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Chapitre 2 : Limites et continuité
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I. Limite d'une fonction à l'infini 1. Limite finie à l’infini Définition On considère une fonction f et un réel l. On dit que f a pour limite l en lorsque tout intervalle contenant l contient toutes les valeurs de dès que x est suffisamment grand.
On écrit .
Remarque
• .
• On définit de manière analogue .
Exemples
•
si n est un entier strictement positif .
• .
Définition : Asymptote horizontale Lorsque (resp. ), on dit que la droite d'équation est asymptote
horizontale à en (resp. en ). 2. Limite infinie à l’infini Définition
+∞f x( )
limx→+∞
f x( ) = l
limx→+∞
f x( ) = l⇔ limx→+∞
f x( )− l = 0limx→−∞
f x( ) = l
limx→+∞
1x= 0 lim
x→+∞
1x2
= 0 limx→+∞
1x= 0
limx→+∞
1xn
= 0
limx→−∞
1x= 0 lim
x→−∞
1x2
= 0 limx→−∞
1xn
= 0
limx→+∞
f x( ) = l limx→−∞
f x( ) = l y = l
Cf +∞ −∞
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On dit que f a pou r limite en lorsque tout intervalle de la forme
contient toutes les valeurs de . . dès que x est suffisamment grand.
On écrit .
Remarque On définit de manière analogue . ., . .et . ..
Exemples
•
si n est un entier strictement positif .
• .
• si n est pair, si n est impair.
II. Limite infinie d'une fonction en un réel a 1. Limite infinie en un réel a Définition On considère une fonction f définie sur un ensemble ouvert dont le réel a est une borne. On dit que f a pour limite en a lorsque tout intervalle de la forme contient toutes
les valeurs de dès que x est assez proche de a.
On écrit .
limx→+∞
x = +∞ +∞ +∞ A;+∞⎤⎦ ⎡⎣f x( )
limx→+∞
f x( ) = +∞
limx→+∞
f x( ) = −∞ limx→−∞
f x( ) = +∞ limx→−∞
f x( ) = −∞
limx→+∞
x2 = +∞ limx→+∞
x3 = +∞
limx→+∞
xn = +∞ limx→+∞
x = +∞
limx→−∞
x = −∞ limx→−∞
x2 = +∞ limx→−∞
x3 = −∞
limx→−∞
xn = +∞ limx→−∞
xn = −∞
+∞ A;+∞⎤⎦ ⎡⎣f x( )
limx→af x( ) = +∞
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Remarque On définit de manière analogue .
2. Exemples
• .
• on dit que la limite de la fonction inverse en 0 à droite est .
• on dit que la limite de la fonction inverse en 0 à gauche est .
Définition : Asymptote verticale Lorsque (resp. ), on dit que la droite d'équation est
asymptote verticale à la courbe . III. Opération sur les limites 1. Limite d'une somme, d'un produit, d'un quotient Propriétés a désigné un réel, ou . l et désignent des réels.
limx→af x( ) = −∞
limx→0
1x2
= +∞ limx→0x>0
1x= +∞
limx→0x>0
1x= +∞ +∞
limx→0x<0
1x= −∞ −∞
limx→af x( ) = +∞ lim
x→af x( ) = −∞ x = a
Cf
+∞ −∞l '
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l
si si
si si
0 FI 0 FI
FI
l
0 0 FI
FI Exercice 1 1. Déterminer la limite des fonctions suivantes en :
.
2. Soit f fonction définie sur par .
a. Déterminer la limite de f en et en . Interpréter le résultat. b. Déterminer la limite de f en 5 à droite et à gauche. Interpréter le résultat. c. Dresser le tableau complet de variation de f.
limx→af x( ) lim
x→ag x( ) lim
x→af + g( ) x( ) lim
x→af × g( ) x( )
l ' l + l ' l × l '
l ≠ 0 +∞ +∞ +∞ l > 0−∞ l < 0
l ≠ 0 −∞ −∞−∞ l > 0+∞ l < 0
+∞ +∞−∞ −∞
+∞ +∞ +∞ +∞−∞ −∞ −∞ +∞+∞ −∞ −∞
limx→af x( ) lim
x→ag x( ) lim
x→a
fg
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟x( )
l ' ≠ 0 ll '
l > 0 0+ +∞0− −∞
l < 0 0+ −∞0− +∞
l ≥ 0+∞ 0+
−∞ 0−
l ≤ 0+∞ 0−
−∞ 0+∞ ∞
+∞
f x( ) = 5x3 − 3x2 + 2x +1 g x( ) = 2x2 − x +13x2 +5
! \ 5{ } f x( ) = x2
5− x+∞ −∞
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2. Limite d'une fonction composée Définition Soit deux fonctions f et g définies sur un ensemble I et J tels que l'image de I par f est contenue dans J : . la fonction obtenue en appliquant successivement f puis g, s'appelle la composée de f par g. Cette fonction est notée .
Pour tout réel x de I, on a : .
Exemple Soit f et g deux fonctions définies sur par : et .
Alors, pour tout réel x, . Théorème Soit a, b et c trois réels, ou . Soit f et g deux fonctions. Si et si , alors .
Exemple
On cherche à déterminer .
donc .
Exercice 2
1. Déterminer : .
2. Déterminer : .
De même (à faire à la maison).
f I( )⊂ J
g ! fg ! f x( ) = g f x( )( )
! f x( ) = 3x4 +5x −1 g x( ) = x2g ! f x( ) = g 3x4 +5x −1( ) = 3x4 +5x −1( )2
+∞ −∞limx→af x( ) = b lim
x→bg x( ) = c lim
x→ag ! f x( ) = c
limx→+∞
3+ 1x2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2
limx→+∞
3+ 1x2
= 3
limX→3X 2 = 9
⎧
⎨⎪
⎩⎪
limx→+∞
3+ 1x2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2
= 9
limx→+∞
4+ 1x2 +1
limx→+∞
x2 + 2x + 3 − x
limx→−∞
4x2 − x + 3 + 2x
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3. Limites et comparaisons Propriétés Soit a et l deux réels, ou . Soit f , g et h trois fonctions. Si pour tout réel x voisin de a :
• et si , alors .
• et si , alors .
• et si , alors .
Exercice 3
Déterminer : .
De même (à faire à la maison).
IV. Continuité 1. Définition et propriétés Définition Soit a un réel et f une fonction définie sur un intervalle I contenant a. La fonction f est continue en a si .
La fonction f est continue sur l'intervalle I si f est continue en tout réel x de I. Graphiquement : la courbe représentative d'une fonction f continue sur un intervalle I, peut être tracée sur cet intervalle sans lever le crayon. Exemples
• La fonction inverse est continue sur et sur , mais n'est pas
continue en 0.
• La fonction partie entière n'est pas continue sur , mais elle est continue sur tout intervalle de la forme
, où n est un nombre entier.
+∞ −∞
g x( ) ≤ f x( ) ≤ h x( ) limx→ag x( ) = lim
x→ah x( ) = l lim
x→af x( ) = l
g x( ) ≤ f x( ) limx→ag x( ) = +∞ lim
x→af x( ) = +∞
f x( ) ≤ h x( ) limx→ah x( ) = −∞ lim
x→af x( ) = −∞
limx→+∞
10− x5− cos x
limx→−∞
3− xsin x + 2
limx→af x( ) = f a( )
−∞;0⎤⎦ ⎡⎣ 0;+∞⎤⎦ ⎡⎣ !
n;n+1⎤⎦ ⎡⎣
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Propriété Une fonction dérivable en un réel a est continue en a. Une fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle. Exemples
Les fonctions usuelles ( ), les fonctions polynômes et
les fonctions rationnelles sont continues sur tout intervalle de leur ensemble de définition. Remarque Une fonction continue en un réel a n'est pas nécessairement dérivable en a. Par exemple fonction est continue en 0, mais n'est pas dérivable en 0. Exercice 4
On considère la fonction f définie sur par .
Pour quelle valeur de k la fonction f est-elle continue sur ? 2. Théorème des valeurs intermédiaires Soit une fonction f continue sur un intervalle . Alors f atteint son minimum m et son
maximum M, et pour tout réel k compris entre m et M, il existe au moins un réel c dans
tel que .
x! x,x! x2 ,x! x ,x! x ,x! 1x
x! x
! f x( ) = x2 − 3x +5 si x < 0k si x ≥ 0
⎧⎨⎩⎪
!
a;b⎡⎣ ⎤⎦a;b⎡⎣ ⎤⎦
f c( ) = k
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Théorème Si la fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle , alors pour tout
réel k compris entre et , il existe un unique réel c dans tel que . Convention Les flèches du tableau de variation indiquent la continuité et la stricte monotonie de la fonction sur l'intervalle considéré. Exercice 5 Soit f la fonction définie sur par : . 1. Déterminer les limites de f en et en . 2. Dresser le tableau de variation complet de la fonction f sur . 3. a. Montrer que l'équation admet une unique solution sur .
b. Déterminer une valeur approchée de à près. 4. En déduire le signe de sur . Exercice 100 – 105 – 106 – 107 p 79 – 82 Déclic
a;b⎡⎣ ⎤⎦f a( ) f b( ) a;b⎡⎣ ⎤⎦ f c( ) = k
! f x( ) = 2x3 + 3x2 − 2x +8+∞ −∞
!f x( ) = 0 α !
α 10−2
f x( ) !
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