关于质点在有心力场中 运动问题的讨论
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关于质点在有心力场中运动问题的讨论
作者:王华
引子
• 质点在有心力场中运动,其角动量守恒,机械能也守恒。有了这“两大法宝”,解决该类问题就容易多了,下面以一具体的例子来讨论该类问题。
题目• 如力图 4 - 7 - 1 ,
飞船总质量为 m, 内装质量为 m0 的探测器,绕地球沿椭圆轨道运行,近地点与地心距离为
r1, 速度为 v1=r2 r1
v1
v2
力图 4 - 7 - 1
2
1
aGM
r
( 1 )试证明 ½<a<1
( 2 )如力图 4 - 7 -2 ,飞船在近地点向前发射探测器,并使探测器沿抛物线轨道运动,发射后,飞船沿圆轨道运行,试求:质量比 m0/m 及发射探测器的相对速度 u 。
v1
m
u+v1’
v1’
m0
m-m0
力图 4 - 7 - 2
发射前 发射后
( 3 )如力图 4 - 7 -3 ,若在远地点以上述相对速度 u 发射探测器,试求探测器运行的轨道。
m
v2
v2’
m-m0
u+v2’
m0
力图 4 - 7 - 3
发射前 发射后
分析• 1. 飞船绕椭圆轨道运行时,角动量守恒,机
械能守恒,它们确定了飞船的运动特征,限制了 a 的取值。
• 2. 发射探测器前后,飞船(包括探测器)动量守恒。发射后,探测器沿抛物线运动,其机械能应为零,飞船(不包括探测器)作圆轨道运动所需向心力来自地球引力。
• 3. 发射探测器前后,飞船(包括探测器)动量守恒,探测器轨道的特征由其机械能 E 确定, E<0 为椭圆或圆轨道, E=0 为抛物线,E>0 为双曲线。
解答• 1. 直接求 a 显然很困难 , 但由于飞船轨道受
约束的特性 , 可解出远近地点与地心的距离r2 与 r1 的约束关系 , 根据它们的关系解出 a 的取值范围。
飞船绕地球作椭圆轨道运动 , 设在远地点 r2处的速度为 v2:
由角动量守恒 mr1v1=mr2v2
即 mr1 = mr2v2 (1)
由飞船地球系统的机械能守恒 ½m(2aGM/r1)-GMm/r1
= ½mv22-GMm/r2 (2)
2
1
aGM
r
由 (1) (2) 解得 :
(r1/r2)2-(r1/r2)/a+1/a-1=0
解出两个根{
其中 r1/r2=1 为圆轨道 , 不合题意 , 舍去 .
应取 r1/r2=(1-a)/a
由于 0<r1/r2<1
故有 ½ < a <1
r1/r2=1
r1/r2=(1-a)/a
• 2 .飞船发射探测器前速度为 v1, 设发射后飞船速度为 v1’, 设探测器相对飞船得速度为u, 由动量守恒,
mv1 = (m-m0)v1’+m0(u+v1’) (1)
发射后,探测器沿抛物线运动,总机械能为0 。即
E = 1/2*m0(u+v1’)2-GMm0/r1 = 0 (2)
发射探测器后,飞船作圆运动,故 GM(m-m0)/r12 = (m-m0)v1’2/r1
式中 M 为地球质量,即 v1’ = = v1/ (3)
/ 1GM r 2a
• 由( 1 )式 mv1 = mv1’+m0u
即 u = m/m0(v1-v1’) (4)
由 (2)(3) 式,得: (u+v1’)2-2v1’2 = 0
即 u2+2uv1’-v1’2 = 0
把( 4 )式代入上式,得出 m/m0 满足得方程为
(m/m0)2(v1-v1’)2+2(m/m0)(v1-v1’)v1’-v1’2 = 0
舍去负根后,解出: m/m0 = ( -1)v1’/(v1-v1’)
2
• 将( 3 )式代入,得m/m0 = ( -1)/( -1)
所以质量比为m0/m = ( -1)/ ( -1) (5)
代入( 4 )式,得出探测器得相对速度为
2
2a
2a
2
( 2 1) /( 2 1)( 1 1/ 2 ) ( 2 1) / 2 1u a v v a av= - - - = -
• 3. 飞船及探测器在发射探测器前在远地点得速度为 v2, 在近地点得速度为前述 v1, 作椭圆轨道运动,由角动量守恒,
mr1v1 = mr2v2
即 v2=(r1/r2)v1
设飞船在远地点以上述相对速度 u 发射探测器后,飞船得速度变为 v2’, 则探测器得速度应该为 v2’+u, 由动量守恒得:
mv2 = (m-m0)v2’+m0(v2’+u)
即 mv2 = (m-m0)(u+v2’)-(m-m0)u+m0(u+v2’)
• 故发射后探测器的速度为 u+v2’ = [mv2+(m-m0)u]/m
= v2+(1-m0/m)u (6)
式中的相对速度 u 前已求出, 利用已知的关系 v1 = (r2/r1)v2
r1/r2 = (1-a)/a
可将 u 用 v2 表示,得:2 1 2 2 1
2 21 12 2
r au v v
r aa a
- -= =
-
• 代入( 6 )式,并注意到 m0/m 已由( 5 )式
给出,有2 1 2 1
2 ' 2 (1 ) 212 1 2
1 22
1
a au v v v
aa
a av
a
- -+ = + -
--
- +=
-
• 因
故
式中
1 2 1 1 22 1
2 1 2 2 2
1 2 21
2 2
r aGM r r GMv v a
r r r r r
a GM GMa a
a r r
= = =
-= = -
1 2 2 22 '
2 21
a a GM bGMv u
r ra
- ++ = =
-
2(1 2 )
1
a ab
a
- +=
-
• 令
探测器轨道得类型可根据其总能量 E 来判断 E=1/2mv2-GMm/r
其中 v 探测器速度可写成
2(1 2 ) (1 )y a a a= - + - -
2 2 2
( 1)
E GM GMv
m r rGMm
E br
= + =
= -
• 对于椭圆轨道, E<0,b<1 ;对于抛物线轨道 E=0, 故 b=1; 对于双曲线轨道, E>0,b>1. 因
此 探测器轨道得类型可由 b 的值来判断。 由前 1/2<a<1, 可用对 y 的定义判别
当 y<0, b<1, 为椭圆轨道 y=0, b=1, 为抛物线轨道 y>0,b>1, 为双曲线轨道
• 把( 7 )展开并化简
因前已得出 1/2 < a < 1, 故 y<0
探测器将沿椭圆轨道运动
2 ( 1)(2 1)y a a a= - -
小结• 通过对上题的具体的讨论,我们对质点在
有心力场中的运动有了比较清晰的认识,当然设计到天体问题,通常运算量比较大,需要我们有足够多的细心和耐心,才能把这类问题解答好。
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