combinación lineal de vectores

Combinación lineal de vectores Definición:Dado un espacio vectorial  V  sobre un cuerpo K y un conjunto

A={v1 , v2 , v3 , …vn , }  de vectores en  V  , es decir,  A⊂V  .

Se dice que un vector v∈V  es combinación

lineal de A si ∃ k1, ……, k n∈K : v=∑i=1

n

k i v i.

En términos no tan formales, diremos que   es combinación lineal de vectores de A

si podemos expresarlo como una suma de productos por escalar de una cantidad

finita de elementos de A . En este caso, también se dice que v depende

linealmente de los vectores de A .

En particular, la combinación lineal de un conjunto de vectores se trata de un vector

de la forma:

v=k1 v⃗1+k 2 v⃗2+… ..+kn v⃗n=∑i=1

n

k i v i

con los k i elementos de un cuerpo.

Ejemplos:1. Consideremos lo vectores U⃗=(5,4,3 ) y V⃗ =(2,5,5 ) enR3 para que valores de Kes

W⃗ =(4 , k ,2k+5 ) una combinación lineal de U⃗ y V⃗ .

Resolución:

W⃗ =(4 , k ,2 k+5 )=α 1 (5,4,3 )+α2(2,5,5)

W⃗ =(4 , k ,2k+5 )=(5α 1+2α 2 , 4 α 1+5 α2 ,3 α1+5 α2 )

[5 2 04 5 −13 5 −2

⋮405 ] f 3

2 (−1 )→ [5 2 0

1 0 13 5 −2

⋮4

−55 ] f 5

3 (−1 )→

[ 5 2 01 0 1

−2 3 −2⋮

4−51 ] f 2

3 (2 )→ [5 2 0

1 0 10 3 0

⋮4

−5−9]

Luego se obtiene: α 1=2 , α2=−3 , k=−7

2. El vector z⃗=(2,1 ), ¿se puede expresar como combinación lineal de los vectoresx⃗=(3 ,−2 ) e y⃗=(1,4 )?

5 α 1+2 α 2+0=4

4 α1+5α 2−k=0

3 α 1+5 α2−2 k=5

Resolución:

z⃗=(2,1 )=a (3 ,−2 )+b (1,4 )

z⃗=(2,1 )=(3a ,−2a )+ (b ,4 b )

z⃗=(2,1 )=(3a+b ,−2a+4 b )

a=12

, b=12

Se obtendría: z⃗=12

x⃗+12

y⃗

Independencia y dependencia lineal de vectores

2=3 a+b

1=−2a+4 b

Independencia lineal.Definición: Dado un conjunto finito de vectores {v1 , v2 , …. vn ,} , se dice que estos vectores

son linealmente independientes si existen números {a1 , a2 , …. an ,} no todos cero,

tales que:

a1 v1+α2 v2+… ..+α n an=0

Dependencia lineal.Definición: Dado un conjunto finito de vectores {v1 , v2 , …. vn ,} , se dice que estos vectores

son linealmente dependientes si existen números {a1 , a2 , …. an ,} son todos cero y

además:

a1 v1+a2 v2+… ..+an vn=0

Ejemplos:

1. Si {v1 , v2 , v3 , v4 } son linealmente independientes demostrar que los valores

U 1=v2+v3+v4, U 2=v1+v3+v4, U 3=v1+v2+v4 y U 4=v1+v2+v3 son linealmente independientes.

Resolución: {v1 , v2 , v3 , v4 } son linealmente independientes entonces:

∃ v1=v2=v3=v4=0 / a1 v1+a2 v2+… ..+an vn=0

Luego: a1U 1+a2U 2+a3U 3+a4 U 4=0a1 ( v2+v3+v 4 )+a2(v1+v3+v4)+a3(v1+v2+v4)+a4(v1+v2+v3)=0

Entonces:

(a¿¿2+a3+a4)v1+(a¿¿1+a3+a4)v2+(a¿¿1+a2+a4)v3+(a¿¿1+a2+a3)v4=0¿¿¿¿

Como son linealmente independientes:

a2+a3+a4=0a1+a3+a4=0a1+a2+a4=0a1+a2+a3=0

⌈a2 a3 a4

a1 a3 a4

a1 a2 a4

⋮000⌉

f 21(−1)

→

f 32(−1)

→

f 43 (−1)

→

⌈a2 0 00 a3 00 0 a4

⋮000⌉

⌊a1 a2 a30 ⌋ f 43(−1)

→ ⌊a1 a2 a30 ⌋

Luego se obtiene:

a1=a2=a3=a4=0→U 1, U 2, U 3 y U 3 son linealmente independientes

2.Determinar los valores de k para que sean  linealmente dependientes los vectoresU⃗=(3 , K ,−6),V⃗= (−2 ,1 , k+3 )yW⃗ =(1 ,K+2 ,4 )  .

escribir  U⃗  como combinación lineal  de V⃗  yW⃗ , siendo k el valor calculado.

Resolución:

Los vectores son linealmente dependientes  si

el determinante  de la matriz que forman es nulo , es

decir que el rango de la matriz es menor que 3.

| 3 k −6−2 1 k+31 k+2 4 |=0

12+k2+3 k+12k+24−(−6−8 k+3k2+15 k+18 )=0

se obtiene: k 2−4 k−12=0 , k=−2 , k=6

(3 ,−2,−6 )=a (−2,1,1 )+b (1,0,4 )

(3 ,−2,−6 )=(−2a+b , a , a+4 b)

{3=−2 a+b−2=a

−6=a+4 b→ a=−2, b=−1 f inalmente:

U⃗=−2V⃗ −W