apuntes de capitulo 1 y 2 de evaristo de algebra lineal
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Apuntes de Capitulo 1 y 2 de Evaristo de Algebra LinealTRANSCRIPT
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Apuntes de Algebra Lineal 13/04/2012
Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 1
AutorAutorAutorAutorAutorAutorAutorAutor: : : : : : : : LicLicLicLicLicLicLicLic. EVARISTO MAMANI CARLO. EVARISTO MAMANI CARLO. EVARISTO MAMANI CARLO. EVARISTO MAMANI CARLO. EVARISTO MAMANI CARLO. EVARISTO MAMANI CARLO. EVARISTO MAMANI CARLO. EVARISTO MAMANI CARLO
UNIVERISIDAD MAYOR DE SAN ANDRSUNIVERISIDAD MAYOR DE SAN ANDRS
UNIVERSIDAD CATLICA BOLIVIANA SAN PABLOUNIVERSIDAD CATLICA BOLIVIANA SAN PABLO
ESCUELA INDUSTRIAL SUPERIOR PEDRO ESCUELA INDUSTRIAL SUPERIOR PEDRO DOMINGO MURILLODOMINGO MURILLO
APUNTES DE ALGEBRA LINEAL
11Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 22
CAPITULO 1
MATRICES Y DETERMINANTES
1. DEFINICIN
Una matriz es una tabla de mxnelementos dispuestos en m filas y ncolumnas
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 33
Se representan por letrasmaysculas A,B,C,D y a suselementos de la forma aij donde elprimer subndices indica la fila y elsegundo la columna al quepertenece dicho elemento.
Asi pues una matriz ( )ijaA =
Con 1 i m; 1 j m es de la forma
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 44
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Apuntes de Algebra Lineal 13/04/2012
Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 2
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 55
2. ORDEN DE UNA MATRIZUna matriz de m filas y n columnas se dice quetiene DIMENSIN o que es de orden mxn, y alconjunto de todas las matrices de orden mxnlo denotaremos por Rmxn (en el supuesto deque los elementos de la matriz A seanelementos de R).
Dos matrices A,B Rmxn se dice que sonequidimensionales.Dos matrices A,B Rmxn ,se dice que soniguales si:
njymiba ijij ,...,3,2,1,...,3,2,1, ===
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 66
3. MATRIZ FILA Y MATRIZ COLUMNA
Se denomina matriz fila a aquella que constade una nica fila
Se denomina matrizcolumna a aquella queconsta de una nicacolumna
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 77
4. MATRIZ CUADRADA
Se denomina matriz cuadrada de orden n aaquella que tiene n filas y n columnas.
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 88
Se denomina diagonal principal de unamatriz cuadrada a la formada por:
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Apuntes de Algebra Lineal 13/04/2012
Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 3
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 99
5. MATRICES DIAGONALES, ESCALARES Y UNIDAD
Se denomina matriz diagonal a aquellamatriz cuadrada cuyos elementos nodiagonales son todos nulos, es decir:
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 1010
Se denomina matriz escalar a aquellamatriz diagonal cuyos elementosdiagonales son todos iguales.
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 1111
Se denomina matriz unidad de orden n aaquella matriz escalar cuyos elementosdiagonales son todos nulos. Es decir:
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 1212
6. MATRICES TRIANGULARES YESCALONADASSe denomina matriz triangularsuperior(inferior) a aquella matriz cuadradacuyos elementos situados por debajo(encima)de su diagonal principal son todos nulos.
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Apuntes de Algebra Lineal 13/04/2012
Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 4
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 1313
El equivalente para matrices rectangularesde una matriz triangular son lasdenominadas MATRICES ESCALONADASque son aquellas matrices en las que:
jisiaij >= ,0
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 1414
En caso de tratarse de una matriz cuadradase tendra una triangular superior.
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 1515
7. ARITMTICA DE MATRICES.
SUMA DE MATRICES
Sean A,B Rmxn se denomina MATRIZSUMA de A y B y se denota por C=A+B,a la matriz C Rmxn tal que:
njymibac ijijij ,...,3,2,1,...,3,2,1, ==+=
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 1616
PROPIEDADES
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Apuntes de Algebra Lineal 13/04/2012
Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 5
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 1717
Por tanto:
( )+,mxnREs un grupo conmutativo
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 1818
PRODUCTO POR UN ESCALAR
Sean A Rmxn y R se definePRODUCTO POR UN ESCALAR de porA a la matriz Rmxn tal que sus elementosson los de A multiplicados por . Sedenota A.
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 1919 Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 2020
Por tanto: ( ),*,+mxnREs un espacio vectorial sobre el cuerpo Rde los nmeros reales.
Para matrices: ( ),*,+mxnCSera un espacio vectorial sobre el cuerpoC de los nmeros complejos.
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Apuntes de Algebra Lineal 13/04/2012
Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 6
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 2121
PRODUCTO DE MATRICES
Si A Rmxn y B Rnxp (nmero decolumnas de A igual al nmero de filasde B), se define la MATRIZ PRODUCTOde A por B como la matriz C Rmxp talque:
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 2222
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 2323 Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 2424
MATRIZ TRANSPUESTA
Sea A Rmxn . Se denomina MATRIZTRANSPUESTA de A y se denota por ATa la matriz resultante de cambiar,ordenadamente las filas por lascolumnas de la matriz A de tal manera,que si llamamos A=(aij) y AT=(aij),tenemos:
Por lo que si A Rmxn AT Rnxm
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Apuntes de Algebra Lineal 13/04/2012
Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 7
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 2525 Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 2626
8. MATRIZ SIMTRICA
Una matriz cuadrada A se dice que essimtrica si coincide con su transpuesta. (Essimtrica respecto a su diagonal principal)
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 2727
9. MATRIZ ANTISIMTRICA
Una matriz cuadrada A se dice que esantisimtrica si coincide con la opuesta de sutranspuesta. (Los elementos simtricosrespecto de la diagonal principal sonopuestos y su diagonal es de ceros.
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 2828
10. MATRIZ ORTOGONAL
Una matriz cuadrada y no singular se diceORTOGONAL si su transpuesta coincide consu inversa, es decir si AT= A-1 , lo que es lomismo:
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Apuntes de Algebra Lineal 13/04/2012
Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 8
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 2929
11. TRAZA DE UNA MATRIZ
Se define la traza de A y se denota por tr(A)como la suma de los elementos de sudiagonal principal:
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 3030
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 3131
12. TRANSFORMACIONES ELEMENTALESSe denomina transformaciones elementales a ciertastransformciones que se realizan en una matriz y quenos sern de gran utilidad en la resolucin desistemas de ecuaciones lineales as como en otrasoperaciones.
Estas transformaciones modifican de determinadasformas los elementos de una fila o una columna de lamatriz o intercambian dos filas o columnas de esta.Las clasifican en dos grupos:
Transformaciones elementales filaTransformaciones elementales columna
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 3232
12. 1 TRANSFORMACIONES ELEMENTALES FILA
TRANSFORMACIONES Fij:
Intercambian las filas i y j de una A Rmxn .Este efecto se produce al multiplicarPOR LA IZQUIERDA, la matriz A por lamatriz Fij siendo esta el resultado deintercambiar las filas i y j de la matrizIm.
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Apuntes de Algebra Lineal 13/04/2012
Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 9
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 3333
EJEMPLO. Consideremos la matriz:
Para intercambiar las filas 2 y 3aplicamos F23 cuya matriz es:
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 3434
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 3535
Dada una matriz A=(aij) de ordenmxn, se llama:
a) Matriz opuesta a ella a la matrizde orden mxn.
-A=-(aij)=(- aij)
b) Matriz transpuesta a ella, a lamatriz de orden nxm.
At=(at ij)Donde: at ij= aji
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 3636
c) Matriz conjugada a ella, a lamatriz de orden mxn.
( ) ( )ijij aaA ==d) Matriz transconjugada a ella, a lamatriz de orden nxm.
( )jiij
ij
aadonde
aA
=
=
:
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Apuntes de Algebra Lineal 13/04/2012
Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 10
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 3737
TEOREMA
( )( )( )( ) AAd
AAc
AAb
AAa
tt
=
=
=
=
)
)
)
)
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 3838
TEOREMA
Toda matriz cuadrada A puedeexpresarse, de manera nica,como la suma de una matrizsimtrica y una matrizantisimtrica.
( ) ( )tt AATAAS =+=2
1;
2
1
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 3939
DEFINICIN
Para toda matriz A, y n naturaltomaremos:
AAA
AA
IA
nn =
=
=
+1
1
0
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 4040
TEOREMA
Si k y n son enteros no negativosy A matriz cuadrada, se tiene:
knkn AAA =+
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Apuntes de Algebra Lineal 13/04/2012
Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 11
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 4141
COROLARIO
Si n es entero positivo, se tiene:
( ) ( )nttn AA =( ) ( ) ( )ntttttttn AAAAAAAAAAAA === .........
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 4242
DEFINICIN
Una matriz cuadrada A0, se dicenulpotente si existe un enteropositivo p, tal que:
0=pAUna matriz cuadrada A0, se diceperiodica si existe un enteropositivo p, tal que:
AA p =+1
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 4343
El menor entero p que verifique laigualdad precedente se dirperiodo de la matriz.Particularmente si A2=A, lamatriz se dice IDEMPOTENTE.
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 4444
INVERSA DE UNA MATRIZCUADRADASean A y B dos matrices de nxn.Suponga que: IBAAB ==Entonces B se llama la inversa deA y se denota por A-1 . Entoncesse tiene:
IAAAA == 11Si A tiene inversa, se dice que Aes invertible.
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Apuntes de Algebra Lineal 13/04/2012
Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 12
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 4545
Una matriz cuadrada que no esinvertible se llama singular y unamatriz invertible se llama nosingular.TEOREMASi una matriz A es invertible,entonces su inversa es nica.TEOREMASean A y B dos matricesinvertibles de nxn. Entonces ABes invertible y:
( ) 111 = ABABAutor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 4646
PROCEDIMIENTO PARAENCONTRAR LA INVERSA DE UNAMATRIZ CUADRADA A1) Se escribe la matriz aumentada (A|I).2) Se utiliza la reduccin por renglones para
poner la matriz A a su forma escalonadareducida por renglones.
3) Se decide si A es invertible:3.1 Si la forma escalonada reducida por
renglones de A es la matriz identidad I,entonces A-1 es la matriz que se tiene a laderecha de la barra vertical.
3.2 Si la reduccin de A conduce a un renglonde ceros a la izquierda de la barravertical, entonces A no es invertible.
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 4747
TEOREMASea A una matriz de 2x2,entonces:1) A es invertible si y solo si:
det(A)0.2) Si det(A)0, entonces:
( )
=1121
12221
det
1
aa
aa
AA
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 4848
DETERMINANTES
1. DETERMINANTE DE 2X2Sea:
=
2221
1211
aa
aaA
Se define el determinante de Apor: ( ) 21122211det aaaaA =
-
Apuntes de Algebra Lineal 13/04/2012
Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 13
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 4949
Se denota det(A) por:
2221
1211||
aa
aaA
2. DETERMINANTE DE 3X3Sea:
=
333231
232221
311211
aaa
aaa
aaa
A
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 5050
( )
3231
222113
3331
232112
3332
232211det
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaaAA
+
==
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 5151
DEFINICINMenor: Sea A una matriz de nxn ysea Mij la matriz de (n-1)x(n-1)obtenida de A eliminando elrenglon i y la columna j. Mij sellama el menor ij de A.DEFINICINCofactor: Sea A una matriz nxn. Elcofactor ij de A, denotado por Aijest dado por: ( ) ijjiij MA += 1
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 5252
DEFINICIN
Determinante nxn: Sea A unamatriz de nxn. Entonces eldeterminante de A, denotado pordet(A) o |A|, est dado por:
( )( ) =
==
+++==nk
kkk
nn
AaA
AaAaAaAA
111
1112121111
det
....det
La expresin en el lado derecho sellama expresin por cofactores.
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Apuntes de Algebra Lineal 13/04/2012
Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 14
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 5353
TEOREMASea A=(aij) una matriz de nxntriangular superior o inferior.Entonces:
( ) nnaaaaA = 332211detPROPIEDADES DE LOSDETERMINANTES
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 5454
TEOREMA 1Sean A y B dos matrices de nxn.Entonces:
( ) ( ) ( )BAAB detdetdet =TEOREMA 2
( ) ( )AAt detdet =
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 5555
TEOREMA 3Sea:
( )( ) =
==
+++=nk
kikik
ininiiii
AaA
AaAaAaA
1
2211
det
....det
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 5656
( )( ) =
==
+++=nk
kkjkj
njnjjjjj
AaA
AaAaAaA
1
2211
det
....det
PROPIEDAD 1Si cualquier renglon o columna deA es un vector cero, entoncesdet(A)=0
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Apuntes de Algebra Lineal 13/04/2012
Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 15
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 5757
PROPIEDAD 2
Si el renglon i o la columna j de Ase multiplica por un escalar c,entonces det(A) se multiplica porc.PROPIEDAD 3El intercambio de cualesquierados renglones(o columnas)distintos de A tiene el efecto demultiplicar det(A) por -1.
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 5858
PROPIEDAD 4Si A tiene dos renglones ocolumnas iguales, entoncesdet(A)=0.PROPIEDAD 5Si un rengln(columna) de A esun mltiplo escalar de otrorengln (columna), entoncesdet(A)=0.
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 5959
PROPIEDAD 6Si se suma un mltiplo escalar deun rengln(columna) de A a otrorengln(columna) de A, entoncesel determinante no cambia.
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 6060
PROPIEDAD 7 Sea:
=
nnnjnn
nj
nj
aaaa
aaaa
aaaa
A
......
......
......
......
......
......
21
222221
111211
=
nnnjnn
nj
nj
aaa
aaa
aaa
B
......
......
......
......
......
......
21
222221
111211
+
++
=
nnnjnjnn
njj
njj
aaaa
aaaa
aaaa
C
......
......
......
......
......
......
21
2222221
1111211
Entonces:
( ) ( ) ( )BAC detdetdet +=
-
Apuntes de Algebra Lineal 13/04/2012
Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 16
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 6161
DETERMINANTES E INVERSASTEOREMA
Si A es invertible, entoncesdet(A)0 y:
( ) ( )AA det1
det 1 =
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 6262
DEFINICIN
LA ADJUNTA: Sea una matriz denxn y sea B la matriz de suscofactores. Entonces la adjuntade A escrito como Adj(A) es latranspuesta de la matriz B decofactores, es decir:
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 6363
( )
==
nnnn
n
n
t
AAA
AAA
AAA
BAAdj
...
............
....
....
21
22212
12111
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 6464
TEOREMA
Sea A una matriz de nxn.Entonces A es invertible si y solosi det(A)0. Si det(A)0,entonces:
( ) ( )AAdjAA det11 =
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Apuntes de Electromagnetismo Avanzado
13/04/2012
Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 1
AutorAutorAutorAutorAutorAutorAutorAutor: : : : : : : : LicLicLicLicLicLicLicLic. EVARISTO MAMANI CARLO. EVARISTO MAMANI CARLO. EVARISTO MAMANI CARLO. EVARISTO MAMANI CARLO. EVARISTO MAMANI CARLO. EVARISTO MAMANI CARLO. EVARISTO MAMANI CARLO. EVARISTO MAMANI CARLO
UNIVERISIDAD MAYOR DE SAN ANDRSUNIVERISIDAD MAYOR DE SAN ANDRS
UNIVERSIDAD CATLICA BOLIVIANA SAN PABLOUNIVERSIDAD CATLICA BOLIVIANA SAN PABLO
ESCUELA INDUSTRIAL SUPERIOR PEDRO ESCUELA INDUSTRIAL SUPERIOR PEDRO DOMINGO MURILLODOMINGO MURILLO
APUNTES DE ALGEBRA LINEAL
11Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 22
CAPITULO 2
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
1. NOTACIN Y DEFINICIN
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 33
Clasificacin de sistemas
4
Sistema INCOMPATIBLE
No tiene solucin
Sistema COMPATIBLE S tiene solucin
DETERMINADO: solucin nica INDETERMINADO: infinitassoluciones
51)
1
2x y x y
+ = =
( )1 , 2:Solucin
23)
2 2 0
x y
x y
+ = + =
. .C S =
24)
2 2 4
x y
x y
+ = =
( ){ }. . ,2 :CS x x x=
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Apuntes de Electromagnetismo Avanzado
13/04/2012
Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 2
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 55
Los sistemas lineales admiten unarepresentacin matricial sencillacomo:
Existen varios mtodos para resolver sistemas de Existen varios mtodos para resolver sistemas de
ecuaciones, entre ellos,ecuaciones, entre ellos,
1. Mtodo grfico2. Mtodo de sustitucin
3. Mtodo de Igualacin
4. Metodo de Reduccin
5. Regla de Cramer
6. Mtodo de Gauss
7. Mtodo de Gauss Jordan
8. Metodo de matrices
6
Sistemas de Ecuaciones
Mtodo de Gauss para resolver sistemasEn la matriz ampliada (A|b) se aplican transformaciones elementales hasta llegar a una matriz escalonada que representa un sistema equivalente al inicial. Este nuevo sistema se resuelve por sustitucin regresiva.
( )11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
|
||
|
|
n
n
m m mn m
a a a b
a a a bA b
a a a b
=
L
L
M M M M M
L
matriz ampliada del sistema
|
0 |
0 |
0 0 |
M
L
( )|A b KKKKKKKKKKKKKKtransformaciones
elementales
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 88
2. METODO DE ELIMINACINGAUSSIANA
Ejemplo 1. Sea el sistema:
Sol. La matriz ampliada delsistema es:
-
Apuntes de Electromagnetismo Avanzado
13/04/2012
Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 3
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 99 Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 1010
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 1111
Procedimiento general del mtodo:
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 1212
a) conduce siempre a la solucinel proceso de eliminacingaussiana?
b) bajo que condiciones puedefallar el mtodo?
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Apuntes de Electromagnetismo Avanzado
13/04/2012
Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 4
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo1313
Ejemplo 2. Sea el sistema:
Sol. procedemos a escalonar lamatriz ampliada
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 1414
Sistema equivalente:
Sistema compatible indeterminado
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo1515
Ejemplo 3. Sea el sistema:
Sol. procedemos a escalonar la matrizampliada
Sistemaincompatible
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por
el mtodo de gauss jordan
Paso 1. Se forma la matriz aumentada
Este es el sistema de ecuaciones a resolver
2 3
2 5 4
3 2 2
x y z
x y z
x y z
+ + =+ = =
1 2 1 3
2 5 1 4
3 2 1 2
NOTA IMPORTANTE: El objetivo del mtodo es lograr formar una matriz identidad de esta forma.
1 0 0
0 1 0
0 0 1
a
b
c
Donde el sistema tiene la siguiente solucin:
x = ay = bz = c
-
Apuntes de Electromagnetismo Avanzado
13/04/2012
Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 5
Solucin por el mtodo de gauss jordan
Paso 1. Se forma la matriz aumentada
1 2 1 3
2 5 1 4
3 2 1 2
Paso 2. Como se busca obtener una diagonal de 1 en el primer rengln ya tenemos un nmero 1. Nuestro objetivo ahora ser hacer obtener ceros debajo de este nmero 1
Al numero 1 de la diagonal se le denomina elemento pivote; sobre ste vamos a apoyarnos para hacer ceros los nmeros arriba y debajo de dicho numero con operaciones de eliminacin rengln
[ ]1 2 1 3 1 2 1 3
Solucin por el mtodo de gauss jordan
Columna pivote
Rengln pivote
Seleccionamos el rengln pivote
Seleccionamos un rengln diferente al rengln pivote
2 5 1 4 2 5 1 4
Identificamos Rengln, Columna y elemento pivote
1 2 1 3
2 5 1 4
3 2 1 2
Como el objetivo es hacer 0 el nmero debajo del rengln pivote Por qu nmero debemos multiplicar el rengln pivote?
0
Elemento pivote
(-2) [ ]1 2 1 3 1 2 1 3
Solucin por el mtodo de gauss jordan
2 5 1 4 2 5 1 4
Modificamos el segundo rengln con la operacin de eliminacin rengln
1 2 1 3
2 5 1 4
3 2 1 2
10 -3 -2Ahora modificamos el tercer rengln Por qu nmero multiplicamos el rengln pivote ahora?
[ ]1 2 1 3 1 2 1 3
-80 -4 -7
3 -2 -1 2(-3)
Cmo queda la nueva matriz?
1 2 1 3
0 1 3 2
0 8 4 7
Solucin por el mtodo de gauss jordan
1 2 1 3
0 1 3 2
0 8 4 7
Ya transformamos la primera columna, ahora vamos con la segunda; afortunadamente ya hay un 1 como nuevo elemento pivote
1
1
Qu hacemos ahora? Hay que transformar en ceros los nmeros arriba y abajo del nuevo elemento pivote
[ 0 1 -3 -2 ]
Nuevo rengln pivote
Se repite la eliminacin rengln
0
(-2) 1 2 1 3
1 7 7
[ 0 1 -3 -2 ]
0 -8 -4 -7
(8)
0 0-28
-23
La siguiente matriz queda:
1 0 7 7
0 1 3 2
0 0 28 23
-
Apuntes de Electromagnetismo Avanzado
13/04/2012
Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 6
1 0 7 7
0 1 3 2
0 0 23 / 28
Solucin por el mtodo de gauss jordan
El siguiente elemento pivote es 28; el cual debe ser transformado en 1 sin alterar la ecuacin Cmo lo hacemos?
1 0 7 7
0 1 3 2
0 0 28 23
En otras palabras: Cada rengln representa una ecuacin, si dividimos todo el rengln entre -28 obtenemos el 1 que estamos buscando
Convertimos el elemento pivote en 1 para facilitar las operaciones; dividimos todo el rengln entre el nmero pivote (-28) obteniendo el siguiente resultado
11
11
1
Solucin por el mtodo de gauss jordan
Realizamos la operacin de eliminacin rengln
[ 0 0 1 23/28 ]
1 0 7 7
(-7)
1 0 5/4
1 0 7 7
0 1 3 2
0 0 1 23 / 28
0
[ 0 0 1 23/28 ]
0 1 -3 -2
(3)
0 0 13/28
1
1 0 0 5 / 4
0 1 0 13 / 28
0 0 1 23/ 28
Finalmente la matriz queda
Nuevo rengln pivote
Leyndose el siguiente resultado: x = 5/4 y = 13/28 z = 23/28
Respuestas: x = 5/4 y = 13/28 z = 23/28
Sistema de ecuaciones original
2 3
2 5 4
3 2 2
x y z
x y z
x y z
+ + =+ = =
Solucin por el mtodo de gauss jordan
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 2424
1. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES HOMOGNEOS
Se puede clasificar a los sistemas homogneos en:
-
Apuntes de Electromagnetismo Avanzado
13/04/2012
Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 7
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo2525
Ejemplo 4. Resolver el sistemahomogno:
Sol. procedemos a escalonar la matrizampliada
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 2626
Sistema equivalente:
Teorema de Rouch-Frobenius
27
( ) ( ) | ?rang A rang A b n= =
Dado un sistema de ecuaciones lineales con n incgnitas, se dice:
Sistema COMPATIBLE ( ) ( )|rang A rang A b =( ) ( ) | ?rang A rang A b=
Sistema compatible determinado
Sistema compatible indeterminado
( ) ( )|rang A rang A b n=
-
Apuntes de Electromagnetismo Avanzado
13/04/2012
Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 8
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 2929
Se puede desarrollar un mtodopara encontrar esa solucin sinreduccin por renglones y sincalcular inv(A).Sea D=det(A). Se definen nnuevas matrices:
=
nnnn
n
n
aab
aab
aab
A
...
............
....
....
2
2222
1121
1 .....
=
nnnn
n
n
aba
aba
aba
A
...
............
....
....
1
2221
1111
2
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 3030
Es decir, Ai es la matriz obtenidaremplazando la columna i por deA por b. Por ltimo sea:D1=det(A1), D2=det(A2),,Dn=det(An)
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 3131
TEOREMASea A una matriz de nxn ysuponga que det(A)0. Entoncesla solucin unica del sistemaAx=b est dada por:
D
Dx
D
Dx
D
Dx
D
Dx nn
ii ==== ,...,,....,
22
11
Regla de Cramer
32
1
5 1 1
6 2 7
0 4 9 281
28 28x
A
= = = =
2 1 1
3 2 7 28 0
1 4 9
A
= =
Ejemplo: 2 5
3 2 7 6
4 9 0
x y z
x y z
x y z
+ = = + + =
2
2 5 1
3 6 7
1 0 9 562
28 28y
A
= = = =
3
2 1 5
3 2 6
1 4 0 281
28 28z
A
= = = =
-
Apuntes de Electromagnetismo Avanzado
13/04/2012
Autor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 9
Autor: Lic. Evaristo Mamani CarloAutor: Lic. Evaristo Mamani Carlo 3333
Que puede escribirse en la forma:
bAx =Si det(A)0, entonces el sistematiene una solucin nica dadapor:
bAx 1=
Resolucin mediante la matriz inversa
34
Sea el sistema AX = b, con la matriz A cuadrada (mismo nmero de ecuaciones que de incgnitas). Si existe la matriz inversa de A, entonces la solucin viene dada por:
1X A b= Ejemplo:
2 5
3 2 7 6
4 9 0
x y z
x y z
x y z
+ = = + + =
2 1 1
3 2 7
1 4 9
A
=
1
5 14 13 28 9 28
17 14 19 28 11 28
1 2 1 4 1 4
A
=
1
10 13 9 5 11 34 19 11 6 2
2814 7 7 0 1
X A b
= = =
1
2
1
x
y
z
=
= =