MATERIA:PROGRAMACION Y METODOS NUMERICOS

CATEDRTICO:ING. ALFONSO SANCHEZ SOLIS

TEMA:ANLISIS DEL ERROR Y SOLUCIN DE ECUACIONES

ALUMNO:ALMA ANGELINA LERDO REYES

ESPECIALIDAD:INGENIERA BIOQUMICA

GRADO: 4 SEMESTRE GRUPO: A

Unidad 3 anlisis del error y solucin de ecuaciones

ObjetivoElaborar esta investigacin para conocer y resolver anlisis de errores de ecuaciones y solucionarlos de acuerdo de los temas que conforman esta unidad, conociendo los mtodos matemticos.

JustificacinEsta investigacin es elaborada con el fin de analizar ms a fondo la materia de programacin y mtodos numricos, analizando mtodos para errores de funciones, tambin para elaborar graficas para encontrar sus ejes de interseccin ya sea manualmente o con un software que permita su solucin ya sea funciones lineales o no lineales.

3.1. Anlisis del errorCon el auge cada vez mayor de la informtica es evidente que los sistemas computacionales se han perfeccionado. En actualidad los dispositivos digitales (computadoras y calculadoras) pueden realizar un gran nmero de operaciones sin cometer errores, es decir trabajan lo ms exacto posible. Pero a pesar de toda esta perfeccin al trabajar con estos sistemas o dispositivos, suele resultar que dichos procesos u operaciones den una respuesta equivocada, lo cual puede obedecer a errores de tipo humanos (frmulas incorrectas, errores de lgica en los programas, tipogrficos, etc.), errores subyacentes al diseo del mtodo (truncamiento de frmulas (series)) y errores inherentes al funcionamiento del dispositivo digital (Aritmtica finita).Cada vez que se apliquen mtodos numricos es pertinente procurar la minimizacin de los errores que se pueden presentar. As que se debe conocer porque se presentan, que tanto se pueden tolerar y que tan buena son las aproximaciones que se obtengan.3.1.1. Cifras significativasEn consecuencia, antes de analizar los errores asociados con los mtodos numricos, es til repasar algunos conceptos bsicos referentes a la representacin aproximada de los nmeros mismos.Cuando se emplea un nmero para realizar un clculo, debe haber seguridad de que pueda usarse con confianza.Se le llaman cifras significativas de un nmero a aquellas que pueden ser utilizadas con confiabilidad, para estimar una medida.Existen dos razones, por las cuales el concepto de cifras significativas reviste de importancia en el estudio de los mtodos numricos:1. los mtodos numricos obtienen resultados aproximados. Por lo tanto se debe contar con criterio que permitan especificar que tan precisos son los resultados obtenidos. Una manera de asegurarlos es en trminos de cifras significativas. As se pude establecer que la aproximacin es aceptable siempre y cuando sea correcta para cierto nmero de cifras significativas.2. Aunque ciertas cantidades representen nmeros especficos, no se pueden representar exactamente con un nmero finito de dgitos, y como los computadores solo pueden retener un nmero finito de dgitos, se debe hacer omisin de un nmero infinito de cifras significativas.

3.1.2. Exactitud y precisinLos errores en clculos y medidas se pueden caracterizar con respecto a su exactitud y su precisin. La exactitud se refiere a qu tan cercano est el valor calculado o medido del valor verdadero. La precisin se refiere a qu tan cercanos se encuentran, unos de otros, diversos valores calculados o medidos.

Los mtodos numricos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgo para satisfacer los requisitos de un problema particular de ingeniera. Tambin deben ser suficientemente precisos para ser adecuados en el diseo de la ingeniera. En este libro se usa el trmino error para representar tanto la inexactitud como la imprecisin en las predicciones.El trmino exactitud indica la proximidad de la media de una serie de datos al valor que se acepta verdadero. La exactitud se expresa en trminos del error al valor que se acepta como verdadero. La exactitud se expresa en trminos del error determinado (Edet) o diferencia entre la media y el valor aceptado .

Sin embargo, tiene mayor significado desde el punto de vista analtico determinar la exactitud en trminos del error determinado relativo, o porcentaje de error determinado con respecto a la media.3.1.3. Definicin de error y tipos de errorLos errores numricos surgen del uso de aproximaciones para representar operaciones y cantidades matemticas exactas. stas incluyen los errores de truncamiento que resultan del empleo de aproximaciones como un procedimiento matemtico exacto, y los errores de redondeo que se producen cuando se usan nmeros que tienen un lmite de cifras significativas para representar nmeros exactos. Para ambos tipos de errores, la relacin entre el resultado exacto, o verdadero, y el aproximado est dada por

Valor verdadero = Valor aproximado + errorReordenando la ecuacin se encuentra que el error numrico es igual a la diferencia entre el valor verdadero y el valor aproximado, es decir

Et = valor verdadero valor aproximado

DondeEt se usa para denotar el valor exacto del error. El subndice t indica que se trata del error verdadero (true). Como ya se mencion brevemente, esto contrasta con los otros casos, donde se debe emplear una estimacin aproximada del error.Una desventaja en esta definicin es que no toma en consideracin el orden de la magnitud del valor que se estima. Por ejemplo, un error de un centmetro es mucho ms significativo si se est midiendo un remache en lugar de un puente. Una manera de tomar en cuenta las magnitudes de las cantidades que se evalan consiste en normalizar el error respecto al valor verdadero, es decirError relativo fraccional verdadero = error verdadero /valor verdadero

Sea X el valor exacto de una cantidad y sea su valor aproximado. Se define el error absoluto como.

El error absoluto mide la diferencia entre el valor exacto de una cantidad y su valor aproximado. Tipos de erroresLos errores numricos se generan por el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades matemticas.Errores de truncamiento y la serie de TaylorTeorema: Si existe un y. Para toda, existe (x) entre y, tal que:Donde y Es el n-simo polinomio de Taylor para f respecto a x0 y se llama el termino del residuo o error de truncamiento asociado a. La serie infinita al tomar el lmite de cuando n es la serie de Taylor para f alrededor de x0. En el caso x0=0, al polinomio y la serie de Taylor se les dice Polinomio y serie de Maclaurin, respectivamente. El termino error de truncamiento se refiere al error presente cuando se usa una suma truncada o finita para aproximar la suma de una serie infinita.La serie de Taylor para la funcin f (x) = ln(x) en [1,2], desarrollada alrededor de x0 =1, podemos expresarla como:para 1 x 2. Aqu, con entre 1 y x. Pero como >1.

Errores de redondeo y la aritmtica finita de las computadorasLos errores de redondeo se originan debido a que la computadora emplea un nmero determinado de cifras significativas durante un clculo. Losnmeros tales como p, e o 7 no pueden expresarse con un nmero fijo de cifras significativas. Por lo tanto, no pueden ser representados exactamente por la computadora.Adems, debido a que las computadoras usan una representacin en base 2, no pueden representar exactamente algunos nmeros en base 10. Esta discrepancia por la omisin de cifras significativas se llama error de redondeo.

Como la computadora slo puede almacenar un nmero fijo de cifras significativas, y cantidades como , e, no pueden ser expresadas exactamente, se debe hacer omisin de cifras significativas, ya sea aplicando un proceso de redondeo o de truncamiento de un nmero. Esta discrepancia ocasionada por la omisin de cifras significativas es llamada error de redondeo. Aritmtica Computacional. Los nmeros en la computadora son representados en el sistema binario o de base dos, debido a que las computadoras generalmente trabajan con componentes electrnicos de apagado/encendido o Intensidad de corriente por encima o por debajo de un umbral o teniendo en cuenta direcciones de flujos en dos sentidos: Estos efectos son utilizados para procesar la informacin numrica.Todo nmero real x no nulo tiene o admite una representacin de punto flotante binario normalizada, es decir se puede representar en la forma: donde y E es un entero.Aunque las computadoras poseen una flexibilidad en cuanto a la cantidad de memoria que pueda asignarse para almacenar nmeros reales, para una aplicacin numrica dada, el nmero de bits asignados para almacenar un nmero generalmente, es fijo. En una computadora, un nmero real X no nuloes un nmero de mquina, si una vez escrito en laforma de punto flotante binario normalizada, el signo, la mantisa M y el exponente con corrimiento E+E0 (sin signo) escritos en binario, puede almacenarse exactamente usando N+P+1 bits segn la distribucin:Un bit para el signo (0 es + y 1 es -), P bits para el exponente con corrimiento E+E0 (E0 =2P-1) y N bits para la mantisa M.3.1.4. Propagacin del errorMedidas indirectas: Magnitudes que se calculan a partir de los valores encontrados en las medidas de otras magnitudes. Conocemos x x, y y,... Calculamos z = f (x, y,...) Cul es el error de z?Propagacin de errores: Conjunto de reglas que permiten asignar un error a z, conocidas las incertidumbres de x e y,... Permiten asignar un error al resultado final. Indica la importancia relativa de las diferentes medidas directas. Planificacin del experimento.Hiptesis de partida Medidas dependientes: Hiptesis pesimista. Siempre en la situacin ms desfavorable. Conjunto de reglas prcticas. Medidas independientes: Errores cuadrticos medios.Frmula general de propagacin de errores.Propagacin de errores en sumas y diferenciasDatos iniciales:

Sea su suma y su diferencia .3.1.5. Error de truncamiento y serie de Taylor

Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una aproximacin en lugar de un procedimiento matemtico exacto. Por ejemplo, en el captulo 1 aproximamos la derivada de la velocidad de cada de un paracaidista mediante una ecuacin en diferencia finita dividida de la forma.

Se present un error de truncamiento en la solucin numrica, ya que la ecuacin en diferencia slo aproxima el valor verdadero de la derivada (vase figura 1.4). Para obtener un conocimiento sobre las caractersticas de estos errores, debe considerar una formulacin matemtica que se utiliza ampliamente en los mtodos numricos para expresar funciones de manera aproximada: la serie de Taylor.Serie de TaylorEl teorema de Taylor y su frmula, la serie de Taylor, es de gran valor en el estudio de los mtodos numricos. En esencia, la serie de Taylor proporciona un medio para predecir el valor de una funcin en un punto en trminos del valor de la funcin y sus derivadas en otro punto. En particular, el teorema establece que cualquier funcin suave puede aproximarse por un polinomio.Una buena manera de comprender la serie de Taylor consiste en construirla trminopor trmino. Por ejemplo, el primer trmino de la serie es:F (xi+1) _ f (xi)Esta relacin, llamada la aproximacin de orden cero, indica que el valor de f en el nuevo punto es el mismo que su valor en el punto anterior. Tal resultado tiene un sentido intuitivo, ya que si xi y xi+1 estn muy prximas entre s, entonces es muy probable que el nuevo valor sea similar al anterior.La serie de Taylor provee un medio para predecir el valor de una funcin en un punto en trminos del valor de la funcin y sus derivadas en otro punto. Teorema de Taylor: Si la funcin fy sus primeras n+1 derivadas son continuas en un intervalo que contiene a ay a x, entonces el valor de la funcin en un punto xest dado por:

La expansin en series de Taylor de n-simoorden debe ser exacta para un polinomio de n-simoorden.Para otras funciones continuas diferenciables, como las exponenciales o sinusoidales, no se obtiene una estimacin exacta mediante un nmero finito de trminos. El valor prctico de las series de Taylor radica en el uso de un nmero finito de trminos que darn una aproximacin lo suficientemente cercana a la solucin verdadera para propsitos prcticos. El residuo en la expansin de la serie de TaylorAntes de mostrar cmo se utiliza la serie de Taylor en la estimacin de errores numricos, se debe explicar por qu se incluye el argumento x en la ecuacin. Un desarrollo matemtico se presenta en el cuadro 4.1. Ahora se expondr una interpretacin ms visual. Despus se extiende este caso especfico a una formulacin ms general.Suponga que se trunca la expansin de la serie de Taylor despus del trmino de orden cero para obtener:F (xi+1) _ f (xi)El residuo o error de esta prediccin, que se indica tambin en la figura, consiste de la serie infinita de trminos que fueron truncados:

Obviamente no resulta conveniente manipular el residuo en este formato de serie infinita.Se obtiene una simplificacin truncando el residuo mismo de la siguiente maneraR0 _ f (xi) h

Error de PropagacinSupngase que se tiene una funcin f (u). Considere que es una aproximacin de u ( = u+h, con tamao de paso). Por lo tanto, se podra evaluar el efecto de la discrepancia entre uy en el valor de la funcin.

Si ues cercana a y f(u) es continua y diferenciable:

3.2. Races de ecuacionesRaces de ecuaciones se ocupa de mtodos que aprovechan el hechoDe que una funcin cambia de signo en la vecindad de una raz. A estas tcnicas se lesLlamamtodos cerrados, o de intervalos, porque se necesita de dos valores iniciales paraLa raz. Como su nombre lo indica, dichos valores iniciales deben encerrar, o estar haAmbos lados de la raz. Los mtodos particulares descritos aqu emplean diferentes estrategiasPara reducir sistemticamente el tamao del intervalo y as converger a laRespuesta correcta.Como prembulo de estas tcnicas se analizarn los mtodos grficos para representarTanto las funciones como sus races. Adems de la utilidad de los mtodos grficosPara determinar valores iniciales, tambin son tiles para visualizar las propiedadesDe las funciones y el comportamiento de los diversos mtodos numricos.La raz de una ecuacin es aquel valor de la variable independiente que hace que el resultado de la ecuacin sea cero o por lo menos se acerque a cero con un cierto grado de aproximacin deseado.

MTODOS BASADOS EN INTERVALOS

Su caracterstica fundamental es que se elige un intervalo [a, b] dentro del cual se encuentre la raz buscada. No hay una regla a seguir para la seleccin de este intervalo, sin embargo, se debe cumplir que en los extremos del intervalo la funcin cambie de signo lo cual que equivale a que: f(a)*f (b) < 0. Una primera aproximacin a la solucin se logra al elaborar un modelo grafico de la ecuacin y a partir de l, por simple inspeccin, seleccionar el intervalo ms adecuado.Si al evaluar la funcin, en los extremo del intervalo elegido, presenta igual signo puede no existir races o existir un nmero impar de ellas. Si la funcin cambia de signo esto nos indica que al menos hay una raz en dicho intervalo. Los casos que requierenAnlisis especial se presentan cuando la funcin tiene puntos tangentes al eje x o cuando tiene discontinuidades.

3.2.1. Mtodo grficoUn mtodo simple para obtener una aproximacin a la raz de la ecuacin f (x) = 0 consiste en graficar la funcin y observar dnde cruza el eje x. Este punto, que representa el valor de x para el cual f(x) = 0, ofrece una aproximacin inicial de la raz.Lo esencial en este mtodo es poder construir un modelo grafico de la ecuacin y luego por inspeccin estimar una aproximacin a laRaz.El mayor inconveniente de este mtodo es su poca precisin y exactitud. Sin embargo, hoy da se cuenta con excelentes herramientas de software para realizar rpidamente graficas con un alto grado de realismo. El primer problema a resolver es .que intervalo usar para construir la grafica? No hay regla que nos diga cmo hacerlo, por eso lo mejor es probar con varios intervalos hasta encontrar el ms adecuado, no obstante es importante considerar las caractersticas particulares del problema que vamos a resolver, ya que eso nos dar una idea del rango de posibles soluciones, por ejemplo si queremos hallar una magnitud fsica como velocidad, distancia, masa, etc., sabemos que no tiene sentido probar con valores negativos, por lo tanto podemos graficar rangos a partir de cero.

Mtodo grafico para hallar races.

3.2.2. Mtodos cerrados. Biseccin. Regla Falsa. Otros mtodos

Mediante consideraciones geomtricas sencillas (que se dejan como ejercicio al lector interesado) puede verse que los valores de que proporcionan los puntos de impacto I son las racese la ecuacin:

Mtodo de biseccin

La primera tcnica iterativa para hallar ceros de funciones que se presenta aqu es el mtodo de la biseccin.El mtodo consiste en lo siguiente:Debe existir seguridad sobre la continuidad de la funcin f(x) en el intervalo [aba]A continuacin se verifica que Se calcula el punto medio m del intervalo [aba] y se evala f (m) si ese valor es igual a cero, ya hemos encontrado la raz buscadaEn caso de que no lo sea, verificamos si f (m) tiene signo opuesto con f(a) o con f (b)Se redefine el intervalo [a, b] como [a, m] [m, b] segn se haya determinado en cul de estos intervalos ocurre un cambio de signoCon este nuevo intervalo se contina sucesivamente encerrando la solucin en un intervalo cada vez ms pequeo, hasta alcanzar la precisin deseada

Regla FalsaLa idea para obtener una valor aproximado de la raz de la ecuacin en el intervalo . Consiste en remplazar por un polinomio que toma los valores de en determinados puntos de .

Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo, tomamos el punto donde cruza al eje esta recta, nos aproximaremos mucho ms rpido a la raz; sta es en s, la idea central del mtodo de la regla falsa y sta es realmente la nica diferencia con el mtodo de biseccin, puesto que en todo lo dems los dos mtodos son prcticamente idnticos.Supongamos que tenemos una funcin que es continua en el intervalo y adems, y tienen signos opuestos.Calculemos la ecuacin de la lnea recta que une los puntos , .3.2.3. Mtodos abiertos. Iteracin de puntofijo. Mtodo de la secante. Newton-RaphsonLos mtodos abiertos utilizan una frmula para predecir la raz. Esta frmula puede desarrollarse como una iteracin simple de punto fijo (tambin llamada iteracin de un punto o sustitucin sucesiva o mtodo de punto fijo).Las racesmltiplesLas racesmltiplesson determinadosdeecuaciones poli nmicasque tienen la formageneral:fx=a0+a1x+a2x2+... +anxn

Donde n es elgrado del polinomioyson los coeficientes.Las racesde los polinomiospueden ser realesy / o complejos,y cumplir con lastres reglas:*Enuna ecuacin de gradon,hay nraces realeso complejas.Cabe sealarque las racesno son necesariamente diferentes.

*Si n es imparhay al menosuna raz real.

*Si hayraces complejas, estasse encuentran enpares conjugados.Mtodo de Punto FijoEl mtodo de punto fijo o de aproximaciones sucesivas es, junto con el de Biseccin, uno de los primeros mtodos que se utilizaron para resolver ecuaciones algebraicas y trascendentes. No obstante que en la actualidad existen otros mtodos ms eficientes, el de punto fijo se considera el ms simple en sus principios y en l se pueden apreciar claramente todas las caractersticas de un mtodo de aproximaciones sucesivas. Sea F(x) =0una ecuacin algebraica o trascendente cualquiera. Se suma x en ambos miembros y se obtiene: F(x) + x = xDonde el miembro izquierdo es otra funcin de x que se define como G(x) + x = xSe sustituye en la ecuacin (1): (3)x = G(x)Obsrvese ahora que cualquier ecuacin puede representarse en esta forma, siguiendo el procedimiento anterior. Si x = a es una raz de la ecuacin, entoncesF (a) =0O bien, al sustituir en la ecuacin (3)a = G (a)El mtodo de aproximaciones sucesivas consiste en sustituir un valor inicial (x0) apropiado (cercano a la raz) en el segundo miembro de la ecuacin (3). Si x0 es la raz, se deber cumplir la ecuacin (4); esto es:x0 = G(so)Pero esto ser difcil de que ocurra; seguramente el valor inicial principal proporcionado xo ser solo un valor cercano a la raz. Entonces, en el caso general:x0 =/ G(x0) o bien, x1 = G(x0)Donde x1 es la nueva aproximacin de la raz a. se sustituye x1 en el segundo miembro de la ecuacin (3) y se obtiene:x2 = G(x1)Al proceder reiteradamente en esta forma se induce que la n-sima aproximacin es:Xn = G(Xn-1)n = 1,2,3,.....De acuerdo con lo visto en los temas anteriores, puede afirmarse que si el mtodo converge, la diferencia en valor absoluto entre valores proporcionados en dos iteraciones sucesivas ser cada vez ms pequea a medida que n aumnete, y con esto se tendr un criterio para saber cundo termina la aplicacin del mtodo.Es posible afirmar que si en la n-sima iteracin el mtodo se est aproximando a la raz o converge a ella, entonces:|G(t)| = |a - Xn| / |a - Xn-1|