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SEMANA 3
Fundamentos
Numéricos
Lea esto Primero
Lea esto primero. UNIACC, semana 3
1 UNIVERSIDAD DE LAS COMUNICACIONES
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2 UNIVERSIDAD DE LAS COMUNICACIONES
LÍMITES
Introducción
El límite de una función en un punto, es el comportamiento que tiene la función en
estudio cuando está cercana a un punto determinado.
Ejemplo:
f(x) =
Esta función está definida para todos los valores IR, tales que la expresión x – 3
no sea cero. (Esto debido a que no existe la división por cero)
x – 3 = 0
x = 3
El dominio de esta función es: IR - 3
La variable independiente x puede tomar cualquier valor real, menos el valor x = 3
Pero qué pasa al acercarse al valor x = 3, por la derecha y por la izquierda. Esto
se puede hacer, pues la variable x solamente está imposibilitada de tomar el valor
3
Esta tabla muestra que pasa al tomar valores cercanos al 3.
x f(x)
5 8
4 7
3,5 6,5
3,3 6,3
3,1 6,1
3 #¡DIV/0!
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3 UNIVERSIDAD DE LAS COMUNICACIONES
2,9 5,9
2,8 5,8
2,7 5,7
2,6 5,6
2,5 5,5
2 5
0 3
-1 2
Se puede observar, que cada vez que la variable independiente x se acerca al
valor 3, al parecer la variable independiente y=f(x) se acerca al valor 6.
Al preguntar, si la función y = f(x), ¿estará tan cerca del 6 cuando se quiera,
cuando x esté tan cerca del 3 como se desee?
Para poder responder este tipo de preguntas, es que existe la idea del límite.
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4 UNIVERSIDAD DE LAS COMUNICACIONES
I. Límite de una Función Real
Dados f:D IR y x0, L IR se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a x0 es
L, si para todo > 0, existe un > 0 tal que:
La idea de fondo de la definición es que, dada f: D IR, f(x) tiene por límite L
cuando "x se acerca a x0 " si, dada cualquier exigencia del tipo " no debe diferir de
L en más de (épsilon)" puede ser satisfecha haciendo que x no se aparte de x0
en más de una cantidad dada.
El "margen de tolerancia" para la función es llamado , mientras que la cantidad
que permite a x desviarse de x0 es llamado (delta).
Épsilon : es un concepto matemático, que significa lo más pequeño que uno
pueda imaginar, es lo contrario del infinito.
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5 UNIVERSIDAD DE LAS COMUNICACIONES
Gráficamente, se tiene que:
Gráfico 1. Límite de una función real.
Fuente: Material creado para la asignatura, basado en figura 1.40 de Cálculo Aplicado (Hoffmannm L) Pág.58
Notación:
Si el límite de f(x) cuando x tiende a x0 es L, se anotará como:
Lea esto primero. UNIACC, semana 3
6 UNIVERSIDAD DE LAS COMUNICACIONES
Ejemplo:
Si F(x) = 5x - 4. Demostrar que
Desarrollo:
Sea > 0. Se busca un > 0 tal que:
En otras palabras se busca:
Si
entonces
Así, basta que
para que se satisfaga la definición de límite.
En otras palabras tomando = /5 (o cualquier valor menor) se tendrá que:
Que es lo que se quería demostrar.
II. Cálculo de Límite de Funciones
Existen diferentes métodos para el cálculo de límites de funciones, que dependen
de la estructura de la función a estudiar. En general son bastantes simples, pero
requieren de un buen manejo algebraico.
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7 UNIVERSIDAD DE LAS COMUNICACIONES
Tienden a ser métodos que se pueden aplicar en una sola oportunidad dentro de
un ejercicio o de forma simultánea con otros métodos. La clave es realizar un
correcto uso de ellos y no realizar errores algebraicos.
a. Límites Inmediatos
Los límites inmediatos son límites donde, al evaluar el valor al cual tiende x, la
función y=f(x) entrega un valor real inmediato, sin necesidad de desarrollar la
función de manera algebraica.
Si P(x) y Q(x) son polinomios enteros y P(a) ≠ 0 o Q(a) ≠ 0, el límite de la fracción
racional:
)(
)(lim
xQ
xP
ax
Se halla directamente.
Este caso se refiere a que siempre se debe calcular el límite de cualquier fracción
racional, evaluando el valor de x en la expresión. El resultado de esta evaluación
en la expresión, será el valor del límite de la expresión, siempre y cuando el
resultado de la evaluación en el denominador sea distinto de 0.
Ejemplo:
1)
2)
Al evaluar queda:
7
4
14
8
10
82
4lim
x
x
x
Lea esto primero. UNIACC, semana 3
8 UNIVERSIDAD DE LAS COMUNICACIONES
Ejemplos: Los siguientes vídeos dan cuenta, paso a paso, del desarrollo de estos
ejemplos
1)
2)
b. Límites Algebraicos
Si P(x) y Q(x) son polinomios enteros y P(a) = Q(a) = 0, se recomienda simplificar
la fracción)(
)(
xQ
xP, por el binomio (x-a), una o varias veces.
Este caso, plantea que al realizar la evaluación del valor de x = a en la fracción
racional, si el resultado da 0/0, entonces se debe factorizar tanto numerador como
denominador por (x-a), para luego proceder a realizar la simplificación y posterior
cálculo del límite. Si al evaluar el límite, se vuelve a obtener 0/0, se debe proceder
a realizar el mismo procedimiento.
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9 UNIVERSIDAD DE LAS COMUNICACIONES
Ejemplos: Los siguientes vídeos dan cuenta, paso a paso, del desarrollo de estos
ejemplos
1)
2)
3)
c. Límites con Raíces
Para el caso de límites de funciones que contienen expresiones irracionales, se
tienen dos métodos que buscan una transformación de la función, de tal forma que
el cálculo sea más simple.
Método 1:
En este caso, las expresiones irracionales se reducen, en muchos casos, a una
forma racional introduciendo una nueva variable.
La elección de esta nueva variable debe ser tal que permita “eliminar” la
irracionalidad de la función, poniendo especial cuidado en el cambio de variable
que se genera y en el valor en el que se debe evaluar el “nuevo” límite.
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10 UNIVERSIDAD DE LAS COMUNICACIONES
Ejemplo:
Encuentre 11
113
0lim
x
x
x
Lo primero que se debe realizar es evaluar x = 0 en la función. Se obtiene 0/0, que
indica que es necesario realizar algún tipo de manejo algebraico de la función para
eliminar esta estructura de 0/0.
Se hará desaparecer las raíces, buscando el mínimo común múltiplo de los índices
de las raíces. En este caso, la nueva variable queda elevada a 6, ya que, 6 es el
m-c-m (mínimo común múltiplo) entre 2 y 3.
Por lo tanto, la nueva variable queda como 1 + x = y6
Hay que tener en cuenta que los argumentos deben ser los mismos, y dado que
se realiza un cambio de variable, se debe cambiar el valor donde se desea
calcular el límite, relacionado con la nueva variable.
En este caso, si x tiende a 0, entonces “y” tenderá a 1.
Luego,
2
3
)1(
)1(
)1)(1(
)1)(1(
1
1
11
11
2
1
2
12
3
13
0
lim
limlimlim
y
yy
yy
yyy
y
y
x
x
y
yyx
Método 2:
Este método consiste en trasladar la parte irracional del numerador al
denominador, o al contrario, del denominador al numerador. Usando técnicas de
racionalización.
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11 UNIVERSIDAD DE LAS COMUNICACIONES
Por ejemplo, para calcular
ax
ax
alx
lim
Se hará desaparecer las raíces, buscando el conjugado de - que es
+
Por lo tanto, la expresión se multiplica y se divide por el conjugado.
El concepto a emplear, tiene relación con formar una suma por su diferencia:
22))(( bababa
Que en este caso, corresponde a:
axaxax ))((
Finalmente,
0,2
1
)(
1
)(
1)(
)(
)(
lim
lim
limlim
aa
ax
axax
ax
ax
ax
ax
ax
ax
ax
alx
alx
alxalx
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12 UNIVERSIDAD DE LAS COMUNICACIONES
Ejemplo: El siguiente vídeo da cuenta, paso a paso, del desarrollo de este
ejemplo
Ejercicios Resueltos:
1) Hallar el límite de:
Método 1 Método 2
Se reemplaza y2= x Se aplica suma por diferencia
x 1 luego y 1 (a + b)(a - b) = a2 – b2
En este caso:
( – 1)( + 1) = x -1
2) Hallar el límite de:
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13 UNIVERSIDAD DE LAS COMUNICACIONES
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14 UNIVERSIDAD DE LAS COMUNICACIONES
d. Límites por Ramas
Una función por ramas es de la forma:
Para este tipo de funciones, se definen los límites laterales (límites por la derecha
e izquierda de una función).
Si se quiere analizar qué pasa con una función y= f(x) en el punto x = a, si la
función es por ramas, se deben analizar los dos caminos posibles que tiene la
variable x para acercarse al punto a.
Estos caminos son por la izquierda (que se denota por x→a-) y por la derecha (se
denota por x→a+).
La idea es ver qué pasa con la función de la rama correspondiente al camino
analizado.
Como los límites laterales son iguales, el límite existe. En caso de que los límites
laterales no fuesen iguales, el límite no existe.
Ejemplo: Los siguientes vídeos dan cuenta, paso a paso, del desarrollo de estos
ejemplos
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15 UNIVERSIDAD DE LAS COMUNICACIONES
e. Límites al Infinito
Se trata de conocer cómo se comporta una función y= f(x) cuando x toma valores
grandes positivos (x →+∞) y/o negativos (x → -∞).
En este curso, sólo se analizarán límites al infinito sobre división de polinomios,
donde se debe considerar que:
Cada vez que el valor de “x” crece, el denominador de la fracción también lo hace.
Con ello, la división se hace cada vez más pequeña. Por tanto, la división tiende a
cero cuando x tiende a infinito.
A diferencia de los límites estudiados anteriormente (en los cuales x tiende a un
número finito), donde se deben usar factorizaciones notables, lo que se hace en
este caso es dividir, tanto el numerador como el denominador, por x elevado a la
potencia más grande con la que aparece en la expresión algebraica.
Además se deben considerar las operaciones con infinito, teniendo claro que es
sólo un recurso para calcular límites, porque infinito no es un número.
Sumas con infinito:
Infinito más o menos un número
± k =
Infinito más infinito
+ =
Infinito menos infinito
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16 UNIVERSIDAD DE LAS COMUNICACIONES
- = indeterminado
Productos con infinito:
Infinito por un número
● ± k si k ≠ 0, cuando es cero se indetermina.
Infinito por infinito
● =
Cocientes con infinito y cero:
Cero dividido en un número
= 0
Un número dividido en cero
=
Un número dividido por infinito
= 0
Infinito dividido por un número
=
Cero dividido por infinito
= 0
Infinito dividido en cero
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17 UNIVERSIDAD DE LAS COMUNICACIONES
=
Cero dividido en cero
= indeterminado
Infinito dividido en infinito
= indeterminado
Ejemplo: El siguiente vídeo da cuenta, paso a paso, del desarrollo de este
ejemplo
Ejercicios Resueltos:
1)
Se divide cada término por la potencia más grande, que en este caso es x2
Lea esto primero. UNIACC, semana 3
18 UNIVERSIDAD DE LAS COMUNICACIONES
Por definición se sabe que cuando el límite es al infinito de 1/x elevado a cualquier
potencia, tiende a cero. Por lo tanto, queda:
Esto pasará en todos los límites que el x con mayor potencia esté en el
denominador.
2)
=
= ∞
Cuando la potencia mayor se encuentra en el numerador, se obtiene un número
dividido en cero, donde el resultado es infinito.
f. Límites Infinitos
Teoremas de límites infinitos:
Si n es cualquier número entero positivo, entonces:
1)
2)
Lea esto primero. UNIACC, semana 3
19 UNIVERSIDAD DE LAS COMUNICACIONES
3)
Si c es cualquier número real,
4)
5)
6)
7)
Ejemplo:
Límite del numerador cuando x tiende a 2, es igual a 5 ≠ 0
El límite del denominador es cero.
En este caso se tiene un límite infinito
= ∞
Pero falta determinar el signo.
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20 UNIVERSIDAD DE LAS COMUNICACIONES
Se tomó un límite lateral de 2 por la derecha:
2 2,01
Se busca un valor de x, que se acerque a 2 por la derecha, por ejemplo 2,01.
Se obtiene: 2 – x = 2 – 2,01 = -0,01, la diferencia da negativa, por lo tanto 2 – x,
tiende a cero con valores negativos
Por lo tanto el resultado del límite = -∞
III. Continuidad de Funciones
La idea de una función continua, tiene relación con poder dibujarla sin levantar el
lápiz de una hoja de papel. Es decir, que el trazo sea continuo, no presentando ni
hoyos ni saltos.
Gráficamente una función continúa, es de la siguiente forma:
Lea esto primero. UNIACC, semana 3
21 UNIVERSIDAD DE LAS COMUNICACIONES
Gráfico 2. Función Continua.
Fuente: Rescatado de: https://goo.gl/fuT9d1 el 10 de Octubre del 2015
Si una función presenta discontinuidad, podría ser de las siguientes formas:
Función con un hoyo (agujero).
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22 UNIVERSIDAD DE LAS COMUNICACIONES
Gráfico 3. Discontinuidad evitable.
Fuente: Rescatado de: http://goo.gl/NXuurC el 10 de Octubre del 2015
Función con salto.
Gráfico 4. Discontinuidad de salto.
Fuente: Rescatado de: http://goo.gl/Ws1BF7 el 10 de Octubre del 2015
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23 UNIVERSIDAD DE LAS COMUNICACIONES
a. Funciones Continuas
Continuidad en un punto.
Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se
cumplen las tres condiciones siguientes:
a) Exista el valor de la función en el punto f(a)
b) Existan los límites laterales
c) La imagen del punto, debe coincidir con el límite de la función en el punto
Ejemplo:
Estudiar la continuidad de
en x = 3
a) La función tiene imagen en x = 3
f(3) = 32 = 9
b) La función tiene límite en x = 3, porque coinciden los limites laterales
Lea esto primero. UNIACC, semana 3
24 UNIVERSIDAD DE LAS COMUNICACIONES
c) En x = 3, la imagen coincide con el limite
f(3) =
Gráfico:
Gráfico 5. Función:
en x = 3
Fuente: Material creado para la asignatura en GeoGebra. Caldera M (2015)
Las funciones, de cualquier tipo: polinómicas, racionales, con radicales, etc.,
son continuas en todos los puntos de su dominio.
La función f(x) =
, es continua en todos los IR - 1 En x = 1 no es
continua porque no está definida.
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25 UNIVERSIDAD DE LAS COMUNICACIONES
Gráfico 6. Función: f(x) =
Fuente: Material creado para la asignatura en GeoGebra. Caldera M (2015)
Continuidad en un intervalo :
Una función f definida en un intervalo , es continua en el intervalo si:
a) f es continua para todo x, tal que:
x
b) f es continua por la derecha en “a”
c) f es continua por la izquierda en “b”
Es decir, f es continua en , si:
a)
Lea esto primero. UNIACC, semana 3
26 UNIVERSIDAD DE LAS COMUNICACIONES
b)
c)
Ejemplo:
Sea la función f(x) =
¿Se puede afirmar que la función es continua en el intervalo cerrado ?
a) xo pertenece a
b)
c)
La representación gráfica de esta función es la siguiente:
Lea esto primero. UNIACC, semana 3
27 UNIVERSIDAD DE LAS COMUNICACIONES
Gráfico 7. Función: f(x) =
Fuente: Material creado para la asignatura en GeoGebra. Caldera M (2015)
b. Discontinuidades de Funciones:
Si alguna de las 3 condiciones para que exista continuidad no se cumple, la
función es discontinua en un punto.
Gráficamente se pueden distinguir de la siguiente forma:
en x = 3
La función es discontinua, porque en x = 3, no existe imagen:
Lea esto primero. UNIACC, semana 3
28 UNIVERSIDAD DE LAS COMUNICACIONES
En el gráfico se observa que el punto en x= 3 no está marcado (está en blanco),
porque no tiene imagen (no forma parte de la función)
Gráfico 8. Función:
en x = 3
Fuente: Material creado para la asignatura en GeoGebra. Caldera M (2015)
en x = 3
La función es discontinua porque en x = 2 no tiene límite, ya que no coinciden
los límites laterales.
Lea esto primero. UNIACC, semana 3
29 UNIVERSIDAD DE LAS COMUNICACIONES
En el gráfico se puede apreciar que hay un salto en el x=3, porque no existe el
límite (límite por la derecha es distinto al límite por la izquierda).
9 ≠ 4
Gráfico 9. Función:
en x = 3
Fuente: Material creado para la asignatura en GeoGebra. Caldera M (2015)
en x = 3
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30 UNIVERSIDAD DE LAS COMUNICACIONES
En el gráfico se observa que la función es discontinua, porque en x= 3, no
coincide la imagen con el límite.
Gráfico 10. Función:
en x = 3
Fuente: Material creado para la asignatura en GeoGebra. Caldera M (2015)
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31 UNIVERSIDAD DE LAS COMUNICACIONES
Tipos de Discontinuidad:
Discontinuidad evitable o reparable.
Si f es discontinua en a, pero existe, se dice que la discontinuidad es
evitable o reparable. En este caso se puede redefinir f(a) de modo que la nueva
función sea continua.
Existen dos casos:
1) La función no está definida en x = a
en x = 3
f(9)
La función presenta una discontinuidad evitable en x = 3 porque tiene límite,
pero no tiene imagen.
Por lo tanto se puede volver a definir para ser continua en x = 3
2) La imagen no coincide con el límite
en x = 3
f(3) = 4
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32 UNIVERSIDAD DE LAS COMUNICACIONES
f(3) ≠
La función presenta una discontinuidad evitable en x = 3, porque la imagen
no coincide con el límite.
Por lo tanto se puede volver a definir para ser continua en x = 3
Discontinuidad inevitable.
Una discontinuidad es inevitable o de primera especie si existen los límites
laterales en x = a, pero son distintos.
Salto: es la diferencia en valor absoluto de los límites laterales
Existen 2 tipos de discontinuidad inevitable:
o Salto finito.
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33 UNIVERSIDAD DE LAS COMUNICACIONES
La diferencia entre los límites laterales es un número real.
Gráfico 11. Función:
en x = 3
Fuente: Material creado la asignatura en GeoGebra. Caldera M (2015)
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34 UNIVERSIDAD DE LAS COMUNICACIONES
En x = 3, hay una discontinuidad inevitable de salto finito 5.
o Salto infinito.
La diferencia entre los límites laterales es infinito.
En x = 3 hay una discontinuidad inevitable de salto infinito.
Discontinuidad esencial:
Una discontinuidad es esencial o de segunda especie si no existe alguno de los
límites laterales en x = a.
Ejemplo:
La función:
Es discontinua en 0, ya que f(0) no existe.
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35 UNIVERSIDAD DE LAS COMUNICACIONES
Como
No es posible definir f(0) de modo que la función pase a ser continua, por lo que la
discontinuidad es esencial.
Gráficamente, se tiene:
Gráfico 12. Función: = 1/x2
Fuente: Material creado para la asignatura en GeoGebra. Caldera, M (2015).
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36 UNIVERSIDAD DE LAS COMUNICACIONES
Conclusión
El concepto de límite de una función en un punto, tiene relación con la
aproximación que tiene la función cuando se aproxima a ese valor. Por ejemplo, la
función f(x) = 3x + 2 se aproxima a 8, cuando x es cercano a 2.
A través de los límites de una función, se puede estudiar la continuidad de estas, y
con esto poder determinar a través de gráficos el comportamiento que tiene una
función, en relación a su crecimiento o decrecimiento.
Lea esto primero. UNIACC, semana 3
37 UNIVERSIDAD DE LAS COMUNICACIONES
Referencias Bibliográficas
Colegio Nacional de Matemáticas (2010). Cálculo Diferencial. México. Editorial
Pearson Educación
Pérez, F. (2008). Cálculo Diferencial e Integral de Funciones de una Variable.
Universidad de Granada. España.
Lea esto primero. UNIACC, semana 3
38 UNIVERSIDAD DE LAS COMUNICACIONES
Si usted desea referenciar este documento, considere:
UNIACC (2015). Límites. Fundamentos Numéricos. Lea esto primero (Semana 3).
Lea esto primero. UNIACC, semana 3
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