automatisk diagnose af velfærd udfra måling af...
Post on 13-Nov-2018
218 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Trausti Björgvinsson Ragnar Ingi Jónsson
Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre Masterprojekt, marts 2007
Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre Automatic diagnosis of health and welfare based on mearurements of motion patterns
Rapporten er udarbejdet af: Trausti Björgvinsson Ragnar Ingi Jónsson Vejledere: Mogens Blanke, Ørsted-DTU Niels Kjølstad Poulsen, IMM-DTU Eksterne vejledere: Lene Munksgaard, Danmarks JordbrugsForskning Søren Højsgaard, Danmarks JordbrugsForskning
Ørsted•DTU Automation Danmarks Tekniske Universitet Elektrovej Bygning 326 2800 Kgs. Lyngby Danmark www:oersted.dtu.dk/forskning/au.aspx Tel: (+45) 45 25 35 50 Fax: (+45) 45 88 12 95
Udgivelsesdato:
22. marts 2007
Klasse:
Offentlig
Bemærkninger:
Denne rapport er indleveret som led i opfyldelse af kravene for opnåelse af Mastergraden på Danmarks Tekniske Universitet. Rapporten repræsenterer 30 ECTS point.
Rettigheder:
© Trausti Björgvinsson & Ragnar Ingi Jónsson, 2007
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
iii
Abstract
This Master thesis is a result of the project “Automatic diagnosis of health and welfare based on
measurements of motion patterns” at the Danish Technical University (DTU) in cooperation with
the Danish Institute of Agricultural Sciences.
The thesis describes the development of Change Detection algorithms for use in detection of a
change in behavior of dairy cows, resulting from heat. The detection algorithms are developed for
use with data from DeLaval’s activity sensors that measure the cow’s relative activity. Signal
Processing methods have been used for optimizing the results by means of e.g. recursive
estimation of average, variance and frequencies in the data.
The heat detection algorithms are tested on data supplied by the Danish Institute of Agricultural
Sciences and results show that a detection of 95 % of the heat incidences can be achieved.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
iv
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
v
Resumé
Denne rapport er skrevet i forbindelse med udarbejdelse af projektet ”Automatisk diagnose af
velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre” på Danmarks Tekniske Universitet (DTU) i
samarbejde med Danmarks Jordbrugs Forskning (DJF).
Rapporten beskriver udvikling af Change Detection algoritmer til detektering af ændring i adfærd
hos malkekøer, grundet brunst. Algoritmerne er udviklet med henblik på anvendelse på data fra
DeLaval’s aktivitetsmålere som angiver køernes relative aktivitet hver time. Der er foretaget
signalbehandling af dataene med henblik på forbedring af detekteringen som f.eks. rekursiv
estimering af middelværdi, varians og frekvenser i dataene.
Detektorerne er afprøvet på aktuelle data anskaffet af DJF, og viser at en detektering af 95 % af
brunsttilfældene kan opnås.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
vi
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
vii
Forord
Den foreliggende rapport er resultatet af et eksamensprojekt (M.Sc.) fra Danmarks Tekniske
Universitet (DTU) og er udarbejdet ved sektor for automation ved Ørsted DTU i samarbejde med
IMM. Rapporten er udarbejdet af to studerende der går på DTU’s overbygningsuddannelse og
specialiserer sig indenfor regulering og automation. Projektet blev udført fra september 2006 –
marts 2007.
Projektemnet er valgt til dels ud fra de studerendes faglige interesseområder og til dels ud fra et
ønske fra de studerende, at projektarbejdet udføres i samarbejde med en institution eller
virksomhed som kan drage nytte af de studerendes projektarbejde.
Det valgte projekt er en del af et større forskningsprojekt ved Danmarks Jordbrugs Forskning og
Danmarks Tekniske Universitet som går ud på at udvikle en automatisk sygdoms- og brunst
diagnose for malkekøer i en løsdriftsstald. I eksamensprojektet fokuseres specielt på af
anvendelsen af Change Detector algoritmer ved detektering af malkekøernes brunsttilfælde.
Rapporten henvender sig derfor til studerende, ingeniører og forskere med interesse for
fejldetekterings algoritmer og deres anvendelse i detektering af adfærdsafvigende træk hos dyr.
I forbindelse med projektarbejdet, har Danmarks Jordbrugs Forskning velvilligt og venligst stillet
viden og vejledning til rådighed. Der rettes tak til projektets vejledere Professor Mogens Blanke
(DTU) og Lektor Niels Kjølstad Poulsen (DTU) og projektets samarbejdspartnere ved Danmarks
Jordbrugs Forskning, specielt afdelingsleder Søren Højsgaard og seniorforsker Lene Munksgaard.
Danmarks Tekniske Universitet, den 22.marts 2007.
Equation Chapter 5 Section 1
Trausti Björgvinsson Ragnar Ingi Jónsson
St.nr.050362 St.nr.050359
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
viii
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
ix
Indholdsfortegnelse
1 Indledning................................................................................................................................. 11 1.1 Baggrund og problemformulering....................................................................................... 11 1.2 Arbejdsmetode og projektforløb ......................................................................................... 12 1.3 Rapporten........................................................................................................................... 13
2 Brunst ....................................................................................................................................... 15 3 Data.......................................................................................................................................... 17
3.1 KFC og sensorer til rådighed.............................................................................................. 17 3.2 Data periode og kategorisering .......................................................................................... 21 3.3 Praktisk behandling af data................................................................................................ 22
4 Indledende undersøgelser af data ........................................................................................... 27 4.1 Foder og malkedata ........................................................................................................... 27 4.2 IceTag................................................................................................................................. 27 4.3 Aktivitetsdata (DeLaval) ..................................................................................................... 29 4.4 Delkonklusion ..................................................................................................................... 31
5 Aktivitetsdata undersøgelser.................................................................................................... 33 5.1 Gennemsnitskoen .............................................................................................................. 33 5.2 Døgnrytme.......................................................................................................................... 34 5.3 Filtrering.............................................................................................................................. 37
6 Change Detection .................................................................................................................... 43 6.1 Generel introduktion ........................................................................................................... 44 6.2 Succeskriterier og kategorisering af aktivitetsdata............................................................. 44 6.3 CUSUM – Ændring i middelværdi ...................................................................................... 47
6.3.1 Teori........................................................................................................................... 48 6.3.2 24 timers gennemsnitsdata ....................................................................................... 50 6.3.3 Rådata ....................................................................................................................... 60
6.4 GLR – Ændring i middelværdi af ukendt størrelse............................................................. 87 6.4.1 Teori........................................................................................................................... 87 6.4.2 24 timers gennemsnitsdata ....................................................................................... 88 6.4.3 Rådata RLS ............................................................................................................... 90 6.4.4 RLS kompenseret log transformerede rådata ........................................................... 94
6.5 CUSUM – Dynamisk profil.................................................................................................. 97 6.5.1 Teori........................................................................................................................... 97 6.5.2 24 timers gennemsnitsdata ....................................................................................... 98 6.5.3 Kompenseret logaritmisk transformerede rådata .................................................... 105
6.6 GLR – Dynamisk profil ..................................................................................................... 111 6.6.1 Teori......................................................................................................................... 111 6.6.2 Kompenserede logaritmisk transformerede rådata ................................................. 112 6.6.3 Generel profil for kompenseret logaritmisk transformeret rådata............................ 114
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
x
6.7 Opsummering af resultater ...............................................................................................116 6.8 Delkonklusion ...................................................................................................................118
7 Multible hypotesetest..............................................................................................................119 7.1 Vektorbaseret CUSUM algoritme .....................................................................................119 7.2 Vektorbaseret GLR algoritme ...........................................................................................122 7.3 Vektorbaseret GLR algoritme ved brug af dynamisk profil...............................................124 7.4 Modificeret vektorbaseret GLR algoritme.........................................................................126 7.5 Delkonklusion ...................................................................................................................129
8 Diskussion ..............................................................................................................................131 9 Konklusion ..............................................................................................................................133 10 Perspektivering .................................................................................................................135 11 Litteraturliste .....................................................................................................................137 Bilag A ...........................................................................................................................................139 Bilag B ...........................................................................................................................................145 Bilag C ...........................................................................................................................................151 Bilag D ...........................................................................................................................................157 Bilag E ...........................................................................................................................................159
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
11
1 Indledning Dette kapitel har til formål at introducere læseren til baggrunden for projektet og projektets
problemstilling. Kapitlets første afsnit indeholder problemformuleringen, det andet omhandler
projektets arbejdsmetoder og projektforløb og kapitlets sidste afsnit indeholder en oversigt for
rapporten.
1.1 Baggrund og problemformulering
Baggrund Optimering af produktionsmetoder og produktionsanlæg er blevet et særdeles vigtigt og relevant
emne for producenter i forskellige industrier. Produktionen skal optimeres med henblik på bedre
udnyttelse af produktionsudstyr og arbejdskraft, for at sikre konkurrenceevne både lokalt og i det
globaliserede marked. Samtidigt er forbrugere også blevet mere bevidste om både kvalitet og
etiske aspekter tilknyttet produktionen af den vare de køber. Der stilles krav om etisk korrekte og
menneskelige arbejdsforhold i produktionen og ikke desto mindre stilles der krav om ordentlig
behandling af dyr, når det angår fødevareproduktion. I den danske mælkeproduktionsindustri har
ønsket om bedre behandling af dyr og optimering af produktionen haft konsekvenser for bl.a.
produktionsprocessen og behandlingen af malkekøer. Mælkeproduktionen i Danmark, og andre
steder i verden, har gennem den sidste halve snes år gennemgået en dramatisk strukturudvikling.
Besætningerne er ændret fra at være mange besætninger med relativt få køer, over til få
besætninger med relativt mange køer (ofte 150-200 køer eller flere). Yderligere har
staldforholdende ændret sig meget grundet mere fokus på dyrenes velfærd. Bindstalde er ved at
forsvinde til fordel for løsdriftsstalde, hvor køerne kan gå frit om i stalden og lade sig mælke efter
behag i en malkerobot.
En bivirkning af ovenstående udvikling er en ringere manuel observering af den enkelte ko
eftersom der skal observeres flere køer per medarbejder i stalden, og den manuelle observering
er blevet sværere at udføre ved indførslen af løsdriftsstalde. Det er vigtigt for malkeproduktionen,
at køer i brunst eller køer plaget af sygdomme identificeres så tidligt som muligt, da disse har
indflydelse på både velfærd og produktionens økonomi. Derfor er det også særdeles relevant at
finde frem til en måde at overvåge køerne på med samme eller bedre kvalitet, end det før er blevet
gjort ved manuelle observationer.
Som et led i at forbedre malkekøernes sundhed og velfærd har Danmarks Jordbrugs Forskning
(DJF), sammen med DTU og andre partnere, igangsat et forskningsprojekt, der har til formål at
udvikle et nyt værktøj til automatisk overvågning af køer.
Den automatiske overvågning skal som udgangspunkt varetage overvågning af alle individer i
besætningen i en løsdriftsstald, via sensorer monteret i stalden og/eller sensorer påmonteret på
køerne. Overvågningen skal kunne identificere de adfærdsændrende træk koen kan vise som
resultat af sygdomme eller brunst, hvilket hidtil har været gjort ved manuel observation. Brunst vil
typisk medføre forøget aktivitet hos koen, imens sygdomme medfører nedsat malkeydelse,
aktivitet og appetit. Til projektet er der tilknyttet en forsøgsstald ved Kvægbrugets Forsknings
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
12
Center (KFC) i Foulum, hvor undersøgelser og målinger af køernes adfærd er udført. I
projektperioden fås adgang til forsøgsstalden efter aftale med Danmarks Jordbrugs Forskning.
I forskningsprojektet er det hensigten at udvikle et overvågningssystem der kan præstere en tidlig
identifikation af køer med nedsat appetit og klov-ben lidelser, samt køer i brunst. I projektet skal
nye metoder udvikles til identificeringen som bl.a. anvender Bluetooth positionsbestemmelse, og
evt. andre sensorer, som f.eks. aktivitetssensorer og ligge/stå sensorer. Yderligere er der
mulighed for anvendelse af målinger af koens spisevaner og malkning, fra hhv. intelligente
foderstationer og malkerobotter. I forskningsprojektet ønskes der undersøgt om, eller hvorvidt,
disse målinger i kombination med adfærdsmodeller kan anvendes til tidlig identifikation af
sygdomme og brunst.
Formålet med dette projekt Formålet med det aktuelle eksamensprojekt er, at bidrage til det omtalte forskningsprojekt, ved at
finde og undersøge én eller flere algoritmer til detektering af køernes brunsttilfælde.
Der ønskes foretaget en dataanalyse på køernes data fra KFC, hvor data analyseres med henblik
på at definere køernes normale adfærd og herudfra finde karakteristiske træk som kan indikere
køernes brunsttilfælde. Resultaterne i dette afgangsprojekt tænkes anvendt som grundlag for
fastgørelsen af hvilke typer algoritmer, der kunne anvendes i forskningsprojektet.
Forudvalgte værktøjer Som værktøj til realisering af adfærdsmodellerne og tilhørende detektering af adfærdsafvigelser,
skal der i så vidt muligt omfang anvendes Scilab/Scicos beregnings/simulerings software.
Scilab/Scicos er et Matlab/Simulink lignende program men er ikke et kommercielt produkt og ikke
lige så omfattende som Matlab/Simulink. Da denne software er gratis og tilgængelig for alle parter
som er tilknyttet projektet var det et ønske fra DJF, at anvende Scilab/Scicos.
1.2 Arbejdsmetode og projektforløb
Projektgruppens deltagere har valgt at arbejde parallelt med alle af projektets overordnede
opgaver, og er derfor lige ansvarlige for projektets dele. Dette er valgt for at skabe mest, og bedst
mulig sparring mellem projektgruppens deltagere, og dermed opnå synergi. Projektperioden har
været præget af diverse delopgaver bl.a. programmering af datastruktur og programmering af
diverse funktioner til anvendelse i indledende undersøgelser af data. Yderligere kan nævnes
opgaver som indledende undersøgelser med henblik på at identificere brunstsymptomer og
udvikling af change detektorer samt formidling af den tilegnede viden og formidling af
problemløsningen i form af denne rapport.
En tidsmæssig beskrivelse af projektforløbet ses nedenfor.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
13
2006 2007 Sept. Okt. Nov. Dec. Jan. Feb. Marts
Progr. af datastruktur Indledende Undersøgelser
Change Detection (CUSUM/GLR) Samle rapport
Figur 1.1 Et forløbsoversigt over projektets fremgang.
1.3 Rapporten
Rapportens første del er kapitlerne 1-5 hvor data til rådighed i projektet og indledende
undersøgelser beskrives. Den anden del er omfattet af kapitler 6 og 7 hvor udviklingen af diverse
typer af Change Detektorer beskrives og sammenlignes. Kapitel 8 diskuterer resultaterne og de i
projektet anvendte metoder. Konklusionen findes i kapitel 9 og perspektivering i kapitel 10. Som
læsevejledning er enkelte kapitlers indehold beskrevet kort i det følgende:
• Kapitel 2
Omhandler brunst, inseminering og drægtighed for malkekøer på et overordnet plan.
• Kapitel 3
Omhandler de data der er til rådighed i projektet, samt praktiske aspekter af
databehandling foretaget i projektet. I Kapitlet er gjort rede for hvilken målinger og
tilhørende måleperiode er aktuelt for projektet, samt hvordan køerne kategoriseres.
• Kapitel 4
Omhandler de indledende undersøgelser af de eksisterende måledata fra diverse
sensorer tilknyttet forsøgsstalden i KFC. Undersøgelserne foretages med henblik på
at få overblik om og/eller hvordan en adfærdsændring giver udslag i data. Til sidst i
kapitlet er besluttet hvilke data, der anvendes som grundlag for brunstdetekteringen.
• Kapitel 5 Beskriver nærmere undersøgelser af de data som er valgt som grundlag til
brunstdetekteringen. Der er lavet analyser af periodiske træk vha.
autokovariansfunktionen og effektspektrum, hvorefter dataene filtreres og statistiske
egenskaber undersøges.
• Kapitel 6
Udgør den primære teoretiske del af rapporten. I kapitlet er teori og udvikling af
diverse typer Change Detektorer til brunstdetektering beskrevet. Der er set på
følgende typer
CUSUM til detektering af en ændring i middelværdi
GLR til detektering af en ukendt ændring i middelværdi
CUSUM til detektering af en dynamisk profil
GLR til detektering af en dynamisk profil af en ukendt amplitude
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
14
I forbindelse med udviklingen af detektorerne er der bl.a. foretaget filtrering af
data og rekursiv estimering af middelværdi, varians og relevante
frekvensamplituder for de pågældende signaler.
• Kapitel 7 Beskriver undersøgelser i forbindelse med multible hypotesetest.
• Kapitel 8-9-10 Disse kapitler indeholder diskussion, konklusion og perspektivering.
I løbet af rapporten er diverse undersøgelser af køernes data til rådighed beskrevet. Det er i flere
tilfælde undersøgt flere køer men for at gøre rapporten mere læsevenlig er der flere gange valgt at
vise et eksempel af en enkelt kos data og kun at omtale dataene for de resterende køer.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
15
2 Brunst Dette kapitel har til formål at beskrive generelle betragtninger angående brunst, inseminering og
drægtighed.
Et vigtigt element i bedriften af malkeproduktion er at opretholde god reproduktion i malkekøernes
besætning. Det ønskes at malkekøer får fleste flest mulige kælvninger over dens levetid og
besidder en høj mælkeydelse. Derfor er der et ønske om at fange flest mulige af køernes
brunsttilfælde, helst tidligt i brunstfasen, således at en succesfuld inseminering kan foretages og
koen igen bliver drægtig.
Brunst er en periode der forekommer hos ikke drægtige køer som en konsekvens af køernes
progesteron hormoncyklus og antyder at koen er klar til inseminering. En ko er i brunst fra 3-4
timer op til et helt døgn, og ifølge adfærdsbiolog Lene Munksgaard varer brunsten i gennemsnit 18
timer. En ko som ikke er drægtig kommer i brunst med 20-22 dages mellemrum, undtagen mellem
1. og 2. brunst, efter kælvning, hvor der ofte går 15-17 dage (Kilde 9. Tiden som går fra koen har
kalvet til koens første brunst varierer fra ko til ko, men er typisk 16-40 dage (Kilde 10. I praksis
foretrækkes der at inseminere ved det første brunsttilfælde efter at ca. 40 dage er gået fra
kalvning (Kilde 9. Insemineringerne er foretaget af en inseminør og for at insemineringen lykkedes er
det vigtigt at inseminere på det rigtige tidspunkt, ifølge (Kilde 9 er drægtighedssandsynligheden cirka
40% ved hver inseminering.
Figur 2.1 Tidslinie der viser sammenhængen mellem kælvning og brunst.
Om en ko er blevet drægtig efter en inseminering kan tidligst bestemmes 3 uger efter
inseminering.
Hidtil er overvågningen af brunst typisk foretaget manuelt af staldens personale og gør derfor at
de relative korte brunsttilfælde ikke altid fanges idet der ikke bliver holdt øje med køerne alle 24
timer i døgnet. Til en automatisk brunstdiagnose skal de adfærdsafvigende træk der ønskes
overvåget defineres. Ifølge adfærdsbiolog Lene Munksgaard er efterfølgende de forventede
ændringer i adfærd hidrørende fra brunst.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
16
Ligger, varighed ↓ Liggeperioder, antal ↓ Aktivitet (går), varighed ↑ Tilbagelagt distance per tids enhed når koen går ↑ Ophold ved foderbord (ædetid), varighed ↓ Perioder ved foderbord, antal ?
Tabel 2.1 Forventede ændringer i en kos adfærd under brunst.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
17
3 Data Dette kapitel har til formål at give læseren overblik over nogle af projektets praktiske aspekter til
de data der anvendes. Kapitlets første afsnit omhandler de faciliteter og tilhørende måleapparater
som er tilknyttet projektet. Kapitlets andet afsnit omhandler de data der er til rådighed i projektet
samt hvordan køerne kategoriseres ud fra sygdoms og insemineringsdata. Eftersom der i dette
projekt arbejdes med virkelige data er kapitlets tredje og sidste afsnit dedikeret praktisk
behandling af data, og rører på emner som f.eks. programmering af datastruktur og behandling af
manglende data.
3.1 KFC og sensorer til rådighed
Dette afsnit indeholder en kort beskrivelse af faciliteterne i forsøgsstalden ved Kvægbrugets
Forsknings Center, samt en beskrivelse af måleapparater og sensorer tilknyttet KFC og/eller
forskningsprojektet.
Danmarks Jordbrugs Forskning har adgang til en forsøgsstald ved Kvægbrugets Forsøg Center
hvor der går omkring 140 køer i en løsdriftsstald. De udførte målinger i forskningsprojektet udføres
på køerne i denne stald. Stalden er opdelt i to dele med køer af tre typer race. I den ene del af
stalden går omkring 38 Jersey køer og i den anden del af stalden går omkring 100 røde og
sortbrogede køer. En tegning af forsøgsstaldens opbygning er vist på Figur 3.1.
Figur 3.1 En tegning af den opdelte forsøgsstald som er tilknyttet projektet. Forsøgsstalden er opdelt i to dele, en større og
en mindre del hvor de to dele adskilles ved separationsboksene og malkerobotterne. I staldens større del (til venstre) går omkring 100 røde og sortbrogede køer og i staldens mindre del (til højre) går omkring 38 Jersey køer.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
18
På figuren er de eksisterende accesspoints for det installerede Bluetooth positioneringssystem vist
som røde punkter. I forsøgsstalden er der blevet opsat diverse måleudstyr som kan anvendes i
projektet, og er beskrevet i det følgende:
Aktivitetsmåler (DeLaval): På køerne kan der monteres aktivitetsmålere som måler aktivitet og angiver et aktivitetsindeks
hver time som et relativt tal for aktivitet. Aktivitetsmålerne er produkt fra DeLaval som også er
kendt for produktion af automatiske malkerobotter. Målerne fastgøres i koens halsbånd og har et
indbygget radiokommunikationssystem og overfører data til en nærtliggende modtager i stalden
hver time. På Figur 3.2 vises et billede af en af Jersey køerne ved KFC med aktivitetsmåleren
hængende i halsbåndet.
Figur 3.2 De Lavals aktivitetssensor hængende i koens halsbånd.
IceTag: En såkaldt IceTag kan også monteres på køerne til angivelse af én af tre prædefinerede tilstande
som koen befinder sig i. Tilstandene er ligger, aktiv eller står. IceTags sensorerne har desuden en
indbygget skridttæller. Sensorerne er produceret af firmaet IceRobotics i Skotland og har mest
anvendelse i forskningsmæssige sammenhænge, eftersom de er forholdsvis dyre. Sensorerne er
påmonteret på koens ben, se Figur 3.3, og registrerer dens tilstand og antal skridt vha.
accelerometre og lagringskredsløb.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
19
Figur 3.3 IceTag monteret på koens ben.
Registreringen angiver procentdele for koens tilstand, samt antal skridt foretaget siden sidste
registrering, et eksempel på et sæt målinger over 5 sekunder vises på Figur 3.4:
Date Time Standing [%] Active [%] Lying [%] Steps 14-11-2005 10:38:00 66 33 0 0 14-11-2005 10:38:01 30 70 0 0 14-11-2005 10:38:02 0 0 100 0 14-11-2005 10:38:03 0 0 100 0 14-11-2005 10:38:04 40 60 0 0
Figur 3.4 Et eksempel af et IceTag datasæt.
Hver måling på sekundbasis er baseret på 8 målinger i løbet af sekundet. De opsamlede
måleresultater fra sensoren kan overføres til en PC med et USB-kabel, hvor brugeren kan vælge
at se dataene på sekundbasis, minutbasis og op til døgnbasis.
Intelligente foderkasser: Stalden er udstyret med intelligente foderkasser der hver især registrerer bl.a. data om hvor
meget, hvornår og hvor længe køerne har været om at spise, på individuelt plan. På Figur 3.5
vises et billede af de intelligente foderkasser.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
20
Figur 3.5 På billedet ses de intelligente foderkasser, og ligeledes ses den blå DeLaval aktivitetssensor i koens halsbånd.
Malkerobotter (DeLaval): Stalden er udstyret med flere malkerobotter, hvorfra der kan fås data om antal og type af besøg
(malkning, besøg uden malkning, mislykket malkning) i robotten med tidsstempel og ko nummer.
Yderligere er der at finde informationer om mælkeydelse på kirtelniveau for hver malkning, koens
vægt ved hver malkning og data for variation i vægten under malkning samt tildelt mængde af
kraftfoder og tilbage vejet mængde kraftfoder for hvert besøg.
Bluetooth positioneringssystem: I stalden er der blevet opsat et Bluetooth positioneringssystem der formentligt kan anvendes i
forbindelse med målinger af bevægelsesmønstre. Det er, i første omgang, kun muligt at måle
position af 6-8 køer ad gangen, grundet begrænsede antal tags til rådighed. Der er dog planer om
at anskaffe flere tags til formålet og ligeledes videreudvikle ideen om hvordan tagsene monteres
på køen i den nærmeste fremtid, men dette bliver ikke realiseret indenfor tidsrammerne i dette
projekt og er derfor ikke aktuelt.
Figur 3.6 Billede af den større del af forsøgsstalden ved Kvægbrugets Forsøg Center i Foulum set fra malkerobotterne.
Den røde cirkel indført på billedet omlukker en af de opsat Bluetooth accesspoints.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
21
Liggesensor: På køerne kan der også monteres en liggesensor som er tilknyttet Bluetooth systemet, som
angiver et datasæt med tidsstempel for hver gang koen rejser eller lægger sig. Denne kan bruges
til at beregne varighed og frekvens af liggeadfærd, samt variation i hvornår på dagen koen hhv.
ligger og står.
Dyrdata: Yderligere er der adgang til informationer om alle sygdomsbehandlinger per dyr, data fra
klovbeskæreren, alle insemineringer og observerede brunstsymptomer, konstaterede
drægtigheder og dyr data som f.eks. Alder, afstamning og kælvninger.
3.2 Data periode og kategorisering
Kvægbrugets forskningscenter og dets måleapparater anvendes til flere adskillige
forskningsrelaterede eksperimenter hvor disses måleresultater bliver lagret i en database. Det er
fra denne database indhentet de data som anvendes, i projektet. Hvilke data der er tale om samt
deres omfang og måleperiode er illustreret på Figur 3.7.
Marts April Maj Juni Juli August September Oktober Aktivitetsmålere 90-111 køer
Malkerobot 90-111 køer
Foderkasser 90-111 køer
IceTags 35 køer
Sygdomsdata Alle køer
Insemineringsdata Alle køer
Drægtighedsdata Alle køer
Figur 3.7 Et oversigtsdiagram der beskriver hvilken data der er til rådighed i projektet.
Det fremgår af Figur 3.7 at for aktivitetsmålere, malkerobotterne og foderkasserne eksisterer der
data for 90-111 køer. Angivelsen 90-111 skyldes det faktum at for nogle køer eksisterer der ikke
data fra f.eks. foderkasser imens der er data fra malkerobotter og aktivitetsmålere.
Kategorisering af aktivitetsdata Kategoriseringen af aktivitetsdata foregår med henblik på at kunne danne hhv. et ”normal billede”
af køernes normale adfærd og et ”brunst billede” af køernes adfærd i brunst. Da sygdomme og
forebyggende behandlinger påvirker med stor sandsynlighed køernes adfærd til en vis grad, tages
udgangspunkt i at sortere alle de køer som har været behandlet for sygdomme fra. Dette
resulterer i at der står to kategorier tilbage hvor den ene dækker køer som ikke har været
inseminerede og ikke er blevet identificeret med sygdomme, og den anden dækker køer som har
været insemineret i og ikke haft sygdomme. Ved sorteringen tages der derfor udgangspunkt i
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
22
eksisterende sygdoms- og insemineringsdata i måleperioden for 111 køer, fra KFC’s database.
Køerne fordeles i de omtalte kategorier som vist på Figur 3.8
Normale17
Insemenerede12
Sygdomme og mangelfulde data
82
Figur 3.8 Kategorisering af aktivitetsdata
Kategorisering af IceTag data IceTag dataene dækker over 35 køer i en periode på 10 dage i oktober måned. I måleperioden var
to af disse 35 køer insemineret og ingen sygdomme blev konstateret.
Normale33
Insemenerede2
Figur 3.9 Kategorisering af IceTag data
3.3 Praktisk behandling af data
Datastruktur Som beskrevet under afsnit 3.2 har DJF skaffet diverse måledata til brug i projektet. For at kunne
anvende disse data i SCILAB, på en fornuftig måde, blev der lavet en datastruktur som indeholder
de data, som projektet har fået adgang til fra DJF.
De data som projektet har fået tilsendt fra DJF har været i form af CSV-filer (Comma Separeted
Values) og Excel-filer. Disse filer er blevet importeret i SCILAB, hvor de er blevet sorteret ned i en
liste, som derefter kunne gemmes som en SCILAB datafil, på binær form.
En oversigt over datastrukturen vises på Figur 3.10 og Figur 3.11.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
23
Figur 3.10 En oversigt over den del af datastrukturen, der tilhører individuelle data
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
24
Figur 3.11 En oversigt over den del af datastrukturen, der tilhører adfærdsrelaterede data
Figurerne viser en struktur, der er opdelt i hhv. individuelle data og adfærdsrelaterede data. Den
gren, der indeholder de individuelle data, som vises på Figur 3.11, indeholder de data som under
afsnit 3.1 refereres til som ”dyrdata”, dvs. data der hentes fra databaser og er indtastet i systemet
manuelt. Disse data omfatter bl.a. data over hvilken race, den pågældende ko tilhører, hvornår
den er født, dens sidste kalvning, den sidste inseminering osv.. Den anden gren, der indeholder
de adfærdsrelaterede data, som vises på Figur 3.10, indeholder data fra de diverse
måleinstrumenter som ligeledes er beskrevet under afsnit 3.1. Disse data omfatter bl.a.
aktivitetsindeksen og tilhørende datoer, data fra de intelligente foderkasser og mælkerobotten.
Manglende målinger Idet de data som datastrukturen indeholder, er reelle måledata fra fysisk måleudstyr er der nogle
data, der er manglende eller er ubrugelige. De manglende data er hovedsageligt blevet
konstateret i aktivitetsdataene fra DeLavals aktivitetssensor. De manglende aktivitetsdata
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
25
fremkommer på to måder hhv. hvor der mangler én eller flere aktivitetsmålinger på en dag og hvor
der mangler dato og målinger for hele døgn. Manglende målinger, hvor der ikke mangler
tilhørende dato, erstattes med en ”NaN” ( Not a Number). I tilfælde hvor der mangler både
målinger og tilhørende dato, tilføjes de manglende datoer, datovektoren og tilhørende NaN’s
indsættes i aktivitetsdataene.
De manglende målinger, udgør en udfordring i behandlingen af dataene, idet det ikke er ligegyldigt
for de diverse beregningsalgoritmer, om der er en gyldig observation, eller ej.
En yderligere kvalitetsbrist i aktivitetsdataene, er at der forekommer i nogle tilfælde to døgn i træk,
hvor dataene er identiske. Det vurderes yderst usandsynligt at så stokastisk prægede data
forekommer identisk to dage i træk, og anses derfor værende en fejl i dataopsamlingen. De
tilfælde, hvor der optræder to identiske døgn i træk, har imidlertid ikke fået nogen form for
særbehandling, og betragtes som øvrige data.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
26
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
27
4 Indledende undersøgelser af data I dette kapitel beskrives nogle af de indledende undersøgelser der er foretaget tidligt i
projektperioden. De indledende undersøgelser har til formål at belyse i hvilke data de tydeligste
indikatorer for brunst er at finde, for at kunne beslutte hvilken type data der skal undersøges
nærmere og arbejdes videre med i projektet. De indledende undersøgelser som efterfølgende er
beskrevet er undersøgelser af foder og malkedata, IceTag data samt aktivitetsdata. Til sidst i
kapitlet er en delkonklusion der opsummerer de indledende undersøgelser.
Equation Chapter (Next) Section 4
4.1 Foder og malkedata
Det kunne tænkes at der forekom nogle afvigelser i køernes foderoptagelse og malkning grundet
brunst, og det er derfor der foretages indledende undersøgelser af foder og malkedata fra hhv.
KFC’s intelligente foderkasser og malkerobotter. Undersøgelserne foretages med henblik på at
finde tydelige signaturer for brunst i dataene. Der er undersøgt for afvigelser i foderoptagelse per
tidsenhed (kg/time) samt antal spisninger per tidsenhed, og det viser sig at der ikke fremkommer
tydelige ændringer i perioden omkring insemineringstidspunktet. Malkeydelse per tidsenhed
(Liter/time) og antal malkninger per tidsenhed er også undersøgt hvor det viser sig at der ikke
findes markante afvigelser i disse data i brunstperioden.
4.2 IceTag
Som omtalt i kapitel 2 forventes ændringer i ligge- og aktivitetsadfærd i tilfælde af brunst. Der
forvæntes færre og kortere liggeperioder for køerne og forøget aktivitet. Det fremgik af kapitel 3 at
IceTag målerne måler hhv. ligge- og aktivitetsadfærd. Målerne angiver en middelværdi for hvor
mange % af tiden koen har ligget, været aktiv eller stået i et vist tidsinterval. Det er i de indledende
undersøgelser af dataene set på data med en tidsmæssig opløsning på hhv. et sekund og et
minut. For at give et klart billede af køernes aktivitetsadfærd er der set på data med et sekunds
opløsning eftersom aktivitetsperioderne har vist sig at være typisk af få sekunders varighed.
Sekundbasis data tilegner sig til gengæld ikke så godt til angivelsen af liggeadfærd, eftersom
IceTag ofte registrerer aktivitetsperioder under det der menes værende en liggeperiode. Dette
forekommer f.eks. hvis koen flytter benet med den påmonterede IceTag under liggeperioden f.eks.
for at komme i en behageligere position, og derefter fortsat bliver liggende. Dette forløb vil
registreres som en aktivitetsperiode af få sekunders varighed og vil give et falsk billede af
liggeadfærden eftersom liggeperioden er blevet delt op i to. Tilsvarende aktivitetsperioder ville til
gengæld drukne midlingen for minutbasisdataene og er disse derfor anvendt når ligge adfærd
undersøges.
Ifølge data over insemineringer er der to brunsttilfælde(insemineringer) i dataperioden. Disse er for
hhv. ko nr. 668 og ko nr. 455 og er undersøgt for aktivitets- og liggeadfærdsændringer. Køernes
liggeadfærd er plottet og plot for ko nr. 668 er vist på Figur 4.1.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
28
0 5 10 15 20 25
30.9.2006
1.10.2006
2.10.2006
3.10.2006
4.10.2006
5.10.2006
6.10.2006
7.10.2006
8.10.2006
9.10.2006
Ligge perioder for ko no.668, race RDM, born: 30.7.2004
Timer i døgnet
Figur 4.1 Et plot af liggeperioder for ko nr. 668.
Den lodrette akse angiver dato og den vandrette akse angiver time i døgnet på Figur 4.1.
Liggeperioderne er angivet med blå farve. Pilen ud til venstre på figuren angiver
insemineringsdagen. Det fremgår af Figur 4.1 at der forekommer en klar afvigelse af
liggeadfærden for ko nr. 668 aftenen inden og om morgenen til insemineringsdatoen den
8.10.2006. Koen ligger sig faktisk slet ikke fra ca. kl. 21:30 om aftenen til 6 om morgenen som
umiddelbart kan konkluderes som værende atypisk for dens adfærd. Der er yderligere konstateret
forøget aktivitet ud fra IceTags aktivitetsdataene i samme tidsrum, og kan derfor konkluderes at
denne ko giver et godt grundlag til evt. brunstdetektering. Til gengæld viser den anden ko som har
været i brunst, ko nr. 455, ikke så tydelige brunstsymptomer i liggeadfærden. Dens liggeperioder
er plottet på Figur 4.2.
Insemineret
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
29
0 5 10 15 20 25
30.9.2006
1.10.2006
2.10.2006
3.10.2006
4.10.2006
5.10.2006
6.10.2006
7.10.2006
8.10.2006
9.10.2006
Ligge perioder for ko no.455, race JER, born: 27.5.2003
Timer i døgnet
Figur 4.2 Et plot af liggeperioder for ko nr. 455.
Det fremgår af Figur 4.2 at der umiddelbart ikke forekommer en tydelig afvigelse af liggeadfærden
for ko nr. 455 omkring insemineringsdatoen den 4.10.2006. Det er yderligere konstateret at IceTag
aktiviteten i samme tidsrum ikke afviger markant i forhold til de andre dage.
For at bedre kunne opnå et generelt billede af afvigelser i IceTag data grundet brunst er det
nødvendigt med data for flere brunst køer og en længere måleperiode da to køer ikke er nok til
generalisering.
4.3 Aktivitetsdata (DeLaval)
Idet en forøget aktivitet kan være tegn på brunst hos køer, er det nærtliggende, at undersøge om
der er nogle tydelige indikatorer for brunst, i køernes aktivitet. Det blev gjort ved, at plotte signaler
fra DeLavals aktivitetsmåler for de køer som blev kategoriseret som brunstkøer, og se om der var
tydelige afvigelser at spore omkring deres brunsttilfælde. På Figur 4.3 og Figur 4.4 vises
aktivitetsindeks for to køer (hhv. ko nr. 334 og ko nr. 1246) som kommer i brunst i den periode,
hvor der er måledata til rådighed.
Insemineret
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
30
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
50100150200250300
Aktivitet, ko nr.334, race RDM, født: 12.10.2002, ins: 4.9.2006 , kælvning: 12.11.2005
Akt
ivite
tsin
deks
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
50100150200250300
Akt
ivite
tsin
deks
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
50100150200250300
Tid (dato)
Akt
ivite
tsin
deks
Figur 4.3 Aktivitetsindeks for ko nr. 334 i perioden 1.4.2006-12.10.2006, inklusiv begge dage, vist med rødbrun linie. På
figuren vises tidspunkter for brunsttilfælde med lyserød stiplet linie.
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
50
100
150
200Aktivitet, ko nr.1246, race SDM, født: 14.11.2000, ins: 1.9.2006 , kælvning: 22.10.2005
Akt
ivite
tsin
deks
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
50
100
150
200
Akt
ivite
tsin
deks
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
50
100
150
200
Tid (dato)
Akt
ivite
tsin
deks
Figur 4.4 Aktivitetsindeks for ko nr. 1246 i perioden 1.4.2006-12.10.2006, inklusiv begge dage, vist med rødbrun linie. På
figuren vises tidspunkter for brunsttilfælde med lyserød stiplet linie.
Som det fremgår af de to ovenstående figurer, er der indikatorer, at spore i aktivitetsindeksen, når
køerne er i brunst. Af figurerne kan det ses, at aktiviteten bliver forøget under brunst, selvom det
er forskelligt, hvor tydeligt afvigelsen fremstår. Det kan f.eks. ses fra Figur 4.3 hvor det
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
31
brunsttilfælde, der indtræffer omkring den 5.5.2006 giver anledning til den højeste aktivitet, set hos
den pågældende ko over hele måleperioden. Præcist dette brunsttilfælde ville kunne detekteres
med en enkelt threshold detektor, med beslutningsfunktionen
( ) ( )( )g k max 0, z k h= − (4.1)
hvor z(k) er lig med aktivitetsindeksen ved sample k og h er lig med den tærskel, der udløser en
brunst detektering. Hvis g(k) er større end 0, er der konstateret et brunsttilfælde.
Ved nærmere granskning af Figur 4.3 og Figur 4.4 kan det dog ses, at en så primitiv
brunstdetektor, ville kun kunne detektere en brøkdel af de aktuelle brunsttilfælde. Der vil derfor
være brug for en mere indgående undersøgelse af aktivitetsdataene, for at kunne konstruere en
brunstdetektor, der har en tilfredsstillende detekteringsrate. Den delkonklusion der drages udfra de
plottede aktivitetsindeks er alligevel, at aktivitetsindeksen er relevant at undersøge nærmere med
henblik på anvendelse til brunstdetektering.
Figurer som viser aktivitetsindeksen hos køer, som i projektet kategoriseres som værende
normale samt de køer som har været i brunst i perioden, kan ses i Bilag A, s. 139.
4.4 Delkonklusion
Der er foretaget indledende undersøgelser af diverse data fra KFC’s database med henblik på
identificering af tydelige afvigelser på anledning af brunst. Undersøgelser af foder og malke data
viser at der umiddelbart ikke er tydelige brunstsignaturer i dataene. Undersøgelser af IceTag
dataene viser både en markant afvigelse i data og en ikke tydelig ændring i dataene for de to
insemineringstilfælde. Disse to insemineringstilfælde er de eneste til rådighed i IceTag dataene,
og sætter derfor begrænsninger for de konklusioner som ønskes draget af data undersøgelsen.
Hvad angår undersøgelser af aktivitetsdata(DeLaval) viser det sig at der forekommer flere tilfælde
af tydelig forøgelse i dataene grundet brunst. Der eksisterer også data for mange køer over en
forholdsvis langt måleperiode, og giver derfor mulighed for mere generaliserede konklusioner end
ved anvendelsen af IceTags dataene. Det er derfor valgt at tage udgangspunkt i anvendelsen af
aktivitetsdataene til brunst detektering. Nærmere undersøgelser af aktivitetsdataene omhandles i
næste kapitel.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
32
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
33
5 Aktivitetsdata undersøgelser I dette kapitel foretages indledende undersøgelser af køernes aktivitetsdata fået fra DeLaval’s
aktivitetssensorer. De indledende undersøgelser har bl.a. til formål at belyse dataenes egenskaber
med henblik på anvendelse i Change Detection algoritmer som er beskrevet i kapitel 6. I kapitlets
første afsnit ses der på gennemsnitsaktivitet for de 17 normale køer. Gennemsnitsaktiviteten tyder
på en døgnrytme for køernes aktivitet, og er dette derfor undersøgt nærmere i kapitlets andet
afsnit. I kapitlets tredje og sidste afsnit er der foretaget en filtrering af aktivitetsdataene og de
efterfølgende undersøgt for statistiske egenskaber som ligger til grundlag for en Change Detection
algoritme.
Equation Section (Next)
5.1 Gennemsnitskoen
Som det fremgår af Tabel 2.1, s. 16, er en af de indikatorer for ændring i koens adfærd under
brunst, forøget aktivitet. Da netop aktiviteten er én af de indikatorer som kan hentes fra de
måledata, der beskrives i afsnit 3.1 er det nærtliggende, at undersøge hvordan evt. brunsttilfælde
udmønter sig i ændringer i de måledata, der er til rådighed over køernes aktivitet. Som det fremgår
af afsnit 3.1 består måledata for koens aktivitet af, et aktivitetsindeks som et gennemsnit over
koens aktivitet i løbet af hver time.
For at undersøge evt. sammenhæng mellem koens aktivitet og det at den er i brunst, laves
forskellige plots over køernes aktivitetsniveau. Figur 5.1 viser gennemsnitsværdien af 17 køers
aktivitetsindeks per time i døgnet under normale forhold (lyseblå linie). På figuren vises ligeledes
hhv. den højeste og laveste aktivitet, der er forekommet hos de 17 køer over den betragtede
periode, for hver time, samt trends for hhv. øvre grænse for 95 % og 5 % af målingerne.
0 6 12 18 240
102030405060708090
100110120130140150160170180190200210220230240250260
Gennemsnitsaktivitet over ét døgn for 17 køer
Timer i døgnet
Aktiv
itets
inde
ks
Højeste måling for hver time
Øvre grænse for 95% af målinger
Gennemsnitsaktivitet
Øvre grænse for 5% af målinger
Laveste måling for hver time
Figur 5.1 Gennemsnitsværdien af 17 køers aktivitetsindeks per time i døgnet under normale forhold samt højeste og
laveste måling for hver time, over den betragtede periode, såvel som en trends for hhv. øvre grænse for 95 % og 5 % af målingerne.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
34
Figur 5.1 viser, at der er indikationer på, at køernes aktivitet er mindre om natten end om dagen.
Figuren viser også at der er store udsving i aktiviteten for hver time og at 95 % af aktiviteten ligger
indenfor et relativt stort område. Dette tyder på, at køernes aktivitetsniveau er meget forskelligt.
De indikationer, der på Figur 5.1 vises, om at køerne er mere aktive om natten, end om dagen
giver et fingerpeg om at der evt. er nogle faste rytmer i køernes aktivitet, som f.eks. en døgnrytme.
Dette giver derfor en anledning til en undersøgelse af faste perioder i aktiviteten, som beskrives i
det næste afsnit.
5.2 Døgnrytme
Idet det er blevet konstateret, under afsnit 5.1, at indikationer på døgnrytme findes i
aktivitetsdataene, undersøges dataene nærmere med henblik på at identificere evt. faste mønstre
i aktiviteten. De evt. faste mønstre i køernes aktivitet undersøges vha. hhv.
autokovariansfunktionen i tidsdomæne og effektspektrum i frekvensdomæne. Er der nogle faste
mønstre, der bliver identificeret, er det passende, at se på om køernes aktivitet, under brunst,
afviger fra de identificerede mønstre.
Autokovariansfunktionen viser hvordan signalet fratrukket dets middelværdi korrelerer ved
forskellige tidsmæssige forskydninger af signalet i forhold til sig selv, hvor forskydningen betegnes
med τ. Denne korrelation belyser derfor om der er periodiske træk i signalet.
Autokovariansfunktionen for signalet X er defineret som følger (Kilde 3, side 80
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }XX 1 2 1 x 1 2 x 2C t ,t E X t m t X t m t⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (5.1)
hvor E er forventningsværdien, X(t) er data til tiden t og mx er dataenes middelværdi til tiden t.
Hvilket, for en stationær proces bliver
( ) ( ) ( ){ }XX x xC E X t m X t m⎡ ⎤ ⎡ ⎤τ = − + τ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (5.2)
hvor τ er lig med t2-t1, og omtales ofte som lag og mx er processens tidsinvariante middelværdi.
Undersøgelser af køernes aktivitetsdata har vist at aktivitetsdataenes tæthedsfunktioner ikke er
tidsinvariante og kan derfor ikke kategoriseres som værende en stationær proces. Denne
undersøgelse er omhandlet i Bilag B. En konsekvens af dette er at aktivitetsdataenes beregnede
autokovariansfunktion Cxx er tidsvariant, dvs. afhænger både af lag τ og tid t. På trods af at
efterfølgende analyse tager udgangspunkt i at processen der skal analyseres er stationær og
tidsinvariant som ligning (5.2) angiver, kan den med fordel anvendes da den alligevel belyser
periodiske egenskaber i signalet.
Aktivitetsdataenes estimerede autokovarians findes ved beregning af det følgende matematiske
udtryk
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
35
( ) ( )n
XX x xi 1
1C ( ) X(i) X(i )ˆ ˆn
−τ
=
τ = − µ + τ −µ− τ∑ (5.3)
hvor n er lig med antal aktivitetsdata for den pågældende ko, og xµ er en empirisk estimeret
middelværdi for datarækken givet ved
n
x ii 1
1 Xˆn =
µ = ∑ (5.4)
hvor Xi er det i’te element i datarækken X og n er lig antal dataelementer i rækken.
For hver af køerne eksisterer der omkring 4000 aktivitetsværdier (n ≈ 4000), der beskriver køernes
adfærd og det er disse data som anvendes som grundlag for beregningerne. Ved stigende lag tal τ
bruger autokovariansberegningen færre dataelementer i beregningen og som en konsekvens af
dette bliver estimeringen af autokovariansfunktionen ringere ved høje lag tal. Som
tommelfingerregel kan kun de første 5-10 % af beregningerne anses for værende statistisk
pålidelige (Kilde 6, side 730 , forstået på den måde at kun beregninger for lag i intervallet 0 ≤ lag ≤ 0.1*n
kan anvendes med sikkerhed. Konsekvensen af dette vil blive at autokovariansfunktionens
beregninger for lag værdier større end 400 skal tages med forbehold. Autokovariansfunktionen er
beregnet og plottet som funktion af τ for samtlige normale køer. I Figur 5.2 er det valgt at vise
autokovariansplot for to af køerne.
0 24 48 72 96 120 144 168 192 216 240-0.200
-0.091
0.018
0.127
0.236
0.345
0.455
0.564
0.673
0.782
0.891
1.000
Autokovarians, ko nr. 358
Lag
C_h
at(L
ag)
0 24 48 72 96 120 144 168 192 216 240-0.200
-0.091
0.018
0.127
0.236
0.345
0.455
0.564
0.673
0.782
0.891
1.000
Autokovarians, ko nr. 1246
Lag
C_h
at(L
ag)
Figur 5.2 Figuren viser den estimerede autokovariansfunktion for aktivitetsdata for to køer. Plottets lodrette akse er
normeret med autokovariansfunktionens værdi i lag 0, der hvor signalet korrelerer bedst.
Autokovariansfunktionen viser en klar og tydelige døgnrytme hos samtlige normale køer. Udover
døgnrytme forekommer der også, for nogle af køerne, periodiske træk med mindre perioder en 24
timer.
En anden måde for at analysere periodiske egenskaber af et signal er at anvende
spektrumanalyse i frekvensdomæne der viser effektindhold for frekvenserne der udgør signalet.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
36
Det er derfor foretaget en frekvensanalyse og et frekvensspektrum er estimeret for signalet.
Estimeringen er lavet vha. ”spa” funktionen i Matlab eftersom denne også kan angive
konfidensintervaller for estimeringen. ”spa” funktionen beregner frekvensindholdet ved først at
beregne signalets autokorrelationsfunktion, og derefter at gange autokorrelationsfunktionen med
et Hamming vindue hvorefter resultatet Fourier transformeres vha. den diskrete Fourier
transformation.
Autokorrelationsfunktionen beregnes ved Matlab kommandoen ”covf” (Kilde 7 som implementerer
følgende beregning:
n
XXi 1
1R ( ) X(i)X(i )n
−τ
=
τ = + τ− τ∑ (5.5)
Resultaterne ganges derefter med en Hamming vindue af størrelsen M. Hamming vinduet er
typisk defineret ved (Kilde 7:
2 i0.54 0.46cos , hvis 0 i M
w(i) M0 , ellers
⎧ π⎛ ⎞− ≤ ≤⎪ ⎜ ⎟= ⎝ ⎠⎨⎪⎩
(5.6)
og er plottet på Figur 5.3
Figur 5.3 En graf der viser et Hamming vindue af størrelsen M = 40.
Til sidst Fouriertransformeres resultaterne vha. den diskrete Fourier transform, som faktisk er
implementeret vha. FFT (Fast Fourier Transform) algoritmen i Matlab.
Ved anvendelsen af ”spa” funktionen i Matlab skal størrelsen af Hamming vinduet angives.
Analysen er foretaget med størrelsen M lige med datalængden for de data der ønskes analyseret,
da dette giver mulighed for forholdsvis spidse ”peaks” i frekvensspektret, skulle de forekomme.
Dette valg vil til gengæld resultere i en mere usikker estimering, men eftersom
konfidensintervallerne også er estimeret vurderes dette valg værende acceptabelt.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
37
På Figur 5.4 vises et frekvensspektrum for hhv. ko 358 som er kategoriseret som værende normal
og ko 1246 som tilhører kategorien for inseminerede køer. På plottet er 99 % konfidensintervaller
(ud fra normalfordeling) (Kilde 2, side 1088 også vist som røde stiplede linier.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
x 10-4
0
1
2
3
4
5
6
7
8x 10
5
Frekvens [Hz]
Effe
kt
Effektspektrum for ko nr.358
←[24h]
←[12h]
←[8h] ←[6h]
←[4.8h] ←[4h]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
x 10-4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2x 10
5
Frekvens [Hz]E
ffekt
Effektspektrum for ko nr.1246
←[24h]
←[12h]
←[8h] ←[6h]
←[4.8h] ←[4h]
Figur 5.4 Effektspektrum (sort linie) for ko 358 som er kategoriseret normal, og ko 1246 som er insemineret flere gange over
måleperioden. Frekvensestimatets konfidensinterval er plottet med den røde stiplede linie.
Som det fremgår af de to ovenstående figurer er det højeste effektindhold ved f ≈ 11,6 µHz hvilket
beregnet i antal timer h, bliver
1 1T[h] 24[h]3600f 3600 11,6
= = =⋅ µ
På Figur 5.4 vises periodetiden på timebasis ligeledes for de øvrige relevante frekvensindhold.
5.3 Filtrering
Eftersom det er blevet eftervist at rådataene for samtlige køer er præget af periodiske udsving, der
iblandt en døgnrytme laves et forsøg på at udkompensere døgnrytmen ved, at beregne 24 timers
gennemsnit for køernes aktivitetsdata. Gennemsnittet er beregnet hver time, et døgn bagud i tid,
og virker derfor som filtrering af alle periodiske udsving i dataene med en periode på 24 timer eller
mindre.
Det estimerede 24 timers gennemsnit for aktivitetsdataene til tiden k blev beregnet på følgende
måde.
( )k
24
i k 23
1avg k z(i)24
= −
= ∑ hvor k 24 n= K (5.7)
hvor n er lig med antal datasamples for den pågældende kos aktivitetsindeks.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
38
Behandling af NaN’s ved beregning af avg24(k) Som beskrevet i afsnit 3.3 optræder der ind imellem ugyldige eller manglende data som optræder
som NaN's. Eftersom det 24 timers gennemsnit ikke kan beregnes uden en betydelig usikkerhed
hvis én eller flere af dataene i den pågældende gennemsnitsberegning består af et NaN,
returnerer gennemsnitsberegningen et NaN, i sådanne tilfælde. Dette indebærer, at der vil mangle
24 sampler af data, hvis der optræder, et NaN, i datarækken. Sammenhængen mellem antal
returnerede NaN's i beregningen og antal optrædende NaN's i datarækken, med mindre end 24
timer mellem hver NaN, kan beskrives på følgende måde.
24avg NaNsn l j 24= − + (5.8)
hvor j er lig med samplenummeret på det første NaN, l er lig med samplenummeret på det sidste
NaN i en række af NaN's, hvor den største afstand mellem to NaN's ved siden af hinanden ikke
overstiger 24 sampler.
I uheldige tilfælde, kan det være forholdsvis mange data der mangler i avg24(k) rækken, ved denne
metode. Men da der kan være en del usikkerhed forbundet med, at beregne et gennemsnit udfra
kun 24 observationer, når værdien af én eller flere observationer er ukendt, vælges der alligevel,
at anvende denne fremgangsmåde.
Plot af avg24(k) På Figur 5.5 og Figur 5.6 vises plot af avg24(k) over den periode, hvor måledata er til rådighed, for
hhv. en ko som betegnes som en normal ko samt en ko som har været i brunst i perioden.
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
20
40
60
80
100My_24, ko nr.358, race RDM, født: 6.12.2002, ins: 22.3.2006 , kælvning: 7.2.2006
Akt
ivite
tsin
deks
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
20
40
60
80
100
Akt
ivite
tsin
deks
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
20
40
60
80
100
Tid (dato)
Akt
ivite
tsin
deks
Figur 5.5 Et 24 timers aktivitetsgennemsnit, for ko nr. 358. Skalaen på x-aksen viser den periode aktivitetsgennemsnittet er
plottet over, som datoer, og der er en uge mellem de lodrette streger.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
39
Læg mærke til en spids i dataene mellem den 27.9 og 4.10 på Figur 5.5. Forklaringen til spidsen
er ukendt, der er ikke blevet insemineret og derfor antages denne ikke at tilhøre et evt.
brunsttilfælde.
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
20
40
60
80
100My_24, ko nr.1246, race SDM, født: 14.11.2000, ins: 1.9.2006 , kælvning: 22.10.2005
Akt
ivite
tsin
deks
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
20
40
60
80
100
Akt
ivite
tsin
deks
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
20
40
60
80
100
Tid (dato)
Akt
ivite
tsin
deks
Figur 5.6 Et 24 timers aktivitetsgennemsnit, for ko nr. 1246. Tidspunkter for de konstaterede brunsttilfælde vises med
lodrette stiplede lyserøde linier.
Som det fremgår af de to ovenstående figurer, bliver dataene mere udglattede end rådataene, idet
de gennemgår en filtrering, i form af det 24 timers gennemsnit. På Figur 5.6 kan det ses, at
brunsttilfældene ligeledes fremstår tydeligere, når datasignalet har gennemgået en filtrering.
Figurer af avg24(k) for de normale køer, samt de køer som har haft brunsttilfælde i den plottede
periode, kan ses i Bilag C.
Undersøgelser af data
Efterfølgende er der foretaget undersøgelser af dataene hvad angår statistiske tæthedsfunktioner
og periodiske træk vha. hhv. autokorrelation i tidsdomænet og frekvensspektrum i
frekvensdomænet.
For hver af køerne eksisterer der omkring 4000 aktivitetsværdier, der beskriver normal adfærd for
den pågældende ko. Det antal aktivitetsværdier vurderes værende tilstrækkeligt for estimering af
om dataene tilhører en bestemt tæthedsfunktion. Der plottes normerede histogrammer af
aktivitetsdataene for de 17 normale køer. Normeringen tager udgangspunkt i at arealet af alle
søjler lagt sammen er lige 1, svarende til at arealet under tæthedsfunktionen er lige 1.
Normeringen foretages således at forholdene mellem de enkelte søjler holdes konstante i forhold
til forholdene før normeringen. På Figur 5.7 vises histogrammerne hvorpå der også er tegnet en
normalfordeling med dataenes estimerede gennemsnit 0µ og estimeret varians 0σ .
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
40
10 15 20 25 30 35 40 450.000.010.020.030.040.050.060.070.080.09Ko 1260, my = 24.3, sigma = 4.82
15 20 25 30 35 40 45 50 550.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06Ko 1271, my = 31.7, sigma = 7.45
10 20 30 40 50 60 70 800.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07Ko 1267, my = 26.5, sigma = 7.27
20 25 30 35 40 45 50 55 600.000.010.020.030.040.050.060.070.08Ko 168, my = 42.3, sigma = 6.13
20 25 30 35 40 45 50 55 600.000.010.020.030.040.050.060.070.08Ko 174, my = 36.8, sigma = 5.64
0 5 10 15 20 25 300.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25Ko 180, my = 15.9, sigma = 2.58
15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 700.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.10Ko 181, my = 36.8, sigma = 6.43
10 15 20 25 30 35 40 450.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.10Ko 189, my = 31.2, sigma = 4.17
5 10 15 20 25 300.000.020.040.060.080.100.120.140.16Ko 223, my = 14.2, sigma = 3.13
0 5 10 15 200.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30Ko 249, my = 9.46, sigma = 2.13
30 40 50 60 70 80 900.0000.0050.0100.0150.0200.0250.0300.0350.0400.0450.050
Ko 315, my = 58.3, sigma = 9.06
25 30 35 40 45 50 55 60 650.000.010.020.030.040.050.060.070.080.09Ko 356, my = 41.7, sigma = 4.74
20 30 40 50 60 70 800.000.010.020.030.040.050.060.070.080.09Ko 358, my = 46.6, sigma = 5.81
30 40 50 60 70 80 90 1000.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06Ko 362, my = 73.4, sigma = 10.4
15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 650.000.010.020.030.040.050.060.070.08
Ko 383, my = 33, sigma = 6.64
3 4 5 6 7 8 9 10 110.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.50Ko 404, my = 6.22, sigma = 1.06
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 650.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07Ko 479, my = 28, sigma = 8.85
Figur 5.7 Histogrammer for de 17 normale køer, avg24.
I hvert histogram er der også plottet en normalfordelt tæthedsfunktion med estimeret middelværdi
og varians beregnet for dataene for den pågældende ko. Læg mærke til at histogrammernes
horisontale akse varierer i værdier fra plot til plot.
Histogrammerne synes fleste at tilnærme sig normalfordelinger i rimelig grad. Nogle af køerne har
dog en topuklet histogram. Disse topuklede histogrammer er mere udtryk for en ændring i
middelværdien end at dataene ikke er normalfordelte, hvilket delvis kan bekræftes ved, at kigge på
de plot, der vises i Bilag C.
Figur 5.8 viser plot af autokovarians for køer nr. 358 og 1246.
0 24 48 72 96 120 144 168 192 216 240 264 288 312 336 360 384 408 432 456 480-0.3
-0.2
-0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
Autokovarians, ko nr. 358, 24 timers gennemsnit
Lag
Cxx
_hat
(Lag
)
0 24 48 72 96 120 144 168 192 216 240 264 288 312 336 360 384 408 432 456 480-0.3
-0.2
-0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
Autokovarians, ko nr. 1246, 24 timers gennemsnit
Lag
Cxx
_hat
(Lag
)
Figur 5.8 Autokovarians af avg24 data. Til venstre vises autokovarians for ko nr. 358 og til højre vises autokovarians for ko
nr. 1246. Opløsningen på lag aksen er 1 døgn per grid. Konfidensintervaller vises med vandrette streger.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
41
Af figuren fremgår det at de 24 timers variationer i er forsvundet.
Tilsvarende undersøgelser er lavet i frekvensdomæne, hvor frekvensspektret er fundet ved de
metoder som er beskrevet i afsnit 5.2.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
x 10-4
0
1
2
3
4
5
6
7
8x 10
5
Frekvens [Hz]
Effe
kt
Effektspektrum for ko nr. 358
←[24h]
←[12h]
←[8h] ←[6h]
←[4.8h] ←[4h]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
x 10-4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2x 10
5
Frekvens [Hz]
Effe
kt
Effektspektrum for ko nr. 1246
←[24h]
←[12h]
←[8h] ←[6h]
←[4.8h] ←[4h]
Figur 5.9 Frekvensspektrum for 24 timers gennemsnitsdata for normal ko nr. 358 og en insemineret ko nr. 1246. På figuren
er der indført pile og periodetid T i antal timer [h], for enkelte frekvenser.
Det konkluderes af frekvensspektret at døgnvariationen samt variationer med mindre periodetid er
blevet elimineret ved midlingen.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
42
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
43
6 Change Detection Det foreliggende kapitel omhandler Change Detection algoritmer som er udviklet med henblik på
anvendelse i stokastiske systemer, m.a.o. systemer hvori der indgår støjprægede målinger. Det er
fremgået af de forudgående afsnit at aktivitetsdataene vurderes til en vis grad værende stokastisk
præget. Det er derfor af interesse at undersøge anvendelsen af Change Detection algoritmerne på
aktivitetsdataene, med henblik på brunst detektering. I dette kapitel omhandles teori og udvikling
af Change Detection algoritmer og tilhørende signalbehandling. Kapitlets indehold og struktur
fremgår af Figur 6.1. Det anbefales læseren at have rapportens sidste side udfoldet ved læsning
af kapitlet da det giver overblik ved læsningen.
Figur 6.1 Oversigtsdiagram som viser strukturen i kapitel 6.
Equation Section (Next)
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
44
I kapitlets første afsnit er der en generel introduktion til Change Detection algoritmer og deres
anvendelse. I det efterfølgende afsnit beskrives succeskriterier for brunstdetekteringen samt
hvordan dataene for de inseminerede køer kategoriseres i hhv. data der beskriver normal adfærd
og data der beskriver brunst adfærd. Afsnit 6.3 til 6.6 omhandler fire Change Detection algoritmer,
dvs. en CUSUM til detektering af en bestemt ændring i middelværdi, en GLR til detektering af en
ukendt ændring i middelværdi, en CUSUM til detektering af en dynamisk profil og en GLR til
detektering af en dynamisk profil af en ukendt amplitude. Kapitlet afsluttes med en opsummering
af de opnåede resultater fra kapitlets underafsnit efterfulgt af en delkonklusion.
6.1 Generel introduktion
Change Detection algoritmer er ofte anvendt til fejldetektering i fysiske systemer/anlæg hvori der
indgår støjprægede målinger af systemets fysiske variable. Udfra systemets beskrivende ligninger
er der fundet frem til residualsignaler som giver udslag i tilfælde af bestemte fejl i systemet. Fejlen
fremkommer typisk i form af en ændring af residualets middelværdi eller varians, eller i form af en
bestemt profil som fremkommer i residualet. Residualerne er ofte præget af støj som hidrører fra
mere eller mindre støjprægede målinger i systemet og det kan derfor være vanskeligt at detektere
en forholdsvis lille ændring i residualet med en tærskel detektor, grundet støjen. Derfor kan det
være hensigtsmæssigt at anvende en statistisk test baseret på log-likelihood ratio, som er det
algoritmerne er baseret på. Den statistiske test er en hypotesetest hvor der til hver hypotese
tilhører en bestemt tæthedsfunktion for residualsignalet. I dette kapitel anvendes algoritmerne på
de aktivitetsdata der er til rådighed, samt kompenserede udgaver af dataene. Hypoteserne er
derfor en hypotese om køernes normale adfærd, samt en hypotese om køernes brunstadfærd.
6.2 Succeskriterier og kategorisering af aktivitetsdata
Før selve udviklingen af Change Detector algoritmerne beskrives skal to grundlæggende faktorer
fastlægges. Disse er hhv. hvilke succeskriterier defineres i forbindelse med sammenligning af de
udviklede brunstdetektorer samt hvordan dataene for de inseminerede køer deles i to kategorier,
nemlig data der beskriver den normaladfærd og data der beskriver brunstadfærden.
Succeskriterier For at danne et overblik over Change Detector algoritmernes pålidelighed beskrives resultater fra
tests udført på de 12 inseminerede køer ved de udviklede brunstdetektor. De to primære
succeskriterier er hhv. at detektoren fanger brunsttilfældene når de forekommer og at undgå falske
detekteringer. Det tredje succeskriterium er at fange brunsttilfælde tidligt i brunstfasen. I det
efterfølgende er disse mål for detekteringens succes omhandlet.
1. Succesfulde detekteringer
Forholdet mellem antal succesfulde detekteringer og antallet af estimerede brunsttilfælde,
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
45
herefter benævnt succes-ratio og betegnet Sratio, findes for de 12 inseminerede køer.
ratioAntal succesfulde detekteringerSAntal estimerede brunsttilfælde
=
Som det også er blevet omtalt i kapitel 3.1 så eksisterer der insemineringsdata som er en
bekræftelse af at koen har været i brunst, samt registrerede observationer som tyder på at
koen er i brunst. Det er sådan i praksis at køernes brunsttilfælde ikke altid fanges af staldens
personale på trods af tydelige ændringer i aktivitet og derfor også et udslag i aktivitetsdataene.
Konsekvensen af dette er at insemineringsdataene og registrerede observationer, alene ikke
kan anvendes som en ren facitliste eftersom der kunne være flere tydelige brunsttilfælde som
ikke resulterede i inseminering eller registreret observation. Et eksempel på dette er ko 1246
som har med meget stor sandsynlighed været 9 gange i brunst i løbet af dataperioden, med
ret tydelige brunstsymptomer i alle af de 9 brunsttilfældene, se Figur 5.6, s. 39. Der er
registreret nogle observationer ved 8 af disse tilfælde og kun foretaget 4 insemineringer ud af
de 9 brunst tilfælde. Der fremgår dog tydeligt i aktivitetsdataene for ko 1246 at der 9 gange
forekommer en klar forøgelse i aktivitet med omkring 21 dages mellemrum. Derfor estimeres
alle de 9 tilfælde til at være brunsttilfælde. Dvs. staldens personale har umiddelbart gået glip
af et enkelt brunsttilfælde og vurderet at der kun var grund til inseminering i 4 af de 8
observerede tilfælde. Der er derfor valgt at forholde antal succesfulde detekteringer imod antal
estimerede brunsttilfælde i stedet for foretagne insemineringer og registrerede observationer.
Estimeringen er udført manuelt for hver ko og tager udgangspunkt i at der skal være tydelige
tegn på brunst i dataene og at disse tydelige tegn skal passe med brunstperioden på ca. 21
dage. Dertil kommer de tilfælde, hvor der er foretaget insemineringer, selvom der ikke er tegn
at spore i aktiviteten.
2. Falske detekteringer
Antallet af falske detekteringer i dataperioden er af stor betydning, da det er omkostningsfuldt
for gården at tilkalde inseminøren og ønskes ikke gjort unødigt. Der er også her taget
udgangspunkt i den manuelle estimering af brunsttilfælde som beskrevet ovenfor. Der findes
et forhold mellem antal samples og falske detekteringer, herefter benævnt FRatio, for de 12
inseminerede køer.
ratioSampleF
Antal falske detekteringer=
3. Detekteringstidspunkt
Et entydigt mål for hvilken af de forskellige detekteringsmetoder detekterer hurtigst, er dato og
klokkeslæt for detekteringen. Derfor findes detekteringstidspunkt og dato for hver eneste
detektering af de estimerede brunsttilfælde for hver ko. Detekteringstiden for et enkelt
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
46
brunsttilfælde defineres som den tid, der går fra en reference for hvert brunsttilfælde til
brunsten detekteres. Denne reference er fundet ud fra maksimal aktivitet omkring et estimeret
brunsttilfælde og er beskrevet nærmere i efterfølgende beskrivelse af kategoriseringen.
Referencetidspunktet vises altid som en lyserød lodret stiplet linie i rapportens diverse plot.
Detekteringstiden bruges hovedsageligt som sammenligningsgrundlag for sammenligning af
de forskellige typer af detektorer og er angivet det_tid.
Kategorisering Inden en opdeling af aktivitetsdataene i hhv. data, der repræsenterer normal adfærd og data der
repræsenterer brunstadfærd foretages, skal der tages stilling til hvad det er, der adskiller de
pågældende data. For brunstdataene gælder det, at der skal udtages et vist antal timer for hvert
brunsttilfælde, der viser aktiviteten under det pågældende brunsttilfælde. Der skal derfor tages
stilling til to parametre for udtagelse af data for brunsttilfældene, dvs. hhv. hvor mange timers
aktivitet skal udtages for hvert brunsttilfælde og hvordan det nøjagtige udtagelsestidspunkt skal
findes. Med udtagelsestidspunkt menes, de elementer i aktivitetsdataene hvor brunstdataene for
det enkelte brunsttilfælde ligger.
Som det fremgår af kapitel 2, kan et brunsttilfælde vare fra 3 timer til ét døgn, men varer i
gennemsnit 18 timer. Udtages for få timer er der mulighed for at noget af de data, der tilhører
brunsten ikke bliver taget med og der derfor ikke gives et helt rigtigt billede af brunsten. En
tilhørende konsekvens er at noget af brunstdataene kategoriseres som normaldata og derved
fordrejer det billede som gives af normaldataene. I tilfælde af at der udtages for mange timer, vil
noget af normaldataene fordreje brunstbilledet.
Udtagelsestidspunktet findes på en semi automatisk måde. Det findes ved at anvende datoer for
estimerede brunsttilfælde som et udgangspunkt for en automatisk beregningsfunktion. Den
automatiske beregningsfunktion finder den største aktivitetssum, af de antal timer der ønskes
udtaget, som ligger i nærheden af datoen for det estimerede brunsttilfælde. Bestemmelsen af
udtagelsestidspunktet kbrunst udtrykkes som
est.brunst est.brunst
mj2
brunst k d j k dmi j2
k argmax z(i)
+
− ≤ ≤ +
= −
= ∑ (6.1)
hvor z er lig med aktivitetsdata, m er antal timer, der skal udtages, kest.brunst er det sample hvor dato
for det estimerede brunsttilfælde ligger, d er udtryk for størrelsen af søgningsområdet.
Figur 6.2 viser de forskellige parametre der indgår i den ovenstående ligning under klassificering
mellem normal- og brunstdata ved rådata. Her er antal timer som skal udtages, m, valgt til 24
timer, d er ligeledes valgt til 24 timer.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
47
Figur 6.2 Bestemmelse af udtagelsestidspunkt for klassificering af aktivitetsdata mellem normal og brunst. På den
horisontale akse er angivet datoer hver fjerde gang (f.eks. 30.4 og 1.5 ), ellers er der angivet klokkeslæt, enten 06,12 eller 18.
Den stiplede lyserøde linie er det beregnede udtagelses- eller referencetidspunkt for brunsten.
6.3 CUSUM – Ændring i middelværdi
I de følgende underafsnit er teorien for CUSUM testen, til detektering af en ændring i middelværdi,
omhandlet og design og resultater for CUSUM testen af aktivitetsdataene er beskrevet. Der er
udviklet CUSUM test for hver af de inseminerede køer og resultater er efterfølgende diskuteret. De
behandlede detektorer er som følger:
1. Test for ændring i middelværdi for data, midlet over 24 timer (som beskrevet under afsnit
5.3).
Denne detektor laves, idet filtreringen forventes, at formindske variansen i dataene, og
derved give en relativ sikker detektering.
2. Test for ændring i middelværdi for rådata.
Denne detektor laves, for at undersøge om der kan opnås en hurtig detektering på
råsignalet, uden nogen form for filtrering eller kompensering.
3. Test for ændring i middelværdi for rådata som er blevet kompenseret for middelværdi,
samt døgnrytme.
Denne detektor laves for at undersøge om der kan opnås en forbedring i detekteringen
ved, at udkompensere middelværdi og døgnrytme.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
48
4. Test for ændring i middelværdi for logaritmisk transformeret rådata, som er blevet
kompenseret for middelværdi og døgnrytme, eftersom det forvæntes at være normalfordelt
6.3.1 Teori
CUSUM testen anvender en hypotese test for at detektere en ændring i enten middelværdi eller
varians i et signal. Til hver hypotese tilhører en tæthedsfunktion som typisk betegner hhv. den
”normale” tilstand, nulhypotesen H0 , og den anden som betegner en afvigende tilstand H1 .
Efterfølgende forklaring af teorien tager udgangspunkt i to hypoteser beskrevet ved normalfordelte
tæthedsfunktioner, som har samme varians σ2 men afviger i middelværdi µ. Tæthedsfunktionerne
er beskrevet ved
2
21 (z )p (z) exp
22µ⎛ ⎞− µ
= −⎜ ⎟⎜ ⎟σπσ ⎝ ⎠ (6.2)
På Figur 6.3, er de to tæthedsfunktioner tilhørende hhv. H0 og H1, plottet, med σ2 = 1 og hhv. µ = 0
og µ = 3.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 60.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
Probabil ity Density Functions, Gaussian distrubution
z
Figur 6.3 Normalfordelte tæthedsfunktioner tilknyttet hhv. H0 og H1.
Til hvert datasample i signalet beregnes tæthedsfunktionen af z for H0 og H1. Log-likelihood
ligningen for en bestemt ændring i middelværdi beskrives ved:
( )( )( )( )( )
1
0
p z ks k ln
p z kµ
µ
⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠
(6.3)
Denne ligning giver størst resultat, når z(k) = µ1. Udtrykket er derfor i maksimum, ved en bestemt
ændring i middelværdi.
H0 H1
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
49
Summeringen af log-likelihood forholdet, udgør den cumulative sum S(k), og beskrives ved
følgende ligning (Kilde 1, side 240
k k
1
0i 1 i 1
p (z(i))S(k) s(z(i)) ln
p (z(i))µ
µ= =
⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠∑ ∑ (6.4)
hvor k er det aktuelle samplenummer. Ved beregning af S(k) for normalfordelte data, kan ligning
(6.2) sættes ind i ligning (6.4) og summen bliver derved.
( )k k
1 0 1 02
i 1 i 1
S(k) s(z(i)) z i2= =
µ − µ µ + µ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟
σ ⎝ ⎠∑ ∑ (6.5)
Udfra denne beregning ses at den cumulative sum vil udvikle sig i negativ retning så længe
dataene ligger ”tættere” ved H0 end H1. Ligeledes vil summen vokse så snart dataene tilnærmer
sig H1 mere end nulhypotesen.
Figur 6.4 viser et eksempel af en cumulative sum S(k) i tilfælde af data der tilhører H0 indtil tiden
1000 samples hvor dataene begynder at tilhøre H1 og den cumulative sum vokser.
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000-5000
-4500
-4000
-3500
-3000
-2500
-2000
-1500
-1000
-500
0
Cumalative Sum S(k)
Samples
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
Cumalative Sum g(k)
Samples
Figur 6.4
Figuren til venstre viser den Cumulative sum fået fra ligning (6.5) i tilfælde af data der tilhører hypotese H0 indtil tiden 1000 samples, hvor dataene tilhører hypotesen H1. Figuren til højre viser resultatet af at anvende en rekursiv
form for CUSUM realiseret vha. ligning (6.6).
En anden måde at realisere CUSUM på er at kun se på voksende flanker i CUSUM signalet. Dette
er vist på Figur 6.4 til højre og er realiseret ved beslutningsfunktionen g(k) (Kilde 1, side 244.
g(k) max(0,g(k 1) s(z(k)))= − + (6.6)
Selve detekteringen af hypoteseskiftet tager udgangspunkt i at bestemme en grænse h, som g(k)
skal overskride.
Tages udgangspunkt i et normalfordelt inputsignal til CUSUM testen, kan gennemsnits
detekteringstid og gennemsnitstid mellem falske alarmer bestemmes udfra signalets estimerede
middelværdi og varians samt størrelsen af h grænsen. Dette er gjort ved beregning af en
approksimeret ARL (Average Run Length) funktion angivet ved følgende ligning(Kilde 1, side 245
Beslutningsfunktionen g(k) Cumulativ Sum S(k)
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
50
2
s s s s ss 2 2 2
s ss s s
h hL( ) exp 2 1.166 1 2 1.166
2
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞µ µ µ µ σ⎜ ⎟⎜ ⎟µ = − + − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟σ σσ σ µ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ (6.7)
I ARL funktionen indsættes µs og σs i ligningen efter ønske om at bestemme
gennemsnitsdetekteringstid eller gennemsnitstid mellem falske alarmer. Ønskes der beregnet
gennemsnitsdetekteringstid τ beregnes:
2
1 02
( )ˆˆ L2
⎛ ⎞µ − µτ = ⎜ ⎟⎜ ⎟σ⎝ ⎠
(6.8)
og variansen σs2 bestemmes ved:
22 1 0s 2
( )µ −µσ =
σ (6.9)
Ønskes der beregnet gennemsnitstid mellem falske alarmer, T, beregnes:
2
1 02
( )ˆ ˆT L2
⎛ ⎞− µ −µ= ⎜ ⎟⎜ ⎟σ⎝ ⎠
(6.10)
og variansen angivet ved ligning (6.9) anvendes.
6.3.2 24 timers gennemsnitsdata
Som et led i udviklingen af en brunstdetektor baseret på en CUSUM algoritme, er estimater af
dataenes 24 timers gennemsnit, som blev beskrevet under afsnit 5.3, undersøgt for at se evt.
udsving i avg24(k) under brunst.
Årsagen til, at der udvikles en brunstdetektor, der anvender avg24 data, er at CUSUM-signalet
forventes, at være mindre støjfyldt, idet variansen på det filtrerede signal, i sagens natur, er lavere,
end på råsignalet. Dette forventes, at give en relativ sikker brunstdetektering. Det kan dog
samtidigt forventes, at detekteringstiden bliver længere, end f.eks. for råsignalet, da det midlede
signal i hver sample er en midling over de 24 forudgående samples.
Kategorisering af aktivitetsdata Kategoriseringen af avg24 data i hhv. normal del og brunst del er foretaget ved brug af ligning (6.1)
, s. 46, hvor 24 sammenhængende værdier er trukket ud af dataene i et område omkring
brunstdagen.
Undersøgelser af data Eftersom brunst dagene er blevet separeret fra resten af datasættet er der dannet grundlag for
undersøgelser om dataene tilnærmer sig kendte tæthedsfunktioner fra litteraturen, både i normal
tilstand såvel som i brunst.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
51
Tæthedsfunktionen for brunstdataene er, af flere grunde, ikke lige så identificerbar som
tæthedsfunktionen for normaldataene. En åbenlys faktor som begrænser estimeringens
pålidelighed er de få antal brunst data som eksisterer for hvert brunst tilfælde (24 datasamples per
brunst). Yderligere kan der forekomme data, i det separerede brunst data, der tilhører
normaldataene, eftersom brunstvarigheden kan være helt ned til 3 timer, hvor i sådanne tilfælde,
de resterende 21 timer derfor tilhører normal adfærd. Der er plottet flere histogrammer for de
inseminerede køer, hvor der plottes histogrammer af normal dagene i den øverste række i plottet
og histogrammer for brunstdagene separat for neden. Et eksempel er vist i Figur 6.5
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14Ko 1246, my = 19.6, sigma = 3.62
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14Ko 1246, my = 19.6, sigma = 3.62
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14Ko 1246, my = 19.6, sigma = 3.62
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14Ko 1246, my = 19.6, sigma = 3.62
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.000.020.040.060.080.100.120.140.160.18
Brunst nr. 1 my = 33.9 sigma = 2.84
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25Brunst nr. 2 my = 35.3 sigma = 3.69
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.000.020.040.060.080.100.120.140.16
Brunst nr. 3 my = 39.8 sigma = 4.39
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14Brunst nr. 4 my = 41.6 sigma = 4.37
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.000.020.040.060.080.100.120.140.16
Brunst nr. 5 my = 39 sigma = 4.42
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30Brunst nr. 6 my = 38 sigma = 3.62
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.000.010.020.030.040.050.060.070.08
Brunst nr. 7 my = 64.9 sigma = 9.2
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25Brunst nr. 8 my = 38.4 sigma = 3.63
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14Brunst nr. 9 my = 48.8 sigma = 6.46
Figur 6.5 Histogrammer for ko 1246 ved avg24(k).
Figur 6.5 viser de 9 brunstdage plottet separat, samt en normalfordelt tæthedsfunktion med
brunstdataenes estimerede middelværdi og varians.
Som det kan ses på de fire plots i Figur 6.5’s øverste række, er de data som tilhører normal
adfærd tilnærmelsesvis normalfordelte. Om brunsttilfældene også er normalfordelte, eller tilhører
en anden fordeling, er svært, at afgøre med så få data. I det følgende antages både brunst- og
normaldataene, at være normalfordelte.
Det ses af Figur 6.5 at brunsttilfælde for ko 1246 kan meget sandsynligt fanges med en CUSUM
test, eftersom alle af dens brunst tilfælde medfører forøget aktivitet. Der er foretaget tilsvarende
undersøgelser for de resterende inseminerede køer og det vurderes sandsynligt for flere
brunsttilfælde at de kan fanges med en CUSUM detektor.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
52
Design af CUSUM Eftersom de 24 timers gennemsnitsdata antages at være normalfordelte kan ligning (6.5), s. 49,
bruges som grundlag for beregningsalgoritmen i CUSUM detektoren for avg24(k) dataene. Log-
likelihood for ændring i middelværdi af avg24(k) kan derfor udtrykkes som:
( )( ) ( )1 0 1 024 242
ˆ ˆ ˆ ˆs avg k avg k
2ˆµ − µ µ + µ⎛ ⎞
= −⎜ ⎟σ ⎝ ⎠
(6.11)
hvor 0µ og 1µ er middelværdi estimater for avg24 under hhv. normal adfærd og brunst. Der testes
for en kendt ændring i middelværdi ved uændret varians.
Beslutningsfunktionen er den samme som i ligning (6.6), s. 49, og kan derfor skrives som:
( ) ( ) ( )( )( )( )24g k max 0, g k 1 s avg k= − + (6.12)
I de tilfælde hvor avg24(k) består af et NaN sættes Log-likelihood, s(k) = 0, og bidrager derfor
hverken til en forøgelse, eller formindskelse af g(k). Denne fremgangsmåde bruges
gennemgående for de behandlede detektorer. Bestemmelsen af 0µ og 1µ foregår i første omgang
ved at beregne offline estimerede middelværdier for hhv. normaldataene og brunstdataene udfra
den dataklassificering som blev beskrevet tidligere i dette kapitel.
På den nedenfor viste figur vises et eksempel på CUSUM detektering, på avg24(k), for ko nr. 224.
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
50100150200250300350400
CUSUM-avg_24, ko nr.224, race RDM, født: 9.1.2002, ins: 2.5.2006 , kælvning: 10.8.2005
g(k)
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
50100150200250300350400
g(k)
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
50100150200250300350400
Tid (dato)
g(k)
Figur 6.6 CUSUM detektering for ko nr. 224 i perioden 1.4-12.10 2006.
Estimerede brunsttilfælde vises med lyserød stiplet linie, detekteringer vises med grøn stiplet linie.
Som det fremgår af Figur 6.6, er det kun det ene brunsttilfælde, der bliver detekteret, samtidigt
med at der er én falsk detektering. Det kan ligeledes konstateres, at det andet brunsttilfælde ikke
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
53
kan fanges hvis falsk detektering skal undgås, ved kun at justere på h. Samme problem præger
detekteringen for mange af de andre køer. De utilsigtede detekteringer skyldes en forøgelse i
aktivitetsindeksen af forskellig art, dvs. både lang og kortvarige forøgelser. En metode til at
reducere antallet af utilsigtede detekteringer, beskrives i det efterfølgende.
Rekursiv estimering En relevant foranstaltning hvad angår praktisk udførelse af detektoralgoritmen er en rekursiv
estimering af middelværdien µ0 og variansen σ2. En rekursiv estimering, er nødvendig, idet
middelværdien og variansen forventes, at variere over tid, se Bilag B. Der vil formentlig komme
perioder, hvor koen bevæger sig mindre fordi den er f.eks. plaget af sygdom og tilsvarende, kan
der komme en periode, hvor den bevæger sig mere som følge af evt. medicinering eller
kostændring. Man kunne også forestille sig, at både alder og årstider, havde indflydelse på
aktiviteten.
Estimeringen af middelværdien foregår ved ligningerne
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )0 0 01ˆ k ˆ k 1 z k ˆ k 1
T kµ = µ − + − µ − (6.13)
( ) ( )T k T k 1 1= λ − +
hvor λ er en forgetting faktor som typisk vælges i området 0.9 – 0.99. Startbetingelsen for T er 1.
Estimeringen vil kompensere for ændringer i middelværdien og ved en passende valgt λ vil
ændringer i middelværdien der sker over længere tid end ændringer forårsaget af forøget aktivitet i
forbindelse med brunst, formindske sandsynligheden for utilsigtede brunstdetekteringer. På Figur
6.7 vises avg24(k) samt µ0(k).
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
54
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 10.6 17.6 24.6 1.7 8.7 15.7 22.7 29.7 5.8 12.8 19.8 26.8 2.9 9.9 16.9 23.9 30.9 7.1019.100
10
20
30
40
50
Avg_24, ko nr.224, race RDM, født: 9.1.2002, ins: 2.5.2006 , kælvning: 10.8.2005
Tid (dato)
Aktiv
itets
inde
ks
Figur 6.7 avg24(k) for ko 224 i perioden 1.4 – 12.10 2006 samt rekursiv estimat af µ0 for avg24(k) ved λ = 0,99. avg24(k) vises med blå linie mens det rekursiv estimat vises med grøn linie. De estimerede brunsttilfælde i perioden, vises med
lyserøde stiplede linier
Som det fremgår af figuren følger det estimerede middelværdi, ændringer i signalets middelværdi,
uden at kunne følge med den hurtigt voksende middelværdi under brunst. Dette forventes at
reducere antallet af utilsigtede brunstdetekteringer.
Af samme årsager er det ligeledes relevant, at indføre en rekursiv estimering af signalets varians.
Rekursiv estimering af variansen foregår ved den følgende ligning
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )22 2 20
1ˆ k ˆ k 1 z k ˆ k ˆ k 1T k
⎛ ⎞σ = σ − + − µ − σ −⎜ ⎟⎝ ⎠
(6.14)
( ) ( )T k T k 1 1= λ − +
På Figur 6.8 vises avg24(k) samt ( )2ˆ kσ for ko nr. 224.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
55
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
1020304050607080
Avg_24, ko nr.224, race RDM, født: 9.1.2002, ins: 2.5.2006 , kælvning: 10.8.2005
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
1020304050607080
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
1020304050607080
Tid (dato)
Figur 6.8 avg24(k) for ko 224 i perioden 1.4 – 12.10 2006 samt rekursiv estimat af σ2(k) for avg24(k) ved λ = 0,99. avg24(k) vises
med blå linie mens det rekursiv estimat af σ2(k) vises med grøn linie. De estimerede brunsttilfælde i perioden, vises med lyserøde stiplede linier
Som det fremgår af figuren, bliver varians estimatet påvirket af den forøgede aktivitet, der
forekommer omkring de to brunsttilfælde. Eftersom variansen estimeres høj når brunsten
indtræffer (se i mellem den 29.4 og 6.5 på Figur 6.8) forvæntes beslutningsfunktionen g(k) at
vokse mindre, idet variansen indgår i log-likelihood ligningens tæller ( se ligning (6.11), s. 52).
Denne påvirkning har en negativ effekt på detekteringen og der ønskes derfor lavet
foranstaltninger, for at formindske brunstens indflydelse på variansestimeringen. Der er derfor
valgt at slukke for estimeringen, hvis et brunsttilfælde detekteres. Når den forøgede aktivitet, der
opstår i forbindelse med brunsten, forventes at være overstået, tændes for variansestimeringen
igen. Eftersom et brunsttilfælde først bliver detekteret, når den forøgede aktivitet har varet i nogle
timer, skal den estimerede varians, der anvendes i log-likelihood ligningen køre med en
forsinkelse, der mindst svarer til den højst forventede detekteringstid.
Figur 6.9 viser den forsinkelse Mdelay, som variansestimeringen bruger. På figuren vises ligeledes
den stopperiode Mstop, hvor variansestimeringen, bliver standset efter en detektering.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
56
Figur 6.9 En illustration af de parametre, der indgår i forsinkelse og standsning af variansestimeringen. avg24(k) vises med blå linie mens det rekursiv estimat af σ2 vises med grøn linie. Det estimerede brunsttilfælde vises med lyserøde stiplede linier og en kunstig detektering vises med grøn stiplet linie. På den horisontale akse er angivet datoer
hver fjerde gang (f.eks. 30.4 og 1.5 ), ellers er der angivet klokkeslæt, enten 06,12 eller 18.
Mdelay vælges lig med 24 timer (samples), idet en brunst, højst forventes at vare i 24 timer og en
evt. brunstdetektering forventes derfor, at indtræde indenfor de 24 timer. Mstop vælges lig med 72
timer, idet en brunstdetektering kan indtræde tidligt i brunsten og standsningen, derfor skal vare
forsinkelsen plus den tid en forhøjet aktivitet i forbindelse med brunsten, varer.
En forsinket, variansestimering udtrykkes ved
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )22 2 2
delay 0 delay1ˆ k ˆ k 1 z k M ˆ k M ˆ k 1
T k⎛ ⎞σ = σ − + − − µ − − σ −⎜ ⎟⎝ ⎠
for k < kdetekt (6.15)
( ) ( )T k T k 1 1= λ − +
Efter hver brunstdetektering gælder
( ) ( )2 2det ekt det ekt stopˆ k ˆ k 1 for k k k Mσ = σ − ≤ ≤ + (6.16)
( ) ( )T k T k 1 1= λ − +
Hvis, der optræder NaN, i datavektoren z, holdes estimeringen konstant for både µ0 og σ2, for det
pågældende sample.
CUSUM for avg24(k) med rekursiv estimering af µ0 og σ2 Som følge af at µ0 og σ0 estimeres rekursivt, bliver log-likelihood ligningen for avg24(k)
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
57
( )( ) ( )( )
( ) ( )1 0 1 024 242
ˆ ˆ k ˆ ˆ ks avg k avg k
2ˆ k
⎛ ⎞µ − µ µ − µ= −⎜ ⎟⎜ ⎟σ ⎝ ⎠
(6.17)
Beslutningsfunktionen for g(k) er den samme som før, dvs.
( ) ( ) ( )( )( )( )24g k max 0, g k 1 s avg k= − + (6.18)
Resultatet af en CUSUM test for avg24(k) for ko nr. 224, hvor også rekursiv estimering af µ0 og σ0
for, avg24(k) data, anvendes, vises på Figur 6.10.
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
500
1000
1500
2000CUSUM-avg_24, ko nr.224, race RDM, født: 9.1.2002, ins: 2.5.2006 , kælvning: 10.8.2005
g(k)
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
500
1000
1500
2000
g(k)
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
500
1000
1500
2000
Tid (dato)
g(k)
Figur 6.10 CUSUM detektering inklusiv rekursiv estimering af µ0 og σ for avg24(k) data, for ko nr. 224 i perioden 1.4-12.10 2006. λ = 0.99, h = 30. Estimerede brunsttilfælde vises med lyserød stiplet linie, detekteringer vises med grøn
stiplet linie.
Brunstdetekteringen på Figur 6.10 er klart forbedret i forhold til den som vises på Figur 6.6, s. 52,
idet de utilsigtede brunstdetekteringer er reduceret fra 1 til 0, og begge brunsttilfælde detekteres.
På Figur 6.11 vises et plot af variansen for ko nr. 224, hvor det vises hvordan estimeringen
standses ved en detektering af brunst.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
58
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
1020304050607080
Avg_24, ko nr.224, race RDM, født: 9.1.2002, ins: 2.5.2006 , kælvning: 10.8.2005
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
1020304050607080
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
1020304050607080
Tid (dato)
Figur 6.11 avg24(k) for ko 224 i perioden 1.4 – 12.10 2006 samt rekursiv estimat af µ0 og σ2 for avg24(k) ved λ = 0,99. avg24(k)
vises med blå linie mens det rekursiv estimat af µ0 vises med lysegrøn linie og σ2 vises med grøn linie. De estimerede brunsttilfælde i perioden, vises med lyserøde stiplede linier og de konstaterede brunstdetekteringer
vises med grøn stiplet linie.
Ved at sammenligne Figur 6.11 med Figur 6.8, s. 55, kan det ses, hvordan den stigning, der
forekommer i variansestimeringen på Figur 6.8 omkring de to brunsttilfælde, er blevet meget
mindre på Figur 6.11. Når variansestimeringen alligevel stiger, specielt efter det brunsttilfælde der
detekteres den 2.5.2006, skyldes det, at middelværdiestimatet stiger på anledning af brunsten og
der derfor er en betydelig forskel mellem data og middelværdiestimatet, når variansestimeringen
startes igen.
Som et yderligere tjek, af denne brunstdetektor, udføres en brunstdetektering af avg24(k) for ko
1246. Beslutningsfunktionen for denne brunstdetektering vises på Figur 6.12.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
59
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
500
1000
1500
2000CUSUM-avg_24, ko nr.1246, race SDM, født: 14.11.2000, ins: 1.9.2006 , kælvning: 22.10.2005
g(k)
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
500
1000
1500
2000
g(k)
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
500
1000
1500
2000
Tid (dato)
g(k)
Figur 6.12 CUSUM detektering inklusiv rekursiv estimering af µ0 og σ for avg24(k) data, for ko nr. 1246 i perioden 1.4-12.10
2006. λ = 0.99. Estimerede brunsttilfælde vises med lyserød stiplet linie, detekteringer vises med grøn stiplet linie. h = 30
Som det fremgår af Figur 6.12, detekteres alle de 9 brunsttilfælde, der indtræder, hos ko nr. 1246 i
perioden fra 1.4.2006 til 12.10.2006.
Resultater af brunstdetekteringens detekteringstid, lavet i henhold til beskrivelsen i afsnit 6.2, vises
i Tabel 6.1.
Brunst forekomst nr. Referencetidspunkt (lyserød) Detekteringstidspunkt (grøn) Forskel i timer
1 Kl. 21 – 30.4.2006 Kl. 09 – 1.5.2006 12 2 Kl. 05 – 22.5.2006 Kl. 13 – 22.5.2006 8 3 Kl. 18 – 11.6.2006 Kl. 02 – 12.6.2006 8 4 Kl. 06 – 2.7.2006 Kl. 07 – 2.7.2006 1 5 Kl. 16 – 22.7.2006 Kl. 21 – 22.7.2006 5 6 Kl. 23 – 13.8.2006 Kl. 23 – 13.8.2006 0 7 Kl. 22 – 31.8.2006 Kl. 21 – 31.8.2006 -1 8 Kl. 23 – 20.9.2006 Kl. 07 – 21.9.2006 8 9 Kl. 19 – 10.10.2006 Kl. 20 – 10.10.2006 1 Gennemsnit: 4.66
Tabel 6.1 Detekteringstid for hvert enkelt brunsttilfælde for ko nr. 1246, fundet ud fra CUSUM 24 timers gennemsnitsdata.
For at få overblik over hvor godt denne brunstdetektor fungerer, blev brunstdetekteringen udført,
på samtlige, af de 12 køer, som under afsnit 3.2, blev kategoriseret som brunstkøer. Der er lavet
statistik over resultaterne med henblik på at belyse succesfulde detekteringer, falske detekteringer
og detekteringstid i forhold til referencetidspunkt for brunstene. h er manuelt bestemt således at et
rimeligt forhold mellem succesfulde detekteringer og falske detekteringer opnås.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
60
Ko nr. Sratio N nfalske Fratio Gennemsnitlig
detekteringstid (timer) h
34 1/1 = 1 4681 0 – 15 42 224 2/2 = 1 4681 0 – -0.5 30 307 1/1 = 1 4681 0 – 10 100 334 6/7 = 0.86 4681 0 – 3.17 30 353 2/2 = 1 4273 1 4273 11.5 200 371 2/2 = 1 4681 1 4681 2.5 50 373 3/4 = 0.75 4681 2 2340.5 14.33 65 494 4/4 = 1 4681 0 – 3.25 30
1198 2/3 = 0.67 4681 3 1560.3 10.67 100 1246 9/9 = 1 4681 0 – 4.66 30 1253 3/4 = 0.75 4681 1 4681 21 120 244 3/3 = 1 4681 0 – 3.67 30
Tabel 6.2 Detekteringsresultater for CUSUM anvendt på 24 timers gennemsnitsdata for de 12 inseminerede køer.
Der er beregnet Sratio , Fratio og den gennemsnitlige detekteringstid pr. brunst for de inseminerede
køer.
ratio38S 0.9042
= = ratio55764F 6970[h]
8= = det_ tid 7.03[h]=
6.3.3 Rådata
En konsekvens af filtrering af rådata med et lavpas filter, som er gjort i det forrige afsnit er, foruden
delvist tab af dataoplysninger, også en sløvere dynamik i signalet. Derfor ønskes der afprøvet om
en CUSUM detektor som tester på rådata giver kortere detekterings tid uden at gå på kompromis
med pålideligheden, dvs. at holde antal succesfulde detekteringer og antal falske detekteringer på
et lignende niveau.
Kategorisering af aktivitetsdata Kategoriseringen af rådataene i hhv. normal del og brunst del er foretaget på tilsvarende måde
som i det forudgående afsnit, hvor formel (6.1) anvendes til at hive 24 sammenhængende værdier
ud af dataene i et område omkring den estimerede brunst.
Undersøgelser af data Der laves undersøgelser svarende til dem i det forudgående afsnit, hvor der undersøges for
hvilken type tæthedsfunktion kan beskrive dataene. Der er allerede i kapitel 5 undersøgt om
periodiske elementer eksisterer i rådata signalet vha. hhv. autokovarians i tidsdomænet og
frekvensspektrum i frekvensdomænet. De undersøgelser viste en klar døgnrytme for samtlige
normale køer, og flere periodiske træk af med højere frekvenser som varierede på individuelt plan.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
61
Der plottes normerede histogrammer af aktivitetsdataene for de 17 normale køer. På Figur 6.13
vises histogrammerne hvorpå der også er tegnet en eksponentielfordeling med det estimerede
gennemsnit µ fået fra dataene.
0 20 40 60 80 100 120 1400.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06Ko 1260, my = 24.3, sigma = 24.2
0 20 40 60 80 100 120 140 1600.0000.0050.0100.0150.0200.0250.0300.0350.0400.045Ko 1271, my = 31.7, sigma = 30.8
0 20 40 60 80 1001201401601800.0000.0050.0100.0150.0200.0250.0300.0350.0400.0450.050Ko 1267, my = 26.5, sigma = 26.4
0 20 40 60 80 1001201401601800.000
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025
0.030
0.035Ko 168, my = 42.3, sigma = 33.4
0 20 40 60 80 100 120 140 1600.000
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025
0.030Ko 174, my = 36.8, sigma = 30.4
0 20 40 60 80 100 1200.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07Ko 180, my = 15.9, sigma = 15.3
0 20 40 60 80 1001201401601800.000
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025
0.030
0.035Ko 181, my = 36.8, sigma = 32
0 50 100 1500.000
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025
0.030
0.035Ko 189, my = 31.2, sigma = 24.6
0 20 40 60 80 100 120 1400.000.010.020.030.040.050.060.070.080.09
Ko 223, my = 14.2, sigma = 16
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14Ko 249, my = 9.46, sigma = 10.4
0 50 100 150 200 2500.000
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025Ko 315, my = 58.4, sigma = 48.4
0 20 40 60 80 1001201401601800.000
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025
0.030
0.035Ko 356, my = 41.7, sigma = 37.5
0 20 40 60 80 1001201401601800.000
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025
0.030
0.035Ko 358, my = 46.7, sigma = 42.1
0 50 100 150 200 2500.000
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025Ko 362, my = 73.4, sigma = 63.9
0 20 40 60 80 1001201401601800.0000.0050.0100.0150.0200.0250.0300.0350.0400.0450.050
Ko 383, my = 33, sigma = 33.8
0 5 10 15 20 25 30 35 400.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25Ko 404, my = 6.22, sigma = 6.22
0 20 40 60 80 1001201401601800.000
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025
0.030Ko 479, my = 28, sigma = 22
Figur 6.13 Histogrammer for de 17 normale køer, rådata.
Histogrammerne synes fleste at tilnærme sig eksponentielfordelinger i en rimelig grad. Derfor
udvikles der en CUSUM test, hvor en eksponentielfordelt tæthedsfunktion anvendes for nul
hypotesen.
Tæthedsfunktionen for brunstdataene er, som før ikke lige så identificerbar som
tæthedsfunktionen for normaldataene, grundet begrænsede datamængder og variationer i
brunstperiodernes varighed. Der er plottet flere histogrammer for de inseminerede køer, hvor der
plottes histogrammer af normal dagene i den øverste række og histogrammer for brunstdagene
separat for neden. Et eksempel er vist i Figur 6.14.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
62
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.10
Ko 1246, my = 19.4, sigma = 20.7
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.10
Ko 1246, my = 19.4, sigma = 20.7
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.10
Ko 1246, my = 19.4, sigma = 20.7
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.10
Ko 1246, my = 19.4, sigma = 20.7
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000.0000.0050.0100.0150.0200.0250.0300.0350.040
Brunst nr. 1 my = 35.4 sigma = 24.3
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000.000
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025
0.030Brunst nr. 2 my = 40.6 sigma = 29.3
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000.000
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025
0.030
0.035Brunst nr. 3 my = 44.8 sigma = 28.8
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000.000
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025
0.030
0.035Brunst nr. 4 my = 46.4 sigma = 32.8
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000.000
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025
0.030
0.035Brunst nr. 5 my = 43.7 sigma = 31.1
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000.000
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025
0.030Brunst nr. 6 my = 41.1 sigma = 30.6
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000.0000.0020.0040.0060.0080.0100.0120.0140.0160.0180.020
Brunst nr. 7 my = 72.6 sigma = 46.5
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000.0000.0050.0100.0150.0200.0250.0300.0350.0400.0450.050
Brunst nr. 8 my = 45.3 sigma = 24
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000.000
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025
0.030Brunst nr. 9 my = 58.9 sigma = 48.8
Figur 6.14 Histogrammer for ko 1246, rådata
I den øverste række vises histogrammer over normaldagene gentagende gange (4 gange af
samme plot) dette har illustrative formål da det gør det nemmere at sammenligne brunstdagene
med normaldagene. De 9 brunstdage er plottet separat for neden, samt en normalfordelt
tæthedsfunktion med brunstdataenes estimerede middelværdi og varians. Som det fremgår af
Figur 6.14, kan brunstdataenes ”normalhed” hverken bekræftes eller afkræftes ved at kigge på
plottet. Da fordeling i brunst står uklar er det som udgangspunkt valgt at anvende en normalfordelt
tæthedsfunktion til at beskrive brunstadfærden i CUSUM-testen.
Design af CUSUM I efterfølgende CUSUM-test antages normaldataene at være eksponentielt fordelte og
brunstdataene antages at være normalfordelte. Ligningerne for hhv. ( )0p zµ og ( )1
p zµ bliver derfor
hhv.
( )
00 0
1 zp z expµ
⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟µ µ⎝ ⎠
og ( )( )1
11
2
21
z1p z exp22µ
⎛ ⎞− µ⎜ ⎟= −⎜ ⎟σπσ ⎜ ⎟⎝ ⎠
(6.19)
På samme måde som i det forudgående afsnit erstattes µ0 med den rekursivt estimerede
middelværdi for aktivitetsindeksen under normale forhold, µ1 erstattes med den offline estimerede
middelværdi for aktivitetsindeksen under brunst og σ12 erstattes med den rekursivt estimerede
varians for aktivitetsindeksen, idet variansen forudsættes værende den samme under brunst. Log-
likelihood ligningen bliver derved
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
63
( )( ) ( )( )( )( )
( )( )
( )( )( )
( )( )
1
0
2ˆ 10
22 0ˆ
p z k z k ˆˆ k z ks z k ln ln
ˆ kp z k 2 ˆ k2 ˆ k
µ
µ
⎛ ⎞⎛ ⎞ − µµ⎜ ⎟⎜ ⎟= = − +⎜ ⎟⎜ ⎟ µσ⎜ ⎟πσ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(6.20)
På Figur 6.15 vises et plot af aktivitetsindeksen for ko nr. 224, samt en rekursiv estimat af dens
middelværdi.
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 10.6 17.6 24.6 1.7 8.7 15.7 22.7 29.7 5.8 12.8 19.8 26.8 2.9 9.9 16.9 23.9 30.9 7.1019.100
20
40
60
80
100
Aktivitetsindeks, ko nr.224, race RDM, født: 9.1.2002, ins: 2.5.2006 , kælvning: 10.8.2005
Tid (dato)
Figur 6.15 Aktivitetsindeks, z(k), for ko 224 i perioden 1.4 – 12.10 2006 samt rekursiv estimat af µ0 for z(k) ved λ = 0,99. z(k) vises med rødbrun linie mens det rekursiv estimat vises med grøn linie. De estimerede brunsttilfælde i perioden,
vises med lyserøde stiplede linier
Beslutningsfunktionen er den samme som i ligning (6.6), s. 49, og kan her derfor skrives som:
( ) ( ) ( )( )( )( )g k max 0, g k 1 s z k= − + (6.21)
På Figur 6.16 vises et eksempel på CUSUM detektering med rekursiv estimering af µ0, på rådata.
Her er der tale om samme ko som i tidligere viste eksempler for CUSUM på avg24(k), dvs. ko nr.
224.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
64
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.602468
101214161820
CUSUM-rådata ko nr.224, race RDM, født: 9.1.2002, ins: 2.5.2006 , kælvning: 10.8.2005
g(k)
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.802468
101214161820
g(k)
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.1002468
101214161820
Tid (dato)
g(k)
Figur 6.16 Beslutningsfunktionen for rådata inklusiv rekursiv estimering af µ0 for ko nr. 224 i perioden 1.4-12.10 2006. Estimerede brunsttilfælde vises med lyserød stiplet linie, detekteringer vises med grøn stiplet linie. h = 7
Af Figur 6.16 fremgår det, at beslutningsfunktionen g(k) for rådata er meget støjfyldt og der opstår
problem med falske detekteringer, dvs. at det kun er det ene brunsttilfælde, der bliver detekteret,
samtidigt med at der er mange falske detekteringer. Det kan ligeledes konstateres, at det andet
brunsttilfælde ikke kan fanges uden at der opstår endnu flere falske detekteringer.
Korrigering for faste perioder i data I afsnit 5.2 blev det konstateret at rådataene er præget af periodiske udsving. Det kan forventes, at
afvigelserne i aktivitetsdataene hidrørende fra brunst fremkommer tydeligere hvis de periodiske
træk bliver fjernet fra signalet. For at undersøge hvilke frekvenser er relevante at fjerne fra
dataene er der foretaget en Least Squares estimering af de i signalet identificerede frekvenser (se
afsnit 5.2). Udfra Least Squares estimeringen laves F-test og beregning af forklaringsgraden for
således at grundlag for valg af frekvenser til udkompensering er dannet. Efterfølgende er der lavet
en rekursiv udkompensering af de mest relevante frekvenser, og en CUSUM-test, der arbejder på
det udkompenserede signal.
LS, Least Squares Metoden som bruges til estimering af den periodiske aktivitet, går ud på at betragte aktiviteten
som en regression model (Kilde 5 og derefter at estimere dens parametre vha. least squares
metoden. De faste rytmer/frekvenser i køernes aktivitet udtrykkes i modellen ved trigonometriske
funktioner. For både at kunne estimere fase og amplitude, repræsenteres hver frekvens af både
en sinus og en cosinus. Der drages nytte af det følgende forhold
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
65
( ) ( ) ( )A sin t Bcos t Ccos tω + ω = ω − ϕ (6.22)
hvor følgende sammenhæng gælder
2 2C A B= + og BtanA
ϕ = (6.23)
En måleværdi for aktivitetsindeksen for hver sample kan udtrykkes som:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 m m m my k A cos k B sin k A cos k B sin k k= µ + ω + ω ω + ω + εK (6.24)
hvor µ udgør aktivitetens middelværdi, ω1 til ωm betegner de rytmer/frekvenser, der ønskes
estimeret og ε(k) er det støjbidrag som udgør den del af signalet, der ikke kan forklares ved de
faste perioder og middelværdien.
Modellen bliver derved
( )( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )
( )
1 1 m m 11 1 m m 1
m1 1 m mm
1 cos 0 sin 0 cos 0 sin 0y 0 0A1 cos 1 sin 1 cos 1 sin 1 By 1 1
Ay N 1 1 cos N 1 sin N 1 cos N 1 sin N 1 N 1B
µ⎡ ⎤⎡ ⎤ω ⋅ ω ⋅ ω ⋅ ω ⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤ε⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ω ⋅ ω ⋅ ω ⋅ ω ⋅ ε⎢ ⎥= ⋅ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− ω ⋅ − ω ⋅ − ω ⋅ − ω ⋅ − ε −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
L
LMM M M O M MM M
L
(6.25)
hvor N er antal dataelementer og skrives på vektor form (Kilde 4, side 177
= +Y Φθ ε (6.26)
antal estimerede parametre er:
n 2 m 1= ⋅ + (6.27)
hvor m svarer til det antal frekvenser, der ønskes estimeret.
Koefficienterne i θ findes vha. least squares metoden. Least squares metoden går ud på at
estimere θ med henblik på at minimere kostfunktionen (Kilde 4, side 180
( ) ( )N 1
2 TN
k 0
1 1J k2 2
−
=
θ = ε =∑ ε ε (6.28)
Den estimerede koefficientvektor θ findes ved (Kilde 4, side 181
( ) 1T Tˆ −=θ Φ Φ Φ Y (6.29)
Det residual som bruges til detekteringen kan derved findes som
ˆ= −ε Y Φθ (6.30)
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
66
De frekvenser der ønskes udkompenseret, vælges udfra de frekvensspektrum, der blev omhandlet
i afsnit 5.2. Ifølge frekvensspectret for ko nr. 358, som vises på Figur 5.4, s. 37, har frekvensen
med periodetid lig med 24 timer den største amplitude. Andre frekvenser med forholdsvis høj
amplitude har periodetider lig med 12, 6, 4.8 og 4 timer. Plot af frekvensspektret for de andre
normale køer, viser at der ligeledes er forholdsvis høj amplitude ved periodetid lig med 8 timer.
Der blev derfor foretaget en beregning af koefficienterne for trigonometriske funktioner der
indeholder frekvenser, svarende til de tidligere nævnte perioder, ved at lave et offline estimat af
disse parametre vha. least-squares metoden. Resultaterne fra offline estimeringen, kan ses i
Tabel 6.3.
m Am Bm ωm[rad/s] −⋅ 610 T[h]
1 - 16.21 - 13.31 73 24
2 0.09 - 12.33 146 12
3 1.33 0.26 218 8
4 - 7.65 7.90 290 6
5 - 6.59 - 5.30 364 4.8
6 5.34 1.07 436 4
Tabel 6.3 Offline least squares estimat for θ for ko nr. 358
Middelværdien blev estimeret til µ = 46.66. Figur 6.17 viser aktivitetsindeks samt ˆΦθ over en uges
periode for ko nr. 358.
20.5 06 12 18 21.5 06 12 18 22.5 06 12 18 23.5 06 12 18 24.5 06 12 18 25.5 06 12 18 26.5 06 12 18 27.50
20
40
60
80
100
120
140
160
180
Aktivitet, ko nr. 358, race RDM, født: 6.12.2002, ins: 22.3.2006 , kælvning: 7.2.2006, akt. data: 1.4.2006-12.10.2006
Tid (dato)
Aktiv
itets
inde
ks
Figur 6.17 Aktivitetsindeks, vist med rødbrun linie, samt ˆΦθ med offline kompensering af periodetider for 24, 12, 8, 6, 4.8 og
4 timer, vist med sort linie, for ko nr. 358
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
67
F-test Med henblik på, at undersøge signifikansen af, at udkompensere de foroven estimerede perioder,
udføres en F-test. F-testen udføres ved, at beregne kostfunktionen, se ligning (6.28), for de
forskellige antal estimerede parametre og efterfølgende, at teste signifikansen af tilføjelsen af hver
af de ovennævnte frekvenser, i modellen. Signifikansen findes ved en hypotesetest testet ved
brug af F-fordelingen.
For at undersøge indflydelsen af at udkompensere de forskellige frekvenser, beregnes
kostfunktionen, se ligning (6.28), ved de forskellige kompenseringer. Figur 6.18 viser
kostfunktionen for de forskellige frekvenser, for ko nr. 358.
Figur 6.18 Kostfunktion for ko nr. 358, for forskelligt antal estimerede parametre.
På Figur 6.18 er den første parameter som estimeres middelværdien for signalet, kostfunktionen
for den beregnes og vises i figuren hvor n = 1. For frekvensestimeringerne estimeres der 2
parametre for hver frekvens. De frekvenser som tilføjes estimeringen er i følgende rækkefølge
(angivet i timer) 24, 12, 8, 6, 4.8 og 4. Dvs. søjlen hvor n = 13 indeholder angiver kostfunktionen
beregnet ved kompensering af alle af de ovennævnte frekvenser og middelværdien. Af figuren
lader det til, at der ikke er store ”besparelser” at hente ved at estimere parametre for 8 timers
perioden, hvilket kommer til udtryk ved at der ikke er en stor forskel mellem n = 5 og n= 7, på
figuren.
F-testen har følgende nulhypotese (Kilde 4, side 515
0H : ( ) ( )
( ) ( )a b bb a b
b ab
ˆ ˆJ J N ng F n n ,N n
ˆ n nJ
θ − θ −= ⋅ ∈ − −
−θ (6.31)
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
68
Hvilket betyder, at der testes om reduktionen i kostfunktionen, ved forøgelsen af antal estimerede
koefficienter, er usignifikant. Nulhypotesen forkastes hvis (Kilde 4, side 515
( )F1 b a bg f n n ,N n−α> − − (6.32)
Her vælges α = 0.01, dvs. testen udføres med 99 % fraktil. Forkastes nulhypotesen, vurderes
reduktionen i kostfunktionen at være signifikant.
g fF0.99(mb-ma, N-mb) n ω[rad/s] −⋅ 610 T[h]
323.97 4.61 3 73 24
117.71 4.61 5 73, 146 24, 12
1.42 4.61 7 73, 146, 218 24, 12, 8
97.49 4.61 9 73, 146, 218, 290 24, 12, 8, 6
59.10 4.61 11 73, 146, 218, 290, 364 24, 12, 8, 6, 4.8
24.76 4.61 13 73, 146, 218, 290, 364, 436 24, 12, 8, 6, 4.8, 4
Tabel 6.4 Oversigt over signifikanstest for modellering af faste rytmer i ko nr. 358 aktivitetsindeks
Som det fremgår af Tabel 6.4 forkastes hypotesen på alle niveauer, undtaget ved tilføjelse af
kompensering for 8 timers rytme.
For at undersøge signifikansniveauet ved kompensering af de forskellige frekvenser blev den
ovenfor beskrevne hypotesetest udført på de 17 køer som betegnes som værende normale, i
perioden 1.4 til 12.10, 2006. Resultaterne fra hypotesetesten vises i Tabel 6.5. Tabellen viser en
gennemsnit, samt estimeret standardafvigelse for teststørrelsen g for de 17 køer, fraktilen fra F-
fordelingen, antal køer for hvilke hypotesen forkastes divideret med antal testkøer, antal
estimerede parametre n samt de estimerede perioder i timer T.
g gσ fF0.99(mb-ma, N-mb) ( )F
b a b1g f m m ,N m
testkøer
n
n−α> − −
n T[h]
197.67 107.27 4.61 1.00 3 24
55.27 35.99 4.61 1.00 5 24, 12
12.64 8.26 4.61 0.83 7 24, 12, 8
69.45 38.03 4.61 1.00 9 24, 12, 8, 6
29.60 15.71 4.61 1.00 11 24, 12, 8, 6, 4.8
15.34 9.88 4.61 0.78 13 24, 12, 8, 6, 4.8, 4
Tabel 6.5 Oversigt over signifikanstest for modellering af faste rytmer for de 17 normale køers aktivitetsindeks
Som det fremgår af den ovenstående tabel er der mindst ”gevinst” ved at estimere parametre for
perioder på 8 og 4 timer.
Forklaringsgrad
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
69
En anden måde for at anskue relevansen af kompenseringen for de ovenfor omtalte frekvenser er
at se på forklaringsgraden for estimeringerne. Forklaringsgraden R2 beregnes ved den følgende
ligning og angiver i hvor høj grad modellen med estimeret parameter m, forklarer målingerne. (Kilde
4, side 515
( )0 m2
0
ˆJ JR
J
− θ= hvor 20 R 1≤ ≤ (6.33)
hvor J0 er resultatet af kostfunktionen for det målte signal hvor der er blevet korrigeret for estimeret
middelværdi, dvs.
( )( ) ( ) ( )N 1
2 T0 0 0 0
k 0
1 1J y k ˆ ˆ ˆ2 2
−
=
= − µ = − µ − µ∑ Y Y (6.34)
En beregning af forklaringsgraden for ko nr. 358, gav de følgende resultater.
R2 2R∑ m T[h]
0.124 0.124 1 24
0.043 0.167 2 12
0.001 0.168 3 8
0.034 0.202 4 6
0.020 0.222 5 4.8
0.008 0.231 6 4
Tabel 6.6 Oversigt over forklaringsgraden af udkompensering af de forskellige rytmer, for ko nr. 358
Som det fremgår af den ovenstående tabel, kan 23 % af variansen i aktivitetsindeksen for ko nr.
358, forklares ved de udkompenserede perioder. Det kan ligeledes konstateres, at
forklaringsgraden har lavest værdi ved udkompensering af perioder på 8 og 4 timer. Dette
illustreres ligeledes på Figur 6.19.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
70
Figur 6.19 Forklaringsgrad for ko nr. 358 ved kompensering af de betragtede periodetider.
Gennemsnit af forklaringsgraden for de 17 normale køer, er ført i den nedenstående tabel
2R 2Rσ 2R∑ T[h]
0.081 0.038 0.081 24
0.023 0.016 0.104 12
0.005 0.003 0.109 8
0.027 0.014 0.136 6
0.011 0.005 0.148 4.8
0.006 0.004 0.154 4
Tabel 6.7 Oversigt over forklaringsgraden af udkompensering af de forskellige rytmer, for de 17 normale køer
Det fremgår af Tabel 6.7, at gennemsnitlig forklaringsgrad af variansen i aktivitetsindeksen for de
17 normale køer, hidrørende fra de udkompenserede perioder, ligger på 15.4 %. Her kan det også
ses, at forklaringsgraden for udkompensering af periodetider på 8 og 4 timer, er væsentligt lavere
end for de andre periodetider.
Valg af frekvenser for udkompensering Den ovenstående tabel samt de øvrige forudgående undersøgelser omkring udkompensering af
de faste rytmer i køernes aktivitet indikerer, at de betragtede perioder er signifikante, hvad angår
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
71
udkompensering, for omkring 80 % af køerne. Det bliver derfor de frekvenser, der svarer til disse
periodetider, der bruges i det efterfølgende, til udkompensering af de faste rytmer.
For at eftervise, at de tidligere omtalte faste perioder i aktivitetsdataene er blevet væsentligt
reduceret, blev der lavet plots af både autokovarians og effektspektre af offline estimeret residual,
med kompensering af disse periodetider, for de normale køer. Nedenfor vises plots for ko nr. 358.
0 24 48 72 96 120 144 168 192 216 240-0.3
-0.2
-0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
Autokovarians, ko nr. 358
Lag
Cxx
_hat
(Lag
)
0 24 48 72 96 120 144 168 192 216 240-0.3
-0.2
-0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
Autokovarians, ko nr. 358, korrigeret for T[h] = [ 24 12 8 6 4.8 4 ], ved brug af LS
Lag
Cxx
_hat
(Lag
)
Figur 6.20 Autokovarians for aktivitetssignal for ko nr. 358. Til venstre på figuren, vises et autokovariansplot, hvor der kun er blevet korrigeret for middelværdi, mens figuren til højre viser det samme hvor der yderligere er blevet korrigeret
for frekvenser med periodetider lig med T[h] = [ 24 12 8 6 4.8 4], vha. LS-metoden
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
x 10-4
0
1
2
3
4
5
6
7
8x 10
5
Frekvens [Hz]
Effe
kt
Effektspektrum for ko nr.358
←[24h]
←[12h]
←[8h] ←[6h]
←[4.8h] ←[4h]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
x 10-4
0
1
2
3
4
5
6
7
8x 10
5
Frekvens [Hz]
Effe
kt
Effektspektrum for ko nr. 358
←[24h]
←[12h]
←[8h] ←[6h]
←[4.8h] ←[4h]
Figur 6.21 Effektspektrum for ko nr. 358, ved hhv. ingen kompensering og kompensering af forskellige periodetider.
De ovenstående grafer viser at frekvensindhold for de udkompenserede periodetider er væsentligt
reduceret for ko nr. 358.
Da de relevante frekvenser i køernes aktivitetsdata er bestemt er der dannet grundlag for en
videre udvikling af periode- og middelværdi kompenseringen.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
72
RLS rekursiv Least Squares Eftersom aktivitetens middelværdi µ kan ændres over tid, ligesom de frekvenser, der
udkompenseres kan variere i amplitude over tid, indføres en rekursiv estimering af
regressionsmodellen.
Den estimeringsalgoritme som anvendes her er RLS (Recursive Least Squares) algoritmen som er
en rekursiv udgave af den tidligere beskrevne Least Squares algoritme. RLS algoritmen bruger
således estimatet fra det tidligere sample til at beregne et estimat for det næste.
Modellen skrives på formen.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
0 1 1 1 1 m m m m
T
ˆ ˆ ˆ ˆy k ˆ A cos k B sin k A cos k B sin k k
ˆk k
= µ + ω + ω + + ω + ω + ε
= + εθ
L
ϕ (6.35)
hvor T0 1 1 m m
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ A B A B⎡ ⎤= µ⎣ ⎦θ L og
( ) ( ) ( ) ( )T1 1 m m(k) 1 cos k sin k cos k sin k⎡ ⎤= ω ω ω ω⎣ ⎦Lϕ (6.36)
( )ˆ kθ beregnes for hver sample som angivet i den følgende ligning.
( )ˆ ˆ ˆ(k) (k 1) (k) y(k) (k) (k 1)= − + − −θ θ K θΤϕ (6.37)
hvor residualet er lig med ˆy(k) (k) (k 1)− −θΤϕ . ( )kK beregnes ved
(k 1) (k) (k) (k 1)(k) (k) (k) (k) (k 1)1 (k) (k 1) (k)− ⋅ ⋅ ⋅ −
= ⋅ = − −+ ⋅ − ⋅
P PK P P PP
Τ
Τ
ϕ ϕϕ
ϕ ϕ (6.38)
hvor P er kovariansmatricen. En forudsætning for at ligning (6.38) gælder, er at P ikke må være
singulær.
Residualet beregnes derved som
( ) ( ) ( ) ( )T ˆk y k k k 1ε = −θ− ϕ (6.39)
Ulempen ved ovenstående estimering af systemets parametre er, at estimeringen til tiden n (n < k)
får den samme vægt som den nyeste estimering. Dette vil medføre at hvis det aktuelle systems
parametre ændres (tidsvarient), vil det tage de estimerede parametre længere tid at konvergere
imod de aktuelle parametre end ellers. For at kompensere for dette kan udtrykket for P i ligning
(6.38) udvides med en ”forgetting factor” λ som kan vælges i intervallet 0 < λ ≤ 1 (Kilde 5, side 52: λ
vælges dog typisk i området 0.9-0.99. Ved indførelsen af λ, ændres ligning (6.38) til
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
73
(k 1) (k) (k) (k 1)(k) (k 1)(k) (k 1) (k)
⎛ ⎞− ⋅ ⋅ ⋅ −= − − λ⎜ ⎟⎜ ⎟λ + ⋅ − ⋅⎝ ⎠
P PP PP
Τ
Τϕ ϕ
ϕ ϕ (6.40)
Før estimeringen kan fortages skal begyndelsesværdier for P(0), vælges. Dette valg skal tage
udgangspunkt i hvor nøjagtig regressionsmodellens begyndelsesværdier ( )ˆ 0θ , er i forhold til
systemets aktuelle parametre. Hvis ( )ˆ 0θ er tæt på de aktuelle værdier kan P(0) vælges mellem 1
og 10 i diagonalen mens hvis der er en lille eller ingen kendskab til systemets parametre kan P(0)
vælges mellem 100 til 1000 i diagonalen(Kilde 5 side 119-120.
Da der ikke er kendskab til signalets parameterværdier i starten af estimeringen, vælges ( )ˆ 0θ lig
med 0 og P(0) lig med 1000 i diagonalen. λ vælges lig med 0.99.
En RLS estimering af de tidligere omtalte parametre for ko nr. 358 vises i form af ( ) ( )T ˆk k 1−θϕ ,
samt ukompenseret aktivitetsindeks over en uges periode på Figur 6.22.
1.4 06 12 18 2.4 06 12 18 3.4 06 12 18 4.4 06 12 18 5.4 06 12 18 6.4 06 12 18 7.4 06 12 18 8.4 06 12 18 9.4 06 12 18 10.40
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Aktivitetsindeks, ko nr.358, race RDM, født: 6.12.2002, ins: 22.3.2006 , kælvning: 7.2.2006
Tid (dato)
Figur 6.22
Aktivitetsindeks, vist med rødbrun linie, samt ( )T ˆkϕ θ med kompensering af periodetider for 24, 12, 8, 6, 4.8 og 4 timer, vist med grøn linie, for ko nr. 358
Som det kan ses på Figur 6.22, er der et indsvingningsforløb i starten af estimeringen. Det samme
kan konstateres ved, at kigge på plots af parameterestimaterne i Bilag E.
For at bekræfte, at de frekvenser, der ønskes udkompenseret, er blevet formindsket, plottes
autokovarians og effektspektrum for ko nr. 358.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
74
0 24 48 72 96 120 144 168 192 216 240-0.3
-0.2
-0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
Autokovarians, ko nr. 358, korrigeret for T[h] = [ 24 12 8 6 4.8 4 ], ved brug af RLS
Lag
Cxx
_hat
(Lag
)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
x 10-4
0
1
2
3
4
5
6
7
8x 10
5
Frekvens [Hz]
Effe
kt
Effektspektrum for ko nr. 358
←[24h]
←[12h]
←[8h] ←[6h]
←[4.8h] ←[4h]
Figur 6.23 Autokovarians og effektspektrum for ko nr. 358, hvor dataene er korrigerede for perioder på 24, 12, 8, 6, 4.8 og 4
timer vha. RLS algoritme. Her er λ = 0.99
Ved sammenligning af autokovariansen og effektspektrummet på Figur 6.23 med de samme på
hhv. Figur 6.20, s. 71, og Figur 6.21, s. 71, kan det ses, at frekvensindholdet for de
udkompenserede perioder er blevet yderligere reduceret i forhold til en offline LS-estimering, ved
indførelsen af RLS, algoritmen.
Bestemmelse af tæthedsfunktion for kompenseret data Da aktivitetsdataene er blevet korrigeret for de tidligere nævnte periodetider samt middelværdi,
kan det ikke forventes, at dataene beskrives ved samme tæthedsfunktion som før. For at få
overblik over hvordan aktiviteten fordeles efter kompensering, blev histogrammer for de
kompenserede aktivitetsdata, eller residualet, for de 17 normale køer, plottet.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
75
-60 -40 -20 0 20 40 60 80 1001200.000
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025
0.030Ko 1260 s=30.853358 sigma=20.2
-80-60-40-20 0 20 40 60 801001200.000
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025Ko 1271 s=37.5 sigma=24.5
-60-40-20 0 20 40 60 801001201400.000
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025Ko 1267 s=33 sigma=21.6
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 1000.0000.0020.0040.0060.0080.0100.0120.0140.0160.018
Ko 168 s=40.4 sigma=26.4
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 1000.0000.0020.0040.0060.0080.0100.0120.0140.0160.0180.020
Ko 174 s=37.1 sigma=24.3
-40 -20 0 20 40 60 800.0000.0050.0100.0150.0200.0250.0300.0350.0400.045
Ko 180 s=18.8 sigma=12.3
-80-60-40-20 0 20 40 60 801001200.000
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025Ko 181 s=38 sigma=24.9
-60 -40 -20 0 20 40 60 80 1000.000
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025Ko 189 s=29.7 sigma=19.5
-60 -40 -20 0 20 40 60 80 1001200.0000.0050.0100.0150.0200.0250.0300.0350.0400.045
Ko 223 s=19.6 sigma=12.8
-30-20-10 0 10 20 30 40 50 60 700.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07Ko 249 s=13 sigma=8.49
-100 -50 0 50 100 1500.000
0.002
0.004
0.006
0.008
0.010
0.012Ko 315 s=61.8 sigma=40.5
-80-60-40-20 0 20 40 60 801001200.0000.0020.0040.0060.0080.0100.0120.0140.0160.018
Ko 356 s=43.8 sigma=28.7
-100 -50 0 50 100 1500.000
0.005
0.010
0.015Ko 358 s=49.3 sigma=32.3
-150-100 -50 0 50 100 150 2000.0000.0010.0020.0030.0040.0050.0060.0070.0080.009
Ko 362 s=79.2 sigma=51.9
-100 -50 0 50 100 1500.0000.0020.0040.0060.0080.0100.0120.0140.0160.0180.020
Ko 383 s=42.8 sigma=28.1
-15-10 -5 0 5 10 15 20 25 30 350.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.10
Ko 404 s=7.88 sigma=5.16
-60 -40 -20 0 20 40 60 80 1000.000
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025
0.030
0.035Ko 479 s=23.1 sigma=15.2
Figur 6.24 Histogrammer for de 17 normale køer efter RLS kompensering
Af figuren fremgår det, at residualerne for de 17 normale køer, ligner i udformning, Rayleigh
fordelte data. En Rayleigh fordeling kan beskrives ved ligningen: (Kilde 8 side 135
( )2
2 2z zp z exp , z 0, s 0s 2s
⎛ ⎞= − ≥ >⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ (6.41)
hvor s er frihedsgraden og kan bestemmes som
s2
2
σ=
π−
(6.42)
Rayleighfordelingens middelværdi kan derefter bestemmes ved
Rayleigh s2π
µ = (6.43)
Udtrykt ved σ bliver det
Rayleigh 4σ π
µ =− π
(6.44)
Der er dog en klar forskel på de plottede data og Rayleigh fordelte data, idet Rayleigh fordelingen
ikke er defineret for negative tal. For at kunne sammenligne udformningen af en Rayleigh
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
76
tæthedsfunktion med histogrammerne, laves en ændret Rayleigh tæthedsfunktion, der har en
middelværdi som er lig med residualets middelværdi. Da residualets middelværdi forventes at
være lig med 0, grundet kompensering af middelværdien, kan en tæthedsfunktion med Rayleigh
fordelingens egenskaber og middelværdien 0, genereres ved, at addere Rayleigh fordelingens
middelværdi til datavariablen i tæthedsfunktionen. Den nye tæthedsfunktion bliver derved:
( )
2
2 2
z sz s 22p z exp , z s , s 02s 2s
⎡ ⎤⎛ ⎞ππ ⎢ ⎥+⎜ ⎟+ ⎜ ⎟⎢ ⎥ π⎝ ⎠= − ≥ − >⎢ ⎥⎣ ⎦
(6.45)
Dette sætter til gengæld nogle begrænsninger for anvendelse da der kunne eksistere værdier for
det kompenserede signal z som er mindre end s2π
−
En middelværdi er defineret som (Kilde 11, side 57
{ } ( )E X x f x dx∞
−∞
= ∫ (6.46)
Middelværdien for den nye tæthedsfunktion kan derfor findes som
2
ny tæthedsfunktion 2 2s
2
z sz s 22z exp 0s 2s
∞
π−
⎡ ⎤⎛ ⎞ππ ⎢ ⎥+⎜ ⎟+ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠µ = − =⎢ ⎥⎣ ⎦∫
Den ændrede tæthedsfunktion udtrykt ved σ, som funktion af residualet kan skrives som.
( )( )( ) ( ) ( )( )
( )0
2
0 2 2
4 k k 44p k exp , k , 0
2 4 4µ =
⎛ ⎞σ π− π ε + ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ε − π + σ π− π ⎜ ⎟ σ π⎝ ⎠ε = − ε ≥ − σ >⎜ ⎟
σ σ − π⎜ ⎟⎝ ⎠
(6.47)
Histogramplot af de kompenserede data, ε (k), sammen med respektive, forskudte, Rayleigh
fordelinger med varians lig med den estimerede varians af residualet for den pågældende ko,
vises på Figur 6.25.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
77
-60 -40 -20 0 20 40 60 80 1001200.000
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025
0.030Ko 1260 s=30.9 sigma=20.2
-80-60-40-20 0 20 40 60 801001200.000
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025Ko 1271 s=37.5 sigma=24.5
-60-40-20 0 20 40 60 801001201400.000
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025Ko 1267 s=33 sigma=21.6
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 1000.0000.0020.0040.0060.0080.0100.0120.0140.0160.018
Ko 168 s=40.4 sigma=26.4
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 1000.0000.0020.0040.0060.0080.0100.0120.0140.0160.0180.020
Ko 174 s=37.1 sigma=24.3
-40 -20 0 20 40 60 800.0000.0050.0100.0150.0200.0250.0300.0350.0400.045
Ko 180 s=18.8 sigma=12.3
-80-60-40-20 0 20 40 60 801001200.000
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025Ko 181 s=38 sigma=24.9
-60 -40 -20 0 20 40 60 80 1000.000
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025Ko 189 s=29.7 sigma=19.5
-60 -40 -20 0 20 40 60 80 1001200.0000.0050.0100.0150.0200.0250.0300.0350.0400.045
Ko 223 s=19.6 sigma=12.8
-30-20-10 0 10 20 30 40 50 60 700.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07Ko 249 s=13 sigma=8.49
-100 -50 0 50 100 1500.000
0.002
0.004
0.006
0.008
0.010
0.012Ko 315 s=61.8 sigma=40.5
-80-60-40-20 0 20 40 60 801001200.0000.0020.0040.0060.0080.0100.0120.0140.0160.018
Ko 356 s=43.8 sigma=28.7
-100 -50 0 50 100 1500.000
0.005
0.010
0.015Ko 358 s=49.3 sigma=32.3
-150-100 -50 0 50 100 150 2000.0000.0010.0020.0030.0040.0050.0060.0070.0080.009
Ko 362 s=79.2 sigma=51.9
-100 -50 0 50 100 1500.0000.0020.0040.0060.0080.0100.0120.0140.0160.0180.020
Ko 383 s=42.8 sigma=28.1
-15-10 -5 0 5 10 15 20 25 30 350.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.10
Ko 404 s=7.88 sigma=5.16
-60 -40 -20 0 20 40 60 80 1000.000
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025
0.030
0.035Ko 479 s=23.1 sigma=15.2
Figur 6.25 Histogrammer for de 17 normale køer. ε(k), Rayleigh
Som det fremgår af histogrammerne på Figur 6.25 er der en rimelig overensstemmelse mellem de
plottede histogrammer og Rayleigh tæthedsfunktionerne.
CUSUM for residual på rådata Som følge af det foroven beskrevne foretages en CUSUM test for ændring i middelværdi. Som det
fremgår af det ovenstående, kan køernes normaladfærd, udtrykt ved kompenseret
aktivitetsindeks, her betegnet residual, delvist beskrives ved en forskudt Rayleigh tæthedsfunktion.
Et histogram for ko nr. 1246, hvor normal adfærd plottes i øverste række og brunsttilfældene
forneden, vises på Figur 6.26. På figuren er ligeledes plottet, den forskudte Rayleigh
tæthedsfunktion, tilhørende normal adfærd, samt normalfordelte tæthedsfunktioner, tilhørende
hvert brunsttilfælde. Idet CUSUM-testen forudsætter, at variansen er den samme under brunst,
som under normale forhold, er alle kurverne plottet med samme varians.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
78
-100 -50 0 50 100 150 2000.000
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025
0.030
0.035Ko 1246, my = -0.70, sigma = 16.7
-100 -50 0 50 100 150 2000.000
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025
0.030
0.035Ko 1246, my = -0.70, sigma = 16.7
-100 -50 0 50 100 150 2000.000
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025
0.030
0.035Ko 1246, my = -0.70, sigma = 16.7
-100 -50 0 50 100 150 2000.000
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025
0.030
0.035Ko 1246, my = -0.70, sigma = 16.7
-100 -50 0 50 100 150 2000.0000.0050.0100.0150.0200.0250.0300.0350.040
Brunst nr. 1 my = 31.7 sigma = 16.7
-100 -50 0 50 100 150 2000.0000.0050.0100.0150.0200.0250.0300.0350.040
Brunst nr. 2 my = 30.4 sigma = 16.7
-100 -50 0 50 100 150 2000.0000.0050.0100.0150.0200.0250.0300.0350.0400.0450.050
Brunst nr. 3 my = 39.2 sigma = 16.7
-100 -50 0 50 100 150 2000.0000.0050.0100.0150.0200.0250.0300.0350.040
Brunst nr. 4 my = 38.8 sigma = 16.7
-100 -50 0 50 100 150 2000.000.010.020.030.040.050.060.070.08
Brunst nr. 5 my = 36.6 sigma = 16.7
-100 -50 0 50 100 150 2000.0000.0050.0100.0150.0200.0250.0300.0350.0400.0450.050
Brunst nr. 6 my = 31.7 sigma = 16.7
-100 -50 0 50 100 150 2000.0000.0050.0100.0150.0200.0250.0300.0350.040
Brunst nr. 7 my = 75 sigma = 16.7
-100 -50 0 50 100 150 2000.000
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025Brunst nr. 8 my = 32.3 sigma = 16.7
-100 -50 0 50 100 150 2000.0000.0050.0100.0150.0200.0250.0300.0350.0400.0450.050
Brunst nr. 9 my = 38.2 sigma = 16.7
Figur 6.26 Histogrammer for ko 1246, ε(k)
Idet normal adfærd beskrives ved den forskudte Rayleigh tæthedsfunktion og brunst adfærd ved
en normalfordelt tæthedsfunktion bliver ( )0p (k)µ ε og ( )1
p (k)µ ε :
( )( )( ) ( ) ( )( )
0
2
2 2
4 k k 44p k exp
2 4µ
⎛ ⎞σ π− π ε + ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ε − π + σ π− π ⎜ ⎟⎝ ⎠ε = −⎜ ⎟
σ σ⎜ ⎟⎝ ⎠
(6.48)
og
( )( )( )( )1
1
2
2
k1p k exp22µ
⎛ ⎞ε − µ⎜ ⎟ε = −⎜ ⎟σπσ ⎝ ⎠ (6.49)
Med rekursivt estimeret σ2 bliver log-likelihood ligningen
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
79
( )( ) ( )( )( )( )
( )
( ) ( ) ( )( )
( )( )( )
( ) ( )( )( )
( )( )
1
0
ˆ
ˆ
2222
12 22
2
2
p ks k ln
p k
k 4 ˆ kk ˆ2 ˆ kln
2 ˆ k 4 ˆ kˆ k2 ˆ k 4 k
4
ˆ kfor k
4
µ
µ
⎛ ⎞ε⎜ ⎟ε =⎜ ⎟ε⎝ ⎠
ε − π + σ π⎛ ⎞ ε − µσ⎜ ⎟= − +
⎛ ⎞⎜ ⎟ σ σσ π⎜ ⎟⎜ ⎟πσ − π ε +⎜ ⎟⎜ ⎟− π⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
σ πε ≥ −
− π
og (6.50)
( )( ) ( )( )2ˆ k
s k 0 for k4
σ πε = ε < −
− π
Som det kan ses i ligning (6.50) er ligningen kun defineret for ( )( )2ˆ k
k4
σ πε ≥ −
− π. Det fremgår
ligeledes af ligningen at ( )( )2ˆ k
k4
σ πε < −
− πbliver behandlet således at de ikke bidrager til
beslutningsfunktionen. Beslutningsfunktionen bliver:
( ) ( ) ( )( )( )( )g k max 0, g k 1 s k= − + ε (6.51)
CUSUM-detekteringen for ε(k), vises på Figur 6.27
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
80
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
10
20
30Cusum-RLS, ko nr.224, race RDM, født: 9.1.2002, ins: 2.5.2006 , kælvning: 10.8.2005
g(k)
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
10
20
30
g(k)
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
10
20
30
Tid (dato)
g(k)
Figur 6.27 CUSUM detektering på residual efter kompensering af µ samt perioder på 24, 12, 8, 6 4.8 og 4 timer, på rådata for
ko nr. 224., h=6
Som det fremgår af Figur 6.27, er begge brunsttilfælde detekteret, samtidigt med, at der er én
falsk detektering.
Som en yderligere test for denne CUSUM-detektor udføres den samme statistik, som for CUSUM
på avg24 under afsnit 6.3.2. På samme måde som før bestemmes h værdien manuelt for hvert
tilfælde. På Figur 6.28 vises g(k) for ko nr. 1246.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
81
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
10
20
30Cusum-RLS, ko nr.1246, race SDM, født: 14.11.2000, ins: 1.9.2006 , kælvning: 22.10.2005
g(k)
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
10
20
30
g(k)
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
10
20
30
Tid (dato)
g(k)
Figur 6.28 CUSUM detektering på residual efter kompensering af µ samt perioder på 24, 12, 8, 6, 4.8 og 4 timer, på rådata for
ko nr. 1246. h=7
Tabel 6.8 indeholder resultater for brunstdetekteringen for ko nr. 1246.
Brunst forekomst nr. Referencetidspunkt (lyserød) Detekteringstidspunkt (grøn) Forskel i timer 1 Kl. 21 – 30.4.2006 Kl. 03 – 1.5.2006 6 2 Kl. 05 – 22.5.2006 Kl. 08 – 22.5.2006 3 3 Kl. 18 – 11.6.2006 Kl. 23 – 11.6.2006 5 4 Kl. 06 – 2.7.2006 Kl. 03 – 2.7.2006 -3 5 Kl. 16 – 22.7.2006 Kl. 17 – 22.7.2006 1 6 Kl. 23 – 13.8.2006 Kl. 19 – 13.8.2006 -4 7 Kl. 22 – 31.8.2006 Kl. 20 – 31.8.2006 -2 8 Kl. 23 – 20.9.2006 Kl. 04 – 21.9.2006 5 9 Kl. 19 – 10.10.2006 Kl. 17 – 10.10.2006 -2 Gennemsnit: 1.0
Tabel 6.8 Detekteringsresultater for CUSUM , kompenseret rådata for ko 1246.
For at få overblik over hvor godt denne brunstdetektor fungerer, blev brunstdetekteringen udført,
på samtlige, af de 12 køer, som under afsnit 3.2 blev kategoriseret som brunstkøer. Der er lavet
statistik over resultaterne med henblik på at belyse succesfulde detekteringer, falske detekteringer
og detekteringstid. h er manuelt bestemt således at et rimeligt forhold mellem succesfulde
detekteringer og falske detekteringer opnås.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
82
Ko nr. Sratio N nfalske Fratio Gennemsnitlig
detekteringstid (timer) h
34 0/1 = 0 4681 0 – – 6 224 2/2 = 1 4681 0 4681 -7 6 307 1/1 = 1 4681 0 – 1 4 334 6/7 = 0.86 4681 1 4681 -1 6 353 2/2 = 1 4273 0 – 8 19 371 2/2 = 1 4681 1 4681 0.5 5 373 2/4 = 0. 5 4681 3 1560 4 3 494 4/4 = 1 4681 1 4681 -0.75 7
1198 1/3 = 0.33 4681 2 2341 -1 15 1246 9/9 = 1 4681 0 – 1 7 1253 3/4 = 0.75 4681 0 – 7 3.5 244 3/3 = 1 4681 0 – 1 8
Tabel 6.9 Detekteringsresultater for CUSUM anvendt på kompenseret rådata for de 12 inseminerede køer.
Der er beregnet Sratio, Fratio og den gennemsnitlige detekteringstid pr. brunst for de inseminerede
køer.
ratio37S 0.8342
= = ratio55764F 6196[h]
9= = det_ tid 1.00[h]=
På trods af Rayleigh fordelingen synes at beskrive dataene rimeligt har den ulempe at en vis
brøkdel af dataene falder udenfor fordelingens definitionsområde.
Kompenserede Log data Som det fremgår her foroven, er der visse problemer forbundet med brug af Rayleighfordelingen
på kompenserede data, idet Rayleighfordelingen ikke er defineret for alle værdier. Det ville være
ønskeligt, at dataene tilhørte en fordeling som normalfordelingen, som er defineret for alle reelle
tal. Der tages logaritmen af rådataene hvorefter de kompenseres for periodiske træk. Derefter
undersøges til hvilken fordeling, de kompenserede logaritmisk transformerede rådata, tilhører.
Kompenseringen af logaritmisk transformerede rådata foregår i henhold til ligninger (6.35) - (6.40),
s. 72-73, og følgende forhold gælder.
( ) ( )( )y k log z k 1= + (6.52)
hvor z(k) er lig med råsignalet ved sample k og y(k) er det logaritmisk transformerede signal. θ
beregnes og residualet derefter som
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )Tlog z k 1
ˆk y k k k 1+ε = −θ− ϕ (6.53)
Kompenseret logaritmisk transformeret aktivitetsindeks, εlog(z(k)+1)(k), for ko 358 vises på Figur 6.29.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
83
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.6-1.0-0.50.00.51.01.52.0
Kompenseret log(aktivitet + 1), ko nr.358, race RDM, født: 6.12.2002, ins: 22.3.2006 , kælvning: 7.2.2006
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.8-1.0-0.50.00.51.01.52.0
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.10-1.0-0.50.00.51.01.52.0
Tid (dato)
Figur 6.29 Kompenseret logaritmisk transformeret aktivitetsindeks, εlog(z(k)+1)(k), for ko 358 i perioden 1.4 – 12.10 2006
For at undersøge om εlog(z(k)+1)(k) kan siges at være normalfordelt, plottes histogrammer for
εlog(z(k)+1)(k), beregnet udfra data til rådighed, for de 17 normale køer. Disse histogrammer vises på
Figur 6.30.
-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.50.00.10.20.30.40.50.60.70.80.9Ko 1260 my=0.00 sigma=0.45
-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.50.00.10.20.30.40.50.60.70.80.9Ko 1271 my=0.01 sigma=0.40
-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.50.00.10.20.30.40.50.60.70.80.9Ko 1267 my=0.00 sigma=0.45
-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.50.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2Ko 168 my=0.00 sigma=0.40
-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.00.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2Ko 174 my=0.00 sigma=0.34
-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.50.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2Ko 180 my= 0.00 sigma=0.38
-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.50.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2Ko 181 my=0.00 sigma=0.40
-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.50.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4Ko 189 my= 0.00 sigma=0.32
-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.00.00.10.20.30.40.50.60.70.80.9Ko 223 my= 0.00 sigma=0.44
-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.00.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0Ko 249 my= 0.00 sigma=0.40
-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.50.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2Ko 315 my=0.00 sigma=0.45
-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.50.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0Ko 356 my= 0.00 sigma=0.43
-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.50.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0
Ko 358 my=0.00 sigma=0.41
-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.50.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0
Ko 362 my=0.01 sigma=0.47
-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.50.00.10.20.30.40.50.60.70.80.9
Ko 383 my=0.00 sigma=0.49
-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.50.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2Ko 404 my= 0.00 sigma=0.36
-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.00.00.20.40.60.81.01.21.41.6
Ko 479 my=0.01 sigma=0.29
Figur 6.30 Histogrammer for de 17 normale køer. Kompenseret logaritmisk transformerede data.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
84
I hvert histogram er der også plottet en normalfordelt tæthedsfunktion med estimeret varians og
middelværdi, beregnet for dataene for den pågældende ko. Det fremgår af Figur 6.30 at
εlog(z(k)+1)(k) dataene kan ikke afgjort siges at være normalfordelte, idet dataene for de fleste køers
vedkommende, ikke ser ud til at være symmetriske omkring middelværdien.
Det vurderes alligevel, at dataene ligner normalfordelte data i en grad, hvor det er relevant, at
konstruere en CUSUM-detektor, hvor de betragtes som værende normalfordelte.
CUSUM for kompenserede logaritmisk transformerede rådata I henhold til det ovenstående, foretages en CUSUM-test på de kompenserede logaritmisk
transformerede rådata, her betegnet, εlog(z(k)+1)(k).
Som det tidligere er blevet beskrevet, er målingerne for hvert brunsttilfælde for få, for at der med
sikkerhed kan bestemmes hvilken fordeling, brunstdataene, tilhører.
På Figur 6.31 vises et histogram plot over både normalt og brunst adfærd.
-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.50.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0
Ko 1246, my = -14.3e-03, std. = 403e-03
-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.50.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0
Ko 1246, my = -14.3e-03, std. = 403e-03
-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.50.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0
Ko 1246, my = -14.3e-03, std. = 403e-03
-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.50.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0
Ko 1246, my = -14.3e-03, std. = 403e-03
-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.50.00.20.40.60.81.01.21.41.61.8
Brunst nr. 1 my = 371e-03 std. = 468e-03
-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.50.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5Brunst nr. 2 my = 358e-03 std. = 509e-03
-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.50.00.20.40.60.81.01.21.41.61.8
Brunst nr. 3 my = 418e-03 std. = 478e-03
-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.50.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5Brunst nr. 4 my = 379e-03 std. = 547e-03
-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.50.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5Brunst nr. 5 my = 327e-03 std. = 381e-03
-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.50.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0Brunst nr. 6 my = 262e-03 std. = 322e-03
-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.50.00.20.40.60.81.01.21.41.61.8
Brunst nr. 7 my = 517e-03 std. = 477e-03
-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.50.00.20.40.60.81.01.21.41.61.8
Brunst nr. 8 my = 434e-03 std. = 357e-03
-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.50.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5Brunst nr. 9 my = 376e-03 std. = 411e-03
Figur 6.31 Histogrammer for ko 1246. Kompenseret logaritmisk transformeret data.
Da εlog(z(k)+1)(k) antages at være normalfordelte kan ligning (6.5) s. 49, bruges som grundlag for
beregningsalgoritmen i CUSUM detektoren for εlog(z(k)+1)(k) dataene. Ligesom under afsnit 6.3.2,
antages variansen, at være den samme under brunst, som under normale forhold. Log-likelihood
for ændring i middelværdi for εlog(z(k)+1)(k) kan derfor udtrykkes som:
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )1 0 1 0log z k 1 log z k 12s k k
2+ +µ − µ µ + µ⎛ ⎞
ε = ε −⎜ ⎟σ ⎝ ⎠
(6.54)
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
85
Idet ( )( )log z k 1+ε er et rekursivt bestemt residual, hvor middelværdien er blevet udkompenseret, er
0ˆ 0µ = . Med rekursivt estimeret σ2 bliver ligningen
( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )1 1log z k 1 log z k 12
ˆ ˆs k k
2ˆ k+ +µ µ⎛ ⎞ε = ε −⎜ ⎟σ ⎝ ⎠
(6.55)
Beslutningsfunktionen er den samme som i ligning (6.6), s. 49, og kan derfor skrives som:
( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )log z k 1g k max 0, g k 1 s k+⎛ ⎞= − + ε⎜ ⎟⎝ ⎠
(6.56)
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.602468
101214161820
CUSUM-RLS_log, ko nr.224, race RDM, født: 9.1.2002, ins: 2.5.2006 , kælvning: 10.8.2005
g(k)
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.802468
101214161820
g(k)
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.1002468
101214161820
Tid (dato)
g(k)
Figur 6.32 CUSUM detektering på εlog(z(k)+1)(k), for ko nr. 224, h=6
Som det fremgår af Figur 6.32 bliver kun det ene af de to brunsttilfælde, fanget. Af figuren kan det
ligeledes ses, at det ikke ville være muligt, at fange det andet brunsttilfælde, ved kun at justere på
h, uden at få falske detekteringer.
På Figur 6.28 vises g(k) for ko nr. 1246.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
86
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
10
20
30CUSUM-RLS_log, ko nr.1246, race SDM, født: 14.11.2000, ins: 1.9.2006 , kælvning: 22.10.2005
g(k)
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
10
20
30
g(k)
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
10
20
30
Tid (dato)
g(k)
Figur 6.33 CUSUM detektering på εlog(z(k)+1)(k), for ko nr. 1246, h=6
Som det fremgår af Figur 6.33, bliver samtlige 9 brunsttilfælde detekteret. Tabel 6.10 indeholder
resultater for brunstdetekteringen for ko nr. 1246.
Brunst forekomst nr. Referencetidspunkt (lyserød) Detekteringstidspunkt (grøn) Forskel i timer
1 Kl. 21 – 30.4.2006 Kl. 03 – 1.5.2006 6 2 Kl. 05 – 22.5.2006 Kl. 06 – 22.5.2006 1 3 Kl. 18 – 11.6.2006 Kl. 00 – 12.6.2006 6 4 Kl. 06 – 2.7.2006 Kl. 03 – 2.7.2006 -3 5 Kl. 16 – 22.7.2006 Kl. 19 – 22.7.2006 3 6 Kl. 23 – 13.8.2006 Kl. 22 – 13.8.2006 -1 7 Kl. 22 – 31.8.2006 Kl. 22 – 31.8.2006 0 8 Kl. 23 – 20.9.2006 Kl. 02 – 21.9.2006 3 9 Kl. 19 – 10.10.2006 Kl. 18 – 10.10.2006 -1 Gennemsnit: 1.56
Tabel 6.10 Detekteringsresultater for CUSUM anvendt på εlog(z(k)+1)(k), for ko nr. 1246.
For at få overblik over hvor godt denne brunstdetektor fungerer, blev brunstdetekteringen udført,
på samtlige, af de 12 køer, som under afsnit 3.2 blev kategoriseret som brunstkøer. Der er lavet
statistik over resultaterne med henblik på at belyse succesfulde detekteringer, falske detekteringer
og detekteringstid. h er manuelt bestemt således at et rimeligt forhold mellem succesfulde
detekteringer og falske detekteringer opnås.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
87
Ko nr. Sratio N nfalske Fratio Gennemsnitlig
detekteringstid (timer) h
34 1/1 = 1 4681 0 – 10 2.5224 2/2 = 1 4681 3 1560 3 4.5307 1/1 = 1 4681 0 – 2 4334 6/7 = 0.86 4681 0 – -0.83 4.5353 2/2 = 1 4273 1 4273 3.5 7371 2/2 = 1 4681 2 2341 6 6373 3/4 = 0.75 4681 2 2341 5 3494 4/4 = 1 4681 0 – 0 6
1198 3/3 = 1 4681 3 1560 3.33 111246 9/9 = 1 4681 0 – 1.56 61253 4/4 = 1 4681 0 – 7.75 5.5244 3/3 = 1 4681 0 – 1 6
Tabel 6.11 Detekteringsresultater for CUSUM anvendt på εlog(z(k)+1)(k), for de 12 inseminerede køer.
Der er beregnet Sratio, Fratio og den gennemsnitlige detekteringstid pr. brunst for de inseminerede
køer.
ratio40S 0.9542
= = ratio55764F 5069[h]
11= = det_ tid 2.63[h]=
6.4 GLR – Ændring i middelværdi af ukendt størrelse
Et naturligt led i udviklingen af en change detektor til brunstdetekteringen, er at udvikle en GLR-
algoritme (Generalized Likelihood Ratio), idet GLR-algoritmen detekterer en ændring i
middelværdi af ukendt størrelse, hvilket gør estimering af µ1 unødvendig. I dette afsnit er teorien
som ligger til grundlag for GLR-testen gennemgået hvorefter en GLR-test på avg24 data,
kompenserede rådata og kompenserede logaritmisk transformerede rådata er beskrevet.
6.4.1 Teori
Ved en GLR-algoritme til detektering af en ændring i middelværdi er summen af log-likelihood
beregnet som
( )( )( )( )( )
1
0
kkj 1
i j
p z iS ln
p z iµ
µ=
µ =∑ (6.57)
dvs. for hver instans af k, er S en funktion af både j og µ1. Beslutningsfunktionen for GLR-
algoritmen udtrykkes ved, at finde den µ-ændring der giver den maksimale kjS , over et område
beskrevet ved j.
( ) ( )1
kj 11 j k
g k max max S≤ ≤ µ
= µ (6.58)
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
88
Algoritmen finder den µ1 der maksimerer g(k). Det kan ses udfra den ovenstående ligning, at
eftersom k vokser sig større, skal en evt. beregningsalgoritme igennem større mængde af
beregninger for at finde frem til et resultat for g(k). Eftersom maksimalværdien for ( )kj 1S µ findes
når j er lig med den tid ændringen sker (der hvor middelværdien begynder at vokse), kan det siges
at være irrelevant, at kigge længere bagud i tiden, end som svarer til den maksimale tid, der kan
gå fra, at en ændring som ønskes detekteret, indtræffer indtil ændringen forventes at være
detekteret. Kaldes denne tid M, kan ligning (6.58) skrives som
( ) ( )1
kj 1k M 1 j k
g k max max S− + ≤ ≤ µ
= µ (6.59)
Idet løsningen til ( )1
kj 1max S
µµ er fordelingsafhængig, beskrives løsningen til denne i de respektive
underafsnit for detektering ved brug af 24 timers gennemsnitsdata, kompenserede rådata og
kompenserede logaritmisk rådata. NaN er behandlet som beskrevet tidligere i rapporten.
6.4.2 24 timers gennemsnitsdata
Idet de 24 timers gennemsnitsdataene, avg24(k), antages at være normalfordelte er summen af
log-likelihood forholdet, ved rekursiv estimering af µ0 og σ2:
( )( )( )( )( )
( )( )
( ) ( )1
0
k kˆ 24 1 0 1 0k
j 1 242ˆ 24i j i j
p avg k ˆ ˆ i ˆ ˆ iS ˆ avg i
2p avg k ˆ iµ
µ= =
⎛ ⎞⎛ ⎞µ − µ µ − µ⎜ ⎟µ = = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟σ ⎝ ⎠⎝ ⎠
∑ ∑ (6.60)
Log-likelihood ligningen maksimeres i forhold til 1µ . Ligning (6.60) kan omskrives til
( )( )
( )( )
( )( )
( )1
k k k24 0k 2
j 1 1 242 2 2i j i j i j
avg i ˆ i1 1S ˆ ˆ ˆ avg i22 ˆ i ˆ i ˆ i
= = =
⎛ ⎞⎛ ⎞µ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟µ = − µ − µ + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟σ σ σ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∑ ∑ ∑ (6.61)
Det kan ses udfra ligning (6.61) at ( )kj 1S µ har et maksimum og kan derfor maksimeres m.h.t. 1µ
ved, at finde dens aflede m.h.t. 1µ og sætte den lig med 0.
( )
( )( )
( )
k kkj 1 24
1 2 21 i j i j
S ˆ avg i1ˆ 0 0ˆ ˆ i ˆ i
= =
∂ µ= −µ + − =
∂µ σ σ∑ ∑ (6.62)
Udtrykt ved 1µ bliver det
( )
( )( )
( )
k24
2i j
1 k
2i j
avg iˆ i
ˆ k, j1
ˆ i
=
=
σµ =
σ
∑
∑ (6.63)
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
89
Ved at erstatte 1µ i ligning (6.60) med dette udtryk bliver summen af log-likelihood
( )( )
( )( )
( )
( )
( )( )
( )( )
( )
( )
k k24 24
2 2q j q j
0 0k k
2 2kq j q jk
j 1 242i j
avg q avg qˆ q ˆ q
ˆ i ˆ i1 1
ˆ q ˆ qS ˆ j, k avg i
2ˆ i
= =
= =
=
⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟σ σ⎜ ⎟⎜ ⎟− µ − µ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟σ σ⎜ ⎟⎜ ⎟µ = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠σ⎝ ⎠
∑ ∑
∑ ∑∑ (6.64)
Beslutningsfunktionen med rekursivt estimeret µ og σ2, bliver derved
( )
( )( )
( )
( )
( )( )
( )( )
( )
( )
k k24 24
2 2q j q j
0 0k k
2 2kq j q j
242k M 1 j ki j
avg q avg qˆ q ˆ q
ˆ i ˆ i1 1
ˆ q ˆ qg k max avg i
2ˆ i
= =
= =
− + ≤ ≤=
⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟σ σ⎜ ⎟⎜ ⎟− µ − µ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟σ σ⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠σ⎝ ⎠
∑ ∑
∑ ∑∑ (6.65)
En test af GLR algoritmen vises på nedenstående figur.
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
500
1000
1500
2000GLR-avg_24, ko nr.224, race RDM, født: 9.1.2002, ins: 2.5.2006 , kælvning: 10.8.2005
g(k)
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
500
1000
1500
2000
g(k)
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
500
1000
1500
2000
Tid (dato)
g(k)
Figur 6.34 GLR detektering på avg24(k), for ko nr. 224,M = 24, h= 180
Som det fremgår Figur 6.34, bliver begge brunsttilfælde detekteret, uden falsk detektering.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
90
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
50010001500200025003000
GLR-avg_24, ko nr.1246, race SDM, født: 14.11.2000, ins: 1.9.2006 , kælvning: 22.10.2005
g(k)
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
50010001500200025003000
g(k)
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
50010001500200025003000
Tid (dato)
g(k)
Figur 6.35 GLR detektering på avg24(k) for ko nr. 1246 M = 24, h = 180
Det fremgår af Figur 6.35, at alle 9 brunsttilfælde bliver detekteret. Det fremgår også af figuren, at
der er én falsk detektering.
6.4.3 Rådata RLS
Som nævnt under afsnit 6.3.3, antages de kompenserede rådata ε(k) for aktiviteten under normale
forhold at være Rayleigh fordelt mens den under brunst antages at være normalfordelt. Summen
af log-likelihood for de kompenserede rådata, med rekursiv estimering af σ2 beregnes som.
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( )( )( )
( ) ( )( )( )
222k 2
1kj 1 2 22
i j 2
i 4 ˆ ii ˆ2 ˆ iS ˆ ln
2 ˆ i 4 ˆ iˆ i2 ˆ i 4 i
4=
⎛ ⎞ε − π + σ π⎜ ⎟⎛ ⎞ ε − µσ
⎜ ⎟⎜ ⎟µ = − +⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ σ σσ π⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟πσ − π ε +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− π⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
∑
(6.66)
Dette udtryk kan omskrives til
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )( )
( )( )( )
( )( )1
22k 2
kj 1 22
i j 2
k k k2
12 2 2i j i j i j
i 4 ˆ i2 ˆ iS ˆ ln
4 ˆ iˆ i2 ˆ i 4 i
4
i i1ˆ ˆ2 ˆ i ˆ i 2 ˆ i
=
= = =
⎛ ⎞ε − π + σ π⎜ ⎟⎛ ⎞σ
⎜ ⎟⎜ ⎟µ = +⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ σσ π⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟πσ − π ε +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− π⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞ε ε⎜ ⎟− µ − µ +⎜ ⎟σ σ σ⎜ ⎟⎝ ⎠
∑
∑ ∑ ∑
(6.67)
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
91
Det kan ses udfra ligning (6.67) at ( )kj 1S µ har et maksimum og kan derfor, som i det forudgående
afsnit, maksimeres m.h.t. 1µ ved, at finde dens aflede m.h.t. 1µ og sætte den lig med 0.
( )
( )( )( )
k kkj 1
1 2 21 i j i j
S ˆ i10 ˆ 0 0ˆ ˆ i ˆ i
= =
⎛ ⎞∂ µ ε⎜ ⎟= − µ − + =⎜ ⎟∂µ σ σ⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑ (6.68)
hvilket bliver
( )
( )( )
( )
k
2i j
1 k
2i j
iˆ i
ˆ k, j1
ˆ i
=
=
ε
σµ =
σ
∑
∑ (6.69)
Hvilket er identisk med resultatet i ligning (6.63), s. 88. µ1 elimineres dernæst fra log-likelihood ved
at erstatte µ1 i ligning (6.70) med udtrykket i ligning (6.69). Summen af log-likelihood bliver derved.
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )( )
( )
( )( )
( )
( )
22k 2
kj 1 22
i j 2
2k
2q jk
2kq j
2i j
i 4 ˆ i2 ˆ iS ˆ ln
4 ˆ iˆ i2 ˆ i 4 i
4
qˆ q
i1
ˆ q
2 ˆ i
=
=
=
=
⎛ ⎞ε − π + σ π⎜ ⎟⎛ ⎞σ
⎜ ⎟⎜ ⎟µ = +⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ σσ π⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟πσ − π ε +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− π⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞ε⎜ ⎟⎜ ⎟σ⎜ ⎟ε −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟σ⎜ ⎟⎝ ⎠−
σ
∑
∑
∑∑
(6.70)
Beslutningsfunktionen g(k)
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
92
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )( )
( )
( )( )
( )
( )
22k 2
2k M 1 j k 2i j 2
2k
2q jk
2kq j
2i j
i 4 ˆ i2 ˆ ig k max ln
4 ˆ iˆ i2 ˆ i 4 i
4
qˆ q
i1
ˆ q
2 ˆ i
− + ≤ ≤=
=
=
=
⎛ ⎞ε − π + σ π⎜ ⎟⎛ ⎞σ
⎜ ⎟⎜ ⎟= +⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ σσ π⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟πσ − π ε +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− π⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞ε⎜ ⎟⎜ ⎟σ⎜ ⎟ε −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟σ⎜ ⎟⎝ ⎠−
σ
∑
∑
∑∑
(6.71)
På Figur 6.36 vises en GLR test på ε(k) for ko nr. 224.
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
10
20
30GLR-RLS, ko nr.224, race RDM, født: 9.1.2002, ins: 2.5.2006 , kælvning: 10.8.2005
g(k)
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
10
20
30
g(k)
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
10
20
30
Tid (dato)
g(k)
Figur 6.36 GLR detektering på ε(k), for ko nr. 224, M = 24, h = 9
Som det fremgår af Figur 6.36 bliver begge brunsttilfælde detekteret uden en falsk detektering. For
at kunne sammenligne denne detektor med de øvrige detektorer, testes denne detektor på de 12
inseminerede køer, ved manuelt bestemt h.
På Figur 6.37 vises g(k) beregnet vha. GLR algoritmen, for ko nr. 1246.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
93
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
10203040506070
GLR-RLS, ko nr.1246, race SDM, født: 14.11.2000, ins: 1.9.2006 , kælvning: 22.10.2005
g(k)
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
10203040506070
g(k)
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
10203040506070
Tid (dato)
g(k)
Figur 6.37 GLR detektering på ε(k), for ko nr. 1246, M = 24, h = 13
Det fremgår af Figur 6.37, at alle 9 brunsttilfælde bliver detekteret uden en falsk detektering.
Tabel 6.12 indeholder resultater for brunstdetekteringen for ko nr. 1246.
Brunst forekomst nr. Referencetidspunkt (lyserød) Detekteringstidspunkt (grøn) Forskel i timer 1 Kl. 21 – 30.4.2006 Kl. 05 – 1.5.2006 8 2 Kl. 05 – 22.5.2006 Kl. 12 – 22.5.2006 7 3 Kl. 18 – 11.6.2006 Kl. 00 – 12.6.2006 6 4 Kl. 06 – 2.7.2006 Kl. 06 – 2.7.2006 0 5 Kl. 16 – 22.7.2006 Kl. 18 – 22.7.2006 2 6 Kl. 23 – 13.8.2006 Kl. 22 – 13.8.2006 -1 7 Kl. 22 – 31.8.2006 Kl. 20 – 31.8.2006 -2 8 Kl. 23 – 20.9.2006 Kl. 08 – 21.9.2006 9 9 Kl. 19 – 10.10.2006 Kl. 19 – 10.10.2006 0 Gennemsnit: 3.22
Tabel 6.12 Detekteringsresultater for GLR anvendt på ε(k) for ko 1246.
Tabel 6.13 viser statistik over resultaterne for de 12 inseminerede køer. Som før h er manuelt
bestemt således at et rimeligt forhold mellem succesfulde detekteringer og falske detekteringer
opnås.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
94
Ko nr. Sratio N nfalske Fratio Gennemsnitlig
detekteringstid (timer) h
34 0/1 = 0 4681 0 – – 10 224 2/2 = 1 4681 0 – -2 9 307 1/1 = 1 4681 0 – 3 6 334 5/7 = 0.71 4681 0 – 2.2 13 353 2/2 = 1 4273 0 – 5 18 371 2/2 = 1 4681 1 4681 4 6.5 373 3/4 = 0.75 4681 3 1560 5 5.5 494 4/4 = 1 4681 0 – 1 9
1198 2/3 = 0.67 4681 1 4681 -5.5 20 1246 9/9 = 1 4681 0 – 3.22 13 1253 3/4 = 0.67 4681 1 4681 7.33 9.5 244 3/3 = 1 4681 0 – 0 7
Tabel 6.13 Detekteringsresultater for GLR anvendt på ε(k) for de 12 inseminerede køer.
Der er beregnet Sratio, Fratio og den gennemsnitlige detekteringstid pr. brunst for de inseminerede
køer.
ratio36S 0.8642
= = ratio55764F 9294[h]
6= = det_ tid 2.42[h]=
6.4.4 RLS kompenseret log transformerede rådata
Idet både normaladfærd og brunstadfærd, antages som værende normalfordelte, når det drejer sig
om RLS kompenserede log transformerede rådata, betegnet εlog(z(k)+1)(k), bliver GLR beregningen
stort set identisk med den, der blev udført under afsnit 6.4.2. Bort set fra, at avg24(k) i ligninger
(6.60) - (6.65), s. 88-89, skal erstattes med εlog(z(k)+1)(k) og µ0 = 0. Derved bliver
beslutningsfunktionen, med rekursivt estimeret σ2:
( )
( )( ) ( )( )
( )
( )
( )( )
( )( ) ( )( )
( )
( )
k klog z k 1 log z k 1
2 2q j q j
0 0k k
2 2kq j q j
242k M 1 j ki j
q q
ˆ q ˆ qˆ i ˆ i
1 1ˆ q ˆ q
g k max avg i2ˆ i
+ +
= =
= =
− + ≤ ≤=
⎛ ⎞⎛ ⎞ε ε⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟σ σ⎜ ⎟⎜ ⎟− µ − µ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟σ σ⎜ ⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠σ⎝ ⎠
∑ ∑
∑ ∑∑ (6.72)
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
95
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.602468
101214161820
GLR-RLS_log, ko nr.224, race RDM, født: 9.1.2002, ins: 2.5.2006 , kælvning: 10.8.2005
g(k)
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.802468
101214161820
g(k)
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.1002468
101214161820
Tid (dato)
g(k)
Figur 6.38 GLR detektering på ε(k)log(z(k)+1)(k), for ko nr. 224, M = 24, h = 11
Som det fremgår af Figur 6.38, er begge brunsttilfælde detekteret, samtidigt med, at der er én
falsk detektering. Det kan ligeledes ses, at det ikke er muligt, at detektere det andet brunsttilfælde,
ved kun, at justere på h værdien uden, at få flere falske detekteringer.
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
10
20
30GLR-RLS_log, ko nr.1246, race SDM, født: 14.11.2000, ins: 1.9.2006 , kælvning: 22.10.2005
g(k)
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
10
20
30
g(k)
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
10
20
30
Tid (dato)
g(k)
Figur 6.39 GLR detektering på ε(k)log(z(k)+1)(k), for ko nr. 1246, M = 24, h = 9
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
96
Det fremgår af Figur 6.39, at alle 9 brunsttilfælde bliver detekteret. Det fremgår også af figuren, at
der er én falsk detektering.
Tabel 6.14 indeholder resultater for brunstdetekteringen for ko nr. 1246.
Brunst forekomst nr. Referencetidspunkt (lyserød) Detekteringstidspunkt (grøn) Forskel i timer 1 Kl. 21 – 30.4.2006 Kl. 04 – 1.5.2006 7 2 Kl. 05 – 22.5.2006 Kl. 07 – 22.5.2006 2 3 Kl. 18 – 11.6.2006 Kl. 01 – 12.6.2006 7 4 Kl. 06 – 2.7.2006 Kl. 05 – 2.7.2006 -1 5 Kl. 16 – 22.7.2006 Kl. 21 – 22.7.2006 5 6 Kl. 23 – 13.8.2006 Kl. 00 – 14.8.2006 1 7 Kl. 22 – 31.8.2006 Kl. 23 – 31.8.2006 1 8 Kl. 23 – 20.9.2006 Kl. 04 – 21.9.2006 5 9 Kl. 19 – 10.10.2006 Kl. 18 – 10.10.2006 -1 Gennemsnit: 2.89
Tabel 6.14 Detekteringsresultater for GLR anvendt på εlog(z(k)+1)(k) for ko 1246.
Tabel 6.15 viser statistik over resultaterne for de 12 inseminerede køer. Som før h er manuelt
bestemt således at et rimeligt forhold mellem succesfulde detekteringer og falske detekteringer
opnås.
Ko nr. Sratio N nfalske Fratio Gennemsnitlig
detekteringstid (timer) h
34 0/1 = 0 4681 0 – – 10 224 1/2 = 0.5 4681 1 4681 1 11 307 1/1 = 1 4681 1 4681 10 7 334 5/7 = 0.71 4681 0 – 3 10 353 2/2 = 1 4273 1 4273 7 13.5 371 1/2 = 0.5 4681 0 – 2 10 373 0/4 = 0 4681 0 – – 12 494 4/4 = 1 4681 2 2340 1.5 8.5
1198 2/3 = 0.67 4681 1 4681 -4 14.5 1246 9/9 = 1 4681 1 4681 2.9 9 1253 4/4 = 1 4681 2 2340 7.75 6.9 244 3/3 = 1 4681 0 – 3.7 12
Tabel 6.15 Detekteringsresultater for GLR anvendt på εlog(z(k)+1)(k) de inseminerede køer.
Der er beregnet Sratio Fratio og den gennemsnitlige detekteringstid pr. brunst for de inseminerede
køer.
ratio32S 0.7642
= = ratio55764F 6196[h]
9= = det_ tid 3.38[h]=
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
97
6.5 CUSUM – Dynamisk profil
Som et led i udviklingen af brunstdetekteringen, udføres en CUSUM test til detektering af en
dynamisk profil. I dette underafsnit er teorien for CUSUM testen til detektering af en dynamisk
profil omhandlet, samt design og resultater for denne CUSUM test anvendt på aktivitetsdataene.
CUSUM testen er designet og anvendt på et 24 timers gennemsnit af datasignalet, avg24(k), et
kompenseret rådatasignal, ε(k), og det kompenserede logaritmisk transformeret rådatasignal,
εlog(z(k)+1)(k), hvor resultaterne efterfølgende er diskuteret.
6.5.1 Teori
I den efterfølgende beskrivelse af teorien bag detektering af en dynamisk profil tages
udgangspunkt i en vektorbaseret beskrivelse, dvs. hvor der er tale om flere residualsignaler med
flere dynamiske profiler som ønskes detekteret. I slutningen af afsnittet opstilles det skalare
tilfælde, som anvendes til detektering af en enkelt profil i køernes aktivitetsdata.
Der tages udgangspunkt i to hypoteser for signalerne, en normalhypotese (nulhypotesen) der
beskriver signalernes normale karakteristik og en ”fejlhypotese” der beskriver signalernes
karakteristik ved indtrædelsen af de profiler i signalerne, der ønskes detekteret, til tiden k0.
Ved normalfordelte data beskrives nulhypotesen ved at signalerne tilhører normalfordelingen med
varians Q og middelværdi µ0
( )( ) ( )0 : i ,= 0z µ QH : L z N (6.73)
hvor z(i) er en vektor med de pågældende signaler (residualsignaler).
”Fejlhypotesen” beskrives ved, at til tidspunktet k0 indtræder profiler i signalerne og signalerne
tilhører derefter normalfordelingen med samme varians men en middelværdi som er afhængig af
profilerne
( )( ) ( )1 0: i (i k ),= + −0z µ ρ QH : L z N (6.74)
hvor ρ(i-k0) er en vektor, der indeholder et udsnit af profilerne i ρ, til tiden i-k0.
Den cumulative sum er baseret på log-likelihood forholdet mellem de tæthedsfunktioner der er
defineret ovenfor (Kilde 1, side 256:
0
0
k( (i j))k
j( )i j
p ( (i))S ln
p ( (i))+ −
=
⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ µ ρ
µ
zz
(6.75)
hvor j er en hypotetisk k0. Sjk kan udledes til følgende udtryk(Kilde 1, side 256:
k k
k 1 1j 0
i j i j
1S (i j) ' ( (i) ) (i j) ' (i j)2
− −
= =
= − − − − −∑ ∑ρ Q z µ ρ Q ρ (6.76)
hvor ρ er profilerne, Q er kovariansmatricen og z er de aktuelle input data med middelværdi µ0, i
normal tilstand. Den cumulative sum beregnes for forskellige værdier af k0, dvs. j, hvor
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
98
beslutningsfunktionen g(k) finder den maksimale cumulative sum og bruger det som resultatet af
CUSUM testen til tiden k. Dette er beskrevet matematisk som følger (Kilde 1, side 256
k kk 1 1j 01 j k 1 j k
i j i j
1g(k) max(S ) max (i j) ' ( (i) ) (i j) ' (i j)2
− −
≤ ≤ ≤ ≤= =
⎛ ⎞⎜ ⎟= = − − − − −⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑ρ Q z µ ρ Q ρ (6.77)
hvor g(k) er beslutningsfunktionen beregnet til tiden k.
Da der i detektering af brunst er tale om en detektering i et enkelt aktivitetssignal ad gangen, kan
følgende skalar udgave af beslutningsfunktionen anvendes:
k k
k 2j 021 j k 1 j k
i j i j
1 1g(k) max(S ) max (i j)(z(i) ) (i j)2≤ ≤ ≤ ≤
= =
⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= = ρ − − µ − ρ −
⎜ ⎟⎜ ⎟σ ⎝ ⎠⎝ ⎠∑ ∑ (6.78)
hvor σ2 er variansen for signalet. I ligning (6.78) fremgår at g(k) er det maksimale af Sjk hvor j går
fra 1 til k. Dette har den praktiske ulempe at beregningernes omfang vokser med k og sætter
derfor begrænsninger for hvor længe testen kan køre i praksis. Som løsning til denne problematik
kan der derfor anvendes en rekursiv algoritme i stedet, som er beskrevet på skalar form i det
følgende (Kilde 1, side 256 :
{ }
{ } ( )
g(k 1) 0
20g(k 1) 0 2 2
g(k) max(0,S(k))N(k) N(k 1)1 1
1 1S(k) S(k 1)1 (N(k) 1) z(k) (N(k) 1)2
− >
− >
== − +
= − + ρ − − µ − ρ −σ σ
(6.79)
hvor ρ(0) ≠ 0 og i tilfælde af at profilen køres til ende, nulstilles g(k) og N(k).
6.5.2 24 timers gennemsnitsdata
Som den første test for en CUSUM test til detektering af en dynamisk profil, anvendes algoritmen
på 24 timers gennemsnitsdata. Der tages udgangspunkt i algoritmen baseret på en normalfordelt
nulhypotese og en normalfordelt brunsthypotese. Yderligere anvendes der rekursiv estimeret
middelværdi og varians, som det blev beskrevet under afsnit 6.3.2 således at g(k) antager
k k 20
2 21 j ki j i j
(i j)(z(i) ˆ (i)) 1 (i j)g(k) max2ˆ (i) ˆ (i)≤ ≤
= =
⎛ ⎞ρ − − µ ρ −⎜ ⎟= −⎜ ⎟σ σ⎝ ⎠∑ ∑ (6.80)
og realiseres rekursivt ved
{g(k 1) 0}
20
{g(k 1) 0} 2 2
g(k) max(0,S(k))N(k) N(k 1) 1 1
(N(k) 1)(z(k) ˆ (k)) (N(k) 1)S(k) S(k 1) 1ˆ (k) 2 ˆ (k)
− >
− >
== − ⋅ +
ρ − − µ ρ −= − ⋅ + −
σ σ
(6.81)
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
99
Hvad angår valg af detekteringsprofil, viser en inspektion af residualet for de ”kompenserede” 24
timers gennemsnitsdata viser at der forekommer tydelige profiler i tilfælde af brunst, se f.eks. Figur
6.40.
2.4 9.4 16.4 23.4 30.4 7.5 14.5 21.5 28.5 4.6 11.6 18.6 25.6 2.7 12.7 19.7 26.7 3.8 10.8 17.8 24.8 31.8 7.9 14.9 21.9 29.9 6.10 19.10
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
Aktivitets residual (-my0) for ko no. 1246, race SDM, born: 14.11.2000
Tid (Dato)
Figur 6.40 Et residual for aktivitetsdataene for ko 1246, dvs. 24 timers gennemsnitsdata fratrukket et rekursivt estimeret
middelværdi. I signalet fremkommer 9 tydelige brunstprofiler i form af spidser.
Profilernes amplitude er dog varierende fra ko til ko og varierer ligeledes indbyrdes mellem de
forskellige brunsttilfælde for den samme ko, som også fremgår af Figur 6.40. Profilen skal vælges
således at den beskriver dynamikken i brunsttilfældene. De enkelte profilers indbyrdes variation
undersøges ved at hive dem ud fra data og plotte dem separat. Der er trukket ud data for 5 dage
omkring hvert brunsttilfælde for ko nr. 1246, for at give overblik over profilernes indbyrdes
variationer, dette vises på Figur 6.41.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
100
0 20 40 60 80 100 120
-10
0
10
20
30
40
Brunst 1
0 20 40 60 80 100 120
-10
0
10
20
30
40
Brunst 2
0 20 40 60 80 100 120
-10
0
10
20
30
40
Brunst 3
0 20 40 60 80 100 120
-10
0
10
20
30
40
Brunst 4
0 20 40 60 80 100 120
-10
0
10
20
30
40
Brunst 5
0 20 40 60 80 100 120
-10
0
10
20
30
40
Brunst 6
0 20 40 60 80 100 120
-10
0
10
20
30
40
Brunst 7
0 20 40 60 80 100 120
-10
0
10
20
30
40
Brunst 8
0 20 40 60 80 100 120
-10
0
10
20
30
40
Brunst 9
Figur 6.41 De 9 forskellige brunsttilfælde for ko nr. 1246 fået fra residualet efter middelværdikompensering. Plotterne viser
hvert brunsttilfælde separat med samme skala på akserne for alle plots.
I første omgang vælges en detekteringsprofil som svarer til aktiviteten under et af de konstaterede
brunsttilfælde. Det ville være ønskeligt, hvis f.eks. det først konstaterede brunsttilfælde for hver ko,
kunne anvendes som udgangspunkt for en detekteringsprofil. Det står dog klart, at dette ville ikke
altid være hensigtsmæssigt, idet det fremgår af ligning (6.80), at profilen ikke må beskrive en høj
brunstprofil, hvis et af de lavere brunsttilfælde, skal kunne detekteres. Det fremgår af Figur 6.41, at
for ko nr. 1246, synes den først konstaterede brunstprofil, at kunne anvendes til detekteringen.
I første omgang er profilens længde valgt til 24 timer (24 samples) da det svarer til den formodede
maksimale varighed af brunsten. Profilen er trukket ud af dataene symmetrisk omkring det
tidspunkt hvor summen af en 24 timers vindue kørt over området omkring brunsttilfælde er i
maksimum, denne samme metode er beskrevet i afsnit 6.2. For ko 1246 vælges derfor følgende
profil.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
101
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 248
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Profil for ko nr. 1246
Samples
Figur 6.42 Den valgte profil for ko 1246. Profilen er fået ved at hive koens første brunsttilfælde ud af dens 24 timers
gennemsnitsdata.
Detekteringstærskelen h er manuelt bestemt, således at CUSUM testen detekterer
brunsttilfældene og ikke giver falske alarmer. Beslutningsfunktionen g(k), er beregnet og plottet for
ko 1246 i Figur 6.43.
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
500
1000
1500
2000Dynamisk profil CUSUM for avg24 ko no. 1246, race SDM, født: 14.11.2000
g(k)
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
500
1000
1500
2000
g(k)
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
500
1000
1500
2000
Tid (dato)
g(k)
Figur 6.43 Beslutningsfunktionen g(k) for ko nr. 1246 i tilfælde af dynamisk profil CUSUM på 24 timers gennemsnitsdata.
Det er konstateret at alle brunsttilfældene for ko 1246 er detekteret uden falsk alarm. De følgende
tidsmæssige data beregnes udfra detekteringer og de brunstreferencer, der blev beskrevet i afsnit
6.2.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
102
Brunst forekomst nr. Referencetidspunkt (lyserød) Detekteringstidspunkt (grøn) Forskel i timer 1 Kl. 21 – 30.4.2006 Kl. 17 – 1.5.2006 20 2 Kl. 05 – 22.5.2006 Kl. 19 – 22.5.2006 14 3 Kl. 18 – 11.6.2006 Kl. 10 – 12.6.2006 16 4 Kl. 06 – 2.7.2006 Kl. 12 – 2.7.2006 6 5 Kl. 16 – 22.7.2006 Kl. 02 – 23.7.2006 10 6 Kl. 23 – 13.8.2006 Kl. 10 – 14.8.2006 11 7 Kl. 22 – 31.8.2006 Kl. 01 – 1.9.2006 3 8 Kl. 23 – 20.9.2006 Kl. 16 – 21.9.2006 17 9 Kl. 19 – 10.10.2006 Kl. 07 – 11.10.2006 12 Gennemsnit: 12.1
Tabel 6.16 En tabel der viser referencetidspunkt samt detekteringstidspunkt for de 9 brunsttilfælde for ko nr. 1246.
Detekteringstiden i forhold til referencen er også beregnet.
Som et andet eksempel på brunstdetektering vha. CUSUM test til detektering af en dynamisk
profil, betragtes ko nr. 334.
Denne ko giver et godt eksempel på hvor meget brunstprofilerne kan variere i forhold til hinanden.
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 10.6 17.6 24.6 1.7 8.7 15.7 22.7 29.7 5.8 12.8 19.8 26.8 2.9 9.9 16.9 23.9 30.9 7.10 19.10
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
Aktivitets residual (-my0) for ko no. 334, race RDM, born: 12.10.2002
Tid (Dato)
Figur 6.44 Et residual for aktivitetsdataene for ko 334, dvs. 24 timers gennemsnitsdata fratrukket en rekursivt estimeret
middelværdi. I signalet fremkommer både tydelige og mindre tydelige brunstprofiler i form af spidser.
Som det er fremkommet tidligere, varierer køerne i hvor tydelige profilerne fremkommer i dataene.
Hos ko nr. 334 ses der nogle tydelige brunsttegn og andre mindre tydelige som f.eks. brunst nr. 3
vist på Figur 6.45.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
103
0 20 40 60 80 100 120
-10
0
10
20
30
40
50
60
Brunst 1
0 20 40 60 80 100 120
-10
0
10
20
30
40
50
60
Brunst 2
0 20 40 60 80 100 120
-10
0
10
20
30
40
50
60
Brunst 3
0 20 40 60 80 100 120
-10
0
10
20
30
40
50
60
Brunst 4
0 20 40 60 80 100 120
-10
0
10
20
30
40
50
60
Brunst 5
0 20 40 60 80 100 120
-10
0
10
20
30
40
50
60
Brunst 6
0 20 40 60 80 100 120
-10
0
10
20
30
40
50
60
Brunst 7
Figur 6.45 De forskellige brunsttilfælde for ko nr. 334 fået fra residualet efter middelværdikompensering. Plotterne viser
hvert brunsttilfælde separat med samme skala på akserne for alle plots.
Anvendes koens første brunsttilfælde som profil til detekteringen, resulterer det kun i to
detekteringer af de 7 forekomne brunsttilfælde, nemlig detektering af brunst 1 og brunst 5. Dette
skyldes det faktum at profilen er markant større i amplitude end de andre brunstprofiler, som
resulterer i CUSUM udtrykkets venstre side (se ligning (6.76), s. 97) ikke når en tilstrækkelig
størrelse i forhold til udtrykkets højre side. Det er derfor ret vigtigt at vælge en profil med en
passende amplitude til detekteringen. Det er besluttet at anvende brunsttilfælde 2 som profil i
detekteringen for ko 334. Profilen er plottet på Figur 6.46
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240123456789
10111213141516171819202122
Profil for ko nr. 334
Samples
Figur 6.46 Den valgte profil for ko 334. Profilen er fået ved at hive koens første brunsttilfælde ud af dens 24 timers
gennemsnitsdata.
Et plot af beslutningsfunktionen vises på Figur 6.47
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
104
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
50010001500200025003000
Dynamisk profil CUSUM for avg24 ko no. 334, race RDM, født: 12.10.2002
g(k)
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
50010001500200025003000
g(k)
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
50010001500200025003000
Tid (dato)
g(k)
Figur 6.47 Beslutningsfunktionen g(k) for ko nr. 334. Den grønne lodrette stiplede linie indikerer detekteringen, dvs. når g(k)
har overskredet h tærskelen. Den lyserøde lodrette linie bruges som reference.
Det fremgår af Figur 6.47 at der detekteres alle brunsttilfælde undtagen brunsttilfælde 3. Ses der
nærmere på brunsttilfælde 3 i Figur 6.45, ses at der er meget begrænsede afvigelser i dette
brunsttilfælde og er derfor ikke velegnet til profildetektering. Den nedenfor viste tabel viser
brunstdetekteringer for ko nr. 334.
Brunst forekomst nr. Referencetidspunkt (lyserød) Detekteringstidspunkt (grøn) Forskel i timer
1 Kl. 21 – 5.4.2006 Kl. 21 – 4.5.2006 0 2 Kl. 23 – 26.5.2006 Kl. 7 – 27.5.2006 8 3 Kl. 21 – 15.6.2006 Ikke detekteret - 4 Kl. 11 – 2.7.2006 Kl. 20 – 2.7.2006 9 5 Kl. 22 – 25.7.2006 Kl.21 – 25.7.2006 -1 6 Kl. 2 – 15.8.2006 Kl. 13 – 15.8.2006 11 7 Kl. 3 – 3.9.2006 Kl. 11 – 3.9.2006 8 Gennemsnit: 7
Tabel 6.17 En tabel der viser referencetidspunkt samt detekteringstidspunkt for de 7 brunsttilfælde for ko nr. 334.
Detekteringstiden i forhold til referencen er også beregnet.
Tilsvarende dynamisk profil CUSUM er lavet for de resterende 10 inseminerede køer hvor,
aktiviteten, svarende til det førstkonstaterede brunsttilfælde, for hver ko, anvendes som
brunstprofil. For 7 af køerne lykkedes detekteringen uden fejl, og for 5 af køerne fremkom der
enten mangelfulde detekteringer eller falske detekteringer. Nogle af de 5 mindre succesfulde
tilfælde ville formentlig kunne forbedres ved at vælge en anden profil end det første brunsttilfælde,
da brunsttilfældene kan variere for den enkelte ko. Grundet de store variationer i brunstprofilernes
amplitude kan detektorernes evner til at detektere variere en del, afhængig af størrelsen af den
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
105
valgte profil. Derfor ville en GLR-test til detektering være et interessant alternativ da den
detekterer en profil af ukendt amplitude.
6.5.3 Kompenseret logaritmisk transformerede rådata
Selvom der opnås en relativ sikker detektering, ved brug af avg24(k), er det blevet vist under afsnit
6.3, at en detektering på avg24(k) er længer tid om at detektere, end en tilsvarende detektor, der
anvender rådata. Det ønskes derfor undersøgt om profildetektering i rådata kan yde lige så sikker
og evt. en hurtigere detektering af brunsttilfældene i forhold til detektering ved anvendelsen af 24
timers gennemsnitsdata. Det er som udgangspunkt valgt at anvende de kompenserede logaritmisk
transformerede data som grundlag til detektoren. Det er i afsnit 6.3.3 konstateret at dataene
tilnærmer sig en normalfordeling.
Ligesom i det forudgående afsnit, tages udgangspunkt i ko nr. 1246 i det følgende. Residualet
efter logaritmisk transformation og kompensering for middelværdi og perioderne 24,12,8,6,4.8 og
4 timer for ko nr. 1246 vises på Figur 6.48
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 10.6 17.6 24.6 1.7 8.7 15.7 22.7 29.7 5.8 12.8 19.8 26.8 2.9 9.9 16.9 23.9 30.9 7.10 19.10
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Aktivitet for ko no. 1246, race SDM, born: 14.11.2000
Tid (Dato)
Figur 6.48 Et residual for aktivitetsdataene for ko 1246, dvs. logaritmisk transformeret rådata fratrukket et rekursivt estimeret
middelværdi og periodiske træk.
Af figuren fremgår der at der ikke fremkommer lige så tydelige spidser i tilfælde af brunst, som det
gør for 24 timers gennemsnitsdata, da rådataene er en del mere støjprægede. De 9 forskellige
brunsttilfælde plottes for at se nærmere på evt. profiler i dataene, hvor aktivitetsdataene i 5 døgn
omkring brunstdagen plottes separat, plotterne er vist på Figur 6.49.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
106
0 20 40 60 80 100 120-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0Brunst 1 ko 1246
0 20 40 60 80 100 120-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0Brunst 2 ko 1246
0 20 40 60 80 100 120-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0Brunst 3 ko 1246
0 20 40 60 80 100 120-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0Brunst 4 ko 1246
0 20 40 60 80 100 120-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0Brunst 5 ko 1246
0 20 40 60 80 100 120-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0Brunst 6 ko 1246
0 20 40 60 80 100 120-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0Brunst 7 ko 1246
0 20 40 60 80 100 120-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0Brunst 8 ko 1246
0 20 40 60 80 100 120-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0Brunst 9 ko 1246
Figur 6.49 De 9 forskellige brunsttilfælde for ko nr. 1246 fået fra kompenserede logaritmisk transformerede data. Plotterne
viser hvert brunsttilfælde separat med samme skala på akserne for alle plots.
Det fremgår af Figur 6.49, at selvom der er tegn på brunst i de plottede data, så er brunstprofilerne
meget støjprægede og ville sandsynligvis ikke fungere særlig godt i en detektor. Der er derfor
lavet et filter, til præfiltrering af profildataene. Filtret har til formål at formindske variansen af
signalet uden at dæmpe selve udslaget i dataene der vurderes at hidrøre fra brunsttilfældet. Ved
design af filtret tages udgangspunkt i design af et første ordens lav pas filter udfra et ønske om
mindst mulig varians efter filtreringen. Det første ordens filter der skal designes er beskrevet ved
følgende overføringsfunktion:
H(s) 0sα
= α >+ α
for stabilitet (6.82)
Filtrets designparameter α bestemmes således at filtret ikke påvirker selve profilen og dæmper
højere frekvenser. Eftersom α svarer til filtrets knækfrekvens kan den bestemmes ud fra hvilken
variation hidrørende fra profilen, ønskes uberørt af filtreringen. Der tages udgangspunkt i koens
første brunsttilfælde som er vist på Figur 6.50
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
107
0 20 40 60 80 100 120-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0Brunst 1 ko 1246
Figur 6.50 På figuren vises 5 dage omkring brunsttilfælde 1. Ind på figuren er angivet et tidsrum ∆t som anvendes til design
af et filter.
Dataene indikerer at koen har været i brunst i perioden mellem 30 timer til omkring 42 timer på
Figur 6.50. På Figur 6.50 er angivet den tid, ∆t, der svarer til ca. en halv profillængde. Denne tid
kan også anskues værende en fjerde del af en hel periode af en kurve, hvor kurven har den
frekvens som ikke ønskes dæmpet. Frekvensen svarende til dynamikken i profilen beregnes til
følgende:
6udæmpet
1f 11.6 10 Hz6 4 3600s
−= = ⋅⋅ ⋅
(6.83)
Det er valgt at placere filtrets knækfrekvens ωk ved denne frekvens, som svarer til at α
6 6
k udæmpet2 f 2 11.6 10 72.7 10− −α =ω = π = π ⋅ = ⋅ (6.84)
Det resulterende filter bliver derfor
6
672.7 10H(s)
s 72.7 10
−
−⋅
=+ ⋅
(6.85)
og har følgende bodeplot
∆t = 6 timer
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
108
10-6 10-5 10-4 10-3 10-2-90
-45
0
Pha
se (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
-40
-30
-20
-10
0
Mag
nitu
de (
dB)
System: gFrequency (rad/sec): 7.24e-005Magnitude (dB): -3
Figur 6.51 Et bodeplot af det designede filter.
Hvis filtrets input antages værende en stationær random proces beskrevet ved
autokorrelationsfunktionen:
2ww wR ( ) e 0−β ττ = σ β > (6.86)
hvor 2wσ er variansen og β er signalets båndbredde kan variansen af signalet efter filtrering
beregnes. Variansen af inputsignalet 2wσ estimeres til 0.16 i Scilab og systemets båndbredde β
antages værende lige med samplingsfrekvensen β = 2πfs = 2π277µHz=0.0017rad/s. Variansen
bestemmes vha. følgende ligning (Kilde 1, side 645
62 2 3y w 6
72.7 10 0.16 6.56 1072.7 10 0.0017
−−
⇒ −α ⋅
σ = σ = ⋅α + β ⋅ +
(6.87)
og følgende støjdæmpningsforhold (Noise Reduction Ratio) opnås:
2 3y2w
6.56 10NRR 0.0410.16
−σ ⋅= = =σ
(6.88)
Filtret er konverteret til et diskret filter vha. Tustin approksimationen og implementeret i Scilab,
hvorefter de filtrerede brunsttilfælde plottes, se Figur 6.52.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
109
0 20 40 60 80 100 120-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0Brunst 1 ko 1246
0 20 40 60 80 100 120-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0Brunst 2 ko 1246
0 20 40 60 80 100 120-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0Brunst 3 ko 1246
0 20 40 60 80 100 120-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0Brunst 4 ko 1246
0 20 40 60 80 100 120-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0Brunst 5 ko 1246
0 20 40 60 80 100 120-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0Brunst 6 ko 1246
0 20 40 60 80 100 120-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0Brunst 7 ko 1246
0 20 40 60 80 100 120-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0Brunst 8 ko 1246
0 20 40 60 80 100 120-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0Brunst 9 ko 1246
Figur 6.52 De 9 forskellige brunsttilfælde for ko nr. 1246 efter filtrering med det designede filter. Plotterne viser hvert
brunsttilfælde separat med samme skala på akserne for alle plots.
Det fremgår af figuren at det er lykkedes at filtrere en del variationer væk, således at selve
brunstprofilerne nu forekommer tydeligere i dataene.
Et vigtigt udgangspunkt for valg af profilen er at vælge den således at den har en passende
begyndelse i forhold til residualet, dvs. der skal undgås strækninger med data der ikke tilhører
brunsten før brunstafvigelsen fordi det er de første profilværdier der ”trigger” detekteringen og får
CUSUM'en til at se om de resterende profilværdier også ”passer” til dataene. På Figur 6.53 vises
den valgte profil for ko 1246, ud fra det første brunsttilfælde.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
110
0 20 40 60 80 100 120-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0Brunst 1 ko 1246
Figur 6.53 På figuren vises 5 dage omkring brunsttilfælde 1. Ind på figuren er angivet den profil som anvendes til detektering
af brunst .
Det dynamiske profil CUSUM test udføres på rådata med den ovenfor defineret profil for ko 1246.
h er manuelt bestemt og beslutningsfunktionen er fundet og vist på Figur 6.54.
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
10
20
30Dynamisk profil CUSUM for rådata ko no. 1246, race SDM, født: 14.11.2000
g(k)
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
10
20
30
g(k)
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
10
20
30
Tid (dato)
g(k)
Figur 6.54 Beslutningsfunktionen g(k) for ko nr. 1246 kompenseret logaritmisk transformeret rådata. h=5.
Det fremgår af figuren at alle af de 9 brunsttilfælde er succesfuld detekteret. Tabel 6.18 viser mere
præcist hvornår detekteringerne er fundet sted i forhold til referencen.
Profil
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
111
Brunst forekomst Referencetidspunkt Detekteringstidspunkt Forskel i timer 1 Kl. 21 – 30.4.2006 Kl. 3 – 1.5.2006 6 2 Kl. 5 – 22.5.2006 Kl. 6 – 22.5.2006 1 3 Kl. 18 – 11.6.2006 Kl. 23 – 11.6.2006 5 4 Kl. 6 – 2.7.2006 Kl. 3 – 2.7.2006 -3 5 Kl. 16 – 22.7.2006 Kl. 19 – 22.7.2006 3 6 Kl. 23 – 13.8.2006 Kl. 00 – 14.8.2006 1 7 Kl. 22 – 31.8.2006 Kl. 21 – 31.8.2006 -1 8 Kl. 23 – 20.9.2006 Kl. 2 – 21.9.2006 3 9 Kl. 19 – 10.10.2006 Kl. 19 – 10.10.2006 0 Gennemsnit: 1.66
Tabel 6.18 En tabel der viser referencetidspunkt samt detekteringstidspunkt for de 9 brunsttilfælde for ko nr. 1246 i tilfælde af
rådata detektering. Detekteringstiden i forhold til referencen er også beregnet.
Det ses at der er en betydelig forbedring af detekteringstid i forhold til referencen ved anvendelsen
af logaritmisk transformeret rådata end ved anvendelsen af 24 timers gennemsnitsdata, hvor
gennemsnitlig detekteringstid er forbedret fra 12.1 timer til 1.66 for ko nr. 1246. Eftersom det har
vist sig at resultaterne afhænger meget af profilernes amplitude er det interessant at se på en GLR
til detektering af en profil.
6.6 GLR – Dynamisk profil
I de følgende underafsnit er teorien for GLR testen til detektering af en dynamisk profil omhandlet.
Yderligere omhandles design og resultater for testen af aktivitetsdataene i senere underafsnit.
GLR testen er designet og anvendt på det kompenserede logaritmisk transformerede rådatasignal,
hvor resultaterne efterfølgende er diskuteret.
6.6.1 Teori
Det teoretiske grundlag for GLR og CUSUM er det samme, der findes et log-likelihood forhold
mellem to tæthedsfunktioner, men GLR testen afviger i det at amplituden af profilen er ukendt og
skal derfor også estimeres. Tages der udgangspunkt i normalfordelte data anvendes den samme
nulhypotese som i tilfælde af CUSUM testen
( )( ) ( )0 : i ,= 0z µ QH : L z N (6.89)
imens ”fejlhypotesen” skiftes ud med følgende:
( )( ) ( )1 0: i (i k )v,= + −0z µ ρ Q%H : L z N (6.90)
hvor v er en ukendt skalar og ρ% en matrice af ”generelle” profiler.
Som følge af den ukendte parameter v, bliver den cumulative sum udledt til:
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
112
k k2
k 1 1j 0
i j i j
vS v (i j) ' ( (i) ) (i j) ' (i j)2
− −
= =
= − − − − −∑ ∑ρ Q z µ ρ Q ρ% % % (6.91)
hvor v er estimeret som (Kilde 1, side 259
k1
0i j
k1
i j
(i j) ' ( (i) )
v(k, j)(i j) ' (i j)
−
=
−
=
− −
=
− −
∑
∑
ρ Q z µ
ρ Q ρ
%
% %
(6.92)
Beslutningsfunktionen er defineret som værende
kjk M 1 j k v
k k21 1
0k M 1 j ki j i j
g(k) max max(S (v))
v(k, j)ˆmax v(k, j) (i j) ' ( (i) ) (i j) ' (i j)2
− + ≤ ≤
− −
− + ≤ ≤= =
=
⎛ ⎞⎜ ⎟= − − − − −⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ ∑ρ Q z µ ρ Q ρ% % % (6.93)
For at gøre beregningerne mere overskuelige og implementeringen nemmere er ligning (6.93)
omformleret til følgende skalar tilfælde
2 2
k M 1 j k
A 1 Ag(k) maxB 2 B− + ≤ ≤
⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ (6.94)
hvor k
02i j
1A (i j)(z(i) )=
= ρ − − µσ ∑ % og
k2
2i j
1B (i j)=
= ρ −σ ∑ %
Ved anvendelse af GLR testen skal M vælges således at M i hvert fald er lig med den valgte
profils længde, da en mindre værdi ikke vil udnytte profilen som ønsket i beregningen af
beslutningsfunktionen.
6.6.2 Kompenserede logaritmisk transformerede rådata
Der ønskes undersøgt om der ved brug af en GLR-test, kan opnås lige så god profildetektering det
kompenserede logaritmisk transformerede rådatasignal som med CUSUM test til detektering af en
dynamisk profil. Hvis en GLR-test kan opnå lige så gode resultater som den forrige, er den til at
foretrække, idet det ikke er nødvendigt, at estimere ændringens størrelse i forvejen. Det er
besluttet at anvende den samme profil som i tilfælde af detekteringen af en profil med en fast
amplitude som er vises på Figur 6.53, s. 110. M er valgt til profilens længde, M = 14. GLR
algoritmen er implementeret med rekursiv estimering af varians som angivet i ligning (6.95)
2 2
k M 1 j k
A 1 Ag(k) maxB 2 B− + ≤ ≤
⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ (6.95)
hvor ( ) ( )
( )
k
2i j
i j z iA
i=
ρ −=
σ∑%
og k 2
2i j
(i j)B(i)=
ρ −=
σ∑ %
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
113
Plot af beslutningsfunktionen for ko nr. 1246 vises på Figur 6.55
Figur 6.55
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
10
20
30Dynamisk profil GLR for rådata ko no. 1246, race SDM, født: 14.11.2000
g(k)
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
10
20
30
g(k)
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
10
20
30
Tid (dato)
g(k)
Figur 6.55 Beslutningsfunktionen g(k) for ko nr. 1246, GLR dynamisk profil test på kompenserede logaritmisk transformerede
rådata. h = 7.
Det viser sig at det lykkedes at detektere alle af de 9 brunsttilfælde for ko nr. 1246.
Beslutningsfunktionen er dog til dels præget af støj, grundet GLR algoritmens forsøg til at finde en
profil af en ukendt amplitude. Støjen trigger faktisk to falske alarmer. Tabel 6.19 viser hvornår de
succesfulde detekteringer er fundet sted i forhold til referencen.
Brunst forekomst Referencetidspunkt Detekteringstidspunkt Forskel i timer 1 Kl. 21 – 30.4.2006 Kl. 3 – 1.5.2006 6 2 Kl. 5 – 22.5.2006 Kl. 6 – 22.5.2006 1 3 Kl. 18 – 11.6.2006 Kl. 0 – 12.6.2006 6 4 Kl. 6 – 2.7.2006 Kl. 4 – 2.7.2006 -2 5 Kl. 16 – 22.7.2006 Kl. 20 – 22.7.2006 4 6 Kl. 23 – 13.8.2006 Kl. 0 – 14.8.2006 1 7 Kl. 22 – 31.8.2006 Kl. 23 – 31.8.2006 1 8 Kl. 23 – 20.9.2006 Kl. 3 – 21.9.2006 4 9 Kl. 19 – 10.10.2006 Kl. 19 – 10.10.2006 0 Gennemsnit: 2.3
Tabel 6.19 En tabel der viser referencetidspunkt samt detekteringstidspunkt for de 9 brunsttilfælde for ko nr. 1246 i tilfælde af
rådata detektering. Detekteringstiden i forhold til referencen er også beregnet.
Det viser sig at GLR algoritmen er lidt længere tid om at detektere end CUSUM algoritmen.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
114
6.6.3 Generel profil for kompenseret logaritmisk transformeret rådata
Af praktiske årsager ville det være ønskeligt hvis en generel profil kunne anvendes til detektering
af alle brunsttilfælde. Som grundlag anvendes de kompenserede logaritmisk transformerede
rådata og de filtrerede profiler for alle brunsttilfælde for de 12 inseminerede køer undersøges for
ligheder, se Bilag D for plot af de filtrerede profiler for alle brunsttilfældene. En inspektion af de
tydeligt identificerbare brunsttilfælde viser at en del brunsttilfælde udmønter sig i en forøget
aktivitet af varighed på 15-25 timer. Det virker som at mange af profilerne har det til fælles, at efter
en forøgelse i aktivitet over 7-12 timer forekommer der et konstant område på omkring 4-8 timer
hvorefter aktiviteten aftager over 7-12 timer. Som det er fremkommet tidligere er profilernes
karakteristika i form af amplitude, meget forskellig. Der kan eksperimenteres med et flere af
profiler som har en lignende egenskab og det er valgt at anvende en trapez lignende profil som
udgangspunkt, da dens form passer overens med de ovennævnte karakteristika, se Figur 6.56.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 221
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Generel profil
Samples
Figur 6.56 Den valgte generelle profil til brug i dynamisk profil GLR testen.
GLR testen er udført på samtlige inseminerede køer og der er lavet statistik over resultaterne med
henblik på at belyse succesfulde detekteringer, falske detekteringer og detekteringstid. h er
manuelt bestemt således at et rimeligt forhold mellem succesfulde detekteringer og falske
detekteringer opnås. På Figur 6.57 vises beslutningsfunktionen g(k) for ko nr. 1246.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
115
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
10
20
30Dynamisk profil GLR for rådata ko no. 1246, race SDM, født: 14.11.2000
g(k)
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
10
20
30
g(k)
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
10
20
30
Tid (dato)
g(k)
Figur 6.57 Beslutningsfunktionen g(k) for ko nr. 1246, GLR dynamisk profil test på rådata med en generel profil.
Som det kan ses på Figur 6.57 bliver alle brunsttilfældene detekteret og der forekommer to falske
detekteringer. I Tabel 6.20 vises statistik over algoritmens resultater for samtlige inseminerede
køer. h er manuelt bestemt således at et rimeligt forhold mellem succesfulde detekteringer og
falske detekteringer opnås.
Ko nr. Sratio N nfalske Fratio Gennemsnitlig
detekteringstid (timer) h
34 0/1 = 0 4681 0 – - 10224 1/2 = 0.5 4681 1 4681 1 11307 1/1 = 1 4681 3 1560 10 6334 4/7 = 0.57 4681 0 – 2.75 10353 2/2 = 1 4273 0 - 8 13.5371 1/2 = 0.5 4681 0 - 2 10373 1/4 = 0.25 4681 3 1560 2 8494 3/4 = 0.75 4681 1 4681 11 8.5
1198 2/3 = 0.67 4681 0 - -4 131246 9/9 = 1 4681 2 2340.5 2.33 71253 3/4 = 0.75 4681 0 - 8.66 7244 3/3 = 1 4681 0 – 4.33 13
Tabel 6.20 Detekteringsresultater for GLR dynamisk profil anvendt på kompenserede logaritmisk transformerede rådata for
de 12 inseminerede køer.
Der er beregnet Sratio , Fratio og den gennemsnitlige detekteringstid pr. brunst for de inseminerede
køer.
ratio30S 0.7142
= = ratio55764F 5576[h]
10= = det_ tid 4.23[h]=
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
116
6.7 Opsummering af resultater
Dette afsnit har til formål at opsummere de, i kapitel 6, opnåede resultater således at et grundlag
for sammenligning af de forskellige Change Detection algoritmer kan foretages. Ved efterfølgende
sammenligning tages der udgangspunkt i følgende udviklede change detektorer:
• CUSUM anvendt på avg24 signal, normalfordelt normaladfærd og normalfordelt
brunstadfærd
• CUSUM anvendt på kompenseret rådata signal, Rayleighfordelt normaladfærd og
normalfordelt brunstadfærd.
• CUSUM anvendt på kompenseret rådata signal efter logaritmisk transformation,
normalfordelt normaladfærd og normalfordelt brunstadfærd.
• GLR anvendt på kompenseret rådata signal, Rayleigh fordelt normaladfærd og
normalfordelt brunstadfærd.
• GLR anvendt på kompenseret rådata signal efter logaritmisk transformation,
normalfordelt normaladfærd og normalfordelt brunstadfærd.
• GLR til detektering af en generel dynamisk profil, på kompenseret rådata signal
efter logaritmisk transformation, normalfordelt normaladfærd og normalfordelt
brunstadfærd.
Det er allerede omtalt i afsnit 6.2, s. 44, at succeskriterierne for detektorerne er at fange flest
mulige af de identificerede brunsttilfælde så tidligt i brunst fasen som det er muligt, uden at have
for mange falske alarmer. I løbet af kapitel 6 er der flere steder vist detekteringsresultater for de
diverse udviklede detektorer i form af Sratio, Fratio og gennemsnitlig detekteringstid per brunst, hvor
disse er fundet ud fra test på samtlige inseminerede køer. Det er disse resultater som her er
opsummeret i følgende plot.
Sratio95
8676
9083
71
0102030405060708090
100
%
CUSUM avg24 signal, Normal-Normal
CUSUM rådata kompenseret, Rayleigh-Normal
CUSUM log-transformeret rådata, kompenseret,Normal-NormalGLR rådata, kompenseret, Rayleigh-Normal
GLR log-transformeret rådata, kompenseret,Normal-NormalGLR log-transformeret rådata, kompenseret,Generel profil, Normal-Normal
Figur 6.58 En søjlegraf der viser forholdet mellem antal succesfulde detekteringer og antal estimerede brunsttilfælde (Sratio)
for nogle af de udviklede brunstdetektorer.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
117
Fratio
69716196
5069
9294
6196 5576
0100020003000400050006000700080009000
10000
Sam
ples
CUSUM avg24 signal, Normal-Normal
CUSUM rådata kompenseret, Rayleigh-Normal
CUSUM log-transformeret rådata, kompenseret,Normal-NormalGLR rådata, kompenseret, Rayleigh-Normal
GLR log-transformeret rådata, kompenseret,Normal-NormalGLR log-transformeret rådata, kompenseret,Generel profil, Normal-Normal
Figur 6.59 En søjlegraf der viser gennemsnitlig antal samples mellem falske detekteringer (Fratio) for nogle af de udviklede
brunstdetektorer.
Gennemsnitsdetekteringstid per brunst
7
1
2.62.4
3.4 4.2
0123456789
10
Tim
er
CUSUM avg24 signal, Normal-Normal
CUSUM rådata kompenseret, Rayleigh-Normal
CUSUM log-transformeret rådata, kompenseret,Normal-NormalGLR rådata, kompenseret, Rayleigh-Normal
GLR log-transformeret rådata, kompenseret,Normal-NormalGLR log-transformeret rådata, kompenseret,Generel profil, Normal-Normal
Figur 6.60 En søjlegraf der viser gennemsnits detekteringstid per brunst i forhold til en fælles reference, for nogle af de
udviklede brunstdetektorer.
Det fremgår af Figur 6.58 at CUSUM detektoren som detekterer en ændring i middelværdi, og er
baseret på logaritmisk transformerede data, fanger 95 % af brunsttilfældene. De resterende
detektorer fanger fra 71 % til 90 % af tilfældene.
Af Figur 6.59 fremgår at fleste detektorer ligner forholdsvis meget hinanden når det kommer til
gennemsnit samples mellem falske detekteringer (30-42 uger). En afvigelse heraf er GLR
detektoren, baseret på kompenserede rådata, som har en markant længere tid mellem falske
alarmer end de resterende detektorer (55 uger).
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
118
Hvad angår detekteringstid har CUSUM detektoren baseret på avg24 længst gennemsnitlig
detekteringstid som også er forventet. CUSUM på kompenserede rådata har den korteste
detekteringstid, i gennemsnit 1 time efter referencetidspunktet for brunst.
Resultaterne skal ses i lys af at h er manuelt bestemt for køerne.
6.8 Delkonklusion
I kapitlet blev udvikling af Change Detector algoritmer beskrevet. Der blev udviklet CUSUM og
GLR algoritmer til detektering af en ændring i middelværdi og til detektering af en profil i dataene.
Algoritmerne blev afprøvet på fire variationer af aktivitetsdataene, den ene er rådata den anden er
rådata kompenseret for frekvenser tilhørende døgnrytmen, den tredje er et filtreret datasignal og
den fjerde et kompenseret logaritmisk transformeret signal. Seks af de udviklede algoritmer blev
afprøvet på samtlige inseminerede køer hvorefter de blev sammenlignet hvad angår succesfulde
detekteringer, tid mellem falske detekteringer og detekteringstid per brunst.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
119
7 Multible hypotesetest Som det er blevet beskrevet under kapitel 2, går ikke drægtige køer normalt i brunst med 20-22
dages mellemrum. Det foreliggende kapitel beskriver undersøgelser i forbindelse med multible
hypotesetest som et middel for at reducere antallet af falske detekteringer. Ved f.eks, at
implementere den betingelse i detektoralgoritmen, at detektoren får en øget følsomhed i de
perioder hvor der er gået 20-22 dage fra en periode med forøget aktivitet, kan detektorens
sikkerhed forøges. Der undersøges derfor om multible hypotesetest, kan anvendes i denne
sammenhæng.
De multible hypotesetest bliver imidlertid realiseret ved en vektorbaseret hypotesetest. Der
anvendes to signaler, hhv. et datasignal og et datasignal forsinket med den estimerede periode
mellem to brunsttilfælde. Disse to signaler beskrives eller ordnes, i en vektor, og danner en
indgangsvektor til en vektorbaseret brunstdetektor. Dataene i vektoren betragtes kombineret, og
giver et større udslag i detektoren i tilfælde af to brunsttilfælde i træk, med den specificerede
periode imellem de to brunsttilfælde.
Equation Section (Next)
7.1 Vektorbaseret CUSUM algoritme
Som det første testes for en kendt ændring i middelværdi for et vektorsignal. Der tages
udgangspunkt i et ukorrileret normalfordelt vektorsignal. Detektoren skal skelne i mellem følgende
hypoteser:
Nullhypotesen
( )( ) ( )0 : k ,= 0z µ QH : L z N (7.1)
hvor Q er kovariansmatricen. Fejlhypotesen bliver
( )( ) ( )1: k ,= 1z µ QH : L z N (7.2)
En normalfordelt tæthedsfunktion for et n-dimensionalt vektorsignal kan beskrives ved (Kilde 1, side 254
( )( )
( ) ( )1n
1 1p exp '22 det
−⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟⎝ ⎠π
µ z z µ Q z µQ
(7.3)
Log-likelihood for de hypoteser, der vises i ligninger (7.1) og (7.2), på et normalfordelt vektorsignal
som beskrives ved ligning (7.3), vises i ligning (7.4) (Kilde 1, side 254
( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
1
0
1 11 1 0 0
11 0 0 1
p k 1 1s k ln k ' k k ' k2 2p k
1' k2
− −
−
= = − − − + − −
⎛ ⎞= − − +⎜ ⎟⎝ ⎠
µ
µ
zz z µ Q z µ z µ Q z µ
z
µ µ Q z µ µ
(7.4)
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
120
CUSUM-testen udføres på RLS kompenseret logaritmisk transformeret data, εlog(z(k)+1)(k).
Vektorsignalet består, som beskrevet ovenfor, af hhv. et datasignal samt et datasignal forsinket
om et estimeret antal samples mellem to brunsttilfælde i træk. Vektorsignalet bliver derved
afhængigt af både samplenummeret k samt forsinkelsen, her betegnet D:
( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )
log z k 1log z k 1
log z k 1
kk,D k D
++
+
⎛ ⎞ε⎜ ⎟=ε −⎜ ⎟⎝ ⎠
ε hvor D 1 k N+ ≤ ≤ (7.5)
Ligesom vektorsignalet er afhængigt af både k og D, er variansmatricen det ligeledes, idet
variansen er rekursivt bestemt. Kovariansmatricen skrives som:
2
2
(k) 0(k,D)
0 (k D)
⎛ ⎞σ= ⎜ ⎟⎜ ⎟σ −⎝ ⎠
Q (7.6)
hvor σ2(k) bestemmes rekursivt i henhold til ligning (6.15) på s. 56. Idet signalet består af et
residual, hvor middelværdien antages som værende lig med 0, samt en rekursiv estimeret varians,
bliver log-likelihood:
( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )11 1log z k 1 log z k 1
1ˆ ˆs k,D ' k,D k,D2
−+ +
⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠
ε µ Q ε µ (7.7)
hvor 1µ består af
( )1 111= µµ ˆ
Beslutningsfunktionen for CUSUM-testen bliver:
( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )log z k 1g k,D max 0, g k 1,D s k,D+= − + ε (7.8)
Det faktum, at perioden som går mellem to brunsttilfælde hos ikke drægtige køer, forventes at
være 20-22 dage indebærer, at det ikke kan forventes en konstant periodetid mellem
brunsttilfælde hos hver ko.
For at undersøge hvordan tiden mellem brunsttilfældene kan variere, plottes koens aktivitet i
parellelle plots, hvor hvert plot plottes over den periode, der giver mindst varians i afstanden fra
plottets venstre side ud til brunstreferencer. Der tages udgangspunkt i ko nr. 1246, idet der
foreligger flest brunsttilfælde for den. De enkelte brunstreferencer findes vha. samme metode som
beskrevet under afsnit 6.2, s. 46.
Et plot af εlog(z(k)+1)(k) for ko nr. 1246, i parallelle subplots, vises på Figur 7.1. Den periodetid, der
gav den mindste varians i afstanden fra plottets venstre side, ud til brunstreferencerne for ko nr.
1246, blev fundet til 491 samples. De 491 samples svarer til 20.46 døgn. Som følge af det, blev D
sat lig med 491 samples, for ko nr. 1246.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
121
0 24 48 72 96 120 144 168 192 216 240 264 288 312 336 360 384 408 432 456 480 504-2-1012
t[h]
491 515 539 563 587 611 635 659 683 707 731 755 779 803 827 851 875 899 923 947 971 995-2-1012982 1006 1030 1054 1078 1102 1126 1150 1174 1198 1222 1246 1270 1294 1318 1342 1366 1390 1414 1438 1462 1486
-2-10121473 1497 1521 1545 1569 1593 1617 1641 1665 1689 1713 1737 1761 1785 1809 1833 1857 1881 1905 1929 1953 1977
-2-10121964 1988 2012 2036 2060 2084 2108 2132 2156 2180 2204 2228 2252 2276 2300 2324 2348 2372 2396 2420 2444 2468
-2-10122455 2479 2503 2527 2551 2575 2599 2623 2647 2671 2695 2719 2743 2767 2791 2815 2839 2863 2887 2911 2935 2959
-2-10122946 2970 2994 3018 3042 3066 3090 3114 3138 3162 3186 3210 3234 3258 3282 3306 3330 3354 3378 3402 3426 3450
-2-10123437 3461 3485 3509 3533 3557 3581 3605 3629 3653 3677 3701 3725 3749 3773 3797 3821 3845 3869 3893 3917 3941
-2-10123928 3952 3976 4000 4024 4048 4072 4096 4120 4144 4168 4192 4216 4240 4264 4288 4312 4336 4360 4384 4408 4432
-2-10124419 4443 4467 4491 4515 4539 4563 4587 4611 4635 4659 4683 4707 4731 4755 4779 4803 4827 4851 4875 4899 4923
-2-1012 RLS kompenseret logaritmisk transformeret aktivitetsindeks, for ko nr. 1246
Figur 7.1 Aktivitetsindeks for εlog(z(k)+1)(k) for ko nr. 1246, plottet parallelt i subplots, hvor hvert subplot er plottet over 491
samples. Det nederste subplot indeholder de første samples i datarækken, mens det øverste subplot indeholder de sidste samples. Referencer for brunsttilfælde vises med lodrette stiplede lyserøde linier.
Som det fremgår af Figur 7.1 er der fire brunsttilfælde i træk, der falder rimelig godt sammen, dvs.
brunsttilfælde 2-5. Det kan også ses, at brunsttilfælde 7 og 8, falder godt sammen.
Der udføres en vektorbaseret CUSUM-test, for ko nr. 1246, i henhold til ligninger (7.8), (7.7) og
(7.5), hvor D er valgt til 491 samples. 1µ bestemmes på samme måde som tidligere, dvs. ved
offline estimering af de kendte brunsttilfælders middelværdi. g(k) for denne test vises på Figur 7.2.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
122
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
10
20
30
40CUSUM-RLS_log_vec, ko nr.1246, race SDM, født: 14.11.2000, ins: 1.9.2006 , kælvning: 22.10.2005
g(k,
D)
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
10
20
30
40
g(k,
D)
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
10
20
30
40
Tid (dato)
g(k,
D)
Figur 7.2 g(k) for vektorbaseret CUSUM på εlog(z(k)+1)(k) for ko nr. 1246. D = 491, h = 20.
Som det fremgår af Figur 7.2 bliver udslaget i g(k,D) under brunst, højere hvis der, er et
brunsttilfælde omkring de 491 samples tidligere. Her er det nyttigt, at sammenholde figuren med
Figur 6.33 på s. 86. Der fremgår det bl.a., at de første fire brunsttilfælde, giver lignende udslag i
g(k,D). Det er ikke tilfældet på Figur 7.2, idet det tydeligt kan ses, at brunsttilfælde 3-5, er
forstærket i forhold til de to første. Det skyldes, at ved en forsinkelse på 491 samples, rammer
brunsttilfælde 2-5 rimeligt oveni hinanden, og giver derfor et større udslag i den vektorbaserede
CUSUM. En anden forskel, der fremkommer ved sammenligning af de to figurer, er at
brunsttilfælde 8 giver nu et betydeligt højere udslag i g(k,D), end brunsttilfælde 7, hvilket det ikke
gjorde i den ”almindelige” CUSUM. Det skyldes, at brunsttilfælde 7 og 8 rammer godt oveni
hinanden, ved en forsinkelse på 491 samples, og giver derfor et fortærket udslag ved brunst 8.
Som det fremgår af figuren er det kun de brunsttilfælde, hvor der har været et brunsttilfælde
omkring de 491 samples tidligere, der bliver fanget. Det skal ses i lyset af, at h er valgt lig med 20,
netop for kun, at fange brunsttilfælde, der indtræffer omkring de 491 samples efter et tidligere
brunsttilfælde.
7.2 Vektorbaseret GLR algoritme
Ligesom for det skalere tilfælde undersøges en GLR-test til dette formål. Viser det sig, at en
vektorbaseret GLR-algoritme giver mindst ligeså gode resultater som en CUSUM-algoritme, er
den til at foretrække, idet den unødvendiggør en estimering af µ1.
Den ændring i middelværdi, der ønskes detekteret vha. detektoren, kan beskrives ved (Kilde 1, side 254
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
123
1 0= + νµ µ Γ (7.9)
hvor Γ er en kendt vektor og ν er en skalar variabel af ukendt størrelse. Det er derved Γ (samt µ0),
der beskriver forholdet mellem de enkelte elementer i µ1.
Sættes ligning (7.9) ind i ligning (7.4), kan følgende log-likelihood sum udledes (Kilde 1, side 255
( )( )( )
( )( ) ( )( )0
0
k kk 1 2 1j 0
i j i j
p i 1S ln ' i '2p i
+ ν − −
= =
⎛ ⎞ν = = ν − − ν⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑µ Γ
µ
zΓ Q z µ Γ Q Γ
z (7.10)
Med rekursiv estimering af varians og middelværdi lig med 0 fås:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )k
1 1k 2j log z k 1
i j
1S ,D ' i,D i,D ' i,D2
− −+
=
⎛ ⎞ν = ν − ν⎜ ⎟⎝ ⎠∑ Γ Q ε Γ Q Γ (7.11)
Det kan imidlertid ses, at denne funktion har et maksimum i forholdt til ν. Ligningen differentieres i
forhold til ν og sættes lig med 0, hvilket giver.
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
kk1 1j
log z k 1i j
S ,D' i,D i,D ' i,D 0− −
+
=
∂ ν= − ν =
∂ν ∑ Γ Q ε Γ Q Γ (7.12)
Dermed bliver ν , som funktion af j og k
( )( ) ( )( ) ( )
( )
k1
log z k 1i j
k1
i j
' i,D i,D
ˆ j,k,D
' i,D
−+
=
−
=
ν =∑
∑
Γ Q ε
Γ Q Γ
(7.13)
Ligning (7.13) sættes ind i ligning (7.11) og summen af log-likelihood bliver derved
( )( )( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( )( )
k1
log z k 1k1q jk
j log z k 1k1i j
q j
2k1
log z k 1k1q j
k1i j
q j
' q,D q,D
ˆS j,k,D ,D ' i,D i,D
' q,D
' q,D q,D1 ' i,D2
' q,D
−+
−=+
−=
=
−+
−=
−=
=
ν =
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
∑∑
∑
∑∑
∑
Γ Q ε
Γ Q ε
Γ Q Γ
Γ Q ε
Γ Q Γ
Γ Q Γ
(7.14)
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
124
Beslutningsfunktionen bliver derved
( ) ( )( )kjk M 1 j k
ˆg k,D max S j,k,D ,D− + ≤ ≤
= ν (7.15)
Der udføres en test som undtagen den beregningsalgoritme, der anvendes, er identisk med den,
der blev udført under afsnit 7.1.
På Figur 7.3 vises g(k,D) for en GLR-test, udført på εlog(z(k)+1)(k,D) for ko nr. 1246.
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
10
20
30
40GLR-RLS_log_vec, ko nr.1246, race SDM, født: 14.11.2000, ins: 1.9.2006 , kælvning: 22.10.2005
g(k,
D)
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
10
20
30
40
g(k,
D)
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
10
20
30
40
Tid (dato)
g(k,
D)
Figur 7.3 g(k,D) for vektorbaseret GLR på εlog(z(k)+1)(k) for ko nr. 1246. D = 491, h = 20.
Det kan konstateres, ved sammenligning af Figur 7.3 med Figur 7.2, s. 122, at der ikke er tale om
markante foreskelle på de to figurer. Det skal dog siges, at g(k,D) på Figur 7.3 er en anelse mere
støjpræget, end den på Figur 7.2. Det kan samtidigt siges, at det ville formentlig resultere i flere
falske detekteringer, at bruge GLR, hvis h værdien blev sænket således, at samtlige brunsttilfælde
skulle detekteres.
7.3 Vektorbaseret GLR algoritme ved brug af dynamisk profil
Den vektorbaserede GLR, hvor indtrædelsen af fejl, i dette tilfælde et brunsttilfælde, beskrives ved
en dynamisk profil, er en vektorbaseret udgave, af den under afnsit 6.6 beskrevne GLR for
dynamisk profil. Der tages udgangspunkt i GLR fra de kompenserede logaritmisk transformerede
data som angivet i ligning (6.93) på s. 112
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
125
kjk M 1 j k v
k k21 1
0k M 1 j ki j i j
g(k) max max(S (v))
v(k, j)ˆmax v(k, j) (i j) ' ( (i) ) (i j) ' (i j)2
− + ≤ ≤
− −
− + ≤ ≤= =
=
⎛ ⎞⎜ ⎟= − − − − −⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ ∑ρ Q z µ ρ Q ρ% % % (7.16)
hvor
k1
0i j
k1
i j
(i j) ' ( (i) )
v(k, j)(i j) ' (i j)
−
=
−
=
− −
=
− −
∑
∑
ρ Q z µ
ρ Q ρ
%
% %
(7.17)
Som i det forudgående afsnit arbejdes der med dataene
( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )
log z k 1log z k 1
log z k 1
kk,D k D
++
+
⎛ ⎞ε⎜ ⎟=ε −⎜ ⎟⎝ ⎠
ε (7.18)
og kovariansmatricen defineres ved
2
2
(k) 0(k,D)
0 (k D)
⎛ ⎞σ= ⎜ ⎟⎜ ⎟σ −⎝ ⎠
Q (7.19)
Profil matricen indeholder to ens generelle profiler for residualerne og defineres
ρ1.1 2.2 3.3 4.4 5.5 6.6 7.7 8.8 10 10 10 10 8.8 7.7 6.6 5.5 4.4 3.3 2.2 1.11.1 2.2 3.3 4.4 5.5 6.6 7.7 8.8 10 10 10 10 8.8 7.7 6.6 5.5 4.4 3.3 2.2 1.1⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
% (7.20)
Den multiple hypotesetest GLR algoritme er implementeret med rekursiv estimering af
middelværdi og varians som angivet i ligning (6.95), s. 112
2 2
k M 1 j k
A 1 Ag(k) maxB 2 B− + ≤ ≤
⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ (7.21)
hvor ( ) ( ) ( )( ) ( )( )k
1log z k 1
i j
A i j ' i,D i,D−+
=
= −∑ρ Q ε% og ( ) ( ) ( )k
1
i j
B i j ' i,D i j−
=
= − −∑ρ Q ρ% %
Beslutningsfunktionen for g(k) er vist på Figur 7.4
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
126
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
10
20
30
40Dynamisk profil GLR, vektor baseret, for ko no. 1246, race SDM, født: 14.11.2000
g(k)
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
10
20
30
40
g(k)
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
10
20
30
40
Tid (dato)
g(k)
Figur 7.4 Beslutningsfunktionen for ko nr. 1246 som et resultat af et multipel hypotesetest implementeret i form af en
vektorbaseret GLR baseret på detektering af en generel dynamisk profil.
Det kan konstateres, ved sammenligning af Figur 7.4 med figurerne for de øvrige vektorbaserede
detektore (se Figur 7.2 s.122 og Figur 7.3 s.124), at der ikke er tale om markante foreskelle på
figuren, og de andre figurer.
7.4 Modificeret vektorbaseret GLR algoritme
Som det fremgik af Figur 7.1, s. 121, varierer den periode, der går mellem to brunsttilfælde, for
hvert brunsttilfælde. For at undersøge sammenhængen mellem D og det udslag, der udmønter sig
i g(k, D) under brunst, blev g(k, D) plottet over hele dataperioden for forskellige værdier af D. På
Figur 7.5 vises g(k, D), beregnet ved en vektorbaseret CUSUM, for ko nr. 1246. Figuren er plottet
over hele dataperioden for D = [ 456, 576] [samples], hvilket svarer til 19-24 døgn.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
127
Figur 7.5 g(k,Ddealay) ved en vektorbaseret CUSUM for ko nr. 1246. Plottet er plottet for D = [ 456, 576] over hele dataperioden,
dvs. fra 1.4.2006 – 12.10.2006, hvilket svarer til 4680 samples.
Som det fremgår af Figur 7.5 er det forskelligt mellem brunsttilfælde, hvilken periode, D, giver det
største udslag i g(k, D), idet den periode, der går mellem to brunsttilfælde, ikke er konstant. Dette
vises også på Figur 7.6 hvor g(k, D) plottes for k = [ 2650, 3300], hvilket svarer til omkring 27 døgn
og dækker den periode hvor brunsttilfælde nr. 5 og 6 indtræffer.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
128
g(k, D), ved en vektorbaseret CUSUM for ko nr.1246, race SDM, født: 14.11.2000, ins: 1.9.2006 , kælvning: 22.10.2005
0
10
20
30
g(k,
D)
440460480500520540560580 D [samples]
2600
2700
2800
2900
3000
3100
3200
3300
k [samples]
Figur 7.6 g(k,Ddealay) ved en vektorbaseret CUSUM for ko nr. 1246. Plottet er plottet for D = [ 456, 576] og k = [ 2650, 3300].
Figur 7.6, viser tydeligt hvordan forskellige værdier af D giver det maksimale udslag i g(k, D) for de
to forskellige brunsttilfælde. Der blev derfor lavet en modificeret udgave af den under afsnit 7.2
vektorbaserede GLR algoritme. I den modificerede udgave maksimeres algoritmen i forhold til D,
udover i forvejen, at være maksimeret i forhold til den estimerede indtræffelsestidspunkt for fejlen,
j. Ligning (7.15) s. 124 ændres derfor til:
( ) ( )( )min max
kjD D D k M 1 j k
ˆg k max max S j,k,D ,D≤ ≤ − + ≤ ≤
= ν (7.22)
hvor Dmin = 480 [samples] og Dmax = 528 [samples], hvilket svarer til hhv. 20 og 22 døgn. På Figur
7.7 vises g(k) for den modificerede GLR-algoritme, for ko nr. 1246.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
129
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
10
20
30
40
50GLR-D-RLS_log_vec, ko nr.1246, race SDM, født: 14.11.2000, ins: 1.9.2006 , kælvning: 22.10.2005
g(k)
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
10
20
30
40
50
g(k)
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
10
20
30
40
50
Tid (dato)
g(k)
Figur 7.7 g(k) for vektorbaseret GLR på εlog(z(k)+1)(k) for ko nr. 1246. h = 20.
Som det fremgår af Figur 7.7 bliver alle brunsttilfælde, undtaget det første, detekteret ved en
tærskel h = 20. Figuren viser hvordan, de brunsttilfælde, der tidligere ikke blev detekteret ved h=
20 og den tidligere fastsætte D = 491 (se Figur 7.3, s. 124), nu resulterer i et større udslag i g(k)
end tidligere.
7.5 Delkonklusion
I kapitlet blev udvikling af multible hypotesetest i form af Change Detection algoritmer beskrevet.
Der blev udviklet vektorbaserede CUSUM og GLR algoritmer til detektering af en ændring i
middelværdi og til detektering af en profil i dataene. GLR algoritmen til detektering af en ændring i
middelværdi blev yderligere forbedret i forhold til forsinkelsen D. Denne algoritme viser lovende
resultater.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
130
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
131
8 Diskussion Diskussionen er en sammenfatning og vurdering af det udførte projektarbejde og af de resultater,
der blev beskrevet i rapporten. Efterfølgende diskuteres rapportens indehold i 3 separate dele,
hvor den første omhandler data og databehandling, den anden omhandler indledende
undersøgelser af data og den tredje omhandler aktivitetsdata og udviklingen af Change Detector
algoritmer og resultater.
Data, databehandling og kategorisering
Data fra KFC blev organiseret i en Scilab-struktur som giver godt grundlag for anvendelse i
analyser og detektorer. Da der var tale om forholdsvis store mængder data fra sensorer monteret
på mange køer over en lang periode, kunne det forvæntes at dataene til en vis grad var
mangelfulde. Det viste sig at der forekom samples i dataene som ikke indeholdt en måleværdi og
derfor ikke angav nogen information om den pågældende måling. I tilfælde af dette blev samplet
angivet som NaN (Not a Number). For samtlige algoritmer, er der taget højde for optrædelse af
NaN i dataene.
Kategorisering af aktivitetsdata tog udgangspunkt i at dele samtlige køer ned i tre kategorier,
nemlig normale, inseminerede og køer med sygdomme og mangelfulde data. De normale og
inseminerede kategorier tog udgangspunkt i at ingen af køerne var blevet behandlet for
sygdomme i dataperioden. Disse to kategorier dannede derved et grundlag for undersøgelser for
hhv. normal adfærd og brunstadfærd. Det viser sig at 74 % af køerne kategoriseres som køer med
sygdomme og mangelfulde data, hovedsageligt pga. sygdoms- eller forebyggende
sygdomsbehandlinger i perioden. For de køer, der blev katigoriseret under denne kategori pga.
mangelfulde data, gjaldt at data kun rakte over en lille del af dataperioden. Resultatet blev at der
var 17 køer, der blev kategoriseret som normale og 12 køer, der blev kategoriseret som
inseminerede.
Indledende undersøgelser af data
Der blev foretaget indledende undersøgelser af data fra foderkasser, malkerobotter, IceTags og
aktivitetssensorer med henblik på at identificere om der fandtes tegn på brunst i dataene. Der var
ikke tydelige tegn at finde i data fra foderkasserne og malkerobotterne. Hvad angår IceTags var
der begrænsede mængde data til rådighed, og kun to inseminerede køer. Den ene af køerne viste
afvigelser i liggeadfærd og aktivitet i tilfælde af brunst men ikke den anden. Disse data blev ikke
undersøgt nærmere grundet de relative få data, men synes værende et interessant område at
undersøge i fremtidig søgning af brunstsignaturer. Der eksisterer til gengæld en del aktivitetsdata
hvor der fremgår afvigelser i tilfælde af brunst. Yderligere gav dataene et grundlag for
anvendelsen af Change Detection algoritmer, og blev derfor valgt til videre anvendelse.
Aktivitetsdata og Change Detection
Undersøgelser af aktivitetsdata viste at der forekom en døgnrytme hos samtlige normale køer.
Døgnrytmen blev fjernet fra dataene eftersom en tydeligere brunstsignatur forvæntedes ved
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
132
kompensering. Kompenseringen blev foretaget ved hhv. filtrering og Recursive Least Squares
estimering af døgnrytmens tilhørende frekvenser og middelværdi som blev trukket fra dataene,
hvilket resulterede i et reidual.
Filtreringen resulterede i et signal som tilnærmede sig en normalfordeling. Filtreringen blev
foretaget ved at beregne et 24 timers gennemsnit af aktivitetsdataene for hver sample.
Konsekvensen af dette var at afvigelser kom senere frem i dataene end i tilfælde af rådata. Til
gengæld var signalets varians blevet formindsket en del. Det kunne derfor forvæntes at en
detektor baseret på det filtrerede signal ville yde en mere sikker men langsommere detektering
end en detektor baseret på ukompenserede rådata.
I tilfælde af residualet efter den rekursiv kompensering viste det sig at kompenseringen resulterer i
et signal som med tilnærmelse kunne beskrives ved en Rayleigh fordeling med et
definitionsområde ned til negative værdier. Residualet antager positive såvel som negative
værdier, men Rayleigh fordelingen har en nedre grænse i sit definitionsområde og er kun defineret
for ikke-negative værdier. Derfor Rayleigh fordelingens definitionsområde forskudt og Change
Detection algoritmen blev udviklet på det grundlag. En konsekvens af anvendelsen af Rayleigh
fordelt tæthedsfunktion blev at der forekommer negative værdier i residualet som ikke ligger
indenfor Rayleigh fordelingens definitionsområde. Det er i algoritmerne valgt at behandle dette ved
at log-likelihood forholdet s antog værdien 0, således at den hverken bidrager til en forøgelse eller
formindskelse af beslutningsfunktionen. Denne løsning har nogle begrænsninger, idet data går
tabt.
Der blev også foretaget undersøgelser af dataene hvad angår logaritmisk transformation af data
vha. log(1+data), hvor log er titals logaritmen. Efter kompensering for perioder og middelværdi
viste det sig at dataene tilnærmede sig normalfordelingen for normale forhold.
Der blev udviklet flere Change Detection algoritmer til detektering af en ændring i middelværdi
eller en dynamisk profil i dataene, både af kendt og ukendt amplitude. Grundet aktivitetsdataenes
ikke stationære egenskaber er detektorerne yderligere forsynet med rekursiv estimeringer af
middelværdi og varians for det pågældende datasæt, som forbedrer resultaterne.
Som et yderligere led i udviklingen af algoritmer, blev der lavet en test for multible hypoteser.
Testen blev realiseret ved en vektor baseret CUSUM/GLR hvor der blev arbejdet med
aktivitetsdataene som den ene signal og en forsinket udgave som det andet. Forsinkelsen var
mellem 20-22 dage som er den forvæntede tid mellem brunsttilfælde.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
133
9 Konklusion Det var eksamensprojektets formål, at bidrage til et forskningsprojekt ved Danmarks Jordbrugs
Forskning og Danmarks Tekniske Universitet, med forskning og udvikling af én eller flere
detekteringsalgoritmer til detektering af malkekøers brunsttilfælde ud fra afvigelser i deres adfærd.
I projektet er data fra aktivitetssensorer, kombinerede ligge/stå/aktiv sensorer, malkerobotter,
foderkasser og registrerede brunsttilfælde behandlet. Der er udviklet software i Scilab til
behandling og fremvisning af dataene som giver en struktureret og effektiv tilgang til dem.
Indledende analyser af dataene viser at der fremkommer flere tydelige tegn på brunst i data fra
aktivitetssensorene og er disse derfor anvendt som grundlag til udvikling af Change Detection
algoritmer. En frekvensanalyse af aktivitetsdataene viser en døgnrytme, sammensat af flere
frekvenser, hos samtlige analyserede køer. En F-test og beregning af forklaringsgraden viser
relevansen for kompensering af frekvenserne. Data blev kompenseret for døgnrytmen med to
forskellige metoder, hhv. filtrering og Recursive Least Squeres estimering.
Som væsentligste bidrag blev der udviklet 7 Change Detection algoritmer som angivet i det
følgende med angivelse af tæthedsfunktioner der beskriver hhv. normaladfærd og brunstadfærd.
• CUSUM, kendt ændring i middelværdi, Normal-Normal
• CUSUM, kendt ændring i middelværdi, Eksponentiel-Normal
• CUSUM, kendt ændring i middelværdi, Rayleigh-Normal
• GLR, ukendt ændring i middelværdi, Normal-Normal
• GLR, ukendt ændring i middelværdi, Rayleigh-Normal
• CUSUM, dynamisk profil med kendt amplitude, Normal-Normal
• GLR, dynamisk profil med ukendt amplitude, Normal-Normal
Algoritmerne blev udviklet med rekursiv estimering af dataseriers middelværdi og varians, samt
behandling af "Not a Number” i datasættet.
De udviklede algoritmer blev testet på køer som var blevet insemineret og ikke havde haft
sygdomsbehandlinger i dataperioden. Der blev udvalgt seks algoritmer som testedes på samtlige
12 inseminerede køer uden sygdomme, hvorefter resultaterne sammenlignes hvad angår
succesfulde detekteringer, falske detekteringer og detekteringstid defineret i forhold til en fælles
indbyrdes reference. Resultaterne viste at Change Detection algoritmerne opnåede en detektering
i 71 % - 95 % af brunsttilfældene med gennemsnitstid mellem falske alarmer i området 30- 55
uger.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
134
Der blev yderligere udviklet multibel hypotesetest realiseret i form af vektorbaserede CUSUM/GLR
algoritmer. Den multibel hypotesetest benyttede det faktum at der typisk går 20-22 dage mellem
brunst og viste lovende resultater.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
135
10 Perspektivering Dette kapitel omhandler de aspekter der er interessante for den fremtidige udvikling og
undersøgelser af Change Detector algoritmerne.
Der kan være praktiske ting i den daglige drift i stalden der påvirker aktivitet hos mange af køerne,
som f.eks. et besøg af klovbeskæreren eller dyrlæge. Disse besøg forårsager ofte uroligheder i
besætningen. For at formindske sandsynligheden for falske detekteringer grundet urolighederne
kan den besætningsmæssige overvågning benyttes, således at detekteringerne undgås hvis
forholdsvis mange køer viser forøgelse i aktivitet samtidigt.
En ret relevant faktor i den videre udvikling ville være at indføre en automatisk bestemmelse af h
værdien for beslutningsfunktionen. h værdien kunne evt. bestemmes ud fra estimering af
beslutningsfunktionens varians.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
136
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
137
11 Litteraturliste
[1] M. Blanke, M. Kinnaert, J. Lunze, M. Staroswiecki 2006: Diagnosis and Fault-Tolerant
Control, 2nd edition. Springer-Verlag Berlin Hedelberg.
ISBN-10: 3-540-35652-5
[2] Erwin Kreyszig 1999: Advanced Engineering Mathematics, 8th edition. John Wiley & Sons
Inc., 605 Third Avenue, New York.
ISBN: 0-471-15496-2
[3] Robert Grover Brown, Patrick Y.C. Hwang 1997: Introduction to Random Signals and
Applied Kalman Filtering, 3rd edition. John Wiley & Sons Inc., 111 River Street, Hoboken,
NJ 07030.
ISBN: 0-471-12839-2
[4] Niels Kjølstad Poulsen 1999: Stokastisk Adaptiv Regulering, ver. 1.01. IMM institut,
Danmarks Tekniske Universitet, Lyngby.
[5] K.J. Åström and B. Wittenmark 1995: Adaptive Control, Addison Wesley Series in
Electrical Engineering, Control Engineering, 2nd edition. Addison Wesley.
[6] Sophocles J. Orfanidis 1996: Introduction to Signal Processing. Prentice-Hall Inc., Upper
Saddle River, New Jersey 07458.
ISBN: 0-13-209172-0
[7] Matlab Help. The MathWorks, Inc. 3 Apple Hill Drive, Natick, MA 01760-2098 USA
[8] S. B. Pedersen, J. A. Jensen, B. Guldbrandsen og Kaj-Åge Henneberg 2006. Noter til
31610 Anvendt signalbehandling. Ørsted institut, Danmarks Tekniske Universitet, Lyngby.
[9] http://www.inseminor.dk/rep.php
[10] http://www.lr.dk/kvaeg/informationsserier/kvaegforsk/1070.htm
[11] Ole Groth Jørsboe 1976. Sandsynlighedsregning, Danmarks Tekniske
HøjskoleUniversitet, Matematisk Institut.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
138
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
139
Bilag A Det følgende bilag indeholder figurer, der viser køernes aktivitetsindeks på timebasis (rådata),
over den periode, hvor der er måledata til rådighed. Bilaget er opdelt i to dele hvor der vises
aktivitetsindeks for hhv. de køer der er blevet kategoriseret som værende normale og de køer som
er kategoriseret som brunstkøer.
Normale køer Aktivitetsindeksen, for de normale køer, vises med rødbrun fuldtoptrukken linie. Figurerne er alle
plottet med den samme skala på y-aksen, dvs. fra 0 til 300, for at skabe overblik over køernes
forskellige aktivitetsniveau. Skalaen på x-aksen viser den periode aktivitetsindeksen er plottet
over, som datoer og der er en uge mellem de lodrette streger.
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
50100150200250300
Aktivitet, ko nr.1260, race RDM, født: 3.6.2001, ins: 30.12.1899 , kælvning: 21.6.2005
Aktiv
itets
inde
ks
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
50100150200250300
Aktiv
itets
inde
ks
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
50100150200250300
Tid (dato)
Aktiv
itets
inde
ks
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
50100150200250300Aktivitet, ko nr.1271, race JER, født: 6.11.2002, ins: 27.3.2006 , kælvning: 9.2.2006
Aktiv
itets
inde
ks
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
50100150200250300
Aktiv
itets
inde
ks
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
50100150200250300
Tid (dato)
Aktiv
itets
inde
ks
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
50100150200250300
Aktivitet, ko nr.1267, race JER, født: 3.11.2002, ins: 9.12.2005 , kælvning: 28.11.2004
Aktiv
itets
inde
ks
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
50100150200250300
Aktiv
itets
inde
ks
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
50100150200250300
Tid (dato)
Aktiv
itets
inde
ks
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
50100150200250300Aktivitet, ko nr.168, race JER, født: 23.9.2001, ins: 29.3.2006 , kælvning: 8.12.2005
Aktiv
itets
inde
ks
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
50100150200250300
Aktiv
itets
inde
ks
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
50100150200250300
Tid (dato)
Aktiv
itets
inde
ks
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
140
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
50100150200250300
Aktivitet, ko nr.174, race RDM, født: 11.10.2001, ins: 16.2.2006 , kælvning: 10.1.2006
Aktiv
itets
inde
ks
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
50100150200250300
Aktiv
itets
inde
ks
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
50100150200250300
Tid (dato)
Aktiv
itets
inde
ks
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
50100150200250300
Aktivitet, ko nr.180, race SDM, født: 1.11.2001, ins: 5.2.2006 , kælvning: 22.10.2005
Aktiv
itets
inde
ks
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
50100150200250300
Aktiv
itets
inde
ks
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
50100150200250300
Tid (dato)
Aktiv
itets
inde
ks
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
50100150200250300Aktivitet, ko nr.181, race JER, født: 2.11.2001, ins: 2.2.2006 , kælvning: 12.3.2005
Aktiv
itets
inde
ks
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
50100150200250300
Aktiv
itets
inde
ks
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
50100150200250300
Tid (dato)
Aktiv
itets
inde
ks
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
50100150200250300
Aktivitet, ko nr.189, race RDM, født: 13.11.2001, ins: 16.3.2006 , kælvning: 18.1.2006Ak
tivite
tsin
deks
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
50100150200250300
Aktiv
itets
inde
ks
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
50100150200250300
Tid (dato)
Aktiv
itets
inde
ks
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
50100150200250300Aktivitet, ko nr.223, race JER, født: 8.1.2002, ins: 29.3.2006 , kælvning: 5.2.2006
Aktiv
itets
inde
ks
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
50100150200250300
Aktiv
itets
inde
ks
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
50100150200250300
Tid (dato)
Aktiv
itets
inde
ks
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
50100150200250300Aktivitet, ko nr.249, race RDM, født: 1.3.2002, ins: 29.10.2005 , kælvning: 6.5.2005
Aktiv
itets
inde
ks
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
50100150200250300
Aktiv
itets
inde
ks
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
50100150200250300
Tid (dato)
Aktiv
itets
inde
ks
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
141
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
50100150200250300
Aktivitet, ko nr.315, race SDM, født: 13.8.2002, ins: 27.2.2006 , kælvning: 18.11.2005Ak
tivite
tsin
deks
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
50100150200250300
Aktiv
itets
inde
ks
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
50100150200250300
Tid (dato)
Aktiv
itets
inde
ks
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
50100150200250300
Aktivitet, ko nr.356, race RDM, født: 1.12.2002, ins: 20.3.2006 , kælvning: 12.12.2005
Aktiv
itets
inde
ks
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
50100150200250300
Aktiv
itets
inde
ks
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
50100150200250300
Tid (dato)
Aktiv
itets
inde
ks
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
50100150200250300Aktivitet, ko nr.358, race RDM, født: 6.12.2002, ins: 22.3.2006 , kælvning: 7.2.2006
Aktiv
itets
inde
ks
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
50100150200250300
Aktiv
itets
inde
ks
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
50100150200250300
Tid (dato)
Aktiv
itets
inde
ks
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
50100150200250300
Aktivitet, ko nr.362, race SDM, født: 12.12.2002, ins: 4.3.2006 , kælvning: 24.12.2005
Aktiv
itets
inde
ks
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
50100150200250300
Aktiv
itets
inde
ks
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
50100150200250300
Tid (dato)
Aktiv
itets
inde
ks
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
50100150200250300Aktivitet, ko nr.383, race RDM, født: 23.1.2003, ins: 6.3.2006 , kælvning: 23.1.2006
Aktiv
itets
inde
ks
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
50100150200250300
Aktiv
itets
inde
ks
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
50100150200250300
Tid (dato)
Aktiv
itets
inde
ks
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
50100150200250300Aktivitet, ko nr.404, race JER, født: 15.2.2003, ins: 20.3.2006 , kælvning: 23.1.2006
Aktiv
itets
inde
ks
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
50100150200250300
Aktiv
itets
inde
ks
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
50100150200250300
Tid (dato)
Aktiv
itets
inde
ks
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
142
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
50100150200250300
Aktivitet, ko nr.479, race RDM, født: 10.7.2003, ins: 10.2.2006 , kælvning: 13.10.2005
Aktiv
itets
inde
ks
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
50100150200250300
Aktiv
itets
inde
ks
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
50100150200250300
Tid (dato)
Aktiv
itets
inde
ks
Brunstkøer Aktivitetsindeksen, for de køer der har konstaterede brunstilfælde i perioden, vises med rødbrun
fuldtoptrukken linie. Tidspunkter for de konstaterede brunsttilfælde vises med lodrette stiplede
lyserøde linier. Figurerne er, ligesom for de normale køer, alle plottet med den samme skala på y-
aksen. Her i skalaen fra 0 til 200. For x-aksen gælder de samme forhold som for de normale køer.
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
50
100
150
200Aktivitet, ko nr.34, race JER, født: 24.10.2000, ins: 7.4.2006 , kælvning: 25.10.2005
Aktiv
itets
inde
ks
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
50
100
150
200
Aktiv
itets
inde
ks
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
50
100
150
200
Tid (dato)
Aktiv
itets
inde
ks
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
50
100
150
200Aktivitet, ko nr.224, race RDM, født: 9.1.2002, ins: 2.5.2006 , kælvning: 10.8.2005
Aktiv
itets
inde
ks
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
50
100
150
200
Aktiv
itets
inde
ks
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
50
100
150
200
Tid (dato)
Aktiv
itets
inde
ks
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
50
100
150
200Aktivitet, ko nr.307, race RDM, født: 27.7.2002, ins: 18.4.2006 , kælvning: 22.1.2006
Aktiv
itets
inde
ks
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
50
100
150
200
Aktiv
itets
inde
ks
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
50
100
150
200
Tid (dato)
Aktiv
itets
inde
ks
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
50
100
150
200Aktivitet, ko nr.334, race RDM, født: 12.10.2002, ins: 4.9.2006 , kælvning: 12.11.2005
Aktiv
itets
inde
ks
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
50
100
150
200
Aktiv
itets
inde
ks
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
50
100
150
200
Tid (dato)
Aktiv
itets
inde
ks
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
143
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
50
100
150
200Aktivitet, ko nr.353, race RDM, født: 24.11.2002, ins: 5.5.2006 , kælvning: 21.1.2006
Aktiv
itets
inde
ks
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
50
100
150
200
Aktiv
itets
inde
ks
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
50
100
150
200
Tid (dato)
Aktiv
itets
inde
ks
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
50
100
150
200Aktivitet, ko nr.371, race RDM, født: 7.1.2003, ins: 8.7.2006 , kælvning: 22.9.2005
Aktiv
itets
inde
ks
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
50
100
150
200
Aktiv
itets
inde
ks
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
50
100
150
200
Tid (dato)
Aktiv
itets
inde
ks
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
50
100
150
200Aktivitet, ko nr.373, race JER, født: 13.1.2003, ins: 10.6.2006 , kælvning: 12.2.2006
Aktiv
itets
inde
ks
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
50
100
150
200
Aktiv
itets
inde
ks
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
50
100
150
200
Tid (dato)
Aktiv
itets
inde
ks
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
50
100
150
200Aktivitet, ko nr.494, race SDM, født: 17.8.2003, ins: 14.6.2006 , kælvning: 18.8.2005
Aktiv
itets
inde
ks
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
50
100
150
200
Aktiv
itets
inde
ks
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
50
100
150
200
Tid (dato)
Aktiv
itets
inde
ks
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
50
100
150
200Aktivitet, ko nr.1198, race RDM, født: 4.3.2001, ins: 2.6.2006 , kælvning: 10.9.2005
Aktiv
itets
inde
ks
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
50
100
150
200
Aktiv
itets
inde
ks
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
50
100
150
200
Tid (dato)
Aktiv
itets
inde
ks
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
50
100
150
200Aktivitet, ko nr.1246, race SDM, født: 14.11.2000, ins: 1.9.2006 , kælvning: 22.10.2005
Aktiv
itets
inde
ks
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
50
100
150
200
Aktiv
itets
inde
ks
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
50
100
150
200
Tid (dato)
Aktiv
itets
inde
ks
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
144
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
50
100
150
200Aktivitet, ko nr.1253, race JER, født: 11.4.2001, ins: 25.6.2006 , kælvning: 27.2.2006
Aktiv
itets
inde
ks
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
50
100
150
200
Aktiv
itets
inde
ks
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
50
100
150
200
Tid (dato)
Aktiv
itets
inde
ks
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
50
100
150
200Aktivitet, ko nr.244, race RDM, født: 19.2.2002, ins: 11.9.2006 , kælvning: 24.1.2006
Aktiv
itets
inde
ks
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
50
100
150
200
Aktiv
itets
inde
ks
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
50
100
150
200
Tid (dato)
Aktiv
itets
inde
ks
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
145
Bilag B Undersøgelse af stationaritet: Køernes aktivitetsdata undersøges for stationaritet, dvs. om dataenes tæthedsfunktion er
tidsinvariant. Viser det sig at det er aktuelt, så er processen stationær, hvis tæthedsfunktionen er
tidsvariant er der tale om en ikke stationær proces. Det som karakteriserer de fleste
tæthedsfunktioner er at de er beskrevet ved processens middelværdi og/eller varians. Der er i
denne undersøgelse derfor undersøgt om dataenes middelværdi og varians ændres over tid.
De 17 normale køer undersøges ved at køre et vindue af størrelse M over datarækken. Vinduet er
forskudt 1 sample (svarer til 1 time) ad gangen og der estimeres middelværdi µ og varians σ2
(empirisk) for dataene omlukket af vinduet ved hver forskydning. Dette beskrives matematisk som
angivet i det efterfølgende:
k
Xi k M
1(k) X(i)ˆM = −
µ = ∑ (B.1)
( )k
22X X
i k M
1(k) X(i) (k)ˆ ˆM 1 = −
σ = −µ− ∑ (B.2)
hvor X(i) er aktivitetsdataene, og k er tid.
Resultatet af denne beregning er vektorer der indeholder værdier for hhv. middelværdi og varians
afhængigt af tiden k. Resultatet er afhængigt af størrelsen af vinduet, M. Hvis M vælges til et lille
værdi vil der være større sandsynlighed for at få variationer i beregningerne, og vælges M til et
stort værdi udglattes ”relative små” variationer i beregningerne. En typisk datalængde af
aktivitetsdataene til rådighed er på omkring 4000 samples. Det er som udgangspunkt valgt en M
værdi til 480 (20 døgn) da det svarer ca. til 10 % af den samlede datalængde.
Beregningerne er foretaget og resultaterne plottet som funktion af tid k for samtlige normale køer.
Plottene er normeret i forhold til vektorernes mindste værdi, for at vise forholdsvise afvigelser i de
pågældende estimeringer. Et eksempel af dette vises på Figur B.1, Figur B.2 og Figur B.3.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
146
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 10.6 17.6 24.6 1.7 8.7 15.7 22.7 29.7 5.8 12.8 19.8 26.8 2.9 9.9 16.9 23.9 30.9 7.10 19.10
0.0
22.3
44.7
67.0
89.3
111.7
134.0
My for ko no. 1260, race RDM, born: 3.6.2001
Tid (dato)
Nor
mer
et a
kse
Figur B.1 Aktivitetsdata for ko 1260 over hele måleperioden.
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 10.6 17.6 24.6 1.7 8.7 15.7 22.7 29.7 5.8 12.8 19.8 26.8 2.9 9.9 16.9 23.9 30.9 7.10 19.10
1.00
1.05
1.10
1.15
1.20
1.25
1.30
1.35
1.40
1.45
1.50
1.55
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
1.85
1.90
1.95
2.00
My for ko no. 1260, race RDM, born: 3.6.2001
Tid (dato)
Nor
mer
et a
kse
Figur B.2 Estimering af middelværdi for ko 1260 over hele måleperioden. M = 480. Den vertikale akse er normeret i forhold til
estimeringens laveste værdi, for illustrative formål.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
147
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 10.6 17.6 24.6 1.7 8.7 15.7 22.7 29.7 5.8 12.8 19.8 26.8 2.9 9.9 16.9 23.9 30.9 7.10 19.10
1.00
1.05
1.10
1.15
1.20
1.25
1.30
1.35
1.40
1.45
1.50
1.55
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
1.85
1.90
1.95
2.00
Sigma^2 for ko no. 1260, race RDM, born: 3.6.2001
Tid (dato)
Nor
mer
et a
kse
Figur B.3 Estimering af varians for ko 1260 over hele måleperioden. M = 480. Den vertikale akse er normeret i forhold til
estimeringens laveste værdi, for illustrative formål.
Det viser sig at for samtlige normale køer at afvigelser i middelværdi i forhold til det mindste
estimerede middelværdi for den pågældende ko ikke kommer over en fordobling af det mindst
værdi. Hvad angår estimering af varians forekommer der lidt større afvigelser, typisk i området 2-3
gange større end den laveste estimerede varians for den pågældende ko. Efterfølgende vises et
godt eksempel af aktivitetsdata for ko 1267 der næppe kan antages værende en stationær proces.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
148
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 10.6 17.6 24.6 1.7 8.7 15.7 22.7 29.7 5.8 12.8 19.8 26.8 2.9 9.9 16.9 23.9 30.9 7.10 19.10
0.0
22.3
44.5
66.8
89.0
111.3
133.5
155.8
178.0
My for ko no. 1267, race JER, born: 3.11.2002
Tid (dato)
Nor
mer
et a
kse
Figur B.4 Aktivitetsdata for ko 1267 over hele måleperioden.
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 10.6 17.6 24.6 1.7 8.7 15.7 22.7 29.7 5.8 12.8 19.8 26.8 2.9 9.9 16.9 23.9 30.9 7.10 19.10
1.00
1.05
1.10
1.15
1.20
1.25
1.30
1.35
1.40
1.45
1.50
1.55
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
1.85
1.90
1.95
2.00
My for ko no. 1267, race JER, born: 3.11.2002
Tid (dato)
Nor
mer
et a
kse
Figur B.5 Estimering af middelværdi for ko 1267 over hele måleperioden. M = 480. Den vertikale akse er normeret i forhold til
estimeringens laveste værdi, for illustrative formål.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
149
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 10.6 17.6 24.6 1.7 8.7 15.7 22.7 29.7 5.8 12.8 19.8 26.8 2.9 9.9 16.9 23.9 30.9 7.10 19.10
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
Sigma^2 for ko no. 1267, race JER, born: 3.11.2002
Tid (dato)
Nor
mer
et a
kse
Figur B.6 Estimering af varians for ko 1267 over hele måleperioden. M = 480. Den vertikale akse er normeret i forhold til
estimeringens laveste værdi, for illustrative formål.
Ud fra analyserne beskrevet ovenfor konkluderes der at dataene for de normale køer ikke kan
beskrives ved en stationær proces.
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
150
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
151
Bilag C Det følgende bilag indeholder figurer, der viser køernes aktivitetsindeks beregnet som et
gennemsnit over 24 timer, over den periode, hvor der er måledata til rådighed. En beskrivelse af
hvordan aktivitetsgennemsnittet beregnes kan ses i afsnit 5.2. Bilaget er opdelt i to dele hvor der
vises aktivitetsgennemsnittet for hhv. de køer der er blevet kategoriseret som værende normale og
de køer som er kategoriseret som brunstkøer.
Normale køer Det 24 timers aktivitetsgennemsnit, for de normale køer, vises med blå fuldtoptrukken linie.
Figurerne er alle plottet med den samme skala på y-aksen, dvs. fra 0 til 100, for at skabe overblik
over køernes forskellige aktivitetsniveauer. Skalaen på x-aksen viser den periode
aktivitetsgennemsnittet er plottet over, som datoer og der er en uge mellem de lodrette streger.
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
20406080
100My_24, ko nr.1260, race RDM, født: 3.6.2001, ins: 30.12.1899 , kælvning: 21.6.2005
Aktiv
itets
inde
ks
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
20406080
100
Aktiv
itets
inde
ks
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
20406080
100
Tid (dato)
Aktiv
itets
inde
ks
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
20406080
100My_24, ko nr.1271, race JER, født: 6.11.2002, ins: 27.3.2006 , kælvning: 9.2.2006
Aktiv
itets
inde
ks
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
20406080
100
Aktiv
itets
inde
ks
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
20406080
100
Tid (dato)
Aktiv
itets
inde
ks
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
20406080
100My_24, ko nr.1267, race JER, født: 3.11.2002, ins: 9.12.2005 , kælvning: 28.11.2004
Aktiv
itets
inde
ks
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
20406080
100
Aktiv
itets
inde
ks
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
20406080
100
Tid (dato)
Aktiv
itets
inde
ks
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
20406080
100My_24, ko nr.168, race JER, født: 23.9.2001, ins: 29.3.2006 , kælvning: 8.12.2005
Aktiv
itets
inde
ks
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
20406080
100
Aktiv
itets
inde
ks
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
20406080
100
Tid (dato)
Aktiv
itets
inde
ks
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
152
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
20406080
100My_24, ko nr.174, race RDM, født: 11.10.2001, ins: 16.2.2006 , kælvning: 10.1.2006
Aktiv
itets
inde
ks
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
20406080
100
Aktiv
itets
inde
ks
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
20406080
100
Tid (dato)
Aktiv
itets
inde
ks
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
20406080
100My_24, ko nr.180, race SDM, født: 1.11.2001, ins: 5.2.2006 , kælvning: 22.10.2005
Aktiv
itets
inde
ks
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
20406080
100
Aktiv
itets
inde
ks
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
20406080
100
Tid (dato)
Aktiv
itets
inde
ks
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
20406080
100My_24, ko nr.181, race JER, født: 2.11.2001, ins: 2.2.2006 , kælvning: 12.3.2005
Aktiv
itets
inde
ks
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
20406080
100
Aktiv
itets
inde
ks
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
20406080
100
Tid (dato)
Aktiv
itets
inde
ks
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
20406080
100My_24, ko nr.189, race RDM, født: 13.11.2001, ins: 16.3.2006 , kælvning: 18.1.2006
Aktiv
itets
inde
ks
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
20406080
100
Aktiv
itets
inde
ks
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
20406080
100
Tid (dato)
Aktiv
itets
inde
ks
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
20406080
100My_24, ko nr.223, race JER, født: 8.1.2002, ins: 29.3.2006 , kælvning: 5.2.2006
Aktiv
itets
inde
ks
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
20406080
100
Aktiv
itets
inde
ks
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
20406080
100
Tid (dato)
Aktiv
itets
inde
ks
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
20406080
100My_24, ko nr.249, race RDM, født: 1.3.2002, ins: 29.10.2005 , kælvning: 6.5.2005
Aktiv
itets
inde
ks
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
20406080
100
Aktiv
itets
inde
ks
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
20406080
100
Tid (dato)
Aktiv
itets
inde
ks
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
153
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
20406080
100My_24, ko nr.315, race SDM, født: 13.8.2002, ins: 27.2.2006 , kælvning: 18.11.2005
Aktiv
itets
inde
ks
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
20406080
100
Aktiv
itets
inde
ks
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
20406080
100
Tid (dato)
Aktiv
itets
inde
ks
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
20406080
100My_24, ko nr.356, race RDM, født: 1.12.2002, ins: 20.3.2006 , kælvning: 12.12.2005
Aktiv
itets
inde
ks
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
20406080
100
Aktiv
itets
inde
ks
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
20406080
100
Tid (dato)
Aktiv
itets
inde
ks
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
20406080
100My_24, ko nr.358, race RDM, født: 6.12.2002, ins: 22.3.2006 , kælvning: 7.2.2006
Aktiv
itets
inde
ks
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
20406080
100
Aktiv
itets
inde
ks
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
20406080
100
Tid (dato)
Aktiv
itets
inde
ks
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
20406080
100My_24, ko nr.362, race SDM, født: 12.12.2002, ins: 4.3.2006 , kælvning: 24.12.2005
Aktiv
itets
inde
ks
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
20406080
100
Aktiv
itets
inde
ks
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
20406080
100
Tid (dato)
Aktiv
itets
inde
ks
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
20406080
100My_24, ko nr.383, race RDM, født: 23.1.2003, ins: 6.3.2006 , kælvning: 23.1.2006
Aktiv
itets
inde
ks
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
20406080
100
Aktiv
itets
inde
ks
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
20406080
100
Tid (dato)
Aktiv
itets
inde
ks
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
20406080
100My_24, ko nr.404, race JER, født: 15.2.2003, ins: 20.3.2006 , kælvning: 23.1.2006
Aktiv
itets
inde
ks
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
20406080
100
Aktiv
itets
inde
ks
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
20406080
100
Tid (dato)
Aktiv
itets
inde
ks
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
154
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
20406080
100My_24, ko nr.479, race RDM, født: 10.7.2003, ins: 10.2.2006 , kælvning: 13.10.2005
Aktiv
itets
inde
ks
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
20406080
100
Aktiv
itets
inde
ks
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
20406080
100
Tid (dato)
Aktiv
itets
inde
ks
Brunstkøer Det 24 timers aktivitetsgennemsnit, for de køer der har konstaterede brunstilfælde i perioden,
vises med blå fuldtoptrukken linie. Tidspunkter for de konstaterede brunsttilfælde vises med
lodrette stiplede lyserøde linier. Figurerne er, ligesom for de normale køer, alle plottet med den
samme skala på y-aksen i skalaen fra 0 til 100. For x-aksen gælder de samme forhold som for de
normale køer.
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
20406080
100My_24, ko nr.34, race JER, født: 24.10.2000, ins: 7.4.2006 , kælvning: 25.10.2005
Aktiv
itets
inde
ks
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
20406080
100
Aktiv
itets
inde
ks
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
20406080
100
Tid (dato)
Aktiv
itets
inde
ks
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
20406080
100My_24, ko nr.224, race RDM, født: 9.1.2002, ins: 2.5.2006 , kælvning: 10.8.2005
Aktiv
itets
inde
ks
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
20406080
100
Aktiv
itets
inde
ks
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
20406080
100
Tid (dato)
Aktiv
itets
inde
ks
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
155
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
20406080
100My_24, ko nr.307, race RDM, født: 27.7.2002, ins: 18.4.2006 , kælvning: 22.1.2006
Aktiv
itets
inde
ks
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
20406080
100
Aktiv
itets
inde
ks
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
20406080
100
Tid (dato)
Aktiv
itets
inde
ks
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
20406080
100My_24, ko nr.334, race RDM, født: 12.10.2002, ins: 4.9.2006 , kælvning: 12.11.2005
Aktiv
itets
inde
ks
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
20406080
100
Aktiv
itets
inde
ks
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
20406080
100
Tid (dato)
Aktiv
itets
inde
ks
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
20406080
100My_24, ko nr.353, race RDM, født: 24.11.2002, ins: 5.5.2006 , kælvning: 21.1.2006
Aktiv
itets
inde
ks
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
20406080
100
Aktiv
itets
inde
ks
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
20406080
100
Tid (dato)
Aktiv
itets
inde
ks
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
20406080
100My_24, ko nr.371, race RDM, født: 7.1.2003, ins: 8.7.2006 , kælvning: 22.9.2005
Aktiv
itets
inde
ks
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
20406080
100
Aktiv
itets
inde
ks
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
20406080
100
Tid (dato)
Aktiv
itets
inde
ks
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
20406080
100My_24, ko nr.373, race JER, født: 13.1.2003, ins: 10.6.2006 , kælvning: 12.2.2006
Aktiv
itets
inde
ks
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
20406080
100
Aktiv
itets
inde
ks
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
20406080
100
Tid (dato)
Aktiv
itets
inde
ks
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
20406080
100My_24, ko nr.494, race SDM, født: 17.8.2003, ins: 14.6.2006 , kælvning: 18.8.2005
Aktiv
itets
inde
ks
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
20406080
100
Aktiv
itets
inde
ks
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
20406080
100
Tid (dato)
Aktiv
itets
inde
ks
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
156
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
20406080
100My_24, ko nr.1198, race RDM, født: 4.3.2001, ins: 2.6.2006 , kælvning: 10.9.2005
Aktiv
itets
inde
ks
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
20406080
100
Aktiv
itets
inde
ks
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
20406080
100
Tid (dato)
Aktiv
itets
inde
ks
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
20406080
100My_24, ko nr.1246, race SDM, født: 14.11.2000, ins: 1.9.2006 , kælvning: 22.10.2005
Aktiv
itets
inde
ks
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
20406080
100
Aktiv
itets
inde
ks
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
20406080
100
Tid (dato)
Aktiv
itets
inde
ks
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
20406080
100My_24, ko nr.1253, race JER, født: 11.4.2001, ins: 25.6.2006 , kælvning: 27.2.2006
Aktiv
itets
inde
ks
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
20406080
100
Aktiv
itets
inde
ks
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
20406080
100
Tid (dato)
Aktiv
itets
inde
ks
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.60
50
100
150
200My_24, ko nr.244, race RDM, født: 19.2.2002, ins: 11.9.2006 , kælvning: 24.1.2006
Aktiv
itets
inde
ks
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.80
50
100
150
200
Aktiv
itets
inde
ks
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.100
50
100
150
200
Tid (dato)
Aktiv
itets
inde
ks
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
157
Bilag D Følgende figurer viser et 5 døgns område omkring samtlige brunsttilfælde for de 12 inseminerede
køer. De plottede brunstdata er fået fra kompenseret logaritmisk transformeret rådata filtreret med
det i afsnit 6.5.3 designede filter.
0 20 40 60 80 100 120-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0Brunst 1 ko 224
0 20 40 60 80 100 120-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0Brunst 2 ko 224
0 20 40 60 80 100 120-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0Brunst 1 ko 307
0 20 40 60 80 100 120-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0Brunst 1 ko 34
0 20 40 60 80 100 120-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0Brunst 1 ko 334
0 20 40 60 80 100 120-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0Brunst 2 ko 334
0 20 40 60 80 100 120-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0Brunst 3 ko 334
0 20 40 60 80 100 120-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0Brunst 4 ko 334
0 20 40 60 80 100 120-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0Brunst 5 ko 334
0 20 40 60 80 100 120-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0Brunst 6 ko 334
0 20 40 60 80 100 120-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0Brunst 7 ko 334
0 20 40 60 80 100 120-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0Brunst 1 ko 353
0 20 40 60 80 100 120-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0Brunst 2 ko 353
0 20 40 60 80 100 120-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0Brunst 1 ko 371
0 20 40 60 80 100 120-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0Brunst 2 ko 371
0 20 40 60 80 100 120-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0Brunst 1 ko 373
0 20 40 60 80 100 120-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0Brunst 2 ko 373
0 20 40 60 80 100 120-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0Brunst 3 ko 373
0 20 40 60 80 100 120-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0Brunst 4 ko 373
0 20 40 60 80 100 120-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0Brunst 1 ko 494
0 20 40 60 80 100 120-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0Brunst 2 ko 494
0 20 40 60 80 100 120-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0Brunst 3 ko 494
0 20 40 60 80 100 120-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0Brunst 4 ko 494
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
158
0 20 40 60 80 100 120-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.81.0
Brunst 1 ko 1198
0 20 40 60 80 100 120-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.81.0
Brunst 2 ko 1198
0 20 40 60 80 100 120-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.81.0
Brunst 3 ko 1198
0 20 40 60 80 100 120-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.81.0
Brunst 4 ko 1198
0 20 40 60 80 100 120-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0Brunst 1 ko 1246
0 20 40 60 80 100 120-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0Brunst 2 ko 1246
0 20 40 60 80 100 120-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0Brunst 3 ko 1246
0 20 40 60 80 100 120-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0Brunst 4 ko 1246
0 20 40 60 80 100 120-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0Brunst 5 ko 1246
0 20 40 60 80 100 120-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0Brunst 6 ko 1246
0 20 40 60 80 100 120-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0Brunst 7 ko 1246
0 20 40 60 80 100 120-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0Brunst 8 ko 1246
0 20 40 60 80 100 120-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0Brunst 9 ko 1246
0 20 40 60 80 100 120-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0Brunst 1 ko 1253
0 20 40 60 80 100 120-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0Brunst 2 ko 1253
0 20 40 60 80 100 120-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0Brunst 3 ko 1253
0 20 40 60 80 100 120-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0Brunst 4 ko 1253
0 20 40 60 80 100 120-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0Brunst 1 ko 244
0 20 40 60 80 100 120-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0Brunst 2 ko 244
0 20 40 60 80 100 120-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0Brunst 3 ko 244
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
159
Bilag E Recursive Least Squares parameterestimeringer for ko nr. 358.
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.6203040506070
Ko nr. 358 my0
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.8203040506070
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.10203040506070
Tid (dato)
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.6-30-20-10
0102030
Ko nr. 358 A1
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.8-30-20-10
0102030
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.10-30-20-10
0102030
Tid (dato)
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.6-30-20-10
0102030
Ko nr. 358 B1
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.8-30-20-10
0102030
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.10-30-20-10
0102030
Tid (dato)
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.6-30-20-10
0102030
Ko nr. 358 A2
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.8-30-20-10
0102030
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.10-30-20-10
0102030
Tid (dato)
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.6-30-20-10
0102030
Ko nr. 358 B2
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.8-30-20-10
0102030
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.10-30-20-10
0102030
Tid (dato)
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
160
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.6-30-20-10
0102030
Ko nr. 358 A3
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.8-30-20-10
0102030
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.10-30-20-10
0102030
Tid (dato)
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.6-30-20-10
0102030
Ko nr. 358 B3
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.8-30-20-10
0102030
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.10-30-20-10
0102030
Tid (dato)
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.6-30-20-10
0102030
Ko nr. 358 A4
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.8-30-20-10
0102030
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.10-30-20-10
0102030
Tid (dato)
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.6-30-20-10
0102030
Ko nr. 358 B4
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.8-30-20-10
0102030
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.10-30-20-10
0102030
Tid (dato)
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.6-30-20-10
0102030
Ko nr. 358 A5
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.8-30-20-10
0102030
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.10-30-20-10
0102030
Tid (dato)
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.6-30-20-10
0102030
Ko nr. 358 B5
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.8-30-20-10
0102030
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.10-30-20-10
0102030
Tid (dato)
Danmarks Tekniske Universitet 2007 Automatisk diagnose af velfærd udfra måling af bevægelsesmønstre
161
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.6-30-20-10
0102030
Ko nr. 358 A6
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.8-30-20-10
0102030
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.10-30-20-10
0102030
Tid (dato)
1.4 8.4 15.4 22.4 29.4 6.5 13.5 20.5 27.5 3.6 11.6-30-20-10
0102030
Ko nr. 358 B6
5.6 12.6 19.6 26.6 3.7 10.7 17.7 24.7 31.7 7.8 15.8-30-20-10
0102030
9.8 16.8 23.8 30.8 6.9 13.9 20.9 27.9 4.10 11.10 19.10-30-20-10
0102030
Tid (dato)
top related