apuntes algebra ini 2015
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UNIVERSIDAD DE VALPARASO
UNIVERSIDAD DE VALPARASO
ESCUELA DE NEGOCIOS INTERNACIONALES
APUNTES Y EJERCICIOS DE LGEBRA FUNDAMENTAL
(Primera Parte)
a) Trminos semejantesb) Simplificacin
c) Factorizacin
d) Operatoria con expresiones fraccionarias
e) Potencias
f) Races
HUMBERTO CCERES MILNES
Nota: En el resto del anlisis supondremos que todas las expresiones son reales.
1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Es una combinacin de nmeros y letras relacionados con operaciones
de suma, resta, multiplicacin, divisin y a veces tambin por medio de
potencias, races, exponenciacin y logaritmacin.
EJEMPLOS
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4
TRMINO
Las partes que se suman o restan de una expresin algebraica se llaman
trminos. El trmino es la unidad fundamental operativa del lgebra. El
trmino contiene las operaciones bsicas de multiplicacin y divisin.
EJEMPLOS
EMBED Equation.DSMT4
3. PARTES DE UN TRMINO
Consta de una parte numrica y otra literal
-9 representa el coeficiente numrico.
EMBED Equation.DSMT4 -9xy4
xy4 representa el coeficiente literal.
El coeficiente literal se ordena alfabticamente.
TRMINOS SEMEJANTES
Son aquellos que poseen la misma parte literal, es decir, los mismos
literales elevados a los mismos exponentes.
EJEMPLOS
EMBED Equation.DSMT4
NMERO DE TRMINOS DE UNA
EXPRESIN ALGEBRAICA
Segn el nmero de trminos que posee una expresin algebraica
tenemos:
MONOMIOS 5x xyz3 4ab
BINOMIOS a - b 7x 1 8m + 3n
TRINOMIOS x + y z a2 + 2ab + b2
MULTINOMIOS a + 3b 4c + 1
Importante: Los trminos se separan con los signos + y/o -
POLINOMIOS
Los polinomios estn formados por trminos cuyos coeficientes literales
contienen exclusivamente exponentes enteros positivos.
Forma general de un polinomio:
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + + anxn.
en donde ai EMBED Equation.DSMT4 R, i = 0, 1, 2, ..., n. n EMBED Equation.DSMT4 N0
x5 2x3 + 7x2 4x + 1 Es polinomio
EMBED Equation.DSMT4 No es polinomio.
PARNTESIS (Signos de agrupacin)
TIPOS SIMBOLOGIA EJEMPLOS
Redondo EMBED Equation.DSMT4 - ( 5x + 2 )
PARENTESIS
Corchete EMBED Equation.DSMT4 [ 3x - 8 ]
Llaves { } { 6 - x }
Angular EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4
ELIMINACIN DE PARNTESIS
CASO I Cuando el signo ( + ) antecede al parntesis no interviene en la
operacin:
+(x-3y) = x-3y
CASO II Cuando el signo ( - ) antecede al parntesis si interviene en la
operacin:
-(4x-1) = -4x (-1) = -4x + 1
CASO III Presencia de parntesis dentro de parntesis. Estas expresiones se
resuelven desde el interior hacia el exterior de los parntesis:
- {8x-[x-4(3-x)+1]} = - {8x-[x-12+4x+1]} =
= - {8x-[5x-11]} = - {8x-5x+11} =
= - 8x+5x-11 =
= - 3x-11.
9. REDUCCIN DE TRMINOS SEMEJANTES
Consiste en sumar y/o restar los coeficientes numricos conservando el factor
literal comn.
REDUCIR:
(3x-1)+(x+1)-(2x-3)+4
Eliminando parntesis: 3x-1+x+1-2x+3+4
Ordenando : 3x+x-2x-1+1+3+4
Reduciendo : 2x + 7.
[2(a-b)-(a+b+3)]-(2a-5b+4)
Eliminando parntesis: 2a-2b-a-b-3-2a+5b-4
Ordenando : 2a-a-2a-2b-b+5b-3-4
Reduciendo : -a + 2b 7.
-{-3+4x-y-2[z+y-2x+(7-3z)-4(x-y)-3]}
Eliminando parntesis : -{-3+4x-y-2[z+y-2x+7-3z -4x+4y-3]}
: -{-3+4x-y-2z-2y+4x-14+6z+8x-8y+6}
: 3-4x+y+2z+2y-4x+14-6z-8x+8y-6
Ordenando : -4x-4x-8x+y+2y+8y+2z-6z+3+14-6
Reduciendo : -16x + 11y 4z + 11.
Con una mayor prctica, el proceso de reduccin se puede ir efectuando a medida que se van eliminando los parntesis.
PRODUCTOS NOTABLES
Representan casos de inters de multiplicacin de polinomios
Monomio por polinomio a(c + d e) = ac + ad - ae
Binomio por binomio (a + b)(c d) = ac ad + bc - bd
Polinomio por polinomio ( a + b c)(d e) = ad ae + bd be cd + ce
Cuadrado del binomio (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a b)2 = a2 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Cubo del binomio (a - b)3 = a3 3a2b + 3ab2 - b3
Suma por diferencia (a + b)(a b) = a2 b2
Ejercicios:
(-6x3y)(-2xy4) = (-6)(-2) (x3x)(yy4) = 12x4y5.
(ab)(4a2b3)(-7ab4) = -28(aa2a)(bb3b4) = -28a4b8.
4x(3-x) = 4x3 4xx = 12x-4x2.
-8(3a -2b) = -83a - 8(-2b) = -24a + 16b.
(7x 2y)(4x y2) = 28x2 7xy2 8xy + 2y3.
(2c + b)(3c b) = 6c2 -2bc +3bc b2 = 6c2 + bc b2
(4p q)2 = 16p2 24pq + q2 = 16p2 8pq + q2.
(5x + 7y2)2 = 25x2 + 25x7y2 + 49y4 = 25x2 + 70xy2 + 49y4.
(4c d)(4c + d) = (4c)2 (d)2 = 16c2 d2.
(5x +2y)(5x 2y) = (5x)2 (2y)2 = 25x2 4y2.
(3x 2z)3 = (3x)3 3(3x)22z + 3(3x)(2z)2 (2z)3 =
= 27x3 18x2z + 36xz2 8z3.
DESCOMPOSICIN EN FACTORES
FACTORIZAR
Factorizar una expresin algebraica consiste en expresarla slo a travs
de productos. Los casos ms comunes son los siguientes:
Factor comn monomio ab ac + ad = a(b c + d)
a2 2ab + b2 = (a b)2
Trinomio cuadrado perfecto 9x2 24xy + 16y2 = (3x 4y)2
a2 - b2 = (a + b)(a b)
Forma a2 EMBED Equation.DSMT4 b2
a2 + b2 no es factorizable en R.
Trinomio tipo:
x2 + bx + c x2 + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q)
a3 + b3 = (a + b)(a2 ab + b2)
Forma a3 EMBED Equation.DSMT4 b3
a3 b3 = (a b)(a2 + ab +b2)
EJEMPLOS:
6x 3y = 3(2x y)
9a2 + 27ab = 9a(a + 3b)
5x3y 10x2y2 = 5xy(x2 2xy)
x2 + 6x + 9 = (x + 3)2
x2 + 8x + 16 = (x + 4)2
x2 14x + 49 = (x 7)2
9x2 y2 = (3x + y)(3x y)
4x2 -49 = (2x + 7)(2x 7)
x3 + 1 = (x + 1)(x2 x + 1)
p6 64 = (p2)3 43 = (p2 4)(p4 +4p2 + 16) =
= (p + 2)(p 2)(p4 + 4p2 + 16)
x2 7x + 6 = (x -1)(x - 6)
x2 + 9x + 20 = (x + 5)(x + 4)
6x2 + 17x + 12 = (2x + 3)(3x + 4)
2x2 + 5x + 3 = (2x + 3)(x + 1)
6x2 11xy 10y2 = (3x + 2y)(2x 5y)
3x3 + 9x2 + x + 3 = 3x2(x + 3) + 1(x + 3) = (x + 3)(3x2 + 1)
3x 2y + 15xz 10yz = 3x 2y + 5z(3x 2y) =
= (3x 2y)(1 + 5z).
EJERCICIOS: Factorizar las siguientes expresiones:
1.) 7x 14x3 2.) 8x3 + 4x2 16x
3.) 6x6 + 12x5 18x4 + 30x2 4.) 12y9 4y6 + 6y5 + 8y4
5.) x3 + 3x2 + x + 3 6.) 4x3 + 6x2 + 2x + 3
7.) 6a 5b + 12ad 10bd 8.) x2 y 3x2z + 3yz
9.) x2 + 10x + 21 10.) y2 - 4y 12
11.) x2 12x + 27 12.) x2 + 13x + 22
13.) 4y2 11y + 6 14.) 6x2 + x 12
15.) 36y2 12y 15 16.) 18y2 21y 9
17.) 12x2 + 28xy + 8y2 18.) 3x2 + 13xy 10y2
19.) 6ab2 + 5ab + a 20.) 6bc2 + 13bc + 6b
21.) 6x5y + 25x4y2 + 4x3y3 22 ) 12p4q3 + 11p3q4 + 2p2q5.
23.) 16x2 81 24.) 81x2 25y2
25.) x4 1 26.) 16x6 9
27.) EMBED Equation.DSMT4 28.) EMBED Equation.DSMT4
29.) 7t3 63t 30.) 2y3 72y
31.) 27r3 8s3 32.) 8x5 x2y3
33.) 64y3 + 27x9 34.) 125m6n9 + 1
REGLAS DE LA OPERATORIA CON
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Son las mismas usadas en la operaciones bsicas de las fracciones aritmticas:
EMBED Equation.DSMT4
Se destaca la regla: El valor de una fraccin no se altera al multiplicar o dividir el numerador y el denominador por una misma cantidad, siempre que sta sea diferente de cero.
EJEMPLO:
EMBED Equation.DSMT4
12 FRACCIONES ALGEBRAICAS
Las fracciones algebraicas a estudiar en este punto son las fracciones racionales, es decir, aquellas que no tienen exponentes fraccionarios tanto en el numerador como en el denominador.
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4
14. SIMPLIFICACION DE FRACCIONES (Reduccin)
Consiste en transformar una fraccin en otra que sea equivalente y que se caracterice por ser irreductible. El procedimiento fundamental es factorizar cada fraccin al mximo y, posteriormente, simplificar los factores comunes.
Ejemplo: Simplificar: EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
NOTA: Es importante establecer la condicin EMBED Equation.DSMT4 para efectuar la simplificacin ya que EMBED Equation.DSMT4 no es una expresin definida en los reales.
Ejercicios. Simplificar al mximo:
1.) EMBED Equation.DSMT4 2.) EMBED Equation.DSMT4 3.) EMBED Equation.DSMT4
4.) EMBED Equation.DSMT4 5.) EMBED Equation.DSMT4 6.) EMBED Equation.DSMT4
7.) EMBED Equation.DSMT4 8.) EMBED Equation.DSMT4 9.) EMBED Equation.DSMT4
10.) EMBED Equation.DSMT4 11.) EMBED Equation.DSMT4 12.) EMBED Equation.DSMT4
SIGNOS ASOCIADOS A UNA FRACCIN
Signo de la fraccin signo del numerador
EMBED Equation.DSMT4
Signo del denominador
Ejemplos: 1.) EMBED Equation.DSMT4
2.) EMBED Equation.DSMT4
Ejercicios: simplificar:
1.) EMBED Equation.DSMT4 2.) EMBED Equation.DSMT4 3.) EMBED Equation.DSMT4
4.) EMBED Equation.DSMT4 5.) EMBED Equation.DSMT4 6.) EMBED Equation.DSMT4
SUMA Y RESTA DE FRACCIONES
Caso 1 : Igualdad de denominadores
Ejemplo:
EMBED Equation.DSMT4
Se observa que si el denominador es comn, ste se unifica.
En el numerador se ubican las cantidades presentes en cada
fraccin, atendiendo el signo adelante de dicha fraccin.
Caso 2 : Distinto denominador
Mediante el uso del Mnimo Comn Mltiplo (M.C.M.), las fracciones con diferentes denominadores se transforman en fracciones equivalentes de denominador comn.
Ejemplo: EMBED Equation.DSMT4
a.) Solucin (Mtodo 1)
Clculo del M.C.M.:
MCM (5ab ; a2 ; 15b2) = 15a2b2
EMBED Equation.DSMT4
Solucin (Mtodo 2)
En este caso, hallado el MCM: 15a2b2, se multiplica cada fraccin
(numerador y denominador) por los trminos que faltan para completar el MCM.
EMBED Equation.DSMT4 =
= EMBED Equation.DSMT4
Ejercicios: Operar y reducir:
1.) EMBED Equation.DSMT4 R: EMBED Equation.DSMT4
2.) EMBED Equation.DSMT4 R: EMBED Equation.DSMT4
3.) EMBED Equation.DSMT4 R: EMBED Equation.DSMT4
4.) EMBED Equation.DSMT4 R: EMBED Equation.DSMT4
5.) EMBED Equation.DSMT4 R: EMBED Equation.DSMT4
6.) EMBED Equation.DSMT4 R: 0
7.) EMBED Equation.DSMT4 R: EMBED Equation.DSMT4
8.) EMBED Equation.DSMT4 R: EMBED Equation.DSMT4
9.) EMBED Equation.DSMT4 R: EMBED Equation.DSMT4
10.) EMBED Equation.DSMT4 R: EMBED Equation.DSMT4
11.) EMBED Equation.DSMT4 R: EMBED Equation.DSMT4
12.) EMBED Equation.DSMT4 R: EMBED Equation.DSMT4
13.) EMBED Equation.DSMT4 R: EMBED Equation.DSMT4
MULTIPLICACIN DE FRACCIONES
En general se aplican las reglas:
EMBED Equation.DSMT4
Ejemplos: Operar y reducir:
EMBED Equation.DSMT4
= EMBED Equation.DSMT4
Ejercicios:
1.) EMBED Equation.DSMT4 R: EMBED Equation.DSMT4
2.) EMBED Equation.DSMT4 R: EMBED Equation.DSMT4
3.) EMBED Equation.DSMT4 R: EMBED Equation.DSMT4
4.) EMBED Equation.DSMT4 R: EMBED Equation.DSMT4
5.) EMBED Equation.DSMT4 R: EMBED Equation.DSMT4
6.) EMBED Equation.DSMT4 R: EMBED Equation.DSMT4
7.) EMBED Equation.DSMT4 R: 1
8.) EMBED Equation.DSMT4 R: EMBED Equation.DSMT4
9.) EMBED Equation.DSMT4 R: EMBED Equation.DSMT4
10.) EMBED Equation.DSMT4 R: EMBED Equation.DSMT4
DIVISIN DE FRACCIONES
En general se aplican las reglas:
EMBED Equation.DSMT4
Ejemplos: Operar y reducir:
1.) EMBED Equation.DSMT4
2.) EMBED Equation.DSMT4
3.) EMBED Equation.DSMT4
4.) EMBED Equation.DSMT4
5.) EMBED Equation.DSMT4
FRACCIONES COMPUESTAS
Una fraccin compuesta est formada por una o varias fracciones simples en el numerador y/o denominador.
La operacin de reduccin de fracciones compuestas consiste en identificar y reducir las fracciones simples que la componen.
Ejemplos:
1.- EMBED Equation.DSMT4
2.- EMBED Equation.DSMT4
3.- EMBED Equation.DSMT4
4.- EMBED Equation.DSMT4
Ejercicios: Operar y reducir:
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4
POTENCIAS
Cuando un nmero se multiplica muchas veces por s mismo, se obtiene la potencia del nmero.
Ejemplo: EMBED Equation.DSMT4
Generalizando: Potencia es el producto de varios factores iguales.
exponente bn = bbbb, n veces.
bn EMBED Equation.DSMT4
base
Reglas de las potencias: Para cualquier nmero real a y b y nmero positivo m y n, se tiene que:
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4
Ejercicios: Operar y reducir:
EMBED Equation.DSMT4
SIGNOS DE UNA POTENCIA
1.) Base positiva: Si la base es positiva, la potencia es positiva, es decir, no importa el signo del exponente.
EMBED Equation.DSMT4
Ejemplos: EMBED Equation.DSMT4
Base negativa: Si la base es negativa, el signo de la potencia depende de si el exponente es par o impar.
bn > 0 , si n es par
EMBED Equation.DSMT4
bn < 0 , si n es impar
Ejemplos: EMBED Equation.DSMT4
En resumen:
EMBED Equation.DSMT4
NOTACIN CIENTFICA
La notacin cientfica se usa para expresar en forma abreviada cantidades muy grandes o muy pequeas, tal como se expone a continuacin:
Forma general: EMBED Equation.DSMT4
Escribir un nmero en notacin cientfica: x10n
Mueva la como decimal del nmero
dado de tal modo que haya slo un dgito significativo ( diferente de cero ) a su
izquierda. El nmero resultante es x.
Ej.: 163.800.000 1,63800000
0,000836 8,36
2) Cuente los lugares que movi la coma decimal en el paso 1. Si la coma decimal corri hacia la izquierda, n es positivo. En cambio si la coma se movi hacia la derecha, n es negativo.
Segn los ejemplos:
163.800.000 = 1,638108
0,000836 = 8,3610-4
Se escribe por lo tanto el nmero:
X10n
Procedimiento
Ejercicios
Cifra Paso intermedio Notacin
Convencional ilustrativo cientfica
9.000.000 106 9.000.000 9106
5.300.000.000 109 5.300.000.000 5,3109
0,000000147 10-7 0,000000147 1,4710-7
La distancia aproximada de la Tierra al Sol es de 149.600.000 Km. y la longitud de onda de su luz ultravioleta es de 0,000035 cm. Exprese estas cantidades en notacin cientfica:
149.600.000 Km. = 1,496108 Km.
0,000035 cm. = 3,510-5 cm.
Un jet jumbo tiene un peso de 7,75105 libras, mientras que una araa casera pesa 2,210-4 libras. Exprese estas cantidades en notacin estndar:
7,75105 lbs. = 775.000 lbs.
2,210-4 lbs. = 0,00022 lbs.
RADICALES Y EXPONENTES RACIONALES
Races: Un proceso muy relacionado con la potenciacin es la extraccin de races.
De la geometra se sabe que si una arista de un cubo mide x unidades, su volumen ser x3 unidades cbicas. Si se invierte este proceso, determinamos que si el volumen de un cubo est dado por V unidades cbicas, la longitud de su arista deber ser la raz cbica de V, lo que se expresa por:
EMBED Equation.DSMT4 unidades.
Partes de una raz: Indice de la raz
Signo radical
EMBED Equation.DSMT4 .......... Raz n-sima de A.
Cantidad subradical
Ejemplos:
Raz cbica de 8 = EMBED Equation.DSMT4 = 2, dado que: 23 = 8.
Raz cuarta de 81 = EMBED Equation.DSMT4 = 3, puesto que: 34 = 81.
Raz cuadrada de 25 = EMBED Equation.DSMT4 = 5, ya que: 52 = 25.
Raz quinta de 243 = EMBED Equation.DSMT4 = 3, dado que: 35 = 243.
Raz cbica de 1.000 = EMBED Equation.DSMT4 = 10, puesto que: 103 = 1.000.
Nota: Para un nmero real a y un nmero impar n, slo un nmero real satisface a EMBED Equation.DSMT4 . Este nico nmero se le conoce como la n-sima raz principal de a, o simplemente raz n-sima de a.
En cambio, para un ndice par n, existen dos casos posibles:
1.-Para a negativo, no hay ningn nmero real igual a EMBED Equation.DSMT4 .
Ejemplos: EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4
2.-Para a positivo, existen dos nmeros reales cuya n-sima
potencia es igual a a.
Ejemplos: EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
Importante: Con el fin de tener una raz n-sima, definimos la
raz (principal) EMBED Equation.DSMT4 , como el valor positivo b que satisface a
bn = a.
Se resume este anlisis como sigue:
La raz (principal) n de un nmero real se define como:
EMBED Equation.DSMT4
sujeto a las condiciones:
Nota: Cuando se nos pide la raz de un nmero, damos la raz principal.
a = 0 a > 0 a < 0
n par EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4
n impar EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4
Propiedad de los exponentes racionales.
EMBED Equation.DSMT4
Propiedades de las races:
EMBED Equation.DSMT4
Ejercicios: Operar y reducir cada expresin siguiente:
1.- EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
Ejercicios: Operar y reducir al mximo:
EMBED Equation.DSMT4
Respuestas:
EMBED Equation.DSMT4
Operaciones de racionalizacin :
Al proceso de eliminar un radical de un denominador se le llama racionalizacin del denominador.
Para racionalizar el denominador se multiplica al numerador y al denominador por un factor adecuado que racionalice al denominador, es decir, que deje al denominador libre de radicales. Al factor se le llama factor de racionalizacin.
Los siguientes productos especiales se utilizan para encontrar algunos factores de racionalizacin:
EMBED Equation.DSMT4
Ejercicios: Racionalizar los denominadores:
EMBED Equation.DSMT4
Ejercicios: Racionalizar los denominadores:
EMBED Equation.DSMT4
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