LINIVERSITE IBN TOFAILFacult6 des SciencesDdpartement de Math6matiqueEt d'Informatique

Filidre : SMI - Semestre 3

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Module : Architecture des ordinateurs et LangageAssembleur

Compldment du Cours

Algdbre de Boole

Auteur: Hatim KHAfuRAZ AROUSSI

Annde (Iniversitaire : 201 2 / 201 3

Architecture des ordinateurs Annde (Jniversitaire 2012/2013

TABLE DES MATIERES

ALGEBRE BOOLEE

1. Introduction

2. Principes de loalgibre de boole ------- 2

3. L'algibre de boole appliqu6es aux circuits 6lectriques3.1. Circuits d'intemrpteurs en s6ries : Fonction ET --------- ------- 43.2. Circuits d'intemrpteurs en paralldles : Fonction OU--------- --------------- 43.3. Utilisation.du relais thermique : Fonction NoN (N6gation ou Barre)----------------- 53.4. Commutativit6 ------- -----r------- --------- 53.5. Associativit6---------- ----------- 63.6. Distributivit6-----3.7. El6ments neutres---- ---------- l3.8. Compl6mentarit6 --------- l

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Algibre booldenne

1. Introduction

Les outils de traitement automatique de I'information tels que les ordinateurs utilisent descomposants 6lectroniques (transistors) qui traitent des informations qui sont sous formebinaire. Dans un transistor, le courant passe ou ne passe pas, Ces composants sont appeldseircuits logiques. Les systdmes qui utilisent ces composants sont appel6s systimes logiques.

La nature binaire de ces informations n6cessite de disposer d'un outil math6matiqueappropri6. C'est I'algibre de bool6enne ou appel6 algibre de boole.

2. Principes de I'algibre de boole

Soit I'ensemble E constitu6 de deux 6l6ments :

,/ L'un est appeld 6l6ment nul et est not6 : 0,/ L'autre est appeld 6l6ment unit6 et est notd : I

On a donc : E: {0,1}.

Un 6l6ment quelconque de E est d6sign6 par un symbole, par exemple une lettre A, B, C ...qui peut prendre la valeur 0 ou 1. Ces symboles sont appelds des variables logiques.

On d6frnit sur cet ensemble E les lois suivantes :

A Ndgation (Compldmentation)

C'est une loi unaire (elle ne concerne qu'une seule variable) not6e : barre telle que :

VAeE,A-1<+ A=0

B Somme logique @a)

C'est une loi de composition inteme (elle ne fait intervenir que des 6l6ments de Q qui se note'*' et qui se lit Otl telle que :

v(A,B) e E2,(A+ B:1) <+ (A =I)OU(B = 1)

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C Produitlogique (ET)

C'est une loi de composition interne (elle ne fait intervenir que des 6l6ments de,fl qui se noteo.' et qui se lit ET telle que :

V(A,B). E2,(A.B :I) e (A:I)ET(B :I)

D. Rdgles de I'algDbre de boole

I'ensemble E muni des lois (+, .) satisfait aux propri6t6s suivantes, quels que soient A et Bappartenant d E :

On dit alors que {E,+,.} est une algibreo appelde algibre binaire, boolrEenne ou de boole.

3. L'algibre de boole appliqu6es aux circuits 6lectriques

On convient que quand le courant passe, on dit qu'il est repr6sent6 par le chiffre 1, et quand ilne passe pas c'est le chiffre 0.

En 6lectricit6, imaginons deux intemrpteurs a et b :

./ dans un premier cas ils sont en s6rie,,/ dans un deuxidme cas en paralldle,'/ puis'un autre cas ou il y a un relais thermique qui ouvre ou ferme un autre intemrpteur

selon l'6tat d'un intemrpteur a.

Dans les trois cas, une lampe t6moin Z sera plac6e en sdrie avec le circuit d'intemrpteurs pourmontrer que le courant dlectrique passe ou ne passe pas.

S:tmboles d'interrupteurs utilisds dans cette partie :

I

-----{ : intemrpteur ouvert, le courant ne passe pas (dtat 0)

Somme (+) : OU Produit (.) : ETCommutativitd A+B:B+A A.B:B.AEl6ments neutres A+O:A A.l:ACompl6mentarit6 A+A=7 A.A=0Distributivit6 A+(B.Q:(A+B).@+q A.@+q4.8\+U.AAssociativit6 A+(fi+91:U+B\+C A.G.A:U.B\,C

# : intemrpteur ferm6, le courant passe (6tat 1)

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3.1. Circuits d'interrupteurs en s6ries : Fonction ET

Il faut que les deux intemrpteurs soient ferm6s tout les deux en mOme temps pour que le

courant passe et que la lampe s'allume, si I'un des deux intemrptews au moins (ou m6me les

deux d la fois) est ouvert, le courant ne passe pas, la lampe reste 6teinte.

Circuits en sdries

---l ---J Lampe dteinte

---l --J- : Lampe dteinte

Lampe 6teinte

: Lampe allumee

Cela signifie que f intemrpteur a ET f intemrpteur b soient 6gaux i 1 pour que la lampe Z soit

6gale i 1. Le courant 6lectrique doit obligatoirement passer par les deux intemrpteurs pour

allumer cette lampe I. Ainsi, selon la notation de l'algdbre de boole : L:a.b

3.2. Circuits d'interrupteurs en paralliles : Fonction OU

Il faut que l'un des deux intemrpteurs a ou b au moins, soit fermd pour que le courant passe, et

que la lampe tdmoin I s'allume.

Circuits en paralldles

b

Lampe 6teinte Lampe allum6e

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Lampe allumde Lampe allumde

Cela signifie que si I'un des deux intemrpteurs au moins (a OU b) est 6gal d 1, alors la lampeZ sera 6gale d l. C'est-dL-dire que le courant doit passer pa.r au moins un des deux intemrpteurspour allumer la lampe L. Ainsi, on 6crit : L:a*b

3.3. Utilisation du relais thermique : Fonction NON (N6gation ouBarre)

Si f intemrpteur a est d l'6tat ouvert (c'est-d-dire que le courant ne passe pas), grdce au relaisthermique, la connexion sera ferm6 (lampe allum6e). Ou vice versa, si le courant passe dans a,le relais thermique ouvrira la connexion et la lampe s'etteind.

: Lampe allumde

Relaisthermique

: Lampe 6teinte

Math6matiquement on note L =7

3.4. Commutativit6

La loi de composition interne '*' est commutative, ainsi, les deux circuits paralldles suivantsdes deux intemrpteurs sont 6quivalents :

____|'a

# aLlRelais

thermique

b

Circuit la

Circuit 2

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La loi de composition interne '*' est commutative, ainsi, les deux circuits en s6ries suivantsdes deux intemrpteurs sont dquivalents :

- -

a

Circuit l

3.5. Associativit6

La loi de composition interne '*'des intemrpteurs sont 6quivalents :

Circuit 2

est associative, ainsi, les deux circuits paralldles suivants

It

Circuit l

c

Circuit 2

La loi de composition interne '.intemrpteurs sont dquivalents :.

' est associative, ainsi, les deux circuits en sdries suivants des

b

Circuit l Circuit 2

3.6. Distributivit6

La loi de composition interne '+' est distributive par rapport d la loi '.', ainsi, les deux circuitsparalldles suivants des intemrpteurs sont 6quivalents :

-- c

{17c

Circuit 2Circuit l

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La loi de composition interne '.' est distributive par rapport d la loi '+', ainsi, les deux circuitsparalldles suivants des intemrpteurs sont 6quivalents :

Circuit 2

L'6l6ment 0 (l'intemrpteur ouvert) est l'6l6ment neutre pour la loi de composition interne '+'.

0

Circuit I Circuit 2

L'6l6ment 1 (l'intemrpteur ferm6) est 1'6ldment neutre pour la loi de composition interne ,.'.

ol o

Circuit 2Circuit I

3.8. Compl6mentarit6

Les lois de composition interne '* et .' sont compl6mentaire, et le compl6ment de chaque

bcCircuit l

3.7. El6ments neutres

616ment a de F est a de E. En terme de circuit dlectrique ie compidment d'un intemrpteurouvert est un intemrpteur ouvert.

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1

Circuit 2

Circuit I0

Circuit 2

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