algebra1, normál - elte algebra és számelmélet tanszék...ez az a elem n-edik hatványa. ha a...
TRANSCRIPT
![Page 1: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/1.jpg)
Algebra1, normál 11. előadás 1 / 28
Algebra1, normál
ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék
Előadó: Kiss Emilhttp://ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress
11. előadás
![Page 2: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/2.jpg)
Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 2 / 28
Hatvány és többszörös
Definíció (K2.2.19)
Legyen ∗ asszociatív művelet és n pozitív egész.
![Page 3: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/3.jpg)
Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 2 / 28
Hatvány és többszörös
Definíció (K2.2.19)
Legyen ∗ asszociatív művelet és n pozitív egész.Ekkor an jelentse az n tényezős a ∗ a ∗ . . . ∗ a szorzatot.
![Page 4: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/4.jpg)
Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 2 / 28
Hatvány és többszörös
Definíció (K2.2.19)
Legyen ∗ asszociatív művelet és n pozitív egész.Ekkor an jelentse az n tényezős a ∗ a ∗ . . . ∗ a szorzatot.Ez az a elem n-edik hatványa.
![Page 5: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/5.jpg)
Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 2 / 28
Hatvány és többszörös
Definíció (K2.2.19)
Legyen ∗ asszociatív művelet és n pozitív egész.Ekkor an jelentse az n tényezős a ∗ a ∗ . . . ∗ a szorzatot.Ez az a elem n-edik hatványa.Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk.
![Page 6: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/6.jpg)
Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 2 / 28
Hatvány és többszörös
Definíció (K2.2.19)
Legyen ∗ asszociatív művelet és n pozitív egész.Ekkor an jelentse az n tényezős a ∗ a ∗ . . . ∗ a szorzatot.Ez az a elem n-edik hatványa.Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk.Ez az a elem n-szerese (többszörös).
![Page 7: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/7.jpg)
Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 2 / 28
Hatvány és többszörös
Definíció (K2.2.19)
Legyen ∗ asszociatív művelet és n pozitív egész.Ekkor an jelentse az n tényezős a ∗ a ∗ . . . ∗ a szorzatot.Ez az a elem n-edik hatványa.Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk.Ez az a elem n-szerese (többszörös).
Ha a ∗ szorzásra van 1 egységelem, akkor legyen a0 = 1.
![Page 8: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/8.jpg)
Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 2 / 28
Hatvány és többszörös
Definíció (K2.2.19)
Legyen ∗ asszociatív művelet és n pozitív egész.Ekkor an jelentse az n tényezős a ∗ a ∗ . . . ∗ a szorzatot.Ez az a elem n-edik hatványa.Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk.Ez az a elem n-szerese (többszörös).
Ha a ∗ szorzásra van 1 egységelem, akkor legyen a0 = 1.Ha a + összeadásra van nullelem, akkor legyen 0a = 0.
![Page 9: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/9.jpg)
Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 2 / 28
Hatvány és többszörös
Definíció (K2.2.19)
Legyen ∗ asszociatív művelet és n pozitív egész.Ekkor an jelentse az n tényezős a ∗ a ∗ . . . ∗ a szorzatot.Ez az a elem n-edik hatványa.Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk.Ez az a elem n-szerese (többszörös).
Ha a ∗ szorzásra van 1 egységelem, akkor legyen a0 = 1.Ha a + összeadásra van nullelem, akkor legyen 0a = 0.
Ha a-nak van egy b inverze, akkor legyen a−n = bn.
![Page 10: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/10.jpg)
Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 2 / 28
Hatvány és többszörös
Definíció (K2.2.19)
Legyen ∗ asszociatív művelet és n pozitív egész.Ekkor an jelentse az n tényezős a ∗ a ∗ . . . ∗ a szorzatot.Ez az a elem n-edik hatványa.Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk.Ez az a elem n-szerese (többszörös).
Ha a ∗ szorzásra van 1 egységelem, akkor legyen a0 = 1.Ha a + összeadásra van nullelem, akkor legyen 0a = 0.
Ha a-nak van egy b inverze, akkor legyen a−n = bn.Ha a-nak van egy b ellentettje, akkor legyen (−n)a = nb.
![Page 11: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/11.jpg)
Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 2 / 28
Hatvány és többszörös
Definíció (K2.2.19)
Legyen ∗ asszociatív művelet és n pozitív egész.Ekkor an jelentse az n tényezős a ∗ a ∗ . . . ∗ a szorzatot.Ez az a elem n-edik hatványa.Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk.Ez az a elem n-szerese (többszörös).
Ha a ∗ szorzásra van 1 egységelem, akkor legyen a0 = 1.Ha a + összeadásra van nullelem, akkor legyen 0a = 0.
Ha a-nak van egy b inverze, akkor legyen a−n = bn.Ha a-nak van egy b ellentettje, akkor legyen (−n)a = nb.
Értelmeztük az egész kitevőjű hatvány (többszörös) fogalmát.
![Page 12: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/12.jpg)
Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 2 / 28
Hatvány és többszörös
Definíció (K2.2.19)
Legyen ∗ asszociatív művelet és n pozitív egész.Ekkor an jelentse az n tényezős a ∗ a ∗ . . . ∗ a szorzatot.Ez az a elem n-edik hatványa.Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk.Ez az a elem n-szerese (többszörös).
Ha a ∗ szorzásra van 1 egységelem, akkor legyen a0 = 1.Ha a + összeadásra van nullelem, akkor legyen 0a = 0.
Ha a-nak van egy b inverze, akkor legyen a−n = bn.Ha a-nak van egy b ellentettje, akkor legyen (−n)a = nb.
Értelmeztük az egész kitevőjű hatvány (többszörös) fogalmát.Így minden gyűrű elemeit tudjuk egész számokkal „szorozni”.
![Page 13: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/13.jpg)
Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 3 / 28
A hatványozás tulajdonságai
Állítás (K2.2.20)
Legyenek a és b invertálható elemek egy asszociatív,
![Page 14: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/14.jpg)
Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 3 / 28
A hatványozás tulajdonságai
Állítás (K2.2.20)
Legyenek a és b invertálható elemek egy asszociatív,egymás mellé írással jelölt műveletre nézve,
![Page 15: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/15.jpg)
Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 3 / 28
A hatványozás tulajdonságai
Állítás (K2.2.20)
Legyenek a és b invertálható elemek egy asszociatív,egymás mellé írással jelölt műveletre nézve,és m, n egész számok.
![Page 16: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/16.jpg)
Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 3 / 28
A hatványozás tulajdonságai
Állítás (K2.2.20)
Legyenek a és b invertálható elemek egy asszociatív,egymás mellé írással jelölt műveletre nézve,és m, n egész számok. Ekkor a következők teljesülnek.
![Page 17: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/17.jpg)
Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 3 / 28
A hatványozás tulajdonságai
Állítás (K2.2.20)
Legyenek a és b invertálható elemek egy asszociatív,egymás mellé írással jelölt műveletre nézve,és m, n egész számok. Ekkor a következők teljesülnek.
(1) a−n az an inverze.
![Page 18: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/18.jpg)
Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 3 / 28
A hatványozás tulajdonságai
Állítás (K2.2.20)
Legyenek a és b invertálható elemek egy asszociatív,egymás mellé írással jelölt műveletre nézve,és m, n egész számok. Ekkor a következők teljesülnek.
(1) a−n az an inverze.
(2) aman = am+n.
![Page 19: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/19.jpg)
Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 3 / 28
A hatványozás tulajdonságai
Állítás (K2.2.20)
Legyenek a és b invertálható elemek egy asszociatív,egymás mellé írással jelölt műveletre nézve,és m, n egész számok. Ekkor a következők teljesülnek.
(1) a−n az an inverze.
(2) aman = am+n.
(3) (am)n = amn.
![Page 20: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/20.jpg)
Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 3 / 28
A hatványozás tulajdonságai
Állítás (K2.2.20)
Legyenek a és b invertálható elemek egy asszociatív,egymás mellé írással jelölt műveletre nézve,és m, n egész számok. Ekkor a következők teljesülnek.
(1) a−n az an inverze.
(2) aman = am+n.
(3) (am)n = amn.
(4) Ha a és b felcserélhetők (ab = ba),
![Page 21: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/21.jpg)
Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 3 / 28
A hatványozás tulajdonságai
Állítás (K2.2.20)
Legyenek a és b invertálható elemek egy asszociatív,egymás mellé írással jelölt műveletre nézve,és m, n egész számok. Ekkor a következők teljesülnek.
(1) a−n az an inverze.
(2) aman = am+n.
(3) (am)n = amn.
(4) Ha a és b felcserélhetők (ab = ba), akkor (ab)n = anbn.
![Page 22: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/22.jpg)
Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 3 / 28
A hatványozás tulajdonságai
Állítás (K2.2.20)
Legyenek a és b invertálható elemek egy asszociatív,egymás mellé írással jelölt műveletre nézve,és m, n egész számok. Ekkor a következők teljesülnek.
(1) a−n az an inverze.
(2) aman = am+n.
(3) (am)n = amn.
(4) Ha a és b felcserélhetők (ab = ba), akkor (ab)n = anbn.
Az analóg állítások érvényesek hatvány helyett többszörösre is.
![Page 23: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/23.jpg)
Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 3 / 28
A hatványozás tulajdonságai
Állítás (K2.2.20)
Legyenek a és b invertálható elemek egy asszociatív,egymás mellé írással jelölt műveletre nézve,és m, n egész számok. Ekkor a következők teljesülnek.
(1) a−n az an inverze.
(2) aman = am+n.
(3) (am)n = amn.
(4) Ha a és b felcserélhetők (ab = ba), akkor (ab)n = anbn.
Az analóg állítások érvényesek hatvány helyett többszörösre is.
Bizonyítás
Pozitív kitevőkre egyszerű leszámlálás.
![Page 24: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/24.jpg)
Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 3 / 28
A hatványozás tulajdonságai
Állítás (K2.2.20)
Legyenek a és b invertálható elemek egy asszociatív,egymás mellé írással jelölt műveletre nézve,és m, n egész számok. Ekkor a következők teljesülnek.
(1) a−n az an inverze.
(2) aman = am+n.
(3) (am)n = amn.
(4) Ha a és b felcserélhetők (ab = ba), akkor (ab)n = anbn.
Az analóg állítások érvényesek hatvány helyett többszörösre is.
Bizonyítás
Pozitív kitevőkre egyszerű leszámlálás.A többi esetben esetszétválasztás (HF).
![Page 25: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/25.jpg)
Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 4 / 28
Tagonkénti hatványozás
Állítás (K3.3.22)
Legyen p prímszám,
![Page 26: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/26.jpg)
Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 4 / 28
Tagonkénti hatványozás
Állítás (K3.3.22)
Legyen p prímszám, és R olyan kommutatív gyűrű, amelybenminden elem p-szerese nulla.
![Page 27: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/27.jpg)
Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 4 / 28
Tagonkénti hatványozás
Állítás (K3.3.22)
Legyen p prímszám, és R olyan kommutatív gyűrű, amelybenminden elem p-szerese nulla. Ekkor r , s ∈ R esetén(r + s)p = rp + sp:
![Page 28: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/28.jpg)
Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 4 / 28
Tagonkénti hatványozás
Állítás (K3.3.22)
Legyen p prímszám, és R olyan kommutatív gyűrű, amelybenminden elem p-szerese nulla. Ekkor r , s ∈ R esetén(r + s)p = rp + sp: tagonként lehet p-edik hatványra emelni.
![Page 29: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/29.jpg)
Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 4 / 28
Tagonkénti hatványozás
Állítás (K3.3.22)
Legyen p prímszám, és R olyan kommutatív gyűrű, amelybenminden elem p-szerese nulla. Ekkor r , s ∈ R esetén(r + s)p = rp + sp: tagonként lehet p-edik hatványra emelni.
Bizonyítás
A binomiális tétel alkalmazható minden kommutatív gyűrűben.
![Page 30: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/30.jpg)
Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 4 / 28
Tagonkénti hatványozás
Állítás (K3.3.22)
Legyen p prímszám, és R olyan kommutatív gyűrű, amelybenminden elem p-szerese nulla. Ekkor r , s ∈ R esetén(r + s)p = rp + sp: tagonként lehet p-edik hatványra emelni.
Bizonyítás
A binomiális tétel alkalmazható minden kommutatív gyűrűben.Egyszerű számelméleti megfontolás, hogy a
(
pj
)
binomiálisegyüttható osztható p-vel, ha 1 ≤ j ≤ p − 1.
![Page 31: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/31.jpg)
Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 4 / 28
Tagonkénti hatványozás
Állítás (K3.3.22)
Legyen p prímszám, és R olyan kommutatív gyűrű, amelybenminden elem p-szerese nulla. Ekkor r , s ∈ R esetén(r + s)p = rp + sp: tagonként lehet p-edik hatványra emelni.
Bizonyítás
A binomiális tétel alkalmazható minden kommutatív gyűrűben.Egyszerű számelméleti megfontolás, hogy a
(
pj
)
binomiálisegyüttható osztható p-vel, ha 1 ≤ j ≤ p − 1.
AlkalmazásZp-ben 2p = (1 + 1)p
![Page 32: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/32.jpg)
Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 4 / 28
Tagonkénti hatványozás
Állítás (K3.3.22)
Legyen p prímszám, és R olyan kommutatív gyűrű, amelybenminden elem p-szerese nulla. Ekkor r , s ∈ R esetén(r + s)p = rp + sp: tagonként lehet p-edik hatványra emelni.
Bizonyítás
A binomiális tétel alkalmazható minden kommutatív gyűrűben.Egyszerű számelméleti megfontolás, hogy a
(
pj
)
binomiálisegyüttható osztható p-vel, ha 1 ≤ j ≤ p − 1.
AlkalmazásZp-ben 2p = (1 + 1)p = 1p + 1p
![Page 33: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/33.jpg)
Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 4 / 28
Tagonkénti hatványozás
Állítás (K3.3.22)
Legyen p prímszám, és R olyan kommutatív gyűrű, amelybenminden elem p-szerese nulla. Ekkor r , s ∈ R esetén(r + s)p = rp + sp: tagonként lehet p-edik hatványra emelni.
Bizonyítás
A binomiális tétel alkalmazható minden kommutatív gyűrűben.Egyszerű számelméleti megfontolás, hogy a
(
pj
)
binomiálisegyüttható osztható p-vel, ha 1 ≤ j ≤ p − 1.
AlkalmazásZp-ben 2p = (1 + 1)p = 1p + 1p = 1 + 1
![Page 34: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/34.jpg)
Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 4 / 28
Tagonkénti hatványozás
Állítás (K3.3.22)
Legyen p prímszám, és R olyan kommutatív gyűrű, amelybenminden elem p-szerese nulla. Ekkor r , s ∈ R esetén(r + s)p = rp + sp: tagonként lehet p-edik hatványra emelni.
Bizonyítás
A binomiális tétel alkalmazható minden kommutatív gyűrűben.Egyszerű számelméleti megfontolás, hogy a
(
pj
)
binomiálisegyüttható osztható p-vel, ha 1 ≤ j ≤ p − 1.
AlkalmazásZp-ben 2p = (1 + 1)p = 1p + 1p = 1 + 1 = 2.
![Page 35: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/35.jpg)
Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 4 / 28
Tagonkénti hatványozás
Állítás (K3.3.22)
Legyen p prímszám, és R olyan kommutatív gyűrű, amelybenminden elem p-szerese nulla. Ekkor r , s ∈ R esetén(r + s)p = rp + sp: tagonként lehet p-edik hatványra emelni.
Bizonyítás
A binomiális tétel alkalmazható minden kommutatív gyűrűben.Egyszerű számelméleti megfontolás, hogy a
(
pj
)
binomiálisegyüttható osztható p-vel, ha 1 ≤ j ≤ p − 1.
AlkalmazásZp-ben 2p = (1 + 1)p = 1p + 1p = 1 + 1 = 2. Azaz p | 2p − 2.
![Page 36: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/36.jpg)
Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 4 / 28
Tagonkénti hatványozás
Állítás (K3.3.22)
Legyen p prímszám, és R olyan kommutatív gyűrű, amelybenminden elem p-szerese nulla. Ekkor r , s ∈ R esetén(r + s)p = rp + sp: tagonként lehet p-edik hatványra emelni.
Bizonyítás
A binomiális tétel alkalmazható minden kommutatív gyűrűben.Egyszerű számelméleti megfontolás, hogy a
(
pj
)
binomiálisegyüttható osztható p-vel, ha 1 ≤ j ≤ p − 1.
AlkalmazásZp-ben 2p = (1 + 1)p = 1p + 1p = 1 + 1 = 2. Azaz p | 2p − 2.Ugyanígy 3p = (1 + 1 + 1)p
![Page 37: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/37.jpg)
Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 4 / 28
Tagonkénti hatványozás
Állítás (K3.3.22)
Legyen p prímszám, és R olyan kommutatív gyűrű, amelybenminden elem p-szerese nulla. Ekkor r , s ∈ R esetén(r + s)p = rp + sp: tagonként lehet p-edik hatványra emelni.
Bizonyítás
A binomiális tétel alkalmazható minden kommutatív gyűrűben.Egyszerű számelméleti megfontolás, hogy a
(
pj
)
binomiálisegyüttható osztható p-vel, ha 1 ≤ j ≤ p − 1.
AlkalmazásZp-ben 2p = (1 + 1)p = 1p + 1p = 1 + 1 = 2. Azaz p | 2p − 2.Ugyanígy 3p = (1 + 1 + 1)p = 1p + 1p + 1p = 3.
![Page 38: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/38.jpg)
Hatvány és többszörös gyűrűben Algebra1, normál 11. előadás 4 / 28
Tagonkénti hatványozás
Állítás (K3.3.22)
Legyen p prímszám, és R olyan kommutatív gyűrű, amelybenminden elem p-szerese nulla. Ekkor r , s ∈ R esetén(r + s)p = rp + sp: tagonként lehet p-edik hatványra emelni.
Bizonyítás
A binomiális tétel alkalmazható minden kommutatív gyűrűben.Egyszerű számelméleti megfontolás, hogy a
(
pj
)
binomiálisegyüttható osztható p-vel, ha 1 ≤ j ≤ p − 1.
AlkalmazásZp-ben 2p = (1 + 1)p = 1p + 1p = 1 + 1 = 2. Azaz p | 2p − 2.Ugyanígy 3p = (1 + 1 + 1)p = 1p + 1p + 1p = 3.HF: belátni a kis Fermat-tételt.
![Page 39: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/39.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 5 / 28
A polinom definíciója
Polinom (K2.1. szakasz)
Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű.
![Page 40: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/40.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 5 / 28
A polinom definíciója
Polinom (K2.1. szakasz)
Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű.R fölötti egyhatározatlanú polinomnak nevezzük azf (x) = a0 + a1x + a2x
2 + . . .+ anxn formális kifejezéseket,
![Page 41: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/41.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 5 / 28
A polinom definíciója
Polinom (K2.1. szakasz)
Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű.R fölötti egyhatározatlanú polinomnak nevezzük azf (x) = a0 + a1x + a2x
2 + . . .+ anxn formális kifejezéseket,
ahol n ≥ 0 egész szám
![Page 42: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/42.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 5 / 28
A polinom definíciója
Polinom (K2.1. szakasz)
Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű.R fölötti egyhatározatlanú polinomnak nevezzük azf (x) = a0 + a1x + a2x
2 + . . .+ anxn formális kifejezéseket,
ahol n ≥ 0 egész szám és a0, . . . , an ∈ R .
![Page 43: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/43.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 5 / 28
A polinom definíciója
Polinom (K2.1. szakasz)
Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű.R fölötti egyhatározatlanú polinomnak nevezzük azf (x) = a0 + a1x + a2x
2 + . . .+ anxn formális kifejezéseket,
ahol n ≥ 0 egész szám és a0, . . . , an ∈ R . Ezek halmaza R[x ].
![Page 44: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/44.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 5 / 28
A polinom definíciója
Polinom (K2.1. szakasz)
Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű.R fölötti egyhatározatlanú polinomnak nevezzük azf (x) = a0 + a1x + a2x
2 + . . .+ anxn formális kifejezéseket,
ahol n ≥ 0 egész szám és a0, . . . , an ∈ R . Ezek halmaza R[x ].
Egyenlőség (K2.1.1)
Két polinom akkor egyenlő, ha együtthatóik megegyeznek
![Page 45: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/45.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 5 / 28
A polinom definíciója
Polinom (K2.1. szakasz)
Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű.R fölötti egyhatározatlanú polinomnak nevezzük azf (x) = a0 + a1x + a2x
2 + . . .+ anxn formális kifejezéseket,
ahol n ≥ 0 egész szám és a0, . . . , an ∈ R . Ezek halmaza R[x ].
Egyenlőség (K2.1.1)
Két polinom akkor egyenlő, ha együtthatóik megegyeznek(x j együtthatója ugyanaz a két polinomban minden j ≥ 0-ra).
![Page 46: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/46.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 5 / 28
A polinom definíciója
Polinom (K2.1. szakasz)
Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű.R fölötti egyhatározatlanú polinomnak nevezzük azf (x) = a0 + a1x + a2x
2 + . . .+ anxn formális kifejezéseket,
ahol n ≥ 0 egész szám és a0, . . . , an ∈ R . Ezek halmaza R[x ].
Egyenlőség (K2.1.1)
Két polinom akkor egyenlő, ha együtthatóik megegyeznek(x j együtthatója ugyanaz a két polinomban minden j ≥ 0-ra).
Nullapolinom
A nullapolinom az a polinom, amelynek minden együtthatójanulla.
![Page 47: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/47.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 5 / 28
A polinom definíciója
Polinom (K2.1. szakasz)
Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű.R fölötti egyhatározatlanú polinomnak nevezzük azf (x) = a0 + a1x + a2x
2 + . . .+ anxn formális kifejezéseket,
ahol n ≥ 0 egész szám és a0, . . . , an ∈ R . Ezek halmaza R[x ].
Egyenlőség (K2.1.1)
Két polinom akkor egyenlő, ha együtthatóik megegyeznek(x j együtthatója ugyanaz a két polinomban minden j ≥ 0-ra).
Nullapolinom
A nullapolinom az a polinom, amelynek minden együtthatójanulla. Ugyanúgy 0 jelöli, mint az R nullelemét.
![Page 48: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/48.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 5 / 28
A polinom definíciója
Polinom (K2.1. szakasz)
Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű.R fölötti egyhatározatlanú polinomnak nevezzük azf (x) = a0 + a1x + a2x
2 + . . .+ anxn formális kifejezéseket,
ahol n ≥ 0 egész szám és a0, . . . , an ∈ R . Ezek halmaza R[x ].
Egyenlőség (K2.1.1)
Két polinom akkor egyenlő, ha együtthatóik megegyeznek(x j együtthatója ugyanaz a két polinomban minden j ≥ 0-ra).
Nullapolinom
A nullapolinom az a polinom, amelynek minden együtthatójanulla. Ugyanúgy 0 jelöli, mint az R nullelemét.Minden c ∈ R elemet konstans polinomnak tekintünk.
![Page 49: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/49.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 6 / 28
Polinomok összege, különbsége
A nulla együtthatójú tagokat igény szerint írjuk ki:
![Page 50: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/50.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 6 / 28
Polinomok összege, különbsége
A nulla együtthatójú tagokat igény szerint írjuk ki:
a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n =
![Page 51: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/51.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 6 / 28
Polinomok összege, különbsége
A nulla együtthatójú tagokat igény szerint írjuk ki:
a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n =
= a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n
![Page 52: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/52.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 6 / 28
Polinomok összege, különbsége
A nulla együtthatójú tagokat igény szerint írjuk ki:
a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n =
= a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n + 0 · xn+1
![Page 53: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/53.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 6 / 28
Polinomok összege, különbsége
A nulla együtthatójú tagokat igény szerint írjuk ki:
a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n =
= a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n + 0 · xn+1 + 0 · xn+2
![Page 54: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/54.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 6 / 28
Polinomok összege, különbsége
A nulla együtthatójú tagokat igény szerint írjuk ki:
a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n =
= a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n + 0 · xn+1 + 0 · xn+2 + . . . .
![Page 55: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/55.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 6 / 28
Polinomok összege, különbsége
A nulla együtthatójú tagokat igény szerint írjuk ki:
a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n =
= a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n + 0 · xn+1 + 0 · xn+2 + . . . .
Megállapodunk abban, hogy 0 = an+1 = an+2 = . . . .
![Page 56: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/56.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 6 / 28
Polinomok összege, különbsége
A nulla együtthatójú tagokat igény szerint írjuk ki:
a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n =
= a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n + 0 · xn+1 + 0 · xn+2 + . . . .
Megállapodunk abban, hogy 0 = an+1 = an+2 = . . . .Így bármely két polinomot ugyanannyi taggal írhatunk fel.
![Page 57: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/57.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 6 / 28
Polinomok összege, különbsége
A nulla együtthatójú tagokat igény szerint írjuk ki:
a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n =
= a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n + 0 · xn+1 + 0 · xn+2 + . . . .
Megállapodunk abban, hogy 0 = an+1 = an+2 = . . . .Így bármely két polinomot ugyanannyi taggal írhatunk fel.
Összeg és különbség
f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n
![Page 58: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/58.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 6 / 28
Polinomok összege, különbsége
A nulla együtthatójú tagokat igény szerint írjuk ki:
a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n =
= a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n + 0 · xn+1 + 0 · xn+2 + . . . .
Megállapodunk abban, hogy 0 = an+1 = an+2 = . . . .Így bármely két polinomot ugyanannyi taggal írhatunk fel.
Összeg és különbség
f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n
g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx
n
![Page 59: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/59.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 6 / 28
Polinomok összege, különbsége
A nulla együtthatójú tagokat igény szerint írjuk ki:
a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n =
= a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n + 0 · xn+1 + 0 · xn+2 + . . . .
Megállapodunk abban, hogy 0 = an+1 = an+2 = . . . .Így bármely két polinomot ugyanannyi taggal írhatunk fel.
Összeg és különbség
f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n
g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx
n
összege és különbsége:
![Page 60: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/60.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 6 / 28
Polinomok összege, különbsége
A nulla együtthatójú tagokat igény szerint írjuk ki:
a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n =
= a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n + 0 · xn+1 + 0 · xn+2 + . . . .
Megállapodunk abban, hogy 0 = an+1 = an+2 = . . . .Így bármely két polinomot ugyanannyi taggal írhatunk fel.
Összeg és különbség
f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n
g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx
n
összege és különbsége:
(f + g)(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + . . .+ (an + bn)xn
![Page 61: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/61.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 6 / 28
Polinomok összege, különbsége
A nulla együtthatójú tagokat igény szerint írjuk ki:
a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n =
= a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n + 0 · xn+1 + 0 · xn+2 + . . . .
Megállapodunk abban, hogy 0 = an+1 = an+2 = . . . .Így bármely két polinomot ugyanannyi taggal írhatunk fel.
Összeg és különbség
f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx
n
g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx
n
összege és különbsége:
(f + g)(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + . . .+ (an + bn)xn
(f − g)(x) = (a0 − b0) + (a1 − b1)x + . . .+ (an − bn)xn.
![Page 62: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/62.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 7 / 28
Polinomok ellentettje és szorzata
EllentettAz f ∈ R[x ] ellentettje h,
![Page 63: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/63.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 7 / 28
Polinomok ellentettje és szorzata
EllentettAz f ∈ R[x ] ellentettje h, ha f + h = 0.
![Page 64: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/64.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 7 / 28
Polinomok ellentettje és szorzata
EllentettAz f ∈ R[x ] ellentettje h, ha f + h = 0. Az ellentett jele h = −f .
![Page 65: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/65.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 7 / 28
Polinomok ellentettje és szorzata
EllentettAz f ∈ R[x ] ellentettje h, ha f + h = 0. Az ellentett jele h = −f .Az f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx
n (egyetlen) ellentettje
![Page 66: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/66.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 7 / 28
Polinomok ellentettje és szorzata
EllentettAz f ∈ R[x ] ellentettje h, ha f + h = 0. Az ellentett jele h = −f .Az f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx
n (egyetlen) ellentettjeh(x) = (−f )(x) = (−a0) + (−a1)x + . . .+ (−an)x
n.
![Page 67: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/67.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 7 / 28
Polinomok ellentettje és szorzata
EllentettAz f ∈ R[x ] ellentettje h, ha f + h = 0. Az ellentett jele h = −f .Az f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx
n (egyetlen) ellentettjeh(x) = (−f )(x) = (−a0) + (−a1)x + . . .+ (−an)x
n.A kivonás az ellentett hozzáadása: g − f = g + (−f ).
![Page 68: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/68.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 7 / 28
Polinomok ellentettje és szorzata
EllentettAz f ∈ R[x ] ellentettje h, ha f + h = 0. Az ellentett jele h = −f .Az f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx
n (egyetlen) ellentettjeh(x) = (−f )(x) = (−a0) + (−a1)x + . . .+ (−an)x
n.A kivonás az ellentett hozzáadása: g − f = g + (−f ).
Szorzat(a0 + a1x + . . .+ anx
n)(b0 + b1x + . . .+ bmxm)-benxk együtthatója legyen
![Page 69: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/69.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 7 / 28
Polinomok ellentettje és szorzata
EllentettAz f ∈ R[x ] ellentettje h, ha f + h = 0. Az ellentett jele h = −f .Az f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx
n (egyetlen) ellentettjeh(x) = (−f )(x) = (−a0) + (−a1)x + . . .+ (−an)x
n.A kivonás az ellentett hozzáadása: g − f = g + (−f ).
Szorzat(a0 + a1x + . . .+ anx
n)(b0 + b1x + . . .+ bmxm)-benxk együtthatója legyen ck = a0bk + a1bk−1 + . . .+ akb0.
![Page 70: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/70.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 7 / 28
Polinomok ellentettje és szorzata
EllentettAz f ∈ R[x ] ellentettje h, ha f + h = 0. Az ellentett jele h = −f .Az f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx
n (egyetlen) ellentettjeh(x) = (−f )(x) = (−a0) + (−a1)x + . . .+ (−an)x
n.A kivonás az ellentett hozzáadása: g − f = g + (−f ).
Szorzat(a0 + a1x + . . .+ anx
n)(b0 + b1x + . . .+ bmxm)-benxk együtthatója legyen ck = a0bk + a1bk−1 + . . .+ akb0.
Azaz (fg)(x) =m+n∑
k=0
ckxk ,
![Page 71: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/71.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 7 / 28
Polinomok ellentettje és szorzata
EllentettAz f ∈ R[x ] ellentettje h, ha f + h = 0. Az ellentett jele h = −f .Az f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx
n (egyetlen) ellentettjeh(x) = (−f )(x) = (−a0) + (−a1)x + . . .+ (−an)x
n.A kivonás az ellentett hozzáadása: g − f = g + (−f ).
Szorzat(a0 + a1x + . . .+ anx
n)(b0 + b1x + . . .+ bmxm)-benxk együtthatója legyen ck = a0bk + a1bk−1 + . . .+ akb0.
Azaz (fg)(x) =m+n∑
k=0
ckxk , ahol ck =k∑
j=0
ajbk−j
![Page 72: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/72.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 7 / 28
Polinomok ellentettje és szorzata
EllentettAz f ∈ R[x ] ellentettje h, ha f + h = 0. Az ellentett jele h = −f .Az f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx
n (egyetlen) ellentettjeh(x) = (−f )(x) = (−a0) + (−a1)x + . . .+ (−an)x
n.A kivonás az ellentett hozzáadása: g − f = g + (−f ).
Szorzat(a0 + a1x + . . .+ anx
n)(b0 + b1x + . . .+ bmxm)-benxk együtthatója legyen ck = a0bk + a1bk−1 + . . .+ akb0.
Azaz (fg)(x) =m+n∑
k=0
ckxk , ahol ck =k∑
j=0
ajbk−j =∑
j+ℓ=k
ajbℓ.
![Page 73: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/73.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 7 / 28
Polinomok ellentettje és szorzata
EllentettAz f ∈ R[x ] ellentettje h, ha f + h = 0. Az ellentett jele h = −f .Az f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx
n (egyetlen) ellentettjeh(x) = (−f )(x) = (−a0) + (−a1)x + . . .+ (−an)x
n.A kivonás az ellentett hozzáadása: g − f = g + (−f ).
Szorzat(a0 + a1x + . . .+ anx
n)(b0 + b1x + . . .+ bmxm)-benxk együtthatója legyen ck = a0bk + a1bk−1 + . . .+ akb0.
Azaz (fg)(x) =m+n∑
k=0
ckxk , ahol ck =k∑
j=0
ajbk−j =∑
j+ℓ=k
ajbℓ.
Tétel (K2.1.6, K2.3.2)
R[x ] is egységelemes, kommutatív gyűrű ezekre a műveletekre.
![Page 74: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/74.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 8 / 28
Polinom foka
DefinícióHa f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx
n ∈ R[x ],
![Page 75: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/75.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 8 / 28
Polinom foka
DefinícióHa f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx
n ∈ R[x ], ahol an 6= 0,
![Page 76: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/76.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 8 / 28
Polinom foka
DefinícióHa f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx
n ∈ R[x ], ahol an 6= 0,akkor f foka n.
![Page 77: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/77.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 8 / 28
Polinom foka
DefinícióHa f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx
n ∈ R[x ], ahol an 6= 0,akkor f foka n. Jele: gr(f ).
![Page 78: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/78.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 8 / 28
Polinom foka
DefinícióHa f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx
n ∈ R[x ], ahol an 6= 0,akkor f foka n. Jele: gr(f ). A nullapolinomnak nincs foka.
![Page 79: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/79.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 8 / 28
Polinom foka
DefinícióHa f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx
n ∈ R[x ], ahol an 6= 0,akkor f foka n. Jele: gr(f ). A nullapolinomnak nincs foka.
Tétel (K2.1.5, K2.3.2)
Ha R nullosztómentes gyűrű, akkor
![Page 80: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/80.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 8 / 28
Polinom foka
DefinícióHa f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx
n ∈ R[x ], ahol an 6= 0,akkor f foka n. Jele: gr(f ). A nullapolinomnak nincs foka.
Tétel (K2.1.5, K2.3.2)
Ha R nullosztómentes gyűrű, akkor gr(fg) = gr(f ) + gr(g).
![Page 81: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/81.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 8 / 28
Polinom foka
DefinícióHa f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx
n ∈ R[x ], ahol an 6= 0,akkor f foka n. Jele: gr(f ). A nullapolinomnak nincs foka.
Tétel (K2.1.5, K2.3.2)
Ha R nullosztómentes gyűrű, akkor gr(fg) = gr(f ) + gr(g).Így ha R nullosztómentes, akkor R[x ] is az.
![Page 82: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/82.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 8 / 28
Polinom foka
DefinícióHa f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx
n ∈ R[x ], ahol an 6= 0,akkor f foka n. Jele: gr(f ). A nullapolinomnak nincs foka.
Tétel (K2.1.5, K2.3.2)
Ha R nullosztómentes gyűrű, akkor gr(fg) = gr(f ) + gr(g).Így ha R nullosztómentes, akkor R[x ] is az.
Bizonyítás
f (x) = a0 + a1x + . . .+ anxn
![Page 83: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/83.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 8 / 28
Polinom foka
DefinícióHa f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx
n ∈ R[x ], ahol an 6= 0,akkor f foka n. Jele: gr(f ). A nullapolinomnak nincs foka.
Tétel (K2.1.5, K2.3.2)
Ha R nullosztómentes gyűrű, akkor gr(fg) = gr(f ) + gr(g).Így ha R nullosztómentes, akkor R[x ] is az.
Bizonyítás
f (x) = a0 + a1x + . . .+ anxn és g(x) = b0 + b1x + . . .+ bmxm
![Page 84: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/84.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 8 / 28
Polinom foka
DefinícióHa f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx
n ∈ R[x ], ahol an 6= 0,akkor f foka n. Jele: gr(f ). A nullapolinomnak nincs foka.
Tétel (K2.1.5, K2.3.2)
Ha R nullosztómentes gyűrű, akkor gr(fg) = gr(f ) + gr(g).Így ha R nullosztómentes, akkor R[x ] is az.
Bizonyítás
f (x) = a0 + a1x + . . .+ anxn és g(x) = b0 + b1x + . . .+ bmxm
szorzatában xn+m együtthatója anbm.
![Page 85: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/85.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 8 / 28
Polinom foka
DefinícióHa f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx
n ∈ R[x ], ahol an 6= 0,akkor f foka n. Jele: gr(f ). A nullapolinomnak nincs foka.
Tétel (K2.1.5, K2.3.2)
Ha R nullosztómentes gyűrű, akkor gr(fg) = gr(f ) + gr(g).Így ha R nullosztómentes, akkor R[x ] is az.
Bizonyítás
f (x) = a0 + a1x + . . .+ anxn és g(x) = b0 + b1x + . . .+ bmxm
szorzatában xn+m együtthatója anbm.Ez nem nulla, ha an és bm nem nulla, mert R nullosztómentes.
![Page 86: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/86.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 8 / 28
Polinom foka
DefinícióHa f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx
n ∈ R[x ], ahol an 6= 0,akkor f foka n. Jele: gr(f ). A nullapolinomnak nincs foka.
Tétel (K2.1.5, K2.3.2)
Ha R nullosztómentes gyűrű, akkor gr(fg) = gr(f ) + gr(g).Így ha R nullosztómentes, akkor R[x ] is az.
Bizonyítás
f (x) = a0 + a1x + . . .+ anxn és g(x) = b0 + b1x + . . .+ bmxm
szorzatában xn+m együtthatója anbm.Ez nem nulla, ha an és bm nem nulla, mert R nullosztómentes.Megjegyzés: Szorzásnál a főegyütthatók és a konstans tagokis összeszorzódnak,
![Page 87: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/87.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 8 / 28
Polinom foka
DefinícióHa f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx
n ∈ R[x ], ahol an 6= 0,akkor f foka n. Jele: gr(f ). A nullapolinomnak nincs foka.
Tétel (K2.1.5, K2.3.2)
Ha R nullosztómentes gyűrű, akkor gr(fg) = gr(f ) + gr(g).Így ha R nullosztómentes, akkor R[x ] is az.
Bizonyítás
f (x) = a0 + a1x + . . .+ anxn és g(x) = b0 + b1x + . . .+ bmxm
szorzatában xn+m együtthatója anbm.Ez nem nulla, ha an és bm nem nulla, mert R nullosztómentes.Megjegyzés: Szorzásnál a főegyütthatók és a konstans tagokis összeszorzódnak, hiszen fg konstans tagja nyilván a0b0.
![Page 88: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/88.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 9 / 28
A polinomgyűrű egységei
DefinícióLegyen R egységelemes gyűrű és r , s ∈ R .
![Page 89: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/89.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 9 / 28
A polinomgyűrű egységei
DefinícióLegyen R egységelemes gyűrű és r , s ∈ R .Ha rs = 1,
![Page 90: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/90.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 9 / 28
A polinomgyűrű egységei
DefinícióLegyen R egységelemes gyűrű és r , s ∈ R .Ha rs = 1, akkor r balinverze s-nek,
![Page 91: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/91.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 9 / 28
A polinomgyűrű egységei
DefinícióLegyen R egységelemes gyűrű és r , s ∈ R .Ha rs = 1, akkor r balinverze s-nek, s jobbinverze r -nek.
![Page 92: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/92.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 9 / 28
A polinomgyűrű egységei
DefinícióLegyen R egységelemes gyűrű és r , s ∈ R .Ha rs = 1, akkor r balinverze s-nek, s jobbinverze r -nek.(Kétoldali) inverz:
![Page 93: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/93.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 9 / 28
A polinomgyűrű egységei
DefinícióLegyen R egységelemes gyűrű és r , s ∈ R .Ha rs = 1, akkor r balinverze s-nek, s jobbinverze r -nek.(Kétoldali) inverz: balinverz és jobbinverz is:
![Page 94: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/94.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 9 / 28
A polinomgyűrű egységei
DefinícióLegyen R egységelemes gyűrű és r , s ∈ R .Ha rs = 1, akkor r balinverze s-nek, s jobbinverze r -nek.(Kétoldali) inverz: balinverz és jobbinverz is: rs = sr = 1.
![Page 95: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/95.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 9 / 28
A polinomgyűrű egységei
DefinícióLegyen R egységelemes gyűrű és r , s ∈ R .Ha rs = 1, akkor r balinverze s-nek, s jobbinverze r -nek.(Kétoldali) inverz: balinverz és jobbinverz is: rs = sr = 1.Invertálható elem,
![Page 96: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/96.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 9 / 28
A polinomgyűrű egységei
DefinícióLegyen R egységelemes gyűrű és r , s ∈ R .Ha rs = 1, akkor r balinverze s-nek, s jobbinverze r -nek.(Kétoldali) inverz: balinverz és jobbinverz is: rs = sr = 1.Invertálható elem, vagy egység:
![Page 97: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/97.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 9 / 28
A polinomgyűrű egységei
DefinícióLegyen R egységelemes gyűrű és r , s ∈ R .Ha rs = 1, akkor r balinverze s-nek, s jobbinverze r -nek.(Kétoldali) inverz: balinverz és jobbinverz is: rs = sr = 1.Invertálható elem, vagy egység: van inverze.
![Page 98: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/98.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 9 / 28
A polinomgyűrű egységei
DefinícióLegyen R egységelemes gyűrű és r , s ∈ R .Ha rs = 1, akkor r balinverze s-nek, s jobbinverze r -nek.(Kétoldali) inverz: balinverz és jobbinverz is: rs = sr = 1.Invertálható elem, vagy egység: van inverze.
Tétel (K2.3.2)
Ha R (egységelemes, kommutatív és) nullosztómentes, akkor azf ∈ R[x ] polinom pontosan akkor egység,
![Page 99: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/99.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 9 / 28
A polinomgyűrű egységei
DefinícióLegyen R egységelemes gyűrű és r , s ∈ R .Ha rs = 1, akkor r balinverze s-nek, s jobbinverze r -nek.(Kétoldali) inverz: balinverz és jobbinverz is: rs = sr = 1.Invertálható elem, vagy egység: van inverze.
Tétel (K2.3.2)
Ha R (egységelemes, kommutatív és) nullosztómentes, akkor azf ∈ R[x ] polinom pontosan akkor egység, ha egy olyan konstanspolinom,
![Page 100: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/100.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 9 / 28
A polinomgyűrű egységei
DefinícióLegyen R egységelemes gyűrű és r , s ∈ R .Ha rs = 1, akkor r balinverze s-nek, s jobbinverze r -nek.(Kétoldali) inverz: balinverz és jobbinverz is: rs = sr = 1.Invertálható elem, vagy egység: van inverze.
Tétel (K2.3.2)
Ha R (egységelemes, kommutatív és) nullosztómentes, akkor azf ∈ R[x ] polinom pontosan akkor egység, ha egy olyan konstanspolinom, amely egység R-ben.
![Page 101: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/101.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 9 / 28
A polinomgyűrű egységei
DefinícióLegyen R egységelemes gyűrű és r , s ∈ R .Ha rs = 1, akkor r balinverze s-nek, s jobbinverze r -nek.(Kétoldali) inverz: balinverz és jobbinverz is: rs = sr = 1.Invertálható elem, vagy egység: van inverze.
Tétel (K2.3.2)
Ha R (egységelemes, kommutatív és) nullosztómentes, akkor azf ∈ R[x ] polinom pontosan akkor egység, ha egy olyan konstanspolinom, amely egység R-ben.
Bizonyítás
Ha fg = 1,
![Page 102: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/102.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 9 / 28
A polinomgyűrű egységei
DefinícióLegyen R egységelemes gyűrű és r , s ∈ R .Ha rs = 1, akkor r balinverze s-nek, s jobbinverze r -nek.(Kétoldali) inverz: balinverz és jobbinverz is: rs = sr = 1.Invertálható elem, vagy egység: van inverze.
Tétel (K2.3.2)
Ha R (egységelemes, kommutatív és) nullosztómentes, akkor azf ∈ R[x ] polinom pontosan akkor egység, ha egy olyan konstanspolinom, amely egység R-ben.
Bizonyítás
Ha fg = 1, akkor gr(f ) + gr(g) = 0,
![Page 103: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/103.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 9 / 28
A polinomgyűrű egységei
DefinícióLegyen R egységelemes gyűrű és r , s ∈ R .Ha rs = 1, akkor r balinverze s-nek, s jobbinverze r -nek.(Kétoldali) inverz: balinverz és jobbinverz is: rs = sr = 1.Invertálható elem, vagy egység: van inverze.
Tétel (K2.3.2)
Ha R (egységelemes, kommutatív és) nullosztómentes, akkor azf ∈ R[x ] polinom pontosan akkor egység, ha egy olyan konstanspolinom, amely egység R-ben.
Bizonyítás
Ha fg = 1, akkor gr(f ) + gr(g) = 0, így f és g konstans.
![Page 104: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/104.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 9 / 28
A polinomgyűrű egységei
DefinícióLegyen R egységelemes gyűrű és r , s ∈ R .Ha rs = 1, akkor r balinverze s-nek, s jobbinverze r -nek.(Kétoldali) inverz: balinverz és jobbinverz is: rs = sr = 1.Invertálható elem, vagy egység: van inverze.
Tétel (K2.3.2)
Ha R (egységelemes, kommutatív és) nullosztómentes, akkor azf ∈ R[x ] polinom pontosan akkor egység, ha egy olyan konstanspolinom, amely egység R-ben.
Bizonyítás
Ha fg = 1, akkor gr(f ) + gr(g) = 0, így f és g konstans.Megfordítva: ha c ∈ R egység,
![Page 105: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/105.jpg)
Polinomok gyűrű fölött Algebra1, normál 11. előadás 9 / 28
A polinomgyűrű egységei
DefinícióLegyen R egységelemes gyűrű és r , s ∈ R .Ha rs = 1, akkor r balinverze s-nek, s jobbinverze r -nek.(Kétoldali) inverz: balinverz és jobbinverz is: rs = sr = 1.Invertálható elem, vagy egység: van inverze.
Tétel (K2.3.2)
Ha R (egységelemes, kommutatív és) nullosztómentes, akkor azf ∈ R[x ] polinom pontosan akkor egység, ha egy olyan konstanspolinom, amely egység R-ben.
Bizonyítás
Ha fg = 1, akkor gr(f ) + gr(g) = 0, így f és g konstans.Megfordítva: ha c ∈ R egység, akkor 1/c ∈ R[x ].
![Page 106: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/106.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 10 / 28
Behelyettesítés polinomba
Polinomfüggvény (K2.4.1)
Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű és b ∈ R .
![Page 107: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/107.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 10 / 28
Behelyettesítés polinomba
Polinomfüggvény (K2.4.1)
Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű és b ∈ R .Az f (x) = a0 + a1x + a2x
2 + . . .+ anxn ∈ R[x ]
polinom b helyen felvett helyettesítési értéke
![Page 108: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/108.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 10 / 28
Behelyettesítés polinomba
Polinomfüggvény (K2.4.1)
Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű és b ∈ R .Az f (x) = a0 + a1x + a2x
2 + . . .+ anxn ∈ R[x ]
polinom b helyen felvett helyettesítési értékef ∗(b) = a0 + a1b + a2b
2 + . . .+ anbn ∈ R .
![Page 109: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/109.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 10 / 28
Behelyettesítés polinomba
Polinomfüggvény (K2.4.1)
Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű és b ∈ R .Az f (x) = a0 + a1x + a2x
2 + . . .+ anxn ∈ R[x ]
polinom b helyen felvett helyettesítési értékef ∗(b) = a0 + a1b + a2b
2 + . . .+ anbn ∈ R .
Az f ∗ : R 7→ R az f -hez tartozó polinomfüggvény.
![Page 110: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/110.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 10 / 28
Behelyettesítés polinomba
Polinomfüggvény (K2.4.1)
Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű és b ∈ R .Az f (x) = a0 + a1x + a2x
2 + . . .+ anxn ∈ R[x ]
polinom b helyen felvett helyettesítési értékef ∗(b) = a0 + a1b + a2b
2 + . . .+ anbn ∈ R .
Az f ∗ : R 7→ R az f -hez tartozó polinomfüggvény.Az f ∗(b) kiszámítása: Horner elrendezéssel.
![Page 111: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/111.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 10 / 28
Behelyettesítés polinomba
Polinomfüggvény (K2.4.1)
Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű és b ∈ R .Az f (x) = a0 + a1x + a2x
2 + . . .+ anxn ∈ R[x ]
polinom b helyen felvett helyettesítési értékef ∗(b) = a0 + a1b + a2b
2 + . . .+ anbn ∈ R .
Az f ∗ : R 7→ R az f -hez tartozó polinomfüggvény.Az f ∗(b) kiszámítása: Horner elrendezéssel.A b gyöke f -nek, ha f ∗(b) = 0.
![Page 112: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/112.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 10 / 28
Behelyettesítés polinomba
Polinomfüggvény (K2.4.1)
Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű és b ∈ R .Az f (x) = a0 + a1x + a2x
2 + . . .+ anxn ∈ R[x ]
polinom b helyen felvett helyettesítési értékef ∗(b) = a0 + a1b + a2b
2 + . . .+ anbn ∈ R .
Az f ∗ : R 7→ R az f -hez tartozó polinomfüggvény.Az f ∗(b) kiszámítása: Horner elrendezéssel.A b gyöke f -nek, ha f ∗(b) = 0.
A gyöktényező kiemelhetősége (K2.4.6)
A b ∈ R akkor és csak akkor gyöke az f ∈ R[x ]-nek,ha van olyan q ∈ R[x ], hogy
![Page 113: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/113.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 10 / 28
Behelyettesítés polinomba
Polinomfüggvény (K2.4.1)
Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű és b ∈ R .Az f (x) = a0 + a1x + a2x
2 + . . .+ anxn ∈ R[x ]
polinom b helyen felvett helyettesítési értékef ∗(b) = a0 + a1b + a2b
2 + . . .+ anbn ∈ R .
Az f ∗ : R 7→ R az f -hez tartozó polinomfüggvény.Az f ∗(b) kiszámítása: Horner elrendezéssel.A b gyöke f -nek, ha f ∗(b) = 0.
A gyöktényező kiemelhetősége (K2.4.6)
A b ∈ R akkor és csak akkor gyöke az f ∈ R[x ]-nek,ha van olyan q ∈ R[x ], hogy f (x) = (x − b)q(x).
![Page 114: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/114.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 10 / 28
Behelyettesítés polinomba
Polinomfüggvény (K2.4.1)
Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű és b ∈ R .Az f (x) = a0 + a1x + a2x
2 + . . .+ anxn ∈ R[x ]
polinom b helyen felvett helyettesítési értékef ∗(b) = a0 + a1b + a2b
2 + . . .+ anbn ∈ R .
Az f ∗ : R 7→ R az f -hez tartozó polinomfüggvény.Az f ∗(b) kiszámítása: Horner elrendezéssel.A b gyöke f -nek, ha f ∗(b) = 0.
A gyöktényező kiemelhetősége (K2.4.6)
A b ∈ R akkor és csak akkor gyöke az f ∈ R[x ]-nek,ha van olyan q ∈ R[x ], hogy f (x) = (x − b)q(x).Az x − b a b gyökhöz tartozó gyöktényező.
![Page 115: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/115.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 10 / 28
Behelyettesítés polinomba
Polinomfüggvény (K2.4.1)
Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű és b ∈ R .Az f (x) = a0 + a1x + a2x
2 + . . .+ anxn ∈ R[x ]
polinom b helyen felvett helyettesítési értékef ∗(b) = a0 + a1b + a2b
2 + . . .+ anbn ∈ R .
Az f ∗ : R 7→ R az f -hez tartozó polinomfüggvény.Az f ∗(b) kiszámítása: Horner elrendezéssel.A b gyöke f -nek, ha f ∗(b) = 0.
A gyöktényező kiemelhetősége (K2.4.6)
A b ∈ R akkor és csak akkor gyöke az f ∈ R[x ]-nek,ha van olyan q ∈ R[x ], hogy f (x) = (x − b)q(x).Az x − b a b gyökhöz tartozó gyöktényező.Bizonyítás: Horner-elrendezéssel.
![Page 116: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/116.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 11 / 28
Több gyöktényező kiemelése
Tétel a gyöktényezők egyszerre kiemelhetőségéről (K2.4.7)
Ha R (kommutatív, egységelemes és) nullosztómentes, akkorminden 0 6= f ∈ R[x ] fölírható f (x) = (x − b1) . . . (x − bk)q(x)alakban,
![Page 117: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/117.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 11 / 28
Több gyöktényező kiemelése
Tétel a gyöktényezők egyszerre kiemelhetőségéről (K2.4.7)
Ha R (kommutatív, egységelemes és) nullosztómentes, akkorminden 0 6= f ∈ R[x ] fölírható f (x) = (x − b1) . . . (x − bk)q(x)alakban, ahol a (nem feltétlenül különböző) b1, . . . , bk ∈ R
az f -nek az összes R-beli gyökei,
![Page 118: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/118.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 11 / 28
Több gyöktényező kiemelése
Tétel a gyöktényezők egyszerre kiemelhetőségéről (K2.4.7)
Ha R (kommutatív, egységelemes és) nullosztómentes, akkorminden 0 6= f ∈ R[x ] fölírható f (x) = (x − b1) . . . (x − bk)q(x)alakban, ahol a (nem feltétlenül különböző) b1, . . . , bk ∈ R
az f -nek az összes R-beli gyökei, és q-nak nincs gyöke R-ben.
![Page 119: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/119.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 11 / 28
Több gyöktényező kiemelése
Tétel a gyöktényezők egyszerre kiemelhetőségéről (K2.4.7)
Ha R (kommutatív, egységelemes és) nullosztómentes, akkorminden 0 6= f ∈ R[x ] fölírható f (x) = (x − b1) . . . (x − bk)q(x)alakban, ahol a (nem feltétlenül különböző) b1, . . . , bk ∈ R
az f -nek az összes R-beli gyökei, és q-nak nincs gyöke R-ben.
A bizonyítás kulcslépése
Addig emelünk ki gyöktényezőket, ameddig lehet.
![Page 120: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/120.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 11 / 28
Több gyöktényező kiemelése
Tétel a gyöktényezők egyszerre kiemelhetőségéről (K2.4.7)
Ha R (kommutatív, egységelemes és) nullosztómentes, akkorminden 0 6= f ∈ R[x ] fölírható f (x) = (x − b1) . . . (x − bk)q(x)alakban, ahol a (nem feltétlenül különböző) b1, . . . , bk ∈ R
az f -nek az összes R-beli gyökei, és q-nak nincs gyöke R-ben.
A bizonyítás kulcslépése
Addig emelünk ki gyöktényezőket, ameddig lehet.Legfeljebb gr(f ) lépésben biztosan megállunk:
![Page 121: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/121.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 11 / 28
Több gyöktényező kiemelése
Tétel a gyöktényezők egyszerre kiemelhetőségéről (K2.4.7)
Ha R (kommutatív, egységelemes és) nullosztómentes, akkorminden 0 6= f ∈ R[x ] fölírható f (x) = (x − b1) . . . (x − bk)q(x)alakban, ahol a (nem feltétlenül különböző) b1, . . . , bk ∈ R
az f -nek az összes R-beli gyökei, és q-nak nincs gyöke R-ben.
A bizonyítás kulcslépése
Addig emelünk ki gyöktényezőket, ameddig lehet.Legfeljebb gr(f ) lépésben biztosan megállunk:f (x) = (x − b1) . . . (x − bk)q(x),
![Page 122: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/122.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 11 / 28
Több gyöktényező kiemelése
Tétel a gyöktényezők egyszerre kiemelhetőségéről (K2.4.7)
Ha R (kommutatív, egységelemes és) nullosztómentes, akkorminden 0 6= f ∈ R[x ] fölírható f (x) = (x − b1) . . . (x − bk)q(x)alakban, ahol a (nem feltétlenül különböző) b1, . . . , bk ∈ R
az f -nek az összes R-beli gyökei, és q-nak nincs gyöke R-ben.
A bizonyítás kulcslépése
Addig emelünk ki gyöktényezőket, ameddig lehet.Legfeljebb gr(f ) lépésben biztosan megállunk:f (x) = (x − b1) . . . (x − bk)q(x), ahol q-nak már nincs gyöke.
![Page 123: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/123.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 11 / 28
Több gyöktényező kiemelése
Tétel a gyöktényezők egyszerre kiemelhetőségéről (K2.4.7)
Ha R (kommutatív, egységelemes és) nullosztómentes, akkorminden 0 6= f ∈ R[x ] fölírható f (x) = (x − b1) . . . (x − bk)q(x)alakban, ahol a (nem feltétlenül különböző) b1, . . . , bk ∈ R
az f -nek az összes R-beli gyökei, és q-nak nincs gyöke R-ben.
A bizonyítás kulcslépése
Addig emelünk ki gyöktényezőket, ameddig lehet.Legfeljebb gr(f ) lépésben biztosan megállunk:f (x) = (x − b1) . . . (x − bk)q(x), ahol q-nak már nincs gyöke.Belátjuk, hogy f -nek nincs más gyöke, mint b1, . . . , bk .
![Page 124: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/124.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 11 / 28
Több gyöktényező kiemelése
Tétel a gyöktényezők egyszerre kiemelhetőségéről (K2.4.7)
Ha R (kommutatív, egységelemes és) nullosztómentes, akkorminden 0 6= f ∈ R[x ] fölírható f (x) = (x − b1) . . . (x − bk)q(x)alakban, ahol a (nem feltétlenül különböző) b1, . . . , bk ∈ R
az f -nek az összes R-beli gyökei, és q-nak nincs gyöke R-ben.
A bizonyítás kulcslépése
Addig emelünk ki gyöktényezőket, ameddig lehet.Legfeljebb gr(f ) lépésben biztosan megállunk:f (x) = (x − b1) . . . (x − bk)q(x), ahol q-nak már nincs gyöke.Belátjuk, hogy f -nek nincs más gyöke, mint b1, . . . , bk .Valóban: ha f ∗(b) = 0,
![Page 125: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/125.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 11 / 28
Több gyöktényező kiemelése
Tétel a gyöktényezők egyszerre kiemelhetőségéről (K2.4.7)
Ha R (kommutatív, egységelemes és) nullosztómentes, akkorminden 0 6= f ∈ R[x ] fölírható f (x) = (x − b1) . . . (x − bk)q(x)alakban, ahol a (nem feltétlenül különböző) b1, . . . , bk ∈ R
az f -nek az összes R-beli gyökei, és q-nak nincs gyöke R-ben.
A bizonyítás kulcslépése
Addig emelünk ki gyöktényezőket, ameddig lehet.Legfeljebb gr(f ) lépésben biztosan megállunk:f (x) = (x − b1) . . . (x − bk)q(x), ahol q-nak már nincs gyöke.Belátjuk, hogy f -nek nincs más gyöke, mint b1, . . . , bk .Valóban: ha f ∗(b) = 0, akkor (b − b1) . . . (b − bk)q
∗(b) = 0.
![Page 126: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/126.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 11 / 28
Több gyöktényező kiemelése
Tétel a gyöktényezők egyszerre kiemelhetőségéről (K2.4.7)
Ha R (kommutatív, egységelemes és) nullosztómentes, akkorminden 0 6= f ∈ R[x ] fölírható f (x) = (x − b1) . . . (x − bk)q(x)alakban, ahol a (nem feltétlenül különböző) b1, . . . , bk ∈ R
az f -nek az összes R-beli gyökei, és q-nak nincs gyöke R-ben.
A bizonyítás kulcslépése
Addig emelünk ki gyöktényezőket, ameddig lehet.Legfeljebb gr(f ) lépésben biztosan megállunk:f (x) = (x − b1) . . . (x − bk)q(x), ahol q-nak már nincs gyöke.Belátjuk, hogy f -nek nincs más gyöke, mint b1, . . . , bk .Valóban: ha f ∗(b) = 0, akkor (b − b1) . . . (b − bk)q
∗(b) = 0.A nullosztómentesség miatt valamelyik tényező nulla.
![Page 127: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/127.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 11 / 28
Több gyöktényező kiemelése
Tétel a gyöktényezők egyszerre kiemelhetőségéről (K2.4.7)
Ha R (kommutatív, egységelemes és) nullosztómentes, akkorminden 0 6= f ∈ R[x ] fölírható f (x) = (x − b1) . . . (x − bk)q(x)alakban, ahol a (nem feltétlenül különböző) b1, . . . , bk ∈ R
az f -nek az összes R-beli gyökei, és q-nak nincs gyöke R-ben.
A bizonyítás kulcslépése
Addig emelünk ki gyöktényezőket, ameddig lehet.Legfeljebb gr(f ) lépésben biztosan megállunk:f (x) = (x − b1) . . . (x − bk)q(x), ahol q-nak már nincs gyöke.Belátjuk, hogy f -nek nincs más gyöke, mint b1, . . . , bk .Valóban: ha f ∗(b) = 0, akkor (b − b1) . . . (b − bk)q
∗(b) = 0.A nullosztómentesség miatt valamelyik tényező nulla.De q∗(b) 6= 0,
![Page 128: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/128.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 11 / 28
Több gyöktényező kiemelése
Tétel a gyöktényezők egyszerre kiemelhetőségéről (K2.4.7)
Ha R (kommutatív, egységelemes és) nullosztómentes, akkorminden 0 6= f ∈ R[x ] fölírható f (x) = (x − b1) . . . (x − bk)q(x)alakban, ahol a (nem feltétlenül különböző) b1, . . . , bk ∈ R
az f -nek az összes R-beli gyökei, és q-nak nincs gyöke R-ben.
A bizonyítás kulcslépése
Addig emelünk ki gyöktényezőket, ameddig lehet.Legfeljebb gr(f ) lépésben biztosan megállunk:f (x) = (x − b1) . . . (x − bk)q(x), ahol q-nak már nincs gyöke.Belátjuk, hogy f -nek nincs más gyöke, mint b1, . . . , bk .Valóban: ha f ∗(b) = 0, akkor (b − b1) . . . (b − bk)q
∗(b) = 0.A nullosztómentesség miatt valamelyik tényező nulla.De q∗(b) 6= 0, ezért b − bj = 0 valamelyik j-re.
![Page 129: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/129.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 11 / 28
Több gyöktényező kiemelése
Tétel a gyöktényezők egyszerre kiemelhetőségéről (K2.4.7)
Ha R (kommutatív, egységelemes és) nullosztómentes, akkorminden 0 6= f ∈ R[x ] fölírható f (x) = (x − b1) . . . (x − bk)q(x)alakban, ahol a (nem feltétlenül különböző) b1, . . . , bk ∈ R
az f -nek az összes R-beli gyökei, és q-nak nincs gyöke R-ben.
A bizonyítás kulcslépése
Addig emelünk ki gyöktényezőket, ameddig lehet.Legfeljebb gr(f ) lépésben biztosan megállunk:f (x) = (x − b1) . . . (x − bk)q(x), ahol q-nak már nincs gyöke.Belátjuk, hogy f -nek nincs más gyöke, mint b1, . . . , bk .Valóban: ha f ∗(b) = 0, akkor (b − b1) . . . (b − bk)q
∗(b) = 0.A nullosztómentesség miatt valamelyik tényező nulla.De q∗(b) 6= 0, ezért b − bj = 0 valamelyik j-re. Azaz b = bj .
![Page 130: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/130.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 12 / 28
Gyöktényező a nem nullosztómentes esetben
Példa (K, 57. oldal)
Legyen R = Z8
![Page 131: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/131.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 12 / 28
Gyöktényező a nem nullosztómentes esetben
Példa (K, 57. oldal)
Legyen R = Z8 és f (x) = x2 − 1 másodfokú polinom.
![Page 132: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/132.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 12 / 28
Gyöktényező a nem nullosztómentes esetben
Példa (K, 57. oldal)
Legyen R = Z8 és f (x) = x2 − 1 másodfokú polinom.A Z8 gyűrű 8 elemét végigpróbálgatva a gyökök
![Page 133: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/133.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 12 / 28
Gyöktényező a nem nullosztómentes esetben
Példa (K, 57. oldal)
Legyen R = Z8 és f (x) = x2 − 1 másodfokú polinom.A Z8 gyűrű 8 elemét végigpróbálgatva a gyökök 1, 3, 5, 7.
![Page 134: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/134.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 12 / 28
Gyöktényező a nem nullosztómentes esetben
Példa (K, 57. oldal)
Legyen R = Z8 és f (x) = x2 − 1 másodfokú polinom.A Z8 gyűrű 8 elemét végigpróbálgatva a gyökök 1, 3, 5, 7.(Páratlan szám négyzete nyolccal osztva 1-et ad maradékul.)
![Page 135: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/135.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 12 / 28
Gyöktényező a nem nullosztómentes esetben
Példa (K, 57. oldal)
Legyen R = Z8 és f (x) = x2 − 1 másodfokú polinom.A Z8 gyűrű 8 elemét végigpróbálgatva a gyökök 1, 3, 5, 7.(Páratlan szám négyzete nyolccal osztva 1-et ad maradékul.)Azaz egy másodfokú polinomnak
![Page 136: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/136.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 12 / 28
Gyöktényező a nem nullosztómentes esetben
Példa (K, 57. oldal)
Legyen R = Z8 és f (x) = x2 − 1 másodfokú polinom.A Z8 gyűrű 8 elemét végigpróbálgatva a gyökök 1, 3, 5, 7.(Páratlan szám négyzete nyolccal osztva 1-et ad maradékul.)Azaz egy másodfokú polinomnak négy gyöke van.
![Page 137: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/137.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 12 / 28
Gyöktényező a nem nullosztómentes esetben
Példa (K, 57. oldal)
Legyen R = Z8 és f (x) = x2 − 1 másodfokú polinom.A Z8 gyűrű 8 elemét végigpróbálgatva a gyökök 1, 3, 5, 7.(Páratlan szám négyzete nyolccal osztva 1-et ad maradékul.)Azaz egy másodfokú polinomnak négy gyöke van.
Magyarázat
x2 − 1 = (x − 1)(x + 1)q(x), ahol a q(x) = 1-nek nincs gyöke.
![Page 138: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/138.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 12 / 28
Gyöktényező a nem nullosztómentes esetben
Példa (K, 57. oldal)
Legyen R = Z8 és f (x) = x2 − 1 másodfokú polinom.A Z8 gyűrű 8 elemét végigpróbálgatva a gyökök 1, 3, 5, 7.(Páratlan szám négyzete nyolccal osztva 1-et ad maradékul.)Azaz egy másodfokú polinomnak négy gyöke van.
Magyarázat
x2 − 1 = (x − 1)(x + 1)q(x), ahol a q(x) = 1-nek nincs gyöke.x = 3 helyettesítéssel
![Page 139: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/139.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 12 / 28
Gyöktényező a nem nullosztómentes esetben
Példa (K, 57. oldal)
Legyen R = Z8 és f (x) = x2 − 1 másodfokú polinom.A Z8 gyűrű 8 elemét végigpróbálgatva a gyökök 1, 3, 5, 7.(Páratlan szám négyzete nyolccal osztva 1-et ad maradékul.)Azaz egy másodfokú polinomnak négy gyöke van.
Magyarázat
x2 − 1 = (x − 1)(x + 1)q(x), ahol a q(x) = 1-nek nincs gyöke.x = 3 helyettesítéssel 32 − 1
![Page 140: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/140.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 12 / 28
Gyöktényező a nem nullosztómentes esetben
Példa (K, 57. oldal)
Legyen R = Z8 és f (x) = x2 − 1 másodfokú polinom.A Z8 gyűrű 8 elemét végigpróbálgatva a gyökök 1, 3, 5, 7.(Páratlan szám négyzete nyolccal osztva 1-et ad maradékul.)Azaz egy másodfokú polinomnak négy gyöke van.
Magyarázat
x2 − 1 = (x − 1)(x + 1)q(x), ahol a q(x) = 1-nek nincs gyöke.x = 3 helyettesítéssel 0 = 32 − 1
![Page 141: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/141.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 12 / 28
Gyöktényező a nem nullosztómentes esetben
Példa (K, 57. oldal)
Legyen R = Z8 és f (x) = x2 − 1 másodfokú polinom.A Z8 gyűrű 8 elemét végigpróbálgatva a gyökök 1, 3, 5, 7.(Páratlan szám négyzete nyolccal osztva 1-et ad maradékul.)Azaz egy másodfokú polinomnak négy gyöke van.
Magyarázat
x2 − 1 = (x − 1)(x + 1)q(x), ahol a q(x) = 1-nek nincs gyöke.x = 3 helyettesítéssel 0 = 32 − 1 = (3 − 1)(3 + 1)
![Page 142: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/142.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 12 / 28
Gyöktényező a nem nullosztómentes esetben
Példa (K, 57. oldal)
Legyen R = Z8 és f (x) = x2 − 1 másodfokú polinom.A Z8 gyűrű 8 elemét végigpróbálgatva a gyökök 1, 3, 5, 7.(Páratlan szám négyzete nyolccal osztva 1-et ad maradékul.)Azaz egy másodfokú polinomnak négy gyöke van.
Magyarázat
x2 − 1 = (x − 1)(x + 1)q(x), ahol a q(x) = 1-nek nincs gyöke.x = 3 helyettesítéssel 0 = 32 − 1 = (3 − 1)(3 + 1) = 4 ∗8 2.
![Page 143: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/143.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 12 / 28
Gyöktényező a nem nullosztómentes esetben
Példa (K, 57. oldal)
Legyen R = Z8 és f (x) = x2 − 1 másodfokú polinom.A Z8 gyűrű 8 elemét végigpróbálgatva a gyökök 1, 3, 5, 7.(Páratlan szám négyzete nyolccal osztva 1-et ad maradékul.)Azaz egy másodfokú polinomnak négy gyöke van.
Magyarázat
x2 − 1 = (x − 1)(x + 1)q(x), ahol a q(x) = 1-nek nincs gyöke.x = 3 helyettesítéssel 0 = 32 − 1 = (3 − 1)(3 + 1) = 4 ∗8 2.Vagyis a probléma az, hogy Z8 nem nullosztómentes.
![Page 144: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/144.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 12 / 28
Gyöktényező a nem nullosztómentes esetben
Példa (K, 57. oldal)
Legyen R = Z8 és f (x) = x2 − 1 másodfokú polinom.A Z8 gyűrű 8 elemét végigpróbálgatva a gyökök 1, 3, 5, 7.(Páratlan szám négyzete nyolccal osztva 1-et ad maradékul.)Azaz egy másodfokú polinomnak négy gyöke van.
Magyarázat
x2 − 1 = (x − 1)(x + 1)q(x), ahol a q(x) = 1-nek nincs gyöke.x = 3 helyettesítéssel 0 = 32 − 1 = (3 − 1)(3 + 1) = 4 ∗8 2.Vagyis a probléma az, hogy Z8 nem nullosztómentes.Ugyanígy x2 − 1 = (x − 3)(x + 3) is teljesül,
![Page 145: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/145.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 12 / 28
Gyöktényező a nem nullosztómentes esetben
Példa (K, 57. oldal)
Legyen R = Z8 és f (x) = x2 − 1 másodfokú polinom.A Z8 gyűrű 8 elemét végigpróbálgatva a gyökök 1, 3, 5, 7.(Páratlan szám négyzete nyolccal osztva 1-et ad maradékul.)Azaz egy másodfokú polinomnak négy gyöke van.
Magyarázat
x2 − 1 = (x − 1)(x + 1)q(x), ahol a q(x) = 1-nek nincs gyöke.x = 3 helyettesítéssel 0 = 32 − 1 = (3 − 1)(3 + 1) = 4 ∗8 2.Vagyis a probléma az, hogy Z8 nem nullosztómentes.Ugyanígy x2 − 1 = (x − 3)(x + 3) is teljesül,azaz a gyöktényezős alak nem egyértelmű.
![Page 146: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/146.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 12 / 28
Gyöktényező a nem nullosztómentes esetben
Példa (K, 57. oldal)
Legyen R = Z8 és f (x) = x2 − 1 másodfokú polinom.A Z8 gyűrű 8 elemét végigpróbálgatva a gyökök 1, 3, 5, 7.(Páratlan szám négyzete nyolccal osztva 1-et ad maradékul.)Azaz egy másodfokú polinomnak négy gyöke van.
Magyarázat
x2 − 1 = (x − 1)(x + 1)q(x), ahol a q(x) = 1-nek nincs gyöke.x = 3 helyettesítéssel 0 = 32 − 1 = (3 − 1)(3 + 1) = 4 ∗8 2.Vagyis a probléma az, hogy Z8 nem nullosztómentes.Ugyanígy x2 − 1 = (x − 3)(x + 3) is teljesül,azaz a gyöktényezős alak nem egyértelmű.
A négy különböző gyökhöz tartozó gyöktényezőt egyszerreazért nem lehet kiemelni, mert Z8 nem nullosztómentes.
![Page 147: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/147.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 13 / 28
A gyökök száma
A polinomok azonossági tétele (K2.4.10, K2.4.11)
Ha R kommutatív, egységelemes és nullosztómentes:
![Page 148: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/148.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 13 / 28
A gyökök száma
A polinomok azonossági tétele (K2.4.10, K2.4.11)
Ha R kommutatív, egységelemes és nullosztómentes:
(1) Minden polinomnak legfeljebb annyi gyöke van, mint a foka.
![Page 149: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/149.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 13 / 28
A gyökök száma
A polinomok azonossági tétele (K2.4.10, K2.4.11)
Ha R kommutatív, egységelemes és nullosztómentes:
(1) Minden polinomnak legfeljebb annyi gyöke van, mint a foka.
(2) Ha két, legfeljebb n-edfokú polinom több mint n helyenmegegyezik,
![Page 150: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/150.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 13 / 28
A gyökök száma
A polinomok azonossági tétele (K2.4.10, K2.4.11)
Ha R kommutatív, egységelemes és nullosztómentes:
(1) Minden polinomnak legfeljebb annyi gyöke van, mint a foka.
(2) Ha két, legfeljebb n-edfokú polinom több mint n helyenmegegyezik, akkor egyenlők (együtthatóik megegyeznek).
![Page 151: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/151.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 13 / 28
A gyökök száma
A polinomok azonossági tétele (K2.4.10, K2.4.11)
Ha R kommutatív, egységelemes és nullosztómentes:
(1) Minden polinomnak legfeljebb annyi gyöke van, mint a foka.
(2) Ha két, legfeljebb n-edfokú polinom több mint n helyenmegegyezik, akkor egyenlők (együtthatóik megegyeznek).
(3) Ha R végtelen gyűrű,
![Page 152: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/152.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 13 / 28
A gyökök száma
A polinomok azonossági tétele (K2.4.10, K2.4.11)
Ha R kommutatív, egységelemes és nullosztómentes:
(1) Minden polinomnak legfeljebb annyi gyöke van, mint a foka.
(2) Ha két, legfeljebb n-edfokú polinom több mint n helyenmegegyezik, akkor egyenlők (együtthatóik megegyeznek).
(3) Ha R végtelen gyűrű, és az f ∗ és g∗ polinomfüggvényekegyenlők,
![Page 153: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/153.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 13 / 28
A gyökök száma
A polinomok azonossági tétele (K2.4.10, K2.4.11)
Ha R kommutatív, egységelemes és nullosztómentes:
(1) Minden polinomnak legfeljebb annyi gyöke van, mint a foka.
(2) Ha két, legfeljebb n-edfokú polinom több mint n helyenmegegyezik, akkor egyenlők (együtthatóik megegyeznek).
(3) Ha R végtelen gyűrű, és az f ∗ és g∗ polinomfüggvényekegyenlők, akkor f = g .
![Page 154: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/154.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 13 / 28
A gyökök száma
A polinomok azonossági tétele (K2.4.10, K2.4.11)
Ha R kommutatív, egységelemes és nullosztómentes:
(1) Minden polinomnak legfeljebb annyi gyöke van, mint a foka.
(2) Ha két, legfeljebb n-edfokú polinom több mint n helyenmegegyezik, akkor egyenlők (együtthatóik megegyeznek).
(3) Ha R végtelen gyűrű, és az f ∗ és g∗ polinomfüggvényekegyenlők, akkor f = g . Ha R véges,
![Page 155: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/155.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 13 / 28
A gyökök száma
A polinomok azonossági tétele (K2.4.10, K2.4.11)
Ha R kommutatív, egységelemes és nullosztómentes:
(1) Minden polinomnak legfeljebb annyi gyöke van, mint a foka.
(2) Ha két, legfeljebb n-edfokú polinom több mint n helyenmegegyezik, akkor egyenlők (együtthatóik megegyeznek).
(3) Ha R végtelen gyűrű, és az f ∗ és g∗ polinomfüggvényekegyenlők, akkor f = g . Ha R véges, akkor van kétkülönböző polinom, melyek polinomfüggvénye ugyanaz.
![Page 156: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/156.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 13 / 28
A gyökök száma
A polinomok azonossági tétele (K2.4.10, K2.4.11)
Ha R kommutatív, egységelemes és nullosztómentes:
(1) Minden polinomnak legfeljebb annyi gyöke van, mint a foka.
(2) Ha két, legfeljebb n-edfokú polinom több mint n helyenmegegyezik, akkor egyenlők (együtthatóik megegyeznek).
(3) Ha R végtelen gyűrű, és az f ∗ és g∗ polinomfüggvényekegyenlők, akkor f = g . Ha R véges, akkor van kétkülönböző polinom, melyek polinomfüggvénye ugyanaz.
A bizonyítások megjegyzendő fő gondolatai:
(1): Egyszerre kiemelhetők a gyöktényezők.
![Page 157: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/157.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 13 / 28
A gyökök száma
A polinomok azonossági tétele (K2.4.10, K2.4.11)
Ha R kommutatív, egységelemes és nullosztómentes:
(1) Minden polinomnak legfeljebb annyi gyöke van, mint a foka.
(2) Ha két, legfeljebb n-edfokú polinom több mint n helyenmegegyezik, akkor egyenlők (együtthatóik megegyeznek).
(3) Ha R végtelen gyűrű, és az f ∗ és g∗ polinomfüggvényekegyenlők, akkor f = g . Ha R véges, akkor van kétkülönböző polinom, melyek polinomfüggvénye ugyanaz.
A bizonyítások megjegyzendő fő gondolatai:
(1): Egyszerre kiemelhetők a gyöktényezők.(2): Alkalmazzuk (1)-et a két polinom különbségére.
![Page 158: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/158.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 13 / 28
A gyökök száma
A polinomok azonossági tétele (K2.4.10, K2.4.11)
Ha R kommutatív, egységelemes és nullosztómentes:
(1) Minden polinomnak legfeljebb annyi gyöke van, mint a foka.
(2) Ha két, legfeljebb n-edfokú polinom több mint n helyenmegegyezik, akkor egyenlők (együtthatóik megegyeznek).
(3) Ha R végtelen gyűrű, és az f ∗ és g∗ polinomfüggvényekegyenlők, akkor f = g . Ha R véges, akkor van kétkülönböző polinom, melyek polinomfüggvénye ugyanaz.
A bizonyítások megjegyzendő fő gondolatai:
(1): Egyszerre kiemelhetők a gyöktényezők.(2): Alkalmazzuk (1)-et a két polinom különbségére.(3): Ha R végtelen, akkor (2)-ben van „elég” elem.
![Page 159: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/159.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 13 / 28
A gyökök száma
A polinomok azonossági tétele (K2.4.10, K2.4.11)
Ha R kommutatív, egységelemes és nullosztómentes:
(1) Minden polinomnak legfeljebb annyi gyöke van, mint a foka.
(2) Ha két, legfeljebb n-edfokú polinom több mint n helyenmegegyezik, akkor egyenlők (együtthatóik megegyeznek).
(3) Ha R végtelen gyűrű, és az f ∗ és g∗ polinomfüggvényekegyenlők, akkor f = g . Ha R véges, akkor van kétkülönböző polinom, melyek polinomfüggvénye ugyanaz.
A bizonyítások megjegyzendő fő gondolatai:
(1): Egyszerre kiemelhetők a gyöktényezők.(2): Alkalmazzuk (1)-et a két polinom különbségére.(3): Ha R végtelen, akkor (2)-ben van „elég” elem.Véges gyűrű fölött csak véges sok polinomfüggvény van.
![Page 160: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/160.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 14 / 28
Véges gyűrű fölötti polinomfüggvények
Példa
Ha R = Z2 és k ≥ 1,
![Page 161: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/161.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 14 / 28
Véges gyűrű fölötti polinomfüggvények
Példa
Ha R = Z2 és k ≥ 1, akkor xk értéke x = 0-nál 0
![Page 162: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/162.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 14 / 28
Véges gyűrű fölötti polinomfüggvények
Példa
Ha R = Z2 és k ≥ 1, akkor xk értéke x = 0-nál 0 és x = 1-nél 1.
![Page 163: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/163.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 14 / 28
Véges gyűrű fölötti polinomfüggvények
Példa
Ha R = Z2 és k ≥ 1, akkor xk értéke x = 0-nál 0 és x = 1-nél 1.Ezért az xk -hoz tartozó polinomfüggvény ugyanaz:
![Page 164: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/164.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 14 / 28
Véges gyűrű fölötti polinomfüggvények
Példa
Ha R = Z2 és k ≥ 1, akkor xk értéke x = 0-nál 0 és x = 1-nél 1.Ezért az xk -hoz tartozó polinomfüggvény ugyanaz: az identitás.
![Page 165: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/165.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 14 / 28
Véges gyűrű fölötti polinomfüggvények
Példa
Ha R = Z2 és k ≥ 1, akkor xk értéke x = 0-nál 0 és x = 1-nél 1.Ezért az xk -hoz tartozó polinomfüggvény ugyanaz: az identitás.
Legyen R = Zp ahol p prím.
![Page 166: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/166.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 14 / 28
Véges gyűrű fölötti polinomfüggvények
Példa
Ha R = Z2 és k ≥ 1, akkor xk értéke x = 0-nál 0 és x = 1-nél 1.Ezért az xk -hoz tartozó polinomfüggvény ugyanaz: az identitás.
Legyen R = Zp ahol p prím.Ekkor az xp-hez és x-hez tartozó polinomfüggvény ugyanaz.
![Page 167: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/167.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 14 / 28
Véges gyűrű fölötti polinomfüggvények
Példa
Ha R = Z2 és k ≥ 1, akkor xk értéke x = 0-nál 0 és x = 1-nél 1.Ezért az xk -hoz tartozó polinomfüggvény ugyanaz: az identitás.
Legyen R = Zp ahol p prím.Ekkor az xp-hez és x-hez tartozó polinomfüggvény ugyanaz.Valóban: A kis Fermat-tétel szerint p | xp − x minden x egészre.
![Page 168: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/168.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 14 / 28
Véges gyűrű fölötti polinomfüggvények
Példa
Ha R = Z2 és k ≥ 1, akkor xk értéke x = 0-nál 0 és x = 1-nél 1.Ezért az xk -hoz tartozó polinomfüggvény ugyanaz: az identitás.
Legyen R = Zp ahol p prím.Ekkor az xp-hez és x-hez tartozó polinomfüggvény ugyanaz.Valóban: A kis Fermat-tétel szerint p | xp − x minden x egészre.
Zp fölött xp−1 − 1 =(
x − 1)
. . .(
x − (p − 1))
.
![Page 169: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/169.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 14 / 28
Véges gyűrű fölötti polinomfüggvények
Példa
Ha R = Z2 és k ≥ 1, akkor xk értéke x = 0-nál 0 és x = 1-nél 1.Ezért az xk -hoz tartozó polinomfüggvény ugyanaz: az identitás.
Legyen R = Zp ahol p prím.Ekkor az xp-hez és x-hez tartozó polinomfüggvény ugyanaz.Valóban: A kis Fermat-tétel szerint p | xp − x minden x egészre.
Zp fölött xp−1 − 1 =(
x − 1)
. . .(
x − (p − 1))
.Valóban: Zp test,
![Page 170: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/170.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 14 / 28
Véges gyűrű fölötti polinomfüggvények
Példa
Ha R = Z2 és k ≥ 1, akkor xk értéke x = 0-nál 0 és x = 1-nél 1.Ezért az xk -hoz tartozó polinomfüggvény ugyanaz: az identitás.
Legyen R = Zp ahol p prím.Ekkor az xp-hez és x-hez tartozó polinomfüggvény ugyanaz.Valóban: A kis Fermat-tétel szerint p | xp − x minden x egészre.
Zp fölött xp−1 − 1 =(
x − 1)
. . .(
x − (p − 1))
.Valóban: Zp test, a két oldal különbsége legfeljebb p − 2 fokú,
![Page 171: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/171.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 14 / 28
Véges gyűrű fölötti polinomfüggvények
Példa
Ha R = Z2 és k ≥ 1, akkor xk értéke x = 0-nál 0 és x = 1-nél 1.Ezért az xk -hoz tartozó polinomfüggvény ugyanaz: az identitás.
Legyen R = Zp ahol p prím.Ekkor az xp-hez és x-hez tartozó polinomfüggvény ugyanaz.Valóban: A kis Fermat-tétel szerint p | xp − x minden x egészre.
Zp fölött xp−1 − 1 =(
x − 1)
. . .(
x − (p − 1))
.Valóban: Zp test, a két oldal különbsége legfeljebb p − 2 fokú,mert xp−1 kiesik,
![Page 172: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/172.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 14 / 28
Véges gyűrű fölötti polinomfüggvények
Példa
Ha R = Z2 és k ≥ 1, akkor xk értéke x = 0-nál 0 és x = 1-nél 1.Ezért az xk -hoz tartozó polinomfüggvény ugyanaz: az identitás.
Legyen R = Zp ahol p prím.Ekkor az xp-hez és x-hez tartozó polinomfüggvény ugyanaz.Valóban: A kis Fermat-tétel szerint p | xp − x minden x egészre.
Zp fölött xp−1 − 1 =(
x − 1)
. . .(
x − (p − 1))
.Valóban: Zp test, a két oldal különbsége legfeljebb p − 2 fokú,mert xp−1 kiesik, de az 1, 2, . . . , p − 1 helyeken megegyeznek.
![Page 173: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/173.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 14 / 28
Véges gyűrű fölötti polinomfüggvények
Példa
Ha R = Z2 és k ≥ 1, akkor xk értéke x = 0-nál 0 és x = 1-nél 1.Ezért az xk -hoz tartozó polinomfüggvény ugyanaz: az identitás.
Legyen R = Zp ahol p prím.Ekkor az xp-hez és x-hez tartozó polinomfüggvény ugyanaz.Valóban: A kis Fermat-tétel szerint p | xp − x minden x egészre.
Zp fölött xp−1 − 1 =(
x − 1)
. . .(
x − (p − 1))
.Valóban: Zp test, a két oldal különbsége legfeljebb p − 2 fokú,mert xp−1 kiesik, de az 1, 2, . . . , p − 1 helyeken megegyeznek.Másképp: az x − i gyöktényezőket egyszerre kiemeljük (1 ≤ i < p).
![Page 174: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/174.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 14 / 28
Véges gyűrű fölötti polinomfüggvények
Példa
Ha R = Z2 és k ≥ 1, akkor xk értéke x = 0-nál 0 és x = 1-nél 1.Ezért az xk -hoz tartozó polinomfüggvény ugyanaz: az identitás.
Legyen R = Zp ahol p prím.Ekkor az xp-hez és x-hez tartozó polinomfüggvény ugyanaz.Valóban: A kis Fermat-tétel szerint p | xp − x minden x egészre.
Zp fölött xp−1 − 1 =(
x − 1)
. . .(
x − (p − 1))
.Valóban: Zp test, a két oldal különbsége legfeljebb p − 2 fokú,mert xp−1 kiesik, de az 1, 2, . . . , p − 1 helyeken megegyeznek.Másképp: az x − i gyöktényezőket egyszerre kiemeljük (1 ≤ i < p).
HF: Lássuk be ebből Wilson tételét:
![Page 175: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/175.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 14 / 28
Véges gyűrű fölötti polinomfüggvények
Példa
Ha R = Z2 és k ≥ 1, akkor xk értéke x = 0-nál 0 és x = 1-nél 1.Ezért az xk -hoz tartozó polinomfüggvény ugyanaz: az identitás.
Legyen R = Zp ahol p prím.Ekkor az xp-hez és x-hez tartozó polinomfüggvény ugyanaz.Valóban: A kis Fermat-tétel szerint p | xp − x minden x egészre.
Zp fölött xp−1 − 1 =(
x − 1)
. . .(
x − (p − 1))
.Valóban: Zp test, a két oldal különbsége legfeljebb p − 2 fokú,mert xp−1 kiesik, de az 1, 2, . . . , p − 1 helyeken megegyeznek.Másképp: az x − i gyöktényezőket egyszerre kiemeljük (1 ≤ i < p).
HF: Lássuk be ebből Wilson tételét: p | (p − 1)! + 1, ha p prím.
![Page 176: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/176.jpg)
Polinomok gyökei Algebra1, normál 11. előadás 14 / 28
Véges gyűrű fölötti polinomfüggvények
Példa
Ha R = Z2 és k ≥ 1, akkor xk értéke x = 0-nál 0 és x = 1-nél 1.Ezért az xk -hoz tartozó polinomfüggvény ugyanaz: az identitás.
Legyen R = Zp ahol p prím.Ekkor az xp-hez és x-hez tartozó polinomfüggvény ugyanaz.Valóban: A kis Fermat-tétel szerint p | xp − x minden x egészre.
Zp fölött xp−1 − 1 =(
x − 1)
. . .(
x − (p − 1))
.Valóban: Zp test, a két oldal különbsége legfeljebb p − 2 fokú,mert xp−1 kiesik, de az 1, 2, . . . , p − 1 helyeken megegyeznek.Másképp: az x − i gyöktényezőket egyszerre kiemeljük (1 ≤ i < p).
HF: Lássuk be ebből Wilson tételét: p | (p − 1)! + 1, ha p prím.Ötlet: x = 0 helyettesítés.
![Page 177: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/177.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 15 / 28
Oszthatóság
Definíció (K3.1.3)
Az R szokásos gyűrű, ha
![Page 178: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/178.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 15 / 28
Oszthatóság
Definíció (K3.1.3)
Az R szokásos gyűrű, ha kommutatív,
![Page 179: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/179.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 15 / 28
Oszthatóság
Definíció (K3.1.3)
Az R szokásos gyűrű, ha kommutatív, egységelemes,
![Page 180: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/180.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 15 / 28
Oszthatóság
Definíció (K3.1.3)
Az R szokásos gyűrű, ha kommutatív, egységelemes,nullosztómentes.
![Page 181: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/181.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 15 / 28
Oszthatóság
Definíció (K3.1.3)
Az R szokásos gyűrű, ha kommutatív, egységelemes,nullosztómentes. Számelméleti vizsgálatokban ezt feltesszük.
![Page 182: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/182.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 15 / 28
Oszthatóság
Definíció (K3.1.3)
Az R szokásos gyűrű, ha kommutatív, egységelemes,nullosztómentes. Számelméleti vizsgálatokban ezt feltesszük.Ha r , s ∈ R ,
![Page 183: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/183.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 15 / 28
Oszthatóság
Definíció (K3.1.3)
Az R szokásos gyűrű, ha kommutatív, egységelemes,nullosztómentes. Számelméleti vizsgálatokban ezt feltesszük.Ha r , s ∈ R , akkor r osztója s-nek
![Page 184: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/184.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 15 / 28
Oszthatóság
Definíció (K3.1.3)
Az R szokásos gyűrű, ha kommutatív, egységelemes,nullosztómentes. Számelméleti vizsgálatokban ezt feltesszük.Ha r , s ∈ R , akkor r osztója s-nek (s többszöröse r -nek),
![Page 185: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/185.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 15 / 28
Oszthatóság
Definíció (K3.1.3)
Az R szokásos gyűrű, ha kommutatív, egységelemes,nullosztómentes. Számelméleti vizsgálatokban ezt feltesszük.Ha r , s ∈ R , akkor r osztója s-nek (s többszöröse r -nek),ha van olyan t ∈ R , hogy rt = s.
![Page 186: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/186.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 15 / 28
Oszthatóság
Definíció (K3.1.3)
Az R szokásos gyűrű, ha kommutatív, egységelemes,nullosztómentes. Számelméleti vizsgálatokban ezt feltesszük.Ha r , s ∈ R , akkor r osztója s-nek (s többszöröse r -nek),ha van olyan t ∈ R , hogy rt = s. Jele: r | s.
![Page 187: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/187.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 15 / 28
Oszthatóság
Definíció (K3.1.3)
Az R szokásos gyűrű, ha kommutatív, egységelemes,nullosztómentes. Számelméleti vizsgálatokban ezt feltesszük.Ha r , s ∈ R , akkor r osztója s-nek (s többszöröse r -nek),ha van olyan t ∈ R , hogy rt = s. Jele: r | s.
Példa: 2x | 3x2 igaz R[x ]-ben,
![Page 188: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/188.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 15 / 28
Oszthatóság
Definíció (K3.1.3)
Az R szokásos gyűrű, ha kommutatív, egységelemes,nullosztómentes. Számelméleti vizsgálatokban ezt feltesszük.Ha r , s ∈ R , akkor r osztója s-nek (s többszöröse r -nek),ha van olyan t ∈ R , hogy rt = s. Jele: r | s.
Példa: 2x | 3x2 igaz R[x ]-ben, nem igaz Z[x ]-ben.
![Page 189: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/189.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 15 / 28
Oszthatóság
Definíció (K3.1.3)
Az R szokásos gyűrű, ha kommutatív, egységelemes,nullosztómentes. Számelméleti vizsgálatokban ezt feltesszük.Ha r , s ∈ R , akkor r osztója s-nek (s többszöröse r -nek),ha van olyan t ∈ R , hogy rt = s. Jele: r | s.
Példa: 2x | 3x2 igaz R[x ]-ben, nem igaz Z[x ]-ben.
Tulajdonságok (K3.1.4)
(1) Ha r | s és r | t, akkor r | s ± t.
![Page 190: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/190.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 15 / 28
Oszthatóság
Definíció (K3.1.3)
Az R szokásos gyűrű, ha kommutatív, egységelemes,nullosztómentes. Számelméleti vizsgálatokban ezt feltesszük.Ha r , s ∈ R , akkor r osztója s-nek (s többszöröse r -nek),ha van olyan t ∈ R , hogy rt = s. Jele: r | s.
Példa: 2x | 3x2 igaz R[x ]-ben, nem igaz Z[x ]-ben.
Tulajdonságok (K3.1.4)
(1) Ha r | s és r | t, akkor r | s ± t.
(2) Ha r | s, akkor r | st,
![Page 191: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/191.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 15 / 28
Oszthatóság
Definíció (K3.1.3)
Az R szokásos gyűrű, ha kommutatív, egységelemes,nullosztómentes. Számelméleti vizsgálatokban ezt feltesszük.Ha r , s ∈ R , akkor r osztója s-nek (s többszöröse r -nek),ha van olyan t ∈ R , hogy rt = s. Jele: r | s.
Példa: 2x | 3x2 igaz R[x ]-ben, nem igaz Z[x ]-ben.
Tulajdonságok (K3.1.4)
(1) Ha r | s és r | t, akkor r | s ± t.
(2) Ha r | s, akkor r | st, sőt rt | st.
![Page 192: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/192.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 15 / 28
Oszthatóság
Definíció (K3.1.3)
Az R szokásos gyűrű, ha kommutatív, egységelemes,nullosztómentes. Számelméleti vizsgálatokban ezt feltesszük.Ha r , s ∈ R , akkor r osztója s-nek (s többszöröse r -nek),ha van olyan t ∈ R , hogy rt = s. Jele: r | s.
Példa: 2x | 3x2 igaz R[x ]-ben, nem igaz Z[x ]-ben.
Tulajdonságok (K3.1.4)
(1) Ha r | s és r | t, akkor r | s ± t.
(2) Ha r | s, akkor r | st, sőt rt | st. Megfordítva, ha t 6= 0,akkor rt | st-ből r | s következik
![Page 193: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/193.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 15 / 28
Oszthatóság
Definíció (K3.1.3)
Az R szokásos gyűrű, ha kommutatív, egységelemes,nullosztómentes. Számelméleti vizsgálatokban ezt feltesszük.Ha r , s ∈ R , akkor r osztója s-nek (s többszöröse r -nek),ha van olyan t ∈ R , hogy rt = s. Jele: r | s.
Példa: 2x | 3x2 igaz R[x ]-ben, nem igaz Z[x ]-ben.
Tulajdonságok (K3.1.4)
(1) Ha r | s és r | t, akkor r | s ± t.
(2) Ha r | s, akkor r | st, sőt rt | st. Megfordítva, ha t 6= 0,akkor rt | st-ből r | s következik (R nullosztómentes!).
![Page 194: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/194.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 15 / 28
Oszthatóság
Definíció (K3.1.3)
Az R szokásos gyűrű, ha kommutatív, egységelemes,nullosztómentes. Számelméleti vizsgálatokban ezt feltesszük.Ha r , s ∈ R , akkor r osztója s-nek (s többszöröse r -nek),ha van olyan t ∈ R , hogy rt = s. Jele: r | s.
Példa: 2x | 3x2 igaz R[x ]-ben, nem igaz Z[x ]-ben.
Tulajdonságok (K3.1.4)
(1) Ha r | s és r | t, akkor r | s ± t.
(2) Ha r | s, akkor r | st, sőt rt | st. Megfordítva, ha t 6= 0,akkor rt | st-ből r | s következik (R nullosztómentes!).
(3) Tranzitivitás: ha r | s és s | t, akkor r | t.
![Page 195: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/195.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 15 / 28
Oszthatóság
Definíció (K3.1.3)
Az R szokásos gyűrű, ha kommutatív, egységelemes,nullosztómentes. Számelméleti vizsgálatokban ezt feltesszük.Ha r , s ∈ R , akkor r osztója s-nek (s többszöröse r -nek),ha van olyan t ∈ R , hogy rt = s. Jele: r | s.
Példa: 2x | 3x2 igaz R[x ]-ben, nem igaz Z[x ]-ben.
Tulajdonságok (K3.1.4)
(1) Ha r | s és r | t, akkor r | s ± t.
(2) Ha r | s, akkor r | st, sőt rt | st. Megfordítva, ha t 6= 0,akkor rt | st-ből r | s következik (R nullosztómentes!).
(3) Tranzitivitás: ha r | s és s | t, akkor r | t.
(4) Reflexivitás: r | r minden r ∈ R esetén
![Page 196: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/196.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 15 / 28
Oszthatóság
Definíció (K3.1.3)
Az R szokásos gyűrű, ha kommutatív, egységelemes,nullosztómentes. Számelméleti vizsgálatokban ezt feltesszük.Ha r , s ∈ R , akkor r osztója s-nek (s többszöröse r -nek),ha van olyan t ∈ R , hogy rt = s. Jele: r | s.
Példa: 2x | 3x2 igaz R[x ]-ben, nem igaz Z[x ]-ben.
Tulajdonságok (K3.1.4)
(1) Ha r | s és r | t, akkor r | s ± t.
(2) Ha r | s, akkor r | st, sőt rt | st. Megfordítva, ha t 6= 0,akkor rt | st-ből r | s következik (R nullosztómentes!).
(3) Tranzitivitás: ha r | s és s | t, akkor r | t.
(4) Reflexivitás: r | r minden r ∈ R esetén (R egységelemes!).
![Page 197: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/197.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 16 / 28
Felbonthatatlan elem
Emlékeztető (K3.1.9)
Az e ∈ R egység, ha e | 1.
![Page 198: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/198.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 16 / 28
Felbonthatatlan elem
Emlékeztető (K3.1.9)
Az e ∈ R egység, ha e | 1. Ez ugyanaz, mint az invertálhatóelem.
![Page 199: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/199.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 16 / 28
Felbonthatatlan elem
Emlékeztető (K3.1.9)
Az e ∈ R egység, ha e | 1. Ez ugyanaz, mint az invertálhatóelem. Minden egység osztója R minden elemének.
![Page 200: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/200.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 16 / 28
Felbonthatatlan elem
Emlékeztető (K3.1.9)
Az e ∈ R egység, ha e | 1. Ez ugyanaz, mint az invertálhatóelem. Minden egység osztója R minden elemének.
Példa: A Z gyűrű egységei ±1.
![Page 201: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/201.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 16 / 28
Felbonthatatlan elem
Emlékeztető (K3.1.9)
Az e ∈ R egység, ha e | 1. Ez ugyanaz, mint az invertálhatóelem. Minden egység osztója R minden elemének.
Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1.
![Page 202: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/202.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 16 / 28
Felbonthatatlan elem
Emlékeztető (K3.1.9)
Az e ∈ R egység, ha e | 1. Ez ugyanaz, mint az invertálhatóelem. Minden egység osztója R minden elemének.
Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1.HF: Mik a 0 osztói?
![Page 203: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/203.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 16 / 28
Felbonthatatlan elem
Emlékeztető (K3.1.9)
Az e ∈ R egység, ha e | 1. Ez ugyanaz, mint az invertálhatóelem. Minden egység osztója R minden elemének.
Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1.HF: Mik a 0 osztói? Mely elemeknek osztója a 0?
![Page 204: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/204.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 16 / 28
Felbonthatatlan elem
Emlékeztető (K3.1.9)
Az e ∈ R egység, ha e | 1. Ez ugyanaz, mint az invertálhatóelem. Minden egység osztója R minden elemének.
Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1.HF: Mik a 0 osztói? Mely elemeknek osztója a 0?
Definíció (K3.1.12, K3.1.13, K3.1.14)
A b = cd a b-nek triviális felbontása,
![Page 205: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/205.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 16 / 28
Felbonthatatlan elem
Emlékeztető (K3.1.9)
Az e ∈ R egység, ha e | 1. Ez ugyanaz, mint az invertálhatóelem. Minden egység osztója R minden elemének.
Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1.HF: Mik a 0 osztói? Mely elemeknek osztója a 0?
Definíció (K3.1.12, K3.1.13, K3.1.14)
A b = cd a b-nek triviális felbontása, ha c és d egyike egység.
![Page 206: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/206.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 16 / 28
Felbonthatatlan elem
Emlékeztető (K3.1.9)
Az e ∈ R egység, ha e | 1. Ez ugyanaz, mint az invertálhatóelem. Minden egység osztója R minden elemének.
Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1.HF: Mik a 0 osztói? Mely elemeknek osztója a 0?
Definíció (K3.1.12, K3.1.13, K3.1.14)
A b = cd a b-nek triviális felbontása, ha c és d egyike egység.A p ∈ R felbonthatatlan (irreducibilis),
![Page 207: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/207.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 16 / 28
Felbonthatatlan elem
Emlékeztető (K3.1.9)
Az e ∈ R egység, ha e | 1. Ez ugyanaz, mint az invertálhatóelem. Minden egység osztója R minden elemének.
Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1.HF: Mik a 0 osztói? Mely elemeknek osztója a 0?
Definíció (K3.1.12, K3.1.13, K3.1.14)
A b = cd a b-nek triviális felbontása, ha c és d egyike egység.A p ∈ R felbonthatatlan (irreducibilis), ha nem nulla,nem egység,
![Page 208: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/208.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 16 / 28
Felbonthatatlan elem
Emlékeztető (K3.1.9)
Az e ∈ R egység, ha e | 1. Ez ugyanaz, mint az invertálhatóelem. Minden egység osztója R minden elemének.
Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1.HF: Mik a 0 osztói? Mely elemeknek osztója a 0?
Definíció (K3.1.12, K3.1.13, K3.1.14)
A b = cd a b-nek triviális felbontása, ha c és d egyike egység.A p ∈ R felbonthatatlan (irreducibilis), ha nem nulla,nem egység, és nincs nemtriviális felbontása.
![Page 209: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/209.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 16 / 28
Felbonthatatlan elem
Emlékeztető (K3.1.9)
Az e ∈ R egység, ha e | 1. Ez ugyanaz, mint az invertálhatóelem. Minden egység osztója R minden elemének.
Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1.HF: Mik a 0 osztói? Mely elemeknek osztója a 0?
Definíció (K3.1.12, K3.1.13, K3.1.14)
A b = cd a b-nek triviális felbontása, ha c és d egyike egység.A p ∈ R felbonthatatlan (irreducibilis), ha nem nulla,nem egység, és nincs nemtriviális felbontása.Ekvivalens: p minden osztója egység, vagy p egységszerese.
![Page 210: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/210.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 16 / 28
Felbonthatatlan elem
Emlékeztető (K3.1.9)
Az e ∈ R egység, ha e | 1. Ez ugyanaz, mint az invertálhatóelem. Minden egység osztója R minden elemének.
Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1.HF: Mik a 0 osztói? Mely elemeknek osztója a 0?
Definíció (K3.1.12, K3.1.13, K3.1.14)
A b = cd a b-nek triviális felbontása, ha c és d egyike egység.A p ∈ R felbonthatatlan (irreducibilis), ha nem nulla,nem egység, és nincs nemtriviális felbontása.Ekvivalens: p minden osztója egység, vagy p egységszerese.
Példa: A 23 felbonthatatlan Z-ben,
![Page 211: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/211.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 16 / 28
Felbonthatatlan elem
Emlékeztető (K3.1.9)
Az e ∈ R egység, ha e | 1. Ez ugyanaz, mint az invertálhatóelem. Minden egység osztója R minden elemének.
Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1.HF: Mik a 0 osztói? Mely elemeknek osztója a 0?
Definíció (K3.1.12, K3.1.13, K3.1.14)
A b = cd a b-nek triviális felbontása, ha c és d egyike egység.A p ∈ R felbonthatatlan (irreducibilis), ha nem nulla,nem egység, és nincs nemtriviális felbontása.Ekvivalens: p minden osztója egység, vagy p egységszerese.
Példa: A 23 felbonthatatlan Z-ben, mert nem nulla, nem ±1,
![Page 212: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/212.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 16 / 28
Felbonthatatlan elem
Emlékeztető (K3.1.9)
Az e ∈ R egység, ha e | 1. Ez ugyanaz, mint az invertálhatóelem. Minden egység osztója R minden elemének.
Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1.HF: Mik a 0 osztói? Mely elemeknek osztója a 0?
Definíció (K3.1.12, K3.1.13, K3.1.14)
A b = cd a b-nek triviális felbontása, ha c és d egyike egység.A p ∈ R felbonthatatlan (irreducibilis), ha nem nulla,nem egység, és nincs nemtriviális felbontása.Ekvivalens: p minden osztója egység, vagy p egységszerese.
Példa: A 23 felbonthatatlan Z-ben, mert nem nulla, nem ±1,és osztói csak ±1 és ±23.
![Page 213: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/213.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 16 / 28
Felbonthatatlan elem
Emlékeztető (K3.1.9)
Az e ∈ R egység, ha e | 1. Ez ugyanaz, mint az invertálhatóelem. Minden egység osztója R minden elemének.
Példa: A Z gyűrű egységei ±1. Az egységeleme az 1.HF: Mik a 0 osztói? Mely elemeknek osztója a 0?
Definíció (K3.1.12, K3.1.13, K3.1.14)
A b = cd a b-nek triviális felbontása, ha c és d egyike egység.A p ∈ R felbonthatatlan (irreducibilis), ha nem nulla,nem egység, és nincs nemtriviális felbontása.Ekvivalens: p minden osztója egység, vagy p egységszerese.
Példa: A 23 felbonthatatlan Z-ben, mert nem nulla, nem ±1,és osztói csak ±1 és ±23. Az összes felbontása:23 = 1 · 23 = 23 · 1 = (−1)(−23) = (−23)(−1).
![Page 214: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/214.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 17 / 28
Alaptételes gyűrű
Definíció (K3.1.15)
Az R gyűrűben érvényes a számelmélet alaptétele,
![Page 215: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/215.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 17 / 28
Alaptételes gyűrű
Definíció (K3.1.15)
Az R gyűrűben érvényes a számelmélet alaptétele,ha R minden nem nulla és nem egység eleme
![Page 216: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/216.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 17 / 28
Alaptételes gyűrű
Definíció (K3.1.15)
Az R gyűrűben érvényes a számelmélet alaptétele,ha R minden nem nulla és nem egység elemea sorrendtől és az egységszerestől eltekintve
![Page 217: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/217.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 17 / 28
Alaptételes gyűrű
Definíció (K3.1.15)
Az R gyűrűben érvényes a számelmélet alaptétele,ha R minden nem nulla és nem egység elemea sorrendtől és az egységszerestől eltekintve egyértelműenfelbontható
![Page 218: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/218.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 17 / 28
Alaptételes gyűrű
Definíció (K3.1.15)
Az R gyűrűben érvényes a számelmélet alaptétele,ha R minden nem nulla és nem egység elemea sorrendtől és az egységszerestől eltekintve egyértelműenfelbontható felbonthatatlan elemek szorzatára.
![Page 219: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/219.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 17 / 28
Alaptételes gyűrű
Definíció (K3.1.15)
Az R gyűrűben érvényes a számelmélet alaptétele,ha R minden nem nulla és nem egység elemea sorrendtől és az egységszerestől eltekintve egyértelműenfelbontható felbonthatatlan elemek szorzatára.Az ilyen gyűrűt alaptételes gyűrűnek nevezzük.
![Page 220: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/220.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 17 / 28
Alaptételes gyűrű
Definíció (K3.1.15)
Az R gyűrűben érvényes a számelmélet alaptétele,ha R minden nem nulla és nem egység elemea sorrendtől és az egységszerestől eltekintve egyértelműenfelbontható felbonthatatlan elemek szorzatára.Az ilyen gyűrűt alaptételes gyűrűnek nevezzük.
Tétel (K3.2.12)
A Z,
![Page 221: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/221.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 17 / 28
Alaptételes gyűrű
Definíció (K3.1.15)
Az R gyűrűben érvényes a számelmélet alaptétele,ha R minden nem nulla és nem egység elemea sorrendtől és az egységszerestől eltekintve egyértelműenfelbontható felbonthatatlan elemek szorzatára.Az ilyen gyűrűt alaptételes gyűrűnek nevezzük.
Tétel (K3.2.12)
A Z, alaptételes.
![Page 222: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/222.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 17 / 28
Alaptételes gyűrű
Definíció (K3.1.15)
Az R gyűrűben érvényes a számelmélet alaptétele,ha R minden nem nulla és nem egység elemea sorrendtől és az egységszerestől eltekintve egyértelműenfelbontható felbonthatatlan elemek szorzatára.Az ilyen gyűrűt alaptételes gyűrűnek nevezzük.
Tétel (K3.2.12)
A Z, és minden T [x ] polinomgyűrű, ahol T test, alaptételes.
![Page 223: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/223.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 17 / 28
Alaptételes gyűrű
Definíció (K3.1.15)
Az R gyűrűben érvényes a számelmélet alaptétele,ha R minden nem nulla és nem egység elemea sorrendtől és az egységszerestől eltekintve egyértelműenfelbontható felbonthatatlan elemek szorzatára.Az ilyen gyűrűt alaptételes gyűrűnek nevezzük.
Tétel (K3.2.12)
A Z, és minden T [x ] polinomgyűrű, ahol T test, alaptételes.
elvégezhető a maradékos osztás, ezért
![Page 224: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/224.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 17 / 28
Alaptételes gyűrű
Definíció (K3.1.15)
Az R gyűrűben érvényes a számelmélet alaptétele,ha R minden nem nulla és nem egység elemea sorrendtől és az egységszerestől eltekintve egyértelműenfelbontható felbonthatatlan elemek szorzatára.Az ilyen gyűrűt alaptételes gyűrűnek nevezzük.
Tétel (K3.2.12)
A Z, és minden T [x ] polinomgyűrű, ahol T test, alaptételes.
elvégezhető a maradékos osztás, ezért
létezik „legnagyobb” közös osztó, ezért
![Page 225: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/225.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 17 / 28
Alaptételes gyűrű
Definíció (K3.1.15)
Az R gyűrűben érvényes a számelmélet alaptétele,ha R minden nem nulla és nem egység elemea sorrendtől és az egységszerestől eltekintve egyértelműenfelbontható felbonthatatlan elemek szorzatára.Az ilyen gyűrűt alaptételes gyűrűnek nevezzük.
Tétel (K3.2.12)
A Z, és minden T [x ] polinomgyűrű, ahol T test, alaptételes.
elvégezhető a maradékos osztás, ezért
létezik „legnagyobb” közös osztó, ezért
a felbonthatatlan elemek ugyanazok, mint a prímek, ezért
![Page 226: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/226.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 17 / 28
Alaptételes gyűrű
Definíció (K3.1.15)
Az R gyűrűben érvényes a számelmélet alaptétele,ha R minden nem nulla és nem egység elemea sorrendtől és az egységszerestől eltekintve egyértelműenfelbontható felbonthatatlan elemek szorzatára.Az ilyen gyűrűt alaptételes gyűrűnek nevezzük.
Tétel (K3.2.12)
A Z, és minden T [x ] polinomgyűrű, ahol T test, alaptételes.
elvégezhető a maradékos osztás, ezért
létezik „legnagyobb” közös osztó, ezért
a felbonthatatlan elemek ugyanazok, mint a prímek, ezért
egyértelmű a felbontás.
![Page 227: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/227.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 18 / 28
Prímtulajdonságú elem
FeladatPistike megszámolta a kockás füzetlapján a négyzetek számát,és 23-mal osztható számot kapott.
![Page 228: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/228.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 18 / 28
Prímtulajdonságú elem
FeladatPistike megszámolta a kockás füzetlapján a négyzetek számát,és 23-mal osztható számot kapott. Igazoljuk, hogy a lapvalamelyik oldalán 23-mal osztható számú kis négyzet van.
![Page 229: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/229.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 18 / 28
Prímtulajdonságú elem
FeladatPistike megszámolta a kockás füzetlapján a négyzetek számát,és 23-mal osztható számot kapott. Igazoljuk, hogy a lapvalamelyik oldalán 23-mal osztható számú kis négyzet van.
Definíció (K3.1.25)
A p ∈ R prím R-ben,
![Page 230: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/230.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 18 / 28
Prímtulajdonságú elem
FeladatPistike megszámolta a kockás füzetlapján a négyzetek számát,és 23-mal osztható számot kapott. Igazoljuk, hogy a lapvalamelyik oldalán 23-mal osztható számú kis négyzet van.
Definíció (K3.1.25)
A p ∈ R prím R-ben, ha nem nulla, nem egység,
![Page 231: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/231.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 18 / 28
Prímtulajdonságú elem
FeladatPistike megszámolta a kockás füzetlapján a négyzetek számát,és 23-mal osztható számot kapott. Igazoljuk, hogy a lapvalamelyik oldalán 23-mal osztható számú kis négyzet van.
Definíció (K3.1.25)
A p ∈ R prím R-ben, ha nem nulla, nem egység, és tetszőlegesb, c ∈ R esetén p | bc-ből következik,
![Page 232: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/232.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 18 / 28
Prímtulajdonságú elem
FeladatPistike megszámolta a kockás füzetlapján a négyzetek számát,és 23-mal osztható számot kapott. Igazoljuk, hogy a lapvalamelyik oldalán 23-mal osztható számú kis négyzet van.
Definíció (K3.1.25)
A p ∈ R prím R-ben, ha nem nulla, nem egység, és tetszőlegesb, c ∈ R esetén p | bc-ből következik, hogy p | b vagy p | c.
![Page 233: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/233.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 18 / 28
Prímtulajdonságú elem
FeladatPistike megszámolta a kockás füzetlapján a négyzetek számát,és 23-mal osztható számot kapott. Igazoljuk, hogy a lapvalamelyik oldalán 23-mal osztható számú kis négyzet van.
Definíció (K3.1.25)
A p ∈ R prím R-ben, ha nem nulla, nem egység, és tetszőlegesb, c ∈ R esetén p | bc-ből következik, hogy p | b vagy p | c.
Tétel (K3.1.26, K3.1.27, K3.2.13, K3.2.14)
A Z gyűrűben,
![Page 234: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/234.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 18 / 28
Prímtulajdonságú elem
FeladatPistike megszámolta a kockás füzetlapján a négyzetek számát,és 23-mal osztható számot kapott. Igazoljuk, hogy a lapvalamelyik oldalán 23-mal osztható számú kis négyzet van.
Definíció (K3.1.25)
A p ∈ R prím R-ben, ha nem nulla, nem egység, és tetszőlegesb, c ∈ R esetén p | bc-ből következik, hogy p | b vagy p | c.
Tétel (K3.1.26, K3.1.27, K3.2.13, K3.2.14)
A Z gyűrűben,a felbonthatatlan elemek ugyanazok, mint a prímek.
![Page 235: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/235.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 18 / 28
Prímtulajdonságú elem
FeladatPistike megszámolta a kockás füzetlapján a négyzetek számát,és 23-mal osztható számot kapott. Igazoljuk, hogy a lapvalamelyik oldalán 23-mal osztható számú kis négyzet van.
Definíció (K3.1.25)
A p ∈ R prím R-ben, ha nem nulla, nem egység, és tetszőlegesb, c ∈ R esetén p | bc-ből következik, hogy p | b vagy p | c.
Tétel (K3.1.26, K3.1.27, K3.2.13, K3.2.14)
A Z gyűrűben, továbbá a T [x ] polinomgyűrűben, ahol T test,a felbonthatatlan elemek ugyanazok, mint a prímek.
![Page 236: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/236.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 18 / 28
Prímtulajdonságú elem
FeladatPistike megszámolta a kockás füzetlapján a négyzetek számát,és 23-mal osztható számot kapott. Igazoljuk, hogy a lapvalamelyik oldalán 23-mal osztható számú kis négyzet van.
Definíció (K3.1.25)
A p ∈ R prím R-ben, ha nem nulla, nem egység, és tetszőlegesb, c ∈ R esetén p | bc-ből következik, hogy p | b vagy p | c.
Tétel (K3.1.26, K3.1.27, K3.2.13, K3.2.14)
A Z gyűrűben, továbbá a T [x ] polinomgyűrűben, ahol T test,a felbonthatatlan elemek ugyanazok, mint a prímek.Oka: létezik „legnagyobb” közös osztó.
![Page 237: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/237.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 18 / 28
Prímtulajdonságú elem
FeladatPistike megszámolta a kockás füzetlapján a négyzetek számát,és 23-mal osztható számot kapott. Igazoljuk, hogy a lapvalamelyik oldalán 23-mal osztható számú kis négyzet van.
Definíció (K3.1.25)
A p ∈ R prím R-ben, ha nem nulla, nem egység, és tetszőlegesb, c ∈ R esetén p | bc-ből következik, hogy p | b vagy p | c.
Tétel (K3.1.26, K3.1.27, K3.2.13, K3.2.14)
A Z gyűrűben, továbbá a T [x ] polinomgyűrűben, ahol T test,a felbonthatatlan elemek ugyanazok, mint a prímek.Oka: létezik „legnagyobb” közös osztó.HF: Minden szokásos gyűrűben minden prím felbonthatatlan.
![Page 238: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/238.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 19 / 28
Maradékos osztás
Tétel (K3.2.1)
Legyen R szokásos gyűrű.
![Page 239: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/239.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 19 / 28
Maradékos osztás
Tétel (K3.2.1)
Legyen R szokásos gyűrű. Ekkor az R[x ] polinomgyűrűbenminden olyan g ∈ R[x ] polinommal lehet maradékosan osztani,
![Page 240: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/240.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 19 / 28
Maradékos osztás
Tétel (K3.2.1)
Legyen R szokásos gyűrű. Ekkor az R[x ] polinomgyűrűbenminden olyan g ∈ R[x ] polinommal lehet maradékosan osztani,amelynek főegyütthatója invertálható (azaz egység).
![Page 241: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/241.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 19 / 28
Maradékos osztás
Tétel (K3.2.1)
Legyen R szokásos gyűrű. Ekkor az R[x ] polinomgyűrűbenminden olyan g ∈ R[x ] polinommal lehet maradékosan osztani,amelynek főegyütthatója invertálható (azaz egység).Ez azt jelenti, hogy tetszőleges f ∈ R[x ] polinomhozléteznek olyan q, r ∈ R[x ] polinomok,
![Page 242: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/242.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 19 / 28
Maradékos osztás
Tétel (K3.2.1)
Legyen R szokásos gyűrű. Ekkor az R[x ] polinomgyűrűbenminden olyan g ∈ R[x ] polinommal lehet maradékosan osztani,amelynek főegyütthatója invertálható (azaz egység).Ez azt jelenti, hogy tetszőleges f ∈ R[x ] polinomhozléteznek olyan q, r ∈ R[x ] polinomok, melyekre f = gq + r ,
![Page 243: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/243.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 19 / 28
Maradékos osztás
Tétel (K3.2.1)
Legyen R szokásos gyűrű. Ekkor az R[x ] polinomgyűrűbenminden olyan g ∈ R[x ] polinommal lehet maradékosan osztani,amelynek főegyütthatója invertálható (azaz egység).Ez azt jelenti, hogy tetszőleges f ∈ R[x ] polinomhozléteznek olyan q, r ∈ R[x ] polinomok, melyekre f = gq + r ,és vagy r = 0,
![Page 244: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/244.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 19 / 28
Maradékos osztás
Tétel (K3.2.1)
Legyen R szokásos gyűrű. Ekkor az R[x ] polinomgyűrűbenminden olyan g ∈ R[x ] polinommal lehet maradékosan osztani,amelynek főegyütthatója invertálható (azaz egység).Ez azt jelenti, hogy tetszőleges f ∈ R[x ] polinomhozléteznek olyan q, r ∈ R[x ] polinomok, melyekre f = gq + r ,és vagy r = 0, vagy r foka kisebb g fokánál.
![Page 245: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/245.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 19 / 28
Maradékos osztás
Tétel (K3.2.1)
Legyen R szokásos gyűrű. Ekkor az R[x ] polinomgyűrűbenminden olyan g ∈ R[x ] polinommal lehet maradékosan osztani,amelynek főegyütthatója invertálható (azaz egység).Ez azt jelenti, hogy tetszőleges f ∈ R[x ] polinomhozléteznek olyan q, r ∈ R[x ] polinomok, melyekre f = gq + r ,és vagy r = 0, vagy r foka kisebb g fokánál.A q és r polinomok egyértelműen meghatározottak.
![Page 246: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/246.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 19 / 28
Maradékos osztás
Tétel (K3.2.1)
Legyen R szokásos gyűrű. Ekkor az R[x ] polinomgyűrűbenminden olyan g ∈ R[x ] polinommal lehet maradékosan osztani,amelynek főegyütthatója invertálható (azaz egység).Ez azt jelenti, hogy tetszőleges f ∈ R[x ] polinomhozléteznek olyan q, r ∈ R[x ] polinomok, melyekre f = gq + r ,és vagy r = 0, vagy r foka kisebb g fokánál.A q és r polinomok egyértelműen meghatározottak.
A bizonyítás ugyanaz mint komplex együtthatós polinomokra.
![Page 247: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/247.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 19 / 28
Maradékos osztás
Tétel (K3.2.1)
Legyen R szokásos gyűrű. Ekkor az R[x ] polinomgyűrűbenminden olyan g ∈ R[x ] polinommal lehet maradékosan osztani,amelynek főegyütthatója invertálható (azaz egység).Ez azt jelenti, hogy tetszőleges f ∈ R[x ] polinomhozléteznek olyan q, r ∈ R[x ] polinomok, melyekre f = gq + r ,és vagy r = 0, vagy r foka kisebb g fokánál.A q és r polinomok egyértelműen meghatározottak.
A bizonyítás ugyanaz mint komplex együtthatós polinomokra.A tétel magában foglalja azt is, hogy q és r együtthatóiaz f és g együtthatóiból a négy alapművelettel kaphatók:
![Page 248: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/248.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 19 / 28
Maradékos osztás
Tétel (K3.2.1)
Legyen R szokásos gyűrű. Ekkor az R[x ] polinomgyűrűbenminden olyan g ∈ R[x ] polinommal lehet maradékosan osztani,amelynek főegyütthatója invertálható (azaz egység).Ez azt jelenti, hogy tetszőleges f ∈ R[x ] polinomhozléteznek olyan q, r ∈ R[x ] polinomok, melyekre f = gq + r ,és vagy r = 0, vagy r foka kisebb g fokánál.A q és r polinomok egyértelműen meghatározottak.
A bizonyítás ugyanaz mint komplex együtthatós polinomokra.A tétel magában foglalja azt is, hogy q és r együtthatóiaz f és g együtthatóiból a négy alapművelettel kaphatók:
Emlékeztető (K3.2.2)
![Page 249: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/249.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 19 / 28
Maradékos osztás
Tétel (K3.2.1)
Legyen R szokásos gyűrű. Ekkor az R[x ] polinomgyűrűbenminden olyan g ∈ R[x ] polinommal lehet maradékosan osztani,amelynek főegyütthatója invertálható (azaz egység).Ez azt jelenti, hogy tetszőleges f ∈ R[x ] polinomhozléteznek olyan q, r ∈ R[x ] polinomok, melyekre f = gq + r ,és vagy r = 0, vagy r foka kisebb g fokánál.A q és r polinomok egyértelműen meghatározottak.
A bizonyítás ugyanaz mint komplex együtthatós polinomokra.A tétel magában foglalja azt is, hogy q és r együtthatóiaz f és g együtthatóiból a négy alapművelettel kaphatók:
Emlékeztető (K3.2.2)
Ha g | f a C[x ]-ben,
![Page 250: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/250.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 19 / 28
Maradékos osztás
Tétel (K3.2.1)
Legyen R szokásos gyűrű. Ekkor az R[x ] polinomgyűrűbenminden olyan g ∈ R[x ] polinommal lehet maradékosan osztani,amelynek főegyütthatója invertálható (azaz egység).Ez azt jelenti, hogy tetszőleges f ∈ R[x ] polinomhozléteznek olyan q, r ∈ R[x ] polinomok, melyekre f = gq + r ,és vagy r = 0, vagy r foka kisebb g fokánál.A q és r polinomok egyértelműen meghatározottak.
A bizonyítás ugyanaz mint komplex együtthatós polinomokra.A tétel magában foglalja azt is, hogy q és r együtthatóiaz f és g együtthatóiból a négy alapművelettel kaphatók:
Emlékeztető (K3.2.2)
Ha g | f a C[x ]-ben, és f , g ∈ R[x ],
![Page 251: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/251.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 19 / 28
Maradékos osztás
Tétel (K3.2.1)
Legyen R szokásos gyűrű. Ekkor az R[x ] polinomgyűrűbenminden olyan g ∈ R[x ] polinommal lehet maradékosan osztani,amelynek főegyütthatója invertálható (azaz egység).Ez azt jelenti, hogy tetszőleges f ∈ R[x ] polinomhozléteznek olyan q, r ∈ R[x ] polinomok, melyekre f = gq + r ,és vagy r = 0, vagy r foka kisebb g fokánál.A q és r polinomok egyértelműen meghatározottak.
A bizonyítás ugyanaz mint komplex együtthatós polinomokra.A tétel magában foglalja azt is, hogy q és r együtthatóiaz f és g együtthatóiból a négy alapművelettel kaphatók:
Emlékeztető (K3.2.2)
Ha g | f a C[x ]-ben, és f , g ∈ R[x ], akkor g | f az R[x ]-ben is.
![Page 252: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/252.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 20 / 28
Kitüntetett közös osztó
Definíció (K3.1.19)
A b és c elemeknek d kitüntetett közös osztója, ha
![Page 253: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/253.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 20 / 28
Kitüntetett közös osztó
Definíció (K3.1.19)
A b és c elemeknek d kitüntetett közös osztója, ha
(1) közös osztó,
![Page 254: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/254.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 20 / 28
Kitüntetett közös osztó
Definíció (K3.1.19)
A b és c elemeknek d kitüntetett közös osztója, ha
(1) közös osztó, azaz d | b és d | c;
![Page 255: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/255.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 20 / 28
Kitüntetett közös osztó
Definíció (K3.1.19)
A b és c elemeknek d kitüntetett közös osztója, ha
(1) közös osztó, azaz d | b és d | c;
(2) minden közös osztónak többese:
![Page 256: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/256.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 20 / 28
Kitüntetett közös osztó
Definíció (K3.1.19)
A b és c elemeknek d kitüntetett közös osztója, ha
(1) közös osztó, azaz d | b és d | c;
(2) minden közös osztónak többese: d ′ | b és d ′ | c
![Page 257: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/257.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 20 / 28
Kitüntetett közös osztó
Definíció (K3.1.19)
A b és c elemeknek d kitüntetett közös osztója, ha
(1) közös osztó, azaz d | b és d | c;
(2) minden közös osztónak többese: d ′ | b és d ′ | c =⇒ d ′ | d .
![Page 258: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/258.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 20 / 28
Kitüntetett közös osztó
Definíció (K3.1.19)
A b és c elemeknek d kitüntetett közös osztója, ha
(1) közös osztó, azaz d | b és d | c;
(2) minden közös osztónak többese: d ′ | b és d ′ | c =⇒ d ′ | d .
Állítás (K3.1.27)
Ha egy szokásos gyűrűben bármely két elemnek vankitüntetett közös osztója,
![Page 259: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/259.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 20 / 28
Kitüntetett közös osztó
Definíció (K3.1.19)
A b és c elemeknek d kitüntetett közös osztója, ha
(1) közös osztó, azaz d | b és d | c;
(2) minden közös osztónak többese: d ′ | b és d ′ | c =⇒ d ′ | d .
Állítás (K3.1.27)
Ha egy szokásos gyűrűben bármely két elemnek vankitüntetett közös osztója, akkor a felbonthatatlanok prímek.
![Page 260: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/260.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 20 / 28
Kitüntetett közös osztó
Definíció (K3.1.19)
A b és c elemeknek d kitüntetett közös osztója, ha
(1) közös osztó, azaz d | b és d | c;
(2) minden közös osztónak többese: d ′ | b és d ′ | c =⇒ d ′ | d .
Állítás (K3.1.27)
Ha egy szokásos gyűrűben bármely két elemnek vankitüntetett közös osztója, akkor a felbonthatatlanok prímek.
Tétel (K5.5.9)
Ha egy R szokásos gyűrűben „elvégezhető a maradékos osztás”,
![Page 261: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/261.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 20 / 28
Kitüntetett közös osztó
Definíció (K3.1.19)
A b és c elemeknek d kitüntetett közös osztója, ha
(1) közös osztó, azaz d | b és d | c;
(2) minden közös osztónak többese: d ′ | b és d ′ | c =⇒ d ′ | d .
Állítás (K3.1.27)
Ha egy szokásos gyűrűben bármely két elemnek vankitüntetett közös osztója, akkor a felbonthatatlanok prímek.
Tétel (K5.5.9)
Ha egy R szokásos gyűrűben „elvégezhető a maradékos osztás”,akkor az euklideszi algoritmus miatt,
![Page 262: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/262.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 20 / 28
Kitüntetett közös osztó
Definíció (K3.1.19)
A b és c elemeknek d kitüntetett közös osztója, ha
(1) közös osztó, azaz d | b és d | c;
(2) minden közös osztónak többese: d ′ | b és d ′ | c =⇒ d ′ | d .
Állítás (K3.1.27)
Ha egy szokásos gyűrűben bármely két elemnek vankitüntetett közös osztója, akkor a felbonthatatlanok prímek.
Tétel (K5.5.9)
Ha egy R szokásos gyűrűben „elvégezhető a maradékos osztás”,akkor az euklideszi algoritmus miatt, bármely két elemnekvan kitüntetett közös osztója,
![Page 263: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/263.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 20 / 28
Kitüntetett közös osztó
Definíció (K3.1.19)
A b és c elemeknek d kitüntetett közös osztója, ha
(1) közös osztó, azaz d | b és d | c;
(2) minden közös osztónak többese: d ′ | b és d ′ | c =⇒ d ′ | d .
Állítás (K3.1.27)
Ha egy szokásos gyűrűben bármely két elemnek vankitüntetett közös osztója, akkor a felbonthatatlanok prímek.
Tétel (K5.5.9)
Ha egy R szokásos gyűrűben „elvégezhető a maradékos osztás”,akkor az euklideszi algoritmus miatt, bármely két elemnekvan kitüntetett közös osztója, ezért R alaptételes.
![Page 264: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/264.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 21 / 28
Kanonikus alak
Definíció (K3.1.16)
A 0 6= r kanonikus alakja r = epα11
pα22
. . . pαk
k,
![Page 265: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/265.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 21 / 28
Kanonikus alak
Definíció (K3.1.16)
A 0 6= r kanonikus alakja r = epα11
pα22
. . . pαk
k, ahol e egység,
![Page 266: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/266.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 21 / 28
Kanonikus alak
Definíció (K3.1.16)
A 0 6= r kanonikus alakja r = epα11
pα22
. . . pαk
k, ahol e egység,
p1, p2, . . . , pk pedig felbonthatatlanok,
![Page 267: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/267.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 21 / 28
Kanonikus alak
Definíció (K3.1.16)
A 0 6= r kanonikus alakja r = epα11
pα22
. . . pαk
k, ahol e egység,
p1, p2, . . . , pk pedig felbonthatatlanok, amelyek páronkéntnem egységszeresei egymásnak.
![Page 268: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/268.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 21 / 28
Kanonikus alak
Definíció (K3.1.16)
A 0 6= r kanonikus alakja r = epα11
pα22
. . . pαk
k, ahol e egység,
p1, p2, . . . , pk pedig felbonthatatlanok, amelyek páronkéntnem egységszeresei egymásnak.
Példák
Z-ben −36 = (−1)2232.
![Page 269: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/269.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 21 / 28
Kanonikus alak
Definíció (K3.1.16)
A 0 6= r kanonikus alakja r = epα11
pα22
. . . pαk
k, ahol e egység,
p1, p2, . . . , pk pedig felbonthatatlanok, amelyek páronkéntnem egységszeresei egymásnak.
Példák
Z-ben −36 = (−1)2232.C[x ]-ben f (x) = c(x − b1)
k1(x − b2)k2 . . . (x − bm)
km ,
![Page 270: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/270.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 21 / 28
Kanonikus alak
Definíció (K3.1.16)
A 0 6= r kanonikus alakja r = epα11
pα22
. . . pαk
k, ahol e egység,
p1, p2, . . . , pk pedig felbonthatatlanok, amelyek páronkéntnem egységszeresei egymásnak.
Példák
Z-ben −36 = (−1)2232.C[x ]-ben f (x) = c(x − b1)
k1(x − b2)k2 . . . (x − bm)
km ,ahol a c a főegyüttható
![Page 271: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/271.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 21 / 28
Kanonikus alak
Definíció (K3.1.16)
A 0 6= r kanonikus alakja r = epα11
pα22
. . . pαk
k, ahol e egység,
p1, p2, . . . , pk pedig felbonthatatlanok, amelyek páronkéntnem egységszeresei egymásnak.
Példák
Z-ben −36 = (−1)2232.C[x ]-ben f (x) = c(x − b1)
k1(x − b2)k2 . . . (x − bm)
km ,ahol a c a főegyüttható (nem nulla konstans, így egység).
![Page 272: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/272.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 21 / 28
Kanonikus alak
Definíció (K3.1.16)
A 0 6= r kanonikus alakja r = epα11
pα22
. . . pαk
k, ahol e egység,
p1, p2, . . . , pk pedig felbonthatatlanok, amelyek páronkéntnem egységszeresei egymásnak.
Példák
Z-ben −36 = (−1)2232.C[x ]-ben f (x) = c(x − b1)
k1(x − b2)k2 . . . (x − bm)
km ,ahol a c a főegyüttható (nem nulla konstans, így egység).Ez a gyöktényezős alak,
![Page 273: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/273.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 21 / 28
Kanonikus alak
Definíció (K3.1.16)
A 0 6= r kanonikus alakja r = epα11
pα22
. . . pαk
k, ahol e egység,
p1, p2, . . . , pk pedig felbonthatatlanok, amelyek páronkéntnem egységszeresei egymásnak.
Példák
Z-ben −36 = (−1)2232.C[x ]-ben f (x) = c(x − b1)
k1(x − b2)k2 . . . (x − bm)
km ,ahol a c a főegyüttható (nem nulla konstans, így egység).Ez a gyöktényezős alak, a ki a bi gyök multiplicitása.
![Page 274: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/274.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 21 / 28
Kanonikus alak
Definíció (K3.1.16)
A 0 6= r kanonikus alakja r = epα11
pα22
. . . pαk
k, ahol e egység,
p1, p2, . . . , pk pedig felbonthatatlanok, amelyek páronkéntnem egységszeresei egymásnak.
Példák
Z-ben −36 = (−1)2232.C[x ]-ben f (x) = c(x − b1)
k1(x − b2)k2 . . . (x − bm)
km ,ahol a c a főegyüttható (nem nulla konstans, így egység).Ez a gyöktényezős alak, a ki a bi gyök multiplicitása.
Az osztók száma,
![Page 275: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/275.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 21 / 28
Kanonikus alak
Definíció (K3.1.16)
A 0 6= r kanonikus alakja r = epα11
pα22
. . . pαk
k, ahol e egység,
p1, p2, . . . , pk pedig felbonthatatlanok, amelyek páronkéntnem egységszeresei egymásnak.
Példák
Z-ben −36 = (−1)2232.C[x ]-ben f (x) = c(x − b1)
k1(x − b2)k2 . . . (x − bm)
km ,ahol a c a főegyüttható (nem nulla konstans, így egység).Ez a gyöktényezős alak, a ki a bi gyök multiplicitása.
Az osztók száma, a kitüntetett közös osztó,
![Page 276: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/276.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 21 / 28
Kanonikus alak
Definíció (K3.1.16)
A 0 6= r kanonikus alakja r = epα11
pα22
. . . pαk
k, ahol e egység,
p1, p2, . . . , pk pedig felbonthatatlanok, amelyek páronkéntnem egységszeresei egymásnak.
Példák
Z-ben −36 = (−1)2232.C[x ]-ben f (x) = c(x − b1)
k1(x − b2)k2 . . . (x − bm)
km ,ahol a c a főegyüttható (nem nulla konstans, így egység).Ez a gyöktényezős alak, a ki a bi gyök multiplicitása.
Az osztók száma, a kitüntetett közös osztó, és a kitüntetettközös többszörös
![Page 277: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/277.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 21 / 28
Kanonikus alak
Definíció (K3.1.16)
A 0 6= r kanonikus alakja r = epα11
pα22
. . . pαk
k, ahol e egység,
p1, p2, . . . , pk pedig felbonthatatlanok, amelyek páronkéntnem egységszeresei egymásnak.
Példák
Z-ben −36 = (−1)2232.C[x ]-ben f (x) = c(x − b1)
k1(x − b2)k2 . . . (x − bm)
km ,ahol a c a főegyüttható (nem nulla konstans, így egység).Ez a gyöktényezős alak, a ki a bi gyök multiplicitása.
Az osztók száma, a kitüntetett közös osztó, és a kitüntetettközös többszörös hasonló képletekkel kapható a kanonikusalakból, mint az egész számok számelméletében.
![Page 278: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/278.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 22 / 28
Gyökök és irreducibilitás
Tétel (K3.3. szakasz)
Legyen T test.
![Page 279: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/279.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 22 / 28
Gyökök és irreducibilitás
Tétel (K3.3. szakasz)
Legyen T test.
(1) Az f ∈ T [x ] akkor és csak akkor irreducibilis T fölött,
![Page 280: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/280.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 22 / 28
Gyökök és irreducibilitás
Tétel (K3.3. szakasz)
Legyen T test.
(1) Az f ∈ T [x ] akkor és csak akkor irreducibilis T fölött,ha nem konstans,
![Page 281: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/281.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 22 / 28
Gyökök és irreducibilitás
Tétel (K3.3. szakasz)
Legyen T test.
(1) Az f ∈ T [x ] akkor és csak akkor irreducibilis T fölött,ha nem konstans, és nem bontható T [x ]-benalacsonyabb fokú polinomok szorzatára.
![Page 282: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/282.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 22 / 28
Gyökök és irreducibilitás
Tétel (K3.3. szakasz)
Legyen T test.
(1) Az f ∈ T [x ] akkor és csak akkor irreducibilis T fölött,ha nem konstans, és nem bontható T [x ]-benalacsonyabb fokú polinomok szorzatára.
(2) Elsőfokú polinom mindig irreducibilis T [x ]-ben.
![Page 283: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/283.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 22 / 28
Gyökök és irreducibilitás
Tétel (K3.3. szakasz)
Legyen T test.
(1) Az f ∈ T [x ] akkor és csak akkor irreducibilis T fölött,ha nem konstans, és nem bontható T [x ]-benalacsonyabb fokú polinomok szorzatára.
(2) Elsőfokú polinom mindig irreducibilis T [x ]-ben.
(3) Másod- és harmadfokú polinom akkor és csak akkorirreducibilis T [x ]-ben,
![Page 284: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/284.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 22 / 28
Gyökök és irreducibilitás
Tétel (K3.3. szakasz)
Legyen T test.
(1) Az f ∈ T [x ] akkor és csak akkor irreducibilis T fölött,ha nem konstans, és nem bontható T [x ]-benalacsonyabb fokú polinomok szorzatára.
(2) Elsőfokú polinom mindig irreducibilis T [x ]-ben.
(3) Másod- és harmadfokú polinom akkor és csak akkorirreducibilis T [x ]-ben, ha nincs gyöke T -ben.
![Page 285: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/285.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 22 / 28
Gyökök és irreducibilitás
Tétel (K3.3. szakasz)
Legyen T test.
(1) Az f ∈ T [x ] akkor és csak akkor irreducibilis T fölött,ha nem konstans, és nem bontható T [x ]-benalacsonyabb fokú polinomok szorzatára.
(2) Elsőfokú polinom mindig irreducibilis T [x ]-ben.
(3) Másod- és harmadfokú polinom akkor és csak akkorirreducibilis T [x ]-ben, ha nincs gyöke T -ben.
(4) Legalább negyedfokú polinom,
![Page 286: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/286.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 22 / 28
Gyökök és irreducibilitás
Tétel (K3.3. szakasz)
Legyen T test.
(1) Az f ∈ T [x ] akkor és csak akkor irreducibilis T fölött,ha nem konstans, és nem bontható T [x ]-benalacsonyabb fokú polinomok szorzatára.
(2) Elsőfokú polinom mindig irreducibilis T [x ]-ben.
(3) Másod- és harmadfokú polinom akkor és csak akkorirreducibilis T [x ]-ben, ha nincs gyöke T -ben.
(4) Legalább negyedfokú polinom, HA van gyöke T -ben,
![Page 287: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/287.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 22 / 28
Gyökök és irreducibilitás
Tétel (K3.3. szakasz)
Legyen T test.
(1) Az f ∈ T [x ] akkor és csak akkor irreducibilis T fölött,ha nem konstans, és nem bontható T [x ]-benalacsonyabb fokú polinomok szorzatára.
(2) Elsőfokú polinom mindig irreducibilis T [x ]-ben.
(3) Másod- és harmadfokú polinom akkor és csak akkorirreducibilis T [x ]-ben, ha nincs gyöke T -ben.
(4) Legalább negyedfokú polinom, HA van gyöke T -ben,akkor biztosan NEM irreducibilis T [x ]-ben.
![Page 288: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/288.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 22 / 28
Gyökök és irreducibilitás
Tétel (K3.3. szakasz)
Legyen T test.
(1) Az f ∈ T [x ] akkor és csak akkor irreducibilis T fölött,ha nem konstans, és nem bontható T [x ]-benalacsonyabb fokú polinomok szorzatára.
(2) Elsőfokú polinom mindig irreducibilis T [x ]-ben.
(3) Másod- és harmadfokú polinom akkor és csak akkorirreducibilis T [x ]-ben, ha nincs gyöke T -ben.
(4) Legalább negyedfokú polinom, HA van gyöke T -ben,akkor biztosan NEM irreducibilis T [x ]-ben. Ha nincs gyöke,attól még lehet reducibilis!
![Page 289: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/289.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 22 / 28
Gyökök és irreducibilitás
Tétel (K3.3. szakasz)
Legyen T test.
(1) Az f ∈ T [x ] akkor és csak akkor irreducibilis T fölött,ha nem konstans, és nem bontható T [x ]-benalacsonyabb fokú polinomok szorzatára.
(2) Elsőfokú polinom mindig irreducibilis T [x ]-ben.
(3) Másod- és harmadfokú polinom akkor és csak akkorirreducibilis T [x ]-ben, ha nincs gyöke T -ben.
(4) Legalább negyedfokú polinom, HA van gyöke T -ben,akkor biztosan NEM irreducibilis T [x ]-ben. Ha nincs gyöke,attól még lehet reducibilis! Példa: Q[x ]-ben (x2 + 1)2.
![Page 290: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/290.jpg)
Számelmélet gyűrűkben Algebra1, normál 11. előadás 22 / 28
Gyökök és irreducibilitás
Tétel (K3.3. szakasz)
Legyen T test.
(1) Az f ∈ T [x ] akkor és csak akkor irreducibilis T fölött,ha nem konstans, és nem bontható T [x ]-benalacsonyabb fokú polinomok szorzatára.
(2) Elsőfokú polinom mindig irreducibilis T [x ]-ben.
(3) Másod- és harmadfokú polinom akkor és csak akkorirreducibilis T [x ]-ben, ha nincs gyöke T -ben.
(4) Legalább negyedfokú polinom, HA van gyöke T -ben,akkor biztosan NEM irreducibilis T [x ]-ben. Ha nincs gyöke,attól még lehet reducibilis! Példa: Q[x ]-ben (x2 + 1)2.
(5) Gyök létezése elsőfokú irreducibilis tényezőnek felel meg.
![Page 291: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/291.jpg)
Többhatározatlanú polinomok Algebra1, normál 11. előadás 23 / 28
Rekurzív definíció
Definíció (K2.6.1)
Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű.
![Page 292: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/292.jpg)
Többhatározatlanú polinomok Algebra1, normál 11. előadás 23 / 28
Rekurzív definíció
Definíció (K2.6.1)
Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű.Ekkor R[x1, . . . , xn]-et n szerinti indukcióval (rekurzióval)értelmezzük:
![Page 293: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/293.jpg)
Többhatározatlanú polinomok Algebra1, normál 11. előadás 23 / 28
Rekurzív definíció
Definíció (K2.6.1)
Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű.Ekkor R[x1, . . . , xn]-et n szerinti indukcióval (rekurzióval)értelmezzük: R[x1, x2] =
(
R[x1])
[x2],
![Page 294: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/294.jpg)
Többhatározatlanú polinomok Algebra1, normál 11. előadás 23 / 28
Rekurzív definíció
Definíció (K2.6.1)
Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű.Ekkor R[x1, . . . , xn]-et n szerinti indukcióval (rekurzióval)értelmezzük: R[x1, x2] =
(
R[x1])
[x2], és így tovább,R[x1, . . . , xn] =
(
R[x1, . . . , xn−1])
[xn].
![Page 295: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/295.jpg)
Többhatározatlanú polinomok Algebra1, normál 11. előadás 23 / 28
Rekurzív definíció
Definíció (K2.6.1)
Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű.Ekkor R[x1, . . . , xn]-et n szerinti indukcióval (rekurzióval)értelmezzük: R[x1, x2] =
(
R[x1])
[x2], és így tovább,R[x1, . . . , xn] =
(
R[x1, . . . , xn−1])
[xn].Vagyis a határozatlan xn,
![Page 296: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/296.jpg)
Többhatározatlanú polinomok Algebra1, normál 11. előadás 23 / 28
Rekurzív definíció
Definíció (K2.6.1)
Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű.Ekkor R[x1, . . . , xn]-et n szerinti indukcióval (rekurzióval)értelmezzük: R[x1, x2] =
(
R[x1])
[x2], és így tovább,R[x1, . . . , xn] =
(
R[x1, . . . , xn−1])
[xn].Vagyis a határozatlan xn, az együtthatók a már definiáltn − 1-határozatlanú polinomok gyűrűjének elemei.
![Page 297: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/297.jpg)
Többhatározatlanú polinomok Algebra1, normál 11. előadás 23 / 28
Rekurzív definíció
Definíció (K2.6.1)
Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű.Ekkor R[x1, . . . , xn]-et n szerinti indukcióval (rekurzióval)értelmezzük: R[x1, x2] =
(
R[x1])
[x2], és így tovább,R[x1, . . . , xn] =
(
R[x1, . . . , xn−1])
[xn].Vagyis a határozatlan xn, az együtthatók a már definiáltn − 1-határozatlanú polinomok gyűrűjének elemei.
Előny
Mivel S = R[x1, . . . , xn−1] is kommutatív, egységelemes gyűrű,
![Page 298: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/298.jpg)
Többhatározatlanú polinomok Algebra1, normál 11. előadás 23 / 28
Rekurzív definíció
Definíció (K2.6.1)
Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű.Ekkor R[x1, . . . , xn]-et n szerinti indukcióval (rekurzióval)értelmezzük: R[x1, x2] =
(
R[x1])
[x2], és így tovább,R[x1, . . . , xn] =
(
R[x1, . . . , xn−1])
[xn].Vagyis a határozatlan xn, az együtthatók a már definiáltn − 1-határozatlanú polinomok gyűrűjének elemei.
Előny
Mivel S = R[x1, . . . , xn−1] is kommutatív, egységelemes gyűrű,az R[x1, . . . , xn] = S [xn] is az.
![Page 299: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/299.jpg)
Többhatározatlanú polinomok Algebra1, normál 11. előadás 23 / 28
Rekurzív definíció
Definíció (K2.6.1)
Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű.Ekkor R[x1, . . . , xn]-et n szerinti indukcióval (rekurzióval)értelmezzük: R[x1, x2] =
(
R[x1])
[x2], és így tovább,R[x1, . . . , xn] =
(
R[x1, . . . , xn−1])
[xn].Vagyis a határozatlan xn, az együtthatók a már definiáltn − 1-határozatlanú polinomok gyűrűjének elemei.
Előny
Mivel S = R[x1, . . . , xn−1] is kommutatív, egységelemes gyűrű,az R[x1, . . . , xn] = S [xn] is az.A tulajdonságokat nem kell külön ellenőrizni.
![Page 300: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/300.jpg)
Többhatározatlanú polinomok Algebra1, normál 11. előadás 23 / 28
Rekurzív definíció
Definíció (K2.6.1)
Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű.Ekkor R[x1, . . . , xn]-et n szerinti indukcióval (rekurzióval)értelmezzük: R[x1, x2] =
(
R[x1])
[x2], és így tovább,R[x1, . . . , xn] =
(
R[x1, . . . , xn−1])
[xn].Vagyis a határozatlan xn, az együtthatók a már definiáltn − 1-határozatlanú polinomok gyűrűjének elemei.
Előny
Mivel S = R[x1, . . . , xn−1] is kommutatív, egységelemes gyűrű,az R[x1, . . . , xn] = S [xn] is az.A tulajdonságokat nem kell külön ellenőrizni.Példa: Ha R nullosztómentes,
![Page 301: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/301.jpg)
Többhatározatlanú polinomok Algebra1, normál 11. előadás 23 / 28
Rekurzív definíció
Definíció (K2.6.1)
Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű.Ekkor R[x1, . . . , xn]-et n szerinti indukcióval (rekurzióval)értelmezzük: R[x1, x2] =
(
R[x1])
[x2], és így tovább,R[x1, . . . , xn] =
(
R[x1, . . . , xn−1])
[xn].Vagyis a határozatlan xn, az együtthatók a már definiáltn − 1-határozatlanú polinomok gyűrűjének elemei.
Előny
Mivel S = R[x1, . . . , xn−1] is kommutatív, egységelemes gyűrű,az R[x1, . . . , xn] = S [xn] is az.A tulajdonságokat nem kell külön ellenőrizni.Példa: Ha R nullosztómentes, akkor indukcióval világos,hogy R[x1, . . . , xn] is nullosztómentes.
![Page 302: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/302.jpg)
Többhatározatlanú polinomok Algebra1, normál 11. előadás 24 / 28
A szimmetrikus polinomok alaptétele
Példa
A négyzetösszeg: s2 = x21+ . . .+ x2
n =
![Page 303: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/303.jpg)
Többhatározatlanú polinomok Algebra1, normál 11. előadás 24 / 28
A szimmetrikus polinomok alaptétele
Példa
A négyzetösszeg: s2 = x21+ . . .+ x2
n = σ21− 2σ2.
![Page 304: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/304.jpg)
Többhatározatlanú polinomok Algebra1, normál 11. előadás 24 / 28
A szimmetrikus polinomok alaptétele
Példa
A négyzetösszeg: s2 = x21+ . . .+ x2
n = σ21− 2σ2. Vagyis ha
F (y1, y2, . . . , yn) = y21− 2y2,
![Page 305: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/305.jpg)
Többhatározatlanú polinomok Algebra1, normál 11. előadás 24 / 28
A szimmetrikus polinomok alaptétele
Példa
A négyzetösszeg: s2 = x21+ . . .+ x2
n = σ21− 2σ2. Vagyis ha
F (y1, y2, . . . , yn) = y21− 2y2, akkor s2 = F (σ1, σ2, . . . , σn).
![Page 306: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/306.jpg)
Többhatározatlanú polinomok Algebra1, normál 11. előadás 24 / 28
A szimmetrikus polinomok alaptétele
Példa
A négyzetösszeg: s2 = x21+ . . .+ x2
n = σ21− 2σ2. Vagyis ha
F (y1, y2, . . . , yn) = y21− 2y2, akkor s2 = F (σ1, σ2, . . . , σn).
Tehát s2 az elemi szimmetrikus polinomok polinomja.
![Page 307: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/307.jpg)
Többhatározatlanú polinomok Algebra1, normál 11. előadás 24 / 28
A szimmetrikus polinomok alaptétele
Példa
A négyzetösszeg: s2 = x21+ . . .+ x2
n = σ21− 2σ2. Vagyis ha
F (y1, y2, . . . , yn) = y21− 2y2, akkor s2 = F (σ1, σ2, . . . , σn).
Tehát s2 az elemi szimmetrikus polinomok polinomja.
Tétel (K2.7.3)
Legyen R szokásos gyűrű.
![Page 308: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/308.jpg)
Többhatározatlanú polinomok Algebra1, normál 11. előadás 24 / 28
A szimmetrikus polinomok alaptétele
Példa
A négyzetösszeg: s2 = x21+ . . .+ x2
n = σ21− 2σ2. Vagyis ha
F (y1, y2, . . . , yn) = y21− 2y2, akkor s2 = F (σ1, σ2, . . . , σn).
Tehát s2 az elemi szimmetrikus polinomok polinomja.
Tétel (K2.7.3)
Legyen R szokásos gyűrű. Ekkor minden f ∈ R[x1, . . . , xn]szimmetrikus polinom egyértelműen fölírható
![Page 309: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/309.jpg)
Többhatározatlanú polinomok Algebra1, normál 11. előadás 24 / 28
A szimmetrikus polinomok alaptétele
Példa
A négyzetösszeg: s2 = x21+ . . .+ x2
n = σ21− 2σ2. Vagyis ha
F (y1, y2, . . . , yn) = y21− 2y2, akkor s2 = F (σ1, σ2, . . . , σn).
Tehát s2 az elemi szimmetrikus polinomok polinomja.
Tétel (K2.7.3)
Legyen R szokásos gyűrű. Ekkor minden f ∈ R[x1, . . . , xn]szimmetrikus polinom egyértelműen fölírható az elemiszimmetrikus polinomok polinomjaként.
![Page 310: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/310.jpg)
Többhatározatlanú polinomok Algebra1, normál 11. előadás 24 / 28
A szimmetrikus polinomok alaptétele
Példa
A négyzetösszeg: s2 = x21+ . . .+ x2
n = σ21− 2σ2. Vagyis ha
F (y1, y2, . . . , yn) = y21− 2y2, akkor s2 = F (σ1, σ2, . . . , σn).
Tehát s2 az elemi szimmetrikus polinomok polinomja.
Tétel (K2.7.3)
Legyen R szokásos gyűrű. Ekkor minden f ∈ R[x1, . . . , xn]szimmetrikus polinom egyértelműen fölírható az elemiszimmetrikus polinomok polinomjaként.Azaz létezik pontosan egy F ∈ R[y1, . . . , yn] polinom, melyre
f (x1, . . . , xn) = F (σ1, . . . , σn).
![Page 311: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/311.jpg)
Többhatározatlanú polinomok Algebra1, normál 11. előadás 24 / 28
A szimmetrikus polinomok alaptétele
Példa
A négyzetösszeg: s2 = x21+ . . .+ x2
n = σ21− 2σ2. Vagyis ha
F (y1, y2, . . . , yn) = y21− 2y2, akkor s2 = F (σ1, σ2, . . . , σn).
Tehát s2 az elemi szimmetrikus polinomok polinomja.
Tétel (K2.7.3)
Legyen R szokásos gyűrű. Ekkor minden f ∈ R[x1, . . . , xn]szimmetrikus polinom egyértelműen fölírható az elemiszimmetrikus polinomok polinomjaként.Azaz létezik pontosan egy F ∈ R[y1, . . . , yn] polinom, melyre
f (x1, . . . , xn) = F (σ1, . . . , σn).
A F együtthatói a f együtthatóiból összeadás és kivonássegítségével kaphatók.
![Page 312: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/312.jpg)
Többhatározatlanú polinomok Algebra1, normál 11. előadás 25 / 28
A többhatározatlanú polinomok számelmélete
Tétel (K3.4.10, K3.4.11)
A Z[x ] polinomgyűrű alaptételes.
![Page 313: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/313.jpg)
Többhatározatlanú polinomok Algebra1, normál 11. előadás 25 / 28
A többhatározatlanú polinomok számelmélete
Tétel (K3.4.10, K3.4.11)
A Z[x ] polinomgyűrű alaptételes. Ugyanígy:Ha R alaptételes, szokásos gyűrű, akkor R[x ] is az.
![Page 314: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/314.jpg)
Többhatározatlanú polinomok Algebra1, normál 11. előadás 25 / 28
A többhatározatlanú polinomok számelmélete
Tétel (K3.4.10, K3.4.11)
A Z[x ] polinomgyűrű alaptételes. Ugyanígy:Ha R alaptételes, szokásos gyűrű, akkor R[x ] is az.
Bizonyítás
Ugyanúgy, mint Z[x ] esetében. (Kell: hányadostest).
![Page 315: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/315.jpg)
Többhatározatlanú polinomok Algebra1, normál 11. előadás 25 / 28
A többhatározatlanú polinomok számelmélete
Tétel (K3.4.10, K3.4.11)
A Z[x ] polinomgyűrű alaptételes. Ugyanígy:Ha R alaptételes, szokásos gyűrű, akkor R[x ] is az.
Bizonyítás
Ugyanúgy, mint Z[x ] esetében. (Kell: hányadostest).
Következmény (vö. K3.4.12)
Ha R alaptételes, szokásos gyűrű, akkor R[x1, x2, . . . , xn] is az.
![Page 316: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/316.jpg)
Többhatározatlanú polinomok Algebra1, normál 11. előadás 25 / 28
A többhatározatlanú polinomok számelmélete
Tétel (K3.4.10, K3.4.11)
A Z[x ] polinomgyűrű alaptételes. Ugyanígy:Ha R alaptételes, szokásos gyűrű, akkor R[x ] is az.
Bizonyítás
Ugyanúgy, mint Z[x ] esetében. (Kell: hányadostest).
Következmény (vö. K3.4.12)
Ha R alaptételes, szokásos gyűrű, akkor R[x1, x2, . . . , xn] is az.Speciálisan Z[x1, x2, . . . , xn],
![Page 317: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/317.jpg)
Többhatározatlanú polinomok Algebra1, normál 11. előadás 25 / 28
A többhatározatlanú polinomok számelmélete
Tétel (K3.4.10, K3.4.11)
A Z[x ] polinomgyűrű alaptételes. Ugyanígy:Ha R alaptételes, szokásos gyűrű, akkor R[x ] is az.
Bizonyítás
Ugyanúgy, mint Z[x ] esetében. (Kell: hányadostest).
Következmény (vö. K3.4.12)
Ha R alaptételes, szokásos gyűrű, akkor R[x1, x2, . . . , xn] is az.Speciálisan Z[x1, x2, . . . , xn],
alaptételes gyűrűk.
![Page 318: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/318.jpg)
Többhatározatlanú polinomok Algebra1, normál 11. előadás 25 / 28
A többhatározatlanú polinomok számelmélete
Tétel (K3.4.10, K3.4.11)
A Z[x ] polinomgyűrű alaptételes. Ugyanígy:Ha R alaptételes, szokásos gyűrű, akkor R[x ] is az.
Bizonyítás
Ugyanúgy, mint Z[x ] esetében. (Kell: hányadostest).
Következmény (vö. K3.4.12)
Ha R alaptételes, szokásos gyűrű, akkor R[x1, x2, . . . , xn] is az.Speciálisan Z[x1, x2, . . . , xn], és ha T test,akkor T [x1, x2, . . . , xn] is alaptételes gyűrűk.
![Page 319: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/319.jpg)
Többhatározatlanú polinomok Algebra1, normál 11. előadás 25 / 28
A többhatározatlanú polinomok számelmélete
Tétel (K3.4.10, K3.4.11)
A Z[x ] polinomgyűrű alaptételes. Ugyanígy:Ha R alaptételes, szokásos gyűrű, akkor R[x ] is az.
Bizonyítás
Ugyanúgy, mint Z[x ] esetében. (Kell: hányadostest).
Következmény (vö. K3.4.12)
Ha R alaptételes, szokásos gyűrű, akkor R[x1, x2, . . . , xn] is az.Speciálisan Z[x1, x2, . . . , xn], és ha T test,akkor T [x1, x2, . . . , xn] is alaptételes gyűrűk.
Általános gyűrűkben az alaptétel vizsgálata:K5.5. szakasz (az Algebra3 tárgy keretében).
![Page 320: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/320.jpg)
Összefoglaló Algebra1, normál 11. előadás 26 / 28
A 11. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
Hatvány és többszörös általános gyűrűben, tulajdonságaik.
![Page 321: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/321.jpg)
Összefoglaló Algebra1, normál 11. előadás 26 / 28
A 11. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
Hatvány és többszörös általános gyűrűben, tulajdonságaik.Gyűrű fölötti polinomgyűrű, műveletek, fok.
![Page 322: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/322.jpg)
Összefoglaló Algebra1, normál 11. előadás 26 / 28
A 11. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
Hatvány és többszörös általános gyűrűben, tulajdonságaik.Gyűrű fölötti polinomgyűrű, műveletek, fok. Polinomfüggvény.
![Page 323: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/323.jpg)
Összefoglaló Algebra1, normál 11. előadás 26 / 28
A 11. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
Hatvány és többszörös általános gyűrűben, tulajdonságaik.Gyűrű fölötti polinomgyűrű, műveletek, fok. Polinomfüggvény.Oszthatóság, egység, felbonthatatlan, prím, kitüntetett közös osztóáltalános gyűrűben.
![Page 324: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/324.jpg)
Összefoglaló Algebra1, normál 11. előadás 26 / 28
A 11. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
Hatvány és többszörös általános gyűrűben, tulajdonságaik.Gyűrű fölötti polinomgyűrű, műveletek, fok. Polinomfüggvény.Oszthatóság, egység, felbonthatatlan, prím, kitüntetett közös osztóáltalános gyűrűben. Alaptételes gyűrű,
![Page 325: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/325.jpg)
Összefoglaló Algebra1, normál 11. előadás 26 / 28
A 11. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
Hatvány és többszörös általános gyűrűben, tulajdonságaik.Gyűrű fölötti polinomgyűrű, műveletek, fok. Polinomfüggvény.Oszthatóság, egység, felbonthatatlan, prím, kitüntetett közös osztóáltalános gyűrűben. Alaptételes gyűrű, kanonikus alak.
![Page 326: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/326.jpg)
Összefoglaló Algebra1, normál 11. előadás 26 / 28
A 11. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
Hatvány és többszörös általános gyűrűben, tulajdonságaik.Gyűrű fölötti polinomgyűrű, műveletek, fok. Polinomfüggvény.Oszthatóság, egység, felbonthatatlan, prím, kitüntetett közös osztóáltalános gyűrűben. Alaptételes gyűrű, kanonikus alak.
TételekHa (∀r)(pr = 0), akkor tagonként lehet p-edik hatványra emelni.
![Page 327: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/327.jpg)
Összefoglaló Algebra1, normál 11. előadás 26 / 28
A 11. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
Hatvány és többszörös általános gyűrűben, tulajdonságaik.Gyűrű fölötti polinomgyűrű, műveletek, fok. Polinomfüggvény.Oszthatóság, egység, felbonthatatlan, prím, kitüntetett közös osztóáltalános gyűrűben. Alaptételes gyűrű, kanonikus alak.
TételekHa (∀r)(pr = 0), akkor tagonként lehet p-edik hatványra emelni.A polinomgyűrű egységei.
![Page 328: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/328.jpg)
Összefoglaló Algebra1, normál 11. előadás 26 / 28
A 11. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
Hatvány és többszörös általános gyűrűben, tulajdonságaik.Gyűrű fölötti polinomgyűrű, műveletek, fok. Polinomfüggvény.Oszthatóság, egység, felbonthatatlan, prím, kitüntetett közös osztóáltalános gyűrűben. Alaptételes gyűrű, kanonikus alak.
TételekHa (∀r)(pr = 0), akkor tagonként lehet p-edik hatványra emelni.A polinomgyűrű egységei. Gyöktényezők egyszerre kiemelhetősége.
![Page 329: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/329.jpg)
Összefoglaló Algebra1, normál 11. előadás 26 / 28
A 11. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
Hatvány és többszörös általános gyűrűben, tulajdonságaik.Gyűrű fölötti polinomgyűrű, műveletek, fok. Polinomfüggvény.Oszthatóság, egység, felbonthatatlan, prím, kitüntetett közös osztóáltalános gyűrűben. Alaptételes gyűrű, kanonikus alak.
TételekHa (∀r)(pr = 0), akkor tagonként lehet p-edik hatványra emelni.A polinomgyűrű egységei. Gyöktényezők egyszerre kiemelhetősége.A polinom és a polinomfüggvény véges és végtelen gyűrű fölött.
![Page 330: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/330.jpg)
Összefoglaló Algebra1, normál 11. előadás 26 / 28
A 11. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
Hatvány és többszörös általános gyűrűben, tulajdonságaik.Gyűrű fölötti polinomgyűrű, műveletek, fok. Polinomfüggvény.Oszthatóság, egység, felbonthatatlan, prím, kitüntetett közös osztóáltalános gyűrűben. Alaptételes gyűrű, kanonikus alak.
TételekHa (∀r)(pr = 0), akkor tagonként lehet p-edik hatványra emelni.A polinomgyűrű egységei. Gyöktényezők egyszerre kiemelhetősége.A polinom és a polinomfüggvény véges és végtelen gyűrű fölött.Ha van legnagyobb közös osztó, akkor minden irreducibilis prím.
![Page 331: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/331.jpg)
Összefoglaló Algebra1, normál 11. előadás 26 / 28
A 11. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
Hatvány és többszörös általános gyűrűben, tulajdonságaik.Gyűrű fölötti polinomgyűrű, műveletek, fok. Polinomfüggvény.Oszthatóság, egység, felbonthatatlan, prím, kitüntetett közös osztóáltalános gyűrűben. Alaptételes gyűrű, kanonikus alak.
TételekHa (∀r)(pr = 0), akkor tagonként lehet p-edik hatványra emelni.A polinomgyűrű egységei. Gyöktényezők egyszerre kiemelhetősége.A polinom és a polinomfüggvény véges és végtelen gyűrű fölött.Ha van legnagyobb közös osztó, akkor minden irreducibilis prím.Maradékos osztás szokásos gyűrű fölött.
![Page 332: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/332.jpg)
Összefoglaló Algebra1, normál 11. előadás 26 / 28
A 11. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
Hatvány és többszörös általános gyűrűben, tulajdonságaik.Gyűrű fölötti polinomgyűrű, műveletek, fok. Polinomfüggvény.Oszthatóság, egység, felbonthatatlan, prím, kitüntetett közös osztóáltalános gyűrűben. Alaptételes gyűrű, kanonikus alak.
TételekHa (∀r)(pr = 0), akkor tagonként lehet p-edik hatványra emelni.A polinomgyűrű egységei. Gyöktényezők egyszerre kiemelhetősége.A polinom és a polinomfüggvény véges és végtelen gyűrű fölött.Ha van legnagyobb közös osztó, akkor minden irreducibilis prím.Maradékos osztás szokásos gyűrű fölött. Gyökök és irreducibilitáskapcsolata test fölött.
![Page 333: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/333.jpg)
Összefoglaló Algebra1, normál 11. előadás 26 / 28
A 11. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
Hatvány és többszörös általános gyűrűben, tulajdonságaik.Gyűrű fölötti polinomgyűrű, műveletek, fok. Polinomfüggvény.Oszthatóság, egység, felbonthatatlan, prím, kitüntetett közös osztóáltalános gyűrűben. Alaptételes gyűrű, kanonikus alak.
TételekHa (∀r)(pr = 0), akkor tagonként lehet p-edik hatványra emelni.A polinomgyűrű egységei. Gyöktényezők egyszerre kiemelhetősége.A polinom és a polinomfüggvény véges és végtelen gyűrű fölött.Ha van legnagyobb közös osztó, akkor minden irreducibilis prím.Maradékos osztás szokásos gyűrű fölött. Gyökök és irreducibilitáskapcsolata test fölött. A szimmetrikus polinomok alaptétele.
![Page 334: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/334.jpg)
Összefoglaló Algebra1, normál 11. előadás 26 / 28
A 11. előadáshoz tartozó vizsgaanyag
Fogalmak
Hatvány és többszörös általános gyűrűben, tulajdonságaik.Gyűrű fölötti polinomgyűrű, műveletek, fok. Polinomfüggvény.Oszthatóság, egység, felbonthatatlan, prím, kitüntetett közös osztóáltalános gyűrűben. Alaptételes gyűrű, kanonikus alak.
TételekHa (∀r)(pr = 0), akkor tagonként lehet p-edik hatványra emelni.A polinomgyűrű egységei. Gyöktényezők egyszerre kiemelhetősége.A polinom és a polinomfüggvény véges és végtelen gyűrű fölött.Ha van legnagyobb közös osztó, akkor minden irreducibilis prím.Maradékos osztás szokásos gyűrű fölött. Gyökök és irreducibilitáskapcsolata test fölött. A szimmetrikus polinomok alaptétele.Z[x1, x2, . . . , xn], T [x1, x2, . . . , xn] alaptételes (T test).
![Page 335: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/335.jpg)
A vizsgán kérdezett bizonyítások listája Algebra1, normál 11. előadás 27 / 28
Polinomok
1 Gyöktényezők kiemelése egyszerre (K2.4.7).
![Page 336: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/336.jpg)
A vizsgán kérdezett bizonyítások listája Algebra1, normál 11. előadás 27 / 28
Polinomok
1 Gyöktényezők kiemelése egyszerre (K2.4.7).2 A racionális gyökteszt (K3.3.10).
![Page 337: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/337.jpg)
A vizsgán kérdezett bizonyítások listája Algebra1, normál 11. előadás 27 / 28
Polinomok
1 Gyöktényezők kiemelése egyszerre (K2.4.7).2 A racionális gyökteszt (K3.3.10).3 A Lagrange-interpoláció (K2.4.12).
![Page 338: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/338.jpg)
A vizsgán kérdezett bizonyítások listája Algebra1, normál 11. előadás 27 / 28
Polinomok
1 Gyöktényezők kiemelése egyszerre (K2.4.7).2 A racionális gyökteszt (K3.3.10).3 A Lagrange-interpoláció (K2.4.12).4 f ∈ R[x ] gyöke konjugáltjának multiplicitása (K3.3.6).
![Page 339: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/339.jpg)
A vizsgán kérdezett bizonyítások listája Algebra1, normál 11. előadás 27 / 28
Polinomok
1 Gyöktényezők kiemelése egyszerre (K2.4.7).2 A racionális gyökteszt (K3.3.10).3 A Lagrange-interpoláció (K2.4.12).4 f ∈ R[x ] gyöke konjugáltjának multiplicitása (K3.3.6).5 A maradékos osztás tétele: létezés és egyértelműség (K3.2.1).
![Page 340: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/340.jpg)
A vizsgán kérdezett bizonyítások listája Algebra1, normál 11. előadás 27 / 28
Polinomok
1 Gyöktényezők kiemelése egyszerre (K2.4.7).2 A racionális gyökteszt (K3.3.10).3 A Lagrange-interpoláció (K2.4.12).4 f ∈ R[x ] gyöke konjugáltjának multiplicitása (K3.3.6).5 A maradékos osztás tétele: létezés és egyértelműség (K3.2.1).6 A polinom és a polinomfüggvény kapcsolata véges
és végtelen gyűrű fölött (K2.4.10, K2.4.11).
![Page 341: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/341.jpg)
A vizsgán kérdezett bizonyítások listája Algebra1, normál 11. előadás 27 / 28
Polinomok
1 Gyöktényezők kiemelése egyszerre (K2.4.7).2 A racionális gyökteszt (K3.3.10).3 A Lagrange-interpoláció (K2.4.12).4 f ∈ R[x ] gyöke konjugáltjának multiplicitása (K3.3.6).5 A maradékos osztás tétele: létezés és egyértelműség (K3.2.1).6 A polinom és a polinomfüggvény kapcsolata véges
és végtelen gyűrű fölött (K2.4.10, K2.4.11).7 Az első Gauss-lemma és következményei (K3.4.3, K3.4.4,
K3.4.5).
![Page 342: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/342.jpg)
A vizsgán kérdezett bizonyítások listája Algebra1, normál 11. előadás 27 / 28
Polinomok
1 Gyöktényezők kiemelése egyszerre (K2.4.7).2 A racionális gyökteszt (K3.3.10).3 A Lagrange-interpoláció (K2.4.12).4 f ∈ R[x ] gyöke konjugáltjának multiplicitása (K3.3.6).5 A maradékos osztás tétele: létezés és egyértelműség (K3.2.1).6 A polinom és a polinomfüggvény kapcsolata véges
és végtelen gyűrű fölött (K2.4.10, K2.4.11).7 Az első Gauss-lemma és következményei (K3.4.3, K3.4.4,
K3.4.5).8 Z[x ] irreducibiliseinek leírása (K3.4.7, K3.4.8).
![Page 343: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/343.jpg)
A vizsgán kérdezett bizonyítások listája Algebra1, normál 11. előadás 27 / 28
Polinomok
1 Gyöktényezők kiemelése egyszerre (K2.4.7).2 A racionális gyökteszt (K3.3.10).3 A Lagrange-interpoláció (K2.4.12).4 f ∈ R[x ] gyöke konjugáltjának multiplicitása (K3.3.6).5 A maradékos osztás tétele: létezés és egyértelműség (K3.2.1).6 A polinom és a polinomfüggvény kapcsolata véges
és végtelen gyűrű fölött (K2.4.10, K2.4.11).7 Az első Gauss-lemma és következményei (K3.4.3, K3.4.4,
K3.4.5).8 Z[x ] irreducibiliseinek leírása (K3.4.7, K3.4.8).9 A Schönemann–Eisenstein-kritérium (K3.5.2, K3.5.3).
![Page 344: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/344.jpg)
A vizsgán kérdezett bizonyítások listája Algebra1, normál 11. előadás 27 / 28
Polinomok
1 Gyöktényezők kiemelése egyszerre (K2.4.7).2 A racionális gyökteszt (K3.3.10).3 A Lagrange-interpoláció (K2.4.12).4 f ∈ R[x ] gyöke konjugáltjának multiplicitása (K3.3.6).5 A maradékos osztás tétele: létezés és egyértelműség (K3.2.1).6 A polinom és a polinomfüggvény kapcsolata véges
és végtelen gyűrű fölött (K2.4.10, K2.4.11).7 Az első Gauss-lemma és következményei (K3.4.3, K3.4.4,
K3.4.5).8 Z[x ] irreducibiliseinek leírása (K3.4.7, K3.4.8).9 A Schönemann–Eisenstein-kritérium (K3.5.2, K3.5.3).10 Ha az R kommutatív gyűrűben pr azonosan nulla,
akkor tagonként lehet p-edik hatványra emelni (K3.3.22).
![Page 345: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/345.jpg)
A vizsgán kérdezett bizonyítások listája Algebra1, normál 11. előadás 28 / 28
Komplex számok, lineáris algebra
11 A rend és a jó kitevők kapcsolata (K1.5.8).
![Page 346: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/346.jpg)
A vizsgán kérdezett bizonyítások listája Algebra1, normál 11. előadás 28 / 28
Komplex számok, lineáris algebra
11 A rend és a jó kitevők kapcsolata (K1.5.8).12 Hatvány rendjének képlete (K1.5.9, K1.5.10).
![Page 347: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/347.jpg)
A vizsgán kérdezett bizonyítások listája Algebra1, normál 11. előadás 28 / 28
Komplex számok, lineáris algebra
11 A rend és a jó kitevők kapcsolata (K1.5.8).12 Hatvány rendjének képlete (K1.5.9, K1.5.10).13 A primitív egységgyökök jellemzései (K1.5.13).
![Page 348: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/348.jpg)
A vizsgán kérdezett bizonyítások listája Algebra1, normál 11. előadás 28 / 28
Komplex számok, lineáris algebra
11 A rend és a jó kitevők kapcsolata (K1.5.8).12 Hatvány rendjének képlete (K1.5.9, K1.5.10).13 A primitív egységgyökök jellemzései (K1.5.13).14 Transzpozíció előjele (K4.2.12).
![Page 349: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/349.jpg)
A vizsgán kérdezett bizonyítások listája Algebra1, normál 11. előadás 28 / 28
Komplex számok, lineáris algebra
11 A rend és a jó kitevők kapcsolata (K1.5.8).12 Hatvány rendjének képlete (K1.5.9, K1.5.10).13 A primitív egységgyökök jellemzései (K1.5.13).14 Transzpozíció előjele (K4.2.12).15 A páros permutációk száma (K4.2.16).
![Page 350: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/350.jpg)
A vizsgán kérdezett bizonyítások listája Algebra1, normál 11. előadás 28 / 28
Komplex számok, lineáris algebra
11 A rend és a jó kitevők kapcsolata (K1.5.8).12 Hatvány rendjének képlete (K1.5.9, K1.5.10).13 A primitív egységgyökök jellemzései (K1.5.13).14 Transzpozíció előjele (K4.2.12).15 A páros permutációk száma (K4.2.16).16 Felső háromszögmátrix determinánsa (F1.2.3. Feladat).
![Page 351: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/351.jpg)
A vizsgán kérdezett bizonyítások listája Algebra1, normál 11. előadás 28 / 28
Komplex számok, lineáris algebra
11 A rend és a jó kitevők kapcsolata (K1.5.8).12 Hatvány rendjének képlete (K1.5.9, K1.5.10).13 A primitív egységgyökök jellemzései (K1.5.13).14 Transzpozíció előjele (K4.2.12).15 A páros permutációk száma (K4.2.16).16 Felső háromszögmátrix determinánsa (F1.2.3. Feladat).17 A transzponált determinánsa (F1.3.6. Tétel).
![Page 352: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/352.jpg)
A vizsgán kérdezett bizonyítások listája Algebra1, normál 11. előadás 28 / 28
Komplex számok, lineáris algebra
11 A rend és a jó kitevők kapcsolata (K1.5.8).12 Hatvány rendjének képlete (K1.5.9, K1.5.10).13 A primitív egységgyökök jellemzései (K1.5.13).14 Transzpozíció előjele (K4.2.12).15 A páros permutációk száma (K4.2.16).16 Felső háromszögmátrix determinánsa (F1.2.3. Feladat).17 A transzponált determinánsa (F1.3.6. Tétel).18 Ha a determináns két sora egyenlő, akkor nulla (F1.3.3. Tétel).
![Page 353: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/353.jpg)
A vizsgán kérdezett bizonyítások listája Algebra1, normál 11. előadás 28 / 28
Komplex számok, lineáris algebra
11 A rend és a jó kitevők kapcsolata (K1.5.8).12 Hatvány rendjének képlete (K1.5.9, K1.5.10).13 A primitív egységgyökök jellemzései (K1.5.13).14 Transzpozíció előjele (K4.2.12).15 A páros permutációk száma (K4.2.16).16 Felső háromszögmátrix determinánsa (F1.2.3. Feladat).17 A transzponált determinánsa (F1.3.6. Tétel).18 Ha a determináns két sora egyenlő, akkor nulla (F1.3.3. Tétel).19 Az inverz mátrix képlete (F1.4.3. Tétel, F2.2.2. Tétel,
F2.2.3. Lemma).
![Page 354: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/354.jpg)
A vizsgán kérdezett bizonyítások listája Algebra1, normál 11. előadás 28 / 28
Komplex számok, lineáris algebra
11 A rend és a jó kitevők kapcsolata (K1.5.8).12 Hatvány rendjének képlete (K1.5.9, K1.5.10).13 A primitív egységgyökök jellemzései (K1.5.13).14 Transzpozíció előjele (K4.2.12).15 A páros permutációk száma (K4.2.16).16 Felső háromszögmátrix determinánsa (F1.2.3. Feladat).17 A transzponált determinánsa (F1.3.6. Tétel).18 Ha a determináns két sora egyenlő, akkor nulla (F1.3.3. Tétel).19 Az inverz mátrix képlete (F1.4.3. Tétel, F2.2.2. Tétel,
F2.2.3. Lemma).20 A Vandermonde-determináns (F1.5.2. Tétel).
![Page 355: Algebra1, normál - ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék...Ez az a elem n-edik hatványa. Ha a művelet jele +, akkor an helyett na-t írunk. Ez az a elem n-szerese (többszörös)](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022071406/60fb26481b40564f3445a797/html5/thumbnails/355.jpg)
A vizsgán kérdezett bizonyítások listája Algebra1, normál 11. előadás 28 / 28
Komplex számok, lineáris algebra
11 A rend és a jó kitevők kapcsolata (K1.5.8).12 Hatvány rendjének képlete (K1.5.9, K1.5.10).13 A primitív egységgyökök jellemzései (K1.5.13).14 Transzpozíció előjele (K4.2.12).15 A páros permutációk száma (K4.2.16).16 Felső háromszögmátrix determinánsa (F1.2.3. Feladat).17 A transzponált determinánsa (F1.3.6. Tétel).18 Ha a determináns két sora egyenlő, akkor nulla (F1.3.3. Tétel).19 Az inverz mátrix képlete (F1.4.3. Tétel, F2.2.2. Tétel,
F2.2.3. Lemma).20 A Vandermonde-determináns (F1.5.2. Tétel).
A fenti 20 bizonyítás szerepelhet a vizsga harmadik részében.