algebra lineal espacios vectoriales

7/17/2019 Algebra Lineal Espacios Vectoriales

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Espacios VectorialesEspacio vectorial real:

Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, denominados vectores,

junto con dos operaciones binarias llamadas suma y multiplicación por un escalar

y que satisfacen los diez axiomas enumerados a continuación:

Axiomas de un espacio vectorial:

I!i " ∈ V y # ∈ V, entonces " $ # ∈ V %cerradura bajo la suma&

II 'ara todo ", # y ( en V, %x$y& $ z) x$ %y$z& %ley asociativa de la suma de

vectores&

III Existe un vector *∈

V tal que para todos x∈

V, x $ *)*$x)x %el * sellama vector cerrado o id+ntico aditivo&

IV !i " ∈ V, existe un vector x en ∈ V tal que x$%-x&)* %-x se llama

inverso aditivo de x&V !i x y y est.n en V, entonces x $ y) y $ x %ley conmutativa de la suma de

vectores&

VI !i x ∈ V y α es un escalar, entonces αx ∈ V %cerradura bajo la

multiplicación por un escalar&

VII !i x y y est.n en V y α es un escalar, entonces α ( x+ y )=αx+αy

%primera ley distributiva&

VIII !i x∈V y α y β son escalares, entonces (α + β ) x=αx+ βx ¿ %se/unda

ley distributiva&

I" !i x ∈V y α y β son escalares, entonces α ( βx )=( αβ ) x %ley asociativa

de la multiplicación por escalares&

" 'ara cada vector x∈V , 1 x= x



ESPACIO Kn

!ea 0 un cuerpo arbitrario 1a notación 0n se usa frecuentemente para desi/nar el conjunto de todas las n-p de los elementos de 0 Aqu2 0n se ve como un

espacio vectorial sobre 0, en el que la suma vectorial y el producto por un escalar

se define se/3n

ESPACIO DE MATRICES Mm, n.

1a notación 4m, n, o simplemente 4, se utilizara para desi/nar el conjunto de

todas las matrices m5n sobre un cuerpo arbitrario 04m, n, es un espacio

vectorial sobre 0 con respecto a las operaciones usuales de suma matricial y

producto por un escalar

ESPACIO DE POLINOMIOS P (t)

6enotamos por ' %t& el conjunto de todos los polinomios

* $ 7 t$ 8, t 8$$ n, t nɑ ɑ ɑ ɑ

9on coeficientes ai en al/3n cuerpo '%t& es un espacio vectorial sobre 0 con

respecto a las operaciones usuales de suma de polinomios producto de un

polinomio por una constante



Subespacios de E. V. y

sus propiedades!ubespacio:

!ea ; un subconjunto no vacio de un espacio vectorial V y supon/a que ; es en

si un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un

escalar definidas en V Entonces se dice que ; es un subespacio de V

<eorema 7:

!ubespacio:

Un subconjunto no vacio ; de un espacio vectorial V es un subespacio de V si se

cumplen las dos re/las de cerradura:

Reglas de cerradura para ver si un subconjunto no vacio es un subespacio

I.Si x∈ H y y∈ H , entonces x+ y∈ H .

II. Si x∈ H , entonces αx∈ H para todo escalar α .



Combinación lineal!e =a visto que todos los vectores v) %a,b,c& en >? se puede escribir en la forma

v ) ai $ bj $ c

En cuyo caso se dice que v es una combinación lineal d los tres vectores i, j y

6e manera m.s /eneral, se tiene la si/uiente definición:

9ombinación lineal:

!ean v7,v8,@,vn Vectores en un espacio vectorial V Entonces cualquier vector dela forma:

a7v7 $ a8v8 $ @ $ anvn

donde, a7,a8,@, an son escalares de denomina una combinación lineal de v7,v8,@

vn



Independencia Lineal6efinición:

1os vectores v7,v8,@, v es un espacio vectorial V /eneran a V si todo vector en V

es una combinación linal de v7, v8,@, v Adem.s, si estos vectores son distintos y

los denotamos como un conjunto !) {v1

, v2

, … , vk } , entonces tambi+n decimos

que el conjunto ! /enera a V, o que { v1

, v2

, … , vk } , /enera a V, o que !) V

El procedimiento para verificar si los vectoresv1

, v2

, … , vk /eneran al espacio

vectorial V es el si/uiente:

'aso 7: se eli/e un vector arbitrario en v en V

'aso 8: se determina si v es una combinación lineal de los vectores dados

!i lo es, entonces los vectores dados /eneran a V !i no lo es, entonces no

/eneran a V

Ejemplo:

!ea V el espacio vectorial >? y sean:

V7) %7,8,7& V8) %7,*,8& y V?) %7,7,*&

'aso 7 !ea v) %a, b, c& cualquier vector en > ?, donde a, b y c son n3meros

reales arbitrarios

'aso 8 6ebemos ver si existen constantes c7, c8 y c? tales que

97v7 $ c8v8 $ c?v? ) v

Esto conduce al sistema lineal:

c7 $ c8 $ c? )a

8c7 $ c? ) b

c7 $ 8c) 9



Una solución es %verifique&

97 )−2 a+2 b+c

3 , 98 )a−b+c

3 , c?) )4a−2b−c

3

9omo =emos obtenido una solución para cada elección de a, b y c concluimos que

V7$ v8 y V ? /eneran a >? Esto Equivaled a decir a un /en {v

1, v

2, v

3 } ) >?

Independencia lineal:

1os vectoresv

1, v

2, … , v

k de un espacio vectorial son linealmente dependientes

si existen constantesc

1, c

2, … , c

k no todas son i/uales a cero, tales que:

c1 v1+c2 v 2 , … , ck vk ) *

En caso contrario, se dice quev

1, v

2, … , vk son linealmente independientes Es

decir,v1

, v2

, … , vk son linealmente independientes si siempre que

c1

v1+c

2v2

, … , ck vk ) * debemos tener:

c1 )

c2=… ck ) *

Es decir, la 3nica combinación lineal dev

1, v

2, … , v

k que da como resultado el

vector cero es aquella en la cual todos los coeficientes son i/uales a cero !i los

vectoresv

1, v

2, … , v

k son distintos y los detonamos como un conjunto !)

{v1

, v2

, … , vk } , entonces tambi+n decimos que el conjunto ! es linealmente

dependiente o linealmente independiente

El procedimiento para verificar si los vectoresv

1, v

2, … , vk son linealmente

dependientes o independientes es el si/uiente:

'aso 7: se forma la ecuación, lo cual conduce a un sistema =omo/+neo

'aso 8: !i el sistema =omo/+neo obtenido es el paso 7 solo tiene la

solución trivial, entonces los vectores dados son linealmente



independientesB si tiene una solución no trivial, entonces los vectores dados

son linealmente dependientes

Ejemplo: determine si los vectores:

|−1

1

0

0 | y |−2

0

1

1 |que se/3n /eneran el espacio de Ax)*, son linealmente dependienteso

independientes

!olución: Al formas la ecuación

c7 |−1

1

0

0 | $ c8 |−2

0

1

1 | ) |0

0

0

0|obtenemos el sistema =omo/+neo:

-c7-8c8)*

c7$ *c8) *

*c7$ c8)*

*c7$ c8)*

cuya 3nicamente solución esc

1 )c2 ) * 'or lo tanto, los vectores dados son

linealmente independientes



Base y dimensión de

un espaciovectoriales.

'or lo com3n, se concibe una recta como un espacio unidimensional, un plano

como uno bidimensional y el espacio que lo que rodea a uno como tridimensional

El objetivo principal de esta sección es precisar esta noción intuitiva de

dimensión

Definición.

%i& !i V es cualquier espacio vectorial y ! ) Cv7,v8,@,vr D es un conjunto finito de vectores en V

, entonces ! se denomina base para V si

%i& ! linealmente independiente%ii& ! se /enera V



Base estn!a" #a"a Rn

!ean e7 ) C 7,*,*@@,*D, e8) %*,7,*@@,*&, @@,en) %*,*,*@,7&

!) C e7,e8,@,en D es un conjunto linealmente independiente en > n 6ado que

cualquier vector v ) %v7,v8,@,vn& en >n se puede escribir como v)v7e8 $ v8e8 $

@vnen, ! /enera a >n y, por tanto , es una base Esta base se conoce como

Base estn!a" #a"a Rn.

Base estn!a" #a"a Pn.

el conjunto !) C 7,x, x8,@@,xnD es una base para el espacio 'n , los vectores en !

se /eneran a 'n a fin de ver que ! es linealmente independiente , supón/ase que

al/una combinación lineal de vectores en ! es el vector cero , esto es ,

C 0 + C 1 x +…….+ C n x n = 0

!e debe demostrar que 9* ) 97@@@) 9n )* 9on base visto en al/ebra, un

polinomio diferente de cero de /rado n tiene m.s n ra2ces distintas 6ado que es

una identidad, todo valor de " es una ra2z del primer miembro Esto implica que 9 7

) 98 )@@ 9n ) * B por otra parte ,9* $ 97x $@@$ 9nxn podr2a tener m.s cuando

mas n ra2ces por tanto, el conjunto ! es linealmente independiente

1a base ! de este ejemplo se conoce como base estn!a" #a"a Pn.

Dimensión finita.

!i ! ) Cv7,v8,@,vr D es un conjunto linealmente independiente es un espacio

vectorial V, entonces ! es una base para el subespacio lin%!&, ya que ! es

independiente y, por definición de lin %!&, ! se /enera a lin%!&

!e dice que un espacio vectorial diferente de cero V es una !imensión finita si

contiene un conjunto finito de vectores Cv7,v8,@,vr D que forma una base !i no

existe un conjunto de este tipo, se dice que V es una !imensión infinita Adem.s

se considera el espacio vectorial cero como dimensión finita cuando no tiene

conjuntos linealmente independientes y, como consecuencia, no tiene base

Te$"ema %.

Si S = {v 1,v 2 ,…..,v n } es una base para un espacio vectorial V, entonces todo conjunto con más

de n vectores es linealmente dependiente.



Dem$st"ación. !ea !I ) C 7, 8,@@, FmD cualquier conjunto de m vectores en

V, en donde mG n !e desea demostrar que !I es linealmente dependiente

!upuesto que !) Cv7,v8,@,vn D es una base, cada i se puede expresar como

una combinación lineal de los vectores en ! , por ejemplo,

W 1= a11v 1 +a21v 2 + a31v 3+ ………….+an1v n

W 2 = a12 v 1 +a22 v 2 + a32 v 3+ ………….+an2 v n

W 3= a13v 1 +a23v 2 + a33v 3+ ………….+an3v n

W m= a1mv 1 +a2mv 2 + a3mv 3+ …………. +anmv n

'ara demostrar que !I es linealmente dependiente, se debe =allar los escalanres

7, 8 @@@ 0m, no todos cero, tales que

k 1w 1+ k 2 w 2 + ………. +K m w m = 0

Al aplicar las ecuaciones se volver. a escribir como:

(K 1 a11+ k 2 a21 + ……….+ K m a1m ) v 1

+ (K 1 a21+ k 2 a22 + ……….+ K m a2 m ) v 2 + (K 1 an1+ k n2 a n2 + ……….+ K m anm ) v n =0

'or tanto, el problema de probar que ! I es un conjunto linealmente dependiente se

reduce a demostrar que existen 7, 8 @@@ 0m, no todos cero, que satisfacen:

a 11K 1 + a21k 2 + ……….+ a1m K m = 0

a21K 1 + a22 k 2 + ……….+ a2 m K m = 0

an1K 1 + a n2 k n2 + ……….+ anm K m = 0

6ado que tiene m.s incó/nitas que ecuaciones, la demostración queda completa

ya que el teorema 7 /arantiza la existencia de soluciones no triviales

9omo consecuencia, se obtiene el si/uiente resultado:



Te$"ema &.

Dem$st"ación.

!ean ! ) Cv7,v8,@,vn D y !I ) C 7, 8,@@, FmD dos bases para un espacio

vectorial de dimensión finita V dado que ! es una base !I es un conjunto

linealmente independiente , el teorema H implica que m n de modo an.lo/o ,

dado que !I es una base y ! es linealmente independiente , tambi+n se tiene n

m por tanto , m ) n

1a base est.ndar para >n contiene n vectores 'or consi/uiente, toda base >n

contiene n vectores

1a base est.ndar para 'n contiene n $7 vectores, asi entonces toda base para 'n

contiene n$ vectores

El n3mero de vectores en una base para un espacio vectorial de dimensión finita

es una cantidad en particular importante 'or ejemplo: <oda base para >8 tiene

dos vectores, para >? tiene tres vectores #a que >8 %el plano& es intuitivamente

bidimensional y para toda base >? es intuitivamente tridimensional, la dimensión

de estos espacios es i/ual al n3mero de vectores que tiene en sus bases Esto

su/iere la si/uiente definición:

Definición.

'or lo que se vio, >n es un espacio vectorial de dimensión n y 'n es un espacio

Vectorial de dimensión n$7

Dos bases cualesquiera para un espacio vectorial de dimensin !inita tienen el mismo

n"mero de vectores.

#a dimensión de un espacio vectorial de dimensin !inita V se de!ine como el

n"mero de vectores en una base para v. además, por de!inicin, el espacio

vectorial tiene dimensin cero.



Ejemplo:

6eterm2nese una base y la dimensión para el espacio de soluciones del sistema

=omo/+neo

2 x1+2 x

2− x

3+ x

5=0

− x1− x

2+2 x

3−3 x

4+ x

5=0

x1+ x

2−2 x

3− x

5=0

x3+ x

4+ x

5=0

!olución:

x1=−s−t

x2=s

x3=−t

x4=0

x5=t

'or tanto, los vectores solución se pueden escribir como

x1

x2

x3

x4

x5

)

−s−t

s

−t

0

t

)

−s

s

0

0

0

$

−t

0

−t

0

t

) s

−1

1

0

0

0

$ t

−1

0

−1

0

0

6e lo cual demuestra que los vectores



V7 )

−1

1

0

0

0

y v8 )

−1

0

−1

0

0

Jeneran el espacio de soluciones 6ado que estos vectores tambi+n son

linealmente independientes, v7, v8 es una base y el espacio de soluciones es

bidimensional

En /eneral, a fin de demostrar que un conjunto de vectores Cv7,v8,@,vn D es unabase para un espacio vectorial V se tiene que demostrar que los vectores son

linealmente independientes y que se /eneran a V sin embar/o, si se sabe de

antemano que V tiene dimensión n % de modo que Cv7,v8,@,vn D contiene el

n3mero correcto de vectores para tener una base& entonces basta con verificar

Te$"ema '.

a$ Si S = {v 1,v 2 ,…..,v n } es un conjunto de n vectores linealmente

independiente en un espacio V de dimensin n, entonces S es una base

para V.b$ Si S = {v 1,v 2 ,…..,v n } es un conjunto de n vectores que %enera un espacio

V de dimensin n, entonces S es una base para V.c$ Si S = {v 1,v 2 ,…..,v n } es un conjunto linealmente independiente en un

espacio V de dimensin n & r ' n, entonces se puede a%radar S (asta

!ormar una base para V ) es decir , e*isten vectores V r +1 ………..,V n ,

tales que {v 1,v 2 ,…..,v r , v r +1….. v n }



Espacios de reglones ycolumnas de una matriz;

rango; aplicaciones para

hallar bases.

Definición considere la matriz m x n

A)

a11 a 12 a1 n

a21

a22

a2 n

am 1 am 2 amn

1os vectores >7 ) % a77 $a78@@@@ a7n&

>8 ) % a78 $ a88 @@ $ a8n &

>m) % am7, am8@@@amn &

Kormados a partir de los ren/lones de A se conocen como vectores ren/lón de A y

los vectores :



97 )

a11

a21

am 1

, c8 )

a12

a22

am 2

,@ 9n )

a1 n

a2 n

amn

Kormados a partir de la columna A El subespacio de >n

/enerado por losvectores ren/lón es el espacio de ren/lones de A, ye le subespacio de >m

/enerado por los vectores columna es el espacio de columnas de A

Ejemplo:

!ea

A)2 1 0

3 −1 4

1os vectores ren/lón de A son

r 7 ) %8, 7,*& r 8 ) %?,-7,L&

y los vectores columna de A son

c7 )2

3 c8)1

−1 c? )0

4



Espacios vectoriales

con producto internoDefinición.

7 uvG ) vuG axioma de simetr2a8 u $ v FG ) uF G $ v FG axioma de aditividad? u vG ) uvG axioma de =omo/eneidadL vv M * y vv G ) * axioma de positividad

!i y solo si v ) *

Un producto interior sobre un espacio vectorial N es una función que asocia un numero real

u,v G con cada pareja de vectores u y v en V , de tal manera que se satisface los axiomas

si/uientes por todos los vectores u , v y F en V y todos los escalares de



Un espacio vectorial con un producto interior se conoce como espacio de

productos interiores

1as si/uientes propiedades adicionales se deducen de inmediato a partir de los

cuatro axiomas de los productos interiores

a *vG ) v*G ) *b u v$ FG ) uv G $ uFGc u vG ) uvG

!e probara %N& y se dejan %A& e %9& como ejercicios

u v$ FG ) v $ F uG por simetr2a

) vuG $ FuG por aditividad

) uvG $ u FG por simetr2a

Esto es, la función producto interno es tambi+n lineal en su se/unda posición

%variable& por inducción tendremos # 9ombinar estas propiedades nos conducen a

la formula /eneral escrita a continuación:

'odemos =acer, por orden las si/uientes observaciones:

Oota 7: el axioma PI7Q por si mismo implica

En consecuencia, PI7Q,PI8Q,ePI?Q son equivalentes a PI7Q,PI8Q y el axioma :

PIR?Q si u S *, necesariamente G*

T sea una función que satisface PI7Q,PI8Q,ePI?Q es un producto interno

Oota 8: de acuerdo con PI?Q, es no ne/ativo y por lo tanto existe una ra2z cuadrada

real positiva utilizamos la notación el n3mero real no ne/ativo se determina la



normal o lon/itud de u Esta función satisface los axiomas de una norma para un

espacio vectorial

Ejemplo 7-

a& !ea V el espacio vectorial de las funciones reales continuas en el intervalo

a t b el si/uiente es un producto interno en V:

6onde f%t& y /%t& son a=ora funciones continuas cualquiera en Pa,bQ

b& !ea V nuevamente el espacio vectorial de las funciones reales continuas en el

intervalo a t bsi F%t& es una función continua dada ,positiva en Pa,bQ otroproducto interno en V es:

En este caso F%t& se denomina una función peso para el producto interno

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