algebra lineal [agueda mata y miguel reyes]

Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matematica Aplicada, FI-UPM 1

Tema 1: Matrices y Sistemas lineales de ecuaciones

Ejercicios

1. Halla una forma escalonada, el rango, y las matrices canonica por filas y de pasopara cada una de las siguientes matrices:

(a) A =

1 1 00 2 11 0 1

; (b) B = 1 12 2

3 3

; (c) C = 1 1 1 2 13 3 8 10 32 2 1 3 4

.2. Siendo A =

(1 1 11 0 1

)y B =

(1 2 11 2 1

), que condicion debe verificar

k R para que rg(A+ kB) < 2?3. Calcula la inversa, si existe, de las siguientes matrices:

(a) A =

1 1 12 1 20 0 1

; (b) B =1 1 22 1 13 0 3

; (c) C =1 0 0a 1 0b c 1

;

(d) D =

1 0 0 02 1 0 03 3 1 04 4 4 1

; (e) E =1 0 0 0 11 1 0 0 00 1 1 0 00 0 1 1 00 0 0 1 1

; (f) F =1 2 3 4 50 1 2 3 40 0 1 2 30 0 0 1 20 0 0 0 1

.

4. Calcula la inversa, si existe, de la matriz A =

1 a a2 a3

0 1 a a2

0 0 1 a0 0 0 1

.5. Calcula, segun los valores de n, el rango de las matrices:

(a) An =

n+ 1 1 11 n+ 1 11 1 n+ 1

; (b) Bn =n+ 1 1 n1 n+ 1 1

0 0 n

.Obten la matriz inversa en los casos que se pueda.

6. Resuelve, por el metodo de Gauss, los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

(a)

x 3y + z = 22x+ y z = 6x+ 2y + 2z = 2

; (b)

x+ y + z + t = 2x y z + t = 4x y + z + t = 6x+ y z + t = 0

;

(c)

3x+ y z = 10x 2y z = 2x+ y + z = 02x y 3z = 7

; (d)

2x+ 3y z = 0x y + z = 0x+ 9y 5z = 0

.


7. Discute, segun los valores reales de los parametros, los siguientes sistemas lineales:

(a)

x 3y + 5z = 22x 4y + 2z = 15x 11y + 9z = k

; (b)

x+ y + az = 1x+ ay + z = 1ax+ y + z = 1

; (c)

x 2y + 3z = 12x+ ky + 6z = 6x+ 3y + (k 3)z = 0

;

(d)

y + z = 2x+ y + z = ax+ y = 2

; (e)

ax+ by + z = 1ax+ y + bz = 1ax+ y + z = b

;(f)

ax+ by + z = 1x+ aby + z = bx+ by + az = 1

;

(g)

ax+ by + 2z = 1ax+ (2b 1)y + z = 1ax+ by + (b+ 3)z = 2b 1

.

Resuelve, cuando sea posible, los que dependen de un unico parametro.

8. Resuelve la ecuacion matricial Ax = b donde

A =(1 11 1

)y (a) b =

(11

)o (b) b =

(11)

9. Resuelve las siguientes ecuaciones matriciales:

(a)

1 0 12 1 03 1 0

X = 6 4 27 6 510 8 6

(b) X1 2 20 1 01 1 1

= 1 0 12 1 0

1 3 2

(c)

1 2 1 11 1 2 01 1 1 00 1 1 1

X =4 6 2 22 2 1 40 3 0 22 0 1 2

10. Siendo A =

(1 23 m

), m R, encuentra todas las matrices B M22 tales que

AB = 0.

11. Obten todas las matrices B M22 que conmutan con la matriz diagonal D =(x 00 y

)con x, y R.

12. Encuentra todos los polinomios p(x) de grado 2, con coeficientes reales, tales que:(a) p(1) = 2, p(1) = 4 y p(3) = 16; (b) p(1) = p(1) = 0.

13. Elimina parametros en las siguientes ecuaciones parametricas:

(a)

x = 1 + y = 2 + z = 1 3

; (b)

x = 1 3+ y = 2z = 2 +

; (c)

x = y = z =

;

(d)

x1 = a+ 2b cx2 = a bx3 = 3bx4 = b+ cx5 = a b+ 2c

; (e)

x1 = a+ b+ 2cx2 = a+ 2b+ 3cx3 = a+ cx4 = 0x5 = a b

.


Soluciones

1. (a) Ae =

1 1 00 1 10 0 1

, rg(A) = 3, Ac =1 0 00 1 00 0 1

, y E = 2 1 11 1 1

2 1 2

;(b) Be = Bc =

1 10 00 0

, rg(B) = 1, y E = 1 0 02 1 03 0 1

;(c) Ce =

1 1 1 2 10 0 1 1 20 0 0 1 10

, rg(C) = 3, Cc =1 1 0 0 130 0 1 0 80 0 0 1 10

,y E =

14 1 611 1 413 1 5

.2. k = 1.

3. (a) A1 = 13

1 1 32 1 00 0 3

; (b) No existe B1; (c) C1 = 1 0 0a 1 0ac b c 1

;

(d) D1 =

1 0 0 02 1 0 03 3 1 08 8 4 1

; (e) E1 = 12

1 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 1

;

(f) F1 =

1 2 1 0 00 1 2 1 00 0 1 2 10 0 0 1 20 0 0 0 1

.

4. A1 =

1 a 0 00 1 a 00 0 1 a0 0 0 1

.

5. (a)rg(An) =

3 , si n 6= 0 y n 6= 32 , si n = 31 , si n = 0

; A1n =1

n(n+3)

n+ 2 1 11 n+ 2 11 1 n+ 2

, sin 6= 0 y n 6= 3.(b) rg(Bn) =

{3 , si n 6= 0 y n 6= 22 , si n = 0 o n = 2 ;

B1n =1

n2(n+2)

n(n+ 1) n n2 n+ 1n n(n+ 1) 10 0 n(n+ 2)

, si n 6= 0 y n 6= 2.6. (a) x = 2, y = 1, z = 1.

(b) x = 3 , y = 2, z = 1, t = ; R.


(c) Sistema incompatible.(d) x = 2, y = 3, z = 5; R.

7. (a) Si k 6= 4 el sistema es incompatible; y si k = 4 es compatible indeterminado(x = 5/2 + 7, y = 3/2 + 4, z = ; R).(b) Si a = 2 el sistema es incompatible; si a = 1 es compatible indeterminado(x = 1 , y = , z = ; , R); y si a 6= 2 y a 6= 1 es compatibledeterminado(x = y = z = 1a+2).(c) Si k = 4 el sistema es incompatible; si k = 0 es compatible indeterminado(x = 3 3, y = 1, z = ; R); y si k 6= 4 y k 6= 0 es compatible determinado(x = k+9k+4 , y =

4k+4 , z =

1k+4).

(d) Para cualquier valor de a el sistema es compatible determinado (x = a 2,y = 4 a, z = a 2).(e) Si a = 0 y b = 2 el sistema es compatible indeterminado con un grado deindeterminacion; si b = 1 es compatible indeterminado con dos grados de indetermi-nacion; si a = 0, b 6= 2 y b 6= 1 es incompatible; y si a 6= 0 y b 6= 1 el sistema escompatible determinado.(f) El sistema es incompatible si b = 0, si 0 6= b 6= 2 y a = 2, o si 0 6= b 6= 1y a = 1; es compatible determinado si b 6= 0, a 6= 1 y a 6= 2; y es compatibleindeterminado si a = b = 2 (con un grado de indeterminacion) o a = b = 1 (condos grados de indeterminacion).(g) El sistema es incompatible si b = 1 o si a = 0 y b 6= 1; es compatible indeter-minado con un grado de indeterminacion si b = 1; y es compatible determinado sia 6= 0, b 6= 1 y b 6= 1.

8. (a) x =( 1

), R; (b) x =

(+ 1

), R.

9. (a) X =

3 2 11 2 33 2 1

; (b) X = 0 1 12 1 43 1 4

;(c) X =

2 3 1

1 + 2 1 1 2

, , , , R.10. Si m 6= 6, B = 0; y si m = 6, B =

(2 2

), , R.

11. Si x = y, B es arbitraria; y si x 6= y, B =(a 00 d

)con a, d R.

12. (a) p(x) = 2x2 x+ 1; (b) p(x) = (x2 1), R.

13. (a){

x y = 13x+ z = 4

; (b) x+ 3y + 5z = 11;

(c) Al eliminar parametros no aparece ninguna condicion, pues esas ecuaciones


parametricas representan a todo R3;

(d){

3x1 3x2 4x3 + 3x4 = 0x1 2x3 + 3x4 x5 = 0 ; (e)

2x1 x2 x3 = 03x1 2x2 x5 = 0x4 = 0

.


1 Matrices y Sistemas lineales de ecuaciones

Sea Mnm =Mnm(R) el espacio vectorial de las matrices reales con n filas y m columnas.

1.1 Operaciones elementales por filas

En una matriz, se consideran operaciones elementales por filas a las siguientes:

1. Intercambiar dos filas.

2. Multiplicar una fila por un numero real no nulo.

3. Sustituir una fila por la suma de ella misma con el producto de otra por un numero real.

Ejemplo

2 1 01 2 10 1 0

f1f30 1 01 2 12 1 0

2f2f20 1 02 4 22 1 0

f2f3f20 1 00 3 22 1 0

1.2 Matrices elementales

Se llaman matrices elementales a aquellas matrices cuadradas que resultan de aplicar unaoperacion elemental a la matriz identidad.

Ejemplo

I =

1 0 00 1 00 0 1

f1f2 E =0 1 01 0 00 0 1

; I =1 0 00 1 00 0 1

2f3f3 E =1 0 00 1 00 0 2

I =

1 0 00 1 00 0 1

f32f2f3 E =1 0 00 1 00 2 1

1.3 Relacion entre operaciones y matrices elementales

El resultado de hacer una operacion elemental a una matriz A Mnm coincide con el resultadode multiplicar la matriz elemental E Mnn, asociada a dicha operacion elemental, por A.

Ejemplo

A =

1 2 1 12 1 1 01 0 3 2

f22f1f21 2 1 10 5 3 21 0 3 2

= 1 0 02 1 0

0 0 1

AA =

1 2 1 12 1 1 01 0 3 2

f1f31 0 3 20 5 3 21 2 1 1

=0 0 10 1 01 0 0

A


A =

1 2 1 12 1 1 01 0 3 2

f3f3 1 2 1 12 1 1 01 0 3 2

=1 0 00 1 00 0 1

A1.4 Formas escalonada y canonica de una matriz. Rango

Se llama matriz escalonada o reducida de A Mnm a cualquier matriz Ar Mnm quese obtiene a partir de A mediante operaciones elementales, y en la que el primer elemento nonulo de cada fila se encuentra a la derecha del primer elemento no nulo de la fila anterior. Lasfilas nulas, si las hay, en una matriz escalonada deben estar al final.

Se llama rango de A al numero de filas no nulas de una matriz escalonada de A.Se llamamatriz canonica por filas de A Mnm a la matriz Ac Mnm, que se obtiene

a partir de A mediante operaciones elementales, en la que el primer elemento no nulo de cadafila es un uno, se encuentra a la derecha del primer elemento no nulo de la fila anterior, y porencima de el todos los elementos son nulos.

Observa que si B se obtiene a partir de A Mnm despues de p operaciones elementales,entonces

B = Ep Ep1 . . . E2 E1 Adonde Ei es la matriz elemental asociada a la operacion i-esima. Ademas, si I Mnn es lamatriz identidad de orden n, se tiene que

(A | I) operaciones elementales (B |E) con B = E A

donde E = Ep Ep1 . . . E2 E1 se llama matriz de paso de A a B.

Ejemplo

Si se quiere hallar una matriz escalonada, y la matriz de paso asociada, de la matriz

A =

1 1 0 1 12 1 3 1 31 1 2 1 11 1 0 0 2

se hacen las operaciones elementales necesarias adosandole la matriz identidad:

(A | I) =

1 1 0 1 12 1 3 1 31 1 2 1 11 1 0 0 2

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

f22f1f2f3f1f3f4f1f4

1 1 0 1 10 3 3 1 10 2 2 0 00 0 0 1 1

1 0 0 02 1 0 01 0 1 01 0 0 1

f2f3

1 1 0 1 10 2 2 0 00 3 3 1 10 0 0 1 1

1 0 0 01 0 1 02 1 0 01 0 0 1

12f2f2

3f22f3f3

1 1 0 1 10 1 1 0 00 0 0 2 20 0 0 1 1

1 0 0 01/2 0 1/2 01 2 3 01 0 0 1

12f3f3

2f4+f3f4

Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matematica Aplicada, FI-UPM 31 1 0 1 10 1 1 0 00 0 0 1 10 0 0 0 0

1 0 0 01/2 0 1/2 01/2 1 3/2 01 2 3 2

= (Ar |Er) con Ar = Er APuesto que la matriz escalonada tiene tres filas no nulas, su rango es tres:

rgA = 3

Para hallar la matriz canonica por filas, y la matriz de paso asociada, se continuan las operacioneselementales:

(A | I) (Ar |E) f1f2f1

1 0 1 1 10 1 1 0 00 0 0 1 10 0 0 0 0

1/2 0 1/2 01/2 0 1/2 01/2 1 3/2 01 2 3 2

f1f3f1

1 0 1 0 20 1 1 0 00 0 0 1 10 0 0 0 0

0 1 1 01/2 0 1/2 01/2 1 3/2 01 2 3 2

= (Ae |Ee) con Ae = Ee A1.5 Matriz inversa

Se llama matriz inversa de una matriz cuadrada A Mnn a otra matriz A1 Mnn talque

A A1 = A1 A = INo todas las matrices cuadradas tienen inversa. Una matriz cuadrada A se llama regular sitiene matriz inversa, y se llama singular si no la tiene.

Es facil observar que todas las matrices elementales tienen inversa:

1. La matriz inversa de la matriz elemental asociada a intercambiar dos filas es ella misma.

2. La matriz inversa de la matriz elemental asociada a multiplicar una fila por un numero,distinto de cero, es la asociada a multiplicar la misma fila por su inverso.

3. La matriz inversa de la matriz elemental asociada a sustituir una fila por ella misma masotra multiplicada por un numero es la asociada a la misma operacion pero multiplicandola fila por el numero opuesto.

Es conocido que la existencia de matriz inversa se puede caracterizar, en terminos de deter-minantes, como

A Mnn tiene inversa (es regular) |A| 6= 0Tambien se puede caracterizar, en terminos de operaciones elementales, por el siguiente teorema:

Teorema

Una matriz cuadrada es regular si y solo si se puede reducir a la matriz identidad por operacioneselementales de filas.

Ademas, si(A | I) operaciones elementales (I |E) con I = E A

se tiene que A1 = E.


Algoritmo para el calculo de la matriz inversa

Para hallar la matriz inversa de una matriz cuadrada A se procede as:

1. Se considera la matriz (A | I).2. Se obtiene una forma escalonada (Ar |Er).3. Si Ar tiene algun cero en la diagonal principal, entonces la matriz A es singular (no esinvertible).

4. Si Ar no tiene ceros en la diagonal principal, entonces A es regular (es invertible) y sesiguen haciendo operaciones elementales hasta llegar a (I |E).

5. La matriz inversa es A1 = E.

Ejemplo

Halla, si existe, la matriz inversa de:

A =

1 1 12 1 11 1 1

(A | I) = 1 1 1 1 0 02 1 1 0 1 0

1 1 1 0 0 1

f22f1f2f3f1f3 1 1 1 1 0 00 3 3 2 1 0

0 2 0 1 0 1

f2/3f2f32f2/3f3 1 1 1 1 0 00 1 1 2/3 1/3 0

0 0 2 1/3 2/3 1

f3/2f3

f2+f3/2f2f1f3/2f1

1 1 0 5/6 1/3 1/20 1 0 1/2 0 1/20 0 1 1/6 1/3 1/2

f1+f2f1

1 0 0 1/3 1/3 00 1 0 1/2 0 1/20 0 1 1/6 1/3 1/2

= (I |A1)de donde

A1 =

1/3 1/3 01/2 0 1/21/6 1/3 1/2

= 16

2 2 03 0 31 2 3

1.6 Sistemas lineales

Un sistema lineal de m ecuaciones con n incognitas esa11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2

...am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm


con aij , bi R, que se puede expresar en forma matricial comoa11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

am1 am2 . . . amn

x1x2...xn

=b1b2...bm

o tambien como

Ax = b con A Mmn, x Mn1, y b Mm1Las matrices A Mmn y A = (A |b) Mm(n+1) se llaman, respectivamente, matriz decoeficientes y matriz ampliada. Cuando b = 0 el sistema se llama homogeneo.

Se llama solucion del sistema Ax = b a cualquier vector x0 = (x01, x02, . . . , x

0n)

t Mn1 talque Ax0 = b. Resolver un sistema es hallar todas sus soluciones.

Dos sistemas se llaman equivalentes si tienen las mismas soluciones.

Teorema

Si un sistema Ax = b tiene mas de una solucion entonces tiene infinitas soluciones.Demostracion: Si x0,x1 Mn1 son dos soluciones distintas del sistema, entonces, para

cualesquiera , R con + = 1, se cumple que x = x0+x1 Mn1 es tambien solucion:

Ax = A(x0 + x1

)= Ax0 + Ax1 = b+ b = (+ )b = b

Luego si el sistema tiene dos soluciones distintas, entonces tiene infinitas soluciones.

Clasificacion de sistemas lineales

Segun el numero de soluciones, los sistemas se clasifican en

Sistema incompatible No tiene solucionesSistema compatible determinado Tiene solucion unicaSistema compatible indeterminado Tiene infinitas soluciones

Teorema

Si (A |b) es la matriz que se obtiene despues de aplicar un numero finito de operacioneselementales a la matriz (A |b), los sistemas Ax = b y Ax = b son equivalentes.

Demostracion: Sea (A |b) = Er . . . E2 E1 (A |b), es decir

A = Er . . . E2 E1 A y b = Er . . . E2 E1 b

Entonces:

x0 es solucion de Ax = b Ax0 = b Er . . . E2E1Ax0 = Er . . . E2E1b E11 E12 . . . E1r Er . . . E2E1Ax0 = E11 E12 . . . E1r Er . . . E2E1b IAx0 = Ib Ax0 = b x0 es solucion de Ax = b

Es decir, los sistemas Ax = b y Ax = b son equivalentes.


1.7 Metodo de Gauss

Todo sistema lineal Ax = b de n ecuaciones con n incognitas y |A| 6= 0 (o rgA = n) escompatible determinado. Se puede resolver por el metodo de Gauss:

1. Se considera la matriz ampliada (A |b).2. Se obtiene una matriz escalonada (Ar |br).3. Se resuelve el sistema equivalente Arx = br por el metodo de ascenso.

Ejemplo

Para resolver el sistema x y + z = 42x+ y z = 1x+ 2y z = 3

por el metodo de Gauss, se procede as: 1 1 1 42 1 1 11 2 1 3

f22f1f2f3f1f3 1 1 1 40 3 3 9

0 3 2 7

f3f2f3f2/3f2 1 1 1 40 1 1 3

0 0 1 2

y se resuelve, por el metodo de ascenso, el sistema equivalente:

x y + z = 4y z = 3

z = 2=

x = 1y = 1z = 2

1.8 Teorema de Rouche-Frobenius

Si Ax = b es un sistema de m ecuaciones con n incognitas, entonces:

1. Si rgA 6= rg (A |b), el sistema es incompatible.2. Si rgA = rg (A |b) = n, el sistema es compatible determinado.3. Si rgA = rg (A |b) = k < n, el sistema es compatible indeterminado, y su solucion depende

de n k parametros.

1.9 Resolucion de sistemas lineales por el metodo de Gauss

Para resolver el sistema lineal Ax = b, de m ecuaciones con n incognitas, se procede como sigue:

1. Se considera la matriz ampliada (A |b).2. Se obtiene una matriz escalonada (Ar |br).3. Entonces, se pueden presentar los siguientes casos:

(a) Si rgAr 6= rg (Ar |br), el sistema es incompatible. No hay soluciones.


(b) Si rgAr = rg (Ar |br) = n, el sistema es compatible determinado. Sus unica solucionse obtiene resolviendo por el metodo de Gauss el sistema resultante despues de elimi-nar las ecuaciones nulas (si las hay).

(c) Si rgAr = rg (Ar |br) = k < n, el sistema es compatible indeterminado. Su solucionse obtiene resolviendo por el metodo de ascenso el sistema que se obtiene al pasar alsegundo miembro, como parametros, las nk incognitas que no son comienzo (primerelemento no nulo) de alguna fila de Ar.

Ejemplo

Para resolver el sistema de 3 ecuaciones con 5 incognitas:x1 + x2 + x4 = 1x1 + x2 + x3 + 2x4 + x5 = 0x1 + x2 + x4 + x5 = 1

se obtiene, en primer lugar, la matriz reducida de la ampliada:

(A |b) = 1 1 0 1 0 11 1 1 2 1 0

1 1 0 1 1 1

f2f1f2f3f1f3 1 1 0 1 0 10 0 1 1 1 1

0 0 0 0 1 0

= (Ar |br)Puesto que rgAr = rg (Ar |br) = 3 < 5 el sistema es compatible indeterminado. Sus solucionesse obtienen pasando al segundo miembro, como parametros, las incognitas que no son comienzode alguna ecuacion, x2 = y x4 = , y resolviendo el sistema resultante por el metodo deascenso:

x1 = 1

x2 + x5 = 1 x5 = 0

=

x1 = 1 x2 = x3 = 1 x4 = x5 = 0

, , R

1.10 Sistemas lineales homogeneos

Puesto que rgA = rg (A |0), el sistema lineal homogeneo Ax = 0, de m ecuaciones con nincognitas, siempre es compatible:

1. Si rgA = n, el sistema homogeneo es compatible determinado, y la unica solucion es lasolucion trivial x1 = x2 = . . . = xn = 0.

2. Si rgA = k < n, el sistema homogeneo es compatible indeterminado, y su solucion dependede n k parametros.

Ejemplo

Para resolver el sistema lineal homogeneo2x+ 3y z = 0x y + z = 0x+ 9y 5z = 0


se calcula una matriz escalonada de la matriz de coeficientes (no es necesario considerar lacolumna de los terminos independientes pues son siempre nulos):2 3 11 1 1

1 9 5

f1f21 1 12 3 11 9 5

f22f1f2f3f1f31 1 10 5 30 10 6

f32f2f31 1 10 5 30 0 0

Puesto que rgA = 2, el sistema es compatible indeterminado con solucion dependiente de3 2 = 1 parametro. Pasando x3 = al segundo miembro, y resolviendo el sistema resultantepor el metodo de ascenso, se obtiene la solucion:

{x y =

5y = 3=

x = 25y = 35z =

=

x = 2y = 3z = 5

, R

1.11 Eliminacion de parametros

Eliminar parametros enx1 = b1 + a111 + a122 + . . .+ a1rrx2 = b2 + a211 + a222 + . . .+ a2rr

...xn = bn + an11 + an22 + . . .+ anrr

es equivalente a encontrar un sistema del que sea solucion, y esto es equivalente a obtener losvalores (x1, x2, . . . , xn) para los que el sistema

a111 + a122 + . . .+ a1rr = x1 b1a211 + a222 + . . .+ a2rr = x2 b2

...an11 + an22 + . . .+ anrr = xn bn

es compatible, es decir que se verifica:

rg

a11 a12 . . . a1ra21 a22 . . . a2r...

......

an1 an2 . . . anr

= rg

a11 a12 . . . a1r x1 b1a21 a22 . . . a2r x2 b2...

......

an1 an2 . . . anr xn bn

Ejemplo

Para eliminar los parametros a, b R en la expresion:x1 = a+ 2bx2 = a bx3 = 1 + bx4 = a+ b 1


se impone la condicion de que el sistemaa+ 2b = x1a b = x2

b = x3 1a+ b = x4 + 1

tiene solucion (es compatible), para lo que se necesita que:

rg

1 21 10 11 1

= rg

1 2 x11 1 x20 1 x3 11 1 x4 + 1

Para imponer esta condicion, se busca una matriz escalonada de ambas matrices, lo que se hacesimultaneamente considerando la segunda matriz:

1 2 x11 1 x20 1 x3 11 1 x4 + 1

f2f1f2f4f1f4

1 2 x10 3 x2 x10 1 x3 10 1 x4 x1 + 1

3f3+f2f33f4f2f4

1 2 x10 3 x2 x10 0 3(x3 1) + (x2 x1)0 0 3(x4 x1 + 1) (x2 x1)

Para que las dos matrices tengan el mismo rango, es necesario que en la tercera columna loselementos de las filas tercera y cuarta sean nulos, es decir que:{

3(x3 1) + (x2 x1) = 03(x4 x1 + 1) (x2 x1) = 0

con lo que se tiene la condicion: {x1 x2 3x3 = 32x1 + x2 3x4 = 3


Tema 2: Espacios vectoriales

Ejercicios

1. En R2 se definen las siguientes operaciones:

(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) y ? (x, y) = (x, y)

Es un espacio vectorial?

2. Cuales de los siguientes subconjuntos, de R3 o P3(R), son subespacios vectoriales?

(a) S = {(x, y, z) : y = 0} (e) S = {(x, y, z) : x+ z 0}(b) S = {(x, y, z) : x+ y + z = 0} (f) S = {(x, y, z) : xy = 0}(c) S = {(x, y, z) : x+ z = 1} (g) S = {p(x) = x3 + ax+ b : a, b R}(d) S = {(x, y, z) : x+ z = 0} (h) S = {p(x) = ax3 + b : a, b R}

3. Estudia la dependencia o independencia lineal de los siguientes conjuntos de vectoresen R3:

(a) {(0, 1, 0), (1, 1,1), (1, 0, 1)} (c) {(1, 0, a), (a, 1, 0), (0, a, 1)}(b) {(0, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} (d) {(1, 0, a), (a, 1, 0), (a, 0, 1)}

4. Estudia la dependencia o independencia lineal de los siguientes conjuntos de vectoresen P2(R):

(a){1, 1 + x, 1 + x+ x2

}(c)

{1 x2, 1 + x, x2 x, x+ x2}

(b){x, x2, x+ x2

}(d)

{1 + x2, 2 + x2

}5. Sean f, g, h : {a, b, c} R definidas como: f(a) = 0, f(b) = f(c) = 1; g(a) =

g(c) = 1, g(b) = 0; h(a) = h(b) = 1, h(c) = 0. Estudia la dependencia o indepen-dencia lineal del conjunto {f, g, h}.

6. Determina si los siguientes conjuntos de vectores son linealmente dependientes oindependientes. En el primer caso, encuentra una combinacion lineal entre ellos yun subconjunto con un numero maximo de vectores linealmente independientes.

(a) {(3, 5, 1), (2, 1, 3)} (c) {(1, 0, 1, 0), (2, 1, 3, 1), (0, 1, 1, 1), (2, 2, 4, 2)}(b) {(1, 2, 3), (1, 3, 2), (0,1, 1)} (d) {1 + 3x+ 4x2, 4 + x2, 3 + x+ 2x2} P2(R)

7. Para que valores de a el conjunto B = {(a, 1, 0), (1, a, 1), (0, 1, a)} es base de R3?Para a = 2, calcula las coordenadas del vector v = (1, 1, 3) respecto de dicha base.

8. En P3(R) se considera la base B ={1, 1 x, (1 x)2, (1 x)3}. Halla las coorde-

nadas del polinomio p = 2 3x+ x2 + 2x3 respecto de dicha base.9. En P2(R) se considera el conjunto B =

{1, x+ 3, (x+ 3)2

}. Prueba que es una base,

y halla las coordenadas del polinomio p = a+ bx+ cx2 respecto de dicha base.


10. Averigua si los vectores u = (1,1, 0) yw = (2,3, 1) pertenecen al espacio vectorialgenerado por el conjunto de vectores {v1 = (2, 5, 1),v2 = (3, 4, 1),v3 = (5, 9, 2)}.

11. Determina a y b para que el vector (2, a, 3,b) pertenezca al subespacio generadopor los vectores (2, 3, 1,5) y (0, 2,1, 3).

12. Sean los conjuntos: A = {(1, 0,1), (1, 1, 0), (0, 1, 1)}, B = {(2, 1,1), (1, 2, 1)} yC = {(2, 1,1), (1,1, 0)}. Demuestra que A y B generan el mismo subespacio, yque este no coincide con el generado por C.

13. Halla una base del espacio vectorial generado por el conjunto de vectores:

{v1 = (3, 2, 0, 5),v2 = (1, 0, 3,4),v3 = (2, 2, 3, 1),v4 = (0, 2,9, 17)}

14. Se consideran los vectores de R4: (1 + a, 1, 1, 1), (1, 1 + a, 1, 1), (1, 1, 1 + a, 1) y(1, 1, 1, 1 + a), a R. Determina, en funcion de a, la dimension y una base delespacio vectorial S que generan.

15. Halla la dimension y una base del espacio vectorial

M ={(

a+ b+ 3c 2a ba c a+ 2b+ 5c

): a, b, c R

}16. Estudia si es subespacio vectorial de R4 el conjunto de soluciones de cada uno de los

siguientes sistemas:

(a){

x1 + x2 = 0x3 + x4 = 0

(b){

x1 + x2 = 1x3 + x4 = 1

En caso afirmativo, determina una base.

17. Encuentra un sistema de generadores, una base y la dimension del subespacio vec-torial de soluciones del sistema:

x1 + 2x2 3x4 + x5 = 0x1 + 2x2 + x3 4x4 x5 = 0x2 + x3 2x4 x5 = 0x1 + x3 2x4 3x5 = 0

18. Si A =

3 1 10 3 10 0 3

, determina la dimension y una base del espacio vectorial generadopor {An : n 0}.

19. En R3 se consideran S = {(x, y, z) : x = z} y T = {(x, y, z) : x = z y}.(a) Prueba que S y T son subespacios vectoriales de R3.(b) Encuentra una base de S, y halla las coordenadas de un vector arbitrario de S

respecto de dicha base.

(c) Prueba que BT = {(0, 1, 1), (1, 1, 0)} es una base de T , y encuentra las coor-denadas de (2, 1,1) T respecto de dicha base.


20. En R4 se consideran los subespacios vectoriales:

S = L ({(1, 0, 1, 1), (1,1,1, 0), (0, 1, 2, 1)})T = {(x1, x2, x3, x4) : x1 x3 x4 = 0, x2 + x3 = 0}

Obten las ecuaciones parametricas e implcitas y una base de S + T y de S T .21. En P3(R) se consideran los conjuntos

S = {p(x) : p(1) = 0} y T = {p(x) = ax3 + bx2 + (a+ b)x+ 2b : a, b R}(a) Prueba que S y T son subespacios vectoriales.

(b) Obten las ecuaciones parametricas e implcitas y una base de S y de T .

(c) Calcula S T y S + T .22. En M22(R) se consideran los subespacios vectoriales

V1 ={(

a bb a

): a, b R

}V2 =

{(a bc a

): a, b, c R

}Halla la dimension y una base de los subespacios V1, V2, V1 + V2 y V1 V2.


S

x1 + x2 + x3 + x4 = 02x1 x2 + 2x3 x4 = 04x1 + x2 + 4x3 + x4 = 0

T

x1 = + + 2x2 = + x3 = + x4 = 3 + 3

; , , R

Halla bases y dimensiones de S, T , S + T y S T .24. En R5 se consideran los subespacios vectoriales:

U = L ({(1, 0,1, 0, 0), (2, 1, 0, 1,1), (4, 1,2, 1,1)})W = L ({(1,1, 1,1, 1), (2, 0, 0, 0, 3), (0, 1, 2, 1,1), (0,2, 2,2, 5)})

Halla bases de U , W , U +W y U W .25. En R3 se consideran los subespacios vectoriales:

U = {(x, y, z) : z = 0} y W = L ({(0, 1, 1), (2, 0, 1), (2, 1, 2)})

Halla un sistema de generadores y las dimensiones de los subespacios U , W , U +Wy U W .


S = L ({(1, 0, 2,1), (0,1, 2, 0), (2,1, 6,2)})T = L ({(1,1, 4,1), (1, 0, 0, 1), (1,2, 2, 1)})

Demuestra que dim(S + T ) = 3 y que dim(S T ) = 2.


27. En R3 se consideran los subespacios:

U = {(a, b, c) : a = c, a, b, c R}V = {(0, 0, c) : c R}W = {(a, b, c) : a+ b+ c = 0, a, b, c R}

Prueba que R3 = U + V = U +W = V +W . Cual de las sumas anteriores esdirecta?


S = L ({(1, 0, 1), (1, 1,1), (2, 1, 0)}) T = L ({(1, 0, 1), (0, 0, 1), (3, 0,1)})

Halla un subespacio U tal que R3 = S U , y T + U no sea suma directa.29. En R4 se consideran los subespacios vectoriales:

S1 = L ({(1, 0, 1, 0), (2, 1, 0, 2), (0,1, 2,2)})S2 = L ({(1, 1, 1, 0), (1,1, 1,2)})

Es S1 + S2 suma directa? Halla una base de dicha suma.

30. Determina a, b R para que el vector v = (2, a, b, 1) pertenezca al subespaciovectorial S = L ({(1, 0, 2, 0), (0,1, 1, 1)}). Obten un subespacio suplementario deS en R4.

31. En P3(R) se consideran los subespacios vectoriales:

V = L({1 + x3, 1 + x+ x2, 2x x2, 2 + 3x2})

W = L({1 + 3x2 x3, 1 + 4x+ x2 x3, 2x x2})

Demuestra que W V , y halla un suplementario de W en V .32. En P3(R) se consideran los subespacios vectoriales:

V = L({x+ x2, x x2, 2x+ x2})

W ={a+ bx+ cx2 + dx3 : b+ c = 0, 2b c = 0}

T ={a+ bx+ cx2 + dx3 : a = 0, b = , c = 0, d = + , , R}

(a) Halla V W y V +W . Son V y W suplementarios?(b) Halla una base de W T y las ecuaciones implcitas de V + T .

Soluciones

1. No.

2. (a), (b), (d) y (h) Si; (c), (e), (f) y (g) No.


3. (a) l.d.; (b) l.i.; (c) l.d. si a = 1, y l.i. si a 6= 1; (d) l.i. si a 6= 1, y l.d. sia = 1.

4. (a) y (d) l.i.; (b) y (c) l.d.

5. Son l.i.

6. (a) l.i.; (b) l.d., {v1 = (1, 2, 3),v2 = (1, 3, 2)} es l.i., y v3 = (0,1, 1) = v1 v2;(c) l.d., {v1 = (1, 0, 1, 0),v2 = (0, 1, 1, 1)} es l.i., y v3 = (2, 1, 3, 1) = 2v1 + v2 yv4 = (2, 2, 4, 2) = 2v1 + 2v2; (d) l.d.,

{p1(x) = 1 + 3x+ 4x2, p2(x) = 4 + x2

}es l.i.,

y p3(x) = 3 + x+ 2x2 = 13p1(x) +23p2(x).

7. Es base para a 6= 0 y a2 6= 2. Para a = 2, v = (12 , 0, 32)B.8. p = 2 3x+ x2 + 2x3 = (2,5, 7,2)B.9. p = a+ bx+ cx2 = (a 3b+ 9c, b 6c, c)B.10. u L ({v1,v2,v3}), siendo u = v1 + v2, y w 6 L ({v1,v2,v3}).11. a = 1 y b = 11.12. L(A) = L(B) = L ({(1, 0,1), (0, 1, 1)}) = S, y L(C) 6= S porque (1,1, 0) 6 S.13. B = {(3, 2, 0, 5), (0, 2, 9,7), (0, 0, 3,4)}.14. Si a = 0: dimS = 1 y B = {(1, 1, 1, 1)}.

Si a = 4: dimS = 3 y B = {(1, 1, 1,3), (0, 1, 0,1), (0, 0, 1,1)}.Si a 6= 0 y a 6= 4: dimS = 4, es decir S = R4, y una base es la canonica.

15. dimM = 2 y B ={E1 =

(1 21 1

), E2 =

(0 31 1

)}.

16. (a) S, es un subespacio vectorial de dimension 2 y base {(1, 1, 0, 0), (0, 0,1, 1)}.(b) No es un subespacio vectorial.

17. Un sistema generadores y base es {(1, 1, 1, 1, 0), (1,1, 2, 0, 1)}. Su dimension es 2.

18. La dimension es 3, y la base

I =1 0 00 1 00 0 1

, B =0 1 00 0 10 0 0

, C =0 0 10 0 00 0 0

19. (b) BS = {(1, 0,1), (0, 1, 0)} y u = (a, b,a) = (a, b)BS .

(c) (2, 1,1) = (1, 2)BT

20. S + T :

x1 = x2 = x3 = + x4 = +

, , , R; x1 + x2 x4 = 0;

y BS+T = {(1, 0, 1, 1), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 0)}.

S T :

x1 = 3x2 = x3 = x4 = 2

, R;

x1 + 2x2 x3 = 0x2 x3 + x4 = 02x3 x4 = 0

; y BST = {(3,1, 1, 2)}.


21. (b) Representando p(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 = (a0, a1, a2, a3), respecto de labase usual en P3(R), entonces

S:

a0 = + a1 = a2 = a3 =

, , , R; a0 a1 + a2 a3 = 0;

y BS ={(1, 1, 0, 0) = 1 + x, (1, 0, 1, 0) = 1 + x2, (1, 0, 0, 1) = 1 + x3}.

T :

a0 = 2a1 = + a2 = a3 =

, , R;{

a0 2a2 = 0a1 a2 a3 = 0 ;

y BT ={(0, 1, 0, 1) = x+ x3, (2, 1, 1, 0) = 2 + x+ x2

}.

(c) S T :

a0 = 2a1 = 2a2 = a3 =

, R;

a0 a1 + a2 a3 = 0a0 2a2 = 0a1 a2 a3 = 0

;

y BST ={(2, 2, 1, 1) = 2 + 2x+ x2 + x3

}.

S + T = P3(R).

22. dimV1 = 2, y BV1 ={(

1 00 1

),

(0 11 0

)}.

dimV2 = 3, y BV2 ={(

1 00 1

),

(0 10 0

),

(0 01 0

)}.

dim (V1 + V2) = 4, luego V1 + V2 =M22(R) y una base es la usual.dim (V1 V2) = 1, y BV1V2 =

{(0 11 0

)}.

23. dimS = 2, y BS = {(1, 0,1, 0), (0, 1, 0,1)}.dimT = 2, y BT = {(2, 1, 0, 3), (1, 0, 1, 0)}.dim(S + T ) = 3, y BS+T = {(1, 0,1, 0), (0, 1, 0,1), (0, 0, 1, 2)}.dim(S T ) = 1, y BST = {(1, 0,1, 0)}.

24. BU = {(1, 0,1, 0, 0), (0, 1, 2, 1,1)}.BW = {(1,1, 1,1, 1), (0, 1, 2, 1,1), (0, 0, 2, 0, 1)}.BU+W = {(1, 0,1, 0, 0), (0, 1, 2, 1,1), (0, 0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 0, 1)}.BUW = {(0, 1, 2, 1,1)}.

25. dimU = 2, y BU = {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}.dimW = 2, y BW = {(2, 0, 1), (0, 1, 1)}.dim(U +W ) = 3, luego U +W = R3 y BU+W = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}.dim(U W ) = 1, y BUW = {(2,1, 0)}.

26. dimS = 2, dimT = 3, y dim(S + T ) = 3, de donde dim(S T ) = 2. Por lo tantoS + T = T y S T = S, es decir S T .

27. R3 = U V = V W , y la suma U +W no es directa.28. U = L ({(0, 0, 1)}).29. La suma S1 + S2 no es directa. BS1+S2 = {(1, 0, 1, 0), (0, 1,2, 2), (0, 0, 1,1)}.


30. a = 1 y b = 5. R4 = S T , con T = L ({(0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}).31. W V , y V =W U con U = L ({3x2 2x3}).32. (a) V W = {0} y V +W = P3(R), luego V y W son suplementarios.

(b) BWT ={x3}. Las ecuaciones implcitas de V + T son a = 0.


2 Espacios vectoriales

2.1 Espacio vectorial

Un espacio vectorial sobre un cuerpo K (en general R o C) es un conjunto V 6= sobre el quehay definidas dos operaciones:

1. Suma:

+ :V V V(u,v) u+ v

verificando las siguientes propiedades:

(a) Conmutativa: u+ v = v + u, u,v V .(b) Asociativa: (u+ v) +w = u+ (v +w), u,v,w V .(c) Elemento neutro: Existe 0 V tal que u+ 0 = 0+ u = u, u V .(d) Elemento opuesto: Para todo u V existe u V tal que u+(u) = (u)+u = 0

2. Producto por un escalar:

:K V V(,u) u

verificando las siguientes propiedades:

(a) 1 u = u, u V .(b) ( u) = () u, , K, u V .(c) (+ ) u = u+ u, , K, u V .(d) (u+ v) = u+ v, K, u,v V .

Los elementos de un espacio vectorial se llaman vectores.Un espacio vectorial real es un espacio vectorial sobre el cuerpo R de los numeros reales.

Nota: En lo sucesivo, siempre que no haya confusion se omitira el punto () en la operacionproducto por escalar.

Ejemplos

Son espacios vectoriales reales, con las operaciones que se indican, los siguientes:

1. El conjunto de n-uplas de numeros reales:

Rn = {x = (x1, x2, . . . , xn) = (xi)1in : xi R, 1 i n}

con las operaciones:

x+ y = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)x = (x1, x2, . . . , xn)


2. El conjunto de matrices de dimension nm:

Mnm(R) ={A = (aij) 1in

1jm: aij R, 1 i n, 1 j m

}con las operaciones: suma de matrices y producto por numeros reales.

3. El conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales en la variable x:

P(R) ={

nk=0

akxk : n N, ak R

}

con las clasicas operaciones de suma y producto por numeros reales.

4. El conjunto de todos los polinomios, con coeficientes reales en la variable x, de gradomenor o igual que n:

Pn(R) ={

nk=0

akxk : ak R

}con las mismas operaciones anteriores.

5. El conjunto de todas las funciones reales:

F(R) = {f : R R}

con las operaciones: suma de funciones y producto por numeros reales.

6. El conjunto de todas las sucesiones de numeros reales:

S = {(xn)n=0 : xn R, n 1}

con las operaciones: suma de sucesiones y producto por numeros reales.

7. Si Z2 = {0, 1}, entonces Zn2 es un espacio vectorial sobre el cuerpo Z2, con las operaciones:

0 + 0 = 1 + 1 = 0 , 0 + 1 = 1 + 0 = 1 y 0 0 = 0 1 = 1 0 = 0 , 1 1 = 1

2.2 Propiedades

Si V es un espacio vectorial, entonces

1. 0 u = 0.2. (1) u = u.

para todo u V .

2.3 Subespacio vectorial

Se llama subespacio vectorial de un espacio vectorial V a cualquier subconjunto no vacoS V que es espacio vectorial con las mismas operaciones definidas sobre V .


2.4 Caracterizacion de subespacios vectoriales

Si V es un espacio vectorial y S V , S 6= , entonces

S es subespacio vectorial de V {(1) u+ v S, u,v S(2) u S, K y u S

Demostracion:() Evidente, pues S es espacio vectorial.() (1) y (2) garantizan que las operaciones estan bien definidas sobre S, al ser este un conjuntocerrado respecto de ellas. Ademas, por ser S un subconjunto de V , se verifican todas laspropiedades de la suma y el producto siempre que sea cierto que 0 S y que el opuesto decualquier elemento de S esta en S. Ahora bien, para cualquier u S,

0 = 0 u S y u = (1) u Sluego S es un subespacio vectorial de V .

2.5 Corolario

Si V es un espacio vectorial y S V , S 6= , entoncesS es subespacio vectorial de V u+ v S , , K , u,v S

Ejemplos

1. En todo espacio vectorial V , el conjunto {0} es un subespacio vectorial llamado subespa-cio trivial.

2. Sea F(R) = {f : R R} el espacio vectorial de las funciones reales. Son subespaciosvectoriales:

S1 = {f F(R) : f(0) = 0} S2 = {f F(R) : f continua}S3 = {f F(R) : f acotada} S4 = {f F(R) : f derivable}

y no lo son

S5 = {f F(R) : f(x) > 0, x R} S6 = {f F(R) : |f(x)| 1, x R}

3. Son subespacios vectoriales del espacio vectorial P(R), de todos los polinomios en x concoeficientes reales, los siguientes:

S1 ={p P(R) : p(0) = 0} S2 = {p P(R) : a0 = a1 = 0}

donde a0 y a1 son los coeficientes de grado 0 y 1, respectivamente. No son subespaciosvectoriales:

S3 = {p P(R) : grado(p) = 4} S4 = {p P(R) : el grado de p es par}

4. En el espacio vectorial de todas las matrices cuadradas de orden n, el subconjunto de lasmatrices simetricas es un subespacio vectorial, y no lo son el subconjunto de las matricesregulares ni el de las matrices singulares.


5. El conjunto de soluciones del sistema homogeneo Ax = 0, A Mmn(R), es un subespaciovectorial de Rn.

6. Son subespacios vectoriales de M22(R):

S1 ={(

0 ab 0

): a, b R

}S2 =

{(0 aa 0

): a R

}y no lo es

S3 ={(

0 1a 0

): a R

}2.6 Combinacion lineal

Sea V un espacio vectorial. Se dice que v V es combinacion lineal de los vectores{v1,v2, . . . ,vn} V , si existen 1, 2, . . . , n K tales que

v =ni=1

ivi

Ejemplos

1. En R3, para averiguar si el vector v = (1, 2, 3) es combinacion lineal de v1 = (1, 1, 1),v2 = (2, 4, 0) y v3 = (0, 0, 1), se plantea la ecuacion vectorial:

(1, 2, 3) = (1, 1, 1) + (2, 4, 0) + (0, 0, 1)

que equivale al siguiente sistema de ecuaciones, cuyas soluciones son las que se indican:+ 2 = 1+ 4 = 2 + = 3

=

= 0 = 1/2 = 3

Luego v = 0v1+ 12v2+3v3, y el vector v es combinacion lineal de {v1,v2,v3} (y tambiende {v2,v3}).

2. En M22(R), para averiguar si la matriz A =( 1 0

2 4

)es combinacion lineal de A1 =(

1 12 2

)y A2 =

(3 23 5

), se plantea la ecuacion matricial:

( 1 02 4

)=

(1 12 2

)+

(3 23 5

)=

+ 3 = 1+ 2 = 02+ 3 = 22+ 5 = 4

Este sistema es incompatible, luego A no es combinacion lineal de {A1, A2}.


2.7 Dependencia e independencia lineal de vectores

Sea V un espacio vectorial. Se dice que el conjunto de vectores {v1,v2, . . . ,vn} V es li-nealmente dependiente si y solo si existen 1, 2, . . . , n K, con algun i 6= 0, tales quen

i=1 ivi = 0. En caso contrario, se dice que el conjunto {v1,v2, . . . ,vn} es linealmenteindependiente.

Para estudiar si un conjunto de vectores {v1,v2, . . . ,vn} es linealmente dependiente o inde-pendiente, se plantea la ecuacion

ni=1

ivi = 0

y se estudian sus soluciones. Si admite alguna solucion no nula el conjunto de vectores eslinealmente dependiente, y si solo admite la solucion nula es linealmente independiente.

Ejemplos

1. En R4, los vectores v1 = (1, 0,1, 2), v2 = (1, 1, 0, 1) y v3 = (2, 1,1, 1) son linealmenteindependientes, pues

v1 + v2 + v3 = 0 =

+ + 2 = 0

+ = 0 = 02+ + = 0

= = = = 0

2. En R4, los vectores v1, v2, y v3, del ejemplo anterior, y v4 = (1, 0,1, 4) son linealmentedependientes, pues

v1 + v2 + v3 + v4 = 0 =

+ + 2 + = 0

+ = 0 = 02+ + + 4 = 0

=

= 2t = t = t = t

, t R

que admite soluciones no nulas. Por ejemplo, para t = 1, 2v1 + v2 v3 v4 = 0.

2.8 Propiedades

En un espacio vectorial V se cumplen las siguientes propiedades:

1. {v} linealmente dependiente v = 02. 0 A V = A es linealmente dependiente3. {u,v} linealmente dependiente u = v (son proporcionales)4. A linealmente independiente y B A = B es linealmente independiente5. A linealmente dependiente y A B = B es linealmente dependiente6. A linealmente dependiente Existe v A que es combinacion lineal de A \ {v}7. A linealmente independiente No existe v A que sea combinacion lineal de A \ {v}


2.9 Lema

Si V es un espacio vectorial y A = {v1, . . . ,vm} V , entonces

L(A) =

{mi=1

ivi : i K}

es un subespacio vectorial de V , que se llama subespacio generado por A. El conjunto A sellama sistema de generadores de L(A).Demostracion: Si u =

mi=1 ivi L(A), v =

mi=1 ivi L(A), y , K, entonces

u+ v =mi=1

(i + i)vi L(A)

Ejemplos

1. Si V = R3 y A = {v1 = (1, 0, 1),v2 = (1, 1,1)}, entoncesL(A) = {v = v1 + v2 : , R} = {v = (+ , , ) : , R}

Las ecuaciones x = + y = z =

; , R

se llaman ecuaciones parametricas de L(A). Las ecuaciones parametricas son utilespara obtener, dando valores reales a los parametros y , los diferentes vectores de L(A).As, por ejemplo, para = 2 y = 1 se obtiene el vector v = (1,1, 3) L(A).Eliminando parametros en las ecuaciones parametricas, se obtiene:

x 2y z = 0que se llaman ecuaciones implcitas de L(A) (en este caso solo una). Las ecuacionesimplcitas son utiles para comprobar si un determinado vector pertenece a L(A) (el vectordebe verificar todas las ecuaciones). Por ejemplo, el vector (3, 1, 1) L(A) pues 3211 =0, y el vector (1, 2, 1) 6 L(A), pues 1 2 2 1 6= 0.

2. En R4, las ecuaciones parametricas e implcitas del subespacio generado por

A = {v1 = (1,1, 1,1),v2 = (1, 2,1, 3)}son

x1 = + x2 = + 2x3 = x4 = + 3

; , R ={

x1 2x2 3x3 = 0x1 2x3 x4 = 0

2.10 Propiedades

Si A y B son dos subconjuntos finitos de un espacio vectorial V , entonces:

1. A B = L(A) L(B).2. A L(B) L(A) L(B).3. L(A) = L(B) A L(B) y B L(A).


2.11 Proposicion

Sea V un espacio vectorial y {v1, . . . ,vm} V . Si vm es combinacion lineal de {v1, . . . ,vm1},entonces

L ({v1, . . . ,vm}) = L ({v1, . . . ,vm1})Demostracion:() Si v L ({v1, . . . ,vm1}), entonces

v =m1i=1

ivi =m1i=1

ivi + 0vm L ({v1, . . . ,vm})

() Sea vm =m1

i=1 ivi. Si v L ({v1, . . . ,vm}), entonces

v =mi=1

ivi =m1i=1

ivi + mm1i=1

ivi =m1i=1

(i + mi)vi L ({v1, . . . ,vm1})

2.12 Base de un espacio vectorial

Se llama base de un espacio vectorial (o subespacio vectorial) a cualquiera de sus sistemas degeneradores que este formado por vectores linealmente independientes.

2.13 Teorema de la base

Todo espacio vectorial V 6= {0} (o subespacio vectorial) con un sistema de generadores finitoposee al menos una base.Demostracion: Sea Am = {v1, . . . ,vm} un sistema de generadores de V . Si Am es linealmenteindependiente, entonces B = Am es una base de V . En caso contrario habra un vector, que sepuede suponer vm, que es combinacion lineal de los restantes, por lo que

V = L (Am) = L (Am1) con Am1 = {v1, . . . ,vm1}

Si Am1 es linealmente independiente, entonces B = Am1 es una base de V . En caso contrario,se repite el razonamiento anterior hasta llegar a algun Ai = {v1, . . . ,vi} que sea linealmenteindependiente y que sera la base.El final del proceso anterior esta asegurado pues, en el peor de los casos, despues de m1 pasosse llegara a A1 = {v1} con v1 6= 0 (pues L(A1) = V 6= {0}), y este sera la base.

2.14 Coordenadas respecto de una base

Si B = {v1, . . . ,vn} es una base del espacio vectorial V , entonces para todo v V se tiene que

v = x1v1 + . . .+ xnvn =ni=1

xivi

Se llaman coordenadas de v respecto de la base B a la n-upla (x1, . . . , xn) Kn, y se indica

v = (x1, . . . , xn)B


2.15 Unicidad de las coordenadas

En un espacio vectorial, las coordenadas de un vector respecto de una base finita son unicas.Demostracion: Si B = {v1, . . . ,vn} es una base de V , y v V , entonces{

v = (x1, . . . , xn)B =n

i=1 xiviv = (x1, . . . , xn)B =

ni=1 x

ivi

=ni=1

(xi xi)vi = 0 = xi = xi , 1 i n

ya que los vectores de B son linealmente independientes. Luego las coordenadas de cualquiervector respecto de la base son unicas.

2.16 Bases usuales

En cada uno de los siguientes espacios vectoriales, la base usual es la que se indica:

1. En Rn,

Bc = {e1 = (1, 0, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, 0, . . . , 1)}que tambien se llama base canonica.

2. En Mnm(R), B =

=

E1 =

1 0 00 0 0...

......

0 0 0

, E2 =

0 1 00 0 0...

......

0 0 0

, . . . , Enm =

0 0 00 0 0...

......

0 0 1

3. En Pn(R),B =

{1, x, x2, . . . , xn

}Siempre que no haya confusion, se suele omitir la indicacion de la base en la expresion de lascoordenadas respecto de las bases usuales.

2.17 Uso de operaciones elementales para obtencion de bases

Sea V = Rn y A = {v1, . . . ,vm} V . Si se representa tambien por A la matriz cuyas filas sonlos vectores de A, y Ar es una matriz reducida de A, entonces una base de L(A) esta formada porlos vectores correspondientes a las filas no nulas de Ar. Si la matriz reducida que se consideraes la escalonada, la base que se obtiene es la mas sencilla posible.

Todo lo anterior es igualmente valido cuando V es un espacio vectorial arbitrario con basefinita, y sus vectores vienen expresados por sus coordenadas respecto de dicha base.

Ejemplos

1. Si A = {v1 = (1, 3, 4),v2 = (2,1, 1),v3 = (3, 2, 5),v4 = (5, 15, 20)} R3, entonces1 3 42 1 13 2 55 15 20

1 3 40 7 70 7 70 0 0

1 3 40 1 10 0 00 0 0


y B = {u1 = (1, 3, 4),u2 = (0, 1, 1)} es una base de L(A). Para hallar las coordenadas delvector v = (2,1, 1) respecto de dicha base, se procede as:

v = u1 + u2 = (2,1, 1) = (1, 3, 4) + (0, 1, 1) =

= 23+ = 14+ = 1

{

= 2 = 7

de donde v = 2u17u2 = (2,7)B. En referencia a esta base, las ecuaciones parametricase implcitas de L(A) son:

x = y = 3+ z = 4+

; , R = x+ y z = 0

2. Antes de proceder a hallar una base del subespacio generado por

A ={p1 = 1 x3,p2 = x x3,p3 = 1 x,p4 = 1 + x 2x3

} P3(R)se expresan los vectores (polinomios) respecto de la base usual:

A = {p1 = (1, 0, 0,1),p2 = (0, 1, 0,1),p3 = (1,1, 0, 0),p4 = (1, 1, 0,2)}

Entonces 1 0 0 10 1 0 11 1 0 01 1 0 2

1 0 0 10 1 0 10 1 0 10 1 0 1

1 0 0 10 1 0 10 0 0 00 0 0 0

y una base de L(A) es:

B ={q1 = (1, 0, 0,1) = 1 x3,q2 = (0, 1, 0,1) = x x3

}Para hallar las coordenadas del polinomio p = 1 + 2x x3 = (1, 2, 0,1) respecto dedicha base, se procede as:

p = (1, 2, 0,1) = (1, 0, 0,1) + (0, 1, 0,1) =

= 1

= 20 = 0

= 1{

= 1 = 2

de donde p = q1 + 2q2 = (1, 2)B. En referencia a esta base, y representando unpolinomio arbitrario por p = a+ bx+ cx2 + dx3 = (a, b, c, d), las ecuaciones parametricase implcitas de L(A) son:

a = b = c = 0d =

; , R ={

a+ b+ d = 0c = 0


3. Antes de proceder a hallar una base del subespacio generado en M22(R) por A =

={M1 =

(1 10 1

),M2 =

(0 01 1

),M3 =

(2 22 2

),M4 =

(3 35 3

),M5 =

(1 13 1

)}se expresan los vectores (matrices) respecto de la base usual:

A ={

M1 = (1,1, 0,1),M2 = (0, 0, 1, 1),M3 = (2,2, 2,2),M4 = (3, 3, 5, 3),M5 = (1, 1, 3, 1)

}Entonces

1 1 0 10 0 1 12 2 2 23 3 5 31 1 3 1

1 1 0 10 0 1 10 0 2 00 0 5 00 0 3 0

1 1 0 10 0 1 00 0 0 10 0 0 00 0 0 0

1 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 00 0 0 0

y una base de L(A) es B ={N1 = (1,1, 0, 0) =

(1 10 0

), N2 = (0, 0, 1, 0) =

(0 01 0

), N3 = (0, 0, 0, 1) =

(0 00 1

)}Puesto que la base se ha obtenido llegando hasta la matriz escalonada, ahora es muchomas facil obtener las coordenadas de una matriz respecto de ella. De esta manera

M =(2 23 2

)= (2,2, 3,2) = 2N1 + 3N2 2N3 = (2, 3,2)B

En referencia a esta base, y representando una matriz arbitraria por

M =(a bc d

)= (a, b, c, d)

las ecuaciones parametricas e implcitas de L(A) son:a = b = c = d =

; , , R = a+ b = 0

2.18 Proposicion

Si V 6= {0} es un espacio vectorial con una base formada por n vectores, entonces cualquierconjunto de n+ 1 vectores es linealmente dependiente.Demostracion: Sea B = {v1, . . . ,vn} una base de V y A = {u1, . . . ,un,un+1} V , con

ui =nj=1

aijvj = (ai1, ai2, . . . , ain)B , 1 i n+ 1


Para que una combinacion lineal de los vectores de A sea igual al vector cero, se ha de cumplir:

n+1i=1

iui =

(n+1i=1

ai1i,

n+1i=1

ai2i, . . . ,

n+1i=1

aini

)= 0

n+1

i=1 ai1i = 0n+1i=1 ai2i = 0

...n+1i=1 aini = 0

que es un sistema lineal homogeneo de n ecuaciones con n + 1 incognitas, y tiene por tantoinfinitas soluciones (1, 2, . . . , n+1) 6= (0, 0, . . . , 0). Luego A es linealmente dependiente.

2.19 Teorema del cardinal o de la dimension

Todas las bases de un espacio vectorial V 6= {0} tienen el mismo numero de elementos (cardinal).Demostracion: Sean B1 = {v1, . . . ,vn} y B2 = {u1, . . . ,um} dos bases de V . Puesto que B1es base y B2 es linealmente independiente, m n, y puesto que B2 es base y B1 es linealmenteindependiente, n m. Luego m = n.

2.20 Dimension de un espacio vectorial

Se llama dimension de un espacio vectorial V 6= {0}, que se representa por dimV , al cardinalde una cualquiera de sus bases. La dimension de V = {0} es cero.

Observacion: Una base de un espacio vectorial V 6= {0} de dimension n esta formada porcualesquiera n vectores linealmente independientes.

2.21 Teorema de extension de la base

Sea V 6= {0} un espacio vectorial de dimension n y A = {v1, . . . ,vr} V un conjunto li-nealmente independiente de r < n vectores. Entonces existen {vr+1, . . . ,vn} V tales que{v1, . . . ,vr,vr+1, . . . ,vn} es base de V .Demostracion: Puesto que A es linealmente independiente y su cardinal es r < n, A noes sistema de generadores de V , luego existira vr+1 V tal que vr+1 6 L(A). EntoncesA1 = A {vr+1} es linealmente independiente.Si r + 1 = n, A1 es base. En caso contrario, se repite el proceso anterior para obtener A2linealmente independiente con r + 2 vectores, y as sucesivamente.

2.22 Interpretacion geometrica de subespacios

Sean V = Rn y S Rn es un subespacio vectorial.1. Si dimS = 0, S = {0} es un punto (el origen).2. Si dimS = 1, S = L({u}) es la recta que pasa por el origen con vector de direccion u.3. Si dimS = 2, S = L({u,v}) es el plano que pasa por el origen con vectores de direccionu y v.

4. Si 2 < k = dimS < n 1, S es un k-plano que pasa por el origen.5. Si dimS = n 1, S es un hiperplano que pasa por el origen.6. Si dimS = n, S = Rn es todo el espacio.


2.23 Suma e interseccion de subespacios

Si S y T son dos subespacios vectoriales, de un mismo espacio vectorial V , se define su inter-seccion y suma como

S T = {v V : v S y v T} y S + T = {u+ v V : u S y v T}

respectivamente. Los conjuntos S T y S + T son subespacios vectoriales.

Ejemplo

Sean S = {(x, y, z) : y = 0} y T = {(x, y, z) : x z = 0} dos subespacios vectoriales de R3.Los vectores de S T son aquellos que estan S y T , por lo que sus ecuaciones implcitas son launion de las de ambos subespacios. Por lo tanto, las ecuaciones y una base de S T son

{y = 0x z = 0 =

x = y = 0z =

; R = BST = {(1, 0, 1)}

Un sistema de generadores de S + T es la union de una base de S con otra de T . Puesto queBS = {(1, 0, 0), (0, 0, 1)} y BT = {(0, 1, 0), (1, 0, 1)}, entonces

1 0 00 0 10 1 01 0 1

1 0 00 1 00 0 10 0 0

= BS+T = {e1, e2, e3} = S + T = R3Se puede observar que la representacion de un vector de S + T como suma de un vector de S yotro de T no es unica. Por ejemplo,

u = (1, 1, 1) = (1, 0, 1) + (0, 1, 0) = (3, 0, 3) + (2, 1,2)

siendo, en cada suma, el primer vector de S y el segundo de T .

2.24 Suma directa de subespacios

Si S y T son dos subespacios vectoriales, de un mismo espacio vectorial V , se dice que S + T essuma directa de los subespacios S y T , que se representa por S T , si es unica la expresionde cada vector de la suma como un vector de S mas otro de T .

2.25 Caracterizacion de la suma directa

Sean S y T dos subespacios vectoriales de V . Entonces

La suma de S y T es directa S T = {0}

Demostracion:() Si S T 6= {0}, entonces existe v 6= 0 con v S T , de donde v = v + 0 = 0 + v, y lasuma no sera directa.() Si u = v1+w1 = v2+w2, entonces v1v2 = w2w1 ST , luego v1v2 = w2w1 = 0de donde v1 = v2 y w1 = w2, y la suma sera directa.


2.26 Formula de la dimension

Sean S y T subespacios vectoriales de un espacio vectorial V de dimension finita. Entonces

dim(S T ) + dim(S + T ) = dimS + dimTDemostracion: Si dimS = n, dimT = m, dim(S T ) = r y {v1, . . . ,vr} es una base de S T ,usando el teorema de extension de la base, sean

BS = {v1, . . . ,vr,vr+1, . . . ,vn} y BT = {v1, . . . ,vr,wr+1, . . . ,wm}bases de S y T , respectivamente. Para demostrar la formula de la dimension, es suficientedemostrar que

B = {v1, . . . ,vr,vr+1, . . . ,vn,wr+1, . . . ,wm}es una base de S + T . En primer lugar, B es linealmente independiente:

ni=1

ivi +m

j=r+1

jwj = 0 =m

j=r+1

jwj = ni=1

ivi S T =m

j=r+1

jwj =r

j=1

jvj

=r

j=1

jvj m

j=r+1

jwj = 0 = j = 0 , 1 j m = j = 0 , r + 1 j m

pues BT es base de T , y entonces

ni=1

ivi = 0 = i = 0 , 1 i n

pues BS es base de S. Finalmente, B es sistema de generadores de S + T , pues si u S + Tentonces

u =ni=1

ivi +ri=1

ivi +m

i=r+1

iwi =ri=1

(i + i)vi +n

i=r+1

ivi +m

i=r+1

iwi

Ejemplo

En R4 se consideran los subespacios vectoriales

S = L ({(1, 0,1, 2), (0, 1, 1, 0)}) y T = L ({(1, 0, 1,1), (0, 1,1, 3)})Puesto que

1 0 1 20 1 1 01 0 1 10 1 1 3

1 0 1 20 1 1 00 0 2 30 0 2 3

1 0 1 20 1 1 00 0 2 30 0 0 0

una base de S + T es BS+T = {(1, 0,1, 2), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 2,3)}, y sus ecuaciones son:

x1 = x2 = x3 = + + 2x4 = 2 3

;, , R = x1 + 3x2 3x3 2x4 = 0


Usando la formula de la dimension, dim(S T ) = 2+ 2 3 = 1. Las ecuaciones implcitas de Sy T son

S

x1 = x2 = x3 = + x4 = 2

;, R ={

x1 x2 + x3 = 02x1 x4 = 0

T

x1 = x2 = x3 = x4 = + 3

;, R ={

x1 x2 x3 = 0x1 3x2 + x4 = 0

y las ecuaciones y base de S T sonx1 x2 + x3 = 02x1 x4 = 0x1 x2 x3 = 0x1 3x2 + x4 = 0

=

x1 x2 = 02x2 x4 = 0x3 = 0

=

x1 = x2 = x3 = 0x4 = 2

; R = BST = {(1, 1, 0, 2)}

2.27 Subespacios suplementarios

Dos subespacios S y T de un espacio vectorial V se llaman suplementarios si V = S T .Si S T = U V , se dice que S y T son suplementarios en U .

Si V = S T , entonces dimV = dimS + dimT . Ademas,{ {v1, . . . ,vr} base de S{vr+1, . . . ,vn} base de T = {v1, . . . ,vr,vr+1, . . . ,vn} base de V

y tambien:{ {v1, . . . ,vr} base de S{v1, . . . ,vr,vr+1, . . . ,vn} base de V = L ({vr+1, . . . ,vn}) es suplementario de S


Tema 3: Geometra afn

Ejercicios

1. Sean P (1, 1, 1), Q(0, 1, 2), u = (1, 2, 0) y v = (1,1,1). Halla las ecuacionesparametricas e implcitas de las siguientes rectas:

(a) Recta que pasa por P con vector de direccion u v.(b) Recta que pasa por P y Q.

(c) Recta que pasa por Q con vector de direccion 3v.

2. Halla las ecuaciones de la recta que pasa por el punto (1, 1, 1) y es paralela a la recta

r {

3x y + z = 1x+ y 3z = 0 .

3. Sean P (1, 2, 3), Q(1,2,3), R(0, 1,1), u = (0, 1,1) y v = (5, 1, 2). Halla lasecuaciones parametricas e implcitas de los siguientes planos:

(a) Plano que pasa por P , Q y R.

(b) Plano que pasa por P y R, y es paralelo a la recta que pasa por Q con vectorde direccion u v.

(c) Plano que contiene a R con subespacio de direcciones L ({u+ 2v, 2u+ v}).4. Halla las ecuaciones parametricas e implcitas de las siguientes variedades afines:

(a) Recta que pasa por P (1/2,1, 2) y es paralela a s x21 = y+12 = z1/23 .(b) Recta paralela a la recta s del apartado anterior y que pasa por el origen.

(c) Plano paralelo al eje OY que pasa por los puntos (2,1, 4) y (3, 0,1).(d) Plano paralelo al plano 3x + 4y + z = 7 que corta al eje OX en el punto

x = 2.(e) Plano paralelo al plano x+ y + 3z = 8 que pasa por el punto (2,1, 0).(f) Plano paralelo al plano 2x3y+6z = 7 y que pasa por el punto de interseccion

de los planosx z = 1 ; y 2z = 1 ; 3x y = 2

(g) Recta que pasa por (1,1, 2) y es paralela a los planos

pi x 3y + 2z = 1

x = 1 3+ y = 2z = 2 +

; , R

5. Halla la recta que pasa por (1,1, 0) y (2, 1, 1), y su punto de interseccion con elplano 3x y + z = 0.

6. Halla la ecuacion del plano que contiene a la recta r x = y12 = z+3 y es paraleloa la recta

{2x+ y + z = 1x y + 2z = 0 .


7. Sea r la recta que para por (1, 1, 0) y (3, 2, 1), y s la recta que pasa por (1, 0,1)con subespacio de direcciones {(x, y, z) : x+ y = 0, 2y + z = 0}. Prueba que se cor-tan y halla la ecuacion del plano que determinan.

8. Obten las ecuaciones implcitas de la recta paralela a t x = y = z y que se apoyaen las rectas r

{x z = 1y + 3z = 2

y s {

x 5z = 4y 4z = 3 .

9. Determina la posicion relativa, y la interseccion en su caso, de los siguientes paresde rectas:

(a) (x, y, z) = (1, 2, 1) + (4, 3, 2) y (x, y, z) = (0, 1, 0) + (1, 3, 2).(b) x+45 =

y32 =

z+14 y

x+95 =

y13 =

z32 .

(c){

2x 3y z = 3x 3y = 4 y

{x+ y = 2y z = 1 .

10. Halla la interseccion de los siguientes pares de planos:

(a) x y + z = 1 y 2x+ 2y 3z = 4.(b) (x, y, z) = (1, 1,1)+(0, 1,2) y (x, y, z) = (0, 1, 0)+(0, 1,1)+(2, 3, 5).

11. Averigua la posicion relativa de los siguientes planos:

pi1 2x+ 2y z = 1 pi3 4y + 7z = 3pi2 x y 4z = 2 pi4 2x+ 2y z = 3

12. En R4, halla la ecuacion del hiperplano paralelo a x1 2x2+x3x4 = 0 y que pasapor el punto P (0, 1, 1, 1).

13. Halla, segun los valores del parametro a R, la interseccion de los planos:

pi1 {

x1 + x4 = 0x2 x3 = 1

pi2 (x1, x2, x3, x4) = (0, 0, 1,1) + L ({(a, 2, 2,4), (1, 0, 1, 0)})14. Halla el valor de a para que los planos

pi1

x1 = a+ 3+ 2x2 = 1 x3 = 4 + x4 = 6 + 5+ 2

pi2

x1 = 2 + + 2x2 = 1x3 = 1 + + x4 = 3

tengan interseccion no vaca.

15. Halla la ecuacion de un hiperplano que pase por P (1,1, 0, 0) y Q(1, 0, 0, 1), y quesea paralelo al plano pi (1, 0, 1, 0) + L ({(2,1,1, 1), (1, 1, 2, 0)}).

16. Halla la ecuacion de una recta que pase por el punto P (2,1, 1, 1) y que no corte alplano

pi (x1, x2, x3, x4) = (1, 0, 0,1) + L ({(0, 1,1, 0), (2, 1, 0,2)})Halla la ecuacion implcita de un hiperplano que contenga a pi y a la recta.


Soluciones

1. (a)

x = 1 2y = 1 + 3z = 1 +

, R; y{

x+ 2z = 3y 3z = 2

(b)

x = 1 y = 1z = 1 +

, R; y{

x+ z = 2y = 1

(c)

x = y = 1 z = 2

, R; y{

x+ y = 1x+ z = 2

2. x = 1 + , y = 1 + 5, z = 1 + 2; R.

3. (a)

x = y = 1 + 3z = 1 + 4 2

, , R; y 5x y z = 0

(b)

x = + 5y = 1 + z = 1 + 4+ 3

, , R; y 3x+ 17y 5z = 22

(c)

x = 10+ 5y = 1 + 3+ 3z = 1 + 3

, , R; y 3x 5y 5z = 0

4. (a)

x = 1/2 y = 1 + 2z = 2 3

, R; y{

2x+ y = 03y + 2z = 1

.

(b)

x = y = 2z = 3

, R; y{

2x+ y = 03y + 2z = 0

.

(c)

x = 3 + y = + z = 1 5

, , R; y 5x+ z = 14.

(d)

x = y = z = 6 3 4

, , R; y 3x+ 4y + z = 6.

(e)

x = 1 3y = z =

, , R; y x+ y + 3z = 1.

(f)

x = 3y = 3 + 2+ 2z =

, , R; y 2x 3y + 6z = 9.

(g)

x = 8 7y = z = 2

, R; y{

x 3y + 2z = 8x+ 3y + 5z = 8

.

5. x = 1 + 3, y = 1 2, z = , R. P (1/5,1/5, 2/5).6. x 2y + 3z = 11.


7. r s = {(1, 0,1)}. 3x+ 5y + z = 2.

8.{

4x 4y = 23x z = 1 .

9. (a) y (c) Se cruzan. (b) Se cortan en el punto (9, 1, 3).10. (a) (x, y, z) = (2, 3, 2) + (1, 5, 4); (b) (x, y, z) = (0,1, 2) + (1,3, 7).11. pi1 pi2 pi3 = r x19 = y+17 = z14 ; pi4 pi1; y pi4 pi2 = s1 y pi4 pi3 = s2 con

s1 s2.12. x1 2x2 + x3 x4 = 2.

13. pi1 pi2 ={ (se cruzan) , si a = 4P(a+8a4 ,

6a4 ,

10aa4 ,

a8a4

), si a 6= 4.

14. a = 6.

15. 3x1 + 7x2 2x3 x4 = 4.16. Recta: (x1, x2, x3, x4) = (2,1, 1, 1) + (0, 1,1, 0).

Hiperplano: 2x1 6x2 6x3 x4 = 3.


3 Geometra afn

3.1 Variedad o subespacio afn

Se llama variedad afn o subespacio afn de un espacio vectorial V a cualquier conjunto dela forma

u+ S = {u+ v : v S} Vcon u V y S un subespacio vectorial de V , que se llama subespacio de direcciones.

Si S = L ({v1, v2, . . . ,vm}), entonces

u+ S =

{u+

mi=1

ivi : i K, 1 i m} V

Se llama dimension del subespacio afn u + S a la dimension del subespacio vectorialasociado S:

dim(u+ S) = dimS

3.2 Observaciones

1. u u+ S2. 0 u+ S u S u+ S = S3. Si V = Rn, entonces

u+ S es

un punto , si dimS = 0una recta , si dimS = 1un plano , si 2 dimS < n 1un hiperplano , si dimS = n 1el espacio V = Rn , si dimS = n

3.3 Ejemplos

1. En R3, la recta que pasa por P (1,1, 0) con vector de direccion v = (1, 1, 1) es:OP + L ({v}) = {(x, y, z) = (1,1, 0) + (1, 1, 1) : R}

cuyas ecuaciones parametricas e implcitas son:x = 1 + y = 1 + z =

; R ={

x y = 2x z = 1

2. En R3, la recta que pasa por P (0, 1, 1) y Q(1, 0, 1) es:OP + L

({PQ})

= {(x, y, z) = (0, 1, 1) + (1,1, 0) : R}cuyas ecuaciones parametricas e implcitas son:

x = y = 1 z = 1

; R ={

x+ y = 1z = 1


3. En R3, el plano que pasa por P (1, 0, 0) con vectores de direccion u = (1, 1, 0) y v = (0, 0, 1)es:

OP + L ({u,v}) = {(x, y, z) = (1, 0, 0) + (1, 1, 0) + (0, 0, 1) : , R}cuyas ecuaciones parametricas e implcitas son:

x = 1 + y = z =

; , R = x y = 1

4. En R4, el hiperplano que pasa por P1(1, 0, 0, 0), P2(0, 1, 0, 0), P3(0, 0, 1, 0) y P4(0, 0, 0, 1)es:OP1 + L

({P1P2,

P1P3,

P1P4

})=

= {(x1, x2, x3, x4) = (1, 0, 0, 0) + (1, 1, 0, 0) + (1, 0, 1, 0) + (1, 0, 0, 1) : , , R}

cuyas ecuaciones parametricas e implcitas son:x1 = 1 x2 = x3 = x4 =

; , , R = x1 + x2 + x3 + x4 = 1

3.4 Igualdad de variedades afines

Sean V un espacio vectorial, S y T subespacios vectoriales de V , y u,v V . Entonces

u+ S = v + T {

S = Tu v S T

Demostracion:() Puesto que S = T y u v T :

u+ S = (u v) + v + T = v + T

()

u+ S = v + T ={u v + T = u v Tv u+ S = v u S = u v S = u v S T

y ademasS = u+ u+ S = u+ v + T = (u v) + T = T

3.5 Ejemplo

Para estudiar la igualdad de las variedades afines

A

x1 = 1 + x2 = + x3 = x4 = 1 +

B

x1 = 2 + + + x2 = + x3 = 1 + + 2x4 = + 2

C

x1 = 1 + + x2 = 2x3 = x4 = 1


se determina un vector y un subespacio de direcciones de cada una de ellas:

A = uA + SA con{uA = (1, 0, 0,1)SA = L ({(1,1, 0, 0), (0, 1, 1, 1)})

B = uB + SB con{uB = (2, 0, 1, 0)SB = L ({(1,1, 0, 0), (1, 0, 1, 1), (1, 1, 2, 2)})

C = uC + SC con{uC = (1, 0, 0,1)SC = L ({(1,1, 0, 0), (1,2,1,1)})

En primer lugar se comprueba, hallando la matriz escalonada de la matriz asociada a sus vectoresde direccion, si coinciden los subespacios vectoriales asociados:

SA (1 1 0 00 1 1 1

)

(1 0 1 10 1 1 1

)

SB 1 1 0 01 0 1 11 1 2 2

1 1 0 00 1 1 10 2 2 2

1 0 1 10 1 1 10 0 0 0

SC

(1 1 0 01 2 1 1

)

(1 1 0 00 1 1 1

)

(1 0 1 10 1 1 1

)Luego S = SA = SB = SC = L ({v1 = (1, 0, 1, 1), v2 = (0, 1, 1, 1)}) y las tres variedades afinesverifican la primera condicion. Para verificar la segunda se comprueba, mediante operacioneselementales, si las diferencias entre cada dos vectores de los que definen las variedades pertenecenal subespacio vectorial:

v1v2

. . . . . . . .uA uBuA uCuB uC

1 0 1 10 1 1 1. . . . . . . . . . . . . . . .1 0 1 12 0 0 03 0 1 1

1 0 1 10 1 1 1. . . . . . . . . . . . . .0 0 0 00 0 2 20 0 2 2

de donde uA uB S, uA uC / S y uB uC / S. Luego A = B 6= C.

3.6 Posicion relativa de variedades afines

Sean u+ S y v + T dos variedades afines en un espacio vectorial V . Entonces, si

u+ S v + T ={u+ S, se dice que u+ S esta contenida en v + T .v + T , se dice que v + T esta contenida en u+ S.

(u+ S) (v + T ) = , y S T o T S, se dice que u+ S y v + T son paralelas. (u+ S) (v + T ) = , y S 6 T y T 6 S, se dice que u+ S y v + T se cruzan.

(u+ S) (v + T ) 6=u+ Sv + T

, se dice que u+ S y v + T se cortan.


3.7 Posiciones relativas en R2 y R3

1. Sean r ur + L ({vr}) y s us + L ({vs}) dos rectas del plano R2. Entonces si

rg (vr,vs) rg (vr,vs,ur us) Posicion relativa de r y s1 1 iguales1 2 paralelas2 2 se cortan en un punto

2. Sean r ur + L ({vr}) y s us + L ({vs}) dos rectas del espacio R3. Entonces si

rg (vr,vs) rg (vr,vs,ur us) Posicion relativa de r y s1 1 iguales1 2 paralelas2 2 se cortan en un punto2 3 se cruzan

3. Sean r ur + L ({vr}) y pi upi + L ({vpi,wpi}) una recta y un plano del espacio R3.Entonces si

rg (vr,vpi,wpi) rg (vr,vpi,wpi,ur upi) Posicion relativa de r y pi2 2 la recta esta contenida en el plano2 3 paralelos3 3 se cortan en un punto

4. Sean pi upi +L ({vpi,wpi}) y u +L ({v,w}) dos planos del espacio R3. Entoncessi

rg (vpi,wpi,v,w) rg (vpi,wpi,v,w,upi u) Posicion relativa de pi y 2 2 iguales2 3 paralelos3 3 se cortan en una recta

3.8 Ejemplos

1. En R2, las rectas

r1 x y = 1 r2 {

x = 1y = + 3

r3 {

x = 1y = 3 2

verifican: r1 r2, r1 r3 = {(0, 1)}, y r2 r3 = {(3/2, 11/2)}.

2. En R3, la recta r {

x = 0y + z = 1

corta al plano pi1 yz = 1 en un punto y esta contenidaen el plano pi2 y + z = 1. Los planos se cortan en una recta. Mas concretamente:

r pi1 = {(0, 1, 0)} y pi1 pi2 {

y z = 1y + z = 1

x = y = 1z = 0

; R


3. En R3, las rectas

r1 {

x y = 0x+ z = 1

x = y = z = 1

(0, 0, 1) + L ({(1, 1,1)})

r2 {

x 2z = 1y = 1

x = 1 + 2y = 1z =

(1, 1, 0) + L ({(2, 0, 1)})

r3 {

x y = 0x+ z = 4

x = 1 + y = 1 + z = 3

(1, 1, 3) + L ({(1, 1,1)})

verifican: r1 r2 = {(1, 1, 0)}, r1 y r3 son paralelas, y r2 y r3 se cruzan.

4. En R4, el hiperplano H x1 x4 = 1 y el plano pi {

x1 x2 + x4 = 2x1 x3 + 2x4 = 1 se cortan

en la recta

H pi

x1 x4 = 1x1 x2 + x4 = 2x1 x3 + 2x4 = 1

x1 = 1 + x2 = 3 + 2x3 = 3x4 =

(1,3, 0, 0) + L ({(1, 2, 3, 1)})

5. En R4, los planos pi1 {

x1 x3 = 1x1 x4 = 1 y pi2

{x2 + x3 + x4 = 1x3 x4 = 1 se cruzan, pues su

interseccion es vaca y ninguno de los subespacios de direcciones, L ({(1, 0, 1, 1), (0, 1, 0, 0)})de pi1 y L ({(1, 0, 0, 0), (0, 2,1,1)}) de pi2, esta contenido en el otro.

6. En R4, los planos pi1 {

x1 x3 = 1x1 x4 = 1 y pi2

{x1 x4 = 2x3 x4 = 1 son paralelos, pues su

interseccion es vaca y sus subespacios de direcciones coinciden.


Tema 4: Aplicaciones lineales

Ejercicios

1. Estudia la linealidad de las siguientes aplicaciones:

(a) f : R2 R3, definida por f(x, y) = (x+ y, x y, x).(b) f : R R2, definida por f(x) = (3x, 2x).(c) f : R2 R2, definida por f(x, y) = (x+ y, 1).(d) f : R2 R, definida por f(x, y) = xy.(e) f : R2 R2, definida por f(x, y) = (x cos y sen, x sen + y cos), con

0 < 2pi.(f) f : R3 P2(R), definida por f(a, b, c) = a+ bx+ cx2.

2. Estudia la linealidad de las siguientes aplicaciones:

(a) f : Mnn(R) {A Mnn(R) : A = At

}, definida por f(A) = A+A

t

2 (At

es la matriz traspuesta de A).

(b) f : M22(R) {A M22(R) : A = At

}, definida por f(A) = AAt.

(c) f : Pn(R) Pn(R), definida por f(p(x)) = p(x+ 1).(d) f : Pn(R) Pn(R), definida por f(p(x)) = p(x) + 1.

3. Prueba que las siguientes aplicaciones, definidas sobre el espacio vectorial de lospolinomios P(R), son lineales. Obten la imagen y el nucleo de cada una de ellas.

(a) f(p(x)) = p(x) (b) g(p(x)) = x0p(t) dt

4. Sean f, g : R3 R2 definidas por(a) f(1,1, 0) = (2, 1), f(0,1, 2) = (1, 1), f(3, 0, 1) = (0, 3).(b) g(1,1, 0) = (2, 1), g(0,1, 2) = (1, 1), g(1,2, 2) = (1, 4), g(3, 0, 1) = (0, 3).Averigua si son homomorfismos y, en caso afirmativo, si son monomorfismo, epimor-fismo o isomorfismo.

5. Sea f : P3(R) P2(R) definida sobre el conjunto{p1 = 1 + x2 + 2x3, p2 = 1 + x, p3 = 1 + x3, p4 = x x3

}como f(p1) = x 1, f(p2) = 1 + 3x2, f(p3) = x2 y f(p4) = 1.(a) Es aplicacion lineal?

(b) Existe una aplicacion lineal g : L ({p1,p2,p3}) P2(R) tal que g(p1) =2x 3, g(p2) = x2 1, g(p3) = 1 + x?

(c) Extiende la aplicacion g a una aplicacion lineal h : P3(R) P2(R) tal queh(pi) = g(pi), i = 1, 2, 3, y Kerh = L(

{1 + x+ x2

}).


6. Halla una aplicacion lineal f : R3 R3 tal que Ker f = {(x, y, z) : x+ z = 0},f(1, 0, 0) sea proporcional a (0, 0, 1) y f f = f . Es f unica?

7. Halla una aplicacion lineal f : R4 R3 tal que

Ker f = L ({(2, 1, 0, 1), (0, 1, 3, 0)}) Im f = L ({(0, 1, 2), (1, 1, 0)})

8. Halla una aplicacion lineal f : R3 R3 tal que

Ker f = L ({(0, 0, 1)}) Im f = L ({(1, 0, 1), (1, 1,1), (2, 1, 0)})

9. En R3 se consideran los subespacios S = L ({(0, 1, 0), (1, 1, 0)}) y T = L ({(1, 0, 1)}).(a) Expresa cada vector u = (x, y, z) R3 como suma de un vector uS S y otro

uT T .(b) Demuestra que la aplicacion f : R3 R3, definida por f(u) = uS es lineal.(c) Si L es un subespacio vectorial de R3 de dimension 2, cual es la dimension de

f(L)?

10. (a) Sean f, g : V V aplicaciones lineales. Prueba que Ker(g f) = f1(ker g Im f).

(b) Sea f : R3 R3 definida por f(x, y, z) = (x + 2z, x + 3y, 3y 2z). Obtenuna base de f1(ker f Im f).

11. Sea B = {v1,v2} una base de V , y f y g dos endomorfismos sobre V definidos por{f(v1) = 3v1 + v2f(v2) = v1 v2

{g(v1) = v1 + v2g(v2) = v1

Encuentra las matrices, respecto de la base B, asociadas a f , g, f g, gf y 2f23g2.12. Sea f : R3 R3 la aplicacion lineal cuya matriz, respecto de la base canonica

{e1, e2, e3}, es1 3 20 1 12 1 0

. Calcula f(e1), f(e2), f(e3) y f(e1 + 2e2 e3). Esun isomorfismo?

13. Sea f : R3 R3 la aplicacion lineal cuya matriz, respecto de la base canonica es 2 0 13 1 11 1 1

. Encuentra bases de la imagen y del nucleo.14. Encuentra la matriz, respecto de las bases usuales en los correspondientes espacios,

de las siguientes aplicaciones lineales:

(a) f : M22(R) M21(R), definida por f(A) = A(11).

(b) f : M22(R) M22(R), definida por f(A) = A(1 10 1

)(1 10 1

)A.


(c) f : P3(R) P3(R), definida por f(1) = x2+1, f(x) = x+2, f(x2) = x3 xy f(x3) = 1.

(d) f : P3(R) R2, definida por f(p(x)) =(p(1),

10 p(x) dx

).

15. Sea f : P3(R) M22(R) definida por f(a+ bx+ cx2 + dx3) =(

a a+ bc d a b

).

Obten la matriz de la aplicacion lineal, su imagen y su nucleo.

16. Sea f : R3 R4 la aplicacion lineal de ecuaciones

y1 = x+ 2zy2 = x y zy3 = 2y 3zy4 = x z

(a) Halla las ecuaciones parametricas e implcitas de Ker f e Im f .

(b) Si T = L ({(1, 1,1, 0), (0, 1, 1, 2)}), halla las ecuaciones parametricas e impl-citas de f1(T ).

17. Sean f : R3 M22(R) y g : M22(R) P3(R) las aplicaciones definidas por

f(x1, x2, x3) =(x1 x2 x2x2 x2 x3

)g(A) =

(1 x

)A

(xx2

)(a) Prueba que son aplicaciones lineales.

(b) Halla sus matrices respecto de las bases usuales. Cuales son sus rangos?

(c) Halla sus nucleos e imagenes.

(d) Halla la matriz de g f , su rango, y su nucleo e imagen.18. En R3 se define el endomorfismo f cuya matriz, respecto de la base canonica, es

Aa =

a 1 11 a 11 1 a

.(a) Halla los valores de a para los que f no es automorfismo. En estos casos, halla

bases del nucleo y de la imagen.

(b) Para a = 2, encuentra un vector u 6= 0 tal que f(u) L({u}).19. Sea M el subespacio vectorial de M22(R) definido por

M ={(

+ 2 + 2

): , R

}(a) Construye f : M22(R) R3 tal que Ker f =M .(b) Existe f : M22(R) R3 que verifique (a) y sea epimorfismo?

20. Sea f : R3 R3 una aplicacion lineal tal que f(0, 0,1) = (2,5,3) y f(v) =3v, para todo v S = {(x, y, z) : x+ z = 0}. Halla su matriz respecto de la basecanonica y f1(r) donde r es la recta de ecuaciones

{2x+ 4y + 3z = 0x+ 2y + z = 0

.


21. Sea f : R3 R4 la aplicacion lineal definida por la matriz A =

1 2 10 1 01 1 01 1 1

.(a) Halla el valor de a para que (1, a,a, 0) Im f .(b) Halla f1(1, 0, 0, 0).

(c) En R3 se considera el subespacio vectorial U generado por la base B1 ={(1, 1, 1), (1, 1, 0)} y en R4 el subespacio vectorial V generado por la baseB2 = {(1, 0, 0,1), (1, 1, 1,1), (2, 0,1, 1)}. Halla la matriz de f : U Vrespecto de las bases dadas.

22. Halla las matrices del cambio de base de B1 a B2 en los siguientes casos:

(a) B1 = {(1,1), (3, 1)} y B2 = {(1, 0), (0, 1)}.(b) B1 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} y B2 = {(2, 3, 4), (1, 2, 6), (1, 3, 5)}.

23. Sea V un espacio vectorial de dimension 3 sobre R, y sean B = {e1, e2, e3} y B ={e1, e2, e3} dos bases de V relacionadas por las ecuaciones:

e1 = 2e1 e2 e3 e2 = e2 e3 = 2e2 + e3Encuentra los vectores de V que tienen las mismas coordenadas respecto de ambasbases.

24. Sea f : R3 R3 una aplicacion lineal tal que: f(1, 1, 1) = (1, 1, 0), f(1, 1, 1) =(0, 0, 1) y f(1,2, 1) = (0, 0, 0).(a) Halla su matriz respecto de la base canonica.

(b) Halla su matriz respecto de la base B = {((1, 1, 1), (1, 1, 1), (1,2, 1)}.

25. Sean A =(0 13 1

), B =

(1 02 0

), C =

(4 13 2

), D =

(5 02 1

), S = L({A,B,C}) y

g : S P2(R) definida por g(A) = x, g(B) = x2 + 1 y g(C) = x2 + x+ 1.(a) Halla bases del nucleo e imagen de g. Halla las ecuaciones de g respecto de

las bases B1 = {A,B,C} y B2 ={1, x, x2

}, y respecto de las bases B3 ={

A,B,E =(3 02 1

)}y B4 =

{x, x2 + 1, 1

}.

(b) Estudia si existe algun homomorfismo f : S P2(R) tal que f(A) = x,f(B) = x2 + 1, f(C) = x2 + x+ 1 y f(D) = 2x2 + x.

26. Sea B = {e1, e2, e3} la base canonica de R3 y f : R3 R3 definida por

f(e1) + f(e2) = ae1 + (a+ 1)e2 + e3f(e1) + f(e3) = e1 + ae2 + 2e3

f(e3) = e1 + e3(a) Halla la matriz de f respecto de B. Para que valores de a es f biyectiva?


(b) Para a = 1 se considera el subespacio vectorialW = L({(1, 1, 0), (2, 0, 1)}). EsKer f W = R3? Es Im f Ker f = R3? Calcula f1(2,2, 0).

(c) Para a = 2, sea B = {u1 = e1 e2,u2 = e3,u3 = 2e2 + e3}. Prueba que Bes base y halla la matriz de f respecto de B.

27. Sea f : R3 R3 una aplicacion lineal tal que dim(Im f) = 1, las ecuacionesdel Ker f respecto de la base B = {u1 = (1, 0, 0),u2 = (1, 1, 0),u3 = (1, 1, 1)} son{

x + y = 0ax y + (a+ 1)z = 0 , y tal que existe v = (b, 0, 0) 6= (0, 0, 0) verificando que

f(v) = f2(v) = u1+u2+u3. Halla las ecuaciones de f respecto de la base canonica.

28. Sea fk : R3 R3 una aplicacion lineal cuya matriz respecto de la base canonica

es

1 0 11 k 02 1 1

, k R.(a) Para que valores de k es fk isomorfismo?

(b) Halla, si es posible, bases respecto de las cuales la matriz de f1 es

1 0 00 1 00 0 0

.(c) Halla f1(S) donde S = L ({(2, 1,1), (3, 2, 1)}).

29. Sea f : R3 R3 una aplicacion lineal y B = {e1, e2, e3} la base canonica. Sabi-endo que dim(Ker f) = 2, e1 e2 Im f , f2 = f y que la matriz de f respecto deB coincide con la matriz de f respecto de B = {u1,u2,u3}, siendo B la base de R3tal que u1 = 2e1 e2, u2 = e1 + 2e2 y u3 = e1 + e2 + 2e3.(a) Halla la matriz de f respecto de B.

(b) Halla las ecuaciones implcitas de Ker f y de Im f .

30. Sea f : M22(R) P2(R) la aplicacion lineal definida por

f

(a bc d

)= a(x+ x2) + bx+ dx2

(a) Halla la matriz de f respecto de las bases usuales.

(b) Halla una base de Im f , y un suplementario de Im f en P2(R).(c) Halla una base de S = Ker f , un suplementario T de S en M22(R), y escribe

la matriz(2 46 8

)como suma de una de S y otra de T .

(d) Comprueba que B ={M1 =

(2 20 2

),M2 =

(1 11 1

)}es una base de S y

halla las coordenadas de M3 =(2 23 2

)respecto de dicha base.

(e) Ampla la base B = {M1,M2} a una base de M22(R), de forma que las dosprimeras coordenadas de M1, M2 y M3 respecto de dicha base sean nulas.

(f) Halla f1(L({3x+ 4x2

})).


31. Sean U = L ({(1, 1, 1, 0), (0, 1, 1, 1), (1, 0, 0, 1)}), V = L ({(0, 0, 0, 1), (1, 1,1, 0)})y f : U V definida por f(1, 1, 1, 0) = (0, 0, 0, 1), f(0, 1, 1, 1) = (1, 1,1, 1) yf(1, 0, 0, 1) = (0, 0, 0, 0).

(a) Obten bases de U y V de forma que al colocar los vectores de dichas bases comofilas de una matriz, se obtenga una forma canonica por filas.

(b) Halla la matriz de f respecto de las bases obtenidas en el apartado anterior.

Soluciones

1. (a), (b), (e) y (f) son aplicaciones lineales, mientras que (c) y (d) no lo son.

2. (a) y (c) son aplicaciones lineales, mientras que (b) y (d) no lo son.

3. (a) Im f = P(R) y Ker f = P0(R) = R.(b) Im f = {q(x) P(R) : q(0) = 0} y Ker f = {0}.

4. f es epimorfismo, y g no es homomorfismo.

5. (a) No, pues p4 = p2 p3 y f(p4) 6= f(p2) f(p3).(b) Si, pues {p1,p2,p3} es base del subespacio que generan.(c) h viene definida sobre la base B =

{p1,p2,p3,p4 = x3

}como h(pi) = g(pi),

i = 1, 2, 3, y h(p4) = 5 + x+ x2.6. Es unica: f(1, 0,1) = f(0, 1, 0) = 0 y f(1, 0, 0) = (0, 0, 1).

7. No es unica. Por ejemplo: f(x1, x2, x3, x4) =

1/2 0 0 11 3 1 13 6 2 0

x1x2x3x4

.

8. Respecto de la base canonica: f(x, y, z) =

1 0 00 1 01 2 0

xyz

.9. (a) uS = (x z, y, 0) y uT = (z, 0, z). (b) Es lineal.

(c) La dimension de f(L) es 1 (si T L) o 2 (si T L = {0}).10. (b) {(6,2,3)}.

11. M(f) =(3 11 1

),M(g) =

(1 11 0

),M(f g) =

(2 30 1

),M(gf) =

(2 03 1

)y M(2f2 3g2) =

(14 1111 1

).

12. f(e1) = (1, 0, 2), f(e2) = (3, 1,1), f(e3) = (2, 1, 0) y f(e1 + 2e2 e3) = (5, 1, 0).Es un isomorfismo.

13. {(1, 1,1), (0, 1, 1)} es base de la imagen y {(1,1, 2)} del nucleo.


14. (a)(1 1 0 00 0 1 1

). (b)

0 0 1 01 0 0 10 0 0 00 0 1 0

. (c)1 2 0 10 1 1 01 0 0 00 0 1 0

.(d)

(1 1 1 11 1/2 1/3 1/4

).

15.

1 0 0 01 1 0 00 0 1 11 1 0 0

; Im f = {( + )

: , , R}; Ker f = L

({x2 + x3

}).

16. (a) Ker f = {0}.

Im f :

y1 = y2 = + y3 = 2 + y4 = + 3

, , , R; 7y1 + 6y2 + 3y3 y4 = 0.

(b) f1(T ):

x = 11y = 5z = 9

, R;{

3x+ 3y + 2z = 05x+ 2y + 5z = 0

.

17. (b) M(f) =

1 1 00 1 00 1 00 1 1

; M(g) =0 0 0 01 0 0 00 1 1 00 0 0 1

; rgM(f) = rgM(g) = 3.(c) Im f = L

({(1 00 0

),

(0 11 0

),

(0 00 1

)}); y Ker f = {0}.

Im g = L({x, x2, x3

}); y Ker g = L

({(0 11 0

)}).

(d) M(g f) =

0 0 01 1 00 2 00 1 1

; rgM(g f) = 3; Im(g f) = L ({x, x2, x3}); yKer(g f) = {0}.

18. (a) a = 1 y a = 2. Para a = 1, BIm f = {(1, 1, 1)} y BKer f = {(1,1, 0), (1, 0,1)}.Para a = 2, BIm f = {(1, 1,2), (0, 1,1)} yBKer f = {(1, 1, 1)}. (b) u = (1,1, 0).

19. (a) No es unica. Por ejemplo: f(a bc d

)=(0, a+b3 + c,

5a+b3 + d

); (b) No.

20. M(f,Bc) =

1 0 25 3 50 0 3

; y f1(r) = L ({(6,11, 0)}).21. (a) a = 1/5; (b) f1(1, 0, 0, 0) = ; (c)

1 01 11 1

.


22. (a)(1 31 1

); (b) 19

8 1 13 6 310 8 1

.23. {u = (0, , ) : R}.

24. (a) 16

3 0 33 0 33 2 1

; (b) 16 3 3 01 1 02 2 0

.25. (a) BIm g =

{x, 1 + x2

}y BKer g =

{(3 02 1

)}.

g : (a, b, c)B1 (, , )B2 con

= b+ c = a+ c = b+ c

.

g : (a, b, e)B3 (, , )B4 con

= a = b = 0

.

(b) No existe.

26. (a) M(f,B) =

0 a 1a 1 01 0 1

; f es biyectiva si a 6= 1.(b) Ker f W = R3 y Ker f Im f = R3; f1(2,2, 0) = (0,2, 0) + Ker f .

(c) M(f,B) = 12

4 2 63 3 31 1 5

.27. f(x, y, z) =

(3x3z

2 , x z, xz2).

28. (a) k 6= 1. (b) B1 = {u1,u2,u3 = (1, 1,1)} y B2 = {f(u1), f(u2),v3}.(c) f1(S) = L ({(3, 8, 0), (5, 0, 8)}).

29. (a) M(f,B) = 12

1 1 01 1 00 0 0

.(b) Im f

{x+ y = 0

z = 0; Ker f x y = 0.

30. (a)

0 0 0 01 1 0 01 0 0 1

.(b) BIm f =

{x, x2

}. L({1}) es suplementario de Im f en P2(R).

(c) BS ={(

1 10 1

),

(0 01 0

)}y, por ejemplo, BT =

{(0 10 0

),

(0 00 1

)}. En este

caso:(2 46 8

)=(2 26 2

)+(0 60 10

).

(d) M3 = 12M1 + 3M2 = (1/2, 3)B.


(e){(

0 10 0

),

(0 00 1

),M1,M2

}.

(f) f1(L({3x+ 4x2

}))= L

({(4 10 0

),

(0 01 0

),

(3 00 1

)}).

31. (a) BU = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 0, 1)} y BV = {(1,1, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}.(b) M(f,BU , BV ) = 12

(1 1 10 2 0

).


4 Aplicaciones lineales

4.1 Aplicacion lineal

Sean V yW dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpoK (en general, R o C). Una aplicacionf : V W se llama aplicacion lineal u homomorfismo si

f(u+ v) = f(u) + f(v), u,v V . f(u) = f(u), u V , K.

Estas dos condiciones son equivalentes a la unica condicion:

f(u+ v) = f(u) + f(v) , u,v V , , K

4.2 Ejemplos

1. Las siguientes aplicaciones, f : R2 R2, son aplicaciones lineales:(a) Homotecia: f(u) = u, con R.(b) Proyeccion: f(x, y) = (x, 0).

(c) Simetra: f(x, y) = (x,y)2. Si A Mmn(R), la aplicacion f : Rn Rm definida por f(u) = Au es una aplicacion

lineal (asociada a la matriz A). Obviamente, para que tenga sentido el producto Au, seentiende que el vector u se escribe en columna, como se hara siempre que este implicadoen operaciones matriciales.

3. La aplicacion lineal asociada a la matriz A =

1 11 01 2

es f : R2 R3 definida por:

f(x, y) =

1 11 01 2

(xy

)=

x yxx+ 2y

=

x = x yy = xz = x+ 2y

4.3 Propiedades

Si f : V W es una aplicacion lineal, se cumple:1. f(0) = 0.

2. f(u) = f(u).3. S subespacio vectorial de V = f(S) es subespacio vectorial de W .4. T subespacio vectorial de W = f1(T ) es subespacio vectorial de V .

4.4 Nucleo e imagen de una aplicacion lineal

Si f : V W es una aplicacion lineal, se llama imagen al subespacio vectorial Im f = f(V ),y nucleo al subespacio vectorial Ker f = f1({0}).


4.5 Definiciones

Una aplicacion lineal (homomorfismo) se llama monomorfismo si es inyectiva, epimorfismosi es sobreyectiva, e isomorfismo si es biyectiva. Cuando los espacios inicial y final coinci-den, la aplicacion lineal y el isomorfismo se suelen llamar endomorfismo y automorfismo,respectivamente.

4.6 Condicion necesaria y suficiente de monomorfismo

Sea f : V W es una aplicacion lineal. Entonces

f es monomorfismo Ker f = {0}

Demostracion:() Si f es inyectiva, entonces:

f(u) = 0 = f(u) = f(0) = u = 0

luego Ker f = {0}.() Inversamente, si Ker f = {0}, entonces

f(u) = f(v) = f(u v) = 0 = u v = 0 = u = v

luego f es inyectiva.

4.7 Dimension del subespacio imagen

Sea f : V W es una aplicacion lineal. Si B = {v1, v2, . . . ,vn} es una base de V , entonces

Im f = L ({f(v1), f(v2), . . . , f(vn)}) y, en consecuencia dim Im f dimV

Demostracion: Si w Im f , existe v = (x1, x2, . . . , xn)B V tal que

w = f(v) = f

(ni=1

xivi

)=

ni=1

xif (vi)

luego w L ({f(v1), f(v2), . . . , f(vn)}). Inversamente, si w L ({f(v1), f(v2), . . . , f(vn)}),entonces

w =ni=1

if(vi) = f

(ni=1

ivi

)y v =

ni=1

ivi V

luego w Im f .

4.8 Determinacion de una aplicacion lineal

Si B = {v1, v2, . . . ,vn} es una base de V y {w1, w2, . . . ,wn} son n vectores cualesquiera deW , entonces existe una unica aplicacion lineal f : V W tal que

f(vi) = wi , para 1 i n


Demostracion: Para cada v =n

i=1 xivi V se define

f(v) =ni=1

xiwi

Es facil ver que f es aplicacion lineal y que f(vi) = wi, para 1 i n. Ademas es unica, puessi g : V W verifica la misma condicion, entonces

g(v) = g

(ni=1

xivi

)=

ni=1

xig(vi) =ni=1

xiwi = f(v)

4.9 Observaciones

Si f : Rn Rm viene definida por f(u) = Au, A Mmn(R), entonces Ker f son las soluciones del sistema homogeneo Au = 0. Si B = {e1, e2, . . . , en} es la base canonica de Rn, entonces

Im f = L ({f(e1), f(e2), . . . , f(en)}) = L ({c1, c2, . . . , c

algebra lineal [agueda mata y miguel reyes]

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