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FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 95
2Mstand/renf – JtJ 2018
Chapitre 6: Fonctions trigonométriques Prérequis: Généralités sur les fonctions, Introduction dérivée, rapports trigo Requis pour: Croissance, Optimisation.
6.1 Quelques rappels
Définitions
Les fonctions trigonométriques sont définies à l’aide du cercle trigonométrique :
Considérons le point M du cercle trigonométrique corres-pondant à l’angle α.
Le cosinus de α, noté cos(α), est la 1ère coordonnée (ou abs-cisse) de M.
Le sinus de α, noté sin(α), est la 2ème coordonnée (ou or-donnée) de M.
La tangente de α, notée tan(α), est l’ordonnée de T.
Relations fondamentales
(I) sin2(α) + cos2(α) =1
(II) tan(α) =sin(α)cos(α)
Valeurs particulières degrés radians sin cos tan
0°
30°
45°
60°
90°
180°
Graphes des fonctions trigo
96 CHAPITRE 6
2Mstand/renf – Jt 2018
Périodicité
• La fonction sinus est périodique de période ……
sin(α + …) = sin(…)
• La fonction cosinus est périodique de période ……
cos(α + …) = cos(…)
• La fonction tangente est périodique de période ……
tan(α + …) = tan(…)
a) Esquisser la fonction f définie par f (x) = 3sin x
2
⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ puis
préciser sa période et son amplitude.
Exemple
FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 97
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b) Esquisser la fonction f définie par f (x) = −1
2cos x + π( )
puis préciser sa période, son amplitude.
Exemple
Exercice 6.1 :
Esquisser les fonctions f suivantes en précisant leur période et leur amplitude:
a) f (x) = −2cos x
3
⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ b) f (x) = sin x + π
2
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟
c) f (x) = 3cos x
2+ π
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟
Théorème
Si f (x) = a ⋅ sin(bx + c) ou f (x) = a ⋅ cos(bx + c) , où a, b et c sont des réels non nuls, alors :
• l’amplitude A vaut : | a |
• la période T vaut : 2π|b |
98 CHAPITRE 6
2Mstand/renf – Jt 2018
On considère la fonction f définie par f (x) = −3cos x
2+ π
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟ .
Déterminer l’amplitude A et la période T de f. En déduire son esquisse
Exemple
Exercice 6.2 :
Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer sa pé-riode T et son amplitude A :
a) f (x) = sin x − π2
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟ b) g(x) = 2cos 3x + π( )
c) h(x) = −cos x
2+π3
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟ d) i(x) = −2sin 3x −π( )
Retrouver sur le graphe ci-dessous les courbes correspon-dantes à ces 4 fonctions :
FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 99
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6.2 Quelques équations trigonométriques
Introduction
Une équation trigonométrique est une équation contenant des expressions trigonométriques. Il n’existe pas de mé-thode universelle, mais le cercle trigonométrique sera très souvent votre allié.
Exemple
Résoudre cos(2x) = -0,9
Exercice 6.3 :
Résoudre les équations suivantes (en degrés):
a) cos(x) = −1
2 b) sin(3x) = 0,829
c) tan(x) = −0,754 d) cos(−x) = −1,43
e) tanx
2
⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟ = 5,33 f) sin(3x) = −
3
2
100 CHAPITRE 6
2Mstand/renf – Jt 2018
Résoudre sin 2x +π2
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ = −
3
2
Exemple
Exercice 6.4 :
Résoudre les équations suivantes (en radians):
a) sin x +π4
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ =1
2 b) cos x −
π3
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ =1
2
c) sin 2x −π3
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ =1
2 d) cos 4x −
π4
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ =
2
2
e) tan(2x + π) = 3 f) tanx
2
⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟ = −1
Exemple
Résoudre sin2 x( ) =1
FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 101
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Exercice 6.5 :
Résoudre les équations suivantes (en radians):
a) cos2 x( ) =1 b) sin2 x( ) = 14
c) tan2 x( ) = 3 d) sin2 x( ) = 34
e) tan2 x( ) =1 f) sin2(x) = cos2(x)
Exemple
Résoudre 4cos2(x) − 4cos(x) − 3 = 0
Exercice 6.6 :
Résoudre les équations suivantes (en degrés):
a) 2sin2(x) − 5sin(x) + 2 = 0
b) 2cos2(x) − 3cos(x) +1= 0
c) tan2(x) + 2tan(x) = −1
102 CHAPITRE 6
2Mstand/renf – Jt 2018
Exemple
Résoudre 3sin2(x) + cos2(x) − 2 = 0
Exercice 6.7 :
Résoudre les équations suivantes (en degrés):
a) 3sin2(x) + cos2(x) − 2 = 0 (en proposant une autre substitution)
b) 2cos2(x) − sin(x) =1
c) 5sin(x) = 6cos2(x)
FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 103
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6.3 Dérivée des fonctions trigonométriques
Introduction
À l'image des chapitres précédents, nous pourrions détermi-ner la dérivée de la fonction f définie par f (x) = sin(x) à
l’aide du calcul de limite : limx→a
sin(x)− sin(a)
x − a.
Essayons de trouver cette dérivée en comparant les graphes de f et de la pente de la tangente en plusieurs points.
x−π π 2π
y
−2
2f(x) = sin(x)
x−π π 2π
y
−1
1
f ′(x) = . . . . . . . . . Des démarches analogues permettraient de justifier les règles suivantes :
Les règles de dérivation des fonctions trigo :
8ème règle : Si f (x) = sin(x) ⇒ ′ f (x) = cos(x)
9ème règle : Si f (x) = cos(x) ⇒ ′ f (x) = −sin(x)
10ème règle : Si f (x) = tan(x) ⇒ ′f (x) = tan2(x)+1
ou ′f (x) = 1
cos2(x)
Exercice 6.8 :
Dériver les fonctions f suivantes :
a) f (x) = sin(x) + cos(x) b) f (x) = x2 · cos(x)
c) f (x) = cos(x) – 2tan(x) d) f (x) =tan(x)
x
e) f (x) =sin(x)
1+ cos(x) f) f (x) =
x
sin(x)+ cos(x)
104 CHAPITRE 6
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Exercice 6.9 :
En combinant les règles 8 et 9 du tableau précédent, justifier la 10ème règle (sous les deux formes).
Exercice 6.10 :
Déterminer l’équation de la tangente à la courbe au point indiqué :
a) f (x) = tan(x) au point d’abscisse x = π b) f (x) = x cos(x) au point d’abscisse x = π
Exercice 6.11 :
En quelles valeurs de x ∈ [0; 2π ] , la courbe y = x + 2sin(x) a-t-elle une tangente horizontale ?
6.4 La dérivée de fonctions composées
Introduction
Nous avons déjà eu l’occasion de dériver quelques fonctions composées codées: f (x) = (g h)(x) . Par exemple :
• f (x) = x − 2 correspond à f (x) = (g h)(x) avec
g(x) = ……… et h(x) = ………
• f (x) = (3x − 5)3 correspond à f (x) = (g h)(x) avec
g(x) = ……… et h(x) = ………
• f (x) =1
x2 + 43
correspond à f (x) = (g h)(x) avec
g(x) = ……… et h(x) = ………
Lors du calcul de ces 3 dérivées, nous avons vu apparaître ce que nous avons appelé la dérivée interne. Ceci se géné-ralise lors du calcul de la dérivée de toutes les fonctions composées.
Les règles de dérivation des fonctions composées :
11ème règle : Si f (x) = sin g(x)( ) ⇒ ′ f (x) = cos g(x)( ) ⋅ ′ g (x)
12ème règle : Si f (x) = cos g(x)( ) ⇒ ′ f (x) = −sin g(x)( ) ⋅ ′ g (x)
13ème règle : Si f (x) = tan g(x)( ) ⇒ ′ f (x) =1
cos g(x)( )( )2⋅ ′ g (x) =
′ g (x)
cos g(x)( )( )2
ou ′f (x) = tan2(g(x))+1( ) ⋅ ′g (x)
ou plus généralement pour toutes les fonctions composées :
14ème règle : Si f (x) = g(x) h(x) = g h(x)( ) ⇒ ′ f (x) = ′ g h(x)( ) ⋅ ′ h (x)
FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES 105
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Exemple
dériver les 2 fonctions f et g définies par :
a) f (x) = sin x2( ) b) f (x) = sin(x)( )2
Exercice 6.12 : Dériver les fonctions f définies par :
a) f (x) = tan(3x) b) f (x) = cos(x3 )
c) f (x) = cos3(x) d) f (x) = xsin1
x
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
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