aula produto vetorial

Aula 03

Dependência e Independência Linear e Produto Vetorial

Vetores colinearesDois vetores são colineares se tiverem a

mesma direção.U

VV

U V

Vetores LDsIsso acontece se, e somente se, existe um

número real tal que ou .

Diremos, então, que um vetor é escrito como combinação linear do outro, e neste caso, os vetores e são ditos linearmente dependentes.

U V V U

Vetores LIs

Quando tomamos dois vetores nos quais não é possível escrever um vetor como combinação linear do outro, dizemos que os vetores são linearmente independentes.

Neste caso os dois vetores não são colineares mas são coplanares, isto é, possuem representantes pertencentes a um mesmo plano .

U

V

Vetores LIsSe e são linearmente independentes,

então, todos os vetores da forma podem ser representados sobre um mesmo

plano, e reciprocamente.

U

V

W U V U

V

U VU V

Vetores LIsToda combinação linear de dois vetores LIs

pode ser representada sobre o plano .

Por essa razão, se os dois vetores são linearmente independentes, diremos que eles geram um plano.

Componentes de um vetorSe um vetor se escreve como uma

combinação linear , diremos que os vetores e são componentes do vetor na direção dos vetores e .

Os escalares e são as coordenadas de em termos aos vetores e .

WU V

U VW U V

WU V

Três vetores coplanaresSe os vetores , e possuem

representantes pertencentes em um mesmo plano , dizemos que eles são coplanares.

WU V

U V

W

ObservaçãoDois vetores quaisquer são sempre

coplanares, pois sempre podemos tomar um ponto do espaço e, com origem nele, imaginar os dois representantes pertencendo a um plano que passa por esse ponto.

Três vetores podem ser ou não complanares.

Obeservação

UV

W

1

V

W

3 vetores LDs 3 vetores LIs

BaseSe três vetores do espaço são linearmente

independentes, então eles geram o espaço.

Um conjunto de três vetores linearmente independentes chama-se uma base para o espaço dos vetores.

A base que consiste dos vetores , e , nessa ordem, será indicada por .

WU V{ , , }U V W

Base ortonormalUma base chama-se ortogonal se

os seus vetores são mutuamente ortogonais, isto é, se

Se, além disso, os vetores são unitários, a base chama-se ortonormal.

{ , , }U V W

0.U V U W V W

Base canônicaA base canônica do espaço tridimensional é

formada pelos vetores , e , ou seja, é uma base ortonormal.

Todo vetor pode ser escrito como uma combinação linear de e .

(1,0,0)i

(0,1,0)j

(0,0,1)k

{ , , }B i j k

,i j

k

ExemploDados e determine:a) b) c) d)Solução:

(1,2, 2)U 6 2 3V i j k

|| ||U || ||V U V Vproj U

2 2 2|| || 1 2 ( 2) 1 4 4 9 3U 2 2 2|| || 6 ( 2) 3 36 4 9 49 7V

(1,2, 2).(6, 2,3) 6 4 6 4U V

2 2

4 24 8 12(6, 2,3) , ,|| || 7 49 49 49VU Vproj U VV

Produto vetorialNós iremos definir agora um tipo de

multiplicação vetorial que produz um vetor como produto, mas que é aplicável somente ao espaço tridimensional.

DefiniçãoSe e são vetores

no espaço tridimensional, então o produto vetorial é o vetor definido por

ou em notação de determinante,

1 2 3( , , )U u u u 1 2 3( , , )V v v v

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1( , , )U V u v u v u v u v u v u v

2 3 1 3 1 2

2 3 1 3 1 2

, , (1)u u u u u u

U Vv v v v v v

ObservaçãoEm vez de memorizar as fórmulas, você pode

obter os componentes de como segue:• Forme a matriz 2 x 3 dada por

cuja primeira linha contém os componentes de e cuja segunda linha contém os componentes de .

2 31

2 31

u uuv vv

Observação• Para obter o primeiro componente de ,

descarte a primeira coluna e tome o determinante;

• Para obter o segundo componente, descarte a segunda coluna e tome o negativo do determinante;

• Para obter o terceiro componente, descarte a terceira coluna e tome o determinante.

ExemploSe e calcule e

.Solução:

(2, 1, 1)U V i j k

U VV U

1 1 2 1 2 1, , (0,3,3) 3 3

1 1 1 1 1 1U V j k

1 1 1 1 1 1, , (0, 3, 3) 3 3

1 1 2 1 2 1V U j k

Abuso de notaçãoO produto vetorial de e

pode ser representado simbolicamente como um determinante 3x3:

1 2 3( , , )U u u u1 2 3( , , )V v v v

1 2 3

1 2 3

i j kU V u u u

v v v

2 3 1 3 1 2

2 3 1 3 1 2

u u u u u ui j k

v v v v v v

ExemploSe e calcule .Solução:

(2, 1, 1)U V i j k

U V

2 1 11 1 1

i j kU V

3 3j k

ObservaçãoOs vetores canônicos satisfazem:

Propriedades do Produto VetorialSejam U, V e W vetores no espaço e um

escalar.

Relações entre Produtos Escalar e Vetorial

Sejam U e V vetores do espaço, então: ) ( ) 0i U U V

) ( ) 0ii V U V

2 2 2 2) || || || || || || ( )iii U V U V U V (Id. de Lagrange)

) ( ) ( ) ( )iv U V W U W V U V W

)( ) ( ) ( )v U V W U W V V W U

Observação

mostram que o vetor é ortogonal simultaneamente a e a .

Deobtemos

) ( ) 0i U U V ) ( ) 0ii V U V

U VU V

2 2 2 2) || || || || || || ( )iii U V U V U V

2 2 2 2 2 2|| || || || || || || || || || cosU V U V U V 2 2 2|| || || || (1 cos )U V 2 2 2|| || || || senU V

|| || || || || || senU V U V

Regra da mão direitaSe e são vetores não-nulos, pode ser

mostrado que o sentido de pode ser determinado usando a "regra da mão direita"!

u v

u v

ResumindoSe U e V são vetores não-nulos, então:I) O vetor é ortogonal simultaneamente a

e a .

II)

III) O sentido de pode ser determinado usando a “regra da mão direita”.

U VU V

|| || || || || || senU V U V

U V

Interpretação Geométrica do Produto Vetorial

U

V

parA base altura

senparA U V

parA U V

2tri

U VA

senV

ExemploCalcule a área do triângulo de vértices A(-1, 0, 2), B(-4, 1, 1) e C(0, 1, 3).Solução:12

A AB AC

( 3,1, 1)AB

( 1,1,1)AC

3 1 11 1 1

i j kAB AC

2 4 2i j k

1 2 62

A 6 . .u a

Obrigado !

Obrigado!

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