apuntes de algebra y trigonometria 2008-2009a

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Apuntes de Algebra y Trigonometra.

Apuntes de Algebra y Trigonometra.

Universidad Autnoma del Estado de Mxico

Plantel Ignacio Ramrez Calzada

Academia de Matemticas.

Ncleo de formacin: Matemticas.

Apuntes de lgebra y Trigonometra para la asesora en el rea de matemticas.

M. en A. Bernab Gustavo Quintana Galindo.

JUNIO 2009

INDICE.

PRESENTACIN.4

MODULO I TRINGULOS Y CUADRILATEROS..5Tema 1 Elementos de Geometra...51.1 Punto, recta y plano..61.2 ngulo, ngulos congruentes y bisectriz61.3 Clasificacin de los ngulos..61.4 Definicin de tringulo81.5 Clasificacin de tringulos.91.6 Puntos y rectas notables de un tringulo9Tema 2. Semejanza102.1 Razones y proporciones..11

MDULO II RAZONES Y FUNCIONES TRIGONOMTRICAS..12Tema 1. Razones trigonomtricas en un tringulo rectngulo.121.1 Razones trigonomtricas de un ngulo agudo.121.2 ngulos positivos y negativos..121.3 Razones trigonomtricas de un ngulo en posicin normal...131.4 Razones trigonomtricas de ngulos reducidos....151.5 Signos de las funciones trigonomtricas.15Tema 2 Resolucin de tringulos232.1 Tringulo rectngulo....232.2 Tringulo Oblicungulo...25

MDULO III SECTOR CIRCULAR Y GRFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS..30Tema 1. Sector circular..301.1 Definicin de sector circular30Tema 2. Funciones trigonomtrica de arcos..32Tema 3. Grficas de funciones trigonomtricas....33

MDULO IV ECUACIONES TRIGONOMTRICAS34Tema 1. Identidades trigonomtricas..34Tema 2. Ecuaciones trigonomtricas..36

GLOSARIO. 37BIBLIOGRAFIA...41

PRESENTACION

Los presentes Apuntes de lgebra y Trigonometra pretenden apoyar los objetivos de aprendizaje y contenidos de esta asignatura presentando conceptos y definiciones, as como ejercicios resueltos y proponiendo al alumno ejercicios por resolver de uso ms frecuente en los temas a tratar.

El alumno al hacer uso frecuente de estos apuntes encuentra un apoyo acadmico, ya que los conceptos y ejemplos presentados le permitirn hacer ms comprensibles e interesantes la resolucin de los ejercicios en el la aplicacin a los diferentes tipos de problemas. Los conceptos y definiciones que contiene y los ejercicios que resuelva le proveern de un conocimiento bsico del lgebra y Trigonometra, comprendiendo la materia de un modo ms completo. Los apuntes contienen conceptos y ejemplos de tringulos y cuadrilteros, razones y funciones trigonomtricas, sector circular y grficas de las funciones trigonomtricas y ecuaciones trigonomtricas, as como ejercicios de aplicacin de los conocimientos adquiridos en la resolucin de problemas prcticos.

De esta manera, se pretende apoyar la asesora a los estudiantes e ir consolidando materiales de sustento acadmico para el Ncleo de Formacin de Matemticas, por lo que estos apuntes se entregan a los alumnos al inicio del semestre haciendo una revisin personalizada como parte de la clase o en el cubculo como asesora disciplinara.

Con la elaboracin y uso de este material por parte del alumno se busca desarrollar el razonamiento y la habilidad matemtica en el alumno y ampliar la comprensin y utilizacin del lenguaje bsico de las ciencias, lo cual es el propsito del programa de esta asignatura.

MODULO I TRINGULOS Y CUADRILTEROS.

Tema 1 Elementos de Geometra.

Antecedentes histricos.

La geometra fue considerada ciencia a partir de los griegos quienes reemplazaron la observacin y la experiencia por deducciones racionales.

En Babilonia se hicieron estudios de geometra y aproximadamente hace 6000 aos se invento la rueda y se observo la relacin entre su dimetro y su longitud. Estudiaron la astronoma y observando que el ao tiene aproximadamente 360 das dividieron la circunferencia en 360 partes iguales obteniendo el grado sexagesimal.

En Egipto se aplicaron conocimientos geomtricos para intentar medir la tierra, adems se aplica la geometra a la construccin, hace ms de 20 siglos fue construida la gran pirmide, adems realizaron estudios de tringulos y de cuadrados.

Los griegos perfeccionaron los estudios de los egipcios, algunos personajes fueron: Tales de Mileto, Herodoto, Pitgoras, etc.

Tales de Mileto. Siglo VII AC Fundador de la escuela jnica a la que pertenecieron estudiosos de la geometra, estudio la determinacin de distancias inaccesibles, la igualdad de los ngulos de la base en el tringulo issceles, etc.

Pitgoras. Siglo VI AC discpulo de Tales de Mileto y autor de un teorema que lleva su nombre, estudio la suma de los ngulos internos de un tringulo, etc.

Euclides. Siglo IV AC estudio tringulos, rectas paralelas, circunferencias y volmenes de prismas y pirmides Platn. Siglo IV AC divida a la geometras en elemental y superior, la elemental era la que poda resolver problemas con regla y comps, la superior estudiaba problemas donde se aplicaban conocimientos superiores.

Arqumedes 287- 212 AC obtuvo el valor ms aproximado de , el rea de la elipse, el volumen del cono y de la esfera, etc.1.1 Punto, recta y plano.

Punto Geomtrico.- es imaginado tan pequeo que carece de dimensin, los puntos se suelen designar por letras maysculas.

Lnea recta.- es un conjunto de puntos de tal manera que conservan una misma pendiente. Slo puede haber una recta que pase por dos puntos. Adems dos rectas no pueden tener ms que un slo punto comn.

Semirrecta.- si sobre una recta sealamos un punto A se llama semirrecta al conjunto de puntos formada por A y todos los que le siguen o preceden. El punto A es el origen de la semirrecta.

Segmento.- si sobre una recta sealamos dos puntos A y B, se llama segmento al conjunto de puntos comprendidos entre A y B considerndolos adems como los extremos del segmento, generalmente al que se nombre en primer lugar se le llama origen y al otro extremo.

Se considera que la distancia ms corta entre dos puntos es el segmento de recta que los une.

Plano.- es un conjunto infinito de puntos, para determinar a un plano se requieren al menos tres puntos.

1.2 ngulo, ngulos congruentes y bisectriz.

ngulo.- es la abertura formada por dos semirrectas con un mismo origen llamado vrtice, las semirrectas se llaman lados y el ngulo se designa por una letra mayscula o griega dentro del ngulo. Se mide al contrario del sentido del reloj.

Y

X

ngulos congruentes.- se dice que dos ngulos son congruentes cuando tienen la misma forma y tamao.

Bisectriz es la semirrecta que tiene como origen el vrtice y divide al ngulo en dos ngulos iguales.

1.3 Clasificacin de los ngulos.

De acuerdo a su magnitud se clasifican en:

Agudo.- si su magnitud es menor de 90.Recto.- si su magnitud es de 90.Obtuso.- si su magnitud es mayor de 90 y menor de 180.Entrante.- si su magnitud es mayor de 180 y menor de 360.

Tambin se pueden clasificar de acuerdo a la posicin que tienen con respecto a otro ngulo:

Consecutivos: son aquellos que comparten el vrtice y un lado.Complementarios: son los ngulos cuya suma es de 90.Suplementarios: son aquellos cuya suma es de 180.Coterminales: son aquellos con los mismos lados inicial y terminal.

Segn la posicin de los ngulos al interceptarse dos lneas paralelas con una oblicua: B A C D

F E

I H

ngulos opuestos por el vrtice (son iguales) A=C, B=D, E=G y F=H.ngulos correspondientes (son iguales) A=E, B=F, C=G y D=H.ngulos alternos externos (son iguales) B=H y G=A.ngulos alternos internos (son iguales) C=E y D=F.

Sistemas de medidas.

Los ngulos pueden medirse en el sistema sexagesimal en:

Grados: es la trescientosesentava parte de la circunferencia ( ), a su vez el grado se divide en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos.

Existe el sistema centesimal que considera a la circunferencia dividida en 400 partes iguales llamadas grados centesimales, cada grado tiene 100 minutos centesimales y cada minuto 100 segundos centesimales.

Existe otra forma de medir los ngulos y es el sistema circular en donde la unidad es el radin, el cual es el ngulo cuyos lados comprenden un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia.

1 radin = = 57.29 = 57 17 44

Radin = 180 = 1 = 0.01745 radianes.

Ejemplo: Transformar los siguientes ngulos de grados a radianes o viceversa.

a) 60 a radianes.

60 (1) = 60 (0.017 radianes) = 1.04 radianes.

O tambin: 60 = 60 = 1.04 radianes.

b) 90 a radianes.

90 = 90 = 1.57 radianes

c) 0.438 radianes a grados.

Si radianes = 180 entonces 1 radian =

0.438 Rad. = 0.438

0.438 Rad. = 25 5 43

d) Rad. a grados

Rad. =

1.4 Definicin de tringulo.Tringulo.- figura geomtrica formada por tres segmentos de recta de las que cada uno comparte los extremos con los otros dos, tambin se considera un polgono de tres lados cerrado y tres ngulos.

1.5 Clasificacin de tringulos.

De acuerdo con la medida de sus lados.

A) Equilteros: todos sus lados son de la misma magnitud y todos sus ngulos son de la misma medida.

B) Issceles: slo dos de sus lados son de la misma magnitud y tambin slo dos ngulos son iguales.

C) Escaleno: sus tres lados son diferentes y por lo tanto sus ngulos tambin son diferentes.

De acuerdo con la medida de sus ngulos.

A) Acutngulos: si todos su ngulos