نمونه گیری و برآوردها

دانشگاه صنعت آب و برق 1

گیری و برآوردها نمونه

موسوی ندوشنی1384بهار

دانشگاه صنعت آب و برق 2

گیری نمونه برای برآورد پارامترهای جامعه، از نمونه

جامعه استفاده می کنیم )چون جامعه نامتناهی است( نمونه باید معرف جامعه

باشد. تعریف: هر تابعی از عنصرهای نمونه تصادفی

که شامل پارامترهای مجهول نباشد را یک گویند.آماره

یک نمونه تصادفی از متغیر X1,X2,...,Xnمثال: اگر • باشند، توابعXتصادفی

آماره هستند.

211 2

1 12

1 13 1 ( )

n n

i ii i

XX X X X X

X n n= =

+ - -å å

دانشگاه صنعت آب و برق 3

بررسی چند آماره مفید تعریف: اگرX1,X2,...,Xn یک نمونه تصادفی از

امین گشتاور نمونه حول r باشد، Xمتغیر مبدا به صورت زیر تعریف می شود.

باشد، میانگین نمونه بدست می آید.r=1اگر • همچنینr امین گشتاور نمونه حول میانگین

نشان داده می شود.Mrبوسیله باشد. واریانس نمونه بدست می آید.r=2اگر •

1

11,2,3,

nr

r ii

M X rn =

¢= =å L

1

1 n

ii

X Xn =

= å

1

1( )

nr

r ii

M X Xn =

= -å

22

1

1( )

n

ii

M X Xn =

= -å

دانشگاه صنعت آب و برق 4

امید ریاضی و واریانس میانگین نمونه

امید ریاضی

واریانس

1 21

1( ) ( ) ( ( ) ( ))

1( )

nn

X

X X XE X E E X E X

n n

nn

m m

+ + += = + +

=

LL

1 212

2 2

2

1var( ) var( ) (var( ) var( ))n

n

X X

X X XX X X

n nnn ns s

+ + += = + +

´= =

LL

دانشگاه صنعت آب و برق 5

یک برآوردگر خوب برای خوب بودن یک برآوردگر شرایط زیر باید در

نظر گرفته شود.نااریب باشد. •کاراترین باشد•توزیع آن شناخته شده باشد•

برآوردگر نااریبunbiased estimator گوییم، اگر را برآوردگر نااریبی برای ^ برآوردگر •

داشته باشیم که:

مثال: در مورد واریانس شرط نااریبی وقتی برقرار است • باشد.n-1که مخرج آن

ˆ( )E q q=

2 2

( )

( )

E X

E S

m

s

=

=

دانشگاه صنعت آب و برق 6

کاراترین برآوردگر باید توجه داشت که برآوردگر نااریب منحصر

بفرد نیست. مانند: یا اینکه در توزیع نرمال میانگین، میانه و نما

می باشند.برآوردگر نااریب برای تعریف: بین برآوردگرهای نااریب یک پارامتر

، برآوردگری که کمترین واریانس را مانند داشته باشد، کاراترین برآوردگر است.

2 3, ,X X L

دانشگاه صنعت آب و برق 7

تابع چگالی احتمال میانگین ها نمونه

ها خود متغیر تصادفی هستند، لذا چون نمونهمیانگین آنها نیز یک متغیر تصادفی است.

برای این متغیر تصادفی باید یک تابع چگالیاحتمال جستحو نمود. برای این کار به قضیه

زیر توجه کنید. های تصادفی با اگر تمام نمونهقضیه حد مرکزی:•

)با 2 و از یک جامعه متناهی با میانگین nحجم جایگذاری( انتخاب شوند، توزیع میانگین تقریبا

2/n و واریانس دارای توزیع نرمال با میانگین می باشد. به عبارت دیگر

(0,1)X

Z N

n

ms-

= :

دانشگاه صنعت آب و برق 8

0

10

20

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Distribution of 200 digits

Distribution of 200 digits from

Social Security Numbers

(Last 4 digits from 50 students)F

req

ue

nc

y

Figure 5-19

دانشگاه صنعت آب و برق 9

Table 5-2

1

5

9

5

9

4

7

9

5

7

8

3

8

1

3

2

7

1

3

6

3

8

2

3

6

1

5

3

4

6

4

6

8

5

5

2

6

4

9

4.75

4.25

8.25

3.25

5.00

3.50

5.25

4.75

5.00

2

6

2

2

5

0

2

7

8

5

3

7

7

3

4

4

4

5

1

3

6

7

3

7

3

3

8

3

7

6

2

6

1

9

5

7

8

6

4

0

7

4.00

5.25

4.25

4.50

4.75

3.75

5.25

3.75

4.50

6.00

SSN digits x

دانشگاه صنعت آب و برق 10

0

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Distribution of 50 Sample Means for 50 Students

Fre

qu

en

cy

Figure 5-20

5

15

دانشگاه صنعت آب و برق 11

مثال قضیه حد مرکزی تایی از تابع چگالی احتمال زیر 30یک نمونه

انتخاب شده است. مطلوبست P(45<Xi<49.5)

3

0 24( )

0 otherwiseX

xx

f x

ìïï < <ï= íïïïî2 3

0

2 32 2 8

3

0

2 28 83 75

1.64

( )4

( ) 1.6

X

X

xx dx

xE X x dx

m

s

= =

= =

= - =

ò

ò

دانشگاه صنعت آب و برق 12

دنباله مثال قضیه حد مرکزی تقسیم میشود و مطابق 30طرفین بر عدد

قضیه حد مرکزی متغیر مورد نظر نرمال 45است. 49.5

30 301

(45 49.5) ( )n

ii

P X P X=

< < = < <å

8 875 75

1.5 1.6 1.65 1.6( 1.68 0.84)

30 300.753

P Z P Z

æ öç ÷ç ÷ç ÷- -ç ÷< < = - < <ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷è ø=

دانشگاه صنعت آب و برق 13

تابع چگالی احتمال واریانس ها نمونه

اگر نمونه ( ای با حجمn<30 از یک جامعه )انتخاب و 2 و واریانس نرمال با میانگین

را محاسبه کنید. این مقادیر، S2مقادیر S2هستند، توزیع آماره S2مقادیری از آماره

S2/ 2(n-1مشخص نیست اما توزیع آماره )

مشخص است و این آماره دارای توزیع توان درجه آزادی است.v=n-1دوم کای با

قضیه: اگرS2 واریانس یک نمونه تصادفی با 2 از یک جامعه نرمال با واریانس nحجم

باشد، آنگاه توزیع آماره

22

12

( 1)n

n Sc

s -

-:

دانشگاه صنعت آب و برق 14

اثباتابتدا می توان نوشت

طرفین را بر2 تقسیم می کنیم و جایگذاریرا انجام می دهیم.

22

1 1

2 2

1 1 1

2 2

1

( ) ( ) ( )

( ) ( ) 2( ) ( )

( ) ( )

n n

i ii i

n n n

i ii i in

ii

X X X X

X X X X X X

X X n X

m m

m m

m

= =

= = =

=

é ù- = - + -ë û

= - + - + - -

= - + -

å å

å å å

å

2 2 2

221

( 1) ( )ni

i

X n S X

n

m mss s=

æ ö- - -ç ÷ = +ç ÷ç ÷è øå

دانشگاه صنعت آب و برق 15

برآورد بطور کلی برآوردها به دو دسته تقسیم

می شوند.ای برآورد نقطه•ای برآورد فاصله•

ای همانطور که از اسمش برآورد نقطهپیداست، نشان از یک نقطه دارد. مانند:

ها در میزان در این نوع برآورد، اثر تغییر نمونه•برآورد مشهود نیست.

این نوع برآورد دارای احتمال متناظر نیست. •

X

S

m

s

;

;

دانشگاه صنعت آب و برق 16

ای برآورد فاصله برای این برآورد یک نوع فاصله در نظر گرفته

می شود.

1احتمال متناظر این فاصله برابر با-.است

Lower # < population parameter < Upper #

As an example

P(Lower # < < Upper #)=1-

usually 90%, 95%, or 99%

( = 10%), ( = 5%), ( = 1%)

دانشگاه صنعت آب و برق 17

Confidence Intervals from 20 Different Samples

دانشگاه صنعت آب و برق 18

)1مقادیر بحرانی (

1مثال اگر مقدار-=0.95 باشد، مقدار =0.05 است و مقدار با استفاده از جدول نرمال

است.Z/2=1.96برابر

z=0z2

-z2

2 2

دانشگاه صنعت آب و برق 19

)2مقادیر بحرانی (

-z2

=-1.96z2

=1.96

95%

.95

.025.025

2 = 2.5% = .025 = 5%

دانشگاه صنعت آب و برق 20

حاشیه خطا میزان خطا میانگین نمونه از میانگین

نشان داد.E را می توان با جامعه X

µ x + Ex - E

حد پایین حد باال

2

E Zn

as

=

X E X Em- < < +

دانشگاه صنعت آب و برق 21

معلوم باشداگر مقدار اما اگرn<30 باشد، برای اینکه شرط نرمال

معلوم باشد. بودن حفظ شود، باید مقدار در این حالت اگرn30 تعداد نمونه( باشد(

استفاده S میتوان از برآورد آن یعنی بجای نمود.

دانشگاه صنعت آب و برق 22

مثال 98.2 انسان سالم برابر 106متوسط دمای بدن

0.62درجه فارنهایت است و انحراف معیار آنها می باشد. یک فاصله اطمینان برای میانگین جامعه

حساب کنید.

n = 106x = 98.20o

s = 0.62o

= 0.05/2 = 0.025z / 2 = 1.96

2

0.621.96 0.12

106E Z

nas

= = =

x - E < < x + E

98.20o - 0.12 < <

98.20o + 0.12

98.08o < <

98.32o

دانشگاه صنعت آب و برق 23

نامعلوم با فاصله اطمینان ها کوچک و اگر تعداد نمونه ،نامعلوم باشد

استودنت استفاده می شود.tآنگاه از توزیع

فاصله اطمینان بصورت قبل می باشد ولی ازt/2 استفاده می شود و حاشیه خطا برابر استبا:

Xt S

n

m-=

, 12n

SE t

na

-=

دانشگاه صنعت آب و برق 24

فاصله اطمینان برای واریانس و انحراف معیار

همانطور که قبال مالحظه شد، آماره زیر ازتوزیع مربع کای پیروی می کند.

ای یا فاصله اطمینان برای برآورد فاصله

واریانس به شرح زیر است.

22

12

( 1)n

n Sc

s -

-:

2 22

2 2, 1 , 1

( 1) ( 1)

R n L n

n S n Ss

c c- -

- -< <

دانشگاه صنعت آب و برق 25

شکل توزیع مربع کای از حیث توزیع مساحت ها

دانشگاه صنعت آب و برق 26

1- 2برآوردگر برای

:نشان داده می شود که .یک برآوردگر خوب می باشد

1 2 1 2. .X X B E m m- -

1 2

2 2

1 2 1 2 1 2

2 22 1 2

1 2

1 2 1 2

2 21 2

1 2

( ) ( ) ( )

( ) ( )(0,1)

( ) 1

X X

E X X E X E X

n n

X XZ N

n n

P z Z za a

m m

s ss

m m

s s

a

-

- = - = -

= +

- - -=

+

- < < = -

:

دانشگاه صنعت آب و برق 27

1- 2 (1)ای برای برآورد فاصله

بازه اطمینان(%1- برای )1- 2 عبارتاست از:

.مورد فوق با توجه به شرایط زیر برقرار است

2

2

2 21 2

1 2 1 21 2

2 21 2

1 21 2

( )

( )

X X zn n

X X zn n

a

a

s sm m

s s

- - + < - <

- + +

2 21 2 1 2

2 21 2 1 2

2 21 2 1 2

, 30any population , known

, 30any population , unknown

, 30normal distribution , known

n n

n n

n n

s s

s s

s s

³

³

<

دانشگاه صنعت آب و برق 28

1- 2 (2)ای برای برآورد فاصله

و دو جامعه 30ها کوچکتر از اگر حجم نمونه ها با هم برابر باشند، نرمال و واریانس

1خواهیم داشت. 2 1 2 1 2 1 2

2 21 2

1 21 2

( ) ( ) ( ) ( )1 1

X X X XZ

n nn n

m m m m

s s s

- - - - - -= =

++

2 21 1 2 2

1 22 2

2 21 1 2 2

1 2 2 2

2 21 1 2 2

2

( 1) ( 1)

( 1) ( 1)

( 1) ( 1)

n S n SV V

n S n SV V V

n S n S

s s

s s

s

- -= =

- -= + = +

- + -=

دانشگاه صنعت آب و برق 29

1- 2 (3)ای برای برآورد فاصله1 2 1 2

1 2

2 21 1 2 2

21 2

1 2 1 2

1 2

( ) ( )1 1

( 1) ( 1)( 2)

( ) ( )1 1

p

X X

n nZT

V n S n Sn n

X X

Sn n

m m

s

u s

m m

- - -

+

= =- + -

+ -

- - -=

+

2 22 1 1 2 2

1 2

( 1) ( 1)

2p

n S n SS

n n

- + -=

+ -

1- 2 (4)ای برای برآورد فاصله

دانشگاه صنعت آب و برق 30

1 2

1 2

1 2 2, / 2 1 21 2

1 2 2, / 21 2

1 1( )

1 1( )

n n p

n n p

X X t Sn n

X X t Sn n

a

a

m m+ -

+ -

- - + < - <

- + +

مثال ،از دو جامعه نرمال با واریانس های مساوی

n2=16 و n1=9دو نمونه تصادفی مستقل انتخاب کرده ایم و نتایج زیر بدست آمده

است.95% فاصله اطمینان را برای 1- 2 به دست

آورید. حل: برایt0.975,16+9-2 به دست 2.07 مقدار

می آید.

دانشگاه صنعت آب و برقبنابراین 31

2 21 1 2 2

64 36 59 25x s x s= = = =

2 1(8 36 15 25) 28.83 5.37

23p ps s= ´ + ´ = Þ =

1 2

1 2

1 1(64 59) 5.37 2.07

9 161 1

(64 59) 5.37 2.07 0.37 9.639 16

m m

m m

- - + ´ < - <

- + + ´ Þ < - <