algebra . circuitos logicos

Matemática y Lógica

Ing. Julio Núñez Cheng 1

SESIÓN No 15

CIRCUITOS LÓGICOS Algebra de Boole:

El álgebra de Boole se llama así debido a George Boole, quien la desarrolló a mediados del siglo XIX. El álgebra de Boole denominada también álgebra de la lógica, permite prescindir de la intuición y simplificar deductivamente afirmaciones lógicas que son todavía más complejos. Bit

Bit es el acrónimo (vocablo fusionado) de Binary digit. (dígito binario). Un bit es un dígito del sistema de numeración binario.

Mientras que en el sistema de numeración decimal se usan diez dígitos, en el binario se usan sólo dos dígitos, el 0 y el 1. Un bit o dígito binario puede representar uno de esos dos valores, 0 ó 1.

Podemos imaginarnos un bit como una bombilla que puede estar en uno de los siguientes dos estados:

apagada o encendida

El bit es la unidad mínima de información empleada en informática, en cualquier dispositivo digital, o en la teoría de la información.

Con él, podemos representar dos valores cualesquiera, como verdadero o falso, abierto o cerrado, blanco o negro, norte o sur, masculino o femenino, amarillo o azul, etc. Basta con asignar uno de esos valores al estado de "apagado" (0), y el otro al estado de "encendido" (1).

Combinaciones de Bits

Con un bit podemos representar solamente dos valores. Para representar o codificar más información en un dispositivo digital, necesitamos una mayor cantidad de bits. Si usamos dos bits, tendremos cuatro combinaciones posibles, como el caso de dos proposiciones lógicas:

• 1 1 Los dos están "encendidos" • 1 0 El primero está "encendido" y el segundo "apagado" • 0 1 El primero está "apagado" y el segundo "encendido" • 0 0 Los dos están "apagados"



Con estas cuatro combinaciones podemos representar hasta cuatro valores diferentes, como por ejemplo, los colores negro, azul, verde y rojo.

¿Con tres bits (o tres proposiciones) cuantas combinaciones se pueden obtener?

23 = 8

A través de secuencias de bits, se puede codificar cualquier valor discreto como números, palabras, e imágenes. Cuatro bits forman un nibble, y pueden representar hasta 24 = 16 valores diferentes.

Hay 4 combinaciones posibles con dos bits

Bit 1 Bit 0

1 1

1 0

0 1

0 0

Hay 4 combinaciones posibles con dos proposiciones

p q

V

V

V F

F V

F F

Observar la similitud de las combinaciones posibles de los dos bits y de las dos proposiciones lógicas: V = 1 F = 0

En general, con n número de bits pueden representarse hasta 2n valores diferentes.



El Álgebra de proposiciones es un álgebra booleana:

Revisar en la sesión 05 ¨Leyes Fundamentales del Álgebra de Conjuntos¨

que corresponde al álgebra Booleana.

a) Para cada proposición p hay una segunda proposición:

p´ ( negación de p ), donde se cumple que:

p p´ = 0 o [V][F] =0 [1] [0]=0

[Como producto]

p + p´ = 1 o [V] + [F] = V [1] + [0] = 1

[Como suma]

b) Cada operación es distributiva respecto a la otra:

Ejemplo: Las Tablas de Verdades de:

p + q r = (p + q) (p + r) Es equivalente a:

[p v ( q ∧∧∧∧ r )] = [ p v q ] [ p v r ]

c) En general, si x, y representan dos proposiciones, entonces se

cumplen las leyes:

� x x = x Ejemplo: [F][F] = F [V][V] = V � x x' = 0 [1] [0] = 0 � x + x' = 1 [1] + [0] = 1 � x y + x y = x y � x + xy = x

ÁLGEBRA DE CONMUTACIÓN

Una aplicación importante del álgebra booleana es el álgebra de circuitos

con dispositivos de dos estados: El ejemplo más simple es un

conmutador que cumple una función de estar cerrado o abierto.

Interruptores de corriente eléctrica (Conmutadores)

Cumplen una función de cerradura.

CERRADOS Dejan pasar la Corriente Eléctrica

ABIERTOS No dejan pasar la Corriente Eléctrica

Los interruptores pueden representarse mediante letras; p, q, r, s, t.



NO PASA CORRIENTE

NO PASA CORRIENTE

NO PASA CORRIENTE

p q r

Si un interruptor está cerrado: p

Abierto será: p´

1: Cerrado 0: Abierto

Circuitos en serie

Dos o más interruptores están en serie, cuando se encuentran uno a

continuación de otro.

En la figura se tiene un circuito formado por 3 interruptores p, q, r una

batería o pila y un foco.

Si uno o dos interruptores están abiertos entonces no pasa corriente y el

foco no prende.

Recordemos la Tabla de Verdad de la conjunción de premisas y

comparemos tomando dos interruptores.

LA CONJUNCIÓN CIRCUITO EN SERIE

p q p ∧∧∧∧ q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

F

Cerrado p y cerrado q: pasa corriente y el foco prende.

p q p q

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

0

0

FOCO

BATERIA

PASA CORRIENTE

“Observar la similitud de la Tabla de Verdad de la Conjunción con un circuito en serie”

Tener presente estas formas de representación.



Es decir en un circuito en serie todos los interruptores deben estar

cerrados para que pase corriente.

Con tres interruptores en serie: Pasa corriente, si los tres interruptores

están cerrados.

Circuitos en paralelo

Dos o más interruptores están en paralelo cuando están uno debajo de

otro.

Sólo cuando los interruptores están abiertos no pasa corriente.

p q r p q r

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

0

0

0

0

0

“En un Circuito en Serie, basta que un interruptor (Conmutador) este abierto para que no pase corriente”

BATERIA

FOCO

p

q

r

“En un Circuito en paralelo, basta que un interruptor este cerrado para que pase corriente”



Al comparar la disyunción inclusiva con un circuito en paralelo, se

observa que p ∨∨∨∨ q = p + q si se reemplaza V = 1 y F = 0

LA DISYUNCIÓN INCLUSIVA CIRCUITO EN PARALELO

p q p ∨∨∨∨ q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

V

V

F

Con tres interruptores en Paralelo

p q r p + q + r

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

1

1

1

1

1

0

Funciones y circuitos

En la figura se representa un circuito en serie y otro en paralelo, con su

respectiva función (F).

CIRCUITO EN SERIE CIRCUITO EN PARALELO

F = x y F = x + y

p q p + q

1

1

0

0

1

0

1

0

1

1

1

0

X Y

Y

X



¿Cuál es la función que representa al circuito de la siguiente figura?

Observar que X, W están en serie (producto) y estos a su vez con Z en

paralelo (suma): su representación será: X W + Z

Finalmente el interruptor “Y” está en serie (producto) con X W, Z por lo

tanto la función que representa al circuito será: F = Y (X W + Z)

Establecer la función del circuito de la figura siguiente:

Comprobar su respuesta: F = Z (X W + Z) + X Y W

Construir un circuito que realice la función Booleana: X Y Z´ + X´(Y + Z´)

Solución:

Z

X W

Z

X Y W

“Recordar que todo producto representa conmutadores en serie y la suma conmutadores en paralelo”

X

X´

Y Z´

Y

Z´

Y

X W

Z



Hallar la función booleana que representa el circuito en la figura :

Respuesta: F = ( X + Y´ + Z ) U V ( Y Z´ + X + Y´ U )

Simplificación de circuitos

Se ha demostrado que el álgebra de circuitos es un álgebra booleana y

por lo tanto las reglas relativas a la simplificación de las funciones

booleanas se aplican en el álgebra de circuitos.

Simplificar el circuito:

Solución: Usar las leyes la página 04 1° Hallar la función booleana: f = ( x + y ) ( x y + x' ) 2° Realizar las operaciones: f = x x y + x x' + x y y + x' y 3° Aplicar las leyes del álgebra booleana y simplificar (ver leyes de la página No 04): f = x x y + x x' + x y y + x' y ↓↓↓↓ ↓↓↓↓ ↓↓↓↓ x y 0 x y f = x y + x y + x' y

x y f = x y + x' y

Z

X

Y´ U V

Y Z´

Y´ U

X

x

y

x y

x'



Factorizando: f = y (x + x') ↓↓↓↓ 1 f = y (1)

Recordar que:

x x = x x x' = 0 x + x' = 1 xy + x y = x y x + xy = x

Simplificar el circuito:

Solución: 1° Hallar la función booleana f = (x’ + y' ) ( x' + y ) + x y 2° Realizar las operaciones: f = x' x' + x' y + x' y' + y y' + x y 3° Aplicar las leyes del álgebra booleana y simplificar f = x' x' + x' y + x' y' + y y' + x y ↓↓↓↓ ↓↓↓↓ x' 0 4° Reemplazando: f = x' + x' y + x' y' + x y

x' Por la ley: x + x y = x Luego: f = x' + x y

f = y Que representa al circuito simplificado.

x' x'

y' y

x y



5° Y aplicando la ley x + y z = ( x + y ) ( x + z ) f = ( x' + x ) ( x' + y ) ↓↓↓↓ 1 6° Luego: f = 1 ( x' + y )

El circuito simplificado será, que cumple la misma función de cerradura.

AUTOEVALUACIÓN

01. Dibujar el circuito que realiza la siguiente expresión sin

simplificarla.

a) x + y (x + yz )

b) x ( z + w ) + z ( x + y )

02. Hallar la función que representa el circuito:

03. Simplificar los siguientes circuitos:

f = x' + y

x'

y

y

x

x y’ z

y

x’

z

x'

y'

x'

y

x

y



Solución: x' y

Solución: x

PUERTAS LÓGICAS

1. Puerta Y (AND)

La puerta lógica Y, más conocida por su nombre en inglés AND, realiza la función booleana de producto lógico.

El producto lógico de las variables A y B se indica como AB, y se lee A y B o simplemente A por B.

La ecuación característica que describe el comportamiento de la puerta AND es:

Su tabla de verdad es igual a la conjunción de proposiciones donde se ha cambiado V= 1 y F= 0:

Tabla de verdad puerta AND

Entrada A Entrada B Salida AB

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

x

y

x'

y

x

y'

x

Una puerta lógica, o compuerta lógica, es un dispositivo electrónico que es la expresión física de un operador booleano en la lógica de

conmutación.



Se puede definir la puerta AND, como aquella compuerta que entrega un 1 lógico sólo si todas las entradas están a nivel alto 1.

Símbolo de la función lógica Y

2. Puerta O (OR)

La puerta lógica O, más conocida por su nombre en inglés OR, realiza la operación de suma lógica.

La ecuación característica que describe el comportamiento de la puerta OR es:

Su tabla de verdad es igual a la disyunción inclusiva donde se ha cambiado V= 1 y F = 0

Tabla de verdad puerta OR

Entrada A Entrada B Salida A + B

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Podemos definir la puerta O como aquella que proporciona a su salida un 1 lógico, si al menos una de sus entradas está a 1.

Símbolo de la función lógica O



3. Puerta NO (NOT)

La puerta lógica NO (NOT en inglés) realiza la función booleana de inversión o negación de una variable lógica.

La ecuación característica que describe el comportamiento de la puerta NOT es:

Su tabla de verdad es la siguiente:

Tabla de verdad puerta NOT

Entrada A Salida

0 1

1 0

Se puede definir como una puerta que proporciona el estado inverso del que esté en su entrada.

Símbolo de la función lógica NO

AUTOEVALUACIÓN

Determinar cuál de las siguientes expresiones son Tautologías

construyendo la Tabla de Verdad para cada una.

a) p q + p´+ q´

b) p + q + p´

c) p q´ + p´q

d) ( p + q ) ( p´+ q ) ( p + q´ )

Construir una tabla de verdad para cada una de las siguientes funciones:

a) p q r + p´q r´

b) ( p + q ) ( p´+ q )

FIN DE LA SESIÓN

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