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8/3/2019 cong spiepap

1/9

F a i r E n d - t o - E n d W i n d o w - b a s e d C o n g e s t i o n C o n t r o l

J e o n g h o o n M o

a

a n d J e a n W a l r a n d

b

a

D e p a r t m e n t o f I E O R , U C B e r k e l e y , B e r k e l e y , C A 9 4 7 2 0

b

D e p a r t m e n t o f E E C S , U C B e r k e l e y , B e r k e l e y , C A 9 4 7 2 0

A B S T R A C T

I n t h i s p a p e r , w e d e m o n s t r a t e t h e e x i s t e n c e o f f a i r e n d - t o - e n d w i n d o w - b a s e d c o n g e s t i o n c o n t r o l p r o t o c o l s f o r p a c k e t -

s w i t c h e d n e t w o r k s w i t h F C F S r o u t e r s . O u r d e n i t i o n o f f a i r n e s s g e n e r a l i z e s p r o p o r t i o n a l f a i r n e s s a n d i n c l u d e s

a r b i t r a r i l y c l o s e a p p r o x i m a t i o n s o f m a x - m i n f a i r n e s s . T h e p r o t o c o l s u s e o n l y i n f o r m a t i o n t h a t i s a v a i l a b l e t o e n d

h o s t s a n d a r e d e s i g n e d t o c o n v e r g e r e a s o n a b l y f a s t .

O u r s t u d y i s b a s e d o n a m u l t i c l a s s u i d m o d e l o f t h e n e t w o r k . T h e c o n v e r g e n c e o f t h e p r o t o c o l s i s p r o v e d u s i n g

a L y a p u n o v f u n c t i o n . T h e t e c h n i c a l c h a l l e n g e i s i n t h e c o n s t r u c t i o n o f t h e p r o t o c o l s .

K e y w o r d s : c o n g e s t i o n c o n t r o l , e n d t o e n d , f a i r n e s s , w i n d o w , m a x - m i n f a i r , p r o p o r t i o n a l l y f a i r

1 . I N T R O D U C T I O N

W e s t u d y t h e e x i s t e n c e o f f a i r e n d - t o - e n d c o n g e s t i o n c o n t r o l s c h e m e s . M o r e p r e c i s e l y , t h e q u e s t i o n i s t h a t o f t h e

e x i s t e n c e o f c o n g e s t i o n c o n t r o l p r o t o c o l s t h a t c o n v e r g e t o a f a i r e q u i l i b r i u m w i t h o u t t h e h e l p o f t h e i n t e r n a l n e t w o r k

n o d e s , o r r o u t e r s . U s i n g s u c h a p r o t o c o l , e n d - n o d e s , o r h o s t s , m o n i t o r t h e i r c o n n e c t i o n s . B y s o d o i n g , t h e h o s t s

g e t i m p l i c i t f e e d b a c k f r o m t h e n e t w o r k s u c h a s r o u n d - t r i p d e l a y s a n d t h r o u g h p u t b u t n o e x p l i c i t s i g n a l s f r o m t h e

n e t w o r k r o u t e r s . T h e h o s t s i m p l e m e n t a w i n d o w c o n g e s t i o n c o n t r o l m e c h a n i s m . S u c h e n d - t o - e n d c o n t r o l s c h e m e s

d o n o t n e e d a n y n e t w o r k c o n g u r a t i o n a n d t h e r e f o r e c o u l d b e i m p l e m e n t e d i n t h e I n t e r n e t w i t h o u t m o d i f y i n g t h e

e x i s t i n g r o u t e r s n o r t h e I P p r o t o c o l .

T h e I n t e r n e t c o n g e s t i o n c o n t r o l i s i m p l e m e n t e d i n e n d - t o - e n d p r o t o c o l s . T h e m o t i v a t i o n f o r s u c h p r o t o c o l s i s

t h a t t h e y p l a c e t h e c o m p l e x f u n c t i o n s i n t h e h o s t s a n d n o t i n s i d e t h e n e t w o r k . C o n s e q u e n t l y , o n l y t h e h o s t s t h a t

w a n t t o i m p l e m e n t d i e r e n t c o m p l e x f u n c t i o n s n e e d t o h a v e t h e i r s o f t w a r e u p g r a d e d . A n o t h e r j u s t i c a t i o n , w h i c h i s

m o r e d i c u l t t o m a k e p r e c i s e , i s t h a t b y k e e p i n g t h e n e t w o r k s i m p l e i t c a n s c a l e m o r e e a s i l y .

T C P i s t h e m o s t w i d e l y u s e d e n d - t o - e n d p r o t o c o l i n t h e I n t e r n e t . W h e n u s i n g T C P ,

1

a s o u r c e h o s t a d j u s t s i t s

w i n d o w s s i z e , t h e m a x i m u m a m o u n t o f o u t s t a n d i n g p a c k e t s i t c a n s e n d t o t h e n e t w o r k , t o a v o i d o v e r l o a d i n g r o u t e r s

i n t h e n e t w o r k a n d t h e d e s t i n a t i o n h o s t .

M a n y r e s e a r c h e r s h a v e o b s e r v e d t h a t , w h e n u s i n g T C P , c o n n e c t i o n s w i t h a l o n g r o u n d - t r i p t i m e t h a t g o t h r o u g h

m a n y b o t t l e n e c k s h a v e a s m a l l e r t r a n s m i s s i o n r a t e t h a t t h e o t h e r c o n n e c t i o n s .

2 4

A b o t t l e n e c k i s a n o d e w h e r e

p a c k e t s a r e b a c k l o g g e d s o t h a t i t s t r a n s m i s s i o n r a t e l i m i t s t h e r a t e o f t h e c o n n e c t i o n s t h a t g o t h r o u g h i t . T h e o b s e r v e d

b i a s c a n b e e x p l a i n e d a s f o l l o w s . W h i l e a h o s t d o e s n o t d e t e c t c o n g e s t i o n , i t i n c r e a s e s i t s w i n d o w s i z e b y o n e u n i t

p e r r o u n d - t r i p t i m e o f t h e c o n n e c t i o n . A c c o r d i n g l y , t h e w i n d o w s i z e o f a c o n n e c t i o n w i t h a s h o r t p r o p a g a t i o n d e l a y

i n c r e a s e s f a s t e r t h a n t h a t o f a c o n n e c t i o n w i t h a l o n g e r p r o p a g a t i o n d e l a y . C o n s e q u e n t l y , a l o n g - d e l a y c o n n e c t i o n

l o o s e s o u t w h e n c o m p e t i n g w i t h a s h o r t - d e l a y c o n n e c t i o n .

B a s e d o n t h i s o b s e r v a t i o n , F l o y d a n d J a c o b s o n

5

p r o p o s e d a c o n s t a n t r a t e a d j u s t m e n t " a l g o r i t h m . H a n d e r s o n e t

a l

6

s i m u l a t e d a v a r i a t i o n o f t h i s s c h e m e . T h e y r e p o r t t h a t i f t h e r a t e o f i n c r e a s e o f t h e w i n d o w s i z e i s n o t e x c e s s i v e ,

t h e n t h i s s c h e m e i s n o t h a r m f u l t o t h e o t h e r c o n n e c t i o n s t h a t u s e t h e o r i g i n a l T C P s c h e m e . M o r e o v e r , a s e x p e c t e d ,

t h i s s c h e m e r e s u l t s i n b e t t e r p e r f o r m a n c e f o r c o n n e c t i o n s w i t h l o n g e r p r o p a g a t i o n t i m e . H o w e v e r , c h o o s i n g t h e

p a r a m e t e r s o f s u c h a l g o r i t h m s i s s t i l l a n o p e n p r o b l e m .

T h u s , a l t h o u g h e n d - t o - e n d p r o t o c o l s s u c h a s t h o s e i m p l e m e n t e d i n T C P a r e v e r y d e s i r a b l e f o r e x t e n s i b i l i t y a n d

s c a l a b i l i t y r e a s o n s , t h e y a r e u n f a i r . R o u g h l y , a f a i r s c h e m e i s o n e t h a t d o e s n o t p e n a l i z e s o m e u s e r s a r b i t r a r i l y .

A c c o r d i n g l y , t h e q u e s t i o n t h a t a r i s e s n a t u r a l l y i s t h e e x i s t e n c e o f f a i r e n d - t o - e n d c o n g e s t i o n p r o t o c o l s .

O t h e r a u t h o r i n f o r m a t i o n : S e n d c o r r e s p o n d e n c e t o J . M o

J . M o : E - m a i l : j h m o @ e e c s . b e r k e l e y . e d u ; W W W : h t t p : p a t h . b e r k e l e y . e d u ~ j h m o

J . W a l r a n d : E - m a i l : w l r @ e e c s . b e r k e l e y . e d u ; W W W : h t t p : p a t h . b e r k e l e y . e d u ~ w l r


2/9

I n a n e a r l y p a p e r , J a e

7

s h o w s t h a t p o w e r c a n n o t b e o p t i m i z e d i n a d i s t r i b u t e d m a n n e r .

C h i u a n d J a i n

8

s h o w t h a t i n a n e t w o r k w i t h N u s e r s t h a t s h a r e a u n i q u e b o t t l e n e c k n o d e , a l i n e a r i n c r e a s e

a n d m u l t i p l i c a t i v e d e c r e a s e a l g o r i t h m c o n v e r g e s t o a n e c i e n t a n d f a i r e q u i l i b r i u m . M o s t c u r r e n t i m p l e m e n t a t i o n s

o f T C P w i n d o w - b a s e d c o n t r o l u s e a l i n e a r i n c r e a s e a n d m u l t i p l i c a t i v e d e c r e a s e o f t h e w i n d o w s i z e , a s s u g g e s t e d

b y J a c o b s o n .

1

H o w e v e r , t h e s e i m p l e m e n t a t i o n s c o n t r o l t h e s i z e o f t h e i r w i n d o w a n d n o t t h e i r t r a n s m i s s i o n r a t e .

M o r e o v e r , s i m p l e e x a m p l e s s h o w t h a t t h e r e s u l t d o e s n o t h o l d f o r n e t w o r k s w i t h m u l t i p l e b o t t l e n e c k n o d e s .

S h e n k e r

9

c o n s i d e r s a l i m i t e d c l a s s o f p r o t o c o l s a n d a r g u e s t h a t n o a g g r e g a t e f e e d b a c k c o n t r o l i s g u a r a n t e e d f a i r . "

T h i s s t a t e m e n t s u g g e s t s t h a t e n d - t o - e n d c o n t r o l c a n n o t g u a r a n t e e c o n v e r g e n c e t o a f a i r e q u i l i b r i u m . U n f o r t u n a t e l y ,

t h e c l a s s o f p r o t o c o l s t h a t h e c o n s i d e r s e x c l u d e s m a n y i m p l e m e n t a b l e e n d - t o - e n d p r o t o c o l s . J a i n a n d C h a r n y r e f e r s

t o S h e n k e r

9

t o j u s t i f y t h e n e c e s s i t y o f s w i t c h - b a s e d c o n t r o l f o r f a i r n e s s .

1 0 , 1 1

R e c e n t l y , K e l l y e t a l

1 2

e x h i b i t e d a n a g g r e g a t e f e e d b a c k a l g o r i t h m t h a t c o n v e r g e s t o a p r o p o r t i o n a l l y f a i r p o i n t .

I n t h e i r s c h e m e , e a c h u s e r i s i m p l e m e n t i n g a l i n e a r i n c r e a s e a n d m u l t i p l i c a t i v e d e c r e a s e o f i t s r a t e b a s e d o n a n

a d d i t i v e f e e d b a c k f r o m t h e r o u t e r s t h e c o n n e c t i o n g o e s t h r o u g h . T h i s p r o t o c o l r e q u i r e s t h a t t h e r o u t e r s c a n s i g n a l

t h e d i e r e n c e b e t w e e n t h e i r l o a d a n d t h e i r c a p a c i t y . I n o u r p r o t o c o l , e a c h h o s t c o n t r o l s i t s w i n d o w s i z e n o t i t s

r a t e , b a s e d o n t h e t o t a l d e l a y . W i n d o w - b a s e d a l g o r i t h m s a r e u s e d t o c o n t r o l e r r o r s . A r a t e - b a s e d c o n t r o l m u s t b e

a u g m e n t e d w i t h a n o t h e r r e t r a n s m i s s i o n p r o t o c o l f o r e r r o r c o n t r o l . T h e w i n d o w - b a s e d c o n t r o l a l g o r i t h m i n t e g r a t e s

t h e s e t w o f u n c t i o n s o f e r r o r a n d c o n g e s t i o n c o n t r o l . A l t h o u g h t h e d e l a y i s a n a d d i t i v e c o n g e s t i o n s i g n a l , t h i s i s l e s s

i n f o r m a t i v e t h a n K e l l y ' s . O u r p r o t o c o l c a n b e v i e w e d a s a r e n e m e n t o f T C P c o n g e s t i o n c o n t r o l a l g o r i t h m s .

I n t h i s p a p e r w e r e v i s i t t h e f u n d a m e n t a l q u e s t i o n o f t h e e x i s t e n c e o f f a i r e n d - t o - e n d p r o t o c o l s a n d w e p r o v i d e a

p o s i t i v e a n s w e r b y c o n s t r u c t i n g e x p l i c i t l y s u c h p r o t o c o l s .

2 . M O D E L

W i n d o w o w c o n t r o l i s u s u a l l y m o d e l e d a s a c l o s e d q u e u i n g n e t w o r k .

1 3 1 5

F o r i n s t a n c e , M i t r a e t a l

1 3

s t u d y t h e

w i n d o w o w c o n t r o l o f a s i n g l e c o n n e c t i o n w i t h x e d p r o p a g a t i o n d e l a y i n a p r o d u c t f o r m n e t w o r k . T h e y d e r i v e d

t h e o p t i m a l w i n d o w s i z e a n d a n a d a p t i v e w i n d o w - b a s e d c o n t r o l s c h e m e b a s e d o n t h e a n a l y t i c a l m o d e l .

I n t h i s p a p e r w e c o n s i d e r a c l o s e d m u l t i c l a s s u i d n e t w o r k w i t h M l i n k s a n d N c o n n e c t i o n s . W e d e n e t h a t

m o d e l n e x t . T h e s e n d e r o f c o n n e c t i o n i i = 1 ; : : : ; N e x e r c i s e s a w i n d o w - t y p e o w c o n t r o l a n d a d j u s t s t h e w i n d o w

s i z e w

i

o f t h e c o n n e c t i o n . A c o n n e c t i o n f o l l o w s a r o u t e t h a t i s a s e t o f l i n k s . L i n k j j = 1 M h a s c a p a c i t y ,

o r t r a n s m i s s i o n r a t e , c

j

. W e d e n e t h e m a t r i x A = A

i j

i = 1 ; : : : ; N ; j = 1 M w h e r e A

i j

= 1 i f c o n n e c t i o n

i u s e s l i n k j a n d A

i j

= 0 , o t h e r w i s e . L e t a l s o A

i

= f j A

i j

= 1 g b e t h e s e t o f l i n k s t h a t c o n n e c t i o n i u s e s a n d

A

j

= f i A

i j

= 1 g t h e s e t o f c o n n e c t i o n s t h a t u s e l i n k j

E a c h c o n n e c t i o n i h a s a x e d r o u n d - t r i p p r o p a g a t i o n d e l a y d

i

, w h i c h i s t h e m i n i m u m d e l a y b e t w e e n t h e s e n d i n g

o f a p a c k e t b y t h e s e n d e r h o s t a n d t h e r e c e p t i o n o f i t s a c k n o w l e d g m e n t b y t h e s a m e h o s t . W e a s s u m e t h a t t h e

p r o c e s s i n g t i m e s a r e n e g l i g i b l e . A t y p i c a l a c k n o w l e d g m e n t d e l a y c o m p r i s e s d

i

a n d s o m e a d d i t i o n a l q u e u i n g d e l a y i n

b o t t l e n e c k r o u t e r s . L e t x

i

b e t h e o w r a t e o f t h e i - t h c o n n e c t i o n f o r i = 1 ; : : : ; N . F o r j = 1 M , w e a s s u m e t h a t

e v e r y l i n k j h a s a n i n n i t e b u e r s p a c e a n d w e d e s i g n a t e b y q

j

t h e w o r k t o b e d o n e b y l i n k j . B y d e n i t i o n , q

j

i s

t h e r a t i o o f t h e q u e u e s i z e i n t h e b u e r o f l i n k j d i v i d e d b y t h e c a p a c i t y c

j

. T h e s e r v i c e d i s c i p l i n e o f t h e l i n k s i s r s t

c o m e - r s t s e r v e d F C F S .

W e c o n s i d e r a u i d m o d e l o f t h e n e t w o r k w h e r e t h e p a c k e t s a r e i n n i t e l y d i v i s i b l e a n d s m a l l . T h i s m o d e l i s

r e p r e s e n t e d b y f o l l o w i n g e q u a t i o n s :

A

T

x , c 0 1

Q A

T

x , c = 0 2

X A q + d = w 3

x 0 q 0 4

w h e r e

x = x

1

; : : : ; x

N

T

c = c

1

; : : : ; c

M

T

q = q

1

; : : : ; q

M

T

d = d

1

; : : : ; d

N

T

X = d i a g x Q = d i a g q


3/9

T h e i n e q u a l i t i e s 1 e x p r e s s t h e c a p a c i t y c o n s t r a i n t s : t h e s u m o f t h e r a t e s o f o w s t h a t g o t h r o u g h a l i n k c a n n o t

e x c e e d t h e c a p a c i t y o f t h e l i n k . T h e i d e n t i t i e s 2 c a n b e w r i t t e n a s

q

j

A

T

x

j

, c

j

= 0 f o r j = 1 ; : : : ; M :

T h e j - t h i d e n t i t y m e a n s t h a t i f t h e r a t e A

T

x

j

t h r o u g h l i n k j i s l e s s t h a n t h e c a p a c i t y c

j

o f t h e l i n k , t h e n t h e q u e u e

s i z e q

j

a t t h a t l i n k i s e q u a l t o 0 . F i n a l l y , t h e i d e n t i t i e s 3 , w h i c h c a n b e w r i t t e n a s

x

i

A q

i

+ d

i

= w

i

i = 1 ; : : : ; N ;

m e a n t h a t t h e t o t a l n u m b e r o f p a c k e t s w

i

f o r e a c h c o n n e c t i o n i i = 1 ; : : : ; N , i s e q u a l t o t h e n u m b e r x

i

d

i

o f p a c k e t s

i n t r a n s i t i n t h e t r a n s m i s s i o n l i n e s p l u s t h e t o t a l n u m b e r x

i

A q

i

o f p a c k e t s o f c o n n e c t i o n i s t o r e d i n b u e r s a l o n g

t h e r o u t e . T o c l a r i f y t h e m e a n i n g o f x

i

A q

i

, n o t e t h a t

x

i

A q

i

= x

i

X

j

A

i j

q

j

=

X

j

A

i j

x

i

q

j

N o w , c

j

q

j

i s t h e n u m b e r o f p a c k e t s i n t h e b u e r o f l i n k j a n d a f r a c t i o n x

i

= c

j

o f t h e s e p a c k e t s a r e o f c o n n e c t i o n i

T h u s , c

j

q

j

x

i

= c

j

= x

i

q

j

i s t h e b a c k l o g o f p a c k e t s o f c o n n e c t i o n i i n t h e b u e r o f l i n k j . S u m m i n g o v e r a l l j s u c h

t h a t c o n n e c t i o n i g o e s t h r o u g h l i n k j s h o w s t h a t x

i

A q

i

i s t h e t o t a l b a c k l o g o f p a c k e t s o f c o n n e c t i o n i

N o t e t h a t o u r m o d e l a s s u m e s t h a t , f o r e a c h l i n k j , t h e c o n t r i b u t i o n t o t h e q u e u e s i z e o f c o n n e c t i o n i i s p r o p o r t i o n a l

t o i t s o w r a t e x

i

. T h i s a s s u m p t i o n i s c o n s i s t e n t w i t h t h e u i d a s s u m p t i o n u n d e r w h i c h t h e p a c k e t s a r e i n n i t e l y

d i v i s i b l e .

W e r e w r i t e t h e i - t h i d e n t i t y o f 3 a s f o l l o w s :

x

i

=

w

i

D

i

w h e r e D

i

= d

i

+ A q

i

5

T h e i d e n t i t y 5 m e a n s t h a t t h e o w r a t e x

i

o f c o n n e c t i o n i i s e q u a l t o t h e r a t i o o f t h e w i n d o w s i z e w

i

o f t h e

c o n n e c t i o n d i v i d e d b y i t s t o t a l r o u n d - t r i p d e l a y D

i

. T h e t o t a l d e l a y D

i

c o n s i s t s o f x e d p r o p a g a t i o n d e l a y d

i

p l u s a

v a r i a b l e q u e u i n g d e l a y w h i c h d e p e n d s o n c o n g e s t i o n i n t h e n e t w o r k . A c c o r d i n g l y , t h e o w r a t e x

i

o f c o n n e c t i o n i i s

a f u n c t i o n o f n o t o n l y t h e w i n d o w s i z e w

i

o f t h e c o n n e c t i o n b u t a l s o o f t h e w i n d o w s i z e s o f t h e o t h e r c o n n e c t i o n s .

W h e n t h e n e t w o r k i s n o t c o n g e s t e d , q = q

1

; : : : ; q

M

= 0 a n d t h e o w r a t e s a r e p r o p o r t i o n a l t o t h e w i n d o w s i z e s .

H o w e v e r , a s c o n g e s t i o n b u i l d s u p , q 6= 0 a n d t h e r a t e s a r e n o l o n g e r l i n e a r i n t h e w i n d o w s i z e s .

W e p r o v e t h a t t h e o w r a t e s x a r e a w e l l - d e n e d f u n c t i o n o f t h e w i n d o w s i z e s w . T h i s r e s u l t i s i n t u i t i v e l y c l e a r a n d

i t s p r o o f i s a c o n r m a t i o n t h a t t h e m o d e l c a p t u r e s t h e e s s e n c e o f t h e p h y s i c a l s y s t e m . B e f o r e p r o v i n g t h e u n i q u e n e s s

o f t h e r a t e v e c t o r x , w e r s t s h o w t h e e x i s t e n c e o f a r a t e v e c t o r x t h a t s o l v e s t h e r e l a t i o n s t h a t c h a r a c t e r i z e t h e u i d

m o d e l . A l l t h e p r o o f s o f t h i s p a p e r a r e g i v e n i n M o e t a l .

1 6

T h e o r e m 1 . F o r g i v e n v a l u e s o f w ; A ; d ; c , t h e r e e x i s t s a t l e a s t o n e r a t e v e c t o r x w h i c h s a t i s e s t h e r e l a t i o n s

1 - 4 .

T h e o r e m 2 . G i v e n w ; A ; d ; c , t h e o w r a t e x = x

1

x

M

s a t i s f y i n g t h e e q u a t i o n s 1 - 4 i s u n i q u e .

A l t h o u g h t h e r a t e v e c t o r i s u n i q u e l y d e t e r m i n e d f r o m t h e w i n d o w s i z e s , t h e w o r k l o a d v e c t o r q g e n e r a l l y i s n o t , a s

t h e f o l l o w i n g e x a m p l e s h o w s . C o n s i d e r a n e t w o r k w i t h t w o b o t t l e n e c k l i n k s i n s e r i e s w i t h t h e s a m e c a p a c i t y c a n d a

s i n g l e c o n n e c t i o n w i t h w i n d o w s i z e w I f

w

d

c , t h e n t h e q u e u e s b u i l d u p i n t h e l i n k s . F o r t h i s n e t w o r k , a n y v e c t o r

q

1

q

2

s u c h t h a t q

1

+ q

2

=

w

c

, d i s a s o l u t i o n o f t h e e q u a t i o n s 1 - 3 .

T h e f o l l o w i n g c o r o l l a r y s h o w s a s u c i e n t c o n d i t i o n f o r q t o b e d e t e r m i n e d u n i q u e l y . L e t A

B

b e t h e s u b - m a t r i x

o f A c o r r e s p o n d i n g t o s e t B o f b o t t l e n e c k s .

C o r o l l a r y 1 . I f r a n k A

B

i s e q u a l t o t h e n u m b e r B o f b o t t l e n e c k l i n k s , t h e n w ; A ; c ; d , u n i q u e l y d e t e r m i n e s t h e

v e c t o r q T h e f o l l o w i n g l e m m a p r o v i d e s s u c i e n t c o n d i t i o n s f o r l i n k s n o t t o b e b o t t l e n e c k s .

L e m m a 2 . 1 . F o r a n y g i v e n w i n d o w s i z e v e c t o r w 0 , 1 m a t r i x A , a n d d i a g o n a l m a t r i x D

a i f A

j

T

D

1

w c

j

, t h e n q

j

= 0


4/9

b A

T

D

1

w c i f a n d o n l y i f q = 0

T h e a b o v e l e m m a c a n b e p r o v e d i f w e o b s e r v e t h a t

w

i

d

i

i s a n u p p e r b o u n d o n x

i

T h e c o n v e r s e o f p a r t a i s n o t a l w a y s t r u e , a s c a n b e s e e n f r o m t h e n e x t e x a m p l e . L e t M = 2 N = 2 C =

5 5

T

d = 1 1

T

a n d

A =

1 1

1 0

I f w = 1 0 2 0 , c l e a r l y , q

2

= 0 , t h e o w r a t e o u t o f r e s o u r c e 1 5 , b u t A

T

2

D

1

w = 1 0 5

L e t F W ! X b e t h e m a p p i n g f r o m t h e w i n d o w s p a c e W t o a o w r a t e s p a c e X d e n e d b y 1 - 4 . F

i s a c o n t i n u o u s f u n c t i o n b u t i s n o t a l w a y s d i e r e n t i a b l e a s t h e n e x t e x a m p l e s h o w s . C o n s i d e r t h e n e t w o r k a n d

c o n n e c t i o n s i n g u r e 1 a . T w o u s e r s a r e s h a r i n g o n e l i n k a n d e a c h u s e s a n o t h e r l i n k . F i g u r e 1 b i s a p l o t o f x

1

USER1 (d2=1)

USER1(d1=1)

C1=2 C2=3 C3=2

X1

1

2

(b)

(c)

W1

W2X2

X1

1

2

1 22

2

x1+x2 =3

x1=2

x2=2(1,2)

(2,1)

(0)

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(a)

IVI II III

line 1

line 2

F i g u r e 1 . a n e t w o r k t o p o l o g y b o w r a t e x v s . w i n d o w s i z e c m a p p i n g b e t w e e n x a n d w

a l o n g t h e h o r i z o n t a l d o t t e d l i n e 1 i n g u r e 1 c . F i g u r e 1 b s h o w s t h a t x

1

i s a c o n t i n u o u s n o n d e c r e a s i n g f u n c t i o n

o f t h e w i n d o w s i z e w

1

, b u t i s n o t d i e r e n t i a b l e a t t h e p o i n t s w h e r e t h e s e t o f b o t t l e n e c k s c h a n g e s . E a c h r e g i o n

I , I I , I I I , a n d I V c o r r e s p o n d s t o d i e r e n t s e t s o f b o t t l e n e c k s . F o r e x a m p l e , i n r e g i o n I , u s e r 1 d o e s n o t s u e r f r o m a n y

b o t t l e n e c k s , b u t u s e r 2 d o e s .

F i g u r e 1 c s h o w s t h e m a p p i n g x = F w . I f w 2 0 , t h e r e i s n o q u e u e , a n d w a n d x a r e s u c h t h a t w

i

= x

i

d

i

s o t h a t x = F w i s d i e r e n t i a b l e i n t h a t r e g i o n . I f w 62 0 , F i s n o l o n g e r o n e t o o n e . F o r i n s t a n c e , F w = 1 2

f o r a l l w 2 2 a n d F w = 2 1 f o r a l l w 2 4 .

L e t F

1

x = f w F w = x g T h e d i m e n s i o n o f F

1

x i s r e l a t e d t o t h e n u m b e r o f b o t t l e n e c k s . T o b e p r e c i s e , t h e

d i m e n s i o n o f F

1

x i s s a m e a s t h e r a n k o f A

B

. T h i s p r o p e r t y f o l l o w s f r o m w = X d + X A q . S i n c e X A q = X A

B

q

B

F

1

w i s a p o s i t i v e c o n e o f X A

B

w i t h v e r t e x X d , a s w e n o w i l l u s t r a t e i n g u r e 1 c . W h e n q = 0 , t h e i n v e r s e i m a g e

o f F i s a p o i n t , o f w h i c h t h e d i m e n s i o n i s 0 . W h e n x = 1 5 1 5 F

1

x i s t h e d o t t e d l i n e 2 i n t h e g u r e , w h o s e

d i m e n s i o n i s 1 . W h e n x = 2 1 o r 1 2 , t h e n u m b e r o f b o t t l e n e c k s i s 2 , w h i c h i s t h e d i m e n s i o n o f F

1

x

L e t B w b e t h e s e t o f b o t t l e n e c k s f o r t h e w i n d o w s i z e s w . W e c a l l w a n i n t e r i o r p o i n t i f t h e r e i s 0 s u c h t h a t

B w a r e s a m e f o r a l l w 2 n e i g h b o r h o o d , N

w , o f w . O t h e r w i s e , w i s s a i d t o b e a b o u n d a r y p o i n t .

C l a i m 1 . F i s a c o n t i n u o u s f u n c t i o n o f w

C l a i m 2 . F i s d i e r e n t i a b l e e x c e p t a t t h e b o u n d a r y p o i n t s .

C o r o l l a r y 2 . L e t D

+

u

F = l i m

0

F w + u F w

T h e n D

+

u

F e x i s t s f o r a l l w


5/9

3 . F A I R N E S S

3 . 1 . F a i r n e s s

F a i r n e s s h a s b e e n d e n e d i n a n u m b e r o f d i e r e n t w a y s . O n e o f t h e m o s t c o m m o n f a i r n e s s d e n i t i o n s i s m a x -

m i n o r b o t t l e n e c k o p t i m a l i t y c r i t e r i o n .

1 7 2 0 , 1 0

A f e a s i b l e o w r a t e x i s d e n e d t o b e m a x - m i n f a i r i f a n y r a t e x

i

c a n n o t b e i n c r e a s e d w i t h o u t d e c r e a s i n g s o m e x

j

w h i c h i s s m a l l e r t h a n o r e q u a l t o x

i

1 8

M a n y r e s e a r c h e r h a v e

d e v e l o p e d a l g o r i t h m s a c h i e v i n g m a x - m i n f a i r r a t e s .

1 8 , 2 0 , 1 0

B u t c o m p u t i n g t h e m a x - m i n f a i r v e c t o r r e q u i r e s g l o b a l

i n f o r m a t i o n ,

2 1

a n d m o s t o f t h o s e a l g o r i t h m s r e q u i r e e x c h a n g e o f i n f o r m a t i o n b e t w e e n n e t w o r k a n d h o s t s . H a h n e

1 9

s u g g e s t e d a s i m p l e r o u n d - r o b i n s c h e d u l i n g t h a t a c h i e v e s m a x - m i n f a i r n e s s . H o w e v e r , t h i s a l g o r i t h m r e q u i r e s t h a t a l l

t h e l i n k s p e r f o r m r o u n d - r o b i n s c h e d u l i n g a n d t h a t p a c k e t s o f a l l u s e r s a r e a l w a y s r e a d y f o r a l l l i n k s .

K e l l y

2 2

p r o p o s e d p r o p o r t i o n a l l y f a i r n e s s . A v e c t o r o f r a t e s x i s p r o p o r t i o n a l l y f a i r i f i t i s f e a s i b l e , t h a t i s x

0

a n d A

T

x

c , a n d i f f o r a n y o t h e r f e a s i b l e v e c t o r x , t h e a g g r e g a t e o f p r o p o r t i o n a l c h a n g e s i s n e g a t i v e :

X

i

x

i

, x

i

x

i

0 6

K e l l y e t a l

1 2

s u g g e s t e d a s i m p l e l i n e a r i n c r e a s e a n d m u l t i p l i c a t i v e d e c r e a s e a l g o r i t h m t h a t c o n v e r g e s t o t h e p r o p o r -

t i o n a l l y f a i r p o i n t .

R e c e n t l y , g a m e t h e o r y h a s b e e n a p p l i e d t o o w c o n t r o l .

2 3 2 5

T h e s e a u t h o r s m o d e l u s e r s a s p l a y e r s c o m p e t i n g f o r

c o m m o n s h a r e d r e s o u r c e s . T h e c o n c e p t o f N a s h E q u i l i b r i u m p r o v i d e s a f r a m e w o r k f o r d e n i n g f a i r n e s s a n d p r o p e r

o p e r a t i n g p o i n t s f o r t h e n e t w o r k . T h e g a m e c a n b e v i e w e d a s n o n - c o o p e r a t i v e

2 4

o r c o o p e r a t i v e .

2 3

N e x t , w e g e n e r a l i z e t h e c o n c e p t o f p r o p o r t i o n a l f a i r n e s s . C o n s i d e r t h e f o l l o w i n g o p t i m i z a t i o n p r o b l e m :

P

m a x i m i z e g =

P

i

p

i

f x

i

7

s u b j e c t t o A

T

x c 8

o v e r x 0 9

w h e r e f i s a n i n c r e a s i n g s t r i c t l y c o n c a v e f u n c t i o n a n d t h e p

i

a r e p o s i t i v e n u m b e r s . S i n c e t h e o b j e c t i v e f u n c t i o n 7

i s s t r i c t l y c o n c a v e a n d t h e f e a s i b l e r e g i o n 8 - 9 i s c o m p a c t , t h e o p t i m a l s o l u t i o n o f P i s e x i s t a n d u n i q u e . L e t

L x = g x +

T

c , A

T

x . T h e K u h n - T u c k e r c o n d i t i o n s

2 6

f o r a s o l u t i o n x

o f P a r e

r g

T

,

T

A

T

= 0 1 0

j

c

j

, A

T

j

x

= 0 f o r j = 1 M 1 1

A

T

x

c 1 2

x

0 0 1 3

w h e r e r g

T

= p

1

f x

1

p

n

f x

n

. W h e n t h e r e i s o n l y o n e l i n k a n d N c o n n e c t i o n s , t h e o p t i m a l s o l u t i o n o f P

i s x

i

=

c

N

f o r a l l i : A l l t h e c o n n e c t i o n s h a v e a n e q u a l s h a r e o f t h e b o t t l e n e c k c a p a c i t y , i r r e s p e c t i v e o f t h e i n c r e a s i n g

c o n c a v e f . I n d e e d , 1 0 i m p l i e s f x

i

= f o r a l l i , s o t h a t x

i

= f

1

f o r a l l i I f x i s a p r o p o r t i o n a l l y f a i r v e c t o r

t h e n i t s o l v e s P w h e n f x = l o g x w i t h p

i

= 1 f o r a l l i . T h u s , a p r o p o r t i o n a l l y f a i r v e c t o r i s o n e t h a t m a x i m i z e s

t h e s u m o f a l l t h e l o g a r i t h m i c u t i l i t y f u n c t i o n s . T h e s i t u a t i o n i s n o t t h e s a m e w h e n t h e r e a r e m u l t i p l e b o t t l e n e c k s .

C o n s i d e r t h e f o l l o w i n g n e t w o r k w i t h 2 d i e r e n t b o t t l e n e c k s a n d 3 c o n n e c t i o n s . T h e m a x - m i n f a i r r a t e v e c t o r o f t h i s

USER2

USER1

USER3

C1 C2

F i g u r e 2 . N e t w o r k w i t h m u l t i p l e b o t t l e n e c k s

n e t w o r k i s

c

1

2

c

1

2

c

2

,

c

1

2

i f c

1

c

2

, w h i l e t h e p r o p o r t i o n a l l y f a i r r a t e v e c t o r i s d i e r e n t , s i n c e b y d e c r e a s i n g t h e r a t e


6/9

o f u s e r 1 , t h e s u m o f t h e u t i l i t y f u n c t i o n s f i n c r e a s e s . H e n c e t h e o p t i m a l v e c t o r x d e p e n d s o n t h e u t i l i t y f u n c t i o n f

w h e n t h e r e a r e a t l e a s t t w o b o t t l e n e c k s .

I t i s t h e c o n c a v i t y o f t h e f u n c t i o n f t h a t f o r c e s f a i r n e s s b e t w e e n u s e r s . I f f i s a c o n v e x i n c r e a s i n g f u n c t i o n i n s t e a d

o f c o n c a v e , t h e n t o m a x i m i z e t h e o b j e c t i v e f u n c t i o n g o f P , t h e l a r g e r o w r a t e x

i

s h o u l d b e i n c r e a s e d , s i n c e t h e

r a t e o f i n c r e a s e o f f x

i

i s i n c r e a s i n g i n x

i

. W h e n f i s l i n e a r , t h e r a t e o f i n c r e a s e o f f i s t h e s a m e f o r a l l x . W h e n f

i s c o n c a v e , a s m a l l e r x

i

f a v o r e d , s i n c e f x f y i f x y

I t i s a m a t t e r o f c o n t r o v e r s y w h a t i s a f a i r r a t e a l l o c a t i o n f o r t h e n e t w o r k i n g u r e 2 . I t c a n b e a r g u e d t h a t t h e

m a x - m i n f a i r r a t e i s d e s i r a b l e . O n t h e o t h e r h a n d , c o n n e c t i o n 1 i s u s i n g m o r e r e s o u r c e s t h a n t h e o t h e r s u n d e r t h e

m a x - m i n f a i r r a t e . G e n e r a l l y , t h e p r o b l e m i s h o w t o c o m p r o m i s e b e t w e e n t h e f a i r n e s s t o u s e r s a n d t h e u t i l i z a t i o n o f

r e s o u r c e s . T h e m a x - m i n d e n i t i o n g i v e s t h e a b s o l u t e p r i o r i t y t o t h e f a i r n e s s .

W e g e n e r a l i z e t h e c o n c e p t o f p r o p o r t i o n a l f a i r n e s s a s f o l l o w s .

D e f i n i t i o n 1 p - p r o p o r t i o n a l l y f a i r .

L e t p = f p

1

; : : : ; p

N

g a n d b e p o s i t i v e n u m b e r s . A v e c t o r o f r a t e s x

i s p - p r o p o r t i o n a l f a i r i f i t i s f e a s i b l e

a n d f o r a n y o t h e r f e a s i b l e v e c t o r x

X

i

p

i

x

i

, x

i

x

i

0 1 4

N o t e t h a t 1 4 r e d u c e s t o 6 w h e n p = 1 1

T

a n d = 1

T h e f o l l o w i n g l e m m a c l a r i e s t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e a b o v e d e n i t i o n a n d t h e p r o b l e m P

L e m m a 3 . 1 . D e n e t h e f u n c t i o n f

a s f o l l o w s :

f

x =

8

:

x

1

i f 0 1

l o g x i f = 1

, x

1

i f 1

T h e n t h e r a t e v e c t o r x

s o l v e s t h e p r o b l e m P w i t h f = f

i f a n d o n l y i f x

i s p - p r o p o r t i o n a l l y f a i r .

T h e n e x t l e m m a e x p l a i n s t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n m a x - m i n f a i r r a t e a n d t h e p a r a m e t e r

L e m m a 3 . 2 . I f h i s i n c r e a s i n g c o n c a v e n e g a t i v e f u n c t i o n , t h e s o l u t i o n o f P w i t h f

n

= , , h

n

a p p r o a c h e s t h e

m a x - m i n f a i r r a t e s a s n ! 1

S i n c e

f

n

x

f

n

x +

=

h x

h x +

n 1

h x

h x +

! 1 a s n ! 1

t h e f u n c t i o n f

n

g i v e s m o r e p r i o r i t y t o s m a l l e r o w s a s n i n c r e a s e s .

C o r o l l a r y 3 . T h e p - p r o p o r t i o n a l l y f a i r r a t e v e c t o r a p p r o a c h e s t h e m a x - m i n f a i r r a t e v e c t o r a s ! 1

3 . 2 . W i n d o w S i z e a n d F a i r n e s s

I n t h i s s u b s e c t i o n w e s t u d y t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n w i n d o w s i z e s a n d f a i r n e s s .

T C P V e g a s

2 7

u s e s t h e e s t i m a t e d t o t a l b a c k l o g o f a c o n n e c t i o n a s a d e c i s i o n f u n c t i o n . I n o u r n o t a t i o n , t h e t o t a l

b a c k l o g o f c o n n e c t i o n i i s w

i

, x

i

d

i

. I n T C P V e g a s , a h o s t i n c r e a s e s i t s w i n d o w s i z e i f t h e e s t i m a t e d t o t a l b a c k l o g i s

s m a l l e r t h a n a t a r g e t v a l u e a n d d e c r e a s e s i t o t h e r w i s e .

W e n o w e s t a b l i s h t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e t o t a l b a c k l o g s a n d f a i r n e s s . L e t p

i

0 f o r i = 1 N . D e n e

s

i

= w

i

, x

i

d

i

, p

i

, f o r i = 1 N 1 5

T h e n e x t t h e o r e m s h o w s t h a t a n y w i n d o w v e c t o r w s u c h t h a t s

i

= 0 f o r a l l i c o r r e s p o n d s t o a p 1 - p r o p o r t i o n a l l y

f a i r r a t e v e c t o r x

T h e o r e m 3 . T h e r e i s a u n i q u e w i n d o w v e c t o r w s u c h t h a t s

i

= 0 f o r i = 1 N M o r e o v e r , t h e c o r r e s p o n d i n g r a t e

v e c t o r x w d e n e d b y t h e e q u a t i o n s 1 - 4 i s a p 1 - p r o p o r t i o n a l l y f a i r r a t e v e c t o r .


7/9

P r o o f . T h e k e y o b s e r v a t i o n i s q p l a y s t h e r o l e o f L a g r a n g e m u l t i p l i e r o f P . R e f e r t o 1 6 f o r a d e t a i l e d p r o o f .

T h i s t h e o r e m i m p l i e s t h a t b y c o n t r o l l i n g t h e t o t a l b a c k l o g s o f t h e n e t w o r k , w e c a n o p e r a t e t h e n e t w o r k a t t h e

p 1 - p r o p o r t i o n a l l y f a i r p o i n t .

T h i s t h e o r e m c a n b e e x t e n d e d t o t h e p - p r o p o r t i o n a l l y f a i r c a s e . L e t p

i

0 f o r i = 1 N a n d 1

D e n e

s

i

= w

i

, x

i

d

i

,

p

i

x

1

i

, f o r i = 1 N 1 6

T h e o r e m 4 . T h e r e i s a u n i q u e w i n d o w v e c t o r w s u c h t h a t s

i

= 0 f o r a l l i . M o r e o v e r , t h e c o r r e s p o n d i n g r a t e v e c t o r

x w d e n e d b y t h e e q u a t i o n s 1 - 4 i s a p - p r o p o r t i o n a l l y f a i r r a t e v e c t o r .

4 . F A I R E N D - T O - E N D A L G O R I T H M

4 . 1 . p , 1 - P r o p o r t i o n a l l y F a i r A l g o r i t h m

I n t h i s s e c t i o n w e c o n s t r u c t a n e n d - t o - e n d c o n t r o l t h a t c o n v e r g e s t o t h e p r o p o r t i o n a l l y f a i r p o i n t . D e n e

d

i

= d

i

+ A

i

q , f o r i = 1 N

T h a t i s ,

d

i

i s t h e m e a s u r e d r o u n d - t r i p d e l a y o f c o n n e c t i o n i . F i x 0

C o n s i d e r t h e f o l l o w i n g s y s t e m o f d i e r e n t i a l e q u a t i o n s :

d

d t

w

i

t = ,

d

i

d

i

s

i

w

i

1 7

s

i

= w

i

, x

i

d

i

, p

i

f o r i = 1 N 1 8

T h e o r e m 5 . L e t V w =

P

N

i = 1

s

i

w

i

2

. T h e n V i s a L y a p u n o v f u n c t i o n f o r t h e s y s t e m o f d i e r e n t i a l e q u a t i o n s

1 7 - 1 8 . T h e u n i q u e v a l u e m i n i m i z i n g V i s a s t a b l e p o i n t o f t h i s s y s t e m , t o w h i c h a l l t r a j e c t o r i e s c o n v e r g e .

P r o o f . W e s h o w i n 1 6 t h a t

d

d t

V w t = ,

P

j

P

i

s

i

w

i

d r

i

d w

j

w

j

0 f o r a l l t

K e l l y e t a l

1 2

p r o p o s e d a r a t e c o n t r o l a l g o r i t h m t h a t c o n v e r g e s t o t h e p r o p o r t i o n a l l y f a i r p o i n t . T h e a l g o r i t h m

c h a n g e s t h e r a t e a s f o l l o w s :

d

d t

x

i

t = p

i

, x

i

t A

i

t

w h e r e

j

t = A

T

x

j

, C

j

+ =

2

T h e s o u r c e i g e t s t h e e x p l i c i t f e e d b a c k

P

j

j

t , s u m o f r e s i d u a l c a p a c i t i e s , f r o m t h e l i n k s a n d c h a n g e s i t s r a t e

a c c o r d i n g l y . T h e i n c r e a s e i s l i n e a r a n d t h e d e c r e a s e i s m u l t i p l i c a t i v e . E a c h

j

t p l a y t h e r o l e o f a L a g r a n g e

m u l t i p l i e r s o f t h e p r o b l e m P a s ! 0

O u r a l g o r i t h m , h o w e v e r , c o n t r o l s t h e w i n d o w s i z e i n s t e a d o f t h e r a t e e x p l i c i t l y . T h e r a t e i s a f u n c t i o n o f a l l

w i n d o w s . T h e a l g o r i t h m 1 7 - 1 8 c a n b e w r i t t e n a s f o l l o w s :

d

d t

w

i

t =

p

i

w

i

+

d

i

d

i

, 1

d

i

d

i

w h e r e

d

i

= d

i

+

X

j 2 A

i

q

j

H e r e , t h e m e a s u r e d d e l a y

d

i

p l a y s t h e r o l e o f t h e f e e d b a c k . T h i s d e l a y i s t h e s u m m a t i o n o f q

j

p l u s d

i

. T h u s , q

j

i n o u r

a l g o r i t h m i s c o m p a r a b l e t o

j

i n K e l l y ' s . T h e y a r e b o t h L a g r a n g e m u l t i p l i e r s o f P . H o w e v e r , w e d o n o t l i n e a r l y

i n c r e a s e a n d m u l t i p l i c a t i v e l y d e c r e a s e t h e w i n d o w . W h e n t h e n e t w o r k i s n o t c o n g e s t e d , q = 0 , _w =

p

i

w

i

. a n d t h e

i n c r e a s i n g r a t e i s a d e c r e a s i n g f u n c t i o n o f w


8/9

4 . 2 . p , - P r o p o r t i o n a l l y F a i r A l g o r i t h m

I n t h i s s u b s e c t i o n , w e c o n s i d e r a n a l g o r i t h m t h a t c o n v e r g e s t o a n p - p r o p o r t i o n a l l y f a i r r a t e v e c t o r . W e k n o w

t h a t i f s

i

= w

i

, x

i

d

i

,

p

i

x

i

1

= 0 f o r a l l i , t h e n t h e r a t e v e c t o r i s p - p r o p o r t i o n a l l y f a i r . W e c a l l

p

i

x

i

1

t h e t a r g e t

q u e u e l e n g t h , " s i n c e w

i

, x

i

d

i

i s t h e e s t i m a t e d q u e u e l e n g t h i n t h e n e t w o r k . N o t e t h a t t a r g e t q u e u e l e n g t h g o e s t o

i n n i t y w h e n t h e r a t e i s v e r y s m a l l . W h e n = 1 , t h e t a r g e t q u e u e l e n g t h i s c o n s t a n t r e g a r d l e s s o f t h e r a t e . O n t h e

o t h e r h a n d , w h e n 1 , t h e t a r g e t q u e u e l e n g t h i s a f u n c t i o n o f x , w h i c h i s v a r y i n g a n d i s a d e c r e a s i n g f u n c t i o n o f

t h e r a t e . H e n c e , w h e n t h e o w r a t e i s l a r g e , t h e a l g o r i t h m t r i e s t o m a i n t a i n s m a l l e r q u e u e a n d v i c e v e r s a .

O n e u n f a v o r a b l e p r o p e r t y o f t h e t a r g e t q u e u e l e n g t h f u n c t i o n

p

i

x

i

1

i s t h a t w h e n x

i

1 , t h i s f u n c t i o n b e c o m e s

v e r y l a r g e a n d t h e t a r g e t q u e u e l e n g t h u c t u a t e s a n d m a k e s t h e c o n t r o l u n s t a b l e . C o n s e q u e n t l y , w e c o n s i d e r

p

i

x

i

+ 1

1

i n s t e a d o f

p

i

x

i

1

, s i n c e t h e v a r i a t i o n o f t h e f o r m e r i s s m a l l e r t h a n t h a t o f t h e l a t t e r .

T h e o b j e c t i v e f u n c t i o n h

s u c h t h a t t h e s o l u t i o n o f P c o r r e s p o n d s t o s

= w

i

, x

i

d

i

,

p

i

x

i

+ 1

1

= 0 i s

h

x =

8

:

l o g x i f = 1

l o g

x

x + 1

i f = 2

l o g

x

x + 1

+

P

2

i = 1

1

i x + 1

i

i f 3

N o t e t h a t h

=

1

x x + 1

1

a n d l i m

x ! 1

h

= 0 . T h e s e o b s e r v a t i o n s s h o w t h a t h

a

p i s i n c r e a s i n g c o n c a v e a n d

n o n n e g a t i v e , a n d b y t h e c l a i m 3 . 2 , t h e s o l u t i o n o f P w i t h o b j e c t i v e f u n c t i o n h

c o n v e r g e s t o m a x - m i n r a t e v e c t o r .

C o n s i d e r t h e s y s t e m o f d i e r e n t i a l e q u a t i o n s

d

d t

w

i

= , x

i

s

i

u

i

1 9

w h e r e

s

i

= w

i

, x

i

d

i

,

p

i

x

i

+ 1

1

a n d u

i

= d

i

, , 1

p

i

x

i

+ 1

2 0

T h e o r e m 6 . I f p

i

d

i

1

f o r a l l i , t h e f u n c t i o n V w =

1

2

P

i

s

2

i

i s a L y a p u n o v f u n c t i o n f o r t h e s y s t e m o f

e q u a t i o n s 1 9 - 2 0 . T h e u n i q u e v a l u e w m i n i m i z i n g V w i s a s t a b l e p o i n t o f t h e s y s t e m t o w h i c h a l l t r a j e c t o r i e s

c o n v e r g e .

5 . C O N C L U S I O N S A N D F U T U R E R E S E A R C H

I n t h i s p a p e r w e h a v e a d d r e s s e d t h e f u n d a m e n t a l q u e s t i o n o f t h e e x i s t e n c e o f f a i r e n d - t o - e n d w i n d o w - b a s e d c o n g e s t i o n

c o n t r o l . W e h a v e s h o w n t h e e x i s t e n c e o f w i n d o w - b a s e d f a i r e n d - t o - e n d c o n g e s t i o n c o n t r o l u s i n g m u l t i c l a s s c l o s e d u i d

m o d e l . W e s h o w e d t h a t t h e o w r a t e s a r e a w e l l d e n e d f u n c t i o n o f t h e w i n d o w s i z e s a n d c h a r a c t e r i z e d t h i s f u n c t i o n .

W e g e n e r a l i z e d t h e p r o p o r t i o n a l f a i r n e s s a n d r e l a t e d t h e f a i r n e s s t o t h e o p t i m i z a t i o n p r o b l e m . O u r d e n i t i o n o f

f a i r n e s s a d d r e s s e s t h e c o m p r o m i s e b e t w e e n u s e r f a i r n e s s a n d r e s o u r c e u t i l i z a t i o n . W i t h t h e h e l p o f o p t i m i z a t i o n

p r o b l e m , w e h a v e r e l a t e d w i n d o w s i z e s a n d t h e f a i r p o i n t . W e h a v e d e v e l o p e d a n a l g o r i t h m w h i c h c o n v e r g e s t o t h e

f a i r p o i n t a n d p r o v e d i t s c o n v e r g e n c e u s i n g a L y a p u n o v f u n c t i o n .

O u r a l g o r i t h m u s e s t h e p r o p a g a t i o n d e l a y d

i

, m e a s u r e d d e l a y

d

i

, a n d w i n d o w s i z e w

i

. U n f o r t u n a t e l y , t h e e n d

u s e r c a n n o t k n o w t h e e x a c t v a l u e o f p r o p a g a t i o n d e l a y . F u r t h e r m o r e , t h e v a l u e o f p r o p a g a t i o n d e l a y c o u l d c h a n g e

i n t h e c a s e o f r e r o u t i n g i n p a c k e t - s w i t c h e d n e t w o r k s . T C P V e g a s u s e s t h e m i n i m u m o f d e l a y s o b s e r v e d s o f a r a s a n

e s t i m a t e d p r o p a g a t i o n d e l a y . T C P - V e g a s f a i l s t o a d a p t t o t h e r o u t e c h a n g e w h e n t h e c h a n g e d r o u t e i s l o n g e r t h a n

o r i g i n a l r o u t e . R e f e r t o L a e t a l

2 8

f o r m o r e d e t a i l . T h e c h a l l e n g i n g q u e s t i o n t h a t r e m a i n s i s t h e i m p l e m e n t a b i l i t y o f

t h i s p r o t o c o l .

R E F E R E N C E S

1 . V . J a c o b s o n , C o n g e s t i o n a v o i d a n c e a n d c o n t r o l , " C o m p u t e r C o m m u n i c a t i o n R e v i e w 1 8 , p p . 3 1 4 2 9 , A u g u s t

1 9 8 8 .

2 . S . F l o y d a n d V . J a c o b s o n , C o n n e c t i o n w i t h m u l t i p l e C o n g e s t e d G a t e w a y s i n p a c k e t - S w i t c h e d N e t w o r k s , P a r t 1 :

O n e - w a y T r a c " , " A C M C o m p u t e r C o m m u n i c a t i o n R e v i e w 2 1 , p p . 3 0 4 7 , A u g u s t 1 9 9 1 .


9/9

3 . S . F l o y d a n d V . J a c o b s o n , R a n d o m E a r l y D e t e c t i o n G a t e w a y s f o r C o n g e s t i o n A v o i d a n c e , " I E E E A C M T r a n s -

a c t i o n s o n N e t w o r k i n g 1 , p p . 3 9 7 4 1 3 , A u g u s t 1 9 9 3 .

4 . A . M a n k i n , R a n d o m D r o p C o n g e s t i o n C o n t r o l , " i n P r o c . S I G C O M M ' 9 0 , p p . 1 7 , P h i l a d e l p h i a , P A , S e p t e m b e r

1 9 9 0 .

5 . S . F l o y d a n d V . J a c o b s o n , O n T r a c P h a s e E e c t s i n p a c k e t S w i t c h e d G a t e w a y s , " I n t e r n e t w o r k i n g : R e s e a r c h

a n d E x p e r i e n c e 3 , p p . 1 1 5 1 5 6 , S e p t e m b e r 1 9 9 3 .

6 . T . H e n d e r s o n , E . S a h o u r i a , S . M c C a n n e , a n d R . K a t z , I m p r o v i n g F a i r n e s s o f T C P C o n g e s t i o n A v o i d a n c e , " i n

G l o b e c o m ' 9 8 , 1 9 9 8 .

7 . J . J a e , F l o w C o n t r o l P o w e r i s N o n d e c e n t r a l i z a b l e , " I E E E T r a n s a c t i o n s o n C o m m u n i c a t i o n s C O M - 2 9

p p . 1 3 0 1 1 3 0 6 , S e p t e m b e r 1 9 8 1 .

8 . D . C h i u a n d R . J a i n , A n a l y s i s o f t h e I n c r e a s e a n d D e c r e a s e A l g o r i t h m s f o r C o n g e s t i o n A v o i d a n c e i n C o m p u t e r

N e t w o r k s , " C o m p u t e r N e t w o r k s a n d I S D N S y s t e m s 1 7 , p p . 1 1 4 , 1 9 8 9 .

9 . S . S h e n k e r , A t h e o r e t i c a l a n a l y s i s o f f e e d b a c k o w c o n t r o l , " i n A C M S I G C O M ' 9 0 S y m p o s i u m , P h i l a d e l p h i a ,

P A , 2 4 - 2 7 S e p t 1 9 9 0 .

1 0 . A . C h a r n y , A n a l g o r i t h m f o r r a t e a l l o c a t i o n i n a p a c k e t - s w i t c h i n g n e t w o r k w i t h f e e d b a c k , " M a s t e r ' s t h e s i s ,

M I T , C a m b r i d g e , M A , 1 9 9 4 .

1 1 . R . J a i n , M y t h s a b o u t C o n g e s t i o n M a n a g e m e n t i n H i g h S p e e d N e t w o r k s , " I n t e r n e t w o r k i n g : R e s e a r c h a n d E x p e -

r i e n c e 3 , p p . 1 0 1 1 1 3 , 1 9 9 2 .

1 2 . F . K e l l y , A . M a u l l o o , a n d D . T a n , R a t e c o n t r o l f o r c o m m u n i c a t i o n n e t w o r k s : s h a d o w p r i c e p r o p o r t i o n a l f a i r n e s s

a n d s t a b i l i t y , " J o u r n a l o f t h e O p e r a t i o n a l R e s e a r c h S o c i e t y 4 9 , p p . 2 3 7 2 5 2 , 1 9 9 8 .

1 3 . D . M i t r a , A s y m p t o t i c a l l y o p t i m a l d e s i g n o f c o n g e s t i o n c o n t r o l f o r h i g h s p e e d d a t a n e t w o r k , " I E E E T r a n s a c t i o n

o n C o m m u n i c a t i o n 4 0 , p p . 3 0 1 3 1 1 , F e b r u a r y 1 9 9 2 .

1 4 . D . M i t r a a n d I . M i t r a n i , E c i e n t w i n d o w o w c o n t r o l f o r h i g h s p e e d d a t a n e t w o r k s w i t h s m a l l b u e r s , " A n n a l s

o f O p e r a t i o n s R e s e a r c h 4 9 , p p . 1 2 4 , M a r c h 1 9 9 4 .

1 5 . K . F e n d i c k , D . M i t r a , I . M i t r a n i , M . R o d r i g u e s , J . S e e r y , a n d A . W e i s s , A n a p p r o a c h t o h i g h - p e r f o r m a n c e ,

h i g h - s p e e d d a t a n e t w o r k s , " I E E E C o m m u n i c a t i o n s M a g a z i n e 2 9 , p p . 7 4 8 2 , O c t o b e r 1 9 9 1 .

1 6 . J . M o a n d J . W a l r a n d , F a i r e n d t o e n d w i n d o w - b a s e d c o n g e s t i o n c o n t r o l , " T e c h . R e p . M 9 8 4 6 , U C B E R L ,

J u l y 1 9 9 8 . a v a i l a b l e a t h t t p : w w w . p a t h . b e r k e l e y . e d u ~ j h m o .

1 7 . J . J a e , B o t t l e n e c k o w c o n t r o l , " I E E E T r a n s a c t i o n o n C o m m u n i c a t i o n s C O M - 2 9 , J u l y 1 9 8 1 .

1 8 . D . B e r t s e k a s a n d R . G a l l a g e r , D a t a N e t w o r k s , P r e n t i c e - H a l l , E n g l w o o d C l i s , N . J . , 1 9 9 2 .

1 9 . E . H a h n e , R o u n d - r o b i n s c h e d u l i n g f o r m a x m i n f a i r n e s s i n d a t a n e t w o r k , " I E E E J o u r n a l o n S e l e c t e d A r e a s i n

C o m m u n i c a t i o n s 9 , p p . 1 0 2 4 3 9 , S e p t e m b e r 1 9 9 1 .

2 0 . R . J a i n , C o n g e s t i o n C o n t r o l a n d T r a c M a n a g e m e n t i n A T M N e t w o r k s : R e c e n t A d v a n c e s a n d A S u r v e y , "

C o m p u t e r N e t w o r k s a n d I S D N S y s t e m s 2 8 , p p . 1 7 2 3 3 8 , O c t o b e r 1 9 9 6 .

2 1 . A . M a y e r , Y . O f e k , a n d M . Y u n g , A p p r o x i m a t i n g M a x - M i n F a i r R a t e s v i a D i s t r i b u t e d L o c a l S c h e d u l i n g w i t h

P a r t i a l I n f o r m a t i o n , " i n I E E E I n f o c o m ' 9 6 , p p . 9 2 6 9 3 6 , S a n F r a n c i s c o , C A , U S A , M a r c h 1 9 9 6 .

2 2 . F . K e l l y , C h a r g i n g a n d r a t e c o n t r o l f o r e l a s t i c t r a c , " E u r o p e a n T r a n s a c t i o n s o n T e l e c o m m u n i c a t i o n s 8 , p p . 3 3

3 7 , J a n - F e b 1 9 9 7 .

2 3 . R . M a z u m d a r , L . M a s o n , a n d C . D o u l i g e r i s , F a i r n e s s i n n e t w o r k o p t i m a l o w c o n t r o l : o p t i m a l i t y o f p r o d u c t

f o r m s , " I E E E T r a n s a c t i o n s o n C o m m u n i c a t i o n s 3 9 , p p . 7 7 5 7 8 2 , M a y 1 9 9 1 .

2 4 . C . D o u l i g e r i s a n d R . M a z u m d a r , A G a m e T h e o r e t i c P e r s p e c t i v e t o F l o w C o n t r o l i n T e l e c o m m u n i c a t i o n N e -

t o w k , " J o u r n a l o f t h e F r a n k l i n I n s t i t u t e 3 2 9 , p p . 3 8 3 4 0 2 , 1 9 9 2 .

2 5 . Z . Z h a n g a n d C . D o u l i g e r i s , C o n v e r g e n c e o f S y n c h r o n o u s a n d A s y n c h r o n o u s G r e e d y A l g o r i t h m s i n a M u l t i c l a s s

T e l e c o m m u n i c a t i o n s E n v i r o n m e n t , " I E E E T r a n s a c t i o n s o n C o m m u n i c a t i o n s 4 0 , p p . 1 2 7 7 1 2 8 1 , A u g u s t 1 9 9 2 .

2 6 . M . A v r i e l , N o n l i n e a r P r o g r a m m i n g , P r e n t i c e - H a l l , E n g l w o o d C l i s , N . J . , 1 9 7 6 .

2 7 . L . B r a k m o a n d L . P e t e r s o n , T c p v e g a s : e n d t o e n d c o n g e s t i o n a v o i d a n c e o n a g l o b a l i n t e r n e t , " I E E E J o u r n a l

o n S e l e c t e d A r e a s i n C o m m u n i c a t i o n s 1 3 , p p . 1 4 6 5 8 0 , O c t o b e r 1 9 9 5 .

2 8 . R . J . L a , J . W a l r a n d , a n d V . A n a n t h a r a m , I s s u e s i n T C P V e g a s . " a v a i l a b l e a t h t t p : w w w . p a t h . b e r k e l e y . e d u ~

h y o n g l a , J u l y 1 9 9 8 .

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