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Aplicaciones de la teoría matemática de la elasticidad
a problemas de geotecnia
(84.07) Mecánica de Suelos y Geología
Alejo O. Sfriso: asfriso@fi.uba.ar
Ernesto Strina: estrina@fi.uba.ar
Índice
• Elasticidad aplicada a geomateriales
• El problema de Boussinesq
• Presión de contacto y asiento de zapatas
• Coeficiente de reacción de la subrasante
• Un ejemplo numérico
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Ap
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ne
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e la
Ela
stic
ida
d
Concepto: un sólido tiene comportamiento elástico si luego de un ciclo de carga y descarga recupera su forma y no disipa energía en forma de trabajo de deformación
La elasticidad lineal isotrópica se escribe como
Tiene dos parámetros materiales: �, �
Ap
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stic
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Elasticidad lineal isotrópica
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� = � � (unidimensional)
��� = ������� + 2����� (general, en componentes)
Deformación plana
Tensión plana
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Elasticidad lineal isotrópica, estados 2D
�̇��
�̇��
�̇��
�̇��
=�
1 − 2� 1 + �
1 − � � � 0� 1 − � � 0� � 1 − � 00 0 0 1 − 2�
��̇��
��̇��
��̇��
��̇��
�̇��
�̇��
�̇��
=�
1 − ��
1 � 0� 1 00 0 1 − �
��̇�
��̇�
��̇�
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Restricciones a los parámetros elásticos
El trabajo de deformación debe ser una función definidapositiva
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�̇ = �: �̇ > 0 ∀�̇
�̇ = ���̇ + ��� ��̇�� = �����̇ + 2����
� ��̇�� > 0∀�̇
�̇ > 0 → � > 0 ∧ � > 0 → � > 0 ∧ −1 < � < 0.5
���� =1 − � �
(1 + �) 1 − 2�� =
�
3 1 − 2�� =
�
2 1 + �
Elasticidad aplicada a problemas geotécnicos
Condiciones necesarias
• Las tensiones inducidas en el terreno son mucho menores a su resistencia(no hay plasticidad por corte)
• Los suelos están sobre-consolidados (no hay plasticidad por compresión)
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resultado
experimental
hiperbola de
Kondner
iE
1
1
1
df
i df
R
E
d
df
u
1f
Índice
• Elasticidad aplicada a geomateriales
• El problema de Boussinesq
• Presión de contacto y asiento de zapatas
• Coeficiente de reacción de la subrasante
• Un ejemplo numérico
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Teoría de Boussinesq para carga puntual
Hipótesis
• El terreno es un sólido elástico tridimensional semi-infinito con parámetros elásticos constantes
• Se aplica una carga concentrada normal a la superficie del terreno
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Teoría de Boussinesq para carga puntual
�� =3�
2���
1
1 +��
�
��
�� =�
2 �
3���
�� + ����
−1 − 2�
�� + �� + � �� + ����
�� = −�
2�1 − 2�
�
�� + ����
−1
�� + �� + � �� + ����
��� =3�
2�
���
�� − ����
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Dibuje la base en escala (AB / Profundidad)
Carta de Newmark
�� =�
200�
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• Vista en planta de un espacio semi-infinito dividido en �elementos
• Cuando se carga cada elemento con una tensión uniforme q, se produce un incremento de tensión vertical �/� a una profundidad �, sobre el centro de la carta
• Se divide el espacio mediante 9 círculos concéntricos en 10 anillos, cada uno de los cual se divide en 20 elementos (200 elementos en total).
• El radio de cada anillo se calcula con la ecuación (incremento de tensión debajo de una carga circular)
Carta de Newmark
�� = � 1 − 1 − �/� � ��/�
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• Cada anillo incrementa la carga vertical �/10. Entonces el radio de cada anillo se calcula como
• Para construir la carta se elige una escala para � que debe quedarindicada
Carta de Newmark
0.1 = 1 − 1 − ��/� � ��/�→ ��/� = 0.27
0.2 = 1 − 1 − ��/� � ��/�→ R�/Z = 0.40
Índice
• Elasticidad aplicada a geomateriales
• El problema de Boussinesq
• Presión de contacto y asiento de zapatas
• Coeficiente de reacción de la subrasante
• Un ejemplo numérico
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Distribución de tensiones bajo zapatas rígidas y flexibles
Zapata rígida
• Asentamiento uniforme
• Mayor presión en los bordes
Zapata flexible
• Presión uniforme
• Mayor asentamiento en el centro
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Teoría de elasticidad rigidez independiente del
confinamiento
Arenasrigidez nula sin confinamiento
Arcillasplastificación
parcial del borde de zapata
Tensiones verticales bajo zapatas en distintos tipos de suelo
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Tensiones bajo una zapata circular, cuadrada y lineal
Circular
Cuadrada Lineal
Se asume rigidez constanteen cada estrato
Se reemplaza la soluciónexacta por una aproximaday se integra
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Método de Schmertmann
�� =1
��∆�� + � ∆�� + ∆��
�� =�
���� � = � ����
�
�
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Método de Schmertmann
� = ������ � − ��� � ���
���
��
��������
� < � 2⁄ → �� = 0.2 1 + 4 � �⁄
� < ���� → �� = 0.6 1 −� − � 2⁄
���� − � 2⁄
���� = 2� 1 + log (� �)⁄�� = 1 − 0.5��� � − ���⁄�� = 1 + 0.2 ��� � 36����⁄�� = 1.03 − 0.03(� �)⁄ ≥ 0.73
� ≤ � 2⁄ → � �� �⁄ ����
��
=1
5 �
z� − z�
� B + 2 z� + ��
� > � 2⁄ → � �� �⁄ ����
��
=3
5 �
z� − z�
(� − 2 ����) z� + �� − 2����
Índice
• Elasticidad aplicada a geomateriales
• El problema de Boussinesq
• Presión de contacto y asiento de zapatas
• Coeficiente de reacción de la subrasante
• Un ejemplo numérico
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Coeficiente de reacción de la subrasante
Cociente entre la presión aplicada sobre una placa rígida y el asentamiento medido
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�� =�
�≅ 1.35
�
��
El coeficiente de reacción depende del tamaño y forma del área cargada
Placa diámetro B0
E constante, base B x L
E creciente con prof, base B x L (fórmula de Terzaghi,obsoleta)
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Coeficiente de reacción de la subrasante – teoría elástica
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���~1.35�
��
��~���
��
�
2
3+
1
3
�
�
��~���
� + ��
2�
�2
3+
1
3
�
�
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Principios de funcionamiento de una viga / platea sobre medio elástico
Una platea sobre medioelástico se resuelve comoun problema de Winkler
Limitaciones
• Existen fuertes acopla-mientos entre “resortes”
• A largo plazo se pro-ducen asentamientosadicionales
��� +�
�= 0
��� +� − �� � �
�= 0
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Principios de funcionamiento de una platea sobre medio elástico
El acoplamiento se considera usualmente mediante una reducción del módulo de reacción de la subrasante en el centro del área cargada
El método es razonable para el diseño estructural
Sus predicciones de asentamiento son pobres
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Coeficiente de reacción para pilotes con carga horizontal
El coeficiente de reacción se emplea para el diseño estructural de pilotes con carga horizontal
Depende de la rigidez del terreno en profundidad
Es: Módulo de Young suelo (puede variar con la profundidad)
Ep: Módulo de Young pilote
ν: Módulo de Poisson del suelo
D: Diámetro/ancho del pilote
Ip: Momento de inercia pilote
�� = 0.65 ·�� · ��
�� · ��
�� ��
1 − ��
Índice
• Elasticidad aplicada a geomateriales
• El problema de Boussinesq
• Presión de contacto y asiento de zapatas
• Coeficiente de reacción de la subrasante
• Un ejemplo numérico (Mathematica)
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Bibliografía
• Básica
– USACE. Settlement analysis.
– Jimenez Salas et al. Geotecnia y Cimientos. Rueda
– Powrie. Soil Mechanics, Concepts and Applications. Spon Press
– Bowles. Foundation analysis and design. McGraw-Hill.
• Complementaria
– Poulos & Davis. Elastic solutions for soil and rock mechanics. CGR Sidney
– FHWA. Soils and foundations (I & II)
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