tema ii espacios vectoriales algebra lineal uts

PROFESOR: JULIO C BARRETO G ESC: 78 LGEBRA LINEAL

TEMA II: ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO

MODELO FX-570ES PLUS)

ANTECEDENTES HISTRICOS

El lgebra lineal hace su aparicin en la Matemtica especficamente en el siglo XVII, con

trabajos de dos matemticos franceses como lo son Pierre Fermat (1601-1665) y Ren Descartes,

pero debemos tener en cuenta que su estudio estuvo limitado hasta el final del siglo XVIII, al

plano y al espacio ya que la extensin a espacios vectoriales de dimensin 3n tiene lugar en la primera mitad del siglo XIX. Giuseppe Piano (lgico y matemtico italiano, 1858-1932) define

en 1888 de manera axiomtica los espacios vectoriales de cualquier dimensin y Otto Teoplitz

(matemtico alemn, 01/08/1881-15/02/1940), extiende a los espacios vectoriales ms generales

sobre cuerpos cualesquiera, los principales teoremas del lgebra lineal.

El lgebra lineal ocupa un lugar importante en la matemtica debido a sus aplicaciones a

diferentes ramas de la matemtica y de la fsica, teniendo en cuenta que se adapta

particularmente al clculo automtico, de ah la importancia que ocupa fundamentalmente en el

anlisis numrico y en la investigacin de operaciones. Por esto es de vital importancia que todo

estudiante a nivel universitario, debe adquirir el conocimiento bsico del algebra lineal.

VECTORES Y EL ESPACIO n-DIMENSIONAL

Antes que todo llamaremos espacio n -dimensional nR al conjunto de ternas ordenadas

a ),,,( naaa 21 donde naaa ,,, 21 son nmeros reales.

DEFINICIN: Un vector es cualquier punto de nR y, en general se designa con una letra

negrita ,, , , , , yxcba o tambin en maysculas por , , , RQP (Los fsicos los designan con

flechas arriba como por ejemplo a

).

El opuesto de un vector a es el vector ,a que viene definido por a ),,,( naaa 21 . El

vector cero es el vector 0 dado por el punto ).0,,0,0(

Se llama longitud, magnitud o mdulo de un vector a ),,,( naaa 21 al nmero real

a .22

2

2

1 naaa Es evidente que a 0 y a 0 si y slo si .0a

OPERACIONES CON VECTORES

ADICIN DE VECTORES

Dados dos vectores a ),,,( naaa 21 y b ),,,( 21 nbbb de ,nR la suma de ba es el vector

definido por ba ).,,,( 2211 nn bababa

TEMA II: ESPACIOS VECTORIALES (USANDO CALCULADORA DE CASIO)

PROFESOR: JULIO C BARRETO G 2 LGEBRA LINEAL

DIFERENCIA DE VECTORES

Sean los vectores a y ,b le diferencia es el vector ),( baba donde b es el vector

opuesto de b el cual ya fue definido.

PRODUCTO POR UN ESCALAR

Si k es un nmero real y a ),,,( naaa 21 es un vector, el producto de un vector por un escalar

k a se define como el vector k a ).,,,( 21 nkakaka

EJEMPLOS: Sean los vectores 2,0)1,( a y ).0,1,1(b Entonces

).1,1(1,1)1,020,(1(0,1,1)2,0)1,( ba

).1,2,0(0)2),(1,(2,0)1,( a

).1,3,(0)2,111(01,2,0)(0,1,1)( 1 ab

.5041(0)2)((1) 222 a

La calculadora CASIO FX 570-ES permite trabajar con vectores de hasta dimensin

3. Para trabajar con vectores debemos seleccionar primero el MODE 8:VECTOR

Nos aparece la pantalla siguiente donde podemos trabajar hasta con 3 vectores

denominados VctA, VctB y VctC.



Al seleccionar uno de los vectores, normalmente 1: VctA, nos aparece otra pantalla

para elegir la dimensin que podr ser 2 3

Una vez elegida la dimensin, vamos introduciendo ordenadamente las componentes

del vector pulsando la tecla despus de cada nuevo ingreso. De esta forma

queda almacenado en memoria el vector A. Podemos repetir la operacin con el B y

el C.

Para operar con los vectores, debemos entrar en el submen de operaciones

pulsando . Nos aparece el siguiente men:

1. Dim nos permite dimensionar el vector

2: Data introducimos las componentes del vector

3: VctA hace referencia a ese vector, nos permite "llamar" al vector A

4: VctB hace referencia a ese vector, nos permite "llamar" al vector B

5: VctC hace referencia a ese vector, nos permite "llamar" al vector C

6: VctAns es la memoria de respuesta de los clculos matriciales

7: Dot es el operador para el producto escalar

El producto vectorial (para vectores de orden 3) lo haremos con la tecla

En el ejemplo: Sean los vectores:



La suma es:

El opuesto del vector a es:

La doferencia de b-a:

Y la norma del vector a es:

Notando que:

EJERCICIO: Dados los tres vectores ),,,( 625a ),,,( 782b ),,( 479c y el escalar 5k

calcular: cbacbacbababba kkk ,,,,,),(,,,

PROPIEDADES DE LOS VECTORES

La adicin de vectores cumple con las siguientes leyes: Dados tres vectores ba , y c tenemos

que:



1A abba (Ley conmutativa) 2A )()( cbacba (Ley asociativa) 3A Para todo vector a existe un vector nulo 0 tal que aaa 00 (Elemento neutro o nulo de la adicin)

4A Existe un vector a para todo vector a tal que 0 )( aa (Elemento opuesto)

La multiplicacin de un escalar por un vector cumple las siguientes leyes: Dados dos

vectores ba , y dos escalares 21 kk , en R tal que se cumple:

1M akkakkakk 212121 )()( 2M akakakk 2121 )( (Ley distributiva) 3M bkakbak 111 )( (Ley distributiva) 4M aa 1 (Elemento neutro del producto)

EJERCICIOS:

1. Demostrar las propiedades de la suma vectorial, desde 1A hasta la 4A .

Por ejemplo: Demostremos que se cumple la propiedad 1A : Sean los vectores ),,,,( naaaa 21 ),,( 21 nbbbb donde nn bbbaaa ,,,,,,, 2121 son nmeros reales de

acuerdo con la definicin de vector. Luego,

ab

aaabbb

ababab

bababa

bbbaaaba

nn

nn

nn

nn

vectores.de suma de Definicin ),,,(),,,(

reales. nmeros de

adicin la de aconmutativ Propiedad ),,,(

vectores.de suma de Definicin ),,,(

),,,(),,,(

2121

2211

2211

2121

NOTA: Obsrvese que la demostracin se basa en las propiedades de los nmeros reales las

cuales son como las enunciadas en 1A , 2A , 3A , 4A , 1M , 2M , 3M y 4M pero para un campo de nmeros.

2. Utilizando las propiedades desde 1A hasta la 4A , se puede demostrar que la ecuacin vectorial bxa tiene la nica solucin .)( ababx Usando este resultado,

demuestre que:

a. El vector 0 es nico, es decir, si ,0 aa entonces .00

b. El vector a es nico, es decir, si ,0 aa entonces .aa

c. aa )( para todo vector .a



3. Demostrar las propiedades del producto de un escalar por un vector, desde 1M hasta la 4M .

Por ejemplo: Sean el vector ),,,,( naaaa 21 y los escalares 21 kk , en .R Luego,

akkakk

aaakkakk

akkakkakkakk

akkakkakkakk

akakakkakk

aaakkakk

n

n

n

n

n

)()(

un vector.por escalar un de producto

del definicin lacon acuerdo De ),,,)(( )(

reales. nmeros los

de asociativa Propiedad )(,,)(,)( )(

un vector.por escalar un de producto del

definicin lacon acuerdo De ),,,( )(

un vector.por escalar un de producto del

definicin lacon acuerdo De ),,,()(

),,,()(

2121

212121

2122112121

2122112121

22212121

212121

El espacio nR cumpliendo las propiedades 1A , 2A , 3A , 4A , 1M , 2M , 3M y 4M se dice que es un espacio vectorial sobre .R Se nombra la terna ),,( nR es un espacio vectorial

sobre .R En general un espacio que cumpla estas ocho condiciones se dice que es un espacio

vectorial sobre el conjunto o cuerpo donde opera. Veamos los siguientes ejercicios de abajo.

EJERCICIOS:

1. Sea X un conjunto no vaci, K un cuerpo (como por ejemplo el cuerpo de los nmeros

reales R o complejos C ) y

funcin o aplicacin una es ,:),( fKXfKXAV

Definamos:

XxxfxfVfK

XxxgxfxgfVgf

)())((:,

)()())((:,

Demostrar que la terna ),,( V es un espacio vectorial sobre .K



2. Sea K un cuerpo (como por ejemplo el cuerpo de los nmeros reales R o complejos C ) y

nm, nmeros naturales. Adems, ;,,2,1 mEm nEn ,,2,1 y definamos el conjunto:

funcin o aplicacin una ,:)( fKEEfKM nmnm

Un elemento de )(KM nm se llama matriz de orden nm con coeficientes en K y se denota

.)( nmijaA Defina una suma entre dos matrices y un producto de una matriz por un escalar.

Demuestre que )(KM nm es un espacio vectorial sobre .K

OBSERVACIN: Basta observar que ),,()( KXAKM nm donde .nm EEx

Ahora bien, se llama vector unitario a un vector u cuya longitud es igual a la unidad. En

general, el smbolo au servir para denotar un vector unitario de la misma direccin y el mismo

sentido que el vector ,a diferente de cero. Es claro que tal vector unitario se obtiene al

multiplicar a por ,a

1 es decir, .

a

aua Este proceso se llama normalizacin, como veremos

ms adelante.

EJERCICIO: Verificar que en realidad el vector au es un vector unitario.

Recordemos que se dice que un vector a tiene igual direccin y sentido que otro vector ,b

diferente de cero, si para cualquier ,0k es .kba En caso que se cumpla que ,kba 0b y

,0k entonces se dice que a tiene igual direccin que b pero sentido opuesto. En el primer

caso los fsicos dicen que los vectores son paralelos y en el segundo que son antiparalelos.

Adems, para que un vector quede unvocamente determinado es necesario tener su direccin,

sentido y longitud.

OBSERVACIN: Un espacio n -dimensional o tambin llamado euclidiano se clasifican as:

1R = espacio unidimensional, lnea recta real. 2R = espacio bidimensional, pares ordenados.

R3 = espacio tridimensional, terna ordenadas. .......

nR = espacio n-dimensional, n-adas ordenadas o n -uplas.

SUBESPACIO VECTORIAL

Esto dice que si W es un subconjunto del espacio vectorial V entonces este es un subespacio

vectorial de V. Si W es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicacin por un escalar definidas en V.



Para que W sea un subespacio vectorial de V debe cumplir las propiedades de cierre de la suma

y la multiplicacin por un escalar tambin debe cumplir la ley del elemento neutro bajo la suma,

el inverso bajo la suma y el neutro bajo la multiplicacin por un escalar.

COMBINACIN LINEAL

Dados el vector a no nulo, un conjunto de n vectores ,,,, nvvv 21 y los n escalares

,,,, n 21 se dice que a es combinacin lineal de los n vectores si se cumple:

.nnvvva 2211

EJEMPLO: Dados los vectores ),,,( 321a ),,,,( 111b ),,( 501c y ).,,( 311d Expresa, si

es posible, el vector d como combinacin lineal de ,a b y .c

Solucin: Debemos encontrar tres nmeros, x, y, z, tales que: .zcybxad

Es decir: 501111321311 , , z , , y , , x , ,-

z y x y, x z, y x , , - 532311

:Cramer de regla la aplicando resolvemos Lo

353

12

1

zyx

yx

zyx

Sea,

Tenemos que:

6

513

012

111

A

06

0

6

313

112

111

;36

18

6

533

012

111

;26

12

6

513

011

111

zyx

Por tanto: 0 z -3,y 2, x Y as, .cbad 032

EJERCICIOS:

1) Determina la expresin general de los vectores de 3R que son combinacin lineal de los

vectores ),,( 121 y ).,,( 114 Solucin: ),,( 24



2) Dados los vectores ,48 ),,(au ),,( 021v y ).,,( 210w Halla los valores de a para que u

se pueda expresar como combinacin lineal de v y de .w Solucin: .3a

DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL

Para que un vector tenga dependencia lineal este debe tener una solucin no trivial esto quiere

decir que la combinacin lineal denotada as: ,02211 nnvvv o sea que tiene una

solucin nica.

PARA COMPROBAR LA INDEPENDENCIA LINEAL

Sea nvvvS ,,, 21 un conjunto de vectores en un espacio vectorial V entonces partiremos de la ecuacin vectorial ,02211 nnvvv (que es la misma que combinacin lineal

donde ,,,, n 21 son escalares) se escribe un sistema homogneo de ecuaciones lineales en

variable .,,, n 21 Despus se hace Gauss-Jordn a la matriz aumentada para diagonalizarla

si la solucin de la diagonalizacin tiene solamente solucin trivial

n ,021 entonces S es linealmente independiente. O tambin se halla el

determinante de la matriz y si es distinto de cero son linealmente independientes los vectores.

Si un conjunto nvvvS ,,, 21 , 2n es linealmente dependiente si solo si por lo menos uno de los vectores jv puede expresarse como una combinacin lineal de los dems vectores .S

EJEMPLO: Comprueba si los vectores 1) 1, (1,y 1) 1,- (1, 1),- 1, (1, de 3R son linealmente

independientes.

Solucin: Primero formemos una matriz A con los vectores, es decir

111

111

111

A

Luego, hallemos el determinante de esa matriz, es decir, :det A

0431)111()111(

111

111

111

detdet

A

Y como el determinante no es nulo, los vectores son linealmente independientes.



EJEMPLO: El mtodo del ejemplo anterior no es la nica manera de saber si unos vectores son

linealmente independientes, veamos los vectores )0,1,2( y )1,2,3( los cuales son linealmente

independientes. En efecto, si escribimos:

.000123012 -y, - x

Es decir, formamos el siguiente sistema de ecuaciones:

0

02

032

y

yx

yx

El cual slo tiene la solucin trivial: . yx

EJERCICIOS:

1) Los vectores ),3,0,2( )0,2,1( y )6,2,3( son linealmente dependientes.

En efecto, haga una matriz con los vectores y verifique que su determinante es nulo.

2) Determina el valor de t para que los vectores de coordenadas t)-1 t,(0, t),1, (1, y

t)2,- (1, sean linealmente dependientes.

Solucin: Si son linealmente dependientes, uno de ellos, se podr expresar como combinacin

lineal de los otros restantes, por tanto,

(1, 1, t) = (0, t, 1-t) + (1, -2, t)

Y de aqu se obtiene:

ttt)-(1

12-t

1

Y de aqu resulta

0)t1(

3t

Si 1t0t-1 00)t1( . Y si t = 1, = 3

La relacin de dependencia es )1,2,1.(1)0.1.0.(3)1,1,1( , es decir,

)0,0,0()1,2,1.(1)0,1,0.(3)1,1,1(



Otro mtodo para ver la independencia de los vectores es graficando los vectores. Observando

estos dos vectores )2,3(1 v y )4,6(2 v geomtricamente como en la siguiente de abajo,

uno puede otra vez probar que estos vectores son no linealmente independientes.

Tambin podemos graficar estos dos vectores )2,1(1 v y )2,3(2 v de la figura de abajo para

chequear la independencia lineal.

EJERCICIOS:

1) Verificar que los vectores linealmente independientes en 2R y 3R cumplen esa

frmula de determinantes.

2) Verificar que los vectores )3,2,1( y )1,1,1( son linealmente independientes.

3) Demuestre que los vectores ),2,3,( k )2,3,(k y )0,1,1( son linealmente

independientes, cualquiera que sea el valor de .k

4) Halle los valores de m para que los vectores ),1,1,0( )1,0,2( y )1,1,( mm sean

linealmente independientes.

5) Dados los vectores ),,,( 321 ),,( 111 y );,,( 51 hallar el valor de para que los

vectores sean linealmente dependientes.

ESPACIO CON PRODUCTO INTERNO

Para encontrar el ngulo entre dos vectores distintos de cero usamos la frmula:

vu

vuv(u Cos 2211

DEFINICIN: Donde los vectores son , uu u 21 y , vv v 21 y donde 2211 v u vu se denota como producto punto o producto interno de dos vectores.



EJEMPLOS:

1) Halla el ngulo que forman los vectores )6,2,3(u y )1,5,4(v

Solucin: Calculemos lo siguiente:

461012. vu

7493649|||| u ; 4212516|||| v

Luego,

427

4

||||.||||

.cos

vu

vu.

Buscando con la calculadora el ngulo cuyo coseno es 427

4, se obtiene el siguiente ngulo:

94,84

Usando la calculadora:

Sean los vectores:

El producto interno es:

Guardandolo en memoria:



Las normas de los vectores son:

Multiplicando lo anterior:

Guardandolo en memoria:

Luego calculando el coseno inverso:

En grados sexagesimales:

2) Halla el valor de a para que los vectores )5,1,2(u y )6,2,(av , sean perpendiculares.

Solucin: Para que sean perpendiculares, el producto escalar ha de ser nulo, por tanto,

0)6,2,).(5,1,2( a 03022 a

Y de aqu se obtiene . a 16



Verifiquemos con la calculadora:

Sean los vectores:

Luego el producto escalar o interno es:

El producto punto para nR se denota nn v u ... v uv uvu 2211 las propiedades que

cumple son: Donde c es un escalar y que wvu ,, son vectores cualesquiera en .nR

1) u vvu (Ley de simetra)

2) wuvuwvu )( (Ley distributiva)

3) vucvuvcuvuc 4) 0vv y 0vv si slo si 0v (El producto interno es positivo)

5) 2

vvv (Definicin de norma de un vector)

DESIGUALDAD DE CAUCHY SCHWARZ

La desigualdad de Cauchy Schwarz dice que | v || || u || | v | u | donde v | u | es valor

absoluto de v u donde u y v son vectores viendo esta desigualdad podemos definir el

ngulo entre dos vectores en nR as:

vu

v u Cos

Esta frmula nos define ngulos entre dos vectores, si vu 0 se dice que los ngulos son ortogonales.

LA DESIGUALDAD DEL TRINGULO

Dice si u y v son vectores entonces || v ||. || u || v || || u



EL TEOREMA DE PITGORAS

Este dice si u y v son vectores entonces || v || || u || v |||| u 222 solo para vectores

ortogonales. Ser cierto que: || v || || u || v |||| u 222 ? Dar una interpretacin

geomtrica.

EJERCICIOS:

1. Demostrar las propiedades del producto interno de vectores.

Por ejemplo demostremos la simetra: Sean dos vectores ),,,( nuuuu 21 y

),,,,( nvvvv 21 luego

uv

uuuvvv

uvuvuv

vuvuvu

vvvuuuvu

nn

nn

nn

nn

interno. producto de Definicin ),,,(),,,(

reales. nmeros los

de producto del aconmutativ Propiedad

interno. producto de Definicin

),,,(),,,(

2121

2211

2211

2121

2. Dados los vectores ),,( 312 u y ),,,( 224 v hallar vu , y el ngulo que forman los

vectores u y .v

PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ

Sea 321 eee ,, una base ortonormal (ortogonal y con norma unitaria) dextrgira y los vectores

332211 eueueuu y .332211 euvevevv Se llama producto cruz o producto vectorial de

u y ,v se representa por ,vu al vector

.cofactores los de Metodos

matriz. una de tedeterminan de Definicin

3

22

11

2

31

31

1

32

32

321

321

321

312212311312332

evv

uue

vv

uue

vv

uu

vvv

uuu

eee

evuvuevuvuevuvuvu

detdetdet

det

Las propiedades del producto cruz son: Sean los vectores ,u ,v w y un escalar c en los

nmeros reales:



1. uvvu (Ley anticonmutativa). 2. wuvuwvu (Ley distributiva). 3. cuvucvvuc 4. 0uu

EJEMPLOS:

1) Calcula el producto vectorial de los vectores )3,7,1( u y ).4,0,5(v

Solucin: Conviene colocar el primer vector y debajo de este el segundo:

405

371

, , - v

, -, u

Luego,

35) 11, 28,(0 5-

7 1 ,

5- 4

1 3- ,

4 0

3- 7

vu


Sean los vectores:

Luego, el producto vectorial es:

2) Dados los vectores 6), 1, (4, y v 5) 2, (3, u halla un vector perpendicular a ambos y el

rea del paralelogramo que determinan.

Solucin: Un vector perpendicular a ambos es el producto vectorial:



6) 1, (4, v

5) 2, (3, u

Luego,

5)- 2, 7,(1 4

2 3 ,

4 6

3 5 ,

6 1

5 2

vu

El producto vectorial puede obtenerse tambin desarrollando el siguiente determinante:

)5,2,7(527185832012

614

523 kjijikkji

kji

vu

El rea del paralelogramo que determinan es el mdulo del producto vectorial:

rea = 78)5(27|||| 222 vu

O bien, rea = 2u 78


Sean los vectores:


Y su norma (rea) es:



Ya que:

3) Halla un vector w cuyo mdulo sea 4 y adems perpendicular a )1,0,2(u y ).2,1,3( v

Solucin: Sabemos que el producto vectorial de dos vectores es un vector perpendicular a cada

uno de ellos, por tanto, )2,1,1(1- 3

0 2,

3 2

2 1 ,

2 1-

1 0 vu

. Lo dividimos por su mdulo

para obtener un vector de mdulo unidad: )2,1,1(vu . Es perpendicular a u y a v.

6)2()1(1||vu|| 222 ;

62,

61,

61)2,1,1(

6

1

||vu||

vu

El vector unitario obtenido lo multiplicamos por 4 y obtenemos el vector buscado:

3

64,

3

62,

3

62

6

2,

6

1,

6

14w


Sean los vectores:


La norma es:



Guardando en la memoria:

Ahora buscando un vector unitario:

Por ltimo multiplicndolo por 4:

Notando que:

VERSOR

Representacin grfica del versor asociado a un vector:

u

u u u

u

1u u

u



VECTOR PROYECCIN

Se necesita obtener la proyeccin del vector

a en la direccin del vector

b . Ello se

simboliza: b

a

Proy

PROPIEDADES

Sea ,Proy axb

entonces verificar geomtrica y algebraicamente se cumple que:

i. bx

ii. bxa

iii. xxaa

EJERCICIOS:

1. Demostrar las propiedades de vector proyeccin.

2. Demostrar las propiedades del producto cruz.

3. Los vectores ,2kia kjib 2 y kjic 22 estn expresados en una base

ortonormal. Calcula: ;ba )( aca y )..( baa

Solucin: kjiba 52 ; kjiaca 4108)( ; 0).( baa

4. Demuestre que s u y v son vectores cualesquiera, se tiene que

).()()( vuvuvu 2

Sugerencia: Use la propiedad distributiva del producto vectorial y la ley anticonmutativa

y la propiedad 4 ( 0uu ).

5. Es cierto que )()( wvuwvu ? Para cualesquiera tro de vectores ,,, vu y .w

Falso: Sugerencia, use los vectores ),,(),,( 001 001 vu y ).,,( 010w

Proyb

a k b

a

ba

Proyb b



SUBESPACIO VECTORIAL

Esto dice que si W es un subconjunto del espacio vectorial V entonces este es un subespacio

vectorial de V. Si W es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicacin por

un escalar definidas en V. Para que W sea un subespacio vectorial de V debe cumplir las propiedades de cierre de la suma y la multiplicacin por un escalar tambin debe cumplir la ley

del elemento neutro bajo la suma, el inverso bajo la suma y el neutro bajo la multiplicacin por

un escalar.

EJEMPLOS:

1. Sea 3RV y VS definido por 0:),,( xVzyxS Entonces, S es un subespacio

vectorial de ,V ya que ;)0,0,0( S y si ,),,( 321 Sxxx tenemos que:

).,,(),,(),,( 332211321321 yxyxyxyyyxxx Lo cual indica que esta suma

pertenece a ,S pues .00011 yx De manera anloga tomamos Syyy ),,( 321 y

,R entonces ,),,(),,( 321321 Sxxxxxx ya que 0 implica que .01 x

As, S es un subespacio vectorial de .V

2. Sea funcin una o aplicacin una es ,:),( fRRfRRAV y

.en continuafuncin una es , RfVfS

Entonces S es un subespacio vectorial de ,V ya que la funcin idnticamente nula es una

funcin continua y la suma de funciones continuas f y g definidas por:

. todopara ),()())(( Rxxgxfxgf

Y el producto de una constante R por una funcin continua f definida por

. todopara ,)())(( Rxxfxf

Son funciones continuas. As, S es un subespacio vectorial de .V

EJERCICIOS:

1) Sea funcin una o aplicacin una es ,:),( fRRfRRAV y

.en derivablefuncin una es , RfVfS

Probar que S es un subespacio vectorial de .V




.en ordenes los todosde derivadas admite quefuncin una es , RfVfS



.en creciente nteestrictamefuncin una es , RfVfS

Probar que S no es un subespacio vectorial de .V

NOTA: Sabemos que una funcin es estrictamente creciente en R si para todo par de valores ,, Rxx se cumple que:

).()( xfxfxx

Sugerencia: Basta probar que la funcin idnticamente nula no pertenece a .S


.)()( R, x todopara , xfxfVfS

.)()( R, x todopara , xfxfVfT

Probar que S y T son un subespacios vectoriales de .V

NOTA: Este es el subconjunto de las funciones pares e impares respectivamente.

OBSERVACIN: Para probar que un debe contener el elemento nulo y cumplir las propiedades

de cierre de la suma y la multiplicacin por un escalar.

BASE Y DIMENSIN

En un conjunto nvvvS ,,, 21 es un espacio vectorial V este se denomina base si cumple que si el espacio vectorial tiene una base con un nmero finito de vectores, entonces V es de dimensin finita y en caso contrario es de dimensin infinita.

BASE Y DEPENDENCIA LINEAL

Si un conjunto finito nvvvS ,,, 21 es una base de un espacio vectorial V si todo conjunto que contiene ms de n vectores de V es linealmente dependiente.



EJEMPLOS:

1. Estudia si los vectores 1) (0,1, 0), 1, (1, y )1 1, (2, forman una base de .3R

Solucin: Hemos de saber que:

Dos vectores linealmente independientes de 2R forman una base de 2R

Tres vectores linealmente independientes de 3R forman una base de 3R .

Etc.

En nuestro caso si los vectores dados son linealmente independientes formarn una base, haga

los clculos y concluya que los vectores dados son linealmente dependientes y, por tanto, no

forman una base de .3R

2. El vector ),,( 231 v est dado en la base cannica. Halla sus componentes respecto de la

base .)3,2,0(),1,0,1(),1,1,1(B

Solucin: Hagamos, )3,2,0()1,0,1()1,1,1()2,3,1(

Esto nos lleva al siguiente sistema de ecuaciones:

23

32

1

Sumando la 1 ecuacin, cambiada de signo a las otras dos, se nos reduce el sistema de

ecuaciones al siguiente:

33

22

1

Y entonces 4 , Si el valor de lo llevamos a la 1 ecuacin del sistema inicial,

514 . El vector v queda expresado en funcin de los elementos que forman la base en la forma siguiente: ).3,2,0(1)1,0,1(4)1,1,1(5)2,3,1(

EJERCICIOS:

1. Prueba que los vectores (1,1,1)y (1,-1,1) ,111 cba ),,( son una base de .3R Halla

las componentes del vector ),,( 1597x en esta base. Solucin: Como son tres vectores,

basta probar que son linealmente independientes (determinante 0) .cbax 12811



2. Dados los vectores ),,,,( 321a ),,,( 111b ),,( 501c y ).,,( 311d Forman una base

de 3R ? Exprese, si es posible, el vector d como combinacin lineal de los vectores ,a

b y .c

3. Dados los vectores ),,( 012 u y ).,,( 123 v Son linealmente independientes?

Forman una base de 3R ? Halla un vector, w tal que .2

32v

wu

NMERO DE VECTORES DE UNA BASE

Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces, toda base V tiene n vectores.

DIMENSIN DE UN ESPACIO VECTORIAL

Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores entonces, esa n es la dimensin de esa base y se denota .)dim( nV . Tericamente la dimensin se determina al hallar el conjunto de

vectores linealmente independientes que genera el subespacio, este conjunto es una base del

subespacio y la dimensin del mismo es el nmero de vectores que hay en la base.

Para ver que una base en un espacio n-dimensional: Siendo V su espacio vectorial y nn entonces nvvvS ,,, 21 en un conjunto de vectores linealmente independientes en ,V entonces S es una base de .V

EJEMPLO: Si nvvvS ,,, 21 genera a ,V entonces S es una base de .V

OBSERVACIONES:

1. Si W es un subespacio vectorial de ,V .dimdim VW Si ,0

W 0dim W

2. Si 21,WW son subespacios vectoriales de V se tiene

.dimdim)dim()dim( 212121 WWWWWW

En particular dimW2. dimW1 W2) dim(W1 .

Donde recordemos lo siguiente:

SUMA DE SUBESPACIOS VECTORIALES

Dados dos subespacios vectoriales 1W y 2W de V se define su suma

22112121 W,vW,vvvV : vv W W



El conjunto W W 21 es un subespacio vectorial de V . Si .0 W W 21

la suma se dice

directa y se denota .WW 21 Si V , WW 21 1W y 2W se llaman subespacios suplementarios

o complementarios.

NOTA: Recordar que 0

es otra notacin del vector nulo y 0

es el conjunto unitario formado

por el vector nulo.

EJEMPLO: Se consideran los siguientes subespacios de :R3

.0,0:,, 3 z y x Rz) y(x U

.02:2,, 3 z y; x x jR z) y(x V

Hallar una base de U, otra de V ,la dimensin de U, V y los subespacios V U y V .U

Solucin: Las ecuaciones paramtricas de U son: . , y z , y x .0 Por tanto,

R)( U :,,0

Luego una base de U es: .110 ),,( BU Y . U 1dim

Las ecuaciones paramtricas de V son: .y 22 z -, y -x Por tanto,

R) :, ,-( V 22

Luego una base de V es: .1,2,2 ) ( BV Y . V 1dim

El subespacio interseccin es

(0,0,0)

0

0200

3

3

z y :x R(x, y, z)

z y; x ; x ; y -z :x R(x,y, z) V U

El subespacio suma es )) () ( L( V U 1,2,2,1,1,0 . Esto es, VU (x,y, z) si existen R, tales que ), ,-(- ) , , ( (x, y, z) 122110 . Esto es,

z

xy

x

z

y

x2

2

2



Por tanto, el sistema anterior tiene solucin si y slo si

xyzx

xyz2

3

2

Luego

x y -: z R(x, y, z) V U 2

33

Y . V ) (U 2dim Como ,), , ( V U 000 as la suma es directa.

NOTA: Se denota L(S) el conjunto de vectores que son combinacin lineal de S.

EJERCICIOS DE VECTORES

1. Dados los tres vectores ),,,( 625a ),,,( 782b ),,( 479c y el escalar 5k calcular:

. ,k ),( , , aacbababa

2. Demostrar las siguiente propiedad de la suma vectorial: 2M acabcba )( (Ley distributiva)

3. Demuestre que los vectores ),2,3,( k )2,3,(k y )0,1,1( son linealmente independientes,

cualquiera que sea el valor de .k

4. Dados los vectores ),,,( 321 ),,( 111 y );,,( 51 hallar el valor de para que los vectores

sean linealmente dependientes.

5. Dados los vectores )3,1,2(u y ),2,9,4( v hallar vu , y el ngulo que forman los

vectores u y .v 6. Dados los vectores 6), 9,- (4, y v 5) 4, (-6, u halla un vector perpendicular a ambos y

el rea del paralelogramo que determinan.


.en derivablefuncin una es , RfVfS



.)()( R, x todopara , xfxfVfS

Es S es un subespacio vectoriales de .V (Es el subconjunto de las funciones pares.

9. Prueba que los vectores (1,1,1)y (1,-1,1) ,111 cba ),,( son una base de .3R Halla

las componentes del vector ),,( 1597x en esta base.

10. Dados los vectores ),,,,( 321a ),,,( 111b ),,( 501c y ).,,( 311d Forman una base

de 3R ? Exprese, si es posible, el vector d como combinacin lineal de los vectores ,a b y

.c



11. Dados los vectores ),,( 012 u y ).,,( 123 v Son linealmente independientes?

Forman una base de 3R ? Halla un vector, w tal que .2

32v

wu

12. Se consideran los siguientes subespacios de :R3

.0,0:,, 3 z y x Rz) y(x U .02:2,, 3 z y; x x jR z) y(x V

Hallar una base de U, otra de V ,la dimensin de U, V y los subespacios V U y V .U

13. Sea X un conjunto no vaci, K un cuerpo (como por ejemplo el cuerpo de los nmeros reales R o complejos C ) y

funcin o aplicacin una es ,:),( fKXfKXAV Definamos:

XxxfxfVfK

XxxgxfxgfVgf

)())((:,

)()())((:,

Demostrar que la terna ),,( V es un espacio vectorial sobre .K


xfxfRxVfS , todopara :

Es S es un subespacio vectoriales de .V (Es el subconjunto de las funciones impares. 15. Demuestre la desigualdad de Cauchy Schwarz. De una idea geomtrica. 16. Demuestre la desigualdad tringulo. De una idea geomtrica. 17. Demuestre el teorema de Pitgoras. De una idea geomtrica.

REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS

Anton, H. (1994). Introduccin al lgebra Lineal. Tercera Edicin. Editorial Limusa, S. A de C. V. Noriega Editores. Mxico.

Barreto, J. (2015). Introduccin al algebra lineal con aplicaciones a los circuitos elctricos, al balanceo de ecuaciones qumicas, a la investigacin de operaciones y la

programacin lineal. Coleccin de Universitaria. Volume 1. Spanish Edition. ISBN-

10: 1506029175. ISBN-13: 978-1506029177. Ao 2015.

https://www.createspace.com/5230822

Lus, Gonzlez. (1981). lgebra II. Universidad Nacional Abierta. Dcima primera reimpresin 2007. Caracas, Venezuela.

Tom Apstol. (2005). Calculus. Clculo con funciones de varias variables y lgebra lineal, con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades. Editorial

Revert.

Serge Lang. (1976). lgebra Lineal. Fondo Interamericano S. A. Mxico D. F

tema ii espacios vectoriales algebra lineal uts

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