algebra i funkcije srnivo
TRANSCRIPT
SREDNJI NIVO Algebra i funkcije
Pre nego li krenete sa prouavanjem ove oblasti obavezno pogledajte pripremni fajl iz oblasti sistemi jednaina! Sistem je prost pa ga odmah moemo reavati.Zadatak emo reiti metodom suprotnih koeficijenata.
2 x + 3 y = 4..................... / *3 3 x + 2 y = 7................... / *2 6 x + 9 y = 12 6 x + 4 y = 14 13 y = 26 26 y=2 y= 13Sad se vratimo u bilo koju od jednaina iz prostog sistema ( birajte naravno onu gde su manje brojke.......)2x + 3 y = 4 y=2 2x + 3 2 = 4 2x + 6 = 4 2x = 4 6 2 x = 2 x= 2 x = 1 2
Reenje, kao to smo ve rekli , obavezno zapisujemo kao uredjeni par: ( x, y ) = (1, 2)Dakle, zaokruiemo odgovor pod g)
Pogledajte pripremni fajl jednaine, pa onda krenite na reavanje!
3x + 3 x 7 x + 2 ....................................... / *15 ( 15 je NZS za 3 i 5) = 3 1 5 5 3x + 3 x 3 7x + 2 3 x + 3(*5 x (*15 7 x + 2(*3 15 = 15 15 moete pisati ovako a moe i = , sve jedno je ! 1 3 1 5 3 5 5(3 x + 3) = 15 x 3(7 x + 2) 15 x + 15 = 15 x 3 x 6 15 x 15x + 3 x = 6 15 3 x = 21 x= 21 3
x = 7
Ovde je naravno jedan nain da svaki sistem reimo posebno pa da proverimo koji ima ponudjeno reenje. Ali , to je mnogo posla.... Jednostavnije je reenja ( x, y ) = (1, 2) zamenjivati redom u svaki sistem i onaj kod koga su obe jednakosti istinite jetraeni sistem! Idemo redom:
x 2y 3 = 0 y = x3
umesto x stavljamo -1 a umesto y stavljamo -2
1 2(2) 3 = 0 1 + 4 3 = 0 0 = 0 istinito! 2 = 1 3 2 = 4 ne valja !Ovo nije traeni sistem, proveravamo sledei:
2x 2 y 3 = 0
umesto x stavljamo -1 a umesto y stavljamo -2
x + 2 y = 32(1) 2(2) 3 = 0 2 + 4 3 = 0 1 = 0 ne valja ! Drugu jednainu neemo ni proveravati jer prva ne valja! Idemo na sledei ponudjeni sistem:
x = y 3 2y = x 3 1 = (2) 3 1 = +2 3 1 = 1 dobro je2(2) = 1 3 4 = 4 i ovo je dobro! Evo dakle traenog reenja! Ali da proverimo mi i ovu poslednju ponudu:
x = 2y 3 y = x3 1 = 2(2) 3 1 = 4 3 1 = 7Dokazali smo da ona nije dobra, pa je reenje sistem pod v).
m + 2 1 1 m +1 = ........................... / *4 2 1 2 4 2 m+2 1 2 1 1 m +1 4 4 = 4 4 1 2 2 4 2(m + 2) 4 = 2 1(m + 1)..............PAZITE NA -1 ISPRED m + 1 MORA ZAGRADA 2m +4 4 = 2 m 1 2m + m = 2 1 3m = 1 m= 1 3
www.matematiranje.com
Najpre emo reiti datu jednainu a onda izabrati jedno od ponudjenih reenja! 2 x 3(*2 5 x 6(*1 2(*6 = ................................... / *6 3 6 1 2(2 x 3) 1(5 x 6) = 12 4 x 6 5 x +6 = 12 4 x 5 x = 12
1x = 12 12 x= 1 x = 12Treba zaokruiti reenje pod v) jer je 12 izmedju 10 i 20.
Sad je na redu da prouite pripremni fajl stepenovanje i kvadratni koren, pa onda u borbu sa zadacima!
a) 2 (0,5) =3 2
b)
v)
(52 33 ) 2 = (25 27)2 = (2) = 42
144 + 2 81 112 = 12 + 2 9 11 = 12 + 18 11 = 19
8 0, 25 = 7, 75
Pazite, ovde ne moemo koristiti pravila za stepenovanje dok ne napravimo da su osnove iste! Ideja je da stavimo 4 = 22 i 8 = 23 . Da vidimo:12 2 212 43 2 ( 2 ) 212 26 218 = = 15 = 15 = 23 5 3 5 8 2 2 (2 ) 3
Odgovor je pod g).
a)
b)
4 25 3 1 = 9 16 2 5 3 1 = 3 4 3 2 5 3 = 3 3 4 3 1 5 5 1 = =1 4 3 4 4 =
1 9 36 : = 1 25 100 25 9 9 : = 25 25 16 9 : = 25 25 4 3 4 5 4 1 : = = =1 5 5 5 3 3 3
www.matematiranje.com
1 2 3 92 3 ( 3 ) 31 34 = = = 31 = 3 4 4 4 (3) 3 3 2
Dakle, odgovor je pod b)
54 53 = 54+ 3 = 57 , ovde je oigledno NETANO
(2 )
3 4
= 234 = 212
i
(2 )
4 3
= 243 = 212
, ovde treba zaokruiti TANO
35 : 34 = 35 4 = 31 = 3
TANO
9 + 16 = 9 + 16 3 + 4 = 25 7=5ovde je NETANO
www.matematiranje.com
Najpre da se podsetimo kako izgleda formula za kvadrat binoma: ( I + II ) 2 = I 2 + 2 I II + II 2 i ( I II ) 2 = I 2 2 I II + II 2
( 2 x + 0, 2 ) 2 = (2 x) 2 + 2 2 x 0, 2 + 0, 22ovo je I ovo je II
jer je 2 2 x 0, 2 = 4 x 0, 2 = 0,8 x i 0, 2 2 = 0, 2 0, 2 = 0, 04
= 4 x 2 + 0,8 x + 0, 04Taan odgovor je pod v) 4 x 2 + 0,8 x + 0, 04
a)
b)
v)
M + N = (3m n) + (2m + 3n) = 3m n + 2m + 3n= 5m+2n
M N = (3m n) (2m + 3n) = 3m n 2m 3n= m-4n
M N = (3m n) (2m + 3n)= 6m 2 + 9mn 2mn 3n 2 = 6m 2 + 7 mn 3n 2
9 x 2 8 x + 2 (3 x + 1) 2 = 9 x 2 8 x + 2 ( 3 x ) + 2 3 x 1 + 12 =2
(
)
9 x 2 8 x + 2 ( 9 x 2 + 6 x + 1) = 9 x 2 8 x + 2 9 x 2 6 x 1 = 14 x + 1
( 2a + 3) ( 5a + 3) = 10a 2 6a 15a + 9 = 10a 2 21a + 9
NETANO , zaokruujemo NE
(2 x 3) 2 = (2 x) 2 2 2 x 3 + 32 = 4 x 2 12 x + 9 TANO, zaokruujemo DA (2a + 3)(3a + 2) = 6a 2 4a 9a + 6 = 6a 2 13a + 6 TANO, zaokruujemo DA (2 x + 3) 2 = (2 x)2 + 2 2 x 3 + 32 = 4 x 2 + 12 x + 9 NETANO , zaokruujemo NE
Koristimo2
( I II ) 2 = I 2 2 I II + II 22
1 1 2 1 1 2 2 m n = m 2 m n + n = m mn + n 2 2 4 2
odgovor je pod b)
1 2 m mn + n 2 4
www.matematiranje.com
Najpre dobro prouite pripremni fajl proporcije pa onda krenite u borbu sa ovim zadacima. Najpre zapiemo podatke i stavimo strelicu od X ka poznatom podatku.4 jaja 3 jaja 280g Xg
Sad razmiljamo: da li je X vei ili manji od gornjeg broja? Ako za 4 jaja treba 280 g , onda za 3 jaja treba manje grama eera! Dakle, X je manji broj od gornjeg! Poto ova strelica ide od manjeg ka veem, tako mora i druga strelica da ide (od manjeg ka veem).4 jaja 3 jaja 280g Xg
Sad pratimo smer strelica i napravimo proporciju ( uvek krenite od X, da bi Vam bilo lake):
x : 280 = 3 : 4 4 x = 3 280 uvek izrazite X, jer e moda imati neto da se krati! 3 280 x= 4 x = 3 70 x = 210 g Odgovor je: Za 3 jajeta potrebno joj je 210 grama eera.70
Obeleimo sa X broj deaka. Onda vai proporcija: X : 480 = 7 : 8 8 X = 480 7 480 7 X= 8 X = 60 7 X = 420 Nali smo da u koli ima 420 deaka. Broj uenika je onda 480+420=900.60
U koli Radost ukupan broj uenika je 900.
Pogledajte najpre pripremni fajl linearna funkcija.y
2 1 1 2 3 4
x
Uoimo da prava prolazi kroz take (0,0) i (4,2) . Dakle redom u ponudjene odgovore menjamo x je 4 a y je 2.
a) y =
1 1 4 x 2 = 4 2 = NETANO 3 3 3 1 1 x 2 = 4 2 = 2 TANO 2 2 1 x 2
v)
y = 2 x 2 = 2 4 2 = 8 NETANO
b) y =
g)
y = 3 x 2 = 3 4 2 = 12 NETANO
Odgovor je pod b) y =
(x,y)= ( 2,3)
(x,y)= (4,1)
(x,y)= (2,1)
(x,y)= (2,4)
Na graficima smo uoili take koje e nam trebati u ispitivanju! Sad da napravimo funkciju. Obeleimo sa:
x je olovo y je cinkU zadatku kae da su olovo i cink zastupljeni u odnosu 2:1, pa imamo x : y = 2 :1 2y = x y= 1 x 2 1 x 2
Sad redom menjamo koordinate taaka sa svakog grafika da proverimo koja taka zadovoljava y = 1 1 x 1 = 2 1 =1 2 2
Oigledno je to taka (x,y)= (2,1) sa grafika v) jer je y =Za ostale ponudjene grafike bi bilo: (x,y)= ( 2,3) je y = 1 1 x 3 = 2 3 = 1 NETANO 2 2 1 1 x 1 = 4 1 = 2 NETANO 2 2 1 1 x 4 = 2 4 = 1 NETANO 2 2
(x,y)= (4,1) je y =
(x,y)= (2,4) je
y=
a)8 metara 12 metara 2400 dinara x dinara
x : 2400 = 12 : 8 8 x = 2400 12 2400 12 x= 8 x = 3600300
12m platna kota 3600 dinara.
b)8 metara x metara 2400 dinara 750 dinara
x : 8 = 750 : 2400 2400 x = 8 750 x= 8 750 75 0 75 = = = 2, 5 2400 30 0 30300
x = 2,5 Za 750 dinara moe se kupiti 2,5 metara platna.
Obeleimo sa : x je cena 1 kg jagoda y je cena 1 kg treanja Jednaina bi glasila: 5 x + 2 y = 300 , znamo da je jagode platila 156 dinara, pa 5x menjamo sa 156
156 + 2 y = 300 2 y = 300 156 2 y = 144 144 y= 2 y = 72dinKilogram treanja kota 72 dinara.
Obeleimo da Relja sada ima x dinara. Pre 30 dana je ima polovinu od sadanje sume, pa e to onda biti Svakog od tih 30 dana je odvajao po 50 dinara. Jednaina je: x dinara. 2
x + 30 50 = x 2 x + 1500 = x 2 x 1500 x + = ........................... / *2 2 1 1 x + 3000 = 2 x x 2 x = 3000 x = 3000 x = 3000din. Relja sada ima 3000 dinara.
Osnovica jednakokrakog trougla je a = x Krak jednakokrakog trougla je b = x+3 Obim je O= a+2b. Zamenimo: a + 2b = O x + 2( x + 3) = 42 x + 2 x + 6 = 42 3 x = 42 6 3 x = 36 x= 36 3
x = 12cm Dakle , osnovica a=12cm a krak je b=12+3=15cm Duina kraka je 15cm.
Da postavimo najpre problem:1. dan 2.dan 3.dan 375kg 375-105=270kg x kg ostalo 200kg
Kad saberemo zaokruene brojeve trebamo dobiti 1200kg. Imamo: 375 + 270 + x + 200 = 1200x + 845 = 1200 x = 1200 845 x = 355kg Treeg dana je prodato 355 kg brana.
Obeleimo sa x dinara Petrovu uteevinu. Postavimo problem!x dinara 1/3 potro io 2/3 od x din mu ostale, to jest 800din
Rekosmo ve da re OD menjamo sa operacijom mnoenje!
2 x = 800 3 2 x = 800 : 3400
800 3 x= 1 2 x = 1200dinaraDakle: Petrova uteevina je bila 1200 dinara.
www.matematiranje.com