3. Общая задача Коши Функция Риманаmath.phys.msu.ru/data/27/omm4.pdf ·...
Post on 30-Jul-2020
44 Views
Preview:
TRANSCRIPT
3. Общая задача Коши. Функция
Римана
1.Функция Римана Рассмотрим задачу:
(1)
(2)
(3)
Кривая С – бесконечно гладкая кривая, делящая плоскость (х,у) на
две криволинейные полуплоскости D+ и D- и удовлетворяющая
условиям:
а) кривая С не является характеристикой уравнения (1);
б) любая характеристика уравнения (1) пересекает кривую С
только 1 раз.
( , ), ( , ) ,
( , ) ( , ), ( , ) ,
( , ) ( , ), ( , ) C.
xy
un
u f x y x y D
u x y x y x y C
x y x y x y
В формуле (3) - производная по нормали к кривой С,
направленная внутрь области D+.
Построим формулу, выражающую решение задачи (1) – (3)
в любой точке М области D+.
y
B
D-
D+
D
M A
C
0 X
n
n
Рассмотрим выражение
(4)
где (5)
(6)
Формула Грина:
где
12
,Q P
xy xy x yVu uV
, ,x xP u V V u Vu
, .y yQ u V Vu V u
12
Q Pxy xy x y
D
Vu uV dxdy dxdy
12
,Pdx Qdy
.D D
Рассмотрим интегралы вдоль характеристик АМ и ВМ:
(7)
(8)
(6)-(8)
Пусть u(x,y)-решение задачи (1)-(3), а V(x,y)-решение задачи (10) с данными
на характеристиках (задача Гурса):
2
A A A
x x xM A
M M M
Pdx V u Vu dx Vu Vu V udx
2
M M M
yV y yM B
B B B
Qdy u uV dy Vu Vu uV dy
1
2 2 +A B
B A MVu Vu
xy xy x yM
D A M B
Vu uV dxdy Vu Pdx Qdy V udx uV dy
Функция V=1 в области D удовлетворяет всем условиям задачи (10) и
представляет собой частный случай функции Римана.
Подставим V=1 в (9)
(1)-(3)
(11)
На дуге АВ известны выражения
Формула (11) даёт решение задачи (1)- (3) через входные данные.
0, ( , ) ,xyV x y D
0, 0, ( )=1x yAM BMV V V M
( ) ( ) 12 2
( )
B
u A u B
xy x y
D A
u dxdy u M u dx u dy
( ) ( ) 12 2
( ) ,
B
A B
x y
A D
u M u dx u dy f x y dxdy
cos , cos , , x nu u x u n x sin , sin ,y nu u x u n x
Замечание. Из формулы (11) следует:
1)Теорема единственности решения задачи (1)-(3);
2)Теорема устойчивости решения задачи (1)-(3);
3)Теорема существования решения задачи (1)-(3) (при выполнении
условия гладкости входных данных.
Рассмотрим более общую задачу:
(12)
(13)
(14)
Определение. Два дифференциальных оператора L и K называются
сопряженными, если разность является разностью первых
частных производных по Х и У от некоторых выражений P и Q:
(15)
Причем P не содержит производной Uy, а Q не содержит производной Ux.
, , , , , ,xy x yL u u a x y u b x y u c x y u f x y x y D
, , , , ,u x y x y x y C
, , , , .un
x y x y x y C
VL u uK V
12
,Q Px y
VL u uK V
Сопряженным к оператору L будет оператор K:
(16)
Для операторов L и K выполняется (15) при
(17)
Формула Грина:
(18)
Интегрируем по частям:
(19)
xy x yK V V aV bV cV
, 2 , , 2x x y yP u V uV u V buV Q u V Vu V u auV
1 12 2
Q Px y
D D
VL u uK V dxdy dxdy Pdx Qdy
1 1 12 2 2
A M
M AB B
Pdx Pdx Qdy Qdy
2 ,
A A
M M
Pdx u M V M u A V A P V udx
2 ,
M M
B B
Qdy u M V M u B V B Q V udx
где
(20)
Рассмотрим задачу с данными на характеристиках (задачу Гурса):
на АМ, на MB,
Можно показать, что решение задачи (21) всегда существует. Она называется функцией Римана. Функция V(M,M1) удовлетворяет по координатам точки М1 задаче (21) и зависит от точки М как от параметра.
Интеграл по АВ легко вычисляется, поскольку функции
известны.
Замечание. Любая характеристика уравнения (12) должна пересекать кривую С не более одного раза. Если характеристика пересекает кривую С
в двух точках А и М1, то значение U(M1) не может быть задано произвольно, а определяется по формуле:
, x yP V V bV Q V V aV
0 , ,K V x y D
0P V
11 1 1 2
,D AB
V M M f M d Pdx Qdy
2(18) (21), (12) A
V V Bu M
, ,V
0Q V 1.M
V
Если характеристика пересекает кривую С в двух точках А и М1, то значение
U(М1) не может быть задано произвольно, а определяется по формуле:
(23)
с начальным значением, заданным на дуге АВ1 и функцией f(x,у), заданной в
области D1 – криволинейном треугольнике М1В1А.
У
В
В1
М1 М А
0 С Х
1
1 1
1
( ) ( ) ( ) ( ) 11 2 2
( )
B
u A V A u B V B
D A
u M Vfdxdy Pdx Qdy
Пусть - локальная функция точки М1:
где - окрестность точки М1.
Условие нормировки
2. Физический смысл функции Римана
Рассмотрим задачу:
, ( , ) , 0, 0.nC CL u f x y D u u
11 1(22) ( ) ( , ) ( ) (24)M
D
u M V M M f M d
( )f M1
( ) 0, ,Mf M M S
1MS
1
1
1( ) 1, 0 (25)
M
M
s
f M d
V(М1)- функция влияния единичного точечного импульса, приложенного в
точке М1.
Рассмотрим функцию U=U(М,М1), зависящую от точки М1 как от параметра
и удовлетворяющую по координатам точки М следующей задаче Гурса:
1
1
( , ) ( ( , ), . (26)
M
M
s
V M M f V M M M S
1
1
1 1( ) ( , ) ( )
M
M
S
u M V M M f M d
0 10
(26) ( ) lim ( ) ( , ) u M u M V M M
1
1 1,
1 1,
0,
0 , (27)
0 ,
1.
x
y
M
L u
u bu x y M A
u au x y B M
u
• У
• В
• А1 М1
• М В1 А
• 0 Х
Задача (27) полностью определяет функцию U в четырехугольнике МВ1М1А1,
образованном отрезками характеристик.
Проинтегрируем формулу Грина (18) по четырехугольнику МВ1М1А1,
учитывая формулы (21) и (27).
1 1 1
1 1
1 1
1
1
1 1 12 2 2
112
1 1
(18), (21), (27)
( )
2 (28)
2 0.
Òàê êàê 1, 1, òî u(M,M ) ( , ) (29)
MB M A
B AM
x x
M A M
M
y y M
B
M
VL u uK V dxdy
Pdx Qdy uV Vu buV dx
Vu uV auV dy uV uV M
V u M V M M
3. Уравнения с постоянными
коэффициентами
1. Функция Римана для уравнения
Так как оператор - самосопряженный,
то
0.xyu cu xyL u u cu K u
(21)
0
0
0,
0 ( , ) ,
0 í à M , (30)
0 í à BM
1
xy
x
y
M
V CV x y D
V A
V
V
0 0
0 (x,y) D, (31)
1 í à M , í à ÂÌ .
xyV CV
V A
Ищем функцию Римана в виде , где
2. Задача Коши для уравнения колебаний. Рассмотрим задачу:
Замена:
( )V V z
0 0 0 0 0( )( ), , , M= , .
(31) V(0)=1 (32)
z x x y y M x y x y
0 1 1 12 4 4
, V + 4 0 (33)y y
x xyz z zV V V V V V CV
0 0 0 0 0 0( , ) ( , , , ) (2 ( )( )) (34)V M M V x y x y J C x x y y
0 0
0, - , 0, (35)
( ), ( ), .
tt zz t z
tt t
u u au bu gu z t
u z u z z
2 2 (36)a bt z
u Ue
Перейдем к переменным Х и У:
2
2
1 (37)0
20
0, - <z< , t>0,
( ) ( ),
( ( ) ( )) ( ), - <z< ,
b
b
tt zz
z
t
zat t
U U CU
U z e z
U z z e z
2 2
4 4.a bC g
2 2, , z= . (38)
x y x yx t z y t z t
4
1 20
) 20
0,
( ), (39)
( ( )
Cxy
x y
x y
x y
x y x y
W W
W
W W
A(-y0,y0) M(x0,y0)
y=-x
B(x0,-x0)
При С=0 из (40) получаем формулу Даламбера:
1 0 0( ) ( )
0 0 2
12
0 y=-x, dx=dz, dy=-dz
(22) W(x , )
( ) ( ) (40)
y x
y y x x
AB
t
y
VW WV dy WV W V dx
1 12 2( ), U ( ) (41)x t z y t zW U U U U
1 0 0 1 0 0( ) ( )
0 0 2(34),(40),(41) U(z , )
z t z tt
0 0
2 21 0 0
2 20 0
0 0
( ( )2 211 0 0 0 1 02 ( )( ) ( ( ) ) ( ) dz (42)
z t
J C t z z
t z zz t
z J C t z z z Ct
0 0
1 0 0 1 0 0
0 0
( ) ( ) 10 0 12 2
( , ) ( ) (43)
z t
z t z t
z t
U z t z dz
top related