bài toán luồng với chi phí cực tiểu trên mạng

Bài toán lu ng v i chi phí c c ồ ớ ựti u trên m ngể ạ

Trần Việt Dũng – 20070618Phú Quang Hiển – 20071144Mai Đình Lợi - 20071825

N i dung trình bàyộ

• Giới thiệu về bài toán luồng• Bài toán luồng với chi phí cực tiểu• Thuật toán giải bài toán luồng• Các thuật toán cải tiến

Bài toán lu ng ồ• Bài toán có rất nhiều ứng dụng trong thực tế• Mạng giao thông• Mạng truyền tín hiệu• Mạng truyền dẫn (chất lỏng, khí)

• Đặc điểm chung• Biểu diễn dưới dạng đồ thị với các đỉnh, cạnh và khả năng thông

qua của các cạnh• Có mục tiêu là tối ưu hóa các luồng trên đồ thị này theo yêu cầu

Bài toán lu ngồ• Luồng trên mạng• G(V,E), đỉnh phát s và đỉnh thu t• f(u,v) : V x V -> R

• Đối xứng: f(u,v)=-f(v,u)• Khả năng thông qua: f(u,v) ≤ c(u,v)• Cân bằng:

• Đồ thị thặng dư• Đại diện cho khả năng thông qua còn dư của mạng• cf(u,v)=c(u,v)-f(u,v)

Bài toán lu ng v i chi phí c c ồ ớ ựti uể• Yêu cầu:• Cực tiểu hóa

• Sao cho

( , )

( ) ( , )* ( , )u v V

z x c u v f u v

, ,

( , ) ( , ) ( )u v V u v V

f u v f v u b i

Thu t toán gi i c b nậ ả ơ ả

Thu t toán kh chu trình âmậ ử• Thời gian tính : O(n.C.U)

trong đó : n là số đỉnh C chi phí trên cạnh U khả năng thông qua trên cạnh

Thu t toán kh chu trình âmậ ử• Ví dụ :

Thu t toán gi i c b nậ ả ơ ả

Thu t toán đ ng đi ng n nh t liên ậ ườ ắ ấti pế• Thời gian tính : O(n.S)• với S là thời gian tính của bài toán tìm đường đi ngắn nhất

Các thu t toán c i ti nậ ả ế• Cải tiến thuật toán dường đi ngắn nhất liên tiếp :• Thuật toán ban đầu : • - Chọn 1 đỉnh k, sử dụng Dijkstra để tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh phát k đến tất cả

các đỉnh khác • - Tăng luồng từ đỉnh phát k tới đỉnh thu l nào đó

• => Cải tiến :• - chỉ cần 1 đường đi ngắn nhất từ 1 đỉnh k tới 1 đỉnh l bất kì là đủ.• Kết thúc thuật toán Dijkstra ngay khi nó gán nhãn cố định cho 1 đỉnh thu l đầu tiên.

K t lu nế ậ• Các thuật toán cơ bản đều đảm bảo sự hội tụ với dữ liệu là số

nguyên nhưng việc tính toán không được giới hạn bởi hàm đa thức

• Các thuật toán cải tiến có độ phức tạp đa thức