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Mathematik 1 – MB – Übungsblatt 1 Termin 02 – Lösungen

Themen: Komplexe Zahlen (6 Aufgaben)

DHBW STUTTGART – WS 2011/2012 – Termin 02 SEITE 1 VON 7

Aufgabe 1 (Komplexe Grundlagen): Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen in der algebraischen/kartesischen Form

biaz += mit Îba, ℝ dar.

a) ( ) ( )ii 4132 +×+ b) ( ) ( )ii +×- 234 c) ( ) ( ) ( )2925959 iii +-+×-

d) ii

-+

12

e) ( )iiii

+-

-+-+1129 2 f )

( )22

111

ii

ii

-+

-÷øö

çèæ -

g) ( ) ( ) 432 2222 iii -++- h) ( )å=

×5

1k

kik i) ( )Õ=

×7

1k

kik

j) ( )å=

×n

kik

0

Lösung:

a) ( ) ( ) iiiiiiii 111012382431342124132 2 +-=-++=××+×+×+×=+×+

b) ( ) ( ) ( ) ( )iiiiii 234324323424234 2 -++=--+=+×- c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 813645819922259925959 22222 +--+=-××---=+-+×- iiiiiii

i36163-=

d) iiiiiii

ii

ii

23

21

2312

1122

11

12

12 2

+=+-

=+

+++=

++

×-+

=-+

e) ( )}

=++-

-+-=--

×+-

--×--+=+-

-+-+

-

1121135

11

112229

1129

12

222 iiiii

iiiii

iiii

iii 262236 -=---=

f) ( )

( )=

++=×

++

--

=-+

--+-

=+-

+-

-=

-+

-÷øö

çèæ -

2

22

22

2

2

2

22

21

12

21

121

2111

111

iiii

ii

iii

iiii

iii

ii

ii

ii

iiiii23

21

21

22

212 +=+-=

--

+=

g) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =-×--+××+××+++××-=-++-× 48476

22

1122232232222222222 322322432ii

iiiiiiii

iiii 8171824248484 +-=---++--=

MATHEMATIK 1 – MB – ÜBUNGSBLATT 1 – TERMIN 02 – LÖSUNGEN


h) ( ) iiiiiiiiiikk

k 32543254321 54325

1+=++--=++++=×å

=

i) ( ) ( ) ( ){ 50405040504076543217

1

42876543217

1

=×=×=×××××××=×=

++++++

=Õ iiiikk

k

j) ( ) innkiikelSummenform

n

k

n

k 2)1(

00

+=×=× åå

==

Aufgabe 2 (Komplexe Beweisle): Beweisen Sie unter Verwendung der algebraischen/kartesischen Form die folgenden Be-

ziehungen. Es sind dabei Îzyx ,, ℂ.

a) zzz ×=2 b) yxyx +=+ c) yxyx ×=×

d) ( ) 0Re 22 =- zz e) ( ) 0Im 22 =+ zz

Lösung:

a) zzz ×=2

Wie berechnen ( ) 222222 babaz +=+= . Des Weiteren ist ( ) ( )biabiazz -×+=× ( ) 22222 zbabiabiabia =+=-+-= . Dies war zu zeigen.

b) yxyx +=+

Es sei biax += und dicy += . Damit folgt ( ) ( )idbcayx +++=+ und damit ist dann

( ) ( )idbcayx +-+=+ . Weiterhin ist ( ) ( ) yxidbcadicbiayx +=+-+=-+-=+ , was zu zeigen war.

c) yxyx ×=×

Es sei biax += und dicy += . Damit ist dann

( ) ( ) ( ) ( )ibcadbdacbdbciadiacdicbiayx ++-=-++=+×+=×

und damit folgt ( ) ( )ibcadbdacyx +--=× . Wir rechnen nun

( ) ( ) ( ) ( ) yxibcadbdacbdbciadiacdicbiayx ×=+--=---=-×-=× .

Dies war zu zeigen.



d) ( ) 0Re 22 =- zz Es ist

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) .04Re

22ReReRe 22222222

==++--+=--+=-

abibabiababiabiabiazz

e) ( ) 0Im 22 =+ zz Es ist

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) .022Im

22ImImIm22

22222222

=-=

--+-+=-++=+

bababiababiabiabiazz

Aufgabe 3 (algebraische/kartesische Form):

Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil der komplexen Zahl ( )2211

+×-+

= iiiw .

Geben Sie damit die trigonometrische Form von w an und bestimmen Sie alle 5 -ten Wurzeln hiervon.

Lösung: Wir ergänzen zu Beginn und nutzen die dritte Binomische Formel aus:

( ) ( ) ( ) iiiiiiiii

iiw ×+-=+×=+×

+++

=+×++

×-+

= 22222222

112122

11

11 2

.

Die trigonometrische Form ergibt sich mit den in der Vorlesung behandelten Formeln. Es

sind

°»°+-

74,14418022arctan und ( ) ( ) 622 22 =+-=w .

Also sind ( )°×+°×= 74,144sin74,144cos6 iw und ( )°×-°×= 74,144sin74,144cos6 iw . Letztere Zahl wollten wir berechnen. Damit können wir die fünften Wurzeln angeben. Diese

lauten nach dem in der Vorlesung Gesagten:

÷øö

çèæ °×+°×-

°×+°×=

÷øö

çèæ °×-

°×=

5360174,144sin

5360174,144cos6

574,144sin

574,144cos6

101

100

iz

iz



÷øö

çèæ °×+°×-

°×+°×=

÷øö

çèæ °×+°×-

°×+°×=

÷øö

çèæ °×+°×-

°×+°×=

5360474,144sin

5360474,144cos6

5360374,144sin

5360374,144cos6

5360274,144sin

5360274,144cos6

104

103

102

iz

iz

iz

Damit sind wir fertig.

Aufgabe 4 (Einheitswurzeln):

Gegeben sei eine komplexe Unbekannte z . Lösen Sie die Gleichung 16 =z . Zeichnen Sie die dadurch erhaltenen 6 -ten Einheitswurzeln in eine Gaußsche Zahlenebene passender Größe (dass man halt etwas sieht!) ein. Begründen Sie, dass hierdurch ein regelmäßiges

Sechseck entstanden ist. Wie lang sind seine Kanten?

Lösung:

Gesucht sind die sechs 6 -ten Wurzel aus der Zahl 1. Wir schreiben

( )0sin0cos11 0 ×+×== × ie i .

Damit können wir nun die Wurzeln ziehen. Es sind:

1.) ( ) ( )( ) 10sin0cos1 62062060 =+×++×= ×× pp iz

2.) ( ) ( )( ) 232162162161 0sin0cos1 ×+=+×++×= ×× iiz pp

3.) ( ) ( )( ) 232162062262 0sin0cos1 ×+-=+×++×= ×× iiz pp

4.) ( ) ( )( ) 10sin0cos1 62362363 -=+×++×= ×× pp iz

5.) ( ) ( )( ) 232162462464 0sin0cos1 ×--=+×++×= ×× iiz pp

6.) ( ) ( )( ) 232162562565 0sin0cos1 ×-=+×++×= ×× iiz pp

In der Gaußschen Zahlenebene sieht das wie folgt aus:



Figur 1: Sechseck in der Gaußschen Zahlenebene.

Das es sich um ein regelmäßiges Sechseck handelt, lässt sich dadurch begründen, dass alle

Zeiger gleich lang sind (Länge 1) und jeweils einen Winkel von °60 einschließen, was sich

aus der Wurzelberechnung ergibt. Damit hat dann auch das Sechseck die Kantenlänge 1, da es sich aus sechs gleichseitigen Dreiecken zusammensetzt.

Aufgabe 5 (Additionstheoreme): In der Vorlesung haben Sie gesehen, dass dank der komplexen Zahlen folgende Zusam-

menhänge bestehen:

2cos

ixix eex-+

= und ieex

ixix

2sin

--= .

Zeigen Sie hiermit die folgenden Zusammenhänge:

a) yxyxyx coscos2

cos2

cos2 +=÷øö

çèæ -×÷

øö

çèæ +×

b) ( )xxx 3sinsin4sin3 3 =-

c) ( )xxx 2cossincos 22 =- Lösung: a) Wir schreiben die linke Seite mit den gegebenen Zusammenhängen um. Es ist dann:



.coscos222

2

222

2cos

2cos2

22

22

22

22

22222222

2222

yxeeeeeeee

eeeeeeee

eeeeyxyx

iyiyixixxiyiyixi

yxiyxiyxiyxiyxiyxiyxiyxi

yxiyxiyxiyxi

+=+

++

=+++

=

×+×+×+×=

+×

+×=÷

øö

çèæ -×÷

øö

çèæ +×

----

--

+-

-+-

--

+-+

--

-+-

+

b) Gleiche Vorgehensweise wir in Aufgabenteil a):

( )3

3

24

233sinsin4sin3 ÷÷

ø

öççè

æ -×-

-×==-

--

iee

ieexxx

ixixixix

.

Rechnen wir nun z.B. mit Hilfe des Pascalschen Dreiecks die rechte Seite aus, so

erhalten wir unter Berücksichtigung der beiden Potenzgesetze Nummer 1 ( yxyx aaa +=× )

und Nummer 5 ( ( ) yxyx aa ×= ) den folgenden Ausdruck:

( )

( ).3sin2

233

233

8334

23

2334

23

33

3333

3

3223

xiee

ieeee

iee

ieeee

iee

ieeeeee

iee

xixi

ixixixixixixixixixixixix

ixixixixixixixix

=-

=

-×+×-+

-=

--×+×-

×--

×=

-××+××-×-

-×

-

------

----

Das war zu zeigen!

c) Und ein letztes Mal gehen wir wie bereits gezeigt vor. Dieses Mal nutzen wir die beiden

ersten Binomischen Formeln aus:

( ).2cos24

224

2

42

22sincos

22222

1

2

2

1

22222

xeeeeeeee

eeeeieeeexx

xixiixixixixixix

ixixixixixixixix

=+

=+

=+××-

+

+××+=÷÷

ø

öççè

æ --÷÷

ø

öççè

æ +=-

---

=

-

-

=

---

48476

48476

Und wieder sind wir fertig!



Aufgabe 6 (Formelnachweis Exponentialform):

Weisen sie nach, dass die Exponentialform der konjugiert komplexen Zahl z von jiezz ×=

(mit den bekannten Größen aus der Vorlesung) gleich jiezz -×= lautet.

Lösung:

Wir können hier die Lösung über die trigonometrische und dann die algebraische Form

finden. Es ist

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) .sincossincossincos

sincossincossincosj

j

jjjjjj

jjjjjji

i

eziziziz

izzibaibaizzizezz-×=-+-×=-+×=-×=

×-×=-=+=×+×=+×=×=

Hierbei haben wir ausgenutzt, dass der Sinus eine punkt- und der Kosinus eine

achsensymmetrische Funktion ist, d.h. ( )xx -=- sinsin und ( )xx -= coscos .

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