algebra ir skaiČiŲ teorija

1

VILNIAUS PEDAGOGINIS UNIVERSITETAS

Rimantas Skrabutėnas

ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA

(Paskaitų konspektas II) III . Polinomų algebra IV . Skaičių teorija

Vilnius, 2004

ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA

Į V A D A S

Šiuo leidiniu tęsiame algebros ir skaičių teorijos kurso paskaitų keturių semestrų apimties ciklą. Antrojoje konspektų dalyje pateikiamos įvadinės skaičių teorijos ir polinomų teorijos žinios, kurios apibendrina ir esminiai išplečia mokyklines matematikos žinias.

Pateikiamuose paskaitų konspektuose lieka, deja, ir korektūros, ir redagavimo bei kalbos klaidų. Esu dėkingas kolegoms, jau pastebėjusiems keletą paliktų netikslumų. Į jų pastabas su dėkingumu atsižvelgsiu skaitydamas paskaitas.

Dar sykį dėkoju ir gerbiamiems recenzentams docentams L. Griniuvienei ir G.Bareikiui.

R.Skrabutėnas, 2005

P 3 - 01 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA 1

Paskaita 3 – 01 Skaičių teorija 1. Užduotis: pakartoti praeitų metų AST’os kursą: svarbiausius faktus,

matematinę simboliką. 2. Ypač rekomenduočiau prisiminti temas: “Algebrinės struktūros” ir “Skaičių

aibės”. Natūraliųjų skaičių pusgrupis N. Natūraliaisiais skaičiais vadiname aibės N , tenkinančios tam tikrą aksiomų sistemą (pvz. D.Peano), elementus. Viena iš aibę N nusakančių aksiomų pagrindžia svarbų matematinės indukcijos principą. Štai jo paprasčiausias variantas. MIP. Jei predikatas P(n) teisingas kai n = 1 ir, iš jo teisingumo natūraliajam skaičiui n = k,

išplaukia, kad jis teisingas ir sekančiam skaičiui n = k + 1, tai tas predikatas yra yra teisingas su visais natūraliaisiais skaičiais n. Sveikųjų skaičių žiedas Z . Sveikaisiais skaičiais vadiname elementus komutatyvaus žiedo Z, kuris yra minimalus natūraliųjų skaičių pusgrupio N plėtinys.

Sveikųjų skaičių aibę žymėsime raide Z (kartais, – S ). Laikysime taip pat, kad šios aibės elementus (t.y. sveikuosius skaičius) mokame sudėti, sudauginti ir atimti. Pabrėšime, kad nuo mokyklos laikų įprastos šių veiksmų savybės (pvz. tokios: m + n = n + m; ( ) nkmkknm −=− ir t.t. ) yra griežtai įrodomos.

Dar prisiminkite Archimedo aksiomą (AA), MSP, DSP. Šiame semestre mūsų studijų tikslas bus sveikųjų skaičių žiedas Z ir jo savybės. Santrumpos. Kaip ir pirmojoje konspektų dalyje, naudosime laiką ir vietą

taupančias santrumpas. Svarbesnes (iš naujai įvedamų) pateikiame žemiau: DLT – dalybos su liekana teorema; TP – tarpusavyje pirminiai (skaičiai); TPP – tarpusavyje pirminiai poromis(skaičiai); DBD – didžiausias bendras daliklis; MBK – mažiausias bendras kartotinis; EA – Euklido algoritmas; PAT − pagrindinė aritmetikos teorema; AF − aritmetinė funkcija; GT − grandininė trupmena; PLS − pilnoji liekanų sistema; RLS − redukuotoji liekanų sistema; KL − kvadratinė liekana; KnL − kvadratinė neliekana; LS − Ležandro simbolis; ST − sisteminė trupmena; BST − baigtinė sisteminė trupmena; GPST − grynai periodinė sisteminė trupmena; MPST − mišri periodinė sisteminė trupmena; PT − polinominė trupmena; TPT − taisyklingoji polinominė trupmena; PPT − paprasčiausia polinominė trupmena;


AN − aukščiausias (polinomo) narys; SP − simetrinis polinomas; PSP − pagrindinis (elementarusis) simetrinis polinomas; PSPT − pagrindinė simetrinių polinomų teorema; PALT − pagrindinė algebros teorema; ŠG − Šturmo grandinė; ŠT − Šturmo teorema.

Dalumo sąryšis, DLT Ap. Jei yra sveikieji skaičiai ir egzistuoja toks sveikasis skaičius q , kad 0, ≠ba qba ⋅= ,

tai sakome, kad skaičius a dalijasi iš skaičiaus b ir rašome baΜ . Kartais sakoma : sveikasis skaičius b dalija sveikąjį skaičių a. Tada rašoma:

b | a. Aišku, abu terminai ir žymenys reiškia tą patį. Mes dažniau vartosime pastarąjį. Kai , tai išraiškos 0≠a bqa = sveikieji skaičiai b ir q vadinami skaičiaus a

dalikliais, o a , – skaičiaus b kartotiniu . Pavyzdžiui, 13 | 26, 8 | 32, bet . Skaičiai 7, 2, -14 yra skaičiaus 28 dalikliai, o skaičius 28 yra (kiekvieno iš jų) kartotinis.

31|5 /

Remiantis pateiktu dalumo sąryšio apibrėžimu, nesunkiai įrodomos (rekomenduoju tai padaryti savarankiškai) dalumo sąryšio savybės:

- ( ) , , aaa |0≠∀ 0|a- ( ) , aa |1∀- )1()1(1| =∨−=→ aaa , - baba ±±→ || ,- , cacbba |)||( →∧- ( bkakkba |)0| ≡≠∧ , - cbacaba ±→∧ |)||( , - baaab ≥→≠∧ )0|( , - . bdacdcba |)||( →∧

Kaip matome iš šių savybių, sveikojo skaičiaus ženklas dalumui įtakos neturi, todėl dažniausiai domimasi tiktai teigiamais dalikliais, kurie vadinami tiesiog dalikliais.

Vienas iš svarbiausių skaičių teorijos faktų yra tokia teorema (dalybos su liekana teorema; sutrumpintai, – DLT) : Teorema (DLT). ( )( ) ||0,,!0,, brrbqaZrqbZba <≤+=∈∃≠∈∀ . Pavyzdžiui, − ( ) 36527 +−⋅= , 54629 +⋅= , 411007741 +⋅= ir t.t. Galima pasakyti, kad DLT yra žinomos sveikųjų skaičių dalybos „kampu“ teorinis pagrindas. Įr. Galimumas. Skirsime keletą atvejų.

a) . Tada pagal Archimedo aksiomą (prisiminkite jos formuluotę!), Nba ∈,egzistuoja natūralusis skaičius q , su kuriuo galioja nelygybė:

( 1+<≤ qbabq ) arba kitaip brbqa <=−≤ :0 . Kadangi, šiuo atveju bb = , tai įrodymas tuo ir baigiamas.


b) Nba ∈< ,0 . Tada Na∈− , todėl, pagal a) atvejį, egzistuoja ir tokie, kad:

Nq ∈1

{ }01 ∪∈ Nrbbrrbqa =<≤+=− ||0, 111 .

Kai , - įrodymas tuo ir baigiamas. Kai 01 =r 01 ≠r , tai iš prielaidos , gautume prieštarą , todėl

brb ≥− 1

01 ≤r ||0,:)1( 111 brbrrbqrbqba <−=≤+=−+−−= . c) . Tada, vėl pagal a) atvejį, egzistuoja tokie ir

tokie, kad: 0, <∈ bNa Nq ∈1

{ }0∪∈ Nr( ) ||0,:)( 11 bbrrbqrqbrqba =−<≤+=+−=+−= .

d) ( ) ( ) 1111 ,0,0 rqbarqba +−=−∃→<< , ||0 1 bbr =−<≤ . Kai 01 =r , - įrodymas vėl trivialus. Kai , turime 01 ≠r

( ) ( ) ||0,:1 1111 brrbqrbqbrbqa <≤+=−−++=−= . e) Kai , tai 0=a 00 +⋅= ba . QED. Vienatis. Tarkime priešingai, - yra bent dvi skirtingos poros sveikųjų skaičių

ir , su kuriomis galioja 11 , rq 22 , rq ||0, 111 brrbqa <≤+= ir ||0, 222 brrbqa <≤+= . Tada:

( ) 21210 rrqqb −+−= arba ( ) 1221 rrqqb −=− . Pastaroji lygybė jau yra prieštaringa, nes jos kairioji pusė, pagal dalumo sąryšio apibrėžimą, dalijasi iš b, tuo tarpu dešinioji pusė iš b dalintis negali, nes

brrrr <−≤− 2112 || . DBD, MBK . Euklido algoritmas . Tarkime a ir b yra natūralieji skaičiai. Skaičiaus a daliklių (teigiamų) aibę žymėsime , o teigiamų kartotinių aibę žymėsime . Tada galima kalbėti apie skaičių a ir b bendrų daliklių aibę

aD aM

baab DDD ∩=: ir bendrų (teigiamų) kartotinių aibę baab MMM ∩=: .

Kadangi aibės yra baigtinės, tai ir yra baigtinė . Pagal DSP, aibė turi didžiausią elementą d,

ba DD , abD

abDabD

d∈

=δ

δmax .

Ap. Skaičius d vadinamas skaičių a ir b didžiausiu bendruoju dalikliu (sutrumpintai, - DBD) ir žymima: ),( baDd = .

Ši savoka vidurinėje mokykloje jau girdėta. Prisiminkime “mokyklinį” DBD apibrėžimą:

Ap. Skaičių a ir b didžiausiu bendruoju dalikliu vadinamas sveikasis skaičius d tenkinantis dvi sąlygas: 1) ; 2) abDd ∈ ( ) )|( dDab δδ →∈∀ .

Pasirodo, - abu šie apibrėžimai yra ekvivalentūs. Todėl, esant reikalui, mes naudosimės jais abiem.

Savo ruožtu, pagal MSP, aibė turi mažiausią elementą m, abMabM

m∈

=µ

µmin .

Ap. Skaičius m vadinamas skaičių a ir b mažiausiu bendruoju kartotiniu (MBK) ir žymima: . ),( baMm =


Pateiktas apibrėžimas irgi yra ekvivalentus mokykloje girdėtam: skaičius m vadinamas skaičių a ir b mažiausiu bendruoju kartotiniu (MBK), jei jis tenkina dvi sąlygas: 1) ; 2) abMm∈ ( ) )|( µµ mM ab →∈∀ .

Panašiai galime apibrėžti ir kelių natūraliųjų skaičių DBD ir MBK (suformuluokite atitinkamus apibrėžimus savarankiškai). Tada nesunkiai įrodomos tokios

naaa ,...,, 21

rekurentinės savybės: ( )( )nnn aaaaDDaaaDd ,,...,,:),...,,(: 12121 −== , ( )( )nnn aaaaMMaaaMm ,,...,,:),...,,(: 12121 −== .

Beje, kartais šiomis formulėmis DBD ir MBK tiesiog apibrėžiami. Aišku, kad DBD ir MBK sąvokos sveikiesiems nenuliniams skaičiams apibrėžiamos lygiai taip pat. Atskiru atveju, kai 0,0 ≠= ab , tai ( ) aaD =0, .

Pvz., kai , , tai 20=a 32−=b , { }20,10,5,4,2,120 =D { }...,60,40,2020 =M , { }32,16,8,4,2,13232 ==− DD ,

, { }...,192,160,128,96,64,323232 ==− MM { }4,2,132,20 =D , { },...480,320,16032,20 =M . Todėl, , . 4=d 160=m Kaip rasti DBD ir MBK praktiškai ? Didesnių skaičių DBD ir MBK

radimui naudoti apibrėžimą yra neracionalu. Šiam tikslui dažnai taikomas vadinamasis Euklido algoritmas (EA). EA, - tai baigtinė lygybių, gaunamų nuosekliai taikant DLT, seka. Būtent:

( )( ZrqbZba )∈∃≠∈∀ 10 ,!0,, , kad: | . Jei |0, 110 brrbqa <≤+= 01 ≠r , tai savo ruožtu egzistuoja , kad: ( )21 ,! rq∃

12211 0, rrrqrb <≤+= . Panašiai, jei 02 ≠r :

233221 0, rrrqrr <≤+= ir t.t. ………………………………

1112 0, −−−− <≤+= kkkkkk rrrqrr .1 kkk qrr =−

Procesas yra baigtinis, nes liekanos, kaip matome, nuosekliai mažėja. Paskutinė nelygi nuliui liekana yra . kr Teisingi tokie tvirtinimai:

1 teorema. . Atskirais atvejais: krbaD =),( ( ) 11, =aD , ( ) aaD =,0 , ( ) aaM =1, . Įrodymas išplaukia iš EA arba iš lemos: ( ) ( )( )rbDbaDrbqa ,, =→+= .

2 teorema. (DBD tiesinės išraiškos savybė). Kai ),( baDd = , tai ( )Zyx ∈∃ , tokie, kad . Įrodymas, – iš 1 teoremos ir EA. dbyax =+ 3 teorema. ( ) ( ) ( ) dkbkakDNkdbaD =∈∀→= ,, . ( ) ( ) ( ) kmbkakMNkmbaM =∈∀→= ,, . 4 teorema. , ( ) aaabD =, ( ) 11, =aD . Ateičiai mums naudinga įvesti dar keletą naujų sąvokų. Ap. Jei , tai sveikieji skaičiai vadinamai tarpusavyje pirminiais (sutrumpintai: TP).

( 1,...,, 21 =naaaD ) naa ,...,1


Ap. Jei ( ) ( ) 1,;, =≠∀ ji aaDjiji , tai sveikieji skaičiai vadinamai tarpusavyje poromis pirminiais (TPP).

naa ,...,1

Pvz., 7, 28, 23 yra TP , bet ne TPP skaičiai. Tuo tarpu skaičiai 7,15, -55, 13 yra TPP ir TP. Pateiksime kelias svarbesnes TP skaičių savybes, kuriomis vėliau ne kartą naudosimės. 5 teorema. ( ) 1,, =+∈∃≡− byaxZyxTPba . Įr. Būtinumas seka iš 2 teoremos. Pakankamumas, – prieštaros būdu.

6 teorema. ( ) 1,, =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛→=

db

daDdbaD .

Įr. iš DBD tiesinės išraiškos savybės. 7 teorema. Kai ir abc | ( ) 1, =caD , tai bc | . Įr. ( ) bcbcbyabxcyaxZyx |1, →=+→=+∈∃ . 8 teorema. ( ) )||()|1,( cbcacabbaD ∧→∧= . 9 teorema. ( ) ( ) ( ) 1,)1,1,( =→=∧= cabDcbDcaD .

Įr. Tegul . Tada d | c . Bet: ( ) 1, >= dcabD ( ) ( ) 1,1, =→= daDcaD . Dabar, pasinaudodami 7 teorema, lengvai gauname prieštarą: d | ab . ( ) 1,| >≥→→ dbcDbd Išvada. ( ) ( ) ( ) 1,,1, =∈∀→= mn baDNmnbaD .

Dviejų nelygių nuliui sveikųjų skaičių DBD ir MBK sieja toks sąryšis: 10 teorema. ( ) ( ) abbaMbaD =⋅ ,, .

Įr. Patogiau remtis mokykliniu MBK apibrėžimu. Pažymėkime ( )baDabm

,= ; .

Tada iš to, kad ldbndaZln ==∈∃ ,),( , turime:

1) ( ) abMmalnbnldd

ldndbaD

abm ∈→===⋅

==,

;

2) Lieka įsitikinti, kad ( ) µµ |mM ab →∈∀ . Pirmiausia, ( ) .ndsasZsM ab ==∈∃→∈ µµ Toliau: .|)|( nslndsldb →== µ Bet ( ) 1, =nlD , todėl ( ) klsZksl =∈∃→| . Tada µµ |mknldndklnds →⋅=== . QED.

Pvz., ( ) ( ) 3220640160432,2032,20 ⋅==⋅=⋅MD . Pastaba. Pavyzdžiais nesunku įsitikinti, kad trijų (ir daugiau) skaičių atveju šiai

teoremai analogiškas tvirtinimas (pvz., ( ) ( ) abccbaMcbaD =⋅ ,,,, ) jau negalioja: ( ) ( ) 2401012212060210,12,210,12,2 =⋅⋅≠=⋅=⋅MD .

3 - 02 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA

5

Paskaita 3 – 02 Pirminiai ir sudėtiniai skaičiai . PAT Sveikųjų skaičių žiedas. Dalumo sąryšis. DBD, MBK. TP skaičiai ir jų savybės.

Kiekvienas nelygus nuliui sveikasis skaičius a dalijasi iš vieneto ir pats savęs.

Skaičiaus a (teigiamieji) dalikliai 1 ir a vadinami trivialiaisiais dalikliais. Ap. Natūralieji skaičiai n > 1, turintys tik trivialiuosius daliklius , vadinami

pirminiais skaičiais. Kiti natūralieji skaičiai n > 1 vadinami sudėtiniais. Skaičius 1 nelaikomas nei

pirminiu, nei sudėtiniu. Pvz., 17, 2003 yra pirminiai, o 39, 2004, – sudėtiniai. Nustatyti, ar skaičius pirminis ar sudėtinis neretai būna nelengva. Kol nebuvo PC,

matematikai skaičiaus pirmumui įrodyti sugaišdavo labai daug laiko. Pavyzdžiui, XVII a. prancūzų matematikas M.Mersenas tyrė, su kuriais natūraliaisiais n skaičius

yra pirminis. Akivaizdu, kad, jei 12 −= nnM ,PM n ∈ tai būtinai . Vienas

didžiausių iki šiol atrastų pirminių Merseno skaičių yra . Jo dešimtainiame užraše yra 258716 skaitmenų...

Pn∈

859433M

Tačiau iki šiol nežinoma, ar Merseno pirminių skaičių aibė yra baigtinė, ar begalinė.

Kitas prancūzų matematikas P.Ferma (Fermat) domėjosi dar specialesnio pirminiais pavidalo skaičiais:

, 122 +=n

nF ∈ NNn . { }0:0 ∪=Pasirodo, kad pirmieji penki Ferma skaičiai =0F 3; 5, 17, 257 ir 65537 yra

pirminiai. Ferma spėjo (1640 m.), kad taip yra su visais =4F

0Nn∈ . Paskaitoje 1 – 06 jau minėjome, kad šią Ferma hipotezę paneigė L.Oileris, 1729 m. įrodęs, kad 641| . 5F Įdomu, kad iki šiol daugiau nerasta nė vieno pirminio Ferma skaičiaus. Gal tai padaryti pavyks kam nors iš Jūsų ?

1 teorema. Bet koks didesnis už vienetą natūralusis skaičius n turi bent vieną pirminį daliklį.

Įr. . Bet { } ∅, nes . Pagal MSP, egzistuoja aibės ∗∈Mn∗M mažiausias elementas p . Jei būtų Pp∉ , tai prieštarautų MSP.

1,|:: >=∗ dnddM ≠∗M

Išvada. ( )( ) )|( npnpPpPn ≤∧→∈∃∉∀ . Iš tikrųjų, jei galiotų ir abu dalikliai būtų didesni už

1pnn =

n , tai gautume prieštarą : nnnpnn =⋅>= 1 .

Pavyzdžiui, jei reikia patikrinti pirminis ar sudėtinis yra skaičius 509, tai nereikia tikrinti visų daliklių , o tik tuos pirminius daliklius p, kuriems 509≤d 509≤p , t.y. : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, nes 50923 > . Kadangi nė vienas iš šių pirminių skaičių nedalija 509, tai darome išvadą: 509 yra pirminis skaičius.


6

2 teorema. (Eratosteno, III a. p.m.e.). Jei natūraliųjų skaičių sąraše 2, 3, 4, … , n išbrauksime keletą pirmųjų pirminių skaičių ir visus jų kartotinius, tai pirmas neišbrauktasis skaičius bus pirminis. Jei išbrauksime visus tokius pirminius p, kad

np ≤ ir jų kartotinius, tai liks neišbraukti pirminiai p tokie, kad npn ≤< . Įrodymą rasite vadovėlyje. Pvz., sąraše 2,3,4,5,6,7,8,9,10 išbraukus pirminius 2,3 ir jų kartotinius

, neišbraukti lieka pirminiai skaičiai yra 5 ir 7. 01,9,8,7,6,5,4,3,2 ///////3 teorema. (PAT, – pagrindinė aritmetikos teorema) Kiekvieną natūralųjį skaičių

n > 1 galime vieninteliu būdu (su tikslumu iki daugiklių tvarkos) išskaidyti į pirminių skaičių sandaugą: . rpppn ...21=

Įr. Galimumas. Panaudojant sustiprintą MIP. Kai n = 2 – teoremos tvirtinimas teisingas. Prielaida: tegul teorema teisinga su visais natūraliaisias mažesniais už n . Remdamiesi šia prielaida , parodysime, kad ir pačiam n teoremos tvirtinimas galioja. Kai

− įrodymas baigtas . Kai Pn∈ Pn∉ , tai, pagal 1 teoremą, . Čia . Tada, pagal prielaidą,

11npn =nnNnPp <∧∈∧∈ 111

riPppppn ir ÷=∈= 2,,...321 . Galimumas įrodytas.

Vienatis. Prieštaros būdu. Iš prielaidos, kad (pagal MSP) yra toks mažiausias , išskaidomas pirminiais bent dviem skirtingais būdais: Na∈ sr qqqpppa ...... 2121 == ,

gaunama prieštara, jog yra dar mažesnis su ta pačia savybe. Būtent: kadangi ( kitaip – vėlgi, prieštara MSP), tai, pvz., atveju , pagal DLT

. Iš čia:

ji qp ≠

11 qp >( ) 1111 ,,! qrrhqpZrq <+=∈∃

( ) ( ) arbhcqcqbrhqcqbpa <=−→=+→== 11111 ir turime mažesnį už a skaičių rb išskaidomą nevienareikšmiškai, nes rq |1 / . QED. Pvz., . 532260 ⋅⋅⋅=

Sudauginę vienodus pirminius daliklius, gauname natūraliojo skaičiaus n kanoninį skaidinį ra

raa pppn ⋅⋅⋅= ...2121 . Pvz., . 117211772224312 23 ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=

Išvada. Jei n yra natūraliojo skaičiaus n kanoninis skaidinys, tai: .

rar

aa ppp ⋅⋅⋅= ...2121

=≡ dnd | iirrppp αββββ ≤∧⋅⋅⋅ ...21

21

Iš čia nesunku gauti ir mūsų pateiktų bei mokykloje turėtų DBD ir MBK apibrėžimų ekvivalentiškumo įrodymą. Be to, teisingos tokios formulės:

4 teorema. Tarkime Nnm ∈, ir , o . rar

aa pppm ⋅⋅⋅= ...2121

rrpppn βββ ⋅⋅⋅= ...21

21

Tada, pažymėję ( )iii βαγ ,min:= , ( )iii βαλ ,max:= , ri ,...,2,1= , turime : ( ) ∏==

ii

ipnmDd γ, , ( ) ∏==i

iipnmMm λ, .

Pvz., , o . Tada 53260 2 ⋅⋅= 732126 2 ⋅⋅= 632 =⋅=d , . 12607532 22 =⋅⋅⋅=m Pabandykite šias formules įrodyti savarankiškai.

Istorinės pastabos apie pirminių skaičių pasiskirstymą Dar žiloje senovėje matematikai pastebėjo, kad natūralieji skaičiai sudaryti iš

savotiškų atomų: pirminių skaičių. Tačiau žinios apie pirminius skaičius ilgus amžius


7

buvo negausios. Tiesa, dar Euklidas IV a.p.e. įrodė, kad pirminių skaičių aibė P yra begalinė. Čia mes pateikiame kiek modernesnį nei Euklido šio fakto įrodymą.

Euklido teorema. Card P = Card N . Įr. Tarkime priešingai, kad tėra r skirtingų pirminių skaičių: .

Sudarykime baigtinę sandaugą: rpp ,...,1

∏∏=

−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

r

i ii

r

i i ppp 12

1

1

...11111 .

Visos eilutės skliaustuose yra absoliučiai konverguojančios, todėl jas galima panariui sudauginti ir gautoji eilutė irgi turi konverguoti.

npp

r

i ii

1...1111

2 ∑∏ =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

=

.

Tuo tarpu, pagal PAT, eilutė dešinėje yra harmoninė eilutė, kuri, kaip žinia, - diverguoja. Prieštara. QED.

Pirminiai skaičiai natūraliųjų skaičių eilėje pasisikirstę labai nevienodai. Kokių nors jų pasiskirstymo dėsningumų ilgai nesisekė pastebėti. Viena vertus, pirminių skaičių, kaip matėme, yra be galo daug. Kita vertus, nesunku parodyti, kad jų yra esminiai mažiau, nei natūraliųjų.

Teorema apie intervalus be pirminių. Egzistuoja kiek norint ilgi intervalai iš eilės einančių natūraliųjų skaičių, kurių tarpe nėra pirminių skaičių.

Įrodymas išplaukia sukonstravus baigtinę seką nnnn +++ !,...,3!,2! , kurioje yra sudėtinis skaičius. 1−n

Ilgai buvo bandoma sukonstruoti tokį polinomą su sveikaisiais koeficientais, kuris generuotų pirminius skaičius. Galiausiai parodyta, kad polinomas, kuris su visom sveikom argumento reikšmėm generuotų tik pirminius skaičius, - neegzistuoja. Tačiau matematikai nepaliauja ieškoti kuo produktyvesnio pirminių skaičių generatoriaus. Pateikiame prancūzų matematiko F.Dress prieš keletą metų sukonstruotą polinomą:

( ) 997387612234073 2345 ++−−+= xxxxxxf . Jo reikšmės, kai { 24,23,...,23,24 }−−∈x , yra pirminiai skaičiai. Euklido teoremą apie aibės P skaitumą apibendrina Dirichle (P.G.L. Dirichlet,

1805 – 1859, žymus vokiečių matematikas) 1837 m. įrodyta teorema. Dirichle teorema.

{ } ( )( )⎩

⎨⎧

>=

=∈∧+=∧∈.1,,0

,1,,|

maDkaimaDkaiCardN

ZkmakpPppCard

Kitaip sakant, kai tik aritmetinės progresijos pirmasis narys ir skirtumas yra tarpusavyje pirminiai, – joje būtinai yra be galo daug pirminių skaičių.

Dirichle teoremos atskiri atvejai. Yra be galo daug pirminių skaičių pavidalo . T.y. 34 +k { } .34| CardNZkkpPppCard =∈∧+=∧∈ Įr. Prieštaros būdu. Sudarome skaičių 14 −M . Jo kanoniniame skaidinyje turi būti

bent vienas pavidalo skaičius p. Bet iš 34 +k 1||14| −→∧− pMpMp . Prieštara. Nesunku įrodyti, kad yra be galo daug pavidalo 14 +k , 34 +k , pirminių

skaičių, tuo tarpu bendrosios Dirichle teoremos įrodymas yra gana sudėtingas. 16 +k

Galima pateikti ir daugiau įdomių faktų, charakterizuojančių pirminių skaičių pasiskirstymą: pirminių – dvynių problema, Goldbacho problemos ir kt. Tačiau visos šios


8

žinios neatsako į pagrindinį klausimą: kaip pirminiai skaičiai yra pasiskirstę natūraliųjų skaičių sekoje?

Tik 1850 m., bandydamas tiksliau apibūdinti pirminių skaičių pasiskirstymą, rusų matematikas P.Čebyševas įrodė, kad pakankamai dideliems x:

( )x

xAxx

xaloglog

<< π .

Čia funkcija ( )xπ yra lygi skaičiui pirminių skaičių, neviršijančių realaus teigiamo skaičiaus x, o a, A yra konstantos ir Aa <<< 10 . Be to, Čebyševas parodė, kad konstantos a ir A artimos vienetui. Iš čia jau akivaizdžiai peršasi hipotezė, kad funkcijos ( )xπ ir turėtų būti asimptotiškai lygios. Tiksliau, kad: xx 1log−

( ) 1

log

lim =∞→

xxx

x

π .

Šį faktą, nepriklausomai vienas nuo kito, įrodė prancūzas Adamar’as (J.Hadamard) ir belgas Valle Pussen’as (C.De La Vallee Poussin) 1896 m. Jis vadinamas asimptotiniu pirminių skaičių pasiskirstymo dėsniu . Be to, paaiškėjo, kad aritmetinėse progresijose (Dirichle teorema) pirminiai skaičiai pasiskirstę tam tikra prasme tolygiai. Būtent, jei simboliu ( )rqx ,,π pažymėsime skaičių pirminių iš aritmetinės progresijos ( ) 1,, =+ rqDrmq , , neviršijančių realiojo , tai su visais r, tokiais, kad

...,2,1,0=m0>x ( ) 1, =rqD , yra teisinga :

( )( )q

xx

rqxx ϕ

π 1

log

,,lim =∞→

.

Apie Rimano dzeta – funkciją Ap. Kompleksinio kintamojo its += σ funkciją ( )sζ , srityje 1>σ apibrėžiamą lygybe

, ( ) ∑∞

=

−=1n

snsζ

vadiname Rimano dzeta – funkcija. Svarbiausi faktai apie ją: 1. Rimano dzeta – funkcija yra analizinė srityje 1>σ funkcija. 2. Srityje 1>σ , teisinga lygybė:

( ) == ∑∞

=

−

1n

snsζ1

11−

∏ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

psp

.

Ši formulė patvirtina, kad funkcija ( )sζ susijusi su pirminiais skaičiais.

3. Funkciją ( )sζ galima analiziškai pratęsti į pusplokštumę 0>σ , išskyrus tašką 1=s , kuriame ji turi paprastą polių su rezidiumu lygiu 1.

Šią teoremą įrodo Abelio sumavimu gaunama formulė:

( ) [ ]( )11

1 −+−= ∫

∞

+ ss

uduuuss sζ .

kurioje integralas absoliučiai konverguoja jau srityje 0>σ .


9

Funkcija ( )sζ analiziškai pratęsiama ir į visą plokštumą, be jokių ypatingų taškų išskyrus minėtąjį . 1=s

Pasirodo labai svarbūs yra intervalo (0,1) taškai, kuriuose funkcija ( )sζ virsta nuliumi. Vokiečių matematikas Rimanas (B. Riemann, 1826 – 1866) XIX a. suformulavo garsią hipotezę

tvirtinančią: visi realieji funkcijos ( )sζ nuliai guli tiesėje 5,0=σ . Tikslaus ir visuotinai patvirtinto šios hipotezės įrodymo iki šiol nėra žinoma. Jeigu ji yra iš tikrųjų

teisinga, tai asimptotinis pirminių skaičių pasiskirstymo dėsnis gali būti suformuluotas pavidalu:

( ) ( )xxOu

duxx

loglog2

+= ∫π .

P 3 – 03 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA

8

Paskaita 3 – 03

Aritmetinės funkcijos Skaičių teorijos taikymuose dažnai naudojamos natūrinio argumento funkcijos:

; kitaip sakant, - kompleksinių skaičių sekos, arba dar moderniau: bet koks aibės elementas. Tokios funkcijos vadinamos aritmetinėmis (sutrumpintai – AF). Svarbesnės iš jų yra:

CN f⎯→⎯NC

- natūraliojo skaičiaus n daliklių (teigiamų) skaičius ; žymima ( )nτ , ( ) ∑=

ndn

|1:τ .

- natūraliojo skaičiaus n pirminių daliklių skaičius; žymima ( )nϖ , ( ) ∑=

npn

|1:ϖ .

- natūraliojo skaičiaus n daliklių a – tųjų laipsnių suma ; žymima ( )naσ , ( ) ∑=

nd

aa dn

|:σ .

- Oilerio (Euler’io) funkcija, − kiekis natūraliųjų skaičių neviršijančių n ir tarpusavyje pirminių su n ; žymima ( )nϕ ,

( )( )∑

=≤

=1,,

1:nmDnm

nϕ .

Pvz., ( ) 410 =τ , , ( ) 5063216 22222 =+++=σ ( ) 48 =ϕ .

Skaičių teorijos vadovėliuose kartais pateikiamas bendresnis AF apibrėžimas: aritmetine vadinama funkcija, kuri yra apibrėžta natūraliųjų skaičių aibėje. Tuo pasakoma, kad funkcijos aritmetiškumui tereikia, kad galiotų sąlyga: ND f ⊃ (žr. p1–02). Taip suprantant, dauguma mums žinomų elementariųjų funkcijų , kaip antai:

, xsin xcos , xexp , , yra tuo pat metu ir AF. Kita vertus, funkcija xlog nx

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= xtgxh

2π formaliai nėra AF, nes ( ) NhD ⊃/ .

Ap. AF vadinsime adityvia (atitinkamai – multiplikatyvia), jei bet kuriai tarpusavyje pirminių natūraliųjų skaičių porai m, n išpildoma sąlyga

( )nf

( ) ( ) ( )mfnfnmf += (atitinkamai − ( ) ( ) ( )mfnfnmf = ) . Iš šio apibrėžimo išplaukia, kad, kai ( )mf yra multiplikatyvioji funkcija, o

− yra skaičiaus m kanoninis skaidinys, tai: rar

aa pppm ⋅⋅⋅= ...2121

( ) =mf ( )∏=

r

kk

kpf1

α .

Kai yra adityvioji funkcija, tai: ( )mg

( ) =mg ( )∑=

r

kk

kpf1

α .

Oilerio tapatybė. Kai yra multiplikatyvioji funkcija, o eilutė ( )mf


9

( )∑∞

=1nnf

absoliučiai konverguoja, tai teisinga tapatybė:

. ( ) ( )∏∑∑∈

∞

=

∞

=

=Pp k

k

n

pfnf01

1 teorema. Funkcijos ( )nτ , ( )naσ , ( )nϕ yra multiplikatyvios. Funkcija ( )nϖ adityvi. Įrodymas. 1. Tarkime . Tada pagal TP skaičių savybes: ( ) 1, =nmD ( )ndmddddmnd ||| 2121 ∧∧=→ . Bet skaičiaus m daliklių kiekis yra ( )mτ , skaičiaus n - ( )nτ . Todėl, pagal kombinatorinę daugybos taisyklę, sandaugą galėsime sudaryti 21dd ( )mτ ( )nτ skirtingų būdų. 2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (nmdddddddmn aa

nd

a

md

a

ndmd

aa

ndmd

a

mnd

aa σσσ )∑∑∑∑∑ =⋅====

|2

|1

|,|21

|,|21

| 212121

.

3. Funkcijos ( )nϕ multiplikatyvumo kol kas neįrodinėsime (patikrinkite šią jos savybę konkrečiais pavyzdžiais); funkcijos ( )nϖ adityvumas išplaukia betarpiškai iš skaičiaus kanoninio skaidinio išraiškos: jei ( ) 1, =nmD , tai , o

ir

rar

aa pppm ⋅⋅⋅= ...2121

ttqqqn βββ ⋅⋅⋅= ...21

21 ( ) ji qpji ≠∀ , . Todėl sandauga mn turi tr + pirminių daliklių, t.y. ( ) ( ) (nmmn )ωωω += .

2 teorema. Kai , tai: rar

aa pppn ⋅⋅⋅= ...2121

( )nτ = ; ( )( ) ( ) ( ) =( )

∏ −−+

iai

ai

pp i

111α

; ( ) rn =ϖ . ∏=

+=+++r

iin

121 11...11 αααα ( )naσ

Įrodymas. Paskutinė formulė – triviali. Toliau, kadangi ( )nτ , ( )naσ yra MF, tai užtenka mokėti apskaičiuoti jų reikšmes, kai . Skaičiaus dalikliais tegali būti tik 1, . Jų yra

αpn = αpαppp ,...,, 2 1+α . Pagaliau, pagal GP narių sumos formulę:

( )( )

11...1

12

−−

=++++=+

a

aaaaa

a pppppp

ααασ . QED.

Atskiru atveju, funkcija ( )n1σ žymima tiesiog ( )nσ . Skaičių teorijoje dažnai panaudojamos ir funkcijos: - skaičiaus sveikoji dalis; žymima Rx∈ [ ]x ir lygi didžiausiam sveikajam

skaičiui neviršijančiam x, - bei skaičiaus trupmeninė dalis , žymima Rx∈ { }x ir apibrėžiama lygybe

. { } [ ]xxx −=Pvz., [ ] { } ( ) .3,0137,127,12,137,12 =−−−=−−=− Iš apibrėžimo išplaukia, kad ( ) { } 10 <≤∈∀ xRx .


10

3 teorema. Jei x > 0, tai intervale ( ]x,0 yra lygiai ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡dx skaičiaus d kartotinių.

Įr. Pagal AA, skaičiaus d teigiamų kartotinių sekoje yra toks , kad . Iš čia

( ) ,...1,...,,2, dqqddd +Nq∈ ( )dqxqd 1+<≤

1+<≤ qdxq , t.y. ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=dxq . QED.

Išvada. Kai , tai . rar

aa pppn ⋅⋅⋅= ...2121 ( ) ( )∏

=

−−=r

iii

ii ppn1

1ααϕ

Iš tikrųjų, kadangi funkcija ( )nϕ yra multiplikatyvi, tai, kaip ir 2 teoremoje, tereikia mokėti apskaičiuoti ( )αϕ p . Tačiau tarp skaičių nuo 1 iki nebus TP su tik

tie, kurie dalijasi iš p, o pastarųjų, pagal 3 teoremą, yra

αp αp

1−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ αα

pp

p . Todėl

( ) 1−−= αααϕ ppp . Iš kitų AF skaičių teorijoje gerai žinoma Miobiuso funkcija ( )nµ , kuri

apibrėžiama taip: jei yra , tai npPp |, 2∈ ( ) 0=nµ ; jeigu gi , tai . Be to,

rpppn ...21=

( ) ( )rn 1−=µ ( ) 11 =µ . Pvz., ( ) 012 =µ , o ( ) ( ) 1130 3 −=−=µ . Pasirodo, šios funkcijos savybės irgi labai tampriai susijusios su pirminių skaičių pasiskirstymo problemomis. Pavyzdžiui, paskaitoje 3 – 02 paminėta Riemann’o hipotezė ekvivalenti įverčiui

( ) ( )c

xmxOm =∑

≤

µ

su bet kokia teigiama konstanta c < 1. Formule

( ) ( )dgdmfmgf

md∑ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=∗

|:)(

visų multiplikatyviųjų funkcijų aibėje M apibrėžus algebrinę sąsukos operaciją ∗ , galima parodyti, kad AS yra Abelio grupė. ( ∗,M )

P 3 - 04 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA

10

Paskaita 3 – 04

Diofantinės lygtys. Sisteminiai skaičiai

Aritmetinės funkcijos, Oilerio sandauga Kartais tenka ieškoti lygties su daugiau nei vienu kintamuoju ( ) 0,...,, =zyxF

sprendinių. Dažniausiai tokios neapibrėžtosios lygtys (senovės graikų matematiko Diofanto garbei jos dažnai vadinamos diofantinėmis) sprendinių turi be galo daug. Pvz., kvadratinėje lygtyje x-so reikšmę parinkę bet kaip, kaskart gausime konkrečią y reikšmę. Kai ieškome tik sveikųjų tokių lygčių sprendinių, tai jų kiekis ir forma įgauna konkretesnį pavidalą.

032 =− yx

Plačiau aptarsime tik paprasčiausią pirmojo laipsnio lygtį su dviem kintamaisiais , cbyax =+ Zcba ∈,, . (1) Teorema. Jei , o pora ( ) 1, =baD ( )00 , yx yra atskirasis (1) lygties sprendinys, tai

jos bendrasis sprendinys yra toks: ( )atybtx −+ 00 , , . (2) Zt ∈Jei ir tai (1) lygtis sprendinių visai neturi. ( ) dbaD =, cd |/Įr. Iš tikrųjų, jei teisingos teoremos prielaidos, tai pažymėję ( )11 , yx bet kurį (1)

lygties sprendinį turime: ( cbyaxcbyax =+∧=+ 1100 ) ( ) ( )1001 yybxxa −=−→ .

Tad skaičius turi būti dalus iš b, t.y. 01 xx − Ztbtxx ∈=− ,01 , arba kitaip: . Todėl Ztbtxx ∈+= ,01 ( ) Ztatyyyybabt ∈−=→−= ,0110 .

Lieka patikrinti, ar tikrai sveikųjų skaičių pora (2) tenkina lygtį (1). Teisinga ir bendresnė teorema: kai ),...,,( 21 naaaDd = , tai neapibrėžtoji lygtis su n kintamųjų bxaxaxa nn =+++ ...2211 turi sprendinių tada ir tiktai tada, kai bd | . Skaičių teorijoje nagrinėjamos ne tik tiesinės diofantinės lygtys. Bendroji diofantinių lygčių sprendimo metodika nėra sukurta, tačiau kai kurie atskiri atvejai yra išsamiai išnagrinėti. Užduotis. Atlikite (2) sprendinio patikrinimą. Perskaitykite 9§ iš vadovėlio II d.

Sisteminiai skaičiai

Yra dvejopos skaičiavimo sistemos: pozicinės ir nepozicinės. Iš nepozicinių skaičiavimo sistemų iki šiol yra išlikusi romėniškoji (RS). Nepozicinėse skaičiavimo sistemose simbolio reikšmė nepriklauso nuo jo vietos skaičiaus užraše. RS simboliu I žymime vienetą, V – 5 , X – 10 , L – 50 , C – 100 (centum), D – 500 , M – 1000 (mille). Užrašant natūraliuosius skaičius RS, laikomasi kelių taisyklių:

a) skaičiaus užrašas skaitomas iš kairės į dešinę,


11

b) jei pirmesnis simbolis reiškia didesnį skaičių, nei paskesnis, tai jų reikšmės sudedamos, jei atvirkščiai – atimamos. Tarkime užrašas IX skaitytinas 10 – 1 , o užrašą VII suprantame taip: 5 + 1 + 1 ,

c) prieš didesnį simbolį: iš viso nerašomi vadinamieji pagalbiniai simboliai, t.y. V, L, D , o bet kuris iš pagrindinių simbolių I, X, C, M gali būti parašytas tik vieną kartą. Pvz., užrašas XC reiškia 100 – 10 = 90 ir yra korektiškas, tuo tarpu užrašas XXXC nenaudotinas ir keistinas į LXX .

Romėniškoji sistema šiuo metu mažai naudojama, kadangi joje nepatogu atlikti veiksmus su didesniais skaičiais, be to, nėra patogu operuoti trupmenomis, t.y. racionaliaisiais skaičiais. Pozicinėse skaičiavimo sistemose simbolio reikšmę apsprendžia jo vieta skaičiaus užraše. Populiariausia šiuo metu yra dešimtainė skaičiavimo sistema. Jos atsiradimo priežasčių reiktų ieškoti žmogaus anatomijoje: ir ant rankų ir ant kojų žmogus turi po 10 pirštų. Bet žmonijos istorijoje būta ir kitokių skaičiavimo sistemų: pvz., kai sistemos pagrindu yra “kapa”, t.y. skaičius 60, ar vienos rankos pirštų skaičius 5; būta ir kitokių pavyzdžių. Beje, simbolius 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 sugalvojo dar senovės arabai. Yra tautų (pvz. Graikija), kuriose retsykiais naudojami ir kitokie simboliai, tačiau senovės arabų pasiūlytieji išliko populiariausi iki šiol. Tai nereiškia, kad mes privalome juos naudoti. Įtikinkime pasaulį, kad simbolis ♣ yra patogesnis už simbolį 1, simbolį 2 pakeiskime kad ir tokiu ♥, o “ieroglifas” Ξ lai reiškia 3. Turėsime tris pirmuosius originalius simbolius. Originalumui užbaigti įprastą + pakeiskime ženklu &. Ir nieko neatsitiks. Tereikės įtikinti visus, kad vietoje 1+2 = 3 patogiau rašyti ♣&♥=Ξ … Žinoma, vargu, ar tai pavyks ☺ .

Matematikui apskritai labai svarbu suprasti to ar kito matematinio fakto vietą įmanomai bendresnės teorijos kontekste, jo abstrakcijos laipsnį.

Įprastą mums dešimtainį užrašą galima pakeisti kad ir tokiu: ir nematyti jokių principinių prieštaravimų. Beje, apsiraminę eksperimentuoti, naudojame arabiškus skaitmenų žymenis, nors tai, kaip sakyta, ir nebūtina. Pastarąją skaičiaus 527 išraišką sutrumpintai užrašę pavidalu

, turėsime kitokį (sakome: “šešetainį”) skaičiaus 527 užrašą. Pasirodo, - tai tik viena iš be galo daugelio skaičiaus užrašymo galimybių!

7102105527 2 +⋅+⋅=5636262527 23 +⋅+⋅+⋅=

62235527 =

1 teorema. Kiekvieną natūralųjį skaičių M galima vieninteliu būdu užrašyti pavidalu

, 011

1 ... bgbgbgbM kk

kk ++++= −

− 10 −≤≤ gbi , (3) kuris vadinams skaičiaus M sisteminiu g - tainiu užrašu (k +1 – ženkliu). Čia 1 yra bet koks fiksuotas natūralusis skaičius, vadinamas

>gskaičiavimo sistemos pagrindu, o

sveikieji skaičiai , k vadinami skaičiaus M g-tainiais ib i ,...,1,0= vienženkliais skaitmenimis.

Įrodymas. Galimumas lengvai įrodomas naudojant sustiprintą matematinės indukcijos principą. Kai 1=M , tai su bet kokiu natūraliuoju : 1>g 0,10 === kbM .

Tarkime teoremos tvirtinimas galioja su visais skaičiais mažesniais už natūralųjį M > 1 . Įrodysime, kad (3) užrašas galioja ir pačiam M. Pagal DLT egzistuoja sveikieji

tokie, kad 0, bQ 0bgQM +⋅= ir 10 0 −≤≤ gb . (4)


12

Kadangi , tai jam galioja indukcijos prielaida, t.y. Q užrašomas g-tainiu sisteminiu m + 1 – ženkliu užrašu :

MQ <

, 011

1 ... agagagaQ mm

mm ++++= −

− 10 −≤≤ gai . Įstatę šią išraišką į (4) ir, atitinkamai sutvarkę žymenis

( 1,...,1,0,:,1: 1 −==+= + kjbamk jj ), gauname galimumo įrodymą. Vienatis išplaukia iš DLT vienaties ir indukcijos prielaidos. Pastebėsime, kad, kai , tai tradicinių, “arabiškų” vienženklių skaitmenų

neužtenka. Tuokart trūkstamų skaitmenų žymenis tenka sugalvoti naujai. Neretai tai daroma paprasčiausiai naudojant skliaustelius.

10>g

Pavyzdžiui, kai M = 873, o g = 20, tai: . 13203202 2 +⋅+⋅=MSakome, kad dešimtainis skaičius 873 užrašytas dvidešimtainėje sistemoje. Sutrumpintai rašome: . Simboliu 2010 )13(23873 = ( )13 pažymėtas 14 – tasis vienženklis 20 – tainės skaičiavimo sistemos skaitmuo. Taip žymint, paskutinis, dvidešimtas skaitmuo būtų (19). Kaip gauti sisteminį skaičiaus užrašą?

Konkretaus skaičiaus M vienženklius skaitmenis g-tainiame sisteminiame užraše (3) galima apskaičiuoti įvairiai. Pvz., remiantis žemiau pateikiama teorema.

2 teorema. ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= +1iii g

MggMb ki ,...,1,0= .

Įr. Iš sisteminio skaičiaus M užrašo (3) išplaukia, kad su visais ki ,...,1,0=

ii

iik

kik

ki gb

gb

bgbgbgM 011

1 ...... ++++++= −−−−

− ,

10

12

11

1 ...... ++−−

−−−

+ ++++++= ii

iik

kik

ki gb

gb

bgbgbgM .

Tačiau

( ) 1...1...1111...11... 220

221 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++−<

−+

−+

−≤++ −−

iiiii

gggg

gg

gg

gg

gb

gb

gb

,

todėl

iik

kik

ki bgbgbgM

+++=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−−

− ...11 , (5)

ir, atitinkamai ,

12

11

1 ... +−−

−−−

+ +++=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡i

ikk

ikki bgbgb

gM . (6)

Atėmę iš (5) – čios lygybės (6) – tą, padaugintą iš g, baigiame teoremos įrodymą. Pvz., kai M = 873, o , tai 20=g 2=k , nes

002002087320

20873

433 =⋅−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=b .

Toliau


13

202022087320

20873

322 =⋅−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=b ,

3220432087320

20873

211 =⋅−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=b ,

1343208732087320

20873

100 =⋅−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=b .

Sveikųjų skaičių pervedimui iš vienos skaičiavimo sistemos į kitą, dar naudojami

dalybos ir daugybos būdai. . Dalybos būdas grindžiamas tuo, kad (3) sisteminį užrašą pertvarkius pavidalu , 001

1 :)...( bAgbgbgbM kk +=+++= −

pastebime, jog skaitmuo yra skaičiaus M dalybos iš g liekana. Savo ruožtu, skaičių A dalinant iš g gausime liekanos ir t.t.

0b

1bDaugybos būdu rekomenduoju išsamiau pasidomėti patiems (žr. vadovėlį). Kaip

pavyzdį čia pateiksime tik to paties skaičiaus pervedimą į 5 – tainę skaičiavimo sistemą iš pradžių dalybos , o po to – daugybos būdu.

97375

Dalybos būdas. Turime (veiksmai atliekami 9 – tainėje sistemoje!): , 44143257375 09 =→+⋅= b

2226051432 19 =→+⋅= b , 11475260 29 =→+⋅= b ,

338547 39 =→+⋅= b , 133158 549 =∧=→+⋅= bb . Ats. 59 1331247375 = .

Daugybos būdas. (Dabar veiksmai atliekami 5 – tainėje sistemoje!): . 510 149 =

5510 23132232236397 =+→==⋅ ,

5

127

555 44011243344334142315

=+→=⋅=

,

5

105

555 133124101331141331141444015

=+→=⋅=

. Ats. 59 1331247375 = . Specialus atvejis. Kai pagrindai g ir p susieti lygybe , tai pervedimo

procedūra yra žymiai paprastesnė. Tereikia pastebėti, kad, pagal 1 teoremą, g- tainės skaičiavimo sistemos vienženkliai skaitmenys

kpg =

1,...,2,1,0 −g užrašomi k- ženkliais p- tainiais skaičiais. Kadangi kiekvienas iš jų yra griežtai mažesnis už , tai kp { }( ) { }( ) ll

klk

klkjl apapapalkagl 0,1

2,2

1,1 ...1,...,1,01,...,1,0 ++++=−∈∃−∈∀ −

−−

− . Pavyzdžiui, kai 2,8 == pg , tai 3=k . Tada, pvz., vienženklis skaitmuo 6

užrašomas triženkliu dvejetainiu skaičiumi 110, nes . Apskritai, naudinga susidaryti lentelę visiems vienženkliams skaitmenims:

021216 2 +⋅+⋅=

0=000, 1=001, 2=010, 3=011, 4=100, 5=101, 6=110, 7=111. Tada, norint 8-tainį skaičių pervesti į dvejetainę skaičiavimo sistemą, tereikia pasinaudoti sudarytąja lentele:

87103566

. 28 1101101100110000011117103566 =


14

Jei norime dvejetainį skaičių pervesti į aštuntainę sistemą, - elgiamės atvirkščiai : suskirstomee dvejetainį skaičių (iš dešinės) po tris ir pasinaudojame lentele: 822 111355611011011010101000111110110110010100101 == .

Apskritai, norint g-tainėje skaičiavimo sistemoje atlikti aritmetinius veiksmus, tenka susidaryti naujas sudėties ir daugybos lenteles ir prie jų priprasti.

P 3 – 05 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA 1

Paskaita 3 – 05 Grandininės trupmenos Nagrinėjome temą “Sisteminiai skaičiai”. Vėliau matysime, kad visiškai analogiškai, kaip ir 10-ainėje

skaičiavimo sistemoje, galima įvesti ir g-taines trupmenas . Baigtinės grandininės trupmenos Dar mokykloje sužinome, kad skaičiai gali būti įvairiai užrašomi. Štai racionaliuosius

skaičius galima užrašyti paprastųjų trupmenų (taisyklingų arba ne) pavidalu, arba dešimtainėmis trupmenomis. Užrašas dešimtaine trupmena gali būti baigtinis arba begalinis. Įrodyta, kad racionalieji skaičiai užrašomi tiktai baigtinėmis arba begalinėmis, bet periodinėmis dešimtainėmis trupmenomis. Bendresniu atveju galima kalbėti apie skaičiaus sisteminį užrašą bet kokiu pagrindu , . Tuokart skaičiaus išraiškos tipas priklauso nuo pasirinktojo

pagrindo g . Pavyzdžiui, racionalusis skaičius (netaisyklingoji trupmena)

1>g Ng ∈

613

=t užrašomas

begaline periodine (tiksliau – mišria periodine) dešimtaine trupmena: ( )106,2:...1666,2 ==t . Jeigu gi pasirinksime dvyliktainę skaičiavimo sistemą, tai tas pats skaičius užsirašys jau baigtine dvyliktaine trupmena .2,2 12=t

Yra dar vienas realiųjų skaičių užrašymo būdas jau nebepriklausantis nuo iš anksto parenkamo skaičiavimo sistemos pagrindo, o tiktai nuo paties skaičiaus.

Pradėsime nuo formalaus apibrėžimo. Tarkime yra realieji skaičiai ir , kai . Lygybėmis:

...,, 10 qq 0>iq1≥i

[ ] 00 : qq = , [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

1010

1:,q

qqq ,…,

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+= −−−

nnnnn q

qqqqqqqq 1,,...,,:,,...,, 1210110 ,… (1)

rekurentiškai apibrėžkime simbolį, kurį vadinsime grandinine trupmena (sutrumpintai – GT) ir žymėsime . Skaičiai [ ],...,,...,, 110 nn qqqq − ...,1,0, =iqi vadinami grandininės trupmenos elementais. Nuosekliai taikydami apibrėžimą (1), GT galime užrašyti tokia “daugiaaukšte” išraiška:

[ ]...

11,...,...,,,

21

0210

++

+=

qq

qqqqq n . (2)

Toliau mes domėsimės tiktai tokiomis GT, kuriose yra natūralieji, o - sveikasis skaičius, nors galimas ir bendresnis sąvokos grandininė trupmena supratimas.

1, ≥iqi 0q

Akivaizdu, kad , kai natūraliųjų elementų skaičius yra baigtinis, tai GT yra tam tikras racionalusis skaičius. Šiuo atveju GT vadinsime baigtine grandinine trupmena (sutrumpintai – BGT). Kai elementų seka

iq

...,1,0, =iqi yra begalinė, šitoks apibrėžimas ir išraiška (2) kol kas yra tik formalūs, nes neaiški tokio reiškinio prasmė: neaišku, nei kas pridedama prie , nei iš ko kaskart dalinamas vienetas. iq Pasirodo, kad BGT aibė sutampa su racionaliųjų skaičių aibe Q, nes bet kokį racionalųjį skaičių irgi galima išskleisti BGT.


Iš tikrųjų, jei Qbat ∈= , tai, sveikiesiems skaičiams a ir b pritaikius (iš dalybos su

liekana teoremos išplaukiantį) Euklido algoritmą, turėsime: ||0, 110 brrbqa <<+= ,

12211 0, rrrqrb <<+= ,

233221 0, rrrqrr <<+= , ………………………………

1112 0, −−−− <<+= nnnnnn rrrqrr , .1 nnn qrr =−

Iš šių lygybių, nuosekliai išreikšdami skaičius ba ,

1rb ,

2

1

rr , …, n

n

n qr

r=−1 , gausime

racionalaus skaičiaus t išraišką jau matyta “daugiaaukšte” trupmena:

[ n

nn

qqqq

qq

qq

qbat ,...,,,

1..............

11

1210

1

2

1

0 =

+

++

+==

−

] . (3)

Nesunku patikrinti, kad ji tenkina aukščiau pateiktą (1) rekurentinį apibrėžimą. Tad sakome, kad racionalusis skaičius t yra išreikštas baigtine grandinine trupmena. Iš Euklido algoritmo išplaukia, kad pirmasis elementas (skaičiaus t sveikoji dalis) gali būti lygus nuliui ar neigiamam sveikajam skaičiui, o kiti BGT elementai yra natūralieji skaičiai. Jei paskutinis elementas yra lygus vienetui, tai

0q

nq

1111

111 +=+=+ −−− nnn

n qqq

q

ir BGT užrašas tiesiog sutrumpėja: [ ]1,...,; 110 +−nqqq . Todėl susitarta laikyti, kad . Tada nesunku parodyti, kad išraiška (3) konkrečiam racionaliajam skaičiui yra vienintelė. Reziumuodami tai, kas pasakyta, galime suformuluoti tokią teoremą.

1≠nq

1 teorema. Kiekvienas racionalusis skaičius bat = yra vienareikšmiškai išskleidžiamas

pavidalo (3) BGT, kurios elementai yra nepilnieji santykiai, gauti taikant Euklido algoritmą skaičiams a ir b .

Pavyzdžiui, išskleiskime BGT racionalųjį skaičių 31

705 . Skaičiams 705 ir 31 taikome

Euklido algoritmą: ,233122705 +⋅= ,823131 +⋅= 78223 +⋅= , .

,1718 +⋅=177 ⋅=Nepilnieji santykiai , 220 =q 11 =q , 22 =q , 13 =q , =4q 7 ir yra ieškomo skleidinio

elementai. Todėl, [ ]7,1,2,1,2231

705= .

Reduktai ir jų savybės Ap. Nutraukus GT (baigtinę ar begalinę) ties jos r- tuoju (suprantama, kad BGT

atveju, nr ≤ ) elementu, gautą racionalųjį skaičių [ ]r

rrr Q

PqqqqR :,...,,,: 210 == vadiname tos

GT r- tosios eilės (arba: r- tuoju) reduktu.


Reduktų skaitikliai ir vardikliai turi daug įdomių savybių, įgalinančių efektyviai taikyti GT . Pastebėsime, kad daugeliui šių savybių GT elementų sveikareikšmiškumas nėra būtina sąlyga.

1. Galima įrodyti (pvz., matematinės indukcijos metodu), kad su visais , GT k-tojo redukto skaitikliai ir vardikliai tenkina rekurentines išraiškas:

2≥k

kP kQ

21 −− += kkkk PPqP 21 −− += kkkk QQqQ . Patogumo dėlei, papildomai apibrėžus, kad ir 11 =−P 01 =−Q , rekurentinės formulės galioja su visais . 1≥k Iš tikrųjų, jei pastebėsime, kad pagal apibrėžimą (1):

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+==

+−++

11101101

1,,...,,:,,...,,k

kkkkk qqqqqqqqqR ,

tai, pasinaudoję indukcijos prielaida, gausime

( )( ) 1211

1211

211

211

1 1

1

−−−+

−−−+

−−+

−−+

+ ++++

=+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=kkkkk

kkkkk

kkk

k

kkk

k

k QQQqqPPPqq

QQq

q

PPq

qR

11

11

−+

−+

++

=kkk

kkk

QQqPPq

.

Iš šios reduktų savybės išplaukia, kad vardikliai yra natūralieji skaičiai ir, iQ kai , sudaro griežtai didėjančią seką. 1≥i2. Indukcijos būdu taipogi nesunku parodyti, kad ( )Nk ∈∀ ( )k

kkkk QPQP 111 −=− −− . 3. GT reduktai yra nesuprastinamos trupmenos, t.y. su visais k , . ( ) 1, =kk QPD Tarę, jog ( ) 1, >= dQPD kk , pagal 2-ą savybę, gautume prieštarą, kad d |1. 4. Reduktų su lyginiais numeriais seka ( )kR2 yra didėjanti, o seka yra

mažėjanti . Ši savybė išplaukia iš lygybės ( 12 +kR )

( )

22

2 1

−−

− −=−

ll

ll

l

l

l

l

QQq

QP

QP

,

įstačius vietoje l paeiliui, atitinkamai, 2k ir 2k+1. BGT atveju, paskutinis reduktas (lyginis arba nelyginis) sutampa su išskleistuoju racionaliuoju skaičiumi. 5. Su visais k , ir 122 +< kk RR 122 −< kk RR . Savybė įrodoma du kartus paeiliui (kai

ir kl 2= 12 += kl ) panaudojus lygybę ( )

1

1

1

1 1

−

−

−

− −=−

ll

l

l

l

l

l

QQQP

QP

.

6. Su visais k ir l . Iš tikrųjų, (imant, pvz., atvejį ) iš 4-5 savybių nuosekliai gauname:

122 +< lk RR lk >

12122 ++ << lkk RRR . 7. Baigtinės GT atveju turime, kad su visais 1−≤ nk

21

111

kkkkkk QQQ

RRRt ≤=−≤−+

+ .

Baigtinės ar begalinės GT reduktus patogu apskaičiuoti sudarant atitinkamą lentelę, kurioje reduktų skaitikliai ir vardikliai randami remiantis rekurentinėmis formulėmis. Pvz.,

rasime visus mūsų išskleisto skaičiaus [ 7,1,2,1,2231

705= ] reduktus. Sudarome lentelę:

k −1 0 1 2 3 4

kq 22 1 2 1 7


kP 1 22 23 68 91 705

kQ 0 1 1 3 4 31

Todėl 31

705,491,

368,

123,

122

43210 ===== RRRRR . Šiuo atveju pats skaičius

sutampa su lyginės eilės reduktu . Jei turime racionaliojo skaičiaus skleidinį, o norime žinoti patį skaičių, tai paskutinis šitaip apskaičiuotas reduktas ir bus atsakymas. Be to, pagal 3 – čią reduktų savybę, atsakymą gausime nesuprastinamos trupmenos pavidalu.

4R

Pvz., skaičiui [ ]292,1,15,7,3=β gausime: k −1 0 1 2 3 4

kq 3 7 15 1 292

kP 1 3 22 333 355 103993

kQ 0 1 7 106 113 33102

Todėl ir . 33102

1039934 == Rβ ( ) 133102,103993 =D

)

Begalinės grandininės trupmenos. Artiniai Dabar aptarkime, kaip suprantamas užrašas (2), kai elementų seka ( yra begalinė. )iqAp. Jei reduktų seka yra konverguojanti, tai jos riba ( iR α vadinama GT (2)

reikšme ir rašoma

[ ]...

11,...,...,,,

21

0210

++

+==

qq

qqqqq nα .

2 teorema. Begalinės GT reduktų seka ( )iR visada konverguoja. Įr. Parodysime, kad tokios GT reduktų seka ( )iR tenkina Košy kriterijų: koks bebūtų

0>ε , galima nurodyti tiek didelį numerį M, kad su visais natūraliaisiais k, m didesniais už M, galiotų: ε<− mk RR .

Galime laikyti, kad . Kadangi mk >

( ) mkmjjQQRRRR

k

mj

k

mj jj

k

mjjjmk

1111

11 11

1

1

1 <−=+

≤=−≤− ∑∑∑−

=

−

= +

−

=+ ,

tai įrodymui tereikia pasirinkti ε1

>M .

Svarbu yra tai , kad baigtine ar begaline GT galima užrašyti bet kokį realųjį skaičių. Tik užrašas (2) tada gali būti ir nebaigtinis. Tiksliau, yra teisinga tokia teorema. 3 teorema. Bet kokį realųjį skaičių α galima vienareikšmiškai išskleisti GT . Ta GT yra baigtinė, kai α yra racionalusis ir begalinė, kai α irracionalusis skaičius.

Įr. Iš pradžių priminsime, kad kiekvienas realusis skaičius x vienareikšmiškai užrašomas kaip savo sveikosios dalies [ ]x ir trupmeninės dalies { }x suma, t.y. [ ] { }xxx += . Čia . { } 10 <≤ x

Jei [ ]α=:0q , o { }α=:1

1r, tai [ 10

10 ,1 rq

rq =+=α ] ir, jei tik α nėra sveikasis skaičius,

tai . Toliau, pažymėję , o 11 >r [ ] 11 : qr = { }12

:1 rr

= , kai , galėsime užrašyti : 12 >r


[ ]210

21

0 ,,1

1 rqq

rq

q =+

+=α .

Šitą procesą galima tęsti toliau. Kai n+1- ame žingsnyje , tai pažymime [ ]1>nr nn qr := ir

{ }nn

rr

=+

:1

1

. Be to, su kiekvienu n galioja toks užrašas

[ 1210 ,,...,,, += nn rqqqq ]α . (4) Kaip matėme anksčiau, kai α yra racionalusis, tai aprašytas procesas yra baigtinis , -

tai išplaukia iš EA. Kai α yra irracionalusis skaičius, aprašytas procesas negali būti baigtinis, nes gautume prieštarą: racionalusis skaičius yra lygus irracionaliajam. Tad irracionalaus skaičiaus α atveju, gauname jo skleidinį begaline GT

. Skleidinio vienatis išplaukia iš skaičiaus sveikosios dalies vienareikšmiškumo. QED. [ ,...,...,,, 210 nqqqq ]

Įvestųjų sąvokų prasmė ypač paaiškėja pastebėjus, kad GT reikšmė sutampa su pačiu skaičiumi α .

4 teorema. Sekos ( ) riba yra būtent išskleistasis skaičius nR α . Įr. Iš tikrųjų, kadangi skaičiai , ir , nepriklauso nuo GT elementų, kurių indeksai yra didesni už n, tai iš (4) gauname:

nP 1−nP nQ 1−nQ

( )11

11

11

11

−+

−−

−+

−+

+−

=−++

=−nnnn

nnnn

n

n

nnn

nnn

n

n

QQrQQPQP

QP

QQrPPr

QP

α .

Iš čia, pasinaudoję, reduktų savybėmis ir tuo, kad , gauname 11 ++ > nn qr

( ) ( ) 211111

1111

nnnnnnnnnnnn QQQQQqQQQrQ

R ≤=+

<+

=−+−+−+

α . (5)

Kadangi , kai , tai iš čia ir išplaukia, jog ∞→nQ ∞→n

n

n

n QP

∞→= limα .

Teorema įrodyta. Realaus skaičiaus α skleidinio GT reduktus įprasta vadinti tiesiog skaičiaus α

reduktais. Išvada. Irracionalaus skaičiaus α lyginės eilės reduktai yra mažesni, o nelyginės eilės,

– didesni už α . Nelygybė (5), kuri kaip matėme yra teisinga ir BGT (7-ta sav.), įgalina aproksimuoti

realųjį skaičių α racionaliuoju skaičiumi norimu tikslumu. Tereikia tik paimti reduktą su pakankamai dideliu numeriu. Pasirodo, kad toks įvertis yra tam tikra prasme geriausias. Patikslinsime šią sąvoką.

nR

Ap. Racionalusis skaičius ba vadinamas geriausiu realaus skaičiaus α artiniu, jei nėra

trupmenos qp , , su kuria galiotų: bq ≤≤1

ba

qp

−<− αα .

5 teorema. Realaus skaičiaus skleidinio GT reduktai yra jo geriausi artiniai. Teoremos įrodymą praleidžiame. Pabrėžtina, kad sąvoka geriausias artinys nereiškia tiksliausias artinys , nes irracionalaus skaičiaus atveju tiksliausio artinio paprasčiausiai nėra. Šia sąvoka pabrėžiama,


kad tikslumas nėra vienintelis kriterijus parenkant skaičiaus artinį. Dažnai patogiau vietoje tikslesnio bet gremėzdiško artinio naudoti mažiau tikslų, bet papratesnės išraiškos skaičių.

Grandininėmis trupmenomis susidomėta po to, kai garsus viduramžių olandų fizikas astronomas ir matematikas Hiuigensas (Ch. Huygens, 1629 – 1695), bandydamas sukurti planetų judėjimo mechaninį modelį, susidūrė su dantračių, kurių dantukų santykis turi būti kuo artimesnis duotajam skaičiui, parinkimo problema. Dantukų skaičius dantratyje negali būti itin didelis, todėl reikėjo ieškoti dviejų, palyginti, nedidelių natūraliųjų skaičių, kurių santykis būtų artimas tam skaičiui. Šimtmečiu vėliau sistemingą GT teoriją sukūrė žymus šveicarų matematikas L.Oileris (L.Euler, 1707 – 1783), jo darbus pratęsė garsus prancūzų matematikas Ž. Lagranžas (J.L.Lagrange, 1736 – 1813). GT plačiai taikomos aproksimavimo uždaviniuose. Pavyzdžiui, žinoma, kad vidutinis parų skaičius astronominiuose metuose α yra irracionalusis skaičius. Apskaičiuota, keletas jo skleidinio begaline GT elementų: [ ]...,3,1,7,4,365...24220,365 ==α .

Pirmieji reduktai yra tokie: .338365,

297365,

41365,365 3210 ==== RRRR

Jau Senovės Romoje buvo žinomas reduktas 413651 =R ; juo remiantis ilgai naudotas vadinamasis

Julijaus Cezario kalendorius, kai buvo laikoma, kad metuose yra 365 ir dar ketvirtis paros. Tuo remiantis kas ketvirti (keliamieji) metai buvo pailginami viena para. Tačiau nėra labai tikslus 1R α artinys, todėl jau XV amžiuje Cezario kalendorius buvo nukrypęs nuo tikslaus Saulės laiko net 10 parų. 1589 m. popiežius Grigalius patikslino Cezario kalendorių, keliamaisiais nelaikydamas šimtmečių, kurių pirmieji du skaitmenys sudaro dviženklį skaičių nesidalijantį iš 4. Pvz., 1500 m. pagal Grigaliaus kalendorių nėra keliamieji. Bet ir Grigaliaus kalendorius nebuvo labai tikslus. Jo paklaida – 3 paros per 10000 metų. Persų poetas ir matematikas Omaras Chajamas apie 1079 m. buvo sudaręs dar tikslesnį kalendorių, laikydamas, kad keliamieji metai yra kas ketvirti

metai 7 kartus iš eilės, o aštuntą kartą keliamieji yra penktieji metai. Tai reiškė, kad 338365≈α , o tai yra .

O.Chajamo kalendoriaus paklaida mažesnė – tik 2 paros per 10 000 metų.

3R

Pilnas skaičiaus π skleidinys nėra žinomas, tačiau, žinoma gana daug jo GT elementų ir reduktų. Be to, didelis tikslumas pasiekiamas gana greitai. Yra apskaičiuota, kad

[ ]...,4,1,3,1,2,1,1,1,292,1,15,7,3=π .

Tada, pasinaudoję tuo, kad skaičiaus [ ]292,1,15,7,3=β skleidinio elementai sutampa su pirmaisiais π elementais, turime pirmuosius 5 skaičiaus π reduktus – geriausius artinius.

2733102103993,

113355,

106333,

722,

13

43210 ===== RRRRR .

Įdomu tai, kad skaičiai 113355,

106333,

722

kaipo π artiniai buvo žinomi gerokai iki GT teorijos

atsiradimo. Artinį 722

žinojo dar Archimedas (Archimedes, 287-217 p.m.e.), o prieš 1500 metų Senovės Kinijoje

skaičiavimams jau buvo naudojami ir artiniai 113355,

106333

. Iš (5) nelygybės matyti, kad jau skiriasi nuo 1R π

mažiau nei 7001

. Kadangi π skleidinyje 2924 =q , tai reduktai ir, ypač, yra labai tikslūs artiniai.

Pavyzdžiui,

2R 3R

0000002,0331021131

3 <⋅

≤− Rπ .

GT plačiai taikomos ne tik aproksimacijoms, bet ir diofantinėms (neapibrėžtosioms) lygtims, lyginiams spręsti . Mes esame išvedę (žr. P 3 – 04) paprasčiausios diofantinės lygties su sveikaisiais koeficientais cba ,,

cbyax =+ bendrojo sprendinio ( )yx, apskaičiavimo formules: ; btxx += 0 atyy −= 0 ,


kai . Čia yra atskirasis lygties ( ) 1, =baD ( 00 , yx ) cbyax =+ sprendinys. Lengvai parodoma, kad tą atskirą sprendinį galima rasti iš formulių:

( ) 11

0 1 −−−= n

n cQx ; ( ) 10 1 −−= nn cPy .

Čia 1

11

−

−− =

n

nn Q

PR yra skaičiaus

ba skleidinio BGT priešpaskutinis reduktas.

Periodinės grandininės trupmenos Deja, daugumai realiųjų skaičių skleidimas GT nėra paprastas uždavinys. Didesnių

problemų nekelia tik racionalieji skaičiai ir dar viena , gana siaura irracionaliųjų skaičių klasė, - kvadratinės irracionalybės, kurias skleidžiant gauname taip vadinamąsias periodines GT.

Ap. Begalinė GT [ ,...,...,,, 210 nqqqq= ]α vadinama periodine, jei egzistuoja tokie natūralieji skaičiai m ir h, kad su bet kuriuo galioja lygybė . mk ≥ khk qq =+

Tuokart sutrumpintai rašome [ ]11210 ,...,,,...,,, −+−= hmmm qqqqqqα . Kaip ir dešimtainių trupmenų teorijoje galima kalbėti apie grynai periodines ir mišrias

periodines begalines GT. Jei m = 0, tai GT vadinama grynai periodine. Ap. Realųjį , bet neracionalųjį kvadratinės lygties 0 su sveikaisiais

koeficientais a, b, c sprendinį 2 =++ cbxax

α vadinsime kvadratine irracionalybe. Pvz., 7 ir 31+ yra kvadratinės irracionalybės, nes yra , atitinkamai, kvadratinių

lygčių ir šaknys. 072 =−x 0222 =−− xxSkleisdami kvadratinę irracionalybę 2 GT, nuosekliai gauname:

[ ] { } ( )12

111121222

−

+=−+=+= .

Toliau:

( ) ...

1211212212

121

=

−

+=−+=+=−

ir procesas ima kartotis. Tad [ ] [ ]2,1...,2,2,2,12 == .

Apskaičiavę 2741,

1217,

57,

23

4321 ==== RRRR pastebime, kad jau yra gana tikslus

skaičiaus

3R

2 artinys, nes pagal (5):

0031,02712

112172 <

⋅<− .

Pasirodo, kad šitoks 2 skleidimo rezultatas yra dėsningas. Dar 1770 m. Ž. Lagranžas įrodė, kad periodinių begalinių GT aibė sutampa su kvadratinių irracionalybių aibe.

6 teorema. (Lagranžo) Kiekvienos periodinės GT reikšmė yra lygi kvadratinei irracionalybei. Ir atvirkščiai: kiekviena kvadratinė irracionalybė išskleidžiama periodine (grynąja ar mišriaja) GT.

Jeigu norime pagal turimą skaičiaus α skleidinį grynai periodine GT (t.y. m = 0) [ ]...,,...,,,,...,,, 1101210 −−= hh qqqqqqqα

surasti kvadratinę irracionalybę, kurią tas skleidinys išreiškia, tai patogiausia tai daryti naudojantis formule

21

21

−−

−−

++

=hh

hh

QQPP

αα

α . (6)

Čia h yra GT elementų kiekis periode (periodo ilgis).


Ši formulė išplaukia iš (4) išraiškos, kuri, šiuo atveju, atrodo taip: [ ]αα ,,...,,, 1210 −= hqqqq . Pertvarkius (6) formulę , gauname kvadratinę lygtį α atžvilgiu:

. (7) ( ) 02122

1 =−−+ −−−− hhhh PPQQ αα Kai turime skleidinį mišria periodine GT su ilgio m priešperiodžiu [ ]...,,...,,,...,,,,...,,, 1111210 −+−++−= hmmhmmmm qqqqqqqqqα , tai patogiausia pradžioje iš formulės (7) rasti kvadratinę irracionalybę mα išreiškiančią atitinkamą grynai periodinę GT, o tada jau skaičių α apskaičiuoti iš išraiškos:

21

21

−−

−−

++

=mmm

mmm

QQPP

αα

α . (8)

Pavyzdžiui, kai [ ]3,1,1,2,1=α , tai m = 2, h = 3 . Tada sudarome lentelę atitinkamai grynai periodinei trupmenai [ ...,3,1,1,3,1,12 = ]α apskaičiuoti:

k −1 0 1 2

kq 1 1 3

kP 1 1 2 7

kQ 0 1 1 4 Įstatę gautuosius skaičius į formulę (7), gauname:

22

2

1427

ααα

=++ arba . 0132 2

22 =−− αα

Iš čia, 4

1732

+=α . Dabar apskaičiuojame α . Tuo tikslu vėl sudarome lentelę tik dabar jau

pagal priešperiodžio elementus: k −1 0 1

kq 1 2

kP 1 1 3

kQ 0 1 2 Pagal formulę (8) galutinai gauname:

4

1771721017313

1213

2

2 +=

++

=+⋅+⋅

=αα

α .

Apie kvadratinių irracionalybių skleidimą perodinėmis GT yra gauta daug įdomių

rezultatų. Pvz., įrodyta , kad pavidalo q

dp +=α kvadratinė irracionalybė (čia p, q –

sveikieji, d – natūralusis ir Nd ∉ ) išskleidžiama grynai periodine GT tada ir tiktai tada, kai

1>α , o skaičius q

dp −=:1α patenka į intervalą ( )0,1− .

Nors bendro algoritmo ir nėra, bet svarbesnių irracionaliųjų konstantų skleidiniai yra gerai ištyrinėti. Jau kalbėjome apie skaičiaus π skleidinį. Pažymėtina, kad dar 1685 m. buvo apskaičiuoti (J.Wallis) pirmieji 34 skaičiaus skleidinio elementai. Šiuo metu jų žinoma virš 200 000. 1737 m. L.Oileris rado ir itin svarbios matematikoje konstantos, – skaičiaus

skleidinį: ...71828,2=e . [ ],...6,1,1,4,1,1,2,1,2=e


Paskaita 3 – 06

Lyginiai sveikųjų skaičių žiede

Priminsime, kad sveikųjų skaičių žiede yra įrodyta DLT. Jos dėka, su kiekvienu natūraliuoju skaičiumi aibę Z galima suskaidyti į m poaibių 1>m

{ }, . rmqaZaaK r +=∈= ,|: 1...,,1,0 −= mr

}}

Šie poaibiai vadinami liekanų klasėmis moduliu m. Aibę jau esame aptarę skyriuje “Algebrinės struktūros”.

Matėme, kad struktūra { yra žiedas. Šiame skyriuje dar sykį sugrįžtame prie žiedų . Aptarsime agebrinių lygčių sprendimo baigtiniuose žieduose (laukuose) klausimą.

{ 110 ,...,,: −= mm KKKL⋅+,,mL

mL Ap. Jei sveikuosius skaičius a ir b dalijant iš natūraliojo skaičiaus m gauname vienodas liekanas, tai sakome, kad skaičiai a ir b lygsta moduliu m ir rašome : ( )mba mod≡ . Yra vartojamas ir termino “lygsta” sinonimas: “yra kongruentūs”. Pvz, , bet ( )6mod117 −≡ ( )5mod613 ≡/ .

Kai , tai ši sąvoka yra triviali, todėl dažniausiai laikysime, kad . 1=m 1>mIšvada. Visi tos pačios liekanų klasės skaičiai yra rK palyginami tarpusavyje. 1 teorema. tada ir tiktai tada, kai ( mba mod≡ ) bam −| .

)Įr. 1. Jei ( mba mod≡ , tai, pagal apibrėžimą, rmqbrmqa +=∧+= 21 . Tačiau tada: ( ) bammqmqqba −→=−=− |: 321 .

2. Jei , atvirkščiai, bam −| , tai reiškia, kad yra toks sveikasis q , kad . Tada, jei dalinant b iš m gauname bqmaqmba +=⇒=− rmqb += 1 , tai

( ) rmqqrmqqmbqma ++=++=+= 11 o tai ir parodo, kad ir skaičiaus a dalybos iš m liekana yra tas pats skaičius r. QED. Dažnai AST’os vadovėliuose lyginumo apibrėžimas yra keičiamas tik ką įrodyta teorema; tada mūsų suformuluotas apibrėžimas yra įrodomas, t.y. pats tampa teorema.

Lyginių savybės 1. Lyginumo (kongruencijos) sąryšis yra ekvivalentumo sąryšis.

Išvada. mLZ =≡ .

2. Lyginius tuo pačiu moduliu galima panariui sudėti, atimti, dauginti. Įrodysime, pavyzdžiui, kad iš ( )mba mod≡ , ( )mdc mod≡ išplaukia

. ( )mbdac mod≡Turėdami, kad ir mqba 1=− mqdc 2=− , gauname: =−+−=− bdbcbcacbdac ( ) ( ) ( )mbdacmqmbqmcqbdccba mod: 321 ≡⇒=+=−+−= .

Pvz., ( )∧≡ 4mod73 ( ) ( ) ( ) ( 4mod7334mod884mod6144mod111 −≡ )∧≡−∧≡→−≡ .

3. Jei ir ( ) 01:, ddbaDd == ( ) 1, ddmD = , tai lyginio ( )mba mod≡ abi puses galima


suprastinti iš d , o modulį iš . Kitaip sakant, lyginiai ir 1d ( )mba mod≡

( )⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝

⎛≡

dmDm

db

da

,mod yra ekvivalentūs.

Iš tikrųjų, jei , tai ( mba mod≡ ) qmba =− . Kadangi duota, kad: ir 0101 ','' ddbbddadaa === 1'dmm = , tai

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≡→=−→=−→=−

dm

db

daqmdbdadqmddbddaqmba mod'''''' 0010101 .

nes iš išplaukia, kad . ( ) 1,0 =mdD qd |0

Atvirkščias tvirtinimas išplaukia dar paprasčiau: ( ) ( mmamqdbaqmdddqmdbdaqmba mod'''''' 0010 ≡→ )=−→==−→=− .

Išvada. Jei ir ( ) dbaD =, ( ) 1, =dmD , tai lyginio ( )mba mod≡ abi puses galima suprastinti iš d , nekeičiant modulio.

Pvz., teisingas lyginys ( )8mod78102 ≡ suprastinus abi pusi iš 6 , o modulį iš 2 virsta teisingu lyginiu . Tuo tarpu teisingą lyginį ( 4mod1317 ≡ ) ( )25mod2070 ≡ prastinant jo abi puses iš 20, ir,nesilaikant 3 – čios taisyklės, gautume: ( )25mod27 ≡ , t.y., - netiesą. 4. Jei , tai mm |1 ( )mba mod≡ ⇒ ( )1mod mba ≡ . 5. )(mod mba ≡ ( ) ( )mbDmaD ,, =→ . 6. Jei , tai ( ) Zaaxaxaxaxf i

nn

nn ∈++++= −

− ,... 011

1

( ) ( ) ( )( )mbfafmba modmod ≡⇒≡ . PLS ir RLS mod m , savybės

Ap. Rinkinį skaičių, paimtų lygiai po vieną iš kiekvienos liekanų klasės , vadinsime pilnąja liekanų sistema moduliu m (sutrumpintai: PLS modm).

mmod

Pvz., rinkinys 16, 33, -2, 43 yra PLS mod 4 . 2 teorema. Jei ir rinkinys sudaro PLS , tai su

visais sveikaisiais b, rinkinys ( ) 1, =maD mxxx ,...,, 21 mmod

baxbaxbax m +++ ,...,, 21 irgi sudaro PLS . mmodĮr. Komentuojant PLS apibrėžimą, pastebime, jog tam, kad skaičių

rinkinys būtų PLS modm, reikia: mmod

1) kad skaičių būtų lygiai m, 2) jie būtų kas du nepalyginami. Šis komentaras ir generuoja įrodymą, nes leidus, kad ( )mbaxbax ji mod+≡+ , iš

lyginių savybių išplaukia, kad ( )mxx ji mod≡ .

Ap. . ( ) ( maDmKDdef

a ,, = )

Pvz., . ( ) ( ) 333,1533,15 ==DKDToks apibrėžimas yra korektiškas, nes iš DBD savybių žinome, kad ( ) ( ) ( )maDmbDKb a ,, =∈∀ .

Ap. Jei , tai klasę vadinsime tarpusavyje pirmine su moduliu m . ( ) 1, =mKD a aK


Pvz., liekanų klasė moduliu 12 yra tarpusavyje pirminė su moduliu. Tuo tarpu

klasė nėra tarpusavyje pirminė su 12, nes .

5K

9K ( ) 1312,39112

9 ≠=+⋅=

KDAp. Rinkinį skaičių, paimtų lygiai po vieną iš kiekvienos liekanų klasės ,

tarpusavyje pirminės su moduliu m, vadinsime redukuotąja liekanų sistema moduliu m (sutrumpintai: RLS ).

mmod

mmodKomentuojant apibrėžimą, išeina: tam, kad skaičių rinkinys būtų RLS modm,

reikia: 1) kad tų skaičių būtų lygiai ( )mϕ , 2) jie būtų kas du nepalyginami, 3) kiekvienas rinkinio skaičius būtų tarpusavyje pirminis su moduliu m. (Griežtai kalbant, reiktų įrodyti, kad 1)-3) reikalavimai ir pateiktas RLS apibrėžimas išplaukia vienas iš kito, atseit, yra ekvivalentūs) . 3 teorema. Jei ( ) 1, =maD ir rinkinys sudaro RLS modm, tai

rinkinys irgi sudaro RLS modm. ( )mxxx ϕ,...,, 21

( )maxaxax ϕ,...,, 21

Įr. Iš komentaro, lyginių ir tarpusavyje pirminių skaičių savybių. Dabar jau galime įrodyti, kad skyrelyje “Aritmetinės funkcijos” įvestoji Oilerio

funkcija ( )mϕ yra multiplikatyvi. 4 teorema. Oilerio funkcija yra multiplikatyvi. Įr. Tarkime . Turime įrodyti, kad ( ) 1, =baD ( )abϕ = ( )aϕ ( )bϕ . Tuo tikslu visus

skaičius 1, 2, …, ab -1, ab surašome į tokią lentelę turinčią b eilučių ir a stulpelių: 1 2 3 … a-1 a a+1 a+2 a+3 … 2a-1 2a 2a+1 2a+2 2a+3 … 3a-1 3a … … … … …

(b-1)a+1 (b-1)a+2 (b-1)a+3 … (b-1)a +a-1 ba . Iš DLT išplaukia, kad visi k-tojo stulpelio elementai (t.y. skaičiai pavidalo ca + k,

), dalijant iš a , duoda tą pačią liekaną k . Todėl, jei , tai ir . Remiantis Oilerio funkcijos apibrėžimu, gauname, kad stulpelių,

kuriuose esantys skaičiai yra TP su a yra lygiai

10 −≤≤ bc ( ) 1, >kaD( ) 1, >+ kkcaD

( )aϕ . Kiekviename iš tokių stulpelių yra b skaičių , pagal 2 teoremą sudarančių PLS mod b. Jų tarpe TP su b yra ( )bϕ . Tad lentelėje yra ( )aϕ ( )bϕ skaičių TP su a ir b. Bet iš TP skaičių savybių žinome, kad teiginiai ir ( ) 1, =kaD ( ) 1, =kbD , kai ( ) 1, =baD , yra ekvivalentūs teiginiui

. Todėl ( ) 1, =kabD ( )abϕ = ( )aϕ ( )bϕ . 5 teorema. (Oilerio). Jei ( ) 1, =maD , tai . ( ) ( )ma m mod1≡ϕ

Įr. Tarkime yra RLS modm . Tada, pagal 3 teoremą, rinkinys irgi yra RLS modm . Todėl

( )mxxx ϕ,...,, 21

( )maxaxax ϕ,...,, 21 ( )mxax ji mod≡ , o iš čia, sudauginus visus tokius lyginius, gauname :

( )( ) ( )

( )mxxxxxxamiiim

m mod,...,,...2121 ϕϕ

ϕ ≡ .


Bet iš išplaukia , kad( ) ( ) 1, =∀ mxDi i ( )( ) 1,...21 =mxxxD mϕ , todėl pastarąjį lyginį galima suprastinti. QED. Išvada. (Ferma teorema). Jei Pp∈ ir ( ) 1, =paD , tai . ( )pa p mod11 ≡−

Išvada. Su visais sveikaisiais a , ( )paa p mod≡ . Liekanų klasių pirminiu moduliu laukas 6 teorema. Kai , tai liekanų klasių mod p žiedas yra laukas. Ppm ∈= pL Įr. Iš to, kas jau žinoma, apie baigtinį žiedą { }110 ,...,,: −= pp KKKL , darome išvadą, kad teoremos įrodymui pakanka parodyti, kad jame išsprendžiama lygtis

, jei tik . Išeinat iš liekanų klasės apibrėžimo, toks teiginys ekvivalentus tam, jog egzistuoja sveikasis skaičius x toks, kad

axb KKK = 0KKb ≠( pabx mod )≡ , jei tik

, t.y. . Bet jei skaičius x prabėga PLS mod p, tai, pagal 2 teoremą, skaičiai bx irgi prabėga PLS mod p, todėl atsiras tiksliai vienas iš jų, patenkantis į tą pačią klasę mod p kaip ir skaičius a. Teorema įrodyta.

( )pb mod0≡/ ( ) 1, =pbD

Laukas yra klasikinis baigtinio lauko pvz.; jo charakteristika lygi p. PpLp ∈,Išvada. Žiedo poaibis mL ( ){ }1,|: == maDKG am yra jo ( )mϕ eilės

multiplikacinis pogrupis. Lyginių taikymai

Savarankiškoms studijoms: vadovėlio 33 – as paragrafas, 123 psl. Čia mes aptarsime tik dalumo požymių išvedimo metodą.

Mokykloje susipažinome su keletu dešimtainio sveikojo skaičiaus dalumo iš natūraliojo m požymių. Naudojantis lyginių savybėmis galima išvesti ir jau minėtus požymius (iš 2, 3 ,4, 5, 9, 10), ir daugelį kitų. Teorema. (B.Paskalio*). Natūralusis skaičius M , kurio g-tainis užrašas yra , 01

11 ... bgbgbgbM k

kk

k ++++= −− 10 −≤≤ gbi ,

dalijasi iš natūraliojo m tada ir tiktai tada, kai iš m dalijasi skaičius 01111 ... brbrbrbM kkkk ++++=′ −− . Čia yra liekanos , gautos dalijant skaičius iš m, t.y. jr jg ( )mrg j

j mod≡ , kj ÷= 1 . Teoremos įrodymas išplaukia iš lyginių savybių. Pvz., kai 10=g , , tai 11=m ( ) ( )mjj mod110 −≡ , todėl dalumo iš 11 požymis dešimtainėje skaičiavimo sistemoje formuluojamas taip: Natūralusis skaičius M , kurio dešimtainis užrašas yra , 01

11 10...1010 bbbbM k

kk

k ++++= −− 90 ≤≤ ib ,

dalijasi iš 11 tada ir tiktai tada, kai iš 11 dalijasi skaičius ( ) ( ) 01

11 ...11 bbbbM k

kk

k +−+−+−=′ −− .

Pagal šį požymį, skaičius M = 634073 yra dalus iš 11, nes iš 11 dalijasi . Iš tikro: 634073=11 ⋅ 57643 . 370436 +−+−+−=′M


Lyginiai su vienu kintamuoju Kai ir ( ) Zaaxaxaxaxf i

nn

nn ∈++++= −

− ,... 011

1 ( )man mod0≡/ , tai lyginį ( ) ( )mxf mod0≡ (1)

vadiname n- tojo laipsnio lyginiu su vienu kintamuoju. Čia Nn∈ . Iš 6-tos lyginių savybės išplaukia, kad jei skaičius a tenkina (1) lyginį, tai bet kuris su a palyginamas skaičius b ( ( )mab mod≡ ), taip pat tenkina lyginį (1). Todėl (1) lyginio sprendiniu įprasta vadinti visą liekanų klasę aK Ap. Du lyginius vadiname ekvivalenčiais , jei juos tenkina tie patys sveikieji skaičiai. Pvz., lyginiai ir 2( )5mod42 ≡x ( )5mod32 ≡x yra ekvivalentūs, nes juos tenkina pavidalo skaičiai ir jokie kitokie. Kad tuo įsitikintume tereikia patikrinti PLS mod 5.

Ztt ∈+± ,52

Dabar panagrinėsime paprasčiausią, pirmojo laipsnio lyginį: ( ) ( )mambax mod0,mod ≡/≡ . (2) 7 teorema. Jei ir , tai (2) lyginys sprendinių neturi; jei tai (2) lyginys turi lygiai d sprendinių mod m.

( ) dmaD =, bd |/ bd | ,

Įr. 1) Tarkime, ( ) dmaD =, ir . Tada, tarę, kad egzistuoja sprendinys gautume:

bd |/( ,mod0 mxx ≡ )

, - prieštara. bdtmbax |0 →=−2) Tegul . Tada , kai skaičiai x prabėga PLS modm, tai ax−b irgi

prabėga PLS modm. Taigi, yra vienintelis PLS atstovas , tarkime , su kuriuo galioja

( ) 1, =maD

0x

( )mbax mod00 ≡− . Todėl klasė ( ){ mxxxK x mod| 00

≡= } yra vienintelis lyginio (2) sprendinys. 3) Kai , tai, pagal lyginių savybes, (2) lyginį galime iš d

suprastinti ir gauname jam ekvivalentų lyginį ( ) bddmaD |, ∧=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≡

dm

dbx

da mod . (3)

Tačiau (3) lyginiui jau tinka punkte 1) įrodytas tvirtinimas. Todėl (3) turi vienintelį

sprendinį ≡x 0x ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

dmmod . Lieka pastebėti, kad , jei skaičius tenkina (3), tai jis tenkina

ir (2) lyginį. Tačiau skaičiai ( )dmdx

dmx

dmxx 1,...,2,, 0000 −+++ patenka į skirtingas

klases mod m ir jų yra tiksliai d. Teorema įrodyta. 1 pvz. Išspręskime lyginį : . ( )35mod2515 ≡xKadangi tai duotasis lyginys ekvivalentus tokiam: ( ) 25|5535,15 ∧=D . ( )7mod53 ≡xPatikrinę PLS mod 7 atstovus, randame vienintelį pastarojo lyginio sprendinį

. Jei norime parašyti pradinio lyginio atsakymą moduliu 35, tai pastebime, ( 5mod4≡x )


kad atitinkamas liekanų klases duoda skaičiai: 4, 4+7, 4+14, 4+21, 4+28. Tad pradinio lyginio 5 sprendiniai yra šios liekanų klasės: ( )35mod32;25;18;11;4≡x . 2 pvz. Lyginys ( )44mod25132 ≡x sprendinių neturi, nes ir

. ( ) 1144,132 =D

25|11 /


Paskaita 3 – 07

Pirmojo laipsnio lyginių sprendimo algoritmai

Primename: kai ir , tai ( ) Zaaxaxaxaxf in

nn

n ∈++++= −− ,... 01

11 ( )man mod0≡/

predikatą ( ) ( )mxf mod0≡ (1)

vadiname n- tojo laipsnio lyginiu su vienu kintamuoju. Čia Nn∈ . Ap. Du lyginius vadiname ekvivalenčiais , jei juos tenkina tie patys sveikieji skaičiai. Toliau nagrinėsime paprasčiausią, pirmojo laipsnio lyginį: ( ) ( )mambax mod0,mod ≡/≡ . (2)

Akivaizdu, kad lyginiai ( ) ( )mambax mod0,mod ≡/≡ ir ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≡

dm

dbx

da mod yra

ekvivalentūs, todėl visada galima laikyti, kad ( ) 1, =maD . Tada, pagal paskaitos 3 – 06 7-tąją teoremą, lyginys turi vienintelį sprendinį , – liekanų klasę mod m . Kaip jį rasti? Yra keletas algoritmų.

( mbax mod≡ )

1. Kai m nedidelis skaičius, tai tiesiog betarpiškai patikrinama PLS modm. 2. Sakome, kad lyginiui ( )mbax mod≡ taikome ekvivalentūs pertvarkiai (EP)

jei: - prie koeficientų a, b pridedame skaičių Zttm ∈, , - lyginio abi pusės ir modulį prastiname pagal skyrelyje “Lyginių

savybės” (P 3 – 06) aptartą taisyklę , - lyginį ( )mbax mod≡ sudedame panariui su teisingu lyginiu mod m . Nesunku įrodyti, kad EP lyginį ( )mbax mod≡ keičia jam ekvivalenčiu.

Be to, iš pradinio visada galima gauti jam ekvivalentų lyginį pavidalo . Tada ( mAxAx mod0≡ ) ( )mxx mod0≡ ir yra atsakymas.

Iš tikrųjų, imdami vietoje b skaičių Zttmb ∈+ , , ir siekdami, kad tmb + dalintųsi iš a , turėsime ieškoti tokio t, su kuriuo būtų teisingas lyginys

. Tačiau toks lyginys t atžvilgiu turi vienintelį sprendinį, nes . Todėl, nuosekliai tikrindami,

( atmb mod0≡+ )( ) 1, =amD būtinai rasime tokį m kartotinį, su

kuriuo . Beje, proceso pagreitinimui, modulio kartotinis paprastai pridėliojamas ir prie koeficiento a .

0axtmb =+

Pvz., išspręskime EP metodu lyginį ( )15mod2217 −≡x ; čia ( ) 115,17 =D , todėl yra tik vienintelis sprendinys mod 15.

Nuosekliai gautume: ( )↔−≡ 15mod2217x ( ) ( 15mod71715mod)15122(17( −≡ )↔⋅+−≡ xx ;

( ) ( )15mod81715mod1522217 ≡↔⋅+−≡ xx ; ( ) ( )15mod231715mod)15322(17 ≡↔⋅+−≡ xx ;

( ) ( )15mod381715mod)15422(17 ≡↔⋅+−≡ xx ; ( ) ( )15mod531715mod)15522(17 ≡↔⋅+−≡ xx ; ( ) ( ) ( 15mod1741715mod681715mod)15622(17 ⋅≡ )↔≡↔⋅+−≡ xxx ;


Todėl, ats. . ( )15mod4≡xBet daug greičiau būtų skaičiuoti šitaip:

( )↔−≡ 15mod2217x ( )15mod)15222()15117( ⋅+−≡⋅− x ↔ ( )↔≡ 15mod82x ( )15mod4≡x .

Čia (ir žemiau) ženklas reiškia “ekvivalentu“ ir panaudotas vietoje ženklo vengiant dviprasmybės. Mat, kalbėdami apie lyginius, simboliu

↔ ≡≡ žymime lyginumo sąryšį.

3. Jei racionalaus skaičiaus am (primenu, kad: ( ) 1, =maD ) skleidinio

BGT priešpaskutinis reduktas yra , tai, pagal reduktų savybes: 11 : −− nn QP

( )nnn mQaP 111 −=− −− ,

arba, padauginus abi šios lygybės puses iš sveiko skaičiaus ( ) bn1− : ( ) ( ) ↔−=−− −− bmQbabP n

nn

n11 11 ( )( ) ( )mbbPa n

n mod1 1 ≡−⋅ − .

Todėl vienintelis lyginio (2) sprendinys yra ( ) ( )mbPx nn mod1 1−−≡ .

Pvz., išspręskime lyginį ( ) ( )107mod2537321mod75111 ≡↔≡ xx .

Kadangi [ 4,8,1,237

107= ] , tai [ ]

9268,1,2,3

2

2 ===QPn . Ats.

, nes ( ) ( ) ( )107mod99107mod25261 3 ≡⋅−≡x ( )107mod992526 ≡⋅− . Pastebėsime, kad pradinis lyginys mod 321 turi jau tris sprendinius (žr. 7 t-mą):

( )321mod313;206;99≡x . 4. Nesunku patikrinti, kad skaičius ( ) bax m 1

0 : −= ϕ taip pat yra lyginio vienintelio sprendinio (liekanų klasės) atstovas. Iš tikrųjų,

pagal Oilerio teoremą ir lyginių savybes: ( mbax mod≡ )

=0ax ( ) ( ) ( )mbbabaa mm mod1 ≡=⋅ − ϕϕ . Tad ats. ( ) ( )mbax m mod1−≡ ϕ . Dar vieną tokių lyginių sprendimo būdą aptarsime kiek vėliau.

Pirmojo laipsnio lyginių sistemos Bendruoju atveju kalbama apie konjunkciją n vienviečių predikatų

: nimbxa iii ...,,2,1,)(mod =≡

( )( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≡

≡≡

.mod..........................

,mod,mod

222

111

nnn mbxa

mbxambxa

(3)

(3) lyginių sistemos sprendiniais vadinami skaičiai, kurie tenkina visus sistemos lyginius kartu . Pasirodo, tie skaičiai , jei tik jų apskritai yra, sudaro liekanų klases mod M. Čia . ( )nmmmMM ,...,,: 21= 1 teorema. Tarkime i – tasis (3) sistemos lyginys turi sprendinių mod . Tada visa (3) lyginių sistema arba neturi sprendinių, arba turi nedaugiau kaip

sprendinių, - liekanų klasių mod M.

iT im

nTTTT ...: 21= Įr. Pradėkime nuo paprasčiausio atvejo, nuo dviejų lyginių sistemos:


( )( )⎩

⎨⎧

≡≡

.mod,mod

222

111

mbxambxa

(4)

Kiekvienas iš (4) sistemos lyginių sprendžiamas aukščiau aprašytais būdais. Jei bent vienas iš jų sprendinių neturi, tai ir visa sistema jų negali turėti. Išsprendę kiekvieną sistemos lyginį , bendru atveju gauname

sprendinių, todėl, pagal kombinatorinę daugybos taisyklę (KDT), sistema (4) yra ekvivalenti sistemų pavidalo:

( ) 2,1,, == imaDd iii

21 dd ⋅

( )( )⎩

⎨⎧

≡≡

.mod,mod

22

11

mcxmcx

(5)

Lema. Pažymėkime ( )21 , mmMM = ; ( ) dmmD =21 , . Jei , tai (5) sistema turi vienintelį sprendinį, - liekanų modM klasę. Jei , tai sistema sprendinių neturi.

12| ccd −

12| ccd −/

Lemos įrodymas. Pirmąjį (5) sistemos lyginį tenkinantys skaičiai yra išreiškiami lygybės pavidalu . Norint, kad jie tuo pat metu tenkintų ir antrąjį (5) lyginį, turėtų galioti lyginys:

Zttmcx ∈+= ,11

( )2211 mod mctmc ≡+ . Kitaip sakant, skaičius t turi tenkinti lyginį :

( )2121 mod mcctm −≡ . Tačiau pastarasis lyginys, kai 12| ccd −/ , visai neturi sprendinių. Kai , tai, suprastinę lyginį pagal lyginių prastinimo taisyklę, gausime tokį jam ekvivalentų lyginį:

12| ccd −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

≡d

md

ccdmt 2121 mod .

Jis turi vienintelį sprendinį modd

m2 , tarkime klasę ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≡

dmt 2modα , kurios skaičius

užrašius lygybės pavidalu, turėsime: Zyd

myt ∈+= ,2α . Todėl abu (5) sistemos

lyginius tenkina skaičiai :

( ) ZyyMdmmymcm

dmyctmcx ∈+=++=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++≡+= ,:21

1112

111 βαα ,

arba , liekanų klasės pavidalu, turime vienintelį sprendinį ( )Mx modβ≡ . Lema įrodyta. Teoremos įrodymas išplaukia iš indukcijos, taikant lemą, KDT ir MBK savybę: ( ) ( )( )nnnn mmmmMmmmmM ,,...,,,,...,, 121121 −− = . Maksimalus sprendinių skaičius yra T, bet iš lemos išplaukia, kad kai kuriais atvejais (5) sistema gali neturėti sprendinių, tad bendras sprendinių skaičius gali sumažėti. QED. Išvada. Jei yra TPP skaičiai, tai (3) lyginių sistema turi lygiai T sprendinių – liekanų klasių mod . Čia

nn mmmm ,,...,, 121 −

0M nmmmM ...: 210 = . Iš tikrųjų, sistema (1) yra ekvivalenti T sistemų pavidalo


( )( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≡

≡≡

,mod........................

,mod,mod

22

11

nn mcx

mcxmcx

(6)

kurių kiekviena, šiuo atveju, turi vienintelį sprendinį moduliu . 0M Aptarsime dar vieną būdą “standartizuotai” lyginių sistemai (6) spręsti, atveju, kai yra TPP skaičiai . Kaip ir iki šiol, žymėkime . Be to, įveskime tokius žymenis:

nn mmmm ,,...,, 121 − nmmmM ...210 =

niii mmmmmM ...... 1121 +−= , o skaičiai randami iš lyginių: , . Pastebėsime, kad kiekvienas iš šių lyginių turi vienintelį

sprendinį - liekanų klasę atitinkamu moduliu . Skaičius yra bet kuris tos sprendinių klasės atstovas (patogiausia rinktis, - mažiausią absoliutiniu didumu atstovą).

iy( )iii myM mod1≡ ni ÷= 1

im iy

2 teorema (kinietiškoji). Jei sistemos (6) moduliai yra TPP skaičiai , tai sistema turi vienintelį sprendinį

nn mmmm ,,...,, 121 −

( )00 mod Mxx ≡ . Čia , o sprendinio klasės atstovas apskaičiuojamas pagal formulę:

nmmmM ...: 210 =

0x nnn cyMcyMcyMx +++= ...2221110 . Įrodymas išplaukia iš to, kad pagal 1 teoremos yra tik vienintelis sprendinys mod

. Bet skaičius tenkina kiekvieną sistemos (6) lyginį, todėl jis ir yra vienintelės klasės – sprendinių klasės mod atstovas .

0M 0x

0M Pvz., spręsdami sistemą

( )( )( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

≡≡−≡

,8mod4,9mod2

,7mod3

xxx

nuosekliai gauname: , 721 =M 562 =M , 633 =M . Tada ( ) ( ) ( ) 37mod127mod172mod1 111111 −=→≡→≡↔≡ yyymyM . Panašiai ( ) ( ) ( ) 59mod129mod156mod1 122222 =→≡→≡↔≡ yyymyM ; ( ) ( ) 18mod18mod163 113 −=→≡−→≡ yyy .

Todėl ( ) ( ) ( ) 9564163255633720 =⋅−⋅+⋅⋅+−⋅−⋅=x ir vienintelis duotosios sistemos sprendinys yra: ( ) ( 504mod52897mod956 − )≡⋅⋅≡x .


Paskaita 3 – 08 Lyginių moduliu sprendimas αpm = Pirmojo laipsnio lyginių sistemos , kinietiškoji teorema

Grįžtame prie n-tojo laipsnio lyginio bendriausiu pavidalu :

( ) ( )mxf mod0≡ (1) Čia ir ( ) Zaaxaxaxaxf i

nn

nn ∈++++= −

− ,... 011

1 ( )man mod0≡/ . 1 teorema. Lyginys ( )mxf mod0)( ≡ yra ekvivalentus lyginių sistemai:

( ){ iipxf αmod0)( ≡ , i = 1, 2,…, r . (2)

Čia yra skaičiaus m kanoninis skaidinys. rar

aa pppm ⋅⋅⋅= ...2121

Įr. Pažymėkime (1) lyginio sprendinių aibę , o (2) - . Parodysime, kad .

1S 2S=1S 2S

1) Su bet kokiu teisingas teiginys 1Ss∈ ( )sfm | . Bet , todėl iš dalumo sąryšio tranzityvumo išplaukia:

rimp ii ÷= 1,|α

( ) risfp ii ÷= 1,|α , t.y. ir

. 2Ss∈

⊂1S 2S2) Atvirkščias tvirtinimas gaunamas panaudojant TP skaičių savybes: jei 2Ss ∈′ ,

tai iš ir to, kad ( ) risfp ii ÷=′ 1,|α ( ) jippD ji

ji ≠= ,1, αα , išplaukia :

, t.y. ( )sfmpr

ii

i ′=∏=

|1

α1Ss ∈′ . T.y.: , o iš čia . ⊂2S 1S =1S 2S

Jeigu būtų ∅, tai : 1) ∅ ; 2) Tarę, kad egzistuoja ir pakartoję teoremos samprotavimus, gautume

=1S 2S⊂ 2Ss ∈′

1Ss ∈′ , - prieštara. QED. Kai kiekvienas iš sistemos (2) lyginių turi sprendinių, tai visus sistemos lyginius

išsprendę atskirai, gauname praeitame skyrelyje aptartą (6) pavidalo vieną ar daugiau sistemų , kurias išsprendžiame nuosekliai ar kokiu kitu metodu. O kiekvieno atskiro sistemos (2) lyginio sprendimo metodiką aptarsime dabar.

1. Jei moduliai yra palyginti nedideli skaičiai, tai galima tiesiog patikrinti atitinkamą PLS mod .

αpαp

Pvz., išspręskime lyginį ( )18mod05753 23 ≡−+− xxx . Jis ekvivalentus sistemai

( )( ) .3mod05753

,2mod05753223

23

⎪⎩

⎪⎨⎧

≡−+−

≡−+−

xxxxxx

Nesunku patikrinti, kad pirmojo šios sistemos lyginio vienintelis sprendinys yra . Vienintelis antrojo sistemos lyginio sprendinys yra Todėl

toliau lieka išspręsti sistemą: ( 2mod1≡x ) )( .9mod1≡x

( )( )⎩

⎨⎧

≡≡

.9mod1,2mod1

xx

Jos vienintelis sprendinys yra ( ).18mod1≡x Toks ir yra galutinis atsakymas.


Susipažinsime su rekurentiniu lyginio ( )αpxf mod0)( ≡ sprendimo metodu , besiremiančiu idėja, kad jo sprendiniai turi būti iš lyginio ( )1mod0)( −≡ αpxf sprendinių tarpo. Kai 1=α , tai, prieš spręsdami, lyginį ( )pxf mod0)( ≡ (3) pirmiausia jį suprastiname, suvesdami į lyginį, kurio laipsnis ir koeficientų moduliai neviršija p . Remiamės lyginių savybėmis ir Ferma teorema, iš kurios išplaukia, kad ( )( ) ( ) ( )pxxxxxNkZx rrqprpqk mod≡=≡∈∀∈∀ + , . 1−≤ pr Pvz., lyginys

( )11mod05877775413 6192113 ≡−+− xxx yra ekvivalentus žymiai paprastesniam lyginiui ( )11mod0472 23 ≡−++ xxx ,

nes , ( ) ( )11mod32111331011113 xxxxxxx ≡⋅=≡⋅≡ ( )11mod292 xx ≡ , ; , ,

( )11mod61 xx ≡( )11mod213 ≡ ( )11mod154 ≡− ( )11mod7777 ≡ , ( )11mod4587 −≡− .

Jei (3) lyginio sprendinys yra klasė ( )pxx mod0≡ , tai toliau jau šitų skaičių tarpe ieškosime lyginio ( )2mod0)( pxf ≡ (4) sprendinių. Darome taip: ( ) Zttpxxtpxxpxx ∈=−→+=→≡ ,mod 000 .

Išskleisime polinomą ) Teiloro eilute taške (xf 0xx = . Turėsime:

( )

nn

xxn

xfxx

xfxx

xfxfxf )(

!)(

...)(!2

)()(

!1)(

)()( 002

00

00

0 −++−′′

+−′

+= .

Kadangi su visais natūraliaisiais k - ir ( ) ( ) Zxf k ∈0

( ) ( ) ( )!mod00 kxf k ≡ , bei

- ( ) ( ) ( )20 mod0 ptpxx kk ≡=− , tai lyginys (4) virsta tokiu:

( )200 mod0)()()( ptpxfxfxf ≡′+≡ . (5)

Tai – pirmojo laipsnio lyginys t atžvilgiu . Pasinaudodami tuo, kad tenkina (3) lyginį, t.y. , suprastiname (5) lyginį iš p ir , taikydami praeito skyrelio žinias, gauname , kad tuo atveju, kai

0x( pxf mod0)( 0 ≡ )

( )( ) 1,0 =′ pxfD , (6) (5) lyginys ekvivalentus tokiam:

( ) ( ppxf

txf mod)( 00 −≡′ ) . (5a)

Lyginys (5a) turi vienintelį sprendinį , tarkime )(mod0 ptt ≡ , t.y. Zllptt ∈+= ,0 . Tuokart skaičiai ( ) Ztlpxplptxtpxx ∈+=++=+= ,: 2

1000 , kitaip sakant, liekanų klasė ) jau yra lyginio (4) sprendinys. (mod 2

1 pxx ≡


Toliau sprendimo procedūra vyksta rekurentiškai, panaudojant (6) sąlygą. Čia tik pastebėsime, kad iš sąlygos (6) išplaukia ( )( ) 1,1 =′ pxfD . Todėl trečiame etape lyginio (5a) analogas

( ) ( ppxftxf mod)( 2

11 −≡′ ) (5b)

irgi turi vienintelį sprendinį. Pavyzdžiui, išspręskime lyginį : ( )27mod0452 23 ≡−+− xxx . Pirmiausia randame, kad lyginio ( )3mod022452 2323 ≡+++≡−+− xxxxxx sprendiniai yra klasės ( )3mod1≡x ir ( )3mod1−≡x , t.y. skaičiai pavidalo

r Zttx ∈+= ,31 i Zkkx ∈+−= ,31 . Aptarsime pirmąjį iš sprendinių. Randame . Sudarome (5a)

pavidalo lyginį: kadangi 543)( 2 +−=′ xxxf

( ) ( ) 13,4,01,4)1( ===′ Dff , tai turime

( )3mod304 −≡t → ( )3mod04 ≡t → ( )3mod0≡t . Todėl skaičiai

( ) Zllltx ∈+=⋅+=+= ,9133131 arba klasė ( )9mod1≡x yra (4) lyginio sprendinys. Sudarome (5b) pavidalo lyginį taške 11 =x Kadangi 01 xx = , tai atitinkamas lyginys ir jo sprendinys atrodo taip:

( ) ( 3mod3mod904 ≡→−≡ ll ) .

Tad, pradinio lyginio sprendinys yra skaičiai ( ) Zkkklx ∈+=+=+= ,27139191 t.y. liekanų klasė . ( )27mod1≡x

Dar vieno atsakymo ieškome pradėdami nuo sprendinio ( 3mod1− )≡x . Tačiau, kadangi , o 12)1( −=−f ( ) 133,1212)1( ≠=∧=−′ Df , tai (5a) lyginys šiuo atveju yra toks:

( )↔−≡ 3mod3

1212t ( )3mod412 −≡t .

Tačiau jis, kaip matome, sprendinių neturi. Tad klasė ( )27mod1≡x lieka vieninteliu pradinio lyginio sprendiniu. Apskritai, kiekvienu atveju, kai sąlyga (6) negalioja, standartinių lyginių (5a, 5b,…) sprendimas aptariamas atskirai. Detaliau žr. P 3 – 09 .


Paskaita 3 – 09 Kvadratiniai lyginiai. Ležandro simbolis Rekurentinis lyginio ( )αpxf mod0)( ≡ sprendimo būdas , paremtas idėja, kad jo sprendiniai

turi būti iš lyginio ( )1mod0)( −≡ αpxf sprendinių tarpo. Tarkime, lyginio ( )1mod0)( −≡ αpxf

sprendinys jau surastas. Tegul tai yra klasė ( )11 mod −−≡ α

α pxx , t.y. skaičiai pavidalo

. Tada, Zttpxx ∈+= −− ,11

αα jau šių skaičių tarpe , ieškome lyginio

( )αpxf mod0)( ≡ (*)

sprendinių. Išskleidę polinomą Teiloro eilute taško )(xf 1−= αxx aplinkoje, turėsime tokį (*) lyginio pavidalą: ( )αα

αα ptpxfxf mod0)()( 111 ≡′+ −−− . (**)

Pasinaudodami tuo, kad tenkina lyginį 1−αx ( )1mod0)( −≡ αpxf , t.y.

( )11 mod0)( −− ≡ α

α pxf , suprastiname (**) lyginį iš . Kadangi iš pradinės sąlygos 1−αp ( )( ) 1,0 =′ pxfD ,

visada išplaukia, kad ( )( 1,1 ) =′ − pxfD α , tai , kiekviename žingsnyje, standartinis lyginys

( )ppxf

txf mod)(

)( 11

1 −−

− −≡′αα

α (5a)

turi vienintelį sprendinį, tarkime , arba kitaip . Tuokart skaičiai )(mod* ptt ≡ Zllptt ∈+= ,*

( ) Ztlpxplptxtpxx ∈+=++=+= −−

−− ,: 21*

11

1 αα

αα

α , kitaip sakant, liekanų klasė

yra jau lyginio (*) sprendinys. )(mod αα pxx ≡

Pastebėsime, kad pirmajame žingsnyje sąlyga ( )( ) 1,0 =′ pxfD gali ir negalioti.

Tada atitinkamas standartinis lyginys (5a) virsta skaitiniu lyginiu. Jei jis yra teisingas, tai visi lyginio sprendiniai tenkina ir lyginį ( pxf mod0)( ≡ ) ( )2mod0)( pxf ≡ . Jeigu (5a) yra neteisingas, tai ir lyginys ( )2mod0)( pxf ≡ , ir, aišku, visi lyginiai

( ) 2,mod0)( >≡ ααpxf sprendinių neturi. 1 pvz. Spręsdami lyginį ( )25mod0122 23 ≡++ xx , pirmiausia randame lyginio ( )5mod0122 23 ≡++ xx sprendinius : ir ( )5mod1≡x ( )5mod2≡x . Kadangi ir , bei

, tai , sudarę (5a) lyginį, atitinkantį sprendiniui xxxf 46)( 2 +=′ 10)1( =′f

5)1( =f ( )5mod1≡x , gauname , ( )5mod110 −≡tt.y. neturintį sprendinių lyginį, nes ( ) 1|55,10 −/=D .

Tuo tarpu sprendinį ( )5mod2≡x atitiktų 25)2( =f , ir (5a) lyginys , turi vienintelį sprendinį

32)2( =′f( 5mod532 −≡t ) ( )5mod0≡t , todėl skaičiai


( ) Zllltx ∈+=+=+= ,25255252 (arba kitaip: klasė ( )25mod2≡x ) yra vienintelis lyginio sprendinys. ( 25mod0122 23 ≡++ xx ) 2 pvz. Jei spręstume lyginį ( )27mod024 ≡+ xx , tai , pradėję rekurentinį sprendimą nuo vienintelio lyginio sprendinio

, gautume nuosekliai: , ( 3mod024 ≡+ xx )

)( 3mod0≡x xxxf 24)( 3 +=′ 0)0( =′f , ir (5a) lyginys virstų teisingu skaitiniu lyginiu

0)0( =f

, ( )3mod00 ≡⋅ tkurį tenkina visi sveikieji skaičiai t. Darome išvadą, kad klasė ( )3mod0≡x yra ir lyginių

ir, panašiai samprotaujant, ( 9mod024 ≡+ xx ) ( )27mod024 ≡+ xx sprendinys. Tiesa, užrašant sprendinį liekanų klasėmis mod27 gautume, kad tokių klasių (t.y. sprendinių pradiniu moduliu) yra net 9. Būtent:

( 3mod0≡x )

( )3mod;24;21;18;15;12;9;6;3;0≡x . Kvadratiniai lyginiai. Dabar aptarsime antrojo laipsnio (trumpiau : kvadratinius) lyginius. Bendriausiu atveju tai lyginys pavidalo ( )mcbxax mod02 ≡++ , ( )maZcba mod0,,, ≡/∈ . Matėme, kad tokie lyginiai ekvivalentūs lyginių moduliu sistemai, o kiekvienas iš lyginių mod sprendžiamas rekurentiškai, pradedant nuo lyginio mod p. Tad reikia mokėti spręsti lyginį

αpαp

( )pcbxax mod02 ≡++ , Pp∈ , ( ) 1, =paD . (1) Be to, laikysime, kad . Kai 2>p 2=p tereiktų patikrinti tik du skaičius 0 ir 1.

1 teorema. Kvadratinį lyginį (1) visada galima suvesti į dvinarį kvadratinį lyginį pavidalo , ( )pAy mod2 ≡ ∈A Z. (2)

Įr. Galima laikyti, kad b yra lyginis skaičius, t.y. Bb 2= (kitaip, – pridėtume modulį p). Lyginyje (1) atliekame EP :

- padauginame jį iš lyginio ( )paa mod≡ , - išskiriame pilną kvadratą. Gauname nuosekliai:

( ) ( )↔≡−+++↔≡++ pBacBBaxxapacBaxxa mod02mod02 222222

( ) ( )pacBBax mod22 −≡+↔ . Pažymėję ir , baigiame įrodymą. QED. Baxy += acBA −= 2

2 teorema. Kvadratinis lyginys ( ) ( ) 1,,mod2 =≡ paDpax arba turi du sprendinius (liekanų klases mod p ), arba nė vieno.

Įr. Primename, kad . Jei klasė 3≥p ( )pxx mod0≡ yra lyginio sprendinys, tai ir klasė irgi yra sprendinys. Šios klasės yra skirtingos. Iš gautume prieštarą, kad 2 | p . Jeigu egzistuotų dar trečias sprendinys , tai išeitų, kad , t.y.

( pxx mod0−≡ ) ( )pxx mod00 −≡( )pxx mod3≡

( )pxx mod20

23 ≡ ( )( ) ( )pxxxx mod00303 ≡+− . Kadangi esame įrodę, kad


pL yra laukas ( taigi, - integralumo sritis), tai ( ) ( pxx mod003 ≡ )− arba

, t.y. ( ) ( pxx mod003 ≡+ ) ( )pxx mod03 ±≡ . QED. Ap. Kai lyginys ( ) ( ) 1,,mod2 =≡ paDpax turi sprendinių, tai skaičius a

vadinamas kvadratine liekana moduliu p (sutrumpintai – KL mod p). Priešingu atveju, a vadinamas kvadratine neliekana mod p (KnL mod p).

Pvz., 2 yra KL mod 7, nes lyginys ( )7mod22 ≡x turi sprendinį . ( )7mod4≡x

3 teorema. Tarp RLS mod p atstovų yra lygiai 2

1−p KL mod p ir tiek pat KnL

mod p. Įr. Bet kuris RLS atstovas yra KL mod p, jei jis palyginamas su sveikojo skaičiaus kvadratu, t.y. KL bus tos liekanų klasės, kurios turi sveikojo skaičiaus kvadratą.

pmod

Iš kitos pusės kiekvienas sveikojo skaičiaus kvadratas lygsta vienam iš skaičių

( 22

22 1,...,2

1,...,2,1 −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − pp )

)

, todėl užtenka rasti, kiek iš pateiktų kvadratų patenka į

skirtingas RLS mod p klases. Turime:

1) , todėl užtenka tirti tik kvadratus ( 22 kpk −≡2

22

21,...,2,1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −p ,

2) Jei būtų 2

11 −≤<≤

plk ir ( )pkl mod22 ≡ , tai iš čia ir iš to to, kad yra

integralumo sritis , išplauktų prieštara :

pL

( ) ( pklpkl modmod )−≡∨≡ . Ležandro simbolis ir jo savybės Ap. Kai ir 2>p ( ) 1, =paD , tai Ležandro simboliu (LS) vadiname funkciją

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛pa (skaitoma: “a pagal p”), apibrėžiamą šitaip:

( )

⎩⎨⎧

−≡∈

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛.š,1

,mod,,1 2

atvejuingupriepxakadZxtoksegzistuojakai

pa

1. ( )ppaa

p

mod21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≡

−

.

Įr. Iš Ferma teoremos turime:

( ) ( )paapapp

p mod011mod1 21

21

1 ≡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⇒≡

−−− .

Pastarajame lyginyje abu dauginamieji kartu lygti 0 negali, nes, juos vieną iš kito atėmę, gautume prieštarą 2 | p . Toliau: jei a yra KL modp , tai egzistuoja toks

sveikasis skaičius x, kad ( ) ( papxap

mod1mod 21

2 ≡→≡−

) . Kvadratinių liekanų,

kaip matėme (3 teorema) yra lygiai 2

1−p . Tad visos jos tenkina lyginį


( pap

mod121

≡−

) , kuris, būdamas 2

1−p laipsnio daugiau sprendinių ir negali

turėti. Todėl KnL modp tenkina lyginį pmod ( .mod121

pap

−≡−

) QED.

2. ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛→≡

pa

papaa 1

1 mod .

Įr. Jei a yra KL modp, tai ( ) ( ) pKLaxapaapxax modmod)(mod 1

211

2 −→≡→≡∧≡∃ . Jei a yra KnL , o pmod pKLa mod1 − , tai

. Prieštara. ( ) ( ) pKLaxaxapaax modmod 2211 −→≡→≡∧≡∃

3. 11=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛p

, . Nes lyginys Ppp ∈> ,2 ( )px mod12 ≡ turi sprendinį ( )px 1≡ .

4. ( ) 21

11 −

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ − p

p. Iš 1) savybės su a = −1.

5. LS yra visiškai multiplikatyvi funkcija. T.y. =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛p

ab⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛pa

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛pb su visais

sveikaisiais a ir b , su kuriais LS yra apibrėžtas. Išplaukia iš 1) sav.

Išvada. =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛pba 2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛pb .

6. =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛p2 ( ) 8

12

1−

−p

. Be įrodymo.

7. Jei r , tai galioja toks “apvertimo dėsnis”: Pqp ∈, i 2, ≠qp

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛pq ( ) 2

12

11

−−

−qp

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛qp . Be įrodymo.

Pvz., kadangi

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

735 ( ) 3621 ⋅− =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

53

53514

573 ( ) ( ) 11

32

351 8

1921 =−−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

−⋅ ,

tai lyginys turi du sprendinius. ( 73mod52 ≡x )


Paskaita 3 – 10

Kvadratiniai lyginiai, Ležandro simbolis

Primityviosios klasės ir šaknys. Indeksai Vėl nagrinėsime liekanų klasių žiedą . mL1 teorema. Kai { }1|: −∃= aam KKG , tai algebrinė struktūra ( )⋅,mG yra

multiplikacinė grupė. Teoremos įrodymas grindžiamas tokia lema.

Lema. . ( ) 11, −∃↔= aKmaDLemos įrodymas. 1. Jei ( ) 1, =maD , tai lyginys ( )max mod1≡ turi sprendinį,

todėl . Be to, aišku, kad . 1−= ax KK 111−= KK

2. Jeigu gi , tai lygtis 1−∃ aK 1KKK xa =⋅ (arba kitaip: lyginys ) turi sprendinį. Bet taip gali būti tik kai

( max mod1≡ )( ) 1, =maD .

Įrodysime teoremą. Patikrinsime grupės aksiomas. Grupėje apibrėžta operacija turi būti algebrinė. Liekanų klasių, turinčių atvirkštines, daugyba yra tikrai algebrinė operacija, nes iš ir ( ) 1, =maD ( ) 1, =mbD , pagal RP skaičių savybes, išplaukia, kad

, arba, pagal lemą, iš to, kad klasės turi sau atvirkštines, išplaukia, kad ir klasė ją turi. ( ) 1, =mabD ba KK ,

abba KKK =⋅ Operacija asociatyvi, nes . mm LG ⊂ Atvirkštinė operacija įvykdoma, nes lygtis axb KKK =⋅ yra išsprendžiama. Mat šios lygties išsprendžiamumas ekvivalentus lyginio ( )mabx mod≡ išsprendžiamumui. Bet, jei ir , tai šis lyginys ne tik turi vienintelį sprendinį , bet ir

, t.y. sprendinys ( ) 1, =maD ( ) 1, =mbD 0x

( ) 1,0 =mxD .0 mx GK ∈

Beje, įrodymą pabaigti galima ir kitaip: yra aibės vienetinis elementas, o atvirkštinis kiekvienai klasei iš egzistuoja pagal patį šios aibės apibrėžimą. QED.

1K mG

mG

Grupės savybės mG1. Bendruoju atveju eilė yra mG ( )mϕ . Jeigu Ppm ∈= , tai eilė yra . 1−pPrimename grupės elemento eilės apibrėžimą. Mūsų atveju:

Ap. Mažiausias natūralusis skaičius d , su kuriuo galioja lygybė 1=da ( arba: lyginys ), vadinamas liekanų klasės ( ma d mod1≡ ) a eile.

Kartais sakoma, kad : skaičius a priklauso rodikliui d. 2. ( )md ϕ| , t.y. grupės eilė dalijasi iš bet kurio jos elemento eilės. (Išvada iš

Lagranžo teoremos). 3. ( ) ( )mbaba dd mod11 ≡∈∀→= . 4. Iš bendrosios grupių teorijos: aibė { }120

0 ,...,,, −= daaaa KKKKK yra ciklinis

grupės pogrupis. (Galima rašyti ir taip: mG aK a = ).


5. Kai skaičiaus a eilė yra d , tai skaičiai yra kas du nepalyginami, t.y. patenka į skirtingas klases. Iš tikrųjų, tarus , kad

, gautume

1210 ,...,,, −daaaa

( maakl kl mod≡∧> ) ( )ma kl mod1≡− , o tai jau yra prieštara, nes . dkl <−

6. Jei , tai ( )ma mod1≡δ δ|d , nes priešingu atveju dtd <+= γγδ , .

7. Jei aK a = eilė yra d, tai kaa eilė yra ( )kdD

d .

Įr. Tarkime . Tada ( ) ldkD =, lkkldd 11 , == ir ( ) 1, 11 =dkD . Turime: ldd aa 11 ≡≡ ; Bet ir ( ) ( ) ( ) 11111111 ≡≡≡≡≡

kdkldldkkddk aaaaa , todėl klasės ka eilė (žymėkime ją: δ ) nedidesnė už , 1d 1d≤δ . Iš kitos pusės, jei (6 sav.)

( ) ( )maa kssk mod1≡≡ , tai 11111 ||| ddsslsdkldksd ≥→≥→→ δ . Taigi, 1d=δ .

Tačiau ( )dkDd

ldd

,1 == . Įrodymas baigtas.

Ap. Tarkime . Tada klasę, kurios eilė lygi Pppm ∈= , ( ) 1−= ppϕ , vadinsime primityviąja klase mod p (PK mod p), o bet kurį jos atstovą – primityviąja šaknimi mod p (sutrumpintai PŠ mod p). Panašiai galima apibrėžti ir PŠ sudėtiniu moduliu. Mes savo kurse nagrinėsime tik PŠ pirminiu moduliu. Parodysime, kad PŠ pirminiu nelyginiu moduliu egzistuoja visada. 1 išvada. Jei - PK, tai iš lk gg = išplaukia , kad lkp −− |1 . g 2 išvada. Jei g - PK, tai { }2210 ,...,,, −= p

p ggggG , t.y. kiekvienai klasei a

egzistuoja toks sveikasis skaičius 20, −≤≤ pll , kad galioja lygybė ag l = , arba lyginys

( )pag l mod≡ . Ap. Kai g - PŠ, tai sveikąjį skaičių 20, −≤≤ pll , su kuriuo galioja lyginys

(arba lygybė( pag l mod≡ ) ag l = ), vadinsime skaičiaus a indeksu pagrindu g. Indeksai turi labai panašias savybes kaip ir logaritmai. Tai verta atsiminti juos

taikant. 3 išvada. Jei egzistuoja PŠ mod p , tai jų yra ( )1−pϕ .

Iš tikro , kadangi { }2210 ,...,,, −= pp ggggG , o klasės lg eilė yra ( )1,

1−

−plD

p , tai

PŠ yra tiek, kiek yra skaičių neviršijančių p −1 ir TP su p −1, t.y. ( )1−pϕ . Tačiau lieka atviras klausimas: ar apskritai egzistuoja PŠ mod p ? Pasirodo, - taip. 2 teorema. Kai , o 12, >∈ pPp | −pδ , tai skaičius liekanų klasių mod p , kurių eilė yra δ , lygus ( )δϕ . Įr. Pradžioje suformuluosime pagalbinę lemą. Lema. Jei yra bet kokia multiplikatyvioji funkcija, o raide pažymėtas bet

kuris natūraliojo skaičiaus n (su kanoniniu skaidiniu: ) teigiamas daliklis, tai

yra teisinga formulė (Oilerio tapatybė):

( )nf d

∏=

=r

j

k jpn1


( ) ( ) ( ) ( )( )∏∑ ++++=np

k

ndpfpfpfdf

|

2

|...1 .

Išvada. (GAUSO tapatybė). ( ) ndnd

=∑|ϕ .

Iš tikrųjų , Oilerio tapatybę pritaikius Oilerio funkcijai, turime: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )∏∏∑ =−++−+−+=++++= −

np

kk

np

k

ndppppppppd

|

12

|

2

|...11...1 ϕϕϕϕ

. ∏ ==np

k np|

Lemos įrodymą aptarsime per paskaitą. Čia tik pailiustruosime Gauso tapatybę konkrečiu pavyzdžiu.

Pvz., kai ,20=n tai d = 1, 2, 4, 5, 10, 20 . Tada ( ) 11 =ϕ , ( ) 12 =ϕ , ( ) 24 =ϕ , ( ) 45 =ϕ , ( ) 410 =ϕ , ( ) 820 =ϕ . Tada: ( ) +1ϕ ( )2ϕ + ( )4ϕ + ( ) +5ϕ ( )+10ϕ (20)ϕ = 1 + 1 +

2 + 4 + 4 + 8 = 20 . Bet kurios klasės iš RLS mod p eilė yra skaičiaus ( ) 1−= ppϕ daliklis . Pažymėkime ( )δψ kiekį liekanų klasių, kurių eilė yra δ . Tada, pagal išvadą 3, jei ( )δψ 0≠ , tai ( ) ( )δϕδψ = . Tiksliau:

( ) ( )⎩⎨⎧

=.,0

,,atvejukitu

klasėtokiavienabentegzistuojakaiδϕδψ

T.y. ( ) ( ) ( )δϕδψδ ≤∀ . Jeigu kδδδ ,...,, 21 - visi skaičiaus p −1 dalikliai, tai akivaizdu, kad: ( )+1δψ ( )2δψ +…+ ( )kδψ = p − 1 . Tačiau, iš kitos pusės, pagal lemą ( ) +1δϕ ( )2δϕ +…+ ( )kδϕ = p − 1 . Taigi, išplaukia, kad ( ) ( )jj δϕδψ = . Teorema įrodyta. Išvada. Egzistuoja lygiai ( )1−pϕ primityvių šaknų mod p. Pvz., mod 13 yra ( ) 412 =ϕ primityviosios šaknys. Kaip nustatyti, ar RLS mod p klasės gK g = atstovas g yra PŠ mod p, ar ne? 3 teorema. (PŠ kriterijus). Tegul ( ) 1: −== ppc ϕ , o kiqi ,...,2,1, = yra visi pirminiai c dalikliai. Klasė gK g = yra PK mod p(t.y. g yra PŠ mod p) tada ir tiktai tada, kai galioja sąlygos :

kig iqc

,...,2,1,1 =≠ (⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛≡/ pgarba iq

c

mod1: ) . (1)

Įr. 1. D. gK g = yra PK mod p (arba : g yra PŠ mod p).

R. įrodyti, kad (1) galioja. Bet g eilė yra p −1 , o 1−< pqc

i

, todėl (1)

negalioti negali. 2. D. (1) galioja. R. įrodyti, kad g yra PK mod p .


Tarus, kad, nors (1) galioja, bet visgi g nėra PK mod p (arba: g nėra PŠ mod p) , išplaukia, kad: egzistuoja c<δ ir toks, kad 1=δg . Tada , pagal grupės savybes, pG

c|δ . T.y. ( ) →=→=∈∃→∈ uqcqucPqZc δ

δδ 1== uq

c

gg δ , o tai jau prieštara (1).

QED.

Pvz., kai tai c = 16, ,17=p 21 =q . Kadangi, 122 8216

== , tai 2 nėra PŠ mod 17. Tuo tarpu 3 yra PŠ mod 17 , nes . )17(mod111638 ≡/−≡≡ Taigi, kai g – PŠ mod p, tai ( ) { }( ) l

p gaNNlGa =∪=∈∃∈∀ 0:0 arba kitaip:

. Sakėme: skaičius l vadinamas skaičiaus a indeksu pagrindu g ir rašoma . Pvz., , nes, kaip matėme, 3 yra PŠ mod17, o

.

)(mod pga l≡aindl g= 134 3ind=

)17(mod133134 ≡=Indeksų savybės labai primena logaritmų savybes. Pirmiausia, indekso

apibrėžimas gal būti užrašytas šitaip: tai neneigiamas sveikasis skaičius, su kuriuo galioja lyginys

aind g

. (2) )(mod pga l≡1. +aind g ≡bind g ( )1mod −pabind g . Įr. iš tapatybės (2) ir grupės savybių. pG2. Jei ir aindl g= )1(mod1 −≡ pll , tai ir aindl g=1 .

Įr. Jei ∧≡ )(mod pga l )1(mod1 −≡ pll , tai ( ) ( ) ≡== −−+ )(mod111 pgggg tplptll

( paa t mod1 ≡⋅≡ ) . Todėl aindl g=1 . 3. Jei ir , tai aindl g= aindl g=1 )1(mod1 −≡ pll .

Įr. Iš išplaukia, kad ∧≡ )(mod pga l )(mod1 pga l≡ ( )1mod0)(mod 1

1 −≡−→≡ pllpgg ll . 4. , nes . ( )1mod01 −≡ pind g )(mod1 0 pg≡

5. , nes . ( )1mod1 −≡ pgind g )(mod1 pgg ≡Skaičių teorijoje indeksai plačiai taikomi. Be to, patogumo dėlei, sudaromos

indeksų lentelės (žr. vadovėlio II d.). Lentelės paprastai sudaromos pagal mažiausią PŠ mod p. Pavyzdžiui, kai , tai mažiausia PŠ mod 13 yra 2. Tada bet kokio skaičiaus N iš PLS mod13 indeksą galima rasti iš tokios lentelės :

13=p

N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 1 4 2 9 5 11 3 8 1 10 7 6

Išspręsime lyginį ) . “Indeksuodami” gauname: 13(mod78 5 ≡x( 12mod758 indindxind ≡+ ). Iš lentelės matome, kad ind8=3, ind7=11. Todėl ( ) ).12(mod4)12(mod8512mod1153 ≡→≡→≡+ indxindxindx


“Antiideksuodami”, iš tos pačios lentelės, gauname atsakymą: . ( )13mod3≡x Sprendžiant lyginius indeksavimo metodu tenka prisiminti , kaip suprastinto pirmojo laipsnio lyginio sprendinys užrašomas pradiniu moduliu. Pvz., jei būtume sprendę lyginį , tai turėtume )13(mod39 4 ≡x

( ) ).3(mod2)12(mod4412mod448 ≡→−≡→≡+ indxindxindx Tačiau indx čia suprantamas pagrindu 13, todėl, prieš antiindeksuodami, turime

grįžti prie pradinio modulio. Tada : ( )12mod2)3(mod2 ≡↔≡ indxindx

( )12mod5≡∨ indx ( )12mod8≡∨ indx . ( )12mod11≡∨ indx

Iš čia, antiindeksuodami, gauname 4 sprendinius: ( )13mod4≡x , , ( )13mod6≡x( )13mod9≡x , . ( )13mod7≡x

Dėmesio! Indeksuoti galime tik lyginius pirminiu moduliu, nes tik tokiu moduliu apibrėžėme PŠ ir indeksus.


Paskaita 3 – 11

Primityviosios klasės ir šaknys. Indeksai Ap. Tarkime . Tada klasę, kurios eilė lygi Pppm ∈= , ( ) 1−= ppϕ , vadinsime primityviąja klase mod p (PK mod p), o bet kurį jos atstovą – primityviąja šaknimi mod p (sutrumpintai PŠ mod p).

Ap. Kai g - PŠ, tai sveikąjį skaičių 20, −≤≤ pll , su kuriuo galioja lyginys ( )pag l mod≡ (arba ag l = ), vadinsime skaičiaus a indeksu pagrindu g.

Indeksai turi panašias savybes kaip ir logaritmai.

Sisteminės trupmenos Esame susipažinę su sveikojo skaičiaus M g-tainiu sisteminiu užrašu skaičiavimo

sistemoje bet kokiu natūraliuoju pagrindu : 1>g , 01

11 ... bgbgbgbM k

kk

k ++++= −− 10 −≤≤ gbi . (1)

be to, įrodėme, kad skaitmenis galima apskaičiuoti pagal formulę: ib

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= +1iii g

MggMb ki ,...,1,0= .

Šiame skyrelyje panašų sisteminį užrašą rasime ir racionaliesiems skaičiams. Kadangi kiekvieną racionalųjį skaičių r galima vienareikšmiškai užrašyti pavidalu [ ] { }rrr += , [ ] { } [ )1,00 ∈∧∈ rNr , o sveikajam skaičiui jau mokame rasti (1) išraišką, tai tirsime tik racionaliuosius r,

. T.y.

[ ]r

[ )1,0∈r babar <≤= 0, .

Ap. Kai , tai reiškinį (eilutę) 1, >∈ gNg

......221 ++++ n

n

gb

gb

gb , ...,2,1;10, =−≤≤∈ igbZb ii (2)

vadinsime sistemine g-taine trupmena (sutrumpintai: ST). Kai užraše (2) dėmenų skaičius baigtinis, tai g-tainę ST vadinama baigtine (BST), kai begalinis – begaline ST. Pastaruoju atveju sąvoka irgi yra korektiška, nes (2) eilutė visad konverguoja (mažoruojama konverguojančia eilute). Iš tikrųjų:

( ) ( ) 111

1

1...1...111...1...1122

1=

−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++−=+

−++

−+

−≤∑

∞

=

g

ggggg

gg

gg

gg

ggb

nnk

kk .

Todėl ( ) =∈∃ xRx ∑∞

=1kkk

gb

. Rašome ( )gngn bbbbbbx ......,0......,0 21)(21 == .

1 teorema. Racionalusis skaičius ( ) 1,,,: =<= baDbabar , užrašomas BST tada

ir tiktai tada, kai į b kanoninį skaidinį įeina tiktai tie pirminiai skaičiai kaip ir į g kanoninį skaidinį.


Įr. Lema. Jei ngar = , , tai r vienareikšmiškai užrašomas BST. Nnga n ∈< ,

Lemos įrodymas. Pastebėkime, kad skaičius a, kaipo sveikasis skaičius, vienareikšmiškai užrašomas g-tainiu sisteminiu užrašu (1), t.y.

, 10 −≤≤ gai . 012

21

1 ... agagagaa nn

nn ++++= −

−−

−

Tada

=+++

==−

−n

nn

n gagaga

gar 01

11 ...

:... 01

1221 =++++ −

−−nn

nn

ga

ga

ga

ga

nn

gb

gb

gb

+++ ...221 .

Sutrumpintai žymime: gngn bbbbbbr ...,0...,0 21)(21 == .

Teoremos įrodymas. 1. Tarkime , o . Čia kkppg αα ...1

1= kkppb ββ ...1

1= 1≥iα , o 0≥iβ . Pažymėkime iki

ββ≤≤

=1max . Tada turėsime

( ) βββββ

ββαββαββα

βββ ga

ppp

ppapppp

aba

k

kk

k

k

k

k

′===

−−−

:...

...... 21

2211

21

21

21

21

.

Tačiau toks atvejis aptartas lemoje. Tad pakankamumas – įrodytas . 2. Tarkime r užrašomas BST, t.y.

10,...221 −≤≤+++= ga

ga

ga

gar in

n .

Subendravardiklinus, gauname:

( ) )||(1, gpbpbaDbcaggc

ba n

n →→=∧=→= . QED.

Išvada. Racionalusis skaičius ( ) 1,;,: =<= baDbabar užrašomas baigtine

dešimtaine trupmena tada ir tiktai tada, kai . Čia βα52=b 0, N∈βα .

Pvz. 12,9617

== gr . Turime: . Būtent: BST→⋅=⋅= 3296,3212 52

( )12323

2

325

2

216,012

612

1122

126121122

121817

32323217

9617

=++=+⋅+⋅

=⋅

=⋅⋅⋅⋅⋅

= .

Jeigu gi g = 10, tai tas pats skaičius jau nebus užrašomas BST, nes b kanoniniame skaidinyje yra pirminis skaičius 3, o . 10|3 /

Pasirodo, kad bet kurį racionalųjį skaičių ( ) 1,, == baDbar galima užrašyti arba

baigtine arba begaline ST. Pastaruoju atveju sisteminis užrašas – vienareikšmiškas.

2 teorema. Bet kurią nesuprastinamą trupmeną ba galima užrašyti baigtine arba

begaline ST bet kokiu natūraliuoju pagrindu g, g > 1 . Įr. Pritaikome DLT skaičiams ga ir b. Tada , . Toliau, jei tik 11 rbaga += br <≤ 10 01 ≠r , tai DLT taikome porai : bgr ,1


, ; toliau porai , 221 rbagr += br <≤ 20 bgr ,2

, , ir t.t. 332 rbagr += br <≤ 30 ……………………………. , nnn rbagr +=−1 brn <≤0 , procesą tęsiame, jei tik 0≠nr . ……………………………… Iš šių lygybių nuosekliai gauname:

nn

nn

bgr

ga

ga

ga

bgr

ga

ga

bgr

ga

ba

++++==++=+= ...... 221

22

22111 ,

tačiau 0lim =∞→ n

n

n bgr

, nes . Todėl: brn <

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−∑

=∞→

n

iii

n ga

ba

1lim = 0, t.y. ∑

∞

=

=1i

ii

ga

ba .

Lieka įrodyti, kad Turime: .10 −≤≤ gai

gbr

gbr

bgr

arbagr nnnnnnn <−<−=→+= −

−1

1 . QED.

3 teorema. Jei racionalusis ba skaičius užrašomas begaline ST, tai tas užrašas -

vienintelis. Įrodymas. Prieštaros būdu. Tarkime, kad kokiai nors nesuprastinamai trupmenai galima rasti bent du skirtingus užrašus:

......221 ++++= n

n

ga

ga

ga

ba , ......2

21 ++++= nn

gb

gb

gb

ba ,

t.y. egzistuoja toks numeris k , kad kiba ii ,...,2,1, == , bet . Tada, iš vienos pusės (nes užrašas begalinis!),

11 ++ > kk ba

11

221 ... +

++++> kk

ga

ga

ga

ba ,

ir tuo pat metu :

11

221

11

221 ...

1... +

++

+ +++≤+

+++< kk

kk

ga

ga

ga

gb

ga

ga

ba ,

nes

( ) 1

2

33

22 1

111... +

−−

++

++ =

−−≤++ k

k

kk

kk

gg

gggb

gb

,

ir . 111 +≥ ++ kk ba Prieštara. QED.

4 teorema. ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−

bagg

baga

ii

i

1

.

Įr. Jei


10...,...221 −≤≤++++= ga

ga

ga

ga

ba

inn ,

tai

iii

i

agagabag

+++=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−1

11 ... ir 12

21

1

... −−−

−

+++=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ii

ii

agagab

ag .

Iš čia ir išplaukia įrodymas. Ap. g – tainę begalinę ST vadinsime periodine ST, jei egzistuoja toks

, kad ( galioja lygybė 0NmNs ∈∧∈ )mkNk >∈∀ , ksk aa =+ . Mažiausią iš tokių skaičių s vadiname periodo ilgiu, o skaičių m –

priešperiodžio ilgiu. Jei , tai ST vadinama grynai periodine (GPST), o jei , - tai mišria periodine (MPST) .

0=m 0>m

Jei žinotume, kad racionalusis skaičius yra išskleidžiamas periodine ST, tai tereiktų apskaičiuoti priešperiodžio ir periodo skaitmenis ( viso – s + m skaičių ). Pasirodo, kad racionalieji skaičiai ir išskleidžiami tik BST, GPST ar MPST.

5 teorema. Kai , tai racionalusis skaičius ( ) 1, =gbDba išskleidžiamas GPST ir

jos periodo ilgis yra skaičiaus g eilė moduliu b.

Įr. Tarkime , tada ( ) sgrb = ( )mg s mod1≡ , t.y. Sb

gcs

∈−

=1 ir s yra

mažiausias natūralusis skaičius su tokia savybe. Bet tada

acgb

agb

aggb

agb

ag kkskksk

+=−

+=+ )1( ,

todėl

k

sksk

sk ab

aggb

aga =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−++

+

1

.

Be to, tarus, kad yra mažesnis už s natūralusis skaičius t, tenkinantis šią savybę, gautume:

......... 211

221 +++++++= + t

ttt

t

ga

ga

ga

ga

ga

ba ,

arba

tt

t

agaMMba

bag

++=+= − ..., 11 .

Subendravardiklinus , išeina: ( ) ( )bgMbgaaMbag ttt mod11 ≡→=−→+= ir t < s , o tai jau prieštara.

Pvz., 3,54

== gr . ( ) 15,3 =D , tad turėsime skleidinį trejetaine GPST. Be to,

. ( ) 45mod13 =→≡ ss

6 teorema. Tarkime . Čia cbqqppb lklk 111 :...... 11 == ββαα 0, ≥ii βα ir

. Tada racionalusis skaičius gqgp ii || /∧ba išskleidžiamas MPST, kurios periodo ilgis


s lygus pagrindo g eilei moduliu c, o priešperiodžio ilgis m yra mažiausias laipsnio rodiklis, kuriuo reikia pakelti g, kad jis dalintųsi iš .1b

Be įrodymo. Pvz., .20;2417

== gr Kadangi , o , tai

turėsime dvidešimtainę MPST. Šiuo atveju, Iš lyginio nustatome periodo ilgį : . Norint, kad pagrindo laipsnis dalintųsi iš , reikia pakelti jį bent kvadratu. Tad

3224 3 ⋅= 5220 2 ⋅=

.2,3 31 == bc ( )3mod120 ≡s

2=s m20 32.2=m

Tad, norėdami gauti konkretų skaičiaus 2417

=r skleidinį 20 – taine sistemine

(mišriąja!) trupmena turime apskaičiuoti iš viso tik keturis skleidinio skaitmenis. Iš 4 - je teoremoje išvestos formulės nuosekliai gauname (atkreipkite dėmesį į skaičiavimo būdą) :

( )141402024414

24172020

241720

1

01

1 =⇒=⋅−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅= aa ,

32483

24801420

244201420

24172020

241720 12

2 =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⋅−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ⋅

+⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅=a ,

62466

24820

3 =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ⋅

=a ,

1324813

241620

4 =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ⋅

=a ,

=5a 624

8203 ==⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ⋅ a

ir skaitmenys pradeda kartotis. Ats. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2020 136314,0...136133614,0 ==r .

1 išvada. Nesuprastinama taisyklingoji trupmena ba užrašoma dešimtaine GPST

tada ir tiktai tada, jei į b kanoninį skaidinį neįeina pirminiai skaičiai 2,5.

2 išvada. Nesuprastinama taisyklingoji trupmena ba užrašoma dešimtaine MPST

tada ir tiktai tada, jei į b kanoninį skaidinį, be pirminių 2 bei 5, įeina ir kiti pirminiai skaičiai.

Pvz., skaičius 20411 užrašomas dešimtaine MPST, nes .1732204 2 ⋅⋅=

Aišku, kad irracionalieji skaičiai turėtų būti užrašomi jau begalinėmis neperiodinėmis ST.


Paskaita 4 – 01 Polinomų algebra Polinomų virš integralumo srities žiedas Kaip prisimename, sąvoka “algebrinė lygtis” aprašoma sąvokos “predikatas”

pagalba. Tuokart lygčių sistema yra tiesiog specialaus pavidalo predikatų, vienviečių ar daugiaviečių, konjunkcija (predikatinė forma). Pirmojo laipsnio (tiesines) lygtis ir jų sistemas jau esame gana išsamiai aptarę. Susipažinome su jų sprendimo Kramerio ir Gauso metodais. Įvedę sąvoką “matricos rangas”, suformulavome ir įrodėme TLS suderintumo kriterijų (Kronekerio – Kapelli teoremą). Šiame semestre gvildensime tą pačią temą tik kiek kitu požiūriu: domėsimės aukštesnio laipsnio (ne vien tiesinėmis) algebrinėmis lygtimis, jų sprendinių egzistencija, skaičiumi, radimo metodais. Tuo tikslu turėsime išsamiai susipažinti su sąvokomis “polinomas”, “polinomo šaknis” ir pan. Pradžioje polinomo sąvoką pateiksime formaliai ir tik paskui, įgiję reikiamos patirties, patikslinsime šios sąvokos prasmę, matematiškai griežčiau ją apibūdinsime. Šitaip darau prisimindamas Jūsų itin nelengvas pastangas studijuojant temą “Algebrinės struktūros”.

Paskaitoje 1 – 05 esame apibrėžę integralumo sritį. Primename: integralumo sritis, tai, – komutatyvus žiedas Z, neturintis nulio daliklių. Pvz., sveikųjų, racionaliųjų skaičių žiedai yra integralumo sritys (IS). Kiekvienas laukas irgi yra IS , todėl IS yra ir liekanų klasių žiedas ( )⋅+ ,,pL Pp∈, . Toliau, lai niai ,...,2,1,0, = yra baigtinė žiedo Z elementų seka; be to, { }0:0 ∪=∈ NNn . Ap. Reiškinį

011

1 ...:)( axaxaxaxf nn

nn ++++= −

− , Zna 0≠ vadinsime n-ojo laipsnio polinomu virš Z. Žiedo Z elementus niai ,...,2,1,0, = vadinsime polinomo ( )xf koeficientais, o skaičių n – polinomo laipsniu . Žymima ( )xf ( )xfn deg= arba ( )xfgradn = . Raide x, kaip įprasta, žymime kintamąjį (nežinomąjį). Sąvokos “kintamasis” prasmė paaiškės vėliau. Be to, kintamasis gali būti žymimas ir kitokia raide. Iš pateikto apibrėžimo išplaukia, kad nenuliniai žiedo Z elementai yra nulinio laipsnio polinomai. Žiedo nuliniam elementui joks laipsnis nepriskiriamas. Integralumo srities nulinį elementą , kurį formaliai galime laikyti polinomu su visais koeficientais lygiais žiedo Z nuliui , vadinsime nuliniu polinomu ir žymėsime

Z0

Z0( )xO , o (nulinio laipsnio) polinomą, kuriam

, , vadinsime vienetiniu polinomu ir žymėsime Zea =0 1,0 ≥= iai ( )xe . Pavyzdžiui, reiškinys

17

2002575,02,8)( 367 +−+−= xxxxxf

yra septintojo laipsnio polinomas virš Q, t.y. ( ) 7deg =xf . Ap. Kai , tai žiedo Z elementą vadinsime polinomo reikšme taške c.

Zc∈ 011

1 ...:)( acacacacf nn

nn ++++= −

−

Ap. Jei , tai elementas c vadinamas polinomo Zcf 0)( = ( )xf šaknimi .


Pvz., skaičius c = 1 yra polinomo ( ) 23 25 +−= xxxf šaknis, nes . ( ) 01 =f Pastebėsime, kad n-tojo laipsnio polinomas yra mūsų nagrinėtos n-tojo laipsnio lygties su vienu kintamuoju

0... 011

1 =++++ −− axaxaxa n

nn

n kairioji pusė, o šios lygties sprendiniai, – atitinkamo polinomo šaknys. Verta prisiminti , kad apie algebrines lygtis (taigi ir polinomus) esame gavę nemažai svarbių rezultatų: mokame rasti tokių lygčių sprendinius, kai jų koeficientai yra bet kokie kompleksiniai skaičiai, o laipsnis neviršija keturių. Be to, mokame spręsti kai kurias specialias aukštesnio nei ketvirtojo laipsnio lygtis, o taip pat bet kokio laipsnio dvinares lygtis su kompleksiniais koeficientais. Šiame skyriuje žinias apie algebrines lygtis dar pagilinsime. Visų polinomų virš integralumo srities Z aibę žymėsime simboliu . Kartais tyrinėsime polinomus virš kokio nors lauko L. Jų aibę žymėsime

[ ]xZ[ ]xL .

Pradžioje suformuluokime keletą apibrėžimų. Ap. Du polinomus virš IS Z: ir

vadinsime lygiais, kai jų atitinkami koeficientai yra lygūs, t.y. ;

011

1 ...)( axaxaxaxf nn

nn ++++= −

−

011

1 ...)( bxbxbxbxg mm

mm ++++= −

−

ii ba = ...,2,1,0=i

Ap. Polinomų ir suma vadinsime polinomą ( ) ∑=

=n

i

ii xaxf

0

( ) ∑=

=m

i

ii xbxg

0

( ) ( ) ( )( )

∑=

+=+mn

i

iii xbaxgxf

,max

0: .

Ap. Polinomų ir sandauga vadinsime polinomą ( ) ∑=

=n

i

ii xaxf

0

( ) ∑=

=m

i

ii xbxg

0

. ( ) ( ) ∑∑=+

+

=

==⋅ilk

lki

mn

i

ii badxdxgxf :,:

0

Akivaizdu, kad polinomų sudėties ir daugybos operacijos yra algebrinės aibėje . [ ]xZ

Nesunku įsitikinti, kad ( ) ( )mngf ,maxdeg ≤+ , o ( ) mngf +=⋅deg , nes . Zmnmn bad 0≠=+

Teorema. Algebrinė struktūra [ ]( )⋅+,,xZ yra IS. Įr. Pirma, aibėje įvykdoma atvirkštinė sudėčiai operacija – polinomų atimtis, nes šioje aibėje yra nulinis elementas

[ ]xZ( )xO , o kiekvienas elementas turi sau

priešingąjį elementą

( ) [ ]xZxf ∈

( ) ( ) [ ]xZxaxfn

k

kk ∈−=− ∑

=0: .

Antra, - remiantis suformuluotais apibrėžimais, nesunkiai parodoma, kad yra tenkinamos salygos KAD. Be to, iš sąryšio ( ) mngf +=⋅deg išplaukia, kad žiedas [ ]xZ neturi nulio daliklių. Tuo ir baigiame teoremos įrodymo aptarimą. Išvada. Žiedas yra žiedo Z plėtinys, turintis elementą x . Akivaizdu, kad šitokiu būdu galima gauti ir bet kokio lauko L plėtinį

[ ]xZ[ ]xL .


Žiedai ir turi nemažai įdomių savybių. Kai kurios iš jų analogiškos sveikųjų skaičių žiedo S atitinkamoms savybėms.

[ ]xZ [ ]xL

DLT polinomų virš lauko žiede [ ]xL Teorema. Jei L – bet koks laukas, o ( )xf ir ( ) ( )xOxg ≠ yra bet kokie polinomai

iš plėtinio , tai egzistuoja vieninteliai polinomai [ ]xL ( ) ( ) [ ]xLxrxq ∈, tokie, kad galioja ( ) ( ) ( ) ( )xrxgxqxf += , ir , be to, arba , arba ( ) ( )xOxr = ( ) ( )xgxr degdeg < . Įrodymas. a) Vienatis įrodoma tradiciniu, priešingybės būdu. Tarę, kad be

yra dar ir kita teoremos sąlygas tenkinanti pora ( ) ( )xrxq , ( ) ( ) [ ]xLxrxq ∈** , , gauname: ( ) ( ) ( ) ( )xrxgxqxf ** += , ( ) ( )xOxr =* ( ) (xgxr degdeg * <∨ ) . Iš čia: ( ) rrqqg −=− ** . Kadangi skirtumo rr −* laipsnis yra griežtai mažesnis už g laipsnį, tai polinomas tegali būti nulinis polinomas, o iš to išplaukia, kad

*qq −( ) ( )xqxq *= ir ( ) (xrxr *= ).

b) toliau įrodinėdami teoremą tarsime, kad ( ) xgmxfn degdeg ( )=≥= . Mat, kai , tai įrodymui užtenka paimti mn < ( ) ( )xOxq = , o ( ) ( )xfxr = . Tad turime:

( ) ( ) ( ) 011 ...: dxdxdxfxgxba

xf ss

mn

m

n +++==− − , ns <

( ) ( ) ( ) 0121 ...: hxhxhxfxgxbd

xf tt

ms

m

s +++==− − , st <

…………………………….

( ) ( ) ( )xfxgxbp

xf rmv

m

vr :1 =− −− , ir ( ) mxfr <deg .

Sudėję visas šias lygybes, ir atitinkamai pažymėję, gauname teoremos įrodymą. QED.


Paskaita 4 – 02

DLT polinomų virš lauko žiede . [ ]xLTeorema. Jei L – bet koks laukas, o ( )xf ir ( ) ( )xOxg ≠ yra bet kokie polinomai iš

plėtinio , tai egzistuoja vieninteliai polinomai [ ]xL ( ) ( ) [ ]xLxrxq ∈, tokie, kad galioja

( ) ( ) ( ) ( )xrxgxqxf += ,

ir , be to, arba , arba ( ) ( )xOxr = ( ) ( )xgxr degdeg < . Pastaba. Ši teorema yra žinomos polinomų dalybos “kampu” teorinis pagrindimas. Be to,

įrodymas yra konstruktyvus, t.y. pateikia praktinį dalybos algoritmą. Pvz., kai , o ( ) 3232 35 −+−= xxxxf ( ) 12 23 +−= xxxg , tai, kopijuodami teoremos

įrodymo eigą, nuosekliai gauname:

_ |3232 35 −+− xxx 12 23 +− xx

245 242 xxx +− + 5 xx 42 2 + _ 32234 234 −+−− xxxx xxx 484 34 +−

_ 3225 23 −−− xxx 5105 23 +− xx

828 2 −− xxTodėl nepilnasis santykis , o liekana ( ) 542 2 ++= xxxq ( ) 828 2 −−= xxxr . Dalumo sąryšis žieduose [ ]xZ ir [ ]xL Ap. Sakome, kad polinomas ( ) [ ]xZxf ∈ dalijasi iš polinomo

, jei egzistuoja toks polinomas ( ) [ ] ( ) ( )xOxgxZxg ≠∈ , ( ) [ ]xZx ∈ϕ , kad galioja ( ) ( ) ( )xxgxf ϕ⋅= . Visiškai analogiškai apibrėžiamas ir dalumo sąryšis žiede [ ]xL .

Savybės. 1. . fhghfg ||| →∧2. ff | .3. gfhghfh ±→∧ ||| .4. [ ]( ) gffxLg |0deg →=∈∀ . 5. [ ]( ) { }( )LLcxLgf 0|, ∈∀∈∀ gcfgf || → . 6. Lccgffggf ∈=→∧ ,|| .

6-osios savybės įr. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (xgxcxfxfxcxgfggf 21|| = )∧=→∧ . Tada ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xgxcxcxfxcxg 211 == → ( ) ( ) ( 0deg0deg 221 =→ )= xcxcxc . QED.

Kiti įrodymai, – savarankiškai. Pvz., kai ( ) 242 23 −+−= xxxxf , o ( ) 22 += xxg , tai ( ) (xfxg | ) , nes ( )( )122242 223 −+=−+− xxxxx .


Polinomų DBD žiede [ ]xL . Euklido algoritmas. MBK Ap. Jei , tai polinomas h(x) vadinamas polinomų f ir g bendruoju ghfh || ∧

dalikliu. Bendrųjų daliklių aibę žymėsime . ( )xh fgD Paprastumo dėlei, abu polinomus f ir g laikykime nenuliniais.

Ap. Polinomų didžiausiu bendruoju dalikliu (DBD) vadiname tokį [ ]xLgf ∈, polinomą d(x) , su kuriuo išpildomos dvi sąlygos: [ ]xL∈ 1) ( ) ; 2)fgDxd ∈ ( )( ) ( )xddDxd fg |11 →∈∀ .

Žymėsime, kaip ir skaičių atveju: ( ) ( )gfDxd ,= . Pvz., kai ( ) ( ) 1,1 2 −=−= xxgxxf , tai ( ) 1, −= xgfD .

Polinomų DBD nusakomas su tikslumu iki pastovaus daugiklio. Tai išplaukia iš dalumo sąryšio 5 – tosios savybės. Vienareikšmiškumo dėlei, susitarta laikyti, kad

yra polinomas, kurio( gfD , ) vyriausias koeficientas lygus vienetui (toks polinomas vadinamas normuotu).

Tik ką pateiktame pavyzdyje polinomų ( ) ( ) 1,1 2 −=−= xxgxxf DBD apibrėžimo reikalavimus formaliai tenkina ir polinomai ( ) 221 −= xxd ,

( ) 6,56,52 −= xxd ir t.t. Dviejų polinomų DBD radimui naudojamas taip vadinamasis Euklido algoritmas (EA). EA , - tai baigtinė seka lygybių, gaunamų nuosekliai taikant DLT.

Teorema. Jei ir ( )xf ( ) ( )xOxg ≠ yra bet kokie polinomai iš , tai jų DBD [ ]xL egzistuoja ir yra lygus paskutinei nelygiai ( )xO Euklido algoritmo liekanai.

Įr. Pradžioje parašykime polinomų f ir g EA : ( ) ( ) ( ) ( )xrxgxqxf 10 += , ( ) ( )xgxr degdeg 1 < , ( ) ( ) ( ) ( )xrxrxqxg 211 += , ( ) ( )xrxr 12 degdeg < , ( ) ( ) ( ) ( )xrxrxqxr 3221 += , ( ) ( )xrxr 23 degdeg < ,

…………………………………………… ( ) ( ) ( ) ( )xrxrxqxr kkkk += −−− 112 , ( ) (xrxr kk 1degdeg − )< , ( ) ( ) ( )xrxqxr kkk =−1 , t.y. ( ) ( )xOxrk =+1 .

Šio proceso baigtinumą užtikrina tai, kad gautųjų liekanų laipsniai nuosekliai mažėja. Įrodymas baigiamas DBD apibrėžime suformuluotų reikalavimų patikrinimu polinomui . Detalės, – patiems. ( )xrk

1 išvada. Jei , tai ( ) ( )gfDxd ,= ( ) ( )mnxd ,mindeg ≤ . 2 išvada . Jei ( ) ( ) ( )xgxqxf = , tai ( ) ( )xggfD =, .

Polinomų DBD tiesinė išraiška. Tarpusavyje pirminiai polinomai ir jų savybės Šiame paragrafe laikysime, kad ( ) ( ) [ ]xLxgxf ∈, .

Teorema. Jei , tai egzistuoja tokie polinomai ( ) ( )gfDxd ,= ( ) ( ) [ ]xLxvxu ∈, , kad galioja ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xvxgxuxfxd += .


Be to, galima laikyti, kad gu degdeg < , o fv degdeg < . Įr. Egzistencija išplaukia iš EA, nuosekliai išsireiškiant DBD. Tarę, kad , pagal DLT rastume tokius polinomus

, kad gu degdeg ≥

( ) ( ) [ ]xLxrxq ∈, ( ) ( ) ( ) ( )xrxgxqxu += ir, be to, gr degdeg < . Iš čia, turime: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )xqxfxvxgxrxfxd ++= . Daugiklis jau akivaizdžiai tenkina teoremos tvirtinimą, o daugiklis rgi toks, koks aptartas teoremos formulavime, nes tarus, kad , gautume, kad

- prieštara tam, kad

( )xr fqva +=: ifa degdeg >

( ) nmxd +≥deg ( ) ( )mnxd ,mindeg ≤ (žr. išvadą praeitame paragrafe).

Ap. Jei ir [ ]xLgf ∈, { }Lfg LD 0|= , tai sakome, kad polinomai ir yra ( )xf ( )xg pirminiai tarpusavyje (TP). Tą faktą, kad polinomai [ ]xLgf ∈, yra pirminiai tarpusavyje, kartais trumpai užrašysime pavidalu . ( ) LegfD =, Suformuluosime keletą svarbesnių TP polinomų savybių :

1. Jei ir ( ) LegfD =, ( ) LehfD =, , tai ( ) LeghfD =, . 2. Jei , tai( ) (xdgfD =, ) ( ) LegfD =11 , . Čia: ( ) ( )xfxdf 1⋅= ; . ( ) ( )xgxdg 1⋅=3. Jei ( ) LefDfg =∧ ,| ϕϕ , tai g|ϕ . 4. Jei ( ) LehDfhf =∧∧ ,|| ϕϕ , tai fh |ϕ . 5. tada ir tiktai tada, kai galima rasti tokius polinomus ( ) LegfD =, ( )xu ir

, kad galiotų lygybė: ( )xv ( ) ( ) ( ) ( ) Lexvxgxuxf =+ . Pastebėkime, kad panašiai galima apibrėžti ir kelių polinomų DBD. Tada

nesunkiai įrodoma rekurentinė lygybė: ( ) ( )( )nnn ffffDDfffD ,,...,,:,...,, 12121 −= . Beje, šia lygybe kartais kelių polinomų DBD būtent ir apibrėžiamas.

Užduotis savarankiškoms studijoms: “Irracionalumo panaikinimas vardiklyje”; (išsamiau žr.73 § iš vadovėlio II d.). 1. Algebriniai ir transcendentiniai žiedo (lauko) atžvilgiu elementai.

Ap. Jei Z yra IS, o laukas L ( )⋅+= ,,L yra jos plėtinys (t.y. ZL ⊃ ), tai to plėtinio elementą α , vadiname algebriniu elementu žiedo Z atžvilgiu, jei: ( ) [ ]( ) ( ) ZfxZxf 0=∈∃ α . (A) Ap. Jei Z yra IS, o laukas L ( )⋅+= ,,L yra jos plėtinys (t.y. ZL ⊃ ), tai to plėtinio elementą α , Z∉α vadiname transcendentiniu elementu žiedo Z atžvilgiu, jei: ( ) [ ]( ) ( ) ( ) ( )xOxffxZxf Z =→=∈∀ 0α . (T)

Pvz., kai , o SZ = KL = , tai elementas Ki∈+= 0α yra algebrinis, nes tenkinantis sąlygą (A). Būtent: ( ) [ ]( xSxf ∈∃ ) ( ) 12 += xxf . Aišku, kad visi sveikieji

skaičiai m ir visi racionalieji skaičiai nm yra algebriniai žiedo Z atžvilgiu, nes

atitinkamai yra pirmojo laipsnio polinomų mx − ir mnx − su sveikaisiais


koeficientais šaknys. Realusis skaičius 5 irgi yra algebrinis, nes yra polinomo šaknis. [ ]xSx ∈− 52

Tad algebrinių elementų IS atžvilgiu, kaip matome, yra be galo daug. Be to, jie žiedui gali priklausyti arba ir ne.

Atskiru atveju, kai IS yra sveikųjų skaičių žiedas Z, o L=R tai algebriniai ir transcendentiniai elementai vadinami atitinkamai algebriniais ir transcendentiniais skaičiais.

Atsakymas į klausimą, ar yra apibrėžimą (T) tenkinančių elementų (t.y. transcendentinių elementų žiedo Z atžvilgiu), yra žymiai sudėtingesnis. Prie jo sugrįšime kiek vėliau.

2. Kas tai yra irracionalybė, irracionalumas, irracionalus reiškinys ? Ap. Kai algebrinis lauko L atžvilgiu elementas α laukui L nepriklauso, tai jį vadiname irracionalybe, o bet kokį reiškinį ( ) Zg 0≠α , kuriame ( ) [ ]xLxg ∈ vadiname irracionalumu. Pvz., 3∈α yra irracionalybė Q atžvilgiu, o su ( ) [ ]xSxxxxg ∈+−−= 91752 45 reiškinys

( ) ( ) ( ) 93173532345

+−−=g vadintinas irracionalybe.

3. Kas tai yra minimalus polinomas? Kai α yra algebrinis Z atžvilgiu elementas, tai, kaip minėta, egzistuoja polinomas

iš žiedo , kurio šaknimi jis yra. Tačiau, akivaizdu, kad tokių polinomų yra be galo daug. Mažiausio laipsnio polinomas

[ ]xZ( )xp su vyriausiuoju koeficientu lygiu

vienetui, kuriam ( ) Zp 0=α yra vadinamas algebrinio elemento α minimaliuoju polinomu. Minimalaus polinomo laipsnis vadinamas algebrinio elemento α laipsniu.

Pvz., skaičiaus 2 minimalusis polinomas yra ( ) 22 −= xxp , jis yra antrojo laipsnio. Jo algebriškumą įrodo ir polinomai ( ) 44

1 −= xxp , ir , ir t.t.

( ) 123 42 −= xxp

Kitos minimalaus polinomo šaknys vadinamos skaičiui α jungtiniais algebriniais skaičiais. Pvz., skaičiui 2 jungtinis yra skaičius 2− .

4. Irracionalumo vardiklyje panaikinimo algoritmas. Tai dar iš mokyklos žinomas uždavinys. Tik dabar mes jau galime parodyti, kada

irracionalumą vardiklyje galima panaikinti. Kaip šitai suprantama? Jei α yra irracionalybė, o ( )αf yra irracionalumas, tai Iš tikrųjų, laikydami, kad irracionalumą vardiklyje apibrėžiantis polinomas ( )xf ir irracionalybės α minimalusis polinomas ( )xp yra tarpusavyje pirminiai, iš DBD tiesinės išraiškos savybės turime: egzistuoja tokie polinomai ( ) ( ) [ ]xLxvxu ∈, , kad ( )Lx∈∀ ( ) ( ) ( ) ( ) 1=+ xvxpxuxf . Atskiru atveju, kai α=x , tai ( ) ( ) 1=αα uf , todėl:

( ) =αfH ( )αuH ⋅ .

Tuo suformuluotas uždavinys ir yra pilnai išspręstas.


Galima apibrėžti ir polinomų virš lauko mažiausią bendrą kartotinį (MBK).

Ap. Polinomų MBK vadiname tokį polinomą m(x)[ ]xLgf ∈, [ ]xL∈ , su kuriuo išpildomos dvi sąlygos: 1) ; 2)( ) fgMxm ∈ ( )( ) ( ) ( )xmxmMxm fg 11 |→∈∀ . Čia ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ){ }xhxgxhxfxLxhM fg ||; ∧∈= yra polinomų bendrų kartotinių aibė. Polinomų MBK žymėsime:

( ) ( )xgxf ,( ) ( )gfMxm ,= .

Panašiai, kai turime kelis nenulinius polinomus galime apibrėžti jų bendrą mažiausią kartotinį , be to įrodant, kad:

nfff ,...,, 21

( nfffM ,...,, 21 ) ( ) ( )( )nnn ffffMMfffM ,,...,,:,...,, 12121 −= . Teorema. Kai ( ) ( ) [ ]xLxgxf ∈, yra du nenuliniai polinomai, tai ( ) ( ) ( ) ( )gfDgfMxgxf ,, ⋅=⋅ . Įrodymas. Patikrinsime, ar polinomas

( ) =:xm ( ) ( )( )gfD

xgxf,⋅

tenkina MBK apibrėžime suformuluotas sąlygas. Pažymėję ( ) ( )gfDxd ,= , turime, pagal DBD apibrėžimą, kad ( ) ( ) ( )xfxdxf 1⋅= ir ( ) ( ) ( )xgxdxg 1⋅= , todėl:

( ) =:xm( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xfxgxgxfxdxgxfxd

xdxgxf1111

211 ⋅=⋅=⋅⋅=

⋅⋅ ,

t.y. . ( ) fgMxm ∈

Tarkime ( ) yra bet kuris kitas polinomų fgMxm ∈1 ( ) ( )xgxf , bendrasis kartotinis. Tada: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xfxfxdxfxfxm 2121 ⋅⋅=⋅= . Bet ( ) ( ) ( ) |1 xgxdxg ⋅= ( ) ( ) ( ) ( ) 21211 | fgxfxfxdxm →⋅⋅= , todėl ( ) ( ) (xgxhxf 12 )= . Taigi:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xhxgxfxdxfxfxdxm ⋅⋅⋅=⋅⋅= 11211 → ( ) (xmxm 1| ) . QED. Pavyzdžiui, kai ( ) ( ) 1,1 32 +=−= xxgxxf , tai , panaudoję EA, lengvai randame, kad . Tada, pagal įrodytą teoremą: ( ) 1, −= xgfD

( ) ( )( ) ( )( ) 1111

11, 34332

−+−=+−=+

+−= xxxxx

xxxgfM .


Paskaita 4 – 03

Polinominė funkcija. Polinomų šaknys. Dalyba iš dvinario žiede [ ]xZ . Šaknies kartotinumas

Primename sąvokas “polinomo reikšmė taške c”, “polinomo šaknis”. Be to,

pabrėžiame, kad polinomo sąvoka nesutampa su “funkcijos” sąvoka. Funkciją ( ) 01... axaxaxf n

n +++=vadiname polinomine funkcija. Kaip žinome, dvi funkcijos yra vadinamos lygiomis , jei sutampa jų reikšmės su visomis galimomis argumento reikšmėmis. Pasirodo, kad polinomai gali būti nelygūs, o jų polinominės funkcijos – lygios! Pvz., tai yra teisinga polinomams ( ) 12 += xxf ir ( ) 13 ++= xxxg virš lauko . Iš tikrųjų, 3L ( ) ( ) 100 == gf , ( ) ( ) 011 == gf ir ( ) ( ) 222 == gf , todėl šios polinominės funkcijos yra lygios, kai tuo

tarpu polinomai ir yra nelygūs, nes, pavyzdžiui, ( )xf ( )xg 03 =a , o 13 =b . Vėliau dar grįšime prie klausimo: kada sąvokos “polinomai lygūs” ir “polinominės funkcijos lygios” sutampa. Kol kas gi , kaip matėme, polinomo negalime tapatinti su polinomine funkcija. Tarkime ( ) , o [ ]xZxf ∈ ( ) [ ]xZcxxg ∈−= . Čia Z , - bet kokia IS.

Lengva įsitikinti, kad dalybos su liekana teorema galioja ir šiuo atveju, t.y. egzistuoja tokie vieninteliai polinomai ( ) [ ]xZbxbxbxq m

m ∈+++= −− 01

11 ...: ( ) [ ]xZxr ∈,

, kad . ( ) ( ) ( ) ( )xrxqcxxf +−= Prisiminkime, kad ( ) ( )xOxr = , arba ( ) ( ) 1degdeg =−< cxxr . Abiems atvejais

, tad nežinomiems ( ) 1deg −== nmxq 1+n koeficientų nustatyti, iš polinomų lygybės apibrėžimo, gauname tiesinių lygčių sistemą iš

rbbn ,,..., 01−

1+n lygties: , nn ab =−1

, 121 −−− =+− nnn abcb ……………………… , 101 abcb =+− . 00 arcb =+− Kadangi ši sistema yra įstrižaininė ir jos matricos determinantas yra lygus žiedo Z vienetui, tai sistema turi vienintelį sprendinį ( ) 1

0121 ,,,...,, +−− ∈ n

nn Zrbbbb . Jis randamas iš gautosios TLS nuosekliai, pradedant pirmąja lygtimi, išsireiškiant koeficientus ir liekaną r per duotuosius ir c. Koeficientai skaičiuojami pagal vienodą schemą:

, todėl rekomenduojama šitai daryti lentelės pagalba. Pvz., kai polinomą , norime padalinti iš dvinario

ib

ia ib

11 ++ += iii acbb( ) 1232 345 +−−−= xxxxxf 1−x , tai minėta lentelė

atrodo taip:


ia 2 -1 -3 0 -2 1 c =1 2 ( )1211 −+⋅= -2 -2 -4 -3

Schema 54 ab = 443 acbb += 232 acbb += 1b 0b r

t.y. ( ) ( ) ( )31)1232( 345 −+−+−−−= xxxxxxf . Skaičiavimas šitokios lentelės pagalba anglų matematiko Hornerio (V.G.Horner, 1786 – 1837) garbei pavadintas Hornerio schema. Hornerio schemą galima panaudoti polinomo skleidimui dvinario cx − laipsniais panašiai kaip tai daroma funkcijų teorijoje. Teorema. Jei , o ( ) [ ]xZxf ∈ Zc∈ yra bet koks IS elementas, tai egzistuoja vienintelė seka IS elementų , su kuria galioja skleidinys: nrrr ,...,, 10

( ) ( ) ( ) ( ) 011

1 ... rcxrcxrcxrxf nn

nn +−++−+−= −

− . Įr. Iš tikrųjų, pagal dalybos iš dvinario teoremą, galima parašyti baigtinę seką lygybių: ( ) ( ) ( ) 01 rxfcxxf +−= , 1deg 1 −= nf , ( ) ( ) ( ) 121 rxfcxxf +−= , 2deg 2 −= nf , ( ) ( ) ( ) 232 rxfcxxf +−= , 3deg 3 −= nf , ……………………. ( ) ( ) ( ) 11 −− +−= nnn rxfcxxf , 0deg =−= nnfn , ( ) Zrxf nn ∈= , nes 0deg =nf . Čia polinomai ir liekanos nustatomos ( )xfi ir vienareikšmiškai. Nuosekliai įstatydami šias ( )xfi išraiškas, pradedant nuo priešpaskutinės lygybės, gauname teoremos įrodymą. Kadangi ( )xfi koeficientai kaskart skaičiuojami Hornerio schemos pagalba, tai galima sudaryti bendrą lentelę. Pavyzdžiui, kai ( ) 1232 345 +−−−= xxxxxf , o

, tai minėta lentelė yra tokia: 1=c

c 2 -1 -3 0 -2 1 1 2 1 -2 -2 -4 -3 0r← 1 2 3 1 -1 -5 1r← 1 2 5 6 5 2r← 1 2 7 13 3r← 1 2 9 4r← 1 2 5r←

Todėl, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 315151131912 2345 −−−−+−+−+−= xxxxxxf . Teorema.(P.Bezout) Dalinant polinomą ( ) 01... axaxaxf n

n +++= iš dvinario cx − liekana r yra lygi . ( )cf


Įrodymas išplaukia iš išraiškos ( ) ( ) ( ) rxqcxxf +−= , įstačius reikšmę cx = . 1 išvada. Polinomą ( ) [ ]xZxf ∈ tada ir tiktai tada galima išreikšti pavidalu

, kai elementas (atskiru atveju – skaičius) c yra polinomo šaknis. ( ) ( ) ( )xqcxxf −= 2 išvada. laipsnio polinomas žiede Z (lauke L) ir visuose jo plėtiniuose tojon − turi nedaugiau kaip n šaknų.

Įrodymas išplaukia iš praeitos išvados ir to, kad polinomų sandaugos laipsnis yra lygus jų laipsnių sumai. Ap. Jeigu ( ) ( ) ( )xqcxxf k−= ir ( )( ) 1, =− xqcxD , tai elementą c vadiname

polinomo k –tojo kartotinumo šaknimi. ( ) [ ]xZxf ∈ Jei , tai šaknis vadinama paprastąja. Ateity mums bus patogu nenagrinėti polinomų turinčių kartotinių šaknų.

1=k

Norėdami gauti fundamentalius faktus apie polinomo šaknis, turime įvesti polinomo išvestinės sąvoką. Kadangi, kaip matėme, polinomas nesutampa su polinomine funkcija, tai jo išvestinę teks apibrėžti formaliai . Ap. Jei L yra laukas, 0=charL ir ( ) [ ]xLxf ∈ , tai : ( ) ( ) 12

21

1 2...1: axaxanxnaxf nn

nn +++−+=′ −

−− .

Galima įrodyti, kad galioja iš matematinės analizės žinomos savybės: 1. , jei ( ) 0=′ xf ( ) 0deg =xf . Be to, ( ) ( ) 0=xf k , jei . nk >

2. . ( ) gfgf ′±′=′±

3. . ( ) gfgffg ′+′=′

4. ( ) fkff kk ′= −1 . Teorema. Jei yra polinomo Lc∈ ( ) [ ]xLxf ∈ k – tojo kartotinumo šaknis, tai ,

kai , c yra polinomo k-1 – ojo kartotinumo šaknis, o, kai , tai c nėra šaknimi.

1>k ( )xf ′ 1=k( )xf ′

Įr. Iš apibrėžimo turime: ( ) ( ) ( )xqcxxf k−= ir ( )( ) 1, =− xqcxD . Tada: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xqcxxqcxxqcxkxf kkk

111 : −− −=′−+−=′ .

Lieka parodyti, kad ( )( 1, 1 ) =− xqcxD . Tarus priešingai, kad ( )xqcx 1|− , gauname prieštarą: ( ) ( ) ( )xqcxxkqcx ′−+− | ( )xqcx |−→ . Pvz., polinomas turi 4 – ojo kartotinumo šaknį , todėl polinomui

( ) 412946 2346 +++−−= xxxxxxf1−=x ( ) 121812246 235 ++−−=′ xxxxxf šis skaičius yra jau

tik trečiojo kartotinumo šaknis. Įsitikinkite tuo, pasinaudodami Hornerio schema.


Paskaita 4 – 04

Pirminiai ir sudėtiniai virš lauko polinomai. Šaknies egzistavimo teorema

Kiekvienas polinomas ( ) [ ]xLxf ∈ turi trivialiųjų daliklių , kuriais vadinami nenuliniai lauko L elementai ir polinomui ( )xf asocijuotieji polinomai, t.y. polinomai pavidalo . ( ) Lcxcf 0, ≠ Ap. Nenulinio laipsnio polinomas ( ) [ ]xLxp ∈ , turintis tiktai trivialiuosius daliklius, vadinamas pirminiu polinomu žiede [ ]xL . Visi kiti nenulinio laipsnio polinomai vadinami sudėtiniais. Tad sudėtiniam polinomui ( ) [ ]xLxf ∈ teisingas skaidinys su nenulinio laipsnio polinomais

( ) ( ) ( )xqxgxf =( ) [ ]xLxg ∈ ir ( ) [ ]xLxq ∈ . Iš čia išplaukia, kad pirmojo

laipsnio polinomai ( ) Lbabaxxf ∈+= ,, , La 0≠ yra visada pirminiai. Svarbi pastaba. Polinomo pirmumas neatsiejamai susijęs su lauku, virš kurio tas polinomas apibrėžtas. Pvz., jei laikysime, kad ( ) [ ]xQxxf ∈−= 22 , tai bus pirminis polinomas, bet tarus, kad

( )xf( ) [ ]xRxxf ∈−= 22 jis jau tampa sudėtiniu, nes

( ) ( ) ( )22 +−= xxxf . Paminėsime kai kurias pirminių polinomų savybes, išplaukiančias iš apibrėžimo.

1. Jei ( ) [ ] ( ) ( )xOxfxLxf ≠∈ , , o ( ) [ ]xLxp ∈ yra pirminis virš L polinomas, tai arba , arba ( ) ( ) [ ]xLxfxp ∈| ( ) LfpD 1, = .

2. Jei yra pirminiai polinomai, tai arba jie tarpusavyje pirminiai, arba asocijuoti.

( ) ( ) [ ]xLxqxp ∈,

3. Jei polinomų sandauga ( ) ( )xgxf ⋅ dalijasi iš pirminio polinomo ( ) [ ]xLxp ∈ , tai bent vienas iš dauginamųjų dalinasi iš ( )xp .

4. Kiekvienas sudėtinis polinomas ( ) [ ]xLxf ∈ turi pirminį daliklį žiede . [ ]xLKetvirtosios savybės tvirtinimas išplaukia iš tokių samprotavimų: - sudėtinis polinomas ( ) [ ]xLxf ∈ , pagal apibrėžimą, išreiškiamas pavidalu

, be to, ( ) ( ) ( )xqxgxf = fg degdeg1 <≤ ir fq degdeg1 <≤ . - jei bent vienas iš polinomų jau yra pirminis, tai įrodymas baigtas. Jei abu

jie – sudėtiniai, tai skaidymo procesą tęsiame tol, kol vienas iš dauginamųjų bus pirminis. Procesas yra baigtinis, nes daliklių laipsniai nuosekliai mažėja, o, kaip jau minėta, pirmojo laipsnio polinomai yra visada pirminiai.

qf ,

Polinomams galioja pagrindinės aritmetikos teoremos analogas. Teorema. Kiekvienas nenulinio laipsnio polinomas ( ) [ ]xLxf ∈ yra arba pirminis žiede , arba išreiškiamas baigtine sandauga pirminių žiede [ ]xL [ ]xL polinomų ( )xpi :

, (1) ( ) ( )∏=

=r

ii xpxf

1

su tikslumu iki asocijuotų daugiklių tvarkos


Įr. Kai yra sudėtinis, tai pagal 4 – tąją pirminių polinomų savybę, jis turi pirminį daliklį , t.y.

( ) [ ]xLxf ∈( ) [ ]xLxp ∈1 ( ) ( ) ( )xqxpxf 11= ir ( ) [ ]xLxq ∈1 . Jei yra vėl

sudėtinis, tai egzistuoja jo pirminis daliklis ( )xq1

( ) [ ]xLxp ∈2 , t.y. ( ) ( ) ( ) (xqxpxpxf 221 )= . Šis procesas yra baigtinis, nes polinomų ( ) ( )xqxq 21 , laipsniai nuosekliai mažėja. Vienatis įrodinėjama tradiciškai, prieštaros metodu: tarus, kad yra bent du to paties sudėtinio polinomo ( ) [ ]xLxf ∈ skaidiniai, gausime:

. ( ) ( ) ==∏=

r

ii xpxf

1

( )∏=

s

ii xq

1

Iš čia, remiantis pirminių polinomų savybėmis, išplaukia, kad sr = ir . ( ) ( )xqcxp jji =

Išvada. Išraiškoje (1), surinkę vienodus daugiklius (panašiai kaip ir sveikųjų skaičių žiede), gauname polinomo ( ) [ ]xLxf ∈ kanoninį skaidinį:

. (2) ( ) ( )∏=

=r

ii xpxf i

1

α

Pasinaudojus išraiška (2), galima rasti polinomų DBD ir MBK: būtent, jei

, ( ) ( )∏=

=r

ii xpxg i

1

β

tai

, ( ) =gfD , ( )( )∏=

r

ii xp ii

1

,min βα ( ) =gfM , ( )( )∏=

r

ii xp ii

1

,max βα .

Šaknies egzistavimo teorema Kaip matėme, pirminis polinomas gali būti nebūtinai pirmojo laipsnio. Mūsų nagrinėtame pavyzdyje pirminis virš Q polinomas ( ) 22 −= xxf yra antrojo laipsnio. Pastebėjome ir tai, kad, nagrinėjant tą patį polinomą virš racionaliųjų skaičių lauko plėtinio R , jis darosi jau skaidus, t.y. sudėtinis. Be to, skaidinį sudaro pirmojo laipsnio polinomai, būtent, dvinariai 2−x ir 2+x , atitinkantys duotojo polinomo šaknis. Pasirodo, tai nėra atsitiktina. Yra teisinga tokia šaknies egzistavimo teorema. Teorema. Jei yra pirminis polinomas, tai egzistuoja toks lauko L viršlaukis (plėtinys) , kuriame polinomas

( ) [ ]xLxp ∈L′ ( )xp turi šaknį.

Šios teoremos neįrodinėsime. (Žr. 76 –tą paragrafą iš vadovėlio II d.) Išvada. Kiekvienam nenulinio laipsnio polinomui egzistuoja toks laukas, kuriame

jis yra išskaidomas pirmojo laipsnio (pirminiais) polinomais. Minėtas laukas vadinamas polinomo skaidinio lauku. Taigi, realiųjų skaičių laukas R yra polinomo skaidinio laukas. Tuo tarpu polinomo

skaidinio laukas yra jau kompleksinių skaičių laukas K. ( ) 22 −= xxf

( ) 22 += xxg Kartotiniai daugikliai. Jei polinomo kanoniniame skaidinyje surinksime visus tuos pirminius daugiklius , kurių laipsnis ( )xpi iα yra lygus j , tai gautas sandaugas

vadinsime polinomo kartotiniais daugikliais ir žymėsime . Tad galima

užrašyti

( )∏i

i xp ( )xg j


( ) ( ) ( ) ( )xgxgxgxf ss...2

21= . (3) Sakome, kad polinomas išskaidytas kartotiniais daugikliais. Tokio skaidinio nauda – akivaizdi: jei yra bent du kartotiniai daugikliai, tai jų laipsniai yra mažesni už paties polinomo laipsnį, todėl polinomo šaknų radimo uždavinys supaprastėja.

( )xf

Trumpai aprašysime polinomo kartotinių daugiklių išskyrimo algoritmą. Iš (3) nuosekliai išplaukia, kad ( ) ( )xdgggffD s

s 112

32 :..., ==′ − ( ) ( )xdgggddD s

s 222

4311 :..., ==′ − ……………………………. ( ) ( )xdggddD sssss 2

2133 :, −−−− ==′

( ) ( )xdgddD ssss 122 :, −−− ==′ ( ) ( )xdddD sss :1, 11 ==′−− . Iš čia:

sgggdf ...: 2111

== ϕ

sgggdd ...: 322

2

1 == ϕ

…………………….

ssss

s ggdd

111

2 : −−−

− == ϕ

sss

s gd

d==− ϕ:1 .

Ir pagaliau:

12

1 g=ϕϕ , 2

3

2 g=ϕϕ , … , 1

1−

− = ss

s gϕϕ

, ss g=ϕ .

Pavyzdžiui, kai ( ) , tai EA pagalba randame: 412946 2346 +++−−= xxxxxxf , ( ) 253 234

1 −−−+= xxxxxd ( ) 1222 ++= xxxd , ( ) 13 += xxd , . ( ) 14 =xd

Toliau:

22

11 −−== xx

dfϕ ; 22

2

12 −−== xx

dd

ϕ ;

13

23 +== x

dd

ϕ ; 14

34 +== x

dd

ϕ .

Pagaliau:

12

11 ==

ϕϕg ; 2

3

22 −== xg

ϕϕ ; 1

4

33 ==

ϕϕ

g ; 144 +== xg ϕ

ir . ( ) ( ) ( )24 21 −+= xxxf


Paskaita 4 – 05

Algebriniai ir trancendentiniai žiedo elementai. Algebriniai skaičiai

Tarkime Z yra kokia nors integralumo sritis, o Z ′ yra koks nors jos plėtinys (viršžiedis ar viršlaukis).

Ap. Jei iš lygybės būtinai išplaukia Z

n

i

iia 0

0=∑

=

α ( ) Ziai 0=∀ , tai elementas

Z ′∈α vadinamas transcendentiniu žiedo Z atžvilgiu. Dabar galime dar kartą, tik jau nauju koncentru, grįžti prie polinomo sąvokos. Ap. Kai x yra transcendentinis IS atžvilgiu elementas, tai reiškinys

( ) 00

,0,,: NnaZaxaxf ni

n

i

ii ∈≠∈= ∑

=

vadinamas vieno kintamojo n-tojo laipsnio polinomu virš Z. Terminai: nulinio laipsnio polinomas, nulinis polinomas, polinomas ( ) xxf = . Žymuo . Sąvokos: polinomo reikšmė, polinomo šaknis. ( ) [ ]xZxf ∈ Dabar transcendentinį žiedo Z atžvilgiu elementą galima nusakyti ir taip: elementas Z ′∈α yra vadinamas transcendentiniu IS Z atžvilgiu, jei nėra tokio polinomo

, kurio šaknimi būtų ( ) [ ]xZxf ∈ α . Ap. Aibės Z ′ elementas α vadinamas algebriniu žiedo Z atžvilgiu, jei egzistuoja

toks polinomas , kurio šaknimi yra elementas ( ) [ ]xZxf ∈ Z ′∈α . Atskiru atveju, kai Z yra sveikųjų skaičių žiedas (Z = S), tai algebrinis jo atžvilgiu

realusis elementas vadinamas algebriniu skaičiumi, o transcendentinis – transcendentiniu skaičiumi.

Pvz., skaičius 2 , priklausantis žiedo S plėtiniui R - algebrinis skaičius, nes yra polinomo šaknimi. ( ) [ ]xSxxf ∈−= 22

Įrodymai, kad konkretūs realieji skaičiai yra transcendentiniai neretai būna gana sudėtingi. Čia mes tik pastebėsime, kad transcendentiniai skaičiai egzistuoja (pvz.,

2log,, eπ …). Maža to, pasirodo, kad jie sudaro didumą realiųjų skaičių; tiksliau – algebrinių skaičių aibė yra skaiti. Be to, algebrinių skaičių aibė yra realiųjų skaičių lauko polaukis. Lieka atviras klausimas: ar egzistuoja transcendentiniai elementai bet kokios IS atžvilgiu? Kitaip sakant, ar egzistuoja aukštesnio nei nulinio laipsnio polinomai? Atsakymas, pasirodo, - teigiamas. Teorema. Galima sukonstruoti tokį IS Z plėtinį (viršžiedį) Z ′ , kuriame egzistuoja transcendentinis IS Z atžvilgiu elementas Zx ′∈ . Įr. Nagrinėsime baigtinius rinkinius iš Z elementų: ( ), , naaa ,...,, 10 Zai ∈ 0Nn∈ . Be to, 0≠na , kai n > 0. Tokių rinkinių aibę pažymėsime Z ′ . Parodysime, kad [ ]xZZ ≅′ , o ir yra transcendentinis Z atžvilgiu elementas.

( ZZ ex ,0:= )


Ap. Du rinkinius ir ( )naaa ,...,, 10 ( )mbbb ,...,, 10 iš Z ′ vadinsime lygiais tada ir tiktai tada, kai . ( ) ii bai =∀

Be to, jei , tai laikysime, kad “trūkstamieji” elementai rinkinyje lygūs žiedo Z nuliniam elementui .

nm ≠

Ap. Rinkinio daugybą iš žiedo Z elemento, rinkinių sudėtį ir daugybą apibrėšime formulėmis: ; ( ) ( )nn aaaaaaaa ,...,:,...,, 110 =⋅ ( )naaa ,...,, 10 + ( ) { }( )nmm cccbbb ,max1010 ,...,,:,...,, = ;

( )naaa ,...,, 10 ⋅ ( ) ( )mnm dddbbb += ,...,,:,...,, 1010 ,

∑=+

=+=ilk

lkiiii badbac ; .

Lema. Struktūra ( )⋅+′ ,,Z yra IS. Išvada 1. Nulinis šios struktūros elementas yra rinkinys ( )Z0 . Todėl rinkinys

lygus nuliniam elementui tada ir tiktai tada, kai ( )naaa ,...,, 10 ( ) .0Ziai =∀ Išvada 2. ( ){ }( )⋅+∈ ,,, Zaa yra izomorfiška žiedui Z. Pažymėkime , ir ( ZZ ex ,0:= ) ( ){ } ZZaaZZ ∪∈′= ),\(:0 . Akivaizdu, kad

, todėl . ZxZx ∉∧∈ 0 ZZ ⊃0

Nesunku patikrinti, kad ir struktūra ( )⋅+ ,0Z yra IS. Pastebėję, kad (čia rinkinyje yra k nulių), bet kurį rinkinį

iš galėsime užrašyti pavidalu: ( Z

k ex ,0,...,0,0= )naaa ,...,, 10 0Z( )

( ) ( )xfxaxaxaaaaa nnn =++++= :...,...,, 2

21010 , kuris, dar įvedus tradicinį žymenį ( )xf , ir grąžina mus prie sąvokos “polinomas”. Iš tikrųjų, pagal rinkinių lygybės apibrėžimą, ( ) ( ) 00,...,, 10 ==naaa tada ir tiktai tada, kai

, todėl x yra transcendentinis atžvilgiu Z elementas. Teorema įrodyta. ( ) 0=∀ iai Išvada 1. Sutinkamai su aukščiau suformuluotu polinomo apibrėžimu, reiškinys ( )xfxaxaxaa n

n =++++ ...2210

ir yra polinomas virš Z . Išvada 2. Nesunku įsitikinti, kad [ ]xZZ ≅0 . Pastaba. Kadangi savo ruožtu yra IS, tai, pagal tik ką įrodytą teoremą, egzistuoja toks žiedo plėtinys , kuriame yra transcendentinis atžvilgiu elementas

. Tuokart reiškinį

0Z

0Z 0Z

0Zy∉ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (xOxayFyxayxayxaxa n

nn ≠=++++ ,:...2

210 ) vadinsime n-tojo laipsnio polinomu virš . Jo koeficientai 0Z ( )xai yra polinomai iš žiedo

. Polinomų aibę įprasta žymėti 0Z ( )yF [ ]yxZ , ir vadinti dviejų kintamųjų polinomų aibe virš Z. Panašiu būdu galima sukonstruoti ir polinomų nuo n kintamųjų virš Z aibę . [ ]nxxxZ ,...,, 21

Čia pateikti mūsų samprotavimai dar nėra pakankamai griežti, tačiau tikrai galime pasakyti, kad sąvoką “polinomas virš IS” apibūdinome tiksliau, negu iki šiol.


Paskaita 4 – 06

Polinominių trupmenų laukas Dabar aptarsime algoritmą lauko L plėtinio polinomų žiedo [ ]xL plėtiniui – laukui (šio žiedo viršžiedžiui, taigi ir lauko L plėtiniui) sukonstruoti. Tarkime L yra koks nors laukas, o [ ] ),,( ⋅+xL - vieno kintamojo polinomų virš L žiedas (x – transcendentinis L atžvilgiu elementas).

Nagrinėsime aibę simbolių ( )( )xgxf , kuriuos vadinsime polinominėmis trupmenomis

virš lauko L (sutrumpintai – PT). Pastebėsime, kad brūkšnys kol kas visai nesiejamas su polinomų dalyba, o yra tik formalus žymuo. Čia ( ) ( ) (xOxgxf )≠, yra bet kokie polinomai iš PT virš lauko L aibę žymėsime . [ ].xL 0L

Ap. Dvi PT ( )( )xgxf ir

( )( )xgxf

1

1 iš aibės vadinsime lygiomis, jei galioja lygybė tarp

polinomų: .

0L

gffg 11 = Standartiniu būdu galima parodyti, kad PT lygybės sąryšis yra ES ir vietoje aibės

toliau operuoti faktoraibe 0L ==′ 0: LL . Tarkime, kad tai jau padaryta (t.y. aibė -

išfaktorizuota. Detalės, – savarankiškai) . Aišku, kad dabar galima laikyti, jog

. Patogumo dėlei, ekvivalentumo klasę

0L

( ) LgfD 1, =gfK , kurią generuoja PT

gf , kaip ir

iki šiol žymėsime gf ir vadinsime PT, nors nuo šiol simbolis

gf žymi ne vieną konkrečią

PT, o visą aibę PT lygių generuojančiai trupmenai gf .

Ap. Dviejų PT ( )( )xgxf ir

( )( )xgxf

1

1 suma vadinsime PT 1

11

gggffg + . Rašysime:

( )( )xgxf +

( )( )xgxf

1

1 = 1

11

gggffg + .

Ap. Dviejų PT ( )( )xgxf ir

( )( )xgxf

1

1 sandauga vadinsime PT 1

1

ggff . Rašysime:

( )( )xgxf ⋅ ( )

( )xgxf

1

1 = 1

1

ggff .

Teorema. Struktūra ( )⋅+′ ,,L yra laukas, turintis polaukį izomorfinį laukui L . Įrodymas – savarankiškai patikrinant lauko aksiomas. Čia nurodysime tik izomorfinį atvaizdį ϕ tarp atitinkamų bazinių aibių. Būtent: taisyklė ϕ abipus

vienareikšmiškai priskiria polinominei trupmenai ( )( )xgxf , kurioje


( ) ( ) LxgLaxf 1=∧∈= , lauko L elementą a . T.y. ( ) aaLaL

⎯→←∈∀ ϕ

1. Pažymėję, PT

pavidalo L

a1

aibę raide L~ , konstatuojame, kad struktūra ( )⋅+ ,,~L ir yra lauko ( )⋅+′ ,,L

polaukis izomorfinis laukui ( )⋅+ ,,L . Išvada. Nemažinant bendrumo, galime laikyti, kas šis polinominių trupmenų

laukas ir yra ieškomasis lauko L plėtinys . Primename, kad: kiekvieną polinomą iš [ ]xL galima vieninteliu būdu išskaidyti pirminiais virš lauko L polinomais.

Ap. PT ( )( )xgxf vadinsime taisyklingąja (sutrumpintai TPT), jei . gf degdeg <

Ap. TPT ( )( )xpxf

k vadinsime paprasčiausiąja polinomine trupmena (PPT), jei

yra pirminis virš L polinomas ir ( )xp pf degdeg < . Teorema. Kiekvieną PT galima vieninteliu būdu užrašyti kaip polinomo ir TPT sumą. Įr. Galimumo įrodymas išplaukia iš DLT, o vienatis, kaip įprasta, įrodoma prieštaros metodu. Teorema. Kiekvieną TPT galima vieninteliu būdu užrašyti kaip PPT sumą.

Įr.1. Pirmiausia įrodysime, kad TPT pavidalo ( )( ) ( )xhxg

xf su yra

išreiškiama dviejų TPT sumos pavidalu.

( ) 1, =ghD

Iš tikrųjų, pasinaudoję DBD tiesinės išraiškos savybe, konstatuojame, kad ( ) ( ) ( ) [ ]xLxvxu ∈∃ , , su kuriais galioja:

1=+ vhug . Padauginę pastarąją lygybę iš , gausime: ( )xf ffvhfug =+ )()( . (*) Pagal DLT , egzistuoja vieninteliai polinomai ( )xq0 ir ( )xu tokie, kad uhqfu += 0 , hu degdeg < . Įstatę tai į formulę (*) gausime: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xfxvxhxuxgxgxqxfxvxhxuxg =+=++ :( 0 . Be to, , nes kitaip gautume, kad . Iš čia, kadangi

ir , tai gv degdeg < ghf degdeg ≥

hu degdeg < gv degdeg <

( )( ) ( )

( )( )

( )( )xgxv

xhxu

xhxgxf

+= = 21 TPTTPT + .

Dabar, tarę, kad TPT vardiklio skaidinys pirminiais virš L polinomais yra , rk

rkk pppg ⋅⋅⋅= ...2121

pagal 1 dalį gausime, kad

( )( ) ∑

=

=r

iiTPT

xgxf

1=:

( )( )∑

=

r

iki

i

xpxU

i1

.


2. Aptarsime galimumąTPT pavidalo ( )( )xpxU

k užrašyti kaipo PPT sumą.

Nuosekliai taikydami DLT, gausime baigtinę lygybių seką: ( ) ( ) ( ) ( )xuxsxpxU k

111 += − , ps degdeg 1 < , nes , kpU degdeg <

( ) ( ) ( ) ( )xuxsxpxu k22

21 += − , ps degdeg 2 < , nes , 1

1 degdeg −< kpu ( ) ( ) ( ) ( )xuxsxpxu k

333

2 += − , ps degdeg 3 < , nes , 22 degdeg −< kpu

…………………………………………… ( ) ( ) ( ) ( )xuxsxpxu kkk 112 −−− += , psk degdeg 1 <− , nes . puk degdeg 2 <−

Iš čia: ( ) ( )xupsspspxU kk

kk112

21

1 ... −−−− ++++= ,

todėl

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( ) ∑=++++== −

−−

iik

kk

kk PPT

xpxs

xpxs

xpxs

xpxu

xpxUTPT 1

22

111 ... .

Dėstinio galimumas įrodytas. Dėstinio vienatis. Tarę, kad yra bent du skirtingi tos pačios TPT dėstiniai, atėmę vieną iš kito, gausime sumą PPT, kuri yra tapatingai lygi nuliui. Tegul jų vardikliai yra pirminiai polinomai ( ) ( ) ( )xpxpxp r,.....,, 21 ir jų laipsniai. Tarkime, kad polinomo ( )xpi didžiausias pasitaikantis laipsnis yra . Padauginus reiškinį , gautą atimant dėstinius, iš

visai dėmenys virs polinomais (nes vardikliai susiprastins), išskyrus

narį

ikrk

rkk ppp ⋅⋅⋅− ...212

11

( )( )xpxU

k11

, kuris pasidarys PT pavidalo

( )

( )xpppxU rk

rk

1

2 ...2

,

kuri susiprastinti negali, nes ( )xp1 yra pirminis ir, be to, - tarpusavyje pirminis su . Pagal DLT, gausime polinomo ir TPT sumą, kuri lygi nuliui

(kartu su visais kitais polinomais). Prieštara. QED. ( ) ( ) ( )xpxpxU r,.....,, 2

Pvz., kai duota TPT:

( )( ) 2322

347102235

234

+−+−+++−

=xxxx

xxxxxgxf ,

tai pirmiausia, panaudodami Hornerio schemą, randame: ( ) ( )( ) ( )112 22 +−+= xxxxg . Tada, pagal įrodytą teoremą,

( ) 1112 22 ++

+−

+−

++

=x

EDxxC

xB

xA

gf .

Subendravardiklinę ir sulyginę skaitiklio koeficientus, gautume TLS koeficientams A,B,C,D,E nustatyti, kurią spręstume Gauso ar Kramerio metodu. Tačiau galima elgtis ir kitaip. Lygybė ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )2111211 2222 +−+++++−+= xxxCxxBxxAxf + ( )( )( )212 −++ xxEDx


yra teisinga su visais x , tad paėmę 2−=x , gauname 345135 =→= AA .

Panašiai: →= 1x 166 =→= BB . Pagaliau , paėmę iš eilės 0=x , 1−=x ir 2=x gausime sistemą:

. 3,2,152420

,8444,222

−=−==→⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=+−=+−−

−=+−ECD

ECEDC

EC

Tad galutinai :

( )( ) ( ) 1

31

21

12

322 +−

+−

−−

++

=xx

xxxxgxf .


Paskaita 4 – 07

Daugelio kintamųjų polinomų žiedas Polinominių trupmenų laukas

Formalus daugelio kintamųjų polinomo virš integralumo srities Z ar lauko L apibrėžimas galėtų būti suformuluotas panaudojant transcendentinio žiedo Z atžvilgiu elemento sąvoką. Kadangi (t.y.polinomų virš IS Z žiedas) savo ruožtu yra integralumo sritis, tai (esame įrodę!) egzistuoja toks

[ ]xZ[ ]xZy∉ , kuris yra transcendentinis elementas žiedo

atžvilgiu. [ ]xZAp. Polinomą nuo kintamojo y virš ( )yF [ ]xZ , vadinsime dviejų kintamųjų x ir y

polinomu virš Z ir žymėsime:

. (1) ( ) ( ) ( ) mm

kk yxayxfyF ∑

=

==0

,:

Tokių polinomų aibę žymėsime [ ][ ]yxZ . Toks žymėjimas yra natūralus todėl, kad polinomo koeficientai savo ruožtu yra polinomai nuo kintamojo x. Kadangi

, ir ( )yF

( ) 0,1,1

1,, ... kkn

nkn

nkk bxbxbxbxa ++++= −− Za ik ∈, , tai reiškinį (1) sutvarkę

algebriškai, galim užrašyti ir taip:

. (2) ( ) Zbyxbyxf ijji

ij ∈= ∑ ,,

Pvz., polinomas ( ) ( ) ( ) ( ) ( )31615124, 4223 +−+−−++−+−= xyxxyxyyxf . yra dviejų kintamųjų polinomas virš sveikųjų skaičių žiedo S . Jis gali būti užrašytas ir taip:

( ) 3541612, 23224 +−+−+−−= yyyxxyyxyxyxfDviejų kintamųjų polinomą virš integralumo srities Z galima apibrėžti ir

paprasčiau: tiesiog kaip formalų reiškinį (2). Tokių reiškinių (polinomų) aibę įprasta žymėti . [ ]yxZ ,

Ap. Du polinomus ( ) ( )yxgyxf ,;, vadinsime lygiais, kai jų koeficientai prie vienodų narių yra atititinkamai lygūs.

Galima parodyti , kad lygybėmis

( ) ( ) jiijij yxcbyxgyxf ∑ +=+ )(,, , ( ) ( ) ljki

klij yxcbyxgyxf ++∑=⋅ )(:,,

apibrėžus dviejų kintamųjų polinomų sudėtį ir daugybą, struktūra [ ]( )⋅+ ,,, yxZ virsta integralumo sritimi. Be to, struktūros [ ]( )⋅+ ,,, yxZ ir [ ][ ]( )⋅+ ,,yxZ yra izomorfiškos. Panašiai galima apibrėžti ir trijų, keturių, … , n kintamųjų polinomą . Jei n-1 kintamojo polinomų virš Z žiedas [ ]121 ,...,, −nxxxZ jau apibrėžtas, tai n kintamųjų polinomų žiedas formaliai apibrėžiamas kaip minimalus žiedo [ ]121 ,...,, −nxxxZ plėtinys , turintis transcendentinį atžvilgiu elementą . Žymėsime [ 121 ,...,, −nxxxZ ]

=− nn xxxxZ 121 ,...,,nx

. [ ] [ ] [ ]nn xxxxZ ,,...,, 121 −


Kalbant paprasčiau, žiedo [ ]nn xxxxZ ,,...,, 121 − elementas ( )nn xxxxf ,,...,, 121 − yra polinomas nuo , kurio koeficientai yra polinomai nx ( )121 ,...,, −ni xxxa iš .

[ ]121 ,...,, −nxxxZ

Kaip ir dviejų kintamųjų atveju, daugelio kintamųjų polinomą galima apibrėžti ir kaip formalų reiškinį

. (3) ( )nxxxf ,...,, 21 021 ,,...21 NiZaxxax kin

ii n ∈∈= ∑ Nesunku įrodyti, kad tokių polinomų aibė, tinkamai apibrėžus jų lygybę, sudėtį ir daugybą, yra integralumo sritis. Pabandykite tai padaryti patys, pasitelkę savo žinias iš žiedų teorijos. Iš (3) užrašo išplaukia terminai: lygūs polinomai, polinomų suma, sandauga, skirtumas; polinomas virš bet kokio lauko L, nulinis polinomas, vienetinis polinomas . Kiekvieną atskirą polinomo išraiškos (3) dėmenį vadinsime polinomo nariu.

( nxxxf ,...,, 21 ) nin

ii xxax ...2121

Ap. Skaičių vadinsime polinomo nario laipsniu . niii +++ ...21ni

nii xxax ...2121

Ap. Didžiausią iš polinomo ( )nxxxf ,...,, 21 narių laipsnių vadinsime polinomo laipsniu ir žymėsime, kaip įprasta, ( )nxxf ,...,deg 1 . Kartais kalbama apie polinomo ( )nxxxf ,...,, 21 laipsnį pagal vieną atskirą kintamąjį . Žymime . Suprantame, kad kx

kxfdeg kx ifk

max:deg = . Buvusi sąvoka “vyriausias narys” šiuo atveju praranda prasmę, nes tokių narių dabar gali būti ne vienas. Pavyzdžiui, trijų kintamųjų polinomui virš lauko R ( ) 3354167512,, 2332432 −+−+−+−+−= zyyzyxyxyyzxzyxzyxf , o 6-tojo laipsnio narių yra net trys: . ( ) 6,,deg =zyxf 33324 4;12;5 zyzyxyzx −−

Dar pastebėkime, kad 4deg =xf , 3deg =yf , 3deg =zf . Ir daugelio kintamųjų polinomams yra sugalvotas jų narių suskirstymo “pagal rangą” būdas. Ap. Iš dviejų nepanašių polinomo ( )∈nxxxf ,...,, 21 [ nxxZ ,...,1 ]

njn

jj xxbx ...2121

narių ir leksikografiškai aukštesniu (vyresniu) vadinamas , kai jis tenkina sąlygą

nin

ii xxax ...2121

niii xxax ...21

, 11 ji = 22 ji = , … , 11 −− = kk ji , . kk ji >

Tada narys (kartais) vadinamas žemesniu už . njjj xxbx ...21 niii xxax ...21

Dabar galima konstatuoti, kad tarp polinomo ( )nxxxf ,...,, 21 narių jau yra aukščiausias (AN ). Pagal sąryšio “<” tranzityvumo savybę, jis yra vienintelis. f

Pvz., aukščiau pateikto polinomo AN , nes jame , o kituose nariuose kintamojo laipsnis – mažesnis. Kiti nariai irgi tampa vienas su kitu palyginami “pagal aukštumą”. Pvz., iš dviejų narių aukštesnis yra , nes jame kintamasis y yra aukštesnio laipsnio. Todėl visus polinomo narius galima surašyti nauja, taip vadinamąja, leksikografine tvarka. Pvz.,

f yzx 45= 41 =i

1xxyxy 7;16 2 − 216xy


( ) 3354716125,, 2332324 −+−+−−+−= zyyzyxyxyzyxyzxzyxf . Sakome, kad dabar polinomas ( )nxxxf ,...,, 21 yra sutvarkytas leksikografiškai (pagal žodyno sudarymo principą). Įrodysime taikymuose svarbią teoremą, apie polinomų sandaugos aukščiausiąjį narį. Teorema. Dviejų polinomų nuo tų pačių n kintamųjų virš Z

ir ( )nxxxf ,...,, 21ni

ni

A

i xxAx ...212

01∑

≠

= ( )nxxxg ,...,, 21nj

nj

B

j xxBx ...212

01∑

≠

= sandaugos gf ⋅

aukščiausias narys yra lygus dauginamųjų polinomų aukščiausiųjų narių sandaugai, t.y. = ⋅ . fgAN fAN gAN

Įr. Tarkime , o = (a,b ≠ 0). Be to, bet kurį

kitą polinomo f narį žymėkime

=fAN nin

ii xxax ...2121 gAN nj

njj xxbx ...21

21

=fKN nkn

kk xxcx ...2121 , o bet kurį kitą polinomo g narį,

atitinkamai, - . Tuomet, prisiminę, kad dauginant du polinomus iš esmės taikoma taisyklė: padauginti kiekvieną f narį iš kiekvieno g nario ir sutraukti panašius narius, teturime parodyti, kad sandauga ⋅ yra aukštesnė už kiekvieną iš sandaugų

=gKN nln

ll xxax ...2121

fAN gAN

⋅ ; ⋅ ; ⋅ . fAN gKN fKN gAN fKN gKN Įrodykime, pavyzdžiui, kad narys ⋅ yra aukštesnis už ⋅ . Pagal apibrėžimą egzistuoja toks numeris t, kad

fAN gAN fAN gKN

gAN

11 lj = , , … , 22 lj = 11 −− = tt lj , o jau .Tačiau tada ir tt lj >

1111 liji +=+ , , … , 2222 liji +=+ 1111 −−−− +=+ tttt liji , o jau tttt liji +>+ . Betgi tai ir reiškia, kad ⋅ yra aukštesnis už ⋅ . Panašiai samprotaujame ir kitais dviem atvejais. QED.

fAN gAN fAN gKN

Išvada. Žiedas yra IS . [ nxxZ ,...,1 ]


Paskaita 4 – 08

Simetriniai daugelio kintamųjų polinomai Daugelio kintamųjų polinomų žiedas

Toliau kalbėdami apie daugelio kintamųjų polinomą ( )nxxxf ,...,, 21 visad turėsime omenyje, kad . Čia L yra fiksuotas laukas ar IS. [ nxxLf ,...,1∈ ] Ap. Daugelio kintamųjų polinomą ( )nxxxf ,...,, 21 vadiname simetriniu polinomu (SP), jei su bet kokiu indeksų kėliniu n...,,2,1 ( )niii ,...,, 21 galioja lygybė ( ) =nxxxf ,...,, 21 ( )

niii xxxf ,...,,21

. Pvz., toks yra polinomas ( ) 233121321321 3335,, xxxxxxxxxxxxf −−−= . Nesunku įrodyti, kad simetrinių polinomų aibė yra žiedo [ ]nxxZ ,...,1 požiedis. Šitai , – savarankiškų studijų užduotis. Ap. Simetrinius n – kintamųjų polinomus : nxxx +++= ...: 211σ , nn xxxxxx 131212 ...: −+++=σ , nnn xxxxxxxxx 124213213 ...: −−+++=σ , ………………………………………. nnnnn xxxxxxxxxx ............: 322211211 +++= −−−σ , nnn xxxx 121 ...: −=σ vadinsime pagrindiniais (arba: elementariaisiais) simetriniais polinomais (PSP). Akivaizdu, kad bet koks polinomas nuo pagrindinių simetrinių polinomų ( n )σσσϕ ,...,, 21 yra SP iš žiedo [ ]nxxZ ,...,1 . Pasirodo, teisingas ir atvirkštinis teiginys,

kuris vadinamas pagrindine simetrinių polinomų teorema. Teorema. (PSPT) Kiekvieną SP ( )nxxxf ,...,, 21 iš žiedo galima vieninteliu būdu išreikšti kaipo polinomą nuo pagrindinių simetrinių polinomų .

[ nxxZ ,...,1 ]

Įr. Galimumas. Pradėsime nuo pagalbinio fakto. Lema. Kai yra SP ir ( )nxxxf ,...,, 21 =fAN ni

nii xxax ...2121 , tai

niii ≥≥≥ ...21 . Lemos įrodymas. Tarę, kad tk < , o tk ii < , iš SP apibrėžimo gautume, kad polinomas kartu su nariu turi ir narį

, kuris yra už jį aukštesnis – tai prieštara tam, kad narys yra AN.

( nxxxf ,...,, 21 ) ntk in

it

ik

ii xxxxax .........2121

nkt in

it

ik

ii xxxxax .........2121

nin

ii xxax ...2121

Dabar panagrinėkime tokį reiškinį: . Kadangi, pagal lemą, , tai

nnn kn

kkn

kkkka σσσσϕ −−

−− −= 132211211 ...:

01 ≥− +ii kk 1ϕ yra polinomas nuo pagrindinių SP, sudarytas iš vienintelio nario. Kita vertus, ( )nxx ,...,111 ϕϕ = yra ir n kintamųjų SP, nes akivaizdžiai tenkina SP apibrėžimą. Be to, iš teoremos apie polinomų sandaugos AN išplaukia, kad

1

2113221 ......: 211211 ϕσσσσϕ KNANxxaxa fkn

kkkn

kkn

kkkk nnnn +=== −−

−− − .


Iš čia darome tokias išvadas: 1. ( nxxfff ,...,: 1111 ==− )ϕ yra SP. 2. =

1fAN yra žemesnis nei . nj

njj xxbx ...21

21 fAN

Toliau konstruojame vienanarį . Lygiai taip pat išvedame, kad:

nnn jn

jjn

jjjjb σσσσϕ −−

−− −= 132211212 ...:

21

21 ...212 ϕϕ KNANxxbx fkn

kk n +== ir, kad : 1. ( nxxfff ,...,: 12221 ==− )ϕ yra SP. 2. =

2fAN yra žemesnis nei . njn

jj xxbx ...2121 1f

AN 3. ( )nxxff ,...,1221 ++= ϕϕ . Panašiai konstruojame 3ϕ ir t.t. Tad, po baigtinio skaičiaus m žingsnių, gausime: mm ff ++++= ϕϕϕ ...21 , 0deg =mf , t.y. constfm = , (*) nes aukščiausieji nariai nuosekliai žemėja. Galimumas įrodytas. Vienatis. Kaip visada, tarę, kad yra SP , kuris užrašomas bent dviem skirtingais (*) pavidalo užrašais,

( )nxxxf ,...,, 21

mm ff ++++= ϕϕϕ ...21 ir ss gf ++++= ψψψ ...21 turėsime, kad:

a) skirtumas ...0 2211 +−+−= ψϕψϕ yra nulinis polinomas nuo n kintamųjų. b) tas pats skirtumas nėra nulinis polinomas nuo PSP, t.y. būtinai lieka narių

pavidalo ir su nln

llA σσσ ...2121 0≠A . Tokio nario aukščiausias narys yra

nnn ln

llllll xxAx ......2

...1

3221 ++++++ ir negali susiprastinti su kito tokio nario AN, nes kitam rodiklių rinkiniui ir rodikliai ,

nlll ,...,, 21

nllk ++= ...: 11 nllk ++= ...: 22 , … , nn lk =: būtinai išeina kiti . Taigi – skirtumas nėra n – kintamųjų nulinis polinomas. Gavome prieštarą. QED. Polinomas galima užrašyti dar vienu būdu, kuris , tuo atveju, kai f yra SP, palengvina jo išreiškimą PSP.

( nxxxf ,...,, 21 )

Ap. Polinomą, sudarytą iš daugelio kintamųjų polinomo ( )nxxxf ,...,, 21 narių, turinčių fiksuotą laipsnį k, vadiname polinomo k-tojo laipsnio forma. Žymime: .kf Tad ( užrašomas kaip formų suma: )nxxxf ,...,, 21 ( ) ∑=

kkn fxxxf ,...,, 21 .

Pvz. , polinomas ( ) 54354167512,, 23322432 ++−+−+−+−+−= zyxyzyzyxyyxyzxzyxzyxf

užrašomas, taip: ( ) 01236,, fffffzyxf ++++= . Čia: 50 =f , zyxf +−= 431 , yzyf −= 2

2 5 , , . 223 167 xyyxf +−= 33432

6 4512 zyyzxzyxf −+−=Be to, kaip nesunku suprasti, SP formos irgi yra SP, o dviejų k-tojo laipsnio formų

skirtumas ar suma yra to paties laipsnio forma. Todėl SP užrašymą PSP galima atlikti palaipsniui, pagal formas.

Pvz., . ( ) 24222222 222,, ffxzyzxyzyzxyxzyxf +=−−−++=


Pirmiausia išreikškime PSP formą . Jos aukščiausias narys yra . Kaip ir teoremos įrodyme, sukonstruojame visus galimus narius nuo PSP: jų laipsnio rodikliai tegalės būti: 2,2,0; 2,1,1. Atitinkami nariai nuo PSP atrodys taip:

4f 222 yx

=−− 03

022

2212 σσσ ; bei . 2

22σ 3113

112

121 σσσσσ AA =−−

Todėl : + 4f = 222σ 31σσA . Tereikia nustatyti nežinomą koeficientą A. Tuo tikslu

paimame bet kokį (paprastesnį) kintamųjų reikšmių rinkinį, pvz., 1=== zyx ir, įstatę į formalią formos išraišką, gauname: 64 =f , 31 =σ , 32 =σ , 13 =σ . T.y.: : 413326 2 −=⇒⋅⋅+⋅= AA 4f = 2

22σ 314 σσ− . Panašiai išvedame, kad 2f = 2σ− . Galutinai : ( ) =+= 24,, ffzyxf 2

22σ 314 σσ− 2σ− . Polinomai simetriniai pagal dvi kintamųjų sistemas . Ap. Jei su bet kokiais indeksų ir kėliniais ir

galioja lygybė n,...,2,1 m,...,2,1 niii ,...,, 21

mjjj ...,,, 21

( ) =mn yyyxxxf ,...,,,,...,, 2121 ( )mn jjjiii yyyxxxf ,...,,,,...,,

2121 ,

tai polinomas f vadinamas SP pagal dvi kintamųjų sistemas. Pavyzdžiui, polinomas ( ) =tvuyxf ,,,, 3333 tvuxy +++ yra simetrinis pagal dvi kintamųjų sistemas: x, y ir u, v, t . Aišku, šią sąvoką galima apibendrinti ir didesniam kintamųjų sistemų skaičiui. Taikymuose svarbu yra tai, kad ir tokius polinomus galima išreikšti PSP. Tiksliau, - teisinga tokia teorema. Teorema. Kiekvieną simetrinį polinomą ( )mn yyyxxxf ,...,,,,...,, 2121 galima vieninteliu būdu išreikšti PSP nσσ ,...,1 pagal kintamųjų sistemą ir PSP nxxx ,...,, 21

mττ ,...,1 pagal kintamųjų sistemą . myyy ,...,, 21

Galimumo įrodymas išplaukia iš to, kad polinomą ( )mn yyyxxxf ,...,,,,...,, 2121 galima užrašyti pavidalu:

( ) ( ) mjm

jjnkmn yyyxxayyyxxxf ...,...,,...,,,,...,, 21

2112121 ∑= .

Šiame užraše koeficientai yra SP pagal kintamųjų sistemą , todėl juos galima išreikšti PSP

( nk xxa ,...,1 ) nxxx ,...,, 21

nσσ ,...,1 pavidalu: ( ) ( )∑ == nk

kn

knk

nAxxa σσϕσσ ,...,:...,..., 1111 .

Savo ruožtu, polinomas ( ) mj

mjj

kmn yyyyyyxxxf ...,...,,,,...,, 21212121 ∑= ϕ yra simetrinis pagal sistemą

, todėl jis išsireiškia PSP myyy ,...,, 21 mττ ,...,1 . Galimumas įrodytas. Vienatis įrodoma tradiciniu prieštaros metodu.


Algebrinių skaičių laukas Dabar galime kiek detaliau aptarti realiųjų skaičių lauko polaukį , – algebrinių skaičių aibę A . Primename, kad kompleksinis (realusis) skaičius vadinamas algebriniu skaičiumi, jei jis yra natūrinio laipsnio polinomo su racionaliaisiais koeficientais šaknis. Teorema. Algebrinių skaičių aibė yra laukas. Įr. Tarkime r Aba ∈, i ( ) ( )xgxf , yra juos atitinkantieji minimalieji polinomai, kurių laipsniai yra atitinkamai n ir m , o šaknys atitinkamai na ααα ,...,, 21= ir

mb βββ ,...,, 21= . Įrodymas išlaukia iš to, kad pagalbinių polinomų

, , ( ) ( )( )∏∏= =

+−=n

i

m

jjixx

1 1

βαϕ ( ) ( )( )∏∏= =

−−=n

i

m

jjixx

1 1

βαφ

( ) ( )( )∏∏= =

−=n

i

m

jjixx

1 1

βαχ

koeficientai yra simetriški polinomai pagal dvi kintamųjų sistemas . Lieka įrodyti, kad jei A∈α ir 0≠α , tai ir . A∈−1αTarkime, kad A∈α ( 0≠α ) yra polinomo

( ) 01... axaxaxf nn +++=

su racionaliaisiais koeficientais šaknis. Tačiau akivaizdu, kad tada bus polinomo ia 1−α ( ) nn

n axaxaxg +++= −10 ...(su rac. koeficientais) šaknis.

Aksiomos KAD išplaukia iš to, kad KA ⊂ . QED. Teorema. Algebrinių skaičių laukas yra algebriškai uždaras. Be įrodymo.


Paskaita 4 – 09 Pagrindinė algebros teorema (PALT) ir jos išvados Ap. Laukas L vadinamas algebriškai uždaru, jei kiekvienas nenulinio laipsnio polinomas jame turi šaknį. Iš šito apibrėžimo tuoj pat darome išvadą, kad skaičių laukai Q ir R nėra algebriškai uždari. Esame sukonstravę lauko R plėtinį K – kompleksinių skaičių lauką. Kyla klausimas, ar K yra algebriškai uždaras? Atsakymas – teigiamas. Teorema.(Pagrindinė algebros teorema (PALT)) Bet kuris nenulinio laipsnio polinomas virš K turi jame bent vieną kompleksinę šaknį.

( Arba: K yra algebriškai uždaras laukas.) Įrodymą suskirstysime į keletą lemų. Pradžioje, – tolydinės kompleksinio kintamojo funkcijos (TKKF) sąvoka. Ap. Funkciją vadinsime tolydine taške KKf →: Ka∈ , jei ( )( 00 >∃>∀ )δε , kad galioja nelygybė ( ) ( ) ε<−+ afhaf , kai tiktai δ<h . Beje, polinomas virš KS lauko yra kompleksinio kintamojo funkcija (matematinės analizės prasme). 1 Lema . Polinomas yra TKKF taške . ( ) Kaxaxaxf i

nn ∈++= ,... 1 0=x

1L įrod. Pažymėkime iaA max= , tada , laikydami , kad 1<x gauname, kad:

( ) ( )δδ−

<−

≤++≤11

... Ax

xAxxAxf n , kai tik 1<< δx .

Tam, kad būtų teisinga ( ) ε<xf , užtenka paimti ε

εδδδε

+=→

−=

AA

1. QED.

Išvada. Polinominė funkcija yra TKKF. Polinominės funkcijos modulis ( )xf yra realioji tolydinė KKF. Iš tikrųjų, ( )Ka∈∀

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )hhn

afhafhafafhaf nn

ϕ:!

...!2!1

2 =++′′

+′

=−+ .

Tačiau ( )hϕ pagal 1 lemą yra TKKF taške h = 0 .T.y. ( ) εϕ <h , kai tik δ<h .

Kita vertus: ( ) ( ) ( ) ( )afhafafhaf −+≤−+ = ( )hϕ , todėl ir polinominės

funkcijos modulis ( )xf yra (reali) TKKF. 2 Lema. (Vyr.nario lema). Kai ( ) [ ] ( ) 1deg ≥∧∈ xfxKxf , tai ( )( ) 0

110 ... axakxaRxRk n

nn

n ++>∈∃∈∀ −−++ , kai tik 0xx ≥ .

2L įrod. Tegul iaA max= , ni ≠ . Tada, laikydami, kad 1>x , gauname

≤++−− 0

11 ... axa n

n ( )11

1...1

−

⋅<

−

−≤++−

xxA

xx

AxxAnn

n .

Pareikalaukime, kad galiotų nelygybė n

nn

n

n

xaxax

xAk ⋅=≤

−

⋅⋅

1


t.y. ( 1−≤ xakA n ) arba 1:1 xaAk

aakA

xnn

n =+=+

≥ .

Akivaizdu, kad su ( )10 ,1max: xx = gauname 2-os lemos įrodymą. 3 Lema. (Polinomo modulio lema). Kai ( ) [ ] ( ) 1deg ≥∧∈ xfxKxf , tai ( )( ) ( ) MxfRNRM >∈∃∈∀ ++ 0 , kai tik 0Nx ≥ .

3L įrod. Paimkime 2-oje lemoje 2=k . Tada, kai 0xx ≥ , turėsime:

( ) .21... 0

11

nn

nn

nn xaaxaxaxf ≥++−≥ −

−

Belieka paimti tiek didelį x , kad būtų

Mxa nn >

21 , t.y. , kai 1:2 M

aMx n

n

=> ,

nes tada, parinkę , ir gauname 3 lemos tvirtinimą. ( 010 ,max: xMN = ) 4 Lema. (Dalambero). Jei ( ) 00 ≠xf , tai egzistuoja toks Kh∈ , kad:

( ) ( )00 xfhxf <+ . Šios lemos neįrodinėsime. Tik pailiustruosime jos tvirtinimą geometriškai. 5 Lema.(Vajerštraso). Jei realioji KKF ( )xg yra tolydinė uždarame kompleksinės plokštumos skritulyje K, tai tame skritulyje ji turi minimumo tašką Kx ∈0 , t.y. ( ) ( ) ( )0xgxgKx ≥∈∀ . (K. Weierstrass (1815 – 1897) – žymus vokiečių matematikas.) PALT įrodymas (schematiškai). Tegul ( ) [ ] ( ) 1deg ≥∧∈ xfxKxf . Jei , tai

ir QED. Jei , tai 00 =a

( ) 00 =f 00 ≠a 0|| 0 >= Ma . Pagal 3 lemą egzistuoja +∈ RN0 , kad ( ) Mxf > , kai tik 0Nx > . Uždarą skritulį

0Nx ≤ pažymėję K ′ ir, pritaikę Vejerštraso lemą (tolydumą esame aptarę!), gauname : , toks, kad Kx ′∈∃ 0

( ) ( ) ( ) |||| 0xfxfKx ≥∈∀ . Atskiru atveju, ( ) ( ) |||0| 0xffM ≥= . Bet skritulio išorėje, t.y. kai 0Nx > ,

galioja ( ) Mxf > , tad iš čia išplaukia, kad yra funkcijos 0x ( )xf minimumo taškas visoje kompleksinėje plokštumoje. Dabar, jeigu dar ( ) 00 ≠xf , tai pagal Dalambero lemą , egzistuoja toks Kh∈ ,

kad: ( ) ( )00 xfhxf <+ , o tai prieštarauja tam, kad - minimumo taškas. QED. 0x Išvados iš PALT 1. Pirminiai virš K – tik pirmojo laipsnio polinomai. 2. Polinomo virš K kanoninis skaidinys, šaknų skaičius. 3. Polinomų virš K algebrinės ir funkcijinės lygybės sąvokos sutampa.


4. Lagranžo interpoliacinė formulė. 5. Vieto’ formulės. 6. Pirminiai virš R polinomai. Polinomo virš R kanoninis skaidinys.

PAlT pirmasis 1799 m. įrodė K.-F. Gausas. Vadovėlio II d. (§85) rasite dar vieną šios teoremos įrodymo variantą. Išstudijuokite jį savarankiškai. Gal jis bus Jums suprantamesnis už mano pateiktąjį? Tuokart per egzaminą pateikite bet kurį iš įrodymo variantų.

Tolesnė tematika: detalesnės studijos apie polinomus virš skaičių laukų R, Q ir virš integralumo srities Z.

1

Paskaita 4 – 10 Polinomai virš R ir K. Polinomo kanoninis skaidinys 1. Jau žinome, kad pirmojo laipsnio polinomai yra visada pirminiai. Dabar nesunku

įsitikinti, kad pirminiai virš K – tik pirmojo laipsnio polinomai. Kitokių nėra. Iš tikrųjų, tarus, kad yra pirminis, o ( ) [ ]xKxf ∈ ( ) 1deg >xf , pagal tik ką įrodytą teoremą, polinomas turėtų šaknį ( )xf Kx ∈1 . Tada , pagal Bezū teoremą, egzistuoja toks polinomas , kad ( ) [ ]xKxq ∈ ( ) ( ) ( )xqxxxf 1−= ir , o šitai prieštarauja tam, kad pirminis virš K polinomas.

( ) 1deg ≥xq( )xf

2. Polinomo virš K kanoninis skaidinys, šaknų skaičius. n-tojo laipsnio polinomas virš K turi lygiai n šaknų (atsižvelgiant į kartotinumą!). Be to, kiekvieną polinomą ( ) [ ]xKxf ∈ galima vieninteliu būdu (su tikslumu iki daugiklių tvarkos) išskaidyti pavidalu ( ) ( ) ( ) ( ) nk

nkk

n xxxxxxaxf −−−= ...2121 ;

ir skaičiai sutampa su šaknies kartotinumu. Tai, – kanoninis

skaidinys.

∑ =i

i nk ik ix

3. Polinomų virš K algebrinės ir funkcijinės lygybės sąvokos sutampa. Tikrai, jei tai akivaizdu, kadii ba = ( )Kx∈∀ ( ) ( )xgxf = . Atvirkščiai, tarus, kad

, išeina kad polinomas ( )Kx∈∀ ( ) ( )xgxf = ( ) ( ) ( )xgxfxh −=: turi daugiau nei šaknų , todėl tegali būti ( )xhdeg ( ) ( ) ii baxOxh =⇒= .

Priminsime: taip yra ne virš visų laukų. 4. Lagranžo interpoliacinė formulė. Kartais būna žinoma n+1 (ar daugiau) polinomo

reikšmė, o norima rasti patį polinomą. Tai galima padaryti sudarant TLS koeficientų atžvilgiu. Yra ir prancūzų matematiko Lagranžo išvesta interpoliacinė formulė. Jei duota, kad ( ) 1,,...,2,1, +== nnicaf ii tai polinomas ( )xf jau nustatytas ir

. Būtent: ( ) nxf ≤deg

( )( )( )∑ ∏

∏+

=≠

≠

−

−=

1

1

n

iij

ji

ijj

i aa

axcxf .

Pvz., kai žinome, kad ( ) 11 =f , ( ) 12 −=f , ( ) 23 =f , ( ) 21 =−f , tai Lagranžo interpoliacinė formulė įgalina tuoj pat užrašyti nedidesnio, kaip 3-čiojo laipsnio polinomą, tenkinantį šias sąlygas. Būtent (patikrinkite skaičiavimus):

( ) ( )( )( )( )( )( ) ( ) ( )( )( )

( )( )( ) ++−−+−−

⋅−++−−+−−

=1232121311

113121132 xxxxxxxf

( )( )( )( )( )( )

( )( )( )( )( )( ) 2

7452

43

3121113212

1323131212 23 +−−=

−−−−−−−−−

⋅++−−+−−

⋅+ xxxxxxxxx .

5. Viet’os formulės. Tarkime (tai nemažina bendrumo) . ( ) 01

11 ... axaxaxxf n

nn ++++= −

−

Iš polinomo kanoninio skaidinio, sulyginus koeficientus, išplaukia Vieto’s formulės:

2

( )nn xxxa +++−=− ...211 , nnn xxxxxxa 131212 ... −− +++= , ( )nnnn xxxxxxa 123213 ... −−− ++−= , …………………………………. ( ) ( )nnn

n xxxxxxa 121211

1 .........1 −−− ++−= ,

. ( ) nn xxxa ...1 210 −=

Išvada: jei polinomo šaknys yra iš lauko L , tai ir koeficientai priklauso laukui L. 6. Pasirodo, kad, kai polinomo koeficientai yra realieji skaičiai, t.y. , tai ( ) [ ]xRxf ∈ polinomas yra pirminis jau dviem atvejais:

a) kai ; ( ) 1deg =xf arba: b) kai . ( ) 042deg 2 <−=∧= acbDxf

Įr. Kai , - visi tokie polinomai yra pirminiai akivaizdžiai. Iš tikro, jei būtų sudėtinis, tai iš išraiškos

( ) 1deg =xf( )xf ( ) ( ) ( )xhxgxf = ir sąlygų :

, gautume prieštarą: ( ) 1deg ≥xg

( ) 1deg ≥∧ xh ( ) ( ) ( ) 2degdeg1 ≥== xhxgxf . Tarkime, kad . Pirmiausia parodysime, kad šio polinomo kompleksinės

šaknys yra poromis sujungtiniai skaičiai. Tiksliau, teisinga tokia lema. ( ) 2deg ≥xf

Lema. Jei ir ( ) [ ]xRxf ∈ biaK +=∈ αα , yra jo šaknis, tai jo šaknimi yra ir skaičius . bia −=α Lemos įrodymas išplaukia iš lygybių βαβα +=+ , βαβα ⋅=⋅ šitaip:

( ) ∑ ∑ ∑= = =

====n

i

n

i

n

i

ii

ii

ii aaaf

0 0 0αααα ( ) 00 ==αf . QED.

Tačiau, jei polinomas turi dvi sujungtines kompleksines šaknis, tai iš PAT išplaukia, kad jį galima išskaidyti taip; ( ) ( )( ) (xhxxxf )αα −−= , t.y. ( ) ( )( ) ( )xhxxxf αααα ++−= 2 ( ) ( )xhxp:= ir . Iš DLT išplaukia, kad ir ( ) [ ]xRxp ∈ ( ) [ ]xRxh ∈ . Kita vertus, tokiu atveju yra neskaidus lauke R, nes

( )xp( ) 044 22 <−=−+= bD αααα . Taigi: radome polinomo

pirminį antrojo laipsnio daliklį . Jo diskriminantas yra neigiamas realusis skaičius. 1 išvada. Aukštesnio nei antrojo laipsnio polinomai virš R yra sudėtiniai.

2 išvada. Nelyginio laipsnio polinomas su realiaisiais koeficientais turi bent vieną realiąją šaknį.

3 išvada. Kai , tai jo kanoninis skaidinys yra tokio pavidalo ( ) [ ]xRxf ∈ ( ) =xf

. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) stl

ssllk

tkk

n qxpxqxpxqxpxxxxxxxa ++++++−−−= 222

211

221 ...... 2121

Čia ( ) nflllkkk st ==+++++++ deg...2... 2121 .


Paskaita 4 – 11

Rezultantas ir diskriminantas Simetriniai polinomai. PALT ir jos išvados Kalbėsime apie polinomų virš L bendrąsias šaknis. Tuo atveju, kai polinomai

ir turi bendrų šaknų, - jų DBD yra nenulinio laipsnio polinomas. Todėl tas bendrąsias šaknis galima rasti kad ir EA pagalba. Šiame paragrafe mes aptarsime kitą būdą nustatyti, ar polinomai turi bendrų šaknų, kuris vėliau pravers ir sprendžiant paprasčiausias netiesines lygčių sistemas.

( )xf ( )xg

Tarkime polinomų ir( )xf ( )xg laipsniai yra atitinkamai n ir m . Jų koeficientus žymėsime, kaip įprasta, ir Lai ∈ Lbi ∈ ; be to, 0≠na ir 0≠mb . Jei L yra sandaugos

⋅ skaidinio laukas, tai jame polinomai f ir g turi atitinkamai n ir m šaknų. Pažymėkime polinomo šaknis ( )xf ( )xg

( )xf nααα ,...,, 21 , o polinomo ( )xg - mβββ ,...,, 21 . Ap. Skaičių

(1) ( ) (∏∏= =

−=n

i

m

jji

nm

mn bagfR

1 1

:, βα )

)

)

)

vadinsime polinomų f ir g rezultantu. Kadangi

, ( ) ( )∏=

−=m

jjm xbxg

1

β

tai rezultantą galima užrašyti ir šitaip: ( gfR ,

. ( ) (∏=

=n

ii

mn gagfR

1

, α

Be to, pastebėtina, kad polinomai f ir g rezultanto apibrėžime dalyvauja nesimetriškai. Iš tikrųjų

. ( ) ( ) ( ) ( gfRbafgR nmm

j

n

iij

nm

mn ,1,

1 1

−=−= ∏∏= =

αβ

Teorema. Polinomai f ir g turi bendrų šaknų tada ir tiktai tada, kai jų rezultantas lygus nuliui. Įrodymas trivialus, todėl jį praleidžiu. Apgalvokite jį patys. Tačiau (1) išraiška praktiškai nenaudinga, nes reikalauja žinoti polinomo šaknis, o mes norime žinoti tik tai, ar polinomai turi bendrų šaknų. Formulė (1) visgi naudinga tuo, kad iš jos nesunku suvokti: rezultantas turi išsireikšti per polinomų f ir g koeficientus. Tai išplaukia iš SP pagrindinės teoremos analogo SP pagal dvi kintamųjų sistemas. Juk formulėje (1) , laikant nααα ,...,, 21 ir

mβββ ,...,, 21 agebriškai nepriklausomų kintamųjų sistemomis, ( )gfR , akivaizdžiai yra SP pagal šias dvi kintamųjų sistemas. Todėl , pagal PSPT ( )gfR , išsireiškia per PSP nuo kintamųjų nααα ,...,, 21 ir PSP nuo kintamųjų mβββ ,...,, 21 , t.y. . (2) ( ) ( ) mi

mii

knkagfR τττσσσ ...,...,,, 21

2121∑=


Tačiau, kaip žinome iš PALT išvadų:

n

nn a

a 1211 ...: −−=+++= ααασ ,

n

nnn a

a 21212 ...: −− =++= αααασ ,

………………………………

( )n

nnn a

a021 1...: −== ααασ ,

m

mm b

b 1211 ...: −−=+++= βββτ ,

………………………………

( )m

mmm b

b021 1...: −== βββτ ,

o tai ir įrodo mūsų hipotezę. Pasirodo, kad realiai išraiška (2) yra gana paprasta. Teorema. Teisinga formulė

( )

011

012

011

012

011

......00...00...00

...

...

...

...

...

...

.....................0

0....................

...00...

,

bbbb

bbbbbbbb

aaaaaaaa

gfR

mm

m

mm

n

nn

−

−

−

= . (3)

Čia yra n + m – tosios eilės determinantas, kuriame koeficientai , pasislinkdami per vieną vietą , užima m eilučių, o koeficientai tokiu pat būdu – n eilučių.

ia

ibKad būtų aiškesnė šio determinanto sandara, pastebėsime: jo pagrindinėje

įstrižainėje iš pradžių m kartų pasikartoja koeficientas , o, po to, – n kartų . na 0bTeoremos neįrodinėsime. Įvairūs autoriai polinomų rezultantą įvairiai apibrėžia.

Galima apibrėžti, kad rezultantas – tai skaičius , gaunamas iš (3) formulės. Tada (1) formulę tektų įrodyti. Apie tai, žr. vadovėlio 316 psl.

Pvz., kai , o ( ) 012

2 axaxaxf ++= ( ) 012

2 bxbxbxg ++= , tai

( ) ( ) ( )( 100121122

2002

012

012

012

012

00

00

, babababababa

bbbbbb

aaaaaa

gfR −−−−== ) . (*)

Kai duoti polinomai ir ( ) 262 +−= xxxf ( ) 52 ++= xxxg , tai iš (*) gauname:


( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 0233125616111251

5110051126100261

, 2 ≠=⋅−⋅−⋅−−⋅−⋅−⋅=−

−

=gfR

ir todėl šie polinomai bendrų šaknų neturi. Tuo tarpu polinomams ir rezultantas

( ) 542 −−= xxxf( ) 1072 +−= xxxg ( ) 0, =gfR (patikrinkite!), todėl jie turi bendrą šaknį,

būtent . 5=xTarkime ir yra du dviejų kintamųjų polinomai virš lauko L.

Parodysime, kad, panaudojant rezultantą, galima iš dviejų lygčių su dviem kintamaisiais sistemos

( yxf , ) )( yxg ,

( )( )⎩

⎨⎧

==

0,,0,

yxgyxf

(4)

eliminuoti vieną iš kintamųjų: arba x, arba y . Užrašykime sistemos (4) polinomus kaip polinomus nuo x su koeficientais, kurie yra polinomai nuo y, t.y.

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=++++

=++++−

−

−−

.0...

,0...

011

1

011

1

ybxybxbxyb

yaxyaxaxyal

ll

l

kk

kk (5)

Pagal formulę (3) rasime polinomų ( )yxf , ir ( )yxg , rezultantą. Jis, akivaizdu,

bus y funkcija : ( ) ( ) ( )yFgfRgfR x :,:, == . Tarkime, kad sistema (5) turi sprendinį (lauke L ar jo plėtinyje) ( )βα , . Tada polinomai ( )β,xf ir ( )β,xg nuo vieno kintamojo turi bendrą šaknį α=x . Todėl jų rezultantas turi turėti šaknį ( gfRx , ) β=y , t.y. ( ) 0=βF . Ir atvirkščiai: jei polinomas ( )yF turi šaknį β=y , tai polinomų ( )β,xf ir ( )β,xg rezultantas yra lygus nuliui, o tai reiškia, kad tie polinomai arba turi bendrą

šaknį, arba katras nors iš abiejų vyr. koeficientų ( )βka ir ( )βlb lygus nuliui. Šiuo pastaruoju atveju sistemas (5) išraiška supaprastėja ir neretai pavyksta rasti jos sprendinį, arba nustatyti, kad sprendinių nėra. Reziumuojant galima pasakyti, kad dviejų lygčių su dviem kintamaisiais sistemos (5) sprendimą suvedėme į vienos lygties su vienu kintamuoju sprendimą. Sakoma, kad kintamąjį x iš sistemos (5) eliminavome.

( ) 0=yF

1 pavyzdys. Išspręskime lygčių sistemą:

⎩⎨⎧

=++−=+++

.03222,03232

yxxyyxyyx

Išeliminuosime iš šios sistemos kintamąjį x. Tuo tikslu perrrašome sistemą pavidalu (5):

⎩⎨⎧

=++−=+++

.0)32()22(,0)32()3(2

yxyyxyyx

Tada


( ) ( ) 1211232220

03222323

, 2 ++==+−

+−+

= yyyFyy

yyyyy

gfRx .

Lygties šaknys yra ( ) 0=yF 41 −=β ir 23

2 −=β . Kadangi vyriausi

koeficientai šioms y reikšmėms nevirsta nuliumi, tai gauname dvi sistemas:

⎩⎨⎧

=−−=−−−

0510,05124 2

xxx

ir ⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

=−−

05

,029

23 2

x

xx.

Iš pirmosios gauname sprendinį 21

1 −=α , iš antrosios : 02 =α .

Ats. Pradinės sistemos sprendiniai yra: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −− 4,

21 ir ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

23,0 .

2 pavyzdys. Spręskime lygčių sistemą:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+−+

=++−

.0152,052

222

23

yxyyxxxyyx

Kadangi pagal y abu polinomai turi laipsnį 2, o pagal x vienas iš jų yra net 3 –čio laipsnio, tai tikslinga eliminuoti y . Perrašome sistemą pavidalu :

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+−+

=+++−

.015)2(,0)5()2()(

22

32

yyxxxyxyx

Taikydami (*) formulę, apskaičiuojame rezultantą ( )gfRy , :

. ( ) xxxxxxxxgfRy 12596154161841184, 2345678 −++++++= Viena jo šaknų yra , tačiau šiai x reikšmei abu vyriausieji koeficientai, t.y. 0=x(-x) ir ( )xx 22 + yra lygūs nuliui. Be to, nesunku pastebėti, kad su 0=x sistema bendro sprendinio neturi. Kadangi nėra rezultanto šaknis, tai likusios 7 jo šaknys nė vieno iš vyriausių koeficientų nuliumi jau nevers ir mes gausime 7 pradinės sistemos sprendinius. Tiesa, reikia atsižvelgti į galimą polinomo

2−=x

( )gfRx x ,1 ⋅− šaknų kartotinumą, o taip pat į tai, kad net 6 iš likusių šaknų gali būti kompleksiniai skaičiai. Aišku, atsiranda septintojo laipsnio polinomo nuo vieno kintamojo šaknų radimo uždavinys, bet jo sprendimą mes esame jau aptarę, be to, šaknis galime norimu tikslumu rasti vienu iš artutinių metodų, apie kuriuos dar kalbėsime.

Rezultantas gali būti taikomas ir nustatant, ar polinomas ( )xf virš nulinės charakteristikos lauko L turi kartotinių šaknų. Akivaizdu, kad taip bus, tada ir tiktai tada, kai . ( ) 0, =′ffR

Ap. Skaičių (lauko L elementą) ( )( )

( ffRaD n

nn′−= −

−

,1: 12

1)

))

vadiname polinomo diskriminantu. ( )xf

Kadangi D tik nenuliniu daugikliu (kai char L = 0) skiriasi nuo , tai D ir nuliu virsta (arba nevirsta) kartu. Todėl paprastai skaičiuojamas būtent

( ffR ′,( ffR ′, ( )ffR ′,

.


Pavyzdžiui, polinomui ( ) cbxaxxf ++= 2 :

( ) ( )acbaba

bacba

ffR 420

02, 2 +−==′ .

Šiuo atveju ( ) 12

1=

−nn , todėl ( ) acbffRaD 4, 21 −=′−= − , t.y. gauname dar iš

mokyklos žinomą kvadratinio trinario diskriminantą. Pvz., polinomas ( ) kartotinių šaknų turi, nes šiuo atveju

, ir 132 23 +−= xxxf

2,3 3 == an ( ) xxxf 66 2 −=′

( )( )

( ) 0

0660000660000661032001032

21,21 1

2133

=

−−

−−

−

−=′⋅⋅−= −−

ffRD .

Bendru atveju, kai , tai ( ) qpxxxf ++= 3

( )( )

( ) =−=′⋅−=−

pp

pqp

qp

ffRD

030000300003

010001

,1 2133

23 274 qp −− ,

o tai jau irgi matytas reiškinys, kurį , aptardami kubinių lygčių sprendimą , esame pavadinę (suprastintos) kubinės lygties diskriminantu (žr. P 1 – 12). 03 =++ qpxx

P 4 –12 ALGEBRA IR SKAIČIŲ TEORIJA 1

Paskaita 4 – 12

Polinomai virš lauko R. Realių šaknų rėžiai Rezultantas ir diskriminantas

Dabar jau žinome, kad nelyginio laipsnio polinomas virš R būtinai turi bent vieną realią šaknį. Tačiau apie nelyginio laipsnio polinomo realiųjų šaknų skaičių kol kas nieko negalime pasakyti.

Darbui su PC svarbu žinoti realių šaknų rėžius. Apie tai dabar ir kalbėsime. Ap. Skaičių vadinsime polinomo 0>+

vR ( ) [ ]xRxf ∈ realiųjų (teigiamų) šaknų viršutiniu rėžiu, jei , kai tik . ( ) 0≠xf +> vRx

Panašiai apibrėžiami ir skaičiai , , , nusakantys intervalus +aR −

vR −aR ( )−−

va RR , , ( )++

va RR , , į kuriuos patenka polinomo ( )xf (neigiamos: , bei teigiamos: ) šaknys. −α +α

Skaičių jau mokame nustatyti: pagal vyr. nario lemą, kai tik +aR 1+≥

naAx , tai

01

1 ... axaxa nn

nn ++> −

− , t.y. ( ) 0≠xf . Išvada +vR 1: +=

naA , −

aR 1: −−=na

A .

Yra ir tikslesnių būdų rėžiui rasti . Be to, užtenka mokėti rasti tik polinomo

. Sukonstruokime tris pagalbinius polinomus:

+vR

+vR ( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

xfxx n 1:1ϕ , ( ) ( )xfx −=:2ϕ ,

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

xfxx n 1:3ϕ . Tarkime jų viršutiniai teigiamų šaknų rėžiai jau suskaičiuoti ir lygūs

atitinkamai skaičiams: , ( )1ϕ+vR ( )2ϕ

+vR , ( )3ϕ

+vR .

Jei yra kokia nors teigiama polinomo +α ( )xf šaknis, tai +α1 yra polinomo

( )x1ϕ teigiama šaknis, todėl +α1 ( )⇒≤ +

1ϕvR ( )+

++ =≥ a

v

RR

:1

1ϕα .

Panašiai, jei yra neigiama polinomo −α ( )xf šaknis, tai yra teigiama polinomo

−−α( )x2ϕ šaknis, todėl −−α ( )⇒≤ +

2ϕvR ( ) −+− =−≥ av RR :2ϕα .

Pagaliau, kai yra neigiama polinomo −α ( )xf šaknis, tai −−α1 yra teigiama

polinomo ( )x3ϕ šaknis , todėl −−α1 ( )⇒≤ +

3ϕvR ( )−

+− =−< v

v

RR

:1

3ϕα .

Kai polinomo ( ) [ ]xRxf ∈ vyriausias koeficientas yra teigiamas, tai, pažymėję didžiausią jo neigiamų koeficientų modulį raide B , šio polinomo rėžį galima rasti iš Makloreno (C.Maclaurin – škotų matematikas, 1698 – 1746) formulės

na+vR

1+=+k

nv a

BR .


Čia – yra pirmasis neigiamas polinomo koeficientas, kna − ( )xfn deg= . Pvz., kai ( ) , tai 275123 245 +−−+= xxxxxf 325,7 2 =−=⇒== − kaaB kn ir

33,2137

3 ≈+=+vR ,

tuo tarpu kai pirmuoju būdu būtume gavę gerokai grubesnį įvertį 513

12=+=+

vR .

Įr. Pasiskaityti - patiems. 175 t., 348 psl. Tarkime , o didžiausias iš neigiamų koeficientų modulių yra B. Tuokart teigiamus koeficientus pakeitę nuliumi, o neigiamus - skaičiumi B (kai x >0 ) turėsime nelygybę:

0>na

( ) ( )1...1 ++++−≥ −−− xxxBxaxf knknnn .

Kita vertus, laikydami, kad , taikome GP narių sumos formulę ir gauname: 1>x ( ) ≥xf

( ) ( )( )Bxax

xx

Bxxxax

xBxax

xBxa kn

knknnn

knn

n

knn

n −−−

≥−−−

≥−

−>−−

−+−+−+−+−

111

111

1 1111

.

Jei 1+≥ k

naBx , tai , todėl ( ) 01 ≥−− Bxa k

n ( ) 0>xf ir teorema įrodyta.

Tiksliausiai dydį galima gauti Niutono metodu. Jo idėja išplaukia iš Teiloro formulės polinomui su teigiamu vyriausiuoju koeficientu . Bet kokio realaus skaičiaus aplinkoje yra teisinga formulė:

+vR

( ) [ ]xRxf ∈ na

+∈= Rcx

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )nn

cxn

cfcxcfcxcfcfxf −++−′′

+−′

+=!

...!2!1

2 .

Iš jos lengvai išplaukia toks faktas: Teorema. Jei visi skaičiai ( )cf , ( )cf ′ , ( )cf ′′ , … , ( ) ( )cf n yra teigiami, tai

. cRv =+

Turėtame pavyzdyje : ( ) 275123 245 +−−+= xxxxxf ( ) 7104815 34 −−+=′ xxxxf ( ) 1014460 23 −+=′′ xxxf ( ) ( ) xxxf 288180 23 += ( ) ( ) 2883604 += xxf ( ) ( ) 3605 =xf ir teoremos sąlyga išpildyta, kai . Taigi, . Tai tiksliausias rezultatas iš jau gautųjų . Beje, c

visai nebūtina imti sveiku skaičiumi! Pvz., kadangi

1=c 1=+vR

( ) 90176.08,0 −=f , tai imti negalime, bet

- jau tinka! Taigi, dar patiksliname: .

8,0=c9,0=c 9,0=+

vR


Paskaita 4 – 13 Realių šaknų skaičius. Šturmo teorema Polinomai virš lauko R. Realių šaknų rėžiai Nustatinėdami realiųjų šaknų rėžius, nekėlėme klausimo ar tokių šaknų polinomas turi iš viso. Prisiminę, kad polinomas ir polinominė funkcija virš K yra ekvivalenčios sąvokos, kai ką galime konstatuoti, remdamiesi matematinės analizės žiniomis. Pvz., jei polinomas intervalo galuose įgija skirtingų ženklų reikšmes, tai tame intervale jis turi bent vieną realią šaknį. Tačiau, ar realių šaknų yra daugiau nei viena, kiek jų yra tiksliau , – kol kas nustatyti nemokame. Gi taikymuose šitai itin svarbu.

( ) [ ]xRxf ∈

Pirmiausia pastebėsime, kad užtenka tirti polinomus neturinčius kartotinių šaknų, t.y. tenkinančius sąlygą ( ) 1, =′ffD . Kitaip, atskirtume polinomo kartotinius daugiklius ir nagrinėtume polinomus (kartotinius daugiklius) , kurių laipsnis yra mažesnis už

. ( )xfdeg Ap. Polinomo , neturinčio kartotinių šaknų, Šturmo grandine (ŠG) vadinsime baigtinę polinomų seką

( ) [ ]xRxf ∈

, ,( )xf ( )xf1 ( )xf 2 ,…, ( )xf s , (*) tenkinančią šias 4 sąlygas:

1. Gretimi sekos (*) polinomai neturi bendrų realių šaknų . 2. Paskutinis sekos polinomas ( )xf s neturi realių šaknų. 3. Jei R∈α yra tarpinio sekos polinomo ( )xfk šaknis, tai ( ) ⋅− α1kf ( )α1+kf < 0 . 4. Jei ( ) 0=αf , tai egzistuoja tokia taško α=x ε - aplinka ( )εαεα +− , , kad

< 0 , kai ( ) ⋅xf ( )xf1 ( )αεα ,−∈x ir ( ) ⋅xf ( )xf1 > 0 , kai ( )εαα +∈ ,x .

Sekoje (*) paėmę konkrečią reikšmę Rcx ∈= , gausime skaičių seką , ,( )cf ( )cf1 ( )cf 2 ,…, ( )cf s , kurioje ženklai apskritai keičiasi. Ženklų pasikeitimų skaičių sekoje taške c (nuliai neskaičiuojami) pažymėkime W(c) . Šturmo teorema. (J.Schturm – XIX a. vokiečių matematikas). Jei ( ) [ ]xRxf ∈ ,

, , ( ) 1, =′ffD ba < ( ),af ( ) 0≠bf , tai skaičius W(a) – W(b) lygus polinomo f realiųjų šaknų intervale skaičiui. ( ba, ) Įr. 1. Kai x –sas kinta nuo a į b ir nė vienos ŠG polinomo šaknies nepereiname, tai ir W(x) nekinta , nes polinomai yra tolydinės funkcijos. 2. Tarkime R∈α yra tarpinio ŠG polinomo ( )xfk šaknis. Panagrinėkime “trijulę” , , ( )xfk 1− ( )xfk ( )xfk 1+ tiek mažoje taško α=x aplinkoje ( )εαεα +− , , kurioje dėl tolydumo funkcijos ( )xfk 1− , ( )xfk 1+ nekeičia savo ženklo, o keičia savo ženklą iš + į −, arba atvirkščiai. Tada trejeto

( )xfk

( )xfk 1− , ( )xfk , ženklai iki ( )xfk 1+

α ir po α keisis vienu iš šių būdų:


εααεα +− εααεα +− - - - ( )xfk 1− ( )xfk 1− + + +

( )xfk - 0 + ( )xfk - 0 + ( )xfk 1+ + + + ( )xfk 1+ - - -

εααεα +− εααεα +−

( )xfk 1− - - - ( )xfk 1− + + + ( )xfk + 0 - ( )xfk + 0 - ( )xfk 1+ + + + ( )xfk 1+ - - -

Visais keturiais galimais atvejais turime tik vieną nekintantį ženklų pasikeitimą (nors patys ženklai ir keičiasi!). Tad ( ) ( ) 011 =−=+−− εαεα WW . 3. Tarkime α yra paties polinomo ( )xf šaknis. Tada, vėl, pagal polinomų tolydumą, egzistuoja ε - aplinka , kurioje ( )xf1 yra pastovaus ženklo, o pats ( )xf keičia savo ženklą . Atsižvelgus dar į 4 – tą ŠG apibrėžimo sąlygą, aptariame du galimus variantus:

εααεα +− - 0 + ( )xf( )xf1 + + +

εααεα +− + 0 - ( )xf( )xf1 - - -

Akivaizdu, kad abiem atvejais prarandame vieną ženklo pasikeitimą, t.y. ( ) 1, =+− εαεαW . Tai ir įrodo Šturmo teoremos tvirtinimą. Lieka atsakyti į klausimą, ar kiekvienas polinomas turi ŠG ? Aišku, kalbėti apie polinomo ŠG yra prasmė tik kai ( ) 3deg ≥xf , nes kitaip jo šaknys randamos be vargo. Teorema. (Konstrukcijos teorema) Jei ( ) [ ]xRxf ∈ ir ( ) 1, =′ffD , tai ŠG egzistuoja. Įr. Pirmiausia, ( ) ( )xfxf ′=1 . Toliau, pagal DLT, egzistuoja tokie vieninteliai polinomai , kad ( ) ( )xrxq ,1 ( ) ( ) ( ) ( )xrxqxfxf += 11 . Pažymėkime ( ) ( )xfxr 2=− . Šitaip tęsdami dalybos procesą, gausime lygybes: ( ) ( ) ( ) ( )xfxqxfxf 211 −= , ( ) ( ) ( ) ( )xfxqxfxf 3221 −= , ( ) ( ) ( ) ( )xfxqxfxf 4332 −= , ………………………….. ( ) ( ) ( ) ( )xfxqxfxf kkkk 11 +− −= (**) …………………………….


( ) ( ) ( ) ( )xfxqxfxf ssss −= −−− 112 , ( ) ( ) ( )xqxfxf sss =−1 . Liekanos ženklą kaskart keitėme į priešingą, tačiau, kadangi ženklas polinomų dalumui įtakos neturi, tai iš sąlygos ( ) 1, =′ffD išplaukia, jog procesas yra baigtinis, o yra tiesiog realusis skaičius nelygus nuliui.

( )xf s

Įsitikinsime, kad seka: ( )xf , ( )xf ′ , ( )xf 2 ,…, ( )xf s , yra polinomo ŠG. Tuo tikslu patikrinsime visas 4 apibrėžime nusakytas sąlygas.

( )xf

1. Paskutinis sekos polinomas yra nulinio laipsnio (skaičius), todėl ir neturi šaknų.

2. Jei būtų ( ) 0=αkf ir ( ) 01 =+ αkf , tai iš (**) gautume, kad ( ) 01 =− αkf , o iš aukščiau esančių lygybių išplauktų ( ) ( ) ( ) 0...2 ====− ααα fff k - prieštara .

3. Jei ( ) 0=αkf , tai iš (**) turime: ( )α1−kf ( )α1+−= kf .

4. Pagaliau, kai ( ) 0=αf , tai iš ( ) 1, =′ffD gauname, kad ( ) 0≠′ αf , o iš tolydumo išplaukia, kad yra tokia taško α ε - aplinka, kurioje yra pastovaus ženklo. Jei tas ženklas yra + , tai

( )xf ′( )xf yra didėjanti funkcija, todėl x- ašį pereidama,

keičia savo ženklą iš minuso į pliusą, tada ir sandauga kinta taip pat. Panašiai samprotaujame ir tada, kai < 0 visoje

1ff( )xf ′ ε - aplinkoje. QED.

Pastebėkime, kad teoremos įrodymas yra konstruktyvus, nes pagal jį galima realiai konstruoti polinomo ŠG. Pvz., kai ( ) , tai 41612 24 −−−= xxxxf

( ) ( ) 4641 3

1 −−==′ xxxfxf . Dalindami gauname: |41612 24 −−− xxx 463 −− xx

xxx 46 24 −− x ( ) 2634126 2

22 ++=→−−− xxxfxx

Toliau: |463 −− xx 263 2 ++ xx

xxx322 23 ++

32

31

−x

43202 2 −−− xx

3442 3 −−− xx

( ) 138

38

3 +=→−− xxfx . Pagaliau:

( )( ) 141331263 4

2 =⇒−++=++ fxxxx .


Tad ŠG šiam polinomui yra tokia: ( )xf , ( ) 4631 −−= xxxf , ,

, . ŠG polinomus , patogumo dėlei, dauginome iš teigiamų skaičių, kadangi tai nekeičia polinomų ženklų.

( ) 263 22 ++= xxxf

( ) 13 += xxf 14 =f

Pastebėję (paprasčiausiu būdu), kad visos duotojo polinomo šaknys yra intervale (-17, +17), dabar galime rasti ir jų skaičių. Tuo tikslu rasime skaičių W(-17)-W(17).

x ( )xf 1f 2f 3f 4f W(x) -17 + - + - + 4 0 - - + + + 1 17 + + + + + 0 -1 + + - 0 + 2 -3 - + + - + 3

Kadangi W(-17)-W(17) = 4 – 0 = 4, tai duotasis polinomas turi keturias realiąsias šaknis, beje, - tris neigiamas, o vieną – teigiamą, nes W(0)-W(17) = 1 – 0 = 1 . Be to, verta žinoti, kad tolesniam šaknų tikslinimui (skaičiavimui) PC pagalba, jas reikia atskirti.

Atskirti šaknis, - tai rasti intervalus, kuriuose būtų tik vienintelė polinomo šaknis. Pvz., aukščiau aptartame pavyzdyje šaknys dar nėra atskirtos, nes trys iš jų priklauso intervalui (- 17 , 0) . Papildomai apskaičiavę W(-1) ir W(-3) matome, kad W(-1)-W(0) = 2 – 1 = 1 ir W(-3)- W(-2) = 3 – 2 = 1 tad dabar visos realiosios polinomo šaknys jau yra atskirtos: , ( )3,171 −−∈x ( )1,32 −−∈x , ( )0,13 −∈x , ( )17,04 ∈x . Beje, apatinį neigiamų šaknų rėžį –17 ir viršutinį rėžį 17 galima gerokai patikslinti. Tam galima naudoti ne tik praeitame skyrelyje aptartus metodus, bet ir tą pačią Šturmo grandinę. Pvz., apskaičiavę, kad W(-5) = 4, darome išvadą , kad , t.y. 5−≥−

aR ( )3,51 −−∈x . Procesą galima tęsti ir šaknis tikslinti toliau, tačiau apie tai, – atskira kalba.


Paskaita 4 – 14

Polinomai virš Q Buvo: Realių šaknų skaičius. Šturmo metodas Dabar plačiau aptarsime polinomų su racionaliaisiais koeficientais šaknų pobūdį ir tai, kokie polinomai virš Q yra pirminiai. Pradžioje pastebėsime, kad polinomą padauginus iš realaus ar racionalaus skaičiaus 0≠c , jo šaknys nesikeičia. Ap. Polinomą su sveikaisiais koeficientais ( ) [ ]xSxf ∈ vadinsime primityviu, jei ( ) 1,,..., 01 =aaaD n .

Pvz., mūsų jau tyrinėtas polinomas ( ) 41612 24 −−−= xxxxf yra primityvus, o polinomas nėra primityvus. Pastebėkime, kad primityvus nereiškia pirminis : polinomas

( ) 416204 25 −−−= xxxxg( ) 42 −= xxh yra primityvus, bet nėra pirminis virš Q.

Teorema. Kiekvienas polinomas su racionaliaisiais koeficientais

( ) Qml

aaxaxaxfi

ii

nn ∈=+++= :,... 01 gali būti pakeistas primityviuoju polinomu

, turinčiu ( ) [ ]xSxf ∈0 tas pačias šaknis.

Įrodymui užtenka panagrinėti polinomą ( ) ( )xfdmxf =:0 . Čia

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0

0

1

1 ,,...,:ml

mml

mml

mDdn

n , o ( )01 ,,...,: mmmMm n= .

Pvz., polinomą ( ) [ ]xQxxxxf ∈−−−=143

762

21 24 atitinka primityvus

polinomas ( ) [ ]xSxxxxf ∈−−−= 312287 24

0 , nes , o ( ) 1414,7,1,2: == Mm

( ) 13,12,28,714

314,7614,

1214,

2114: =−−−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⋅−⋅

−⋅⋅= DDd .

Tad užtenka mokėti rasti primityvaus polinomo šaknis. Jei toks polinomas turi racionaliųjų šaknų, tai jas galima rasti pasinaudojant tokia teorema. Teorema. Jei yra primityvusis polinomas, o

nesuprastinama trupmena

( ) Zaaxaxaxf in

n ∈+++= ,... 01

ml yra jo racionalioji šaknis, tai , o 0| al nam | .

Įrodymas išplaukia labai paprastai: kai ( ) 1, =mlD , tai teisingą lygybę

01...0 amla

mla

n

n +++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

padauginę iš , gausime: nm


( )1

02

11

101

11

1 ...... −−−−

−−− +++⋅=+++=− nnn

nnnn

nn

n malmalammalmamlala , todėl . Kita vertus, ta pati lygybė gali būti užrašyta ir taip: nam |

( )11

22

21

111

110 ...... −−−

−−−−

− ++++⋅=+++=− nnnn

nn

nnn

nn

n malmamlalallmamlalama , tada matyti, kad 0| al Pastebėsime, kad atvirkščias tvirtinimas, gali būti ir neteisingas. Pvz., polinomui

: ir , bet trupmena ( ) 312287 240 −−−= xxxxf 0|3 a na|7

73 nėra šaknis. ( )xf0

Tačiau yra teisinga tokia pretendentus į šaknis “rūšiuojanti” teorema.

Teorema. Jei nesuprastinama trupmena ml yra primityvaus polinomo

racionalioji šaknis, tai su visais sveikaisiais k, tenkinančiais sąlygą galioja savybė:

,0≠− kml

( )kfkml |− .

Įr. Pabrėžtina, kad iš sąlygos ( )kfkml |− vėlgi neišplaukia, jog 0=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

klf !

Panagrinėkime sandaugą ( )xfmn ⋅ . Kadangi ( ) ( ) ( ) ( ) ( n

nn

nnnnn mxamxmamxmamxmamaxfm +++++=⋅ −

−−− 1

122

21

10 ... ) , tai, pažymėję , gauname ymx = ( ) ( ) [ ]xSyamyaymaymamaygxfm n

nn

nnnnn ∈+++++==⋅ −

−−− 1

122

21

10 ...: .Pastebėję, kad , iš Bezū teoremos ir Hornerio schemos darome išvadą: egzistuoja toks polinomas , kad

( ) 0=lg( ) [ ]xSyq ∈

( ) ( ) ( )yqlyyg −= . Atskiru atveju, kai , Smky ∈= ( ) ( ) ( ) ( )mkqlmkkfmmkg n −== ir . Tačiau ( ) Smkq ∈( ) 1, =− lmkmD n . Tikrai, tarus, kad ( ) 1, >− lmkmD n , išplauktų: ( ) 1, >− lmkmD arba

ml

mlk

mlmk

′′

=−=− ,

t.y.

m

lmkml

′′−′

= , mm <′ ,

ir nesuprastinamą trupmeną ml − suprastinome ! Prieštara . QED.

Dabar jau galime aptarti polinomų virš Q išskaidymo klausimą. Primename, kad virš K pirminiai yra tiktai pirmojo laipsnio polinomai, virš R – irgi pirmojo ir tie antrojo laipsnio polinomai , kurių diskriminantas, – neigiamas. Parodysime, kad virš Q pirminiais gali būti bet kokio nenulinio laipsnio polinomai. Pradžioje, - keli pagalbiniai faktai. 1 Lema . Jei ir ( )xg1 ( )xg2 - primityvūs polinomai, tai ir jų sandauga ⋅1g 2g taip pat yra primityvusis polinomas.


Įrodymo schema: jei polinomai ( ) Saaxaxaxg in

n ∈+++= ,... 011 ir yra primityvūs, o ( ) Sbbxbxbxg i

mm ∈+++= ,... 012 ⋅1g 2g nėra primityvus, tai

egzistuoja , toks , kad . Čia Pp∈ ( ) icpi |∀ ( )⋅xg1 ( ) ...2 += ++

mnmn xcxg . Tačiau tada

turi egzistuoti numeriai j ir t , su kuriais pirmąkart ir , nes juk , - primityvūs. Tuokart koeficientas

jap |/ tbp |/ 1g 2g

...... 1111 ++++= −++−+ tjtjtjtj bababac rodo prieštarą . 2 Lema (Gauso). Jei ( ) [ ]xSxf ∈ yra išskaidomas virš Q, tai jis yra išskaidomas ir virš S . Įr. Tarkime ir ( ) 21 ffxf = ( ) [ ]xQxf ∈1 , ( ) [ ]xQxf ∈2 . Tada , kaip sakyta, galima užrašyti bei ( ) ( )xgcxf 111 = ( ) ( )xgcxf 222 = taip, kad Qcc ∈21 , , o yra primityvūs polinomai. Dabar skaidinyje

21 , gg( ) ( ) ( )xgxgccxf 2121= racionaliojo skaičiaus

mlcc =:21 vardiklis turi būti visų polinomo ( ) ( )xgxg 21 koeficientų daliklis, todėl 1=m ,

nes kitaip išeitų, kad - nėra primityvus , - prieštara 1 lemai. ( ) ( )xgxg 21

Teorema. (Eizenšteino kriterijus). Tarkime ( ) [ ]xSxf ∈ ir egzistuoja toks Pp∈ , kad , , o kai nap |/ 0

2 | ap / 1,...,1,0 −= ni , tai . Tada iap | ( )xf yra pirminis ir virš S, ir virš Q . Įr. Tegul priešingai: teoremos sąlygos yra išpildytos, o vis dėlto ( ) ( ) ( )xxhxf ϕ= ir

, ( )xh ( ) [ ]xSx ∈ϕ . Tegul ir ( ) Sbbxbxbxh i

mm ∈+++= ,... 01 ( ) Sccxcxcx i

ss ∈+++= ,... 01ϕ .

Kadangi , tai 00002 || cbapap =∧/ )||()||( 0000 cpbpbpcp ∧/∨∧/ .

Panagrinėkime, pavyzdžiui, atvejį 00 || bpcp ∧/ . Kadangi visi iš p dalintis negali (kitaip ir dalintųsi iš p), tai egzistuoja toks t, kad

, bet . Tada iš koeficiento

ib

smn cba =1...,,1,0,| −= tibp i tbp |/

...110 ++= − cbcba ttt dalumo iš p išplauktų prieštara: . 0|| cpbp t ∨

Analogiškai samprotautume ir atveju 00 || bpcp /∧ . QED. Išvada. Egzistuoja kiek norint didelio laipsnio pirminiai virš Q polinomai. Pvz., polinomas yra pirminis virš Q polinomas ir

. Taip yra todėl, kad šiuo atveju tinka Eizenšteino kriterijus su . ( ) 701473 32003 +++= xxxxh

( ) 2003deg =xh 7=p Pastebėkime, kad polinomai, kuriems nurodytas kriterijus netinka, gali būti ir pirminiai, ir sudėtiniai. Pvz., polinomas ( ) 4972 ++= xxxh žiede [ ]xQ yra neskaidus, nors Eizenšteino kriterijus jam ir nepritaikomas, o polinomas ( ) 49142 +−= xxxg yra sudėtinis, bet visai ne todėl, kad jo atžvilgiu minėtas kriterijus netinka.


Paskaita 4 – 15

Algebrinės lygtys Polinomai virš Q Įžanga. Bendruoju atveju, algebrinė lygtis tai predikatas (vienvietis, ar daugiavietis) pavidalo , . (1) ( ) 0,...,, 21 =nxxxf 1≥n

)Čia yra polinomas virš lauko L (atskiru atveju L=K). ( nxxxf ,...,, 21

Algebrinių lygčių sistema, tai tokių predikatų konjunkcija. Lygties ar sistemos sprendinys – predikato (1) (ar jų konjunkcijos) teisingumo aibės elementas.

Praeitais metais esame kalbėję apie algebrines lygtis su vienu kintamuoju, bei apie tiesinių lygčių sistemas virš lauko K. Atveju, kai sistemos lygtys yra aukštesnio nei pirmojo laipsnio ir, ypač, kai kintamųjų yra daugiau nei vienas, sistemos sprendinį rasti darosi žymiai sudėtingiau . Bendruoju atveju tokie uždaviniai, – jau ne klasikinės algebros, o specialios matematinės disciplinos - algebrinės geometrijos objektas. Kita vertus, vienos lygties su vienu kintamuoju atveju esame įrodę , kad su bet kokiais kompleksiniais koeficientais galioja taip vadinamosios Kardano bei Ferrari formulės, įgalinančios išspręsti visas algebrines lygtis iki ketvirtojo laipsnio imtinai. Sakoma, tokios lygtys išsprendžiamos radikalais. Norvegų matematikas N.Abelis (1802 – 1829) įrodė, kad lygtims, bendru atveju kai n >4, gatavų formulių iš viso negali būti.

Trumpai aptarsime (1) lygties sprendinių radimo kelius, kai kintamasis yra vienas ( ), o . Pirmiausia , verta prisiminti, kad taip vadinamoji dvinarė lygtis ,

xxn :,1 1 == ( ) 5deg ≥xfbaxm = 0,, ≠∈ aKba lengvai išsprendžiama ir , pvz., lauke K visada

turi m sprendinių (skaičiuojant kartotinumus). Prisiminkite kaip tai daroma! Nekelia problemų ir lygtys suvedamos į ne aukštesnio kaip ketvirtojo laipsnio bei

bet kokio laipsnio dvinares lygtis algebrines lygtis. Tokios yra lygtys pavidalo: ( ) ( ) ( ) ( ) 0234 =++++ exdfxcfxbfxaf mmm , Kedcba ∈,,,, .

Čia yra arba bet koks polinomas su ( )xf ( ) 4deg ≤xf , arba bet kurio laipsnio dvinaris polinomas. Užduotis: Išspręskite lygtį virš K. Užrašykite visus jos sprendinius. Kiek jų yra iš viso? Kiek jų tarpe realiųjų? ( ) ( ) ( ) ( ) 06181332 234 =−−+− xfxfxfxf mmm , ( ) 3,1277 =−= mxxf .

Sangrąžinės algebrinės lygtys Atskirai paminėtinos sangrąžinius polinomus atitinkančios algebrinės lygtys.

Ap. vadinamas sangrąžiniu pirmojo tipo daugianariu, jei jo koeficientai tenkina sąlygas :

( ) [ ]xRxfn ∈+

ka nkaa knk ,...,1,0, == − . Čia deg=n ( )xfn+

Pvz., ( ) . xf +5 235532 2345 −+−−+−= xxxxx

Ap. Daugianaris ( ) [ ]xRxfn ∈− vadinamas sangrąžiniu antrojo tipo daugianariu, jei jo koeficientai tenkina sąlygas : ka nkaa knk ,...,2,1,0, =−= − .

Pvz., ( )xf −6 237732 2456 −−+−+= xxxxx .


Nesunku parodyti, kad tokius daugianarius atitinkančias pirmojo ir antrojo tipo sangrąžines lygtis bei ( ) 0=+ xfn ( ) 0=− xfn , tinkamo pakeitimo dėka, galima suvesti į bent dvigubai mažesnio laipsnio lygtis, tuo praplečiant pagal gatavas formules (sakoma, - radikalais) išsprendžiamų algebrinių lygčių aibę.

Du žingsniai: 1. Bet kurio tipo sangrąžinės lygties sprendimą galima suvesti į pirmojo tipo

lyginio laipsnio lygties (n = 2 m) sprendimą. Tikrai: - antrojo tipo lyginio laipsnio lygtis ( ) 02 =− xf m visada turi du

sprendinius . Todėl 12,1 ±=x

( )xf m−

2 ( ) ( )xgx m+

−−= 222 1 .

Be to, yra jau pirmojo tipo sangrąžinis lyginio laipsnio daugianaris; ( )xg m+

−22

- pirmojo tipo nelyginio laipsnio lygtis ( ) 012 =++ xf m visada turi sprendinį

. Todėl 11 −=x ( )xf m

++12 ( ) ( )xhx m

++= 21 , vėlgi su pirmojo tipo sangrąžiniu lyginio laipsnio daugianariu ( )xh m

+2 . Įsitikinkime tuo

detaliau (kitais atvejais samprotavimai labai panašūs): šiuo atveju, sugrupavus narius su vienodais koeficientais, turėsime

. ( )∑=

−+ =+m

j

jmjj xxa

0

212 01

Kadangi ( ) ( )1...11 22221212212 −+−+−+=+ −−−−+−+ xxxxxx jmjmjm , tai lygtis tikrai turi sprendinį ( ) 012 =+

+ xf m 11 −=x . Todėl ( )xf m

++12 ( ) ( )xhx m

++= 21 su pirmos rūšies sangrąžiniu lyginio laipsnio polinomu ( )xf 2 , nes pagal Hornerio schemą: na 1−na 2−na … 2−na 1−na na

c= −1 na na− + 1−na na 1−− na + 2−na … na− + 1−na na 0 ib 1−nb 2−nb 3−nb … 1b 0b

2. Aptarkime pirmojo tipo lyginio laipsnio lygties ( ) 02 =+ xf m sprendimo metodą.

Sugrupavę narius su vienodais koeficientais ir pažymėję ( )xf m+

2 zx

x =+1 , turėsime:

( ) .1...1111

1102

mm

mmm

mmm

mmm xa

xxxa

xxxa

xxxaxf +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += −−

−+

Iš rekurentinės formulės:


∑≥

−− ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+

1

111j

jkjkj

k

k

kk

xxC

xx

xx ,

nuosekliai apskaičiuodami: 21 22

2 −=+ zx

x , zzx

x 31 33

3 −=+ , 241 244

4 +−=+ zzx

x ir

t.t. gausime kad: ( )xf m

+2 ( ) ( )( ) ( )DCzBzAzxzazazaax mmmm

mmmm ++++=−++−++= −

−− .........2 10

221 .

Kadangi 0=x nėra lygties ( ) 02 =+ xf m sprendinys, tai gauname jau tik m-tojo laipsnio (z atžvilgiu) lygtį:

0...1 =++++ − DCzBzAz mm , RDCBA ∈,,..., . Jei pastarąją lygtį spręsti mokame (pvz., jei 4≤m ), tai, radę jos sprendinius

, gauname m kvadratinių lygčių mzz ,...,1 mkzx

x k ,...,2,1,1==+ , o iš čia 2m pradinės

lygties sprendinių . mxx 21 ,..., Pvz. aptarkime lygties sprendimą. Tai, – antrojo tipo sangrąžinė lygtis. Ji turi sprendinius

012332 234678910 =−−−−−++++ xxxxxxxxx1±=x , todėl , padaliję

iš dvinario , suvedame ją į tokią: 12 −x , 012253522 2345678 =++++++++ xxxxxxxxo tai jau pirmojo tipo lyginio laipsnio lygtis. Padalijame iš ir sugrupuojame kaip nurodyta:

4x

0315121212

23

34

4 =+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

xx

xx

xx

xx .

Pažymėję zx

x =+1 ir pastebėję, kad: 21 2

22 −=+ z

xx , zz

xx 31 3

33 −=+ ,

246)2(41 24244

4 +−=−−−=+ zzzzx

x , gauname: . 0122 234 =+−−+ zzzz

Tai, − Ferrari metodu išsprendžiama lygtis. O ką daryti, kai žinome, kad šaknis yra, o nė vienu iš aukščiau aprašytų metodų jos rasti nepavyksta? Taip bus, kai lygties laipsnis per didelis, arba tai daryti tiesiog neapsimoka – per daug algebrinių pertvarkių reiktų atlikti Apie visa tai – kitoje paskaitoje.


Paskaita 4 – 16 Artutiniai realiųjų šaknų radimo metodai

Algebrinės lygtys

Kalbėsime apie polinomus virš R ir jų realiąsias šaknis. Susitarkime, kad ŠG pagalba ar kokiu kitokiu metodu nustatėme, kad realioji polinomo šaknis ( )xf α egzistuoja ir yra jau atskirta, t.y. nurodytas intervalas ( )ba, toks, kad ∈α ( ba, ) . Be to, α yra vientelė polinomo šaknis tame intervale. Kadangi, įrodžius PalT, polinomą jau galima traktuoti kaip realaus kintamojo funkciją, tai iš matematinės analizės žinių darome paprastą išvadą: . ( ) ( ) 0<bfaf

1. Pirmasis, pats paprasčiausias šaknies α racionaliojo artinio radimo metodas ir išplaukia iš pastarojo fakto. Jis vadinamas intervalo dalijimo pusiau metodu.

Laikome, kad 21

bar +=≅α . Tokiu atveju paklaida

21

≤ε .

Toliau, ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∈2

, baaα arba ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∈ bba ,2

α . Šitai nustatome apskaičiavę

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

2baf ženklą. Šaknis yra tame intervale, kurio galuose funkcija yra skirtingų

ženklų. Pvz., jei

( )xf

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∈2

, baaα , tai laikome, kad 4

32

bar +=≅α , o

41

≤ε .

Tokiu būdu, po k žingsnių rasime artinį kr≅α ir k21

≤ε . Kadangi 0→ε , tai,

pagal susitraukiančių intervalų lemą, α=krlim . Tačiau konvergavimo greitis , kaip matome, yra santykinai nedidelis.

2. Tiesinės interpoliacijos (kirtėjų) metodas. Jo idėja: jei išpildyta sąlyga , tai, nemažindami bendrumo, galime laikyti, kad intervale ( išvestinės

ir nekeičia savo ženklo (kitaip galėtume tirti mažesnio laipsnio polinomą). Geometriškai tai reiškia, kad funkcija

( ) ( ) 0<bfaf )ba,( )xf ′ ( )xf ′′

( )xf visame intervale yra arba didėjanti, arba mažėjanti, be to, jos grafikas arba yra įgaubtas, arba išgaubtas. Tada už artutinę šaknies α reikšmę imamas ne intervalo ( )ba, vidurio taškas, o kirtėjos, einančios per taškus

ir susikirtimo su x-sų ašimi taške abscisė c . Čia ( )( )afa, ( )( bfb, ) ( ) ( )

( ) ( )bfafbafabfc

−−

= .

3. Niutono (lietėjų) metodas. Idėja: pasirinkus tą iš intervalo ( galų (žymėkime jį ) kuriame sutampa skaičių

)ba,

0a ( )0af ir ( )0af ′ ženklai, šaknies α artutine

reikšme laikomas skaičius( )( )0

00 af

afad

′−= , kuris geometriškai reiškia kreivės ( )xfy =

liestinės taške susikirtimo su x-sų ašimi abscisę. ( )( 00 , afa )


4. Lagranžo (GT) metodas. Idėja: rasti keletą skaičiaus α skleidinio GT elementų ir artutine polinomo šaknies reikšme laikyti atitinkamą reduktą. Tuo tikslu, pirmiausia pasiekiame, kad intervalas būtų vienetinio ilgio, t,y. ( ba, ) ( ) ( )1,, 00 += qqba ir Zq ∈0 .

Tada 10 αα += q . Čia 1α yra šaknies α trupmeninė dalis. Keitiniu y

qx 10 += iš

lygties gauname lygtį ( ) 0=xf ( ) 01 =yf , kuris turi didesnę už 1 šaknį . ŠG ar betarpiško tikrinimo būdu randame vienetinio ilgio intervalą

1y( )1, 11 +qq , su Nq ∈1

kuriame ta šaknis yra. Toliau keitinio z

qy 11 += pagalba iš lygties gauname

lygtį , turinčią didesnę už vienetą šaknį , esančią vienetinio ilgio intervale , .

( ) 01 =yf

( ) 02 =zf 2y( )1, 22 +qq Nq ∈

Aišku, kad [ ,...,, 210 qqq= ]α yra skaičiaus α skleinys GT. Tarę, kad [ kk qqqqR ,...,,, 210=≅ ]α , paklaidą ε galėsime įvertinti remiantis GT savybėmis.

Kadangi , tai 11 −+ +≥ kkk QQQ ( )1

1

−+≤

kkk QQQε .

Šitokia paklaidos įvertinimo formulė yra kiek grubesnė, nei 1

1

+

≤kk QQ

ε , bet

užtat mums nereikia skaičiuoti . 1+kQ Išvada. Kai šaknis yra racionalusis skaičius, tai Lagranžo metodu ją galime rasti tiksliai, nes, kaip žinia, visi rac. skaičiai užrašomi BGT Pvz. ( ) . Šis polinomas turi šaknį intervale 22 −= xxf =α (1, 2) , todėl 10 =q .

Atlikę pakeitimą y

x 11+= gausime, kad skaičius y>1 yra lygties

šaknis. Tačiau lengva matyti, kad ta šaknis yra intervale (2, 3) ,

nes , . Tad

( )yf1 012: 2 =−−= yy

( ) 0121 <−=f ( ) 0231 >=f 21 =q . Po pakeitimo z

y 11+= gausime lygtį

, kurią jau nagrinėjome. Todėl , darome išvadą, kad ir

( )zf1 012: 2 =−−= zz,...3,2,1,2 == iqi [ ...,2,2,1= ]α . Dabar reikiamą α artinį randame remdamiesi GT

savybėmis. pvz., jei nurodyta tikslumas yra 2001 , tai apskaičiavę, kad , 10 =R

23

1 =R ,

57

2 =R , 1217

3 =R , randame, jog ( ) 2001

512121

3 <+⋅

≤− Rα .

5. Hornerio metodas. Apie jį paskaitykite savarankiškai vadovėlio 357 – 362 psl.; patariu išsinagrinėti pateiktus pavyzdžius. Pastebėkime, kad Lagranžo ir Hornerio metodai yra daug tikslesni nei kiti čia aptartieji, tačiau jie reikalauja atlikti ypač daug skaičiavimų. Tai - ne visad pageidautina. Kirtėjų ir lietėjų metodai yra ne tokie tikslūs, tačiau paprasteni. Jeigu gi startinis intervalas yra pakankamai susiaurintas, tai, pritaikius šiuos abu metodus kartu, gaunamas neblogas tikslumas: mat kirtėjų ir lietėjų metodai, kaip nesunku įsitikinti iš geometrinės interpretacijos, duoda šaknies α artinius iš skirtingų pusių.


Pvz., norėdami apytiksliai rasti polinomo ( ) 37852 2345 −−+−+= xxxxxxf atskirtą realią šaknį, esančią intervale ( )2,1 , kirtėjų – lietėjų metodu gautume:

( ) 41 −=f , , ( ) 292 =f ( ) 7161585 234 −+−+=′ xxxxxf , ( ) 1092 =′f , , ( ) 16302420 23 +−+=′′ xxxxf ( ) 02 >′′f 20 =⇒ a .

Todėl:

( ) ...093023,14347

39439142

==−−

⋅−−⋅=c ; ...642201,1

109392 =−=d ;

t.y., ( 65,1;09,1∈ )α . Tai nėra geras rezultatas. Taip atsitiko dėl to, kad startinis intervalas buvo per platus. Jei jį susiaurintume pastebėdami, kad ( ) ...13987,030,1 −=f ,

, tai tuokart intervalui ( ) ...66292,031,1 =f ( )31,1;30,1 taikydami kirtėjų – lietėjų metodą , gautume: ; ( ) ...92822,2031,1 =′f ( ) 31,1031,1 0 =⇒>′′ af ;

( ) ...30678,166292,013987,0

66292,03,113987,031,1≅

−−⋅−−⋅

=c ; ...30683,1982822,2066292,031,1 =−=d ,

t.y., ( )30684,1;30678,1∈α . Paėmus 30681,1≅α , turėsime 510300003,0 −⋅=≤ε , o tai jau pakankamai tikslu.

algebra ir skaiČiŲ teorija

Documents