , c
j
. W e d e n e t h e m a t r i x A = A
i j
i = 1 ; : : : ; N ; j = 1 M w h e r e A
i j
= 1 i f c o n n e c t i o n
i u s e s l i n k j a n d A
i j
= 0 , o t h e r w i s e . L e t a l s o A
i
= f j A
i j
= 1 g b e t h e s e t o f l i n k s t h a t c o n n e c t i o n i u s e s a n d
A
j
= f i A
i j
= 1 g t h e s e t o f c o n n e c t i o n s t h a t u s e l i n k j
E a c h c o n n e c t i o n i h a s a x e d r o u n d - t r i p p r o p a g a t i o n d e l a y d
i
, w h i c h i s t h e m i n i m u m d e l a y b e t w e e n t h e s e n d i n g
o f a p a c k e t b y t h e s e n d e r h o s t a n d t h e r e c e p t i o n o f i t s a c k n o w l e d g m e n t b y t h e s a m e h o s t . W e a s s u m e t h a t t h e
p r o c e s s i n g t i m e s a r e n e g l i g i b l e . A t y p i c a l a c k n o w l e d g m e n t d e l a y c o m p r i s e s d
i
a n d s o m e a d d i t i o n a l q u e u i n g d e l a y i n
b o t t l e n e c k r o u t e r s . L e t x
i
b e t h e o w r a t e o f t h e i - t h c o n n e c t i o n f o r i = 1 ; : : : ; N . F o r j = 1 M , w e a s s u m e t h a t
e v e r y l i n k j h a s a n i n n i t e b u e r s p a c e a n d w e d e s i g n a t e b y q
j
t h e w o r k t o b e d o n e b y l i n k j . B y d e n i t i o n , q
j
i s
t h e r a t i o o f t h e q u e u e s i z e i n t h e b u e r o f l i n k j d i v i d e d b y t h e c a p a c i t y c
j
. T h e s e r v i c e d i s c i p l i n e o f t h e l i n k s i s r s t
c o m e - r s t s e r v e d F C F S .
W e c o n s i d e r a u i d m o d e l o f t h e n e t w o r k w h e r e t h e p a c k e t s a r e i n n i t e l y d i v i s i b l e a n d s m a l l . T h i s m o d e l i s
r e p r e s e n t e d b y f o l l o w i n g e q u a t i o n s :
A
T
x , c 0 1
Q A
T
x , c = 0 2
X A q + d = w 3
x 0 q 0 4
w h e r e
x = x
1
; : : : ; x
N
T
c = c
1
; : : : ; c
M
T
q = q
1
; : : : ; q
M
T
d = d
1
; : : : ; d
N
T
X = d i a g x Q = d i a g q
-
8/3/2019 cong spiepap
3/9
T h e i n e q u a l i t i e s 1 e x p r e s s t h e c a p a c i t y c o n s t r a i n t s : t h e s u m o f t h e r a t e s o f o w s t h a t g o t h r o u g h a l i n k c a n n o t
e x c e e d t h e c a p a c i t y o f t h e l i n k . T h e i d e n t i t i e s 2 c a n b e w r i t t e n a s
q
j
A
T
x
j
, c
j
= 0 f o r j = 1 ; : : : ; M :
T h e j - t h i d e n t i t y m e a n s t h a t i f t h e r a t e A
T
x
j
t h r o u g h l i n k j i s l e s s t h a n t h e c a p a c i t y c
j
o f t h e l i n k , t h e n t h e q u e u e
s i z e q
j
a t t h a t l i n k i s e q u a l t o 0 . F i n a l l y , t h e i d e n t i t i e s 3 , w h i c h c a n b e w r i t t e n a s
x
i
A q
i
+ d
i
= w
i
i = 1 ; : : : ; N ;
m e a n t h a t t h e t o t a l n u m b e r o f p a c k e t s w
i
f o r e a c h c o n n e c t i o n i i = 1 ; : : : ; N , i s e q u a l t o t h e n u m b e r x
i
d
i
o f p a c k e t s
i n t r a n s i t i n t h e t r a n s m i s s i o n l i n e s p l u s t h e t o t a l n u m b e r x
i
A q
i
o f p a c k e t s o f c o n n e c t i o n i s t o r e d i n b u e r s a l o n g
t h e r o u t e . T o c l a r i f y t h e m e a n i n g o f x
i
A q
i
, n o t e t h a t
x
i
A q
i
= x
i
X
j
A
i j
q
j
=
X
j
A
i j
x
i
q
j
N o w , c
j
q
j
i s t h e n u m b e r o f p a c k e t s i n t h e b u e r o f l i n k j a n d a f r a c t i o n x
i
= c
j
o f t h e s e p a c k e t s a r e o f c o n n e c t i o n i
T h u s , c
j
q
j
x
i
= c
j
= x
i
q
j
i s t h e b a c k l o g o f p a c k e t s o f c o n n e c t i o n i i n t h e b u e r o f l i n k j . S u m m i n g o v e r a l l j s u c h
t h a t c o n n e c t i o n i g o e s t h r o u g h l i n k j s h o w s t h a t x
i
A q
i
i s t h e t o t a l b a c k l o g o f p a c k e t s o f c o n n e c t i o n i
N o t e t h a t o u r m o d e l a s s u m e s t h a t , f o r e a c h l i n k j , t h e c o n t r i b u t i o n t o t h e q u e u e s i z e o f c o n n e c t i o n i i s p r o p o r t i o n a l
t o i t s o w r a t e x
i
. T h i s a s s u m p t i o n i s c o n s i s t e n t w i t h t h e u i d a s s u m p t i o n u n d e r w h i c h t h e p a c k e t s a r e i n n i t e l y
d i v i s i b l e .
W e r e w r i t e t h e i - t h i d e n t i t y o f 3 a s f o l l o w s :
x
i
=
w
i
D
i
w h e r e D
i
= d
i
+ A q
i
5
T h e i d e n t i t y 5 m e a n s t h a t t h e o w r a t e x
i
o f c o n n e c t i o n i i s e q u a l t o t h e r a t i o o f t h e w i n d o w s i z e w
i
o f t h e
c o n n e c t i o n d i v i d e d b y i t s t o t a l r o u n d - t r i p d e l a y D
i
. T h e t o t a l d e l a y D
i
c o n s i s t s o f x e d p r o p a g a t i o n d e l a y d
i
p l u s a
v a r i a b l e q u e u i n g d e l a y w h i c h d e p e n d s o n c o n g e s t i o n i n t h e n e t w o r k . A c c o r d i n g l y , t h e o w r a t e x
i
o f c o n n e c t i o n i i s
a f u n c t i o n o f n o t o n l y t h e w i n d o w s i z e w
i
o f t h e c o n n e c t i o n b u t a l s o o f t h e w i n d o w s i z e s o f t h e o t h e r c o n n e c t i o n s .
W h e n t h e n e t w o r k i s n o t c o n g e s t e d , q = q
1
; : : : ; q
M
= 0 a n d t h e o w r a t e s a r e p r o p o r t i o n a l t o t h e w i n d o w s i z e s .
H o w e v e r , a s c o n g e s t i o n b u i l d s u p , q 6= 0 a n d t h e r a t e s a r e n o l o n g e r l i n e a r i n t h e w i n d o w s i z e s .
W e p r o v e t h a t t h e o w r a t e s x a r e a w e l l - d e n e d f u n c t i o n o f t h e w i n d o w s i z e s w . T h i s r e s u l t i s i n t u i t i v e l y c l e a r a n d
i t s p r o o f i s a c o n r m a t i o n t h a t t h e m o d e l c a p t u r e s t h e e s s e n c e o f t h e p h y s i c a l s y s t e m . B e f o r e p r o v i n g t h e u n i q u e n e s s
o f t h e r a t e v e c t o r x , w e r s t s h o w t h e e x i s t e n c e o f a r a t e v e c t o r x t h a t s o l v e s t h e r e l a t i o n s t h a t c h a r a c t e r i z e t h e u i d
m o d e l . A l l t h e p r o o f s o f t h i s p a p e r a r e g i v e n i n M o e t a l .
1 6
T h e o r e m 1 . F o r g i v e n v a l u e s o f w ; A ; d ; c , t h e r e e x i s t s a t l e a s t o n e r a t e v e c t o r x w h i c h s a t i s e s t h e r e l a t i o n s
1 - 4 .
T h e o r e m 2 . G i v e n w ; A ; d ; c , t h e o w r a t e x = x
1
x
M
s a t i s f y i n g t h e e q u a t i o n s 1 - 4 i s u n i q u e .
A l t h o u g h t h e r a t e v e c t o r i s u n i q u e l y d e t e r m i n e d f r o m t h e w i n d o w s i z e s , t h e w o r k l o a d v e c t o r q g e n e r a l l y i s n o t , a s
t h e f o l l o w i n g e x a m p l e s h o w s . C o n s i d e r a n e t w o r k w i t h t w o b o t t l e n e c k l i n k s i n s e r i e s w i t h t h e s a m e c a p a c i t y c a n d a
s i n g l e c o n n e c t i o n w i t h w i n d o w s i z e w I f
w
d
c , t h e n t h e q u e u e s b u i l d u p i n t h e l i n k s . F o r t h i s n e t w o r k , a n y v e c t o r
q
1
q
2
s u c h t h a t q
1
+ q
2
=
w
c
, d i s a s o l u t i o n o f t h e e q u a t i o n s 1 - 3 .
T h e f o l l o w i n g c o r o l l a r y s h o w s a s u c i e n t c o n d i t i o n f o r q t o b e d e t e r m i n e d u n i q u e l y . L e t A
B
b e t h e s u b - m a t r i x
o f A c o r r e s p o n d i n g t o s e t B o f b o t t l e n e c k s .
C o r o l l a r y 1 . I f r a n k A
B
i s e q u a l t o t h e n u m b e r B o f b o t t l e n e c k l i n k s , t h e n w ; A ; c ; d , u n i q u e l y d e t e r m i n e s t h e
v e c t o r q T h e f o l l o w i n g l e m m a p r o v i d e s s u c i e n t c o n d i t i o n s f o r l i n k s n o t t o b e b o t t l e n e c k s .
L e m m a 2 . 1 . F o r a n y g i v e n w i n d o w s i z e v e c t o r w 0 , 1 m a t r i x A , a n d d i a g o n a l m a t r i x D
a i f A
j
T
D
1
w c
j
, t h e n q
j
= 0
-
8/3/2019 cong spiepap
4/9
b A
T
D
1
w c i f a n d o n l y i f q = 0
T h e a b o v e l e m m a c a n b e p r o v e d i f w e o b s e r v e t h a t
w
i
d
i
i s a n u p p e r b o u n d o n x
i
T h e c o n v e r s e o f p a r t a i s n o t a l w a y s t r u e , a s c a n b e s e e n f r o m t h e n e x t e x a m p l e . L e t M = 2 N = 2 C =
5 5
T
d = 1 1
T
a n d
A =
1 1
1 0
I f w = 1 0 2 0 , c l e a r l y , q
2
= 0 , t h e o w r a t e o u t o f r e s o u r c e 1 5 , b u t A
T
2
D
1
w = 1 0 5
L e t F W ! X b e t h e m a p p i n g f r o m t h e w i n d o w s p a c e W t o a o w r a t e s p a c e X d e n e d b y 1 - 4 . F
i s a c o n t i n u o u s f u n c t i o n b u t i s n o t a l w a y s d i e r e n t i a b l e a s t h e n e x t e x a m p l e s h o w s . C o n s i d e r t h e n e t w o r k a n d
c o n n e c t i o n s i n g u r e 1 a . T w o u s e r s a r e s h a r i n g o n e l i n k a n d e a c h u s e s a n o t h e r l i n k . F i g u r e 1 b i s a p l o t o f x
1
USER1 (d2=1)
USER1(d1=1)
C1=2 C2=3 C3=2
X1
1
2
(b)
(c)
W1
W2X2
X1
1
2
1 22
2
x1+x2 =3
x1=2
x2=2(1,2)
(2,1)
(0)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(a)
IVI II III
line 1
line 2
F i g u r e 1 . a n e t w o r k t o p o l o g y b o w r a t e x v s . w i n d o w s i z e c m a p p i n g b e t w e e n x a n d w
a l o n g t h e h o r i z o n t a l d o t t e d l i n e 1 i n g u r e 1 c . F i g u r e 1 b s h o w s t h a t x
1
i s a c o n t i n u o u s n o n d e c r e a s i n g f u n c t i o n
o f t h e w i n d o w s i z e w
1
, b u t i s n o t d i e r e n t i a b l e a t t h e p o i n t s w h e r e t h e s e t o f b o t t l e n e c k s c h a n g e s . E a c h r e g i o n
I , I I , I I I , a n d I V c o r r e s p o n d s t o d i e r e n t s e t s o f b o t t l e n e c k s . F o r e x a m p l e , i n r e g i o n I , u s e r 1 d o e s n o t s u e r f r o m a n y
b o t t l e n e c k s , b u t u s e r 2 d o e s .
F i g u r e 1 c s h o w s t h e m a p p i n g x = F w . I f w 2 0 , t h e r e i s n o q u e u e , a n d w a n d x a r e s u c h t h a t w
i
= x
i
d
i
s o t h a t x = F w i s d i e r e n t i a b l e i n t h a t r e g i o n . I f w 62 0 , F i s n o l o n g e r o n e t o o n e . F o r i n s t a n c e , F w = 1 2
f o r a l l w 2 2 a n d F w = 2 1 f o r a l l w 2 4 .
L e t F
1
x = f w F w = x g T h e d i m e n s i o n o f F
1
x i s r e l a t e d t o t h e n u m b e r o f b o t t l e n e c k s . T o b e p r e c i s e , t h e
d i m e n s i o n o f F
1
x i s s a m e a s t h e r a n k o f A
B
. T h i s p r o p e r t y f o l l o w s f r o m w = X d + X A q . S i n c e X A q = X A
B
q
B
F
1
w i s a p o s i t i v e c o n e o f X A
B
w i t h v e r t e x X d , a s w e n o w i l l u s t r a t e i n g u r e 1 c . W h e n q = 0 , t h e i n v e r s e i m a g e
o f F i s a p o i n t , o f w h i c h t h e d i m e n s i o n i s 0 . W h e n x = 1 5 1 5 F
1
x i s t h e d o t t e d l i n e 2 i n t h e g u r e , w h o s e
d i m e n s i o n i s 1 . W h e n x = 2 1 o r 1 2 , t h e n u m b e r o f b o t t l e n e c k s i s 2 , w h i c h i s t h e d i m e n s i o n o f F
1
x
L e t B w b e t h e s e t o f b o t t l e n e c k s f o r t h e w i n d o w s i z e s w . W e c a l l w a n i n t e r i o r p o i n t i f t h e r e i s 0 s u c h t h a t
B w a r e s a m e f o r a l l w 2 n e i g h b o r h o o d , N
w , o f w . O t h e r w i s e , w i s s a i d t o b e a b o u n d a r y p o i n t .
C l a i m 1 . F i s a c o n t i n u o u s f u n c t i o n o f w
C l a i m 2 . F i s d i e r e n t i a b l e e x c e p t a t t h e b o u n d a r y p o i n t s .
C o r o l l a r y 2 . L e t D
+
u
F = l i m
0
F w + u F w
T h e n D
+
u
F e x i s t s f o r a l l w
-
8/3/2019 cong spiepap
5/9
3 . F A I R N E S S
3 . 1 . F a i r n e s s
F a i r n e s s h a s b e e n d e n e d i n a n u m b e r o f d i e r e n t w a y s . O n e o f t h e m o s t c o m m o n f a i r n e s s d e n i t i o n s i s m a x -
m i n o r b o t t l e n e c k o p t i m a l i t y c r i t e r i o n .
1 7 2 0 , 1 0
A f e a s i b l e o w r a t e x i s d e n e d t o b e m a x - m i n f a i r i f a n y r a t e x
i
c a n n o t b e i n c r e a s e d w i t h o u t d e c r e a s i n g s o m e x
j
w h i c h i s s m a l l e r t h a n o r e q u a l t o x
i
1 8
M a n y r e s e a r c h e r h a v e
d e v e l o p e d a l g o r i t h m s a c h i e v i n g m a x - m i n f a i r r a t e s .
1 8 , 2 0 , 1 0
B u t c o m p u t i n g t h e m a x - m i n f a i r v e c t o r r e q u i r e s g l o b a l
i n f o r m a t i o n ,
2 1
a n d m o s t o f t h o s e a l g o r i t h m s r e q u i r e e x c h a n g e o f i n f o r m a t i o n b e t w e e n n e t w o r k a n d h o s t s . H a h n e
1 9
s u g g e s t e d a s i m p l e r o u n d - r o b i n s c h e d u l i n g t h a t a c h i e v e s m a x - m i n f a i r n e s s . H o w e v e r , t h i s a l g o r i t h m r e q u i r e s t h a t a l l
t h e l i n k s p e r f o r m r o u n d - r o b i n s c h e d u l i n g a n d t h a t p a c k e t s o f a l l u s e r s a r e a l w a y s r e a d y f o r a l l l i n k s .
K e l l y
2 2
p r o p o s e d p r o p o r t i o n a l l y f a i r n e s s . A v e c t o r o f r a t e s x i s p r o p o r t i o n a l l y f a i r i f i t i s f e a s i b l e , t h a t i s x
0
a n d A
T
x
c , a n d i f f o r a n y o t h e r f e a s i b l e v e c t o r x , t h e a g g r e g a t e o f p r o p o r t i o n a l c h a n g e s i s n e g a t i v e :
X
i
x
i
, x
i
x
i
0 6
K e l l y e t a l
1 2
s u g g e s t e d a s i m p l e l i n e a r i n c r e a s e a n d m u l t i p l i c a t i v e d e c r e a s e a l g o r i t h m t h a t c o n v e r g e s t o t h e p r o p o r -
t i o n a l l y f a i r p o i n t .
R e c e n t l y , g a m e t h e o r y h a s b e e n a p p l i e d t o o w c o n t r o l .
2 3 2 5
T h e s e a u t h o r s m o d e l u s e r s a s p l a y e r s c o m p e t i n g f o r
c o m m o n s h a r e d r e s o u r c e s . T h e c o n c e p t o f N a s h E q u i l i b r i u m p r o v i d e s a f r a m e w o r k f o r d e n i n g f a i r n e s s a n d p r o p e r
o p e r a t i n g p o i n t s f o r t h e n e t w o r k . T h e g a m e c a n b e v i e w e d a s n o n - c o o p e r a t i v e
2 4
o r c o o p e r a t i v e .
2 3
N e x t , w e g e n e r a l i z e t h e c o n c e p t o f p r o p o r t i o n a l f a i r n e s s . C o n s i d e r t h e f o l l o w i n g o p t i m i z a t i o n p r o b l e m :
P
m a x i m i z e g =
P
i
p
i
f x
i
7
s u b j e c t t o A
T
x c 8
o v e r x 0 9
w h e r e f i s a n i n c r e a s i n g s t r i c t l y c o n c a v e f u n c t i o n a n d t h e p
i
a r e p o s i t i v e n u m b e r s . S i n c e t h e o b j e c t i v e f u n c t i o n 7
i s s t r i c t l y c o n c a v e a n d t h e f e a s i b l e r e g i o n 8 - 9 i s c o m p a c t , t h e o p t i m a l s o l u t i o n o f P i s e x i s t a n d u n i q u e . L e t
L x = g x +
T
c , A
T
x . T h e K u h n - T u c k e r c o n d i t i o n s
2 6
f o r a s o l u t i o n x
o f P a r e
r g
T
,
T
A
T
= 0 1 0
j
c
j
, A
T
j
x
= 0 f o r j = 1 M 1 1
A
T
x
c 1 2
x
0 0 1 3
w h e r e r g
T
= p
1
f x
1
p
n
f x
n
. W h e n t h e r e i s o n l y o n e l i n k a n d N c o n n e c t i o n s , t h e o p t i m a l s o l u t i o n o f P
i s x
i
=
c
N
f o r a l l i : A l l t h e c o n n e c t i o n s h a v e a n e q u a l s h a r e o f t h e b o t t l e n e c k c a p a c i t y , i r r e s p e c t i v e o f t h e i n c r e a s i n g
c o n c a v e f . I n d e e d , 1 0 i m p l i e s f x
i
= f o r a l l i , s o t h a t x
i
= f
1
f o r a l l i I f x i s a p r o p o r t i o n a l l y f a i r v e c t o r
t h e n i t s o l v e s P w h e n f x = l o g x w i t h p
i
= 1 f o r a l l i . T h u s , a p r o p o r t i o n a l l y f a i r v e c t o r i s o n e t h a t m a x i m i z e s
t h e s u m o f a l l t h e l o g a r i t h m i c u t i l i t y f u n c t i o n s . T h e s i t u a t i o n i s n o t t h e s a m e w h e n t h e r e a r e m u l t i p l e b o t t l e n e c k s .
C o n s i d e r t h e f o l l o w i n g n e t w o r k w i t h 2 d i e r e n t b o t t l e n e c k s a n d 3 c o n n e c t i o n s . T h e m a x - m i n f a i r r a t e v e c t o r o f t h i s
USER2
USER1
USER3
C1 C2
F i g u r e 2 . N e t w o r k w i t h m u l t i p l e b o t t l e n e c k s
n e t w o r k i s
c
1
2
c
1
2
c
2
,
c
1
2
i f c
1
c
2
, w h i l e t h e p r o p o r t i o n a l l y f a i r r a t e v e c t o r i s d i e r e n t , s i n c e b y d e c r e a s i n g t h e r a t e
-
8/3/2019 cong spiepap
6/9
o f u s e r 1 , t h e s u m o f t h e u t i l i t y f u n c t i o n s f i n c r e a s e s . H e n c e t h e o p t i m a l v e c t o r x d e p e n d s o n t h e u t i l i t y f u n c t i o n f
w h e n t h e r e a r e a t l e a s t t w o b o t t l e n e c k s .
I t i s t h e c o n c a v i t y o f t h e f u n c t i o n f t h a t f o r c e s f a i r n e s s b e t w e e n u s e r s . I f f i s a c o n v e x i n c r e a s i n g f u n c t i o n i n s t e a d
o f c o n c a v e , t h e n t o m a x i m i z e t h e o b j e c t i v e f u n c t i o n g o f P , t h e l a r g e r o w r a t e x
i
s h o u l d b e i n c r e a s e d , s i n c e t h e
r a t e o f i n c r e a s e o f f x
i
i s i n c r e a s i n g i n x
i
. W h e n f i s l i n e a r , t h e r a t e o f i n c r e a s e o f f i s t h e s a m e f o r a l l x . W h e n f
i s c o n c a v e , a s m a l l e r x
i
f a v o r e d , s i n c e f x f y i f x y
I t i s a m a t t e r o f c o n t r o v e r s y w h a t i s a f a i r r a t e a l l o c a t i o n f o r t h e n e t w o r k i n g u r e 2 . I t c a n b e a r g u e d t h a t t h e
m a x - m i n f a i r r a t e i s d e s i r a b l e . O n t h e o t h e r h a n d , c o n n e c t i o n 1 i s u s i n g m o r e r e s o u r c e s t h a n t h e o t h e r s u n d e r t h e
m a x - m i n f a i r r a t e . G e n e r a l l y , t h e p r o b l e m i s h o w t o c o m p r o m i s e b e t w e e n t h e f a i r n e s s t o u s e r s a n d t h e u t i l i z a t i o n o f
r e s o u r c e s . T h e m a x - m i n d e n i t i o n g i v e s t h e a b s o l u t e p r i o r i t y t o t h e f a i r n e s s .
W e g e n e r a l i z e t h e c o n c e p t o f p r o p o r t i o n a l f a i r n e s s a s f o l l o w s .
D e f i n i t i o n 1 p - p r o p o r t i o n a l l y f a i r .
L e t p = f p
1
; : : : ; p
N
g a n d b e p o s i t i v e n u m b e r s . A v e c t o r o f r a t e s x
i s p - p r o p o r t i o n a l f a i r i f i t i s f e a s i b l e
a n d f o r a n y o t h e r f e a s i b l e v e c t o r x
X
i
p
i
x
i
, x
i
x
i
0 1 4
N o t e t h a t 1 4 r e d u c e s t o 6 w h e n p = 1 1
T
a n d = 1
T h e f o l l o w i n g l e m m a c l a r i e s t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e a b o v e d e n i t i o n a n d t h e p r o b l e m P
L e m m a 3 . 1 . D e n e t h e f u n c t i o n f
a s f o l l o w s :
f
x =
8
:
x
1
i f 0 1
l o g x i f = 1
, x
1
i f 1
T h e n t h e r a t e v e c t o r x
s o l v e s t h e p r o b l e m P w i t h f = f
i f a n d o n l y i f x
i s p - p r o p o r t i o n a l l y f a i r .
T h e n e x t l e m m a e x p l a i n s t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n m a x - m i n f a i r r a t e a n d t h e p a r a m e t e r
L e m m a 3 . 2 . I f h i s i n c r e a s i n g c o n c a v e n e g a t i v e f u n c t i o n , t h e s o l u t i o n o f P w i t h f
n
= , , h
n
a p p r o a c h e s t h e
m a x - m i n f a i r r a t e s a s n ! 1
S i n c e
f
n
x
f
n
x +
=
h x
h x +
n 1
h x
h x +
! 1 a s n ! 1
t h e f u n c t i o n f
n
g i v e s m o r e p r i o r i t y t o s m a l l e r o w s a s n i n c r e a s e s .
C o r o l l a r y 3 . T h e p - p r o p o r t i o n a l l y f a i r r a t e v e c t o r a p p r o a c h e s t h e m a x - m i n f a i r r a t e v e c t o r a s ! 1
3 . 2 . W i n d o w S i z e a n d F a i r n e s s
I n t h i s s u b s e c t i o n w e s t u d y t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n w i n d o w s i z e s a n d f a i r n e s s .
T C P V e g a s
2 7
u s e s t h e e s t i m a t e d t o t a l b a c k l o g o f a c o n n e c t i o n a s a d e c i s i o n f u n c t i o n . I n o u r n o t a t i o n , t h e t o t a l
b a c k l o g o f c o n n e c t i o n i i s w
i
, x
i
d
i
. I n T C P V e g a s , a h o s t i n c r e a s e s i t s w i n d o w s i z e i f t h e e s t i m a t e d t o t a l b a c k l o g i s
s m a l l e r t h a n a t a r g e t v a l u e a n d d e c r e a s e s i t o t h e r w i s e .
W e n o w e s t a b l i s h t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e t o t a l b a c k l o g s a n d f a i r n e s s . L e t p
i
0 f o r i = 1 N . D e n e
s
i
= w
i
, x
i
d
i
, p
i
, f o r i = 1 N 1 5
T h e n e x t t h e o r e m s h o w s t h a t a n y w i n d o w v e c t o r w s u c h t h a t s
i
= 0 f o r a l l i c o r r e s p o n d s t o a p 1 - p r o p o r t i o n a l l y
f a i r r a t e v e c t o r x
T h e o r e m 3 . T h e r e i s a u n i q u e w i n d o w v e c t o r w s u c h t h a t s
i
= 0 f o r i = 1 N M o r e o v e r , t h e c o r r e s p o n d i n g r a t e
v e c t o r x w d e n e d b y t h e e q u a t i o n s 1 - 4 i s a p 1 - p r o p o r t i o n a l l y f a i r r a t e v e c t o r .
-
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7/9
P r o o f . T h e k e y o b s e r v a t i o n i s q p l a y s t h e r o l e o f L a g r a n g e m u l t i p l i e r o f P . R e f e r t o 1 6 f o r a d e t a i l e d p r o o f .
T h i s t h e o r e m i m p l i e s t h a t b y c o n t r o l l i n g t h e t o t a l b a c k l o g s o f t h e n e t w o r k , w e c a n o p e r a t e t h e n e t w o r k a t t h e
p 1 - p r o p o r t i o n a l l y f a i r p o i n t .
T h i s t h e o r e m c a n b e e x t e n d e d t o t h e p - p r o p o r t i o n a l l y f a i r c a s e . L e t p
i
0 f o r i = 1 N a n d 1
D e n e
s
i
= w
i
, x
i
d
i
,
p
i
x
1
i
, f o r i = 1 N 1 6
T h e o r e m 4 . T h e r e i s a u n i q u e w i n d o w v e c t o r w s u c h t h a t s
i
= 0 f o r a l l i . M o r e o v e r , t h e c o r r e s p o n d i n g r a t e v e c t o r
x w d e n e d b y t h e e q u a t i o n s 1 - 4 i s a p - p r o p o r t i o n a l l y f a i r r a t e v e c t o r .
4 . F A I R E N D - T O - E N D A L G O R I T H M
4 . 1 . p , 1 - P r o p o r t i o n a l l y F a i r A l g o r i t h m
I n t h i s s e c t i o n w e c o n s t r u c t a n e n d - t o - e n d c o n t r o l t h a t c o n v e r g e s t o t h e p r o p o r t i o n a l l y f a i r p o i n t . D e n e
d
i
= d
i
+ A
i
q , f o r i = 1 N
T h a t i s ,
d
i
i s t h e m e a s u r e d r o u n d - t r i p d e l a y o f c o n n e c t i o n i . F i x 0
C o n s i d e r t h e f o l l o w i n g s y s t e m o f d i e r e n t i a l e q u a t i o n s :
d
d t
w
i
t = ,
d
i
d
i
s
i
w
i
1 7
s
i
= w
i
, x
i
d
i
, p
i
f o r i = 1 N 1 8
T h e o r e m 5 . L e t V w =
P
N
i = 1
s
i
w
i
2
. T h e n V i s a L y a p u n o v f u n c t i o n f o r t h e s y s t e m o f d i e r e n t i a l e q u a t i o n s
1 7 - 1 8 . T h e u n i q u e v a l u e m i n i m i z i n g V i s a s t a b l e p o i n t o f t h i s s y s t e m , t o w h i c h a l l t r a j e c t o r i e s c o n v e r g e .
P r o o f . W e s h o w i n 1 6 t h a t
d
d t
V w t = ,
P
j
P
i
s
i
w
i
d r
i
d w
j
w
j
0 f o r a l l t
K e l l y e t a l
1 2
p r o p o s e d a r a t e c o n t r o l a l g o r i t h m t h a t c o n v e r g e s t o t h e p r o p o r t i o n a l l y f a i r p o i n t . T h e a l g o r i t h m
c h a n g e s t h e r a t e a s f o l l o w s :
d
d t
x
i
t = p
i
, x
i
t A
i
t
w h e r e
j
t = A
T
x
j
, C
j
+ =
2
T h e s o u r c e i g e t s t h e e x p l i c i t f e e d b a c k
P
j
j
t , s u m o f r e s i d u a l c a p a c i t i e s , f r o m t h e l i n k s a n d c h a n g e s i t s r a t e
a c c o r d i n g l y . T h e i n c r e a s e i s l i n e a r a n d t h e d e c r e a s e i s m u l t i p l i c a t i v e . E a c h
j
t p l a y t h e r o l e o f a L a g r a n g e
m u l t i p l i e r s o f t h e p r o b l e m P a s ! 0
O u r a l g o r i t h m , h o w e v e r , c o n t r o l s t h e w i n d o w s i z e i n s t e a d o f t h e r a t e e x p l i c i t l y . T h e r a t e i s a f u n c t i o n o f a l l
w i n d o w s . T h e a l g o r i t h m 1 7 - 1 8 c a n b e w r i t t e n a s f o l l o w s :
d
d t
w
i
t =
p
i
w
i
+
d
i
d
i
, 1
d
i
d
i
w h e r e
d
i
= d
i
+
X
j 2 A
i
q
j
H e r e , t h e m e a s u r e d d e l a y
d
i
p l a y s t h e r o l e o f t h e f e e d b a c k . T h i s d e l a y i s t h e s u m m a t i o n o f q
j
p l u s d
i
. T h u s , q
j
i n o u r
a l g o r i t h m i s c o m p a r a b l e t o
j
i n K e l l y ' s . T h e y a r e b o t h L a g r a n g e m u l t i p l i e r s o f P . H o w e v e r , w e d o n o t l i n e a r l y
i n c r e a s e a n d m u l t i p l i c a t i v e l y d e c r e a s e t h e w i n d o w . W h e n t h e n e t w o r k i s n o t c o n g e s t e d , q = 0 , _w =
p
i
w
i
. a n d t h e
i n c r e a s i n g r a t e i s a d e c r e a s i n g f u n c t i o n o f w
-
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8/9
4 . 2 . p , - P r o p o r t i o n a l l y F a i r A l g o r i t h m
I n t h i s s u b s e c t i o n , w e c o n s i d e r a n a l g o r i t h m t h a t c o n v e r g e s t o a n p - p r o p o r t i o n a l l y f a i r r a t e v e c t o r . W e k n o w
t h a t i f s
i
= w
i
, x
i
d
i
,
p
i
x
i
1
= 0 f o r a l l i , t h e n t h e r a t e v e c t o r i s p - p r o p o r t i o n a l l y f a i r . W e c a l l
p
i
x
i
1
t h e t a r g e t
q u e u e l e n g t h , " s i n c e w
i
, x
i
d
i
i s t h e e s t i m a t e d q u e u e l e n g t h i n t h e n e t w o r k . N o t e t h a t t a r g e t q u e u e l e n g t h g o e s t o
i n n i t y w h e n t h e r a t e i s v e r y s m a l l . W h e n = 1 , t h e t a r g e t q u e u e l e n g t h i s c o n s t a n t r e g a r d l e s s o f t h e r a t e . O n t h e
o t h e r h a n d , w h e n 1 , t h e t a r g e t q u e u e l e n g t h i s a f u n c t i o n o f x , w h i c h i s v a r y i n g a n d i s a d e c r e a s i n g f u n c t i o n o f
t h e r a t e . H e n c e , w h e n t h e o w r a t e i s l a r g e , t h e a l g o r i t h m t r i e s t o m a i n t a i n s m a l l e r q u e u e a n d v i c e v e r s a .
O n e u n f a v o r a b l e p r o p e r t y o f t h e t a r g e t q u e u e l e n g t h f u n c t i o n
p
i
x
i
1
i s t h a t w h e n x
i
1 , t h i s f u n c t i o n b e c o m e s
v e r y l a r g e a n d t h e t a r g e t q u e u e l e n g t h u c t u a t e s a n d m a k e s t h e c o n t r o l u n s t a b l e . C o n s e q u e n t l y , w e c o n s i d e r
p
i
x
i
+ 1
1
i n s t e a d o f
p
i
x
i
1
, s i n c e t h e v a r i a t i o n o f t h e f o r m e r i s s m a l l e r t h a n t h a t o f t h e l a t t e r .
T h e o b j e c t i v e f u n c t i o n h
s u c h t h a t t h e s o l u t i o n o f P c o r r e s p o n d s t o s
= w
i
, x
i
d
i
,
p
i
x
i
+ 1
1
= 0 i s
h
x =
8
:
l o g x i f = 1
l o g
x
x + 1
i f = 2
l o g
x
x + 1
+
P
2
i = 1
1
i x + 1
i
i f 3
N o t e t h a t h
=
1
x x + 1
1
a n d l i m
x ! 1
h
= 0 . T h e s e o b s e r v a t i o n s s h o w t h a t h
a
p i s i n c r e a s i n g c o n c a v e a n d
n o n n e g a t i v e , a n d b y t h e c l a i m 3 . 2 , t h e s o l u t i o n o f P w i t h o b j e c t i v e f u n c t i o n h
c o n v e r g e s t o m a x - m i n r a t e v e c t o r .
C o n s i d e r t h e s y s t e m o f d i e r e n t i a l e q u a t i o n s
d
d t
w
i
= , x
i
s
i
u
i
1 9
w h e r e
s
i
= w
i
, x
i
d
i
,
p
i
x
i
+ 1
1
a n d u
i
= d
i
, , 1
p
i
x
i
+ 1
2 0
T h e o r e m 6 . I f p
i
d
i
1
f o r a l l i , t h e f u n c t i o n V w =
1
2
P
i
s
2
i
i s a L y a p u n o v f u n c t i o n f o r t h e s y s t e m o f
e q u a t i o n s 1 9 - 2 0 . T h e u n i q u e v a l u e w m i n i m i z i n g V w i s a s t a b l e p o i n t o f t h e s y s t e m t o w h i c h a l l t r a j e c t o r i e s
c o n v e r g e .
5 . C O N C L U S I O N S A N D F U T U R E R E S E A R C H
I n t h i s p a p e r w e h a v e a d d r e s s e d t h e f u n d a m e n t a l q u e s t i o n o f t h e e x i s t e n c e o f f a i r e n d - t o - e n d w i n d o w - b a s e d c o n g e s t i o n
c o n t r o l . W e h a v e s h o w n t h e e x i s t e n c e o f w i n d o w - b a s e d f a i r e n d - t o - e n d c o n g e s t i o n c o n t r o l u s i n g m u l t i c l a s s c l o s e d u i d
m o d e l . W e s h o w e d t h a t t h e o w r a t e s a r e a w e l l d e n e d f u n c t i o n o f t h e w i n d o w s i z e s a n d c h a r a c t e r i z e d t h i s f u n c t i o n .
W e g e n e r a l i z e d t h e p r o p o r t i o n a l f a i r n e s s a n d r e l a t e d t h e f a i r n e s s t o t h e o p t i m i z a t i o n p r o b l e m . O u r d e n i t i o n o f
f a i r n e s s a d d r e s s e s t h e c o m p r o m i s e b e t w e e n u s e r f a i r n e s s a n d r e s o u r c e u t i l i z a t i o n . W i t h t h e h e l p o f o p t i m i z a t i o n
p r o b l e m , w e h a v e r e l a t e d w i n d o w s i z e s a n d t h e f a i r p o i n t . W e h a v e d e v e l o p e d a n a l g o r i t h m w h i c h c o n v e r g e s t o t h e
f a i r p o i n t a n d p r o v e d i t s c o n v e r g e n c e u s i n g a L y a p u n o v f u n c t i o n .
O u r a l g o r i t h m u s e s t h e p r o p a g a t i o n d e l a y d
i
, m e a s u r e d d e l a y
d
i
, a n d w i n d o w s i z e w
i
. U n f o r t u n a t e l y , t h e e n d
u s e r c a n n o t k n o w t h e e x a c t v a l u e o f p r o p a g a t i o n d e l a y . F u r t h e r m o r e , t h e v a l u e o f p r o p a g a t i o n d e l a y c o u l d c h a n g e
i n t h e c a s e o f r e r o u t i n g i n p a c k e t - s w i t c h e d n e t w o r k s . T C P V e g a s u s e s t h e m i n i m u m o f d e l a y s o b s e r v e d s o f a r a s a n
e s t i m a t e d p r o p a g a t i o n d e l a y . T C P - V e g a s f a i l s t o a d a p t t o t h e r o u t e c h a n g e w h e n t h e c h a n g e d r o u t e i s l o n g e r t h a n
o r i g i n a l r o u t e . R e f e r t o L a e t a l
2 8
f o r m o r e d e t a i l . T h e c h a l l e n g i n g q u e s t i o n t h a t r e m a i n s i s t h e i m p l e m e n t a b i l i t y o f
t h i s p r o t o c o l .
R E F E R E N C E S
1 . V . J a c o b s o n , C o n g e s t i o n a v o i d a n c e a n d c o n t r o l , " C o m p u t e r C o m m u n i c a t i o n R e v i e w 1 8 , p p . 3 1 4 2 9 , A u g u s t
1 9 8 8 .
2 . S . F l o y d a n d V . J a c o b s o n , C o n n e c t i o n w i t h m u l t i p l e C o n g e s t e d G a t e w a y s i n p a c k e t - S w i t c h e d N e t w o r k s , P a r t 1 :
O n e - w a y T r a c " , " A C M C o m p u t e r C o m m u n i c a t i o n R e v i e w 2 1 , p p . 3 0 4 7 , A u g u s t 1 9 9 1 .
-
8/3/2019 cong spiepap
9/9
3 . S . F l o y d a n d V . J a c o b s o n , R a n d o m E a r l y D e t e c t i o n G a t e w a y s f o r C o n g e s t i o n A v o i d a n c e , " I E E E A C M T r a n s -
a c t i o n s o n N e t w o r k i n g 1 , p p . 3 9 7 4 1 3 , A u g u s t 1 9 9 3 .
4 . A . M a n k i n , R a n d o m D r o p C o n g e s t i o n C o n t r o l , " i n P r o c . S I G C O M M ' 9 0 , p p . 1 7 , P h i l a d e l p h i a , P A , S e p t e m b e r
1 9 9 0 .
5 . S . F l o y d a n d V . J a c o b s o n , O n T r a c P h a s e E e c t s i n p a c k e t S w i t c h e d G a t e w a y s , " I n t e r n e t w o r k i n g : R e s e a r c h
a n d E x p e r i e n c e 3 , p p . 1 1 5 1 5 6 , S e p t e m b e r 1 9 9 3 .
6 . T . H e n d e r s o n , E . S a h o u r i a , S . M c C a n n e , a n d R . K a t z , I m p r o v i n g F a i r n e s s o f T C P C o n g e s t i o n A v o i d a n c e , " i n
G l o b e c o m ' 9 8 , 1 9 9 8 .
7 . J . J a e , F l o w C o n t r o l P o w e r i s N o n d e c e n t r a l i z a b l e , " I E E E T r a n s a c t i o n s o n C o m m u n i c a t i o n s C O M - 2 9
p p . 1 3 0 1 1 3 0 6 , S e p t e m b e r 1 9 8 1 .
8 . D . C h i u a n d R . J a i n , A n a l y s i s o f t h e I n c r e a s e a n d D e c r e a s e A l g o r i t h m s f o r C o n g e s t i o n A v o i d a n c e i n C o m p u t e r
N e t w o r k s , " C o m p u t e r N e t w o r k s a n d I S D N S y s t e m s 1 7 , p p . 1 1 4 , 1 9 8 9 .
9 . S . S h e n k e r , A t h e o r e t i c a l a n a l y s i s o f f e e d b a c k o w c o n t r o l , " i n A C M S I G C O M ' 9 0 S y m p o s i u m , P h i l a d e l p h i a ,
P A , 2 4 - 2 7 S e p t 1 9 9 0 .
1 0 . A . C h a r n y , A n a l g o r i t h m f o r r a t e a l l o c a t i o n i n a p a c k e t - s w i t c h i n g n e t w o r k w i t h f e e d b a c k , " M a s t e r ' s t h e s i s ,
M I T , C a m b r i d g e , M A , 1 9 9 4 .
1 1 . R . J a i n , M y t h s a b o u t C o n g e s t i o n M a n a g e m e n t i n H i g h S p e e d N e t w o r k s , " I n t e r n e t w o r k i n g : R e s e a r c h a n d E x p e -
r i e n c e 3 , p p . 1 0 1 1 1 3 , 1 9 9 2 .
1 2 . F . K e l l y , A . M a u l l o o , a n d D . T a n , R a t e c o n t r o l f o r c o m m u n i c a t i o n n e t w o r k s : s h a d o w p r i c e p r o p o r t i o n a l f a i r n e s s
a n d s t a b i l i t y , " J o u r n a l o f t h e O p e r a t i o n a l R e s e a r c h S o c i e t y 4 9 , p p . 2 3 7 2 5 2 , 1 9 9 8 .
1 3 . D . M i t r a , A s y m p t o t i c a l l y o p t i m a l d e s i g n o f c o n g e s t i o n c o n t r o l f o r h i g h s p e e d d a t a n e t w o r k , " I E E E T r a n s a c t i o n
o n C o m m u n i c a t i o n 4 0 , p p . 3 0 1 3 1 1 , F e b r u a r y 1 9 9 2 .
1 4 . D . M i t r a a n d I . M i t r a n i , E c i e n t w i n d o w o w c o n t r o l f o r h i g h s p e e d d a t a n e t w o r k s w i t h s m a l l b u e r s , " A n n a l s
o f O p e r a t i o n s R e s e a r c h 4 9 , p p . 1 2 4 , M a r c h 1 9 9 4 .
1 5 . K . F e n d i c k , D . M i t r a , I . M i t r a n i , M . R o d r i g u e s , J . S e e r y , a n d A . W e i s s , A n a p p r o a c h t o h i g h - p e r f o r m a n c e ,
h i g h - s p e e d d a t a n e t w o r k s , " I E E E C o m m u n i c a t i o n s M a g a z i n e 2 9 , p p . 7 4 8 2 , O c t o b e r 1 9 9 1 .
1 6 . J . M o a n d J . W a l r a n d , F a i r e n d t o e n d w i n d o w - b a s e d c o n g e s t i o n c o n t r o l , " T e c h . R e p . M 9 8 4 6 , U C B E R L ,
J u l y 1 9 9 8 . a v a i l a b l e a t h t t p : w w w . p a t h . b e r k e l e y . e d u ~ j h m o .
1 7 . J . J a e , B o t t l e n e c k o w c o n t r o l , " I E E E T r a n s a c t i o n o n C o m m u n i c a t i o n s C O M - 2 9 , J u l y 1 9 8 1 .
1 8 . D . B e r t s e k a s a n d R . G a l l a g e r , D a t a N e t w o r k s , P r e n t i c e - H a l l , E n g l w o o d C l i s , N . J . , 1 9 9 2 .
1 9 . E . H a h n e , R o u n d - r o b i n s c h e d u l i n g f o r m a x m i n f a i r n e s s i n d a t a n e t w o r k , " I E E E J o u r n a l o n S e l e c t e d A r e a s i n
C o m m u n i c a t i o n s 9 , p p . 1 0 2 4 3 9 , S e p t e m b e r 1 9 9 1 .
2 0 . R . J a i n , C o n g e s t i o n C o n t r o l a n d T r a c M a n a g e m e n t i n A T M N e t w o r k s : R e c e n t A d v a n c e s a n d A S u r v e y , "
C o m p u t e r N e t w o r k s a n d I S D N S y s t e m s 2 8 , p p . 1 7 2 3 3 8 , O c t o b e r 1 9 9 6 .
2 1 . A . M a y e r , Y . O f e k , a n d M . Y u n g , A p p r o x i m a t i n g M a x - M i n F a i r R a t e s v i a D i s t r i b u t e d L o c a l S c h e d u l i n g w i t h
P a r t i a l I n f o r m a t i o n , " i n I E E E I n f o c o m ' 9 6 , p p . 9 2 6 9 3 6 , S a n F r a n c i s c o , C A , U S A , M a r c h 1 9 9 6 .
2 2 . F . K e l l y , C h a r g i n g a n d r a t e c o n t r o l f o r e l a s t i c t r a c , " E u r o p e a n T r a n s a c t i o n s o n T e l e c o m m u n i c a t i o n s 8 , p p . 3 3
3 7 , J a n - F e b 1 9 9 7 .
2 3 . R . M a z u m d a r , L . M a s o n , a n d C . D o u l i g e r i s , F a i r n e s s i n n e t w o r k o p t i m a l o w c o n t r o l : o p t i m a l i t y o f p r o d u c t
f o r m s , " I E E E T r a n s a c t i o n s o n C o m m u n i c a t i o n s 3 9 , p p . 7 7 5 7 8 2 , M a y 1 9 9 1 .
2 4 . C . D o u l i g e r i s a n d R . M a z u m d a r , A G a m e T h e o r e t i c P e r s p e c t i v e t o F l o w C o n t r o l i n T e l e c o m m u n i c a t i o n N e -
t o w k , " J o u r n a l o f t h e F r a n k l i n I n s t i t u t e 3 2 9 , p p . 3 8 3 4 0 2 , 1 9 9 2 .
2 5 . Z . Z h a n g a n d C . D o u l i g e r i s , C o n v e r g e n c e o f S y n c h r o n o u s a n d A s y n c h r o n o u s G r e e d y A l g o r i t h m s i n a M u l t i c l a s s
T e l e c o m m u n i c a t i o n s E n v i r o n m e n t , " I E E E T r a n s a c t i o n s o n C o m m u n i c a t i o n s 4 0 , p p . 1 2 7 7 1 2 8 1 , A u g u s t 1 9 9 2 .
2 6 . M . A v r i e l , N o n l i n e a r P r o g r a m m i n g , P r e n t i c e - H a l l , E n g l w o o d C l i s , N . J . , 1 9 7 6 .
2 7 . L . B r a k m o a n d L . P e t e r s o n , T c p v e g a s : e n d t o e n d c o n g e s t i o n a v o i d a n c e o n a g l o b a l i n t e r n e t , " I E E E J o u r n a l
o n S e l e c t e d A r e a s i n C o m m u n i c a t i o n s 1 3 , p p . 1 4 6 5 8 0 , O c t o b e r 1 9 9 5 .
2 8 . R . J . L a , J . W a l r a n d , a n d V . A n a n t h a r a m , I s s u e s i n T C P V e g a s . " a v a i l a b l e a t h t t p : w w w . p a t h . b e r k e l e y . e d u ~
h y o n g l a , J u l y 1 9 9 8 .
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