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Mathematik 1 – MB – Übungsblatt 1 Termin 02 – Lösungen
Themen: Komplexe Zahlen (6 Aufgaben)
DHBW STUTTGART – WS 2011/2012 – Termin 02 SEITE 1 VON 7
Aufgabe 1 (Komplexe Grundlagen): Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen in der algebraischen/kartesischen Form
biaz += mit Îba, ℝ dar.
a) ( ) ( )ii 4132 +×+ b) ( ) ( )ii +×- 234 c) ( ) ( ) ( )2925959 iii +-+×-
d) ii
-+
12
e) ( )iiii
+-
-+-+1129 2 f )
( )22
111
ii
ii
-+
-÷øö
çèæ -
g) ( ) ( ) 432 2222 iii -++- h) ( )å=
×5
1k
kik i) ( )Õ=
×7
1k
kik
j) ( )å=
×n
kik
0
Lösung:
a) ( ) ( ) iiiiiiii 111012382431342124132 2 +-=-++=××+×+×+×=+×+
b) ( ) ( ) ( ) ( )iiiiii 234324323424234 2 -++=--+=+×- c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 813645819922259925959 22222 +--+=-××---=+-+×- iiiiiii
i36163-=
d) iiiiiii
ii
ii
23
21
2312
1122
11
12
12 2
+=+-
=+
+++=
++
×-+
=-+
e) ( )}
=++-
-+-=--
×+-
--×--+=+-
-+-+
-
1121135
11
112229
1129
12
222 iiiii
iiiii
iiii
iii 262236 -=---=
f) ( )
( )=
++=×
++
--
=-+
--+-
=+-
+-
-=
-+
-÷øö
çèæ -
2
22
22
2
2
2
22
21
12
21
121
2111
111
iiii
ii
iii
iiii
iii
ii
ii
ii
iiiii23
21
21
22
212 +=+-=
--
+=
g) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =-×--+××+××+++××-=-++-× 48476
22
1122232232222222222 322322432ii
iiiiiiii
iiii 8171824248484 +-=---++--=
-
MATHEMATIK 1 – MB – ÜBUNGSBLATT 1 – TERMIN 02 – LÖSUNGEN
DHBW STUTTGART – WS 2011/2012 – Termin 02 SEITE 2 VON 7
h) ( ) iiiiiiiiiikk
k 32543254321 54325
1+=++--=++++=×å
=
i) ( ) ( ) ( ){ 50405040504076543217
1
42876543217
1
=×=×=×××××××=×=
++++++
=Õ iiiikk
k
j) ( ) innkiikelSummenform
n
k
n
k 2)1(
00
+=×=× åå
==
Aufgabe 2 (Komplexe Beweisle): Beweisen Sie unter Verwendung der algebraischen/kartesischen Form die folgenden Be-
ziehungen. Es sind dabei Îzyx ,, ℂ.
a) zzz ×=2 b) yxyx +=+ c) yxyx ×=×
d) ( ) 0Re 22 =- zz e) ( ) 0Im 22 =+ zz
Lösung:
a) zzz ×=2
Wie berechnen ( ) 222222 babaz +=+= . Des Weiteren ist ( ) ( )biabiazz -×+=× ( ) 22222 zbabiabiabia =+=-+-= . Dies war zu zeigen.
b) yxyx +=+
Es sei biax += und dicy += . Damit folgt ( ) ( )idbcayx +++=+ und damit ist dann
( ) ( )idbcayx +-+=+ . Weiterhin ist ( ) ( ) yxidbcadicbiayx +=+-+=-+-=+ , was zu zeigen war.
c) yxyx ×=×
Es sei biax += und dicy += . Damit ist dann
( ) ( ) ( ) ( )ibcadbdacbdbciadiacdicbiayx ++-=-++=+×+=×
und damit folgt ( ) ( )ibcadbdacyx +--=× . Wir rechnen nun
( ) ( ) ( ) ( ) yxibcadbdacbdbciadiacdicbiayx ×=+--=---=-×-=× .
Dies war zu zeigen.
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MATHEMATIK 1 – MB – ÜBUNGSBLATT 1 – TERMIN 02 – LÖSUNGEN
DHBW STUTTGART – WS 2011/2012 – Termin 02 SEITE 3 VON 7
d) ( ) 0Re 22 =- zz Es ist
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) .04Re
22ReReRe 22222222
==++--+=--+=-
abibabiababiabiabiazz
e) ( ) 0Im 22 =+ zz Es ist
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) .022Im
22ImImIm22
22222222
=-=
--+-+=-++=+
bababiababiabiabiazz
Aufgabe 3 (algebraische/kartesische Form):
Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil der komplexen Zahl ( )2211
+×-+
= iiiw .
Geben Sie damit die trigonometrische Form von w an und bestimmen Sie alle 5 -ten Wurzeln hiervon.
Lösung: Wir ergänzen zu Beginn und nutzen die dritte Binomische Formel aus:
( ) ( ) ( ) iiiiiiiii
iiw ×+-=+×=+×
+++
=+×++
×-+
= 22222222
112122
11
11 2
.
Die trigonometrische Form ergibt sich mit den in der Vorlesung behandelten Formeln. Es
sind
°»°+-
74,14418022arctan und ( ) ( ) 622 22 =+-=w .
Also sind ( )°×+°×= 74,144sin74,144cos6 iw und ( )°×-°×= 74,144sin74,144cos6 iw . Letztere Zahl wollten wir berechnen. Damit können wir die fünften Wurzeln angeben. Diese
lauten nach dem in der Vorlesung Gesagten:
÷øö
çèæ °×+°×-
°×+°×=
÷øö
çèæ °×-
°×=
5360174,144sin
5360174,144cos6
574,144sin
574,144cos6
101
100
iz
iz
-
MATHEMATIK 1 – MB – ÜBUNGSBLATT 1 – TERMIN 02 – LÖSUNGEN
DHBW STUTTGART – WS 2011/2012 – Termin 02 SEITE 4 VON 7
÷øö
çèæ °×+°×-
°×+°×=
÷øö
çèæ °×+°×-
°×+°×=
÷øö
çèæ °×+°×-
°×+°×=
5360474,144sin
5360474,144cos6
5360374,144sin
5360374,144cos6
5360274,144sin
5360274,144cos6
104
103
102
iz
iz
iz
Damit sind wir fertig.
Aufgabe 4 (Einheitswurzeln):
Gegeben sei eine komplexe Unbekannte z . Lösen Sie die Gleichung 16 =z . Zeichnen Sie die dadurch erhaltenen 6 -ten Einheitswurzeln in eine Gaußsche Zahlenebene passender Größe (dass man halt etwas sieht!) ein. Begründen Sie, dass hierdurch ein regelmäßiges
Sechseck entstanden ist. Wie lang sind seine Kanten?
Lösung:
Gesucht sind die sechs 6 -ten Wurzel aus der Zahl 1. Wir schreiben
( )0sin0cos11 0 ×+×== × ie i .
Damit können wir nun die Wurzeln ziehen. Es sind:
1.) ( ) ( )( ) 10sin0cos1 62062060 =+×++×= ×× pp iz
2.) ( ) ( )( ) 232162162161 0sin0cos1 ×+=+×++×= ×× iiz pp
3.) ( ) ( )( ) 232162062262 0sin0cos1 ×+-=+×++×= ×× iiz pp
4.) ( ) ( )( ) 10sin0cos1 62362363 -=+×++×= ×× pp iz
5.) ( ) ( )( ) 232162462464 0sin0cos1 ×--=+×++×= ×× iiz pp
6.) ( ) ( )( ) 232162562565 0sin0cos1 ×-=+×++×= ×× iiz pp
In der Gaußschen Zahlenebene sieht das wie folgt aus:
-
MATHEMATIK 1 – MB – ÜBUNGSBLATT 1 – TERMIN 02 – LÖSUNGEN
DHBW STUTTGART – WS 2011/2012 – Termin 02 SEITE 5 VON 7
Figur 1: Sechseck in der Gaußschen Zahlenebene.
Das es sich um ein regelmäßiges Sechseck handelt, lässt sich dadurch begründen, dass alle
Zeiger gleich lang sind (Länge 1) und jeweils einen Winkel von °60 einschließen, was sich
aus der Wurzelberechnung ergibt. Damit hat dann auch das Sechseck die Kantenlänge 1, da es sich aus sechs gleichseitigen Dreiecken zusammensetzt.
Aufgabe 5 (Additionstheoreme): In der Vorlesung haben Sie gesehen, dass dank der komplexen Zahlen folgende Zusam-
menhänge bestehen:
2cos
ixix eex-+
= und ieex
ixix
2sin
--= .
Zeigen Sie hiermit die folgenden Zusammenhänge:
a) yxyxyx coscos2
cos2
cos2 +=÷øö
çèæ -×÷
øö
çèæ +×
b) ( )xxx 3sinsin4sin3 3 =-
c) ( )xxx 2cossincos 22 =- Lösung: a) Wir schreiben die linke Seite mit den gegebenen Zusammenhängen um. Es ist dann:
-
MATHEMATIK 1 – MB – ÜBUNGSBLATT 1 – TERMIN 02 – LÖSUNGEN
DHBW STUTTGART – WS 2011/2012 – Termin 02 SEITE 6 VON 7
.coscos222
2
222
2cos
2cos2
22
22
22
22
22222222
2222
yxeeeeeeee
eeeeeeee
eeeeyxyx
iyiyixixxiyiyixi
yxiyxiyxiyxiyxiyxiyxiyxi
yxiyxiyxiyxi
+=+
++
=+++
=
×+×+×+×=
+×
+×=÷
øö
çèæ -×÷
øö
çèæ +×
----
--
+-
-+-
--
+-+
--
-+-
+
b) Gleiche Vorgehensweise wir in Aufgabenteil a):
( )3
3
24
233sinsin4sin3 ÷÷
ø
öççè
æ -×-
-×==-
--
iee
ieexxx
ixixixix
.
Rechnen wir nun z.B. mit Hilfe des Pascalschen Dreiecks die rechte Seite aus, so
erhalten wir unter Berücksichtigung der beiden Potenzgesetze Nummer 1 ( yxyx aaa +=× )
und Nummer 5 ( ( ) yxyx aa ×= ) den folgenden Ausdruck:
( )
( ).3sin2
233
233
8334
23
2334
23
33
3333
3
3223
xiee
ieeee
iee
ieeee
iee
ieeeeee
iee
xixi
ixixixixixixixixixixixix
ixixixixixixixix
=-
=
-×+×-+
-=
--×+×-
×--
×=
-××+××-×-
-×
-
------
----
Das war zu zeigen!
c) Und ein letztes Mal gehen wir wie bereits gezeigt vor. Dieses Mal nutzen wir die beiden
ersten Binomischen Formeln aus:
( ).2cos24
224
2
42
22sincos
22222
1
2
2
1
22222
xeeeeeeee
eeeeieeeexx
xixiixixixixixix
ixixixixixixixix
=+
=+
=+××-
+
+××+=÷÷
ø
öççè
æ --÷÷
ø
öççè
æ +=-
---
=
-
-
=
---
48476
48476
Und wieder sind wir fertig!
-
MATHEMATIK 1 – MB – ÜBUNGSBLATT 1 – TERMIN 02 – LÖSUNGEN
DHBW STUTTGART – WS 2011/2012 – Termin 02 SEITE 7 VON 7
Aufgabe 6 (Formelnachweis Exponentialform):
Weisen sie nach, dass die Exponentialform der konjugiert komplexen Zahl z von jiezz ×=
(mit den bekannten Größen aus der Vorlesung) gleich jiezz -×= lautet.
Lösung:
Wir können hier die Lösung über die trigonometrische und dann die algebraische Form
finden. Es ist
( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) .sincossincossincos
sincossincossincosj
j
jjjjjj
jjjjjji
i
eziziziz
izzibaibaizzizezz-×=-+-×=-+×=-×=
×-×=-=+=×+×=+×=×=
Hierbei haben wir ausgenutzt, dass der Sinus eine punkt- und der Kosinus eine
achsensymmetrische Funktion ist, d.h. ( )xx -=- sinsin und ( )xx -= coscos .
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