Építkező problémamegoldás(A matematika-mentestől az emelt szintű fizikáig)

A dolgozat tartalma

21 eredetileg kvalitatív problémákat felvető feleletválasztós feladat több lépcsőben történő megoldása.

A „több lépcső” a tesztfeladat röviden indokolt megválaszolását, majd numerikus feladattá alakítását, esetenként általánosítását jelenti. A numerikus feladatok megoldása először mindig paraméteresen történik; ez mélyebb elemzést, diszkussziót tesz lehetővé. Ez a módszer, egy-egy fizikai jelenség ráérős körüljárását jelenti. Időben elkezdett felkészülés- felkészítés esetén érdemes alkalmazni.

A feladatok kiválasztása

A kiválasztás olyan kvalitatív problémákat felvető emelt szintű érettségi feladatok közül történt, amelyeket eredeti állapotukban mindenféle matematikai apparátus felhasználása nélkül is meg lehet oldani - hétköznapi tapasztalatokra építve vagy egyszerű fizikai törvény józan alkalmazásával – és amelyeket könnyen lehetett numerikus feladattá fejleszteni.

A dolgozat célja

Megmutatni, hogy a józan ésszel, egyszerű módon megoldható problémák izgalmasabb, mélyebb elemzése válik lehetővé, ha matematikai módszereket is alkalmazunk. Fel kell venni a küzdelmet az utóbbi években elharapódzó matematika-iszony ellen: a matematika-mentesnek megmaradó fizika inkább bábszínház, mint tudomány.

A „bábszínháztól” a matematikai apparátus használatáig vezető utat azonban sokszor a másik irányban is érdemes bejárni. Egy numerikus feladat megoldását sokan arra redukálják, hogy a megfelelő képletet megkeresik a Függvénytáblában és abba behelyettesítenek.

A kapott végeredményt - főleg, ha paraméteresen dolgoztunk – érdemes egy kicsit körüljárni: kitenni a „józan ész”, hétköznapi tapasztalat próbájának.

ha lehet általánosítani sokszor célszerű speciális, vagy szélsőséges esetekben is vizsgálni. (Pl. a lejtőn

-val gyorsuló test mozgása ill. ha )

Ha kellő szorgalommal gyakoroljuk ezt a módszert, akkor az eddig sokakat riasztó matematikai eszközök („képletek”) lassan a fizikai gondolatok kifejezésének könnyed természetességgel használt nyelvévé szelídülnek.

1. Egy motoros célja felé félútig 80 km/h, majd utána 60 km/h seb ességgel haladt.Mekkora volt az átlagsebessége?A) Nagyobb, mint 70 km/h. B) 70 km/h. C) Kisebb, mint 70 km/h.(2005. május)

Megoldás:A felkínált válaszlehetőségek mindegyikét a 60 km/h és 80 km/h számtani közepéhez (átlagához) hasonlítva adták meg. Ha az elnevezésből – helytelenül – következtetve azt gondoljuk, hogy az átlagsebesség a sebességek átlaga, akkor a megoldás a 70 km/h lenne.

Az átlagsebesség nem a sebességek átlaga, hanem az összes út és összes idő hányadosa. Szemléletes jelentése a következő: ha egy változó sebességű mozgást végző test t idő alatt

összesen s utat tesz meg, akkor ugyanezt az s utat állandó nagyságú sebességgel szintén

t idő alatt tenné meg.Az átlagsebesség értéke attól függ, hogy a mozgás során mekkora sebességeket mennyi ideig alkalmaztunk.

Ha például egy órán keresztül 80 km/ sebességgel, majd 5 percen keresztül 60 km/h sebességgel haladunk, akkor az átlagsebességünk lényegében 80 km/h lesz. (annál egy kicsivel kevesebb).Ha azonos ideig haladnánk 80 km/h, majd 60 km/h sebességgel, akkor az átlagsebesség 70 km/h lenne.

A feladatbeli motoros nem azonos ideig, hanem egyforma hosszúságú utakon alkalmazta a 80 km/h és a 60 km/h sebességet, ezért nyilván a kisebb (60km/h) sebességgel megtett második félút tartott hosszabb ideig. A C válasz van közelebb a hosszabb ideig alkalmazott sebességhez, tehát ez a helyes megoldás.A fenti egyszerű gondolatmenetben kihasználtuk, hogy csak kétféle sebességet használtunk.

Határozzuk meg az átlagsebességet!Jelöljük az egyszerűség kedvéért a félutat s-sel! Adatok:

, ,

Megoldás:Felhasználjuk, hogy az összes út= . az össze idő = , az összetartozó út, sebesség és

idő adatok kapcsolata:, és

Paraméteres megoldás:

Numerikusan: = (Csakugyan kisebb, mint 70 )

- 2 -

Megjegyzés: a megoldásként kapott formula a és értékékek ún. harmonikus

közepét adja.

- 3 -

2. Adott mennyiségű normálállapotú gáz hőmérsékletét kétféleképpen változtatjukmeg: izobár, ill. izochor módon. Mindkét esetben azonos ideig melegítjük ugyanazzalaz elektromos fűtőszállal. Melyik folyamatban nagyobb a hőmérsékletváltozás?A) Az izobár folyamatban.B) Az izochor folyamatban.C) A két folyamatban ugyanakkora.(2005. május)

Megoldás:Izobár (állandó nyomású) változás esetén a gázzal közölt hő egy része a gáz melegítésére fordítódik (növeli, a gáz belső energiáját), a másik része pedig fedezi a gáz tágulási munkáját. (A termodinamika I. főtétele)

Izochor (állandó térfogatú) változás estén nem tágul a gáz, nincs térfogati munka. Ekkor a közölt teljes egészében a gáz belső energiáját (így a hőmérsékletét) növeli. A feladat szerint a két esetben azonos a gázzal közölt hő, ezért az állandó térfogatú (izochor) változás esetén nő jobban a gáz hőmérséklete.

Gázzal közölt Q hő és a gáz hőmérsékletváltozásának kapcsolatát izobár folyamatban a , izochor folyamatban a adja meg, ahol és a gáz

hőkapacitása állandó nyomáson illetve állandó térfogaton.

A kinetikus gázelmélet szerint és , ahol f a szabadsági fokok

száma.

Értéke egyatomos gázok esetén 3, kétatomos gázokra 5. A kétféle hőkapacitás aránya

, egyatomos gázokra , kétatomos gázokra

Ha tehát megadjuk, azt is, hogy milyen gázról van szó, akkor meg lehet határozni a két hőmérsékletváltozás arányát is.A kétféle melegítés hatására létrejövő hőmérsékletváltozást -vel, illetve -vel jelöljük, és felhasználjuk, hogy a két esetben azonos a gázzal közölt hő: .

Így a kétféle hőmérsékletváltozás aránya: , egyatomos gáz esetén ,

kétatomos gáz esetén

Megjegyzés: A kétféle hőkapacitás, illetve fajhő aránya a -val jelölt ún. adiabatikus kitevő:

. Az elnevezés onnan származik, hogy gázok adiabatikus változásakor a

szorzat állandó.

- 4 -

3. Melyik kiskocsi éri el hamarabb az asztal szélét? Az egyikre kötött, csigán átvetett fonalat 20 N erővel húzzuk, a másikra 2 kg tömegű testet akasztottunk.

A kocsik tömege egyenlő, g = 10

(3a.ábra)

A) A baloldali ábrán lévő. B) A jobboldali ábrán lévő. C) Egyszerre érik el.(2005. május)

Megoldás: Ha g = 10 akkor az m=2 kg tömegű test súlya

. Ebből esetleg arra is gondolhatunk, hogy a két esetben azonos a kiskocsit gyorsító erő, és a kocsi gyorsulása is. Ekkor a C válasz lenne a helyes.

Ez a gondolatmenet azonban nem veszi figyelembe, hogy ha a fonal végére kötött m tömegű test lefelé a-val gyorsul, és ezért a súlya nem , hanem annál kisebb:

A helyes válasz tehát az, hogy a 20N erővel gyorsított kocsi jobban gyorsul, mint a másik, és így gyorsabban éri el az asztal szélét.

A feladat „feljavítása”:A 10kg tömegű kiskocsit egyszer 20N erővel, másodszor a csigán átvetett fonal másik végére akasztott 2 kg tömegű testtel gyorsítunk. Mennyi idő alatt éri el az egyes esetekben a kiskocsi az asztal 1m távolságra lévő szélét? M=10 kg F=20N, m=2 kg, d=1m.

Megoldás:A kiskocsi mindkét esetben egyenletesen gyorsuló mozgást végez. Álló helyzetből a

gyorsulással t idő alatt megtett d út: . Ha a t időt keressük: . (*)

Ki kell számítanunk az egyes esetekben a kiskocsi a gyorsulását. 1. eset.

Az M tömegű kiskocsi gyorsulása a gyorsító F erő hatására: .

Ezt behelyettesítve a (*) egyenletbe:

Numerikusan:

- 5 -

20 N2 kg

A kocsi gyorsulása: = .

A kocsi menetideje az asztal széléig: =

2. esetErőtani megfontolások: a kocsira ható és az tömegű testre ható erők. K-val jelöltük a fonalban ébredő erőt

3b ábra

A kiskocsi (1) illetve a fonál másik végére rögzített test mozgásegyenlete (2) (1) (2)Összeadjuk a két egyenletet:

Így

Ezt behelyettesítve a (*) egyenletbe:

Numerikusan:

A kocsi gyorsulása: =

A kocsi menetideje az asztal széléig: =

Valóban: és A második esetben kisebb a kiskocsi gyorsulása, és így hosszabb idő alatt ér az asztal szélére.

- 6 -

m

m·g

K

K

K

K

4. Melyik esetben nyomja kisebb erővel a domb tetején a talajt az autó: ha áll, vagy ha mozog? (Mindkét esetben ugyanarról az autóról van szó.)(2006. február)

4a ábra

A) Ha áll. B) Ha mozog. C) A nyomóerő a két esetben egyenlő.

Megoldás:

Tapasztalatból is tudhatjuk: ha autóval egy bukkanón elég nagy sebességgel haladunk át, akkor egy kicsit felemelkedünk az ülésről, tehát mozgó autó esetén a nyomóerő kisebb, mint álló kocsi esetén.

Másik megfontolás: A domb tetején áthaladó autó körpályán mozog, ezért centripetális gyorsulása van, Ennek iránya a kör középpontja felé, tehát lefelé mutat. A vizsgált helyzetben tehát az autó függőlegesen lefelé gyorsul, ezért súlya nem , hanem annál kisebb:

Numerikus feladat: Mekkora erővel nyomja a kg tömegű autó az m görbületi sugarú domb tetején a talajt?a. álló helyzetben

b. ha sebességgel mozog.

Megoldás:

=20

Álló helyzetben az autó súlya nyomja a talajt: =10 N

Mozgó helyzetben az autóra ható erők: gravitációs erő. ,és a talaj által az autóra kifejtett N nyomóerő. (Az N nyomóerő a kérdezett erő ellenereje, tehát azzal egyenlő)

- 7 -

v = 0 v

ábra ábra

4b ábra

Az autó körpályán mozog, tehát a kör középpontja felé (függőlegesen lefelé) mutató az centripetális gyorsulása, és így az centripetális erő isAz autó mozgásegyenlete: Ebből a nyomóerő:

Tudjuk, hogy az R sugarú pályán v sebességgel mozgó test centripetális gyorsulása:

Így a nyomóerő:

Numerikusan: =

A második esetben valóban kisebb a nyomóerő.

Kiegészítés:

A nyomóerőre kapott összefüggést diszkutálva megállapítható, hogy az autó

v sebességének növelésével az N nyomóerő csökken. A tényező akár 0 is lehet. Ekkor

a az N nyomóerő is és ezért az autót gyorsító tapadási erő is 0 lenne. Ekkor az autó nem gyorsulhat tovább, ezért az ezt eredményező sebesség a domb tetején elérhető legnagyobb sebesség. Határozzuk meg ezt a sebességet :

=0 =

Megjegyzések:1. sebesség esetén nem csak az autó és a talaj, hanem az utasok és az ülésük között is 0 a nyomóerő. Az utas ilyenkor súlytalanságot érez, mint a Vidám Parkban, amikor a hullámvasút áthalad egy domb tetején.

- 8 -

v N

G

2. Az N=0 nyomóerő nem csak az autó gyorsítását akadályozza meg, hanem a fékezését és kormányzását is. Tehát lehet, hogy ez a helyzet az utasokat jól elszórakoztatja, de menetdinamikailag rendkívül kedvezőtlen.A összefüggésből látszik, hogy a határsebesség a görbületi sugár négyzetgyökével arányos, a sugár növelésével tehát növekszik. A nagyobb sebességű utazásra tervezett utak nem tartalmazhatnak kis sugarú – hegyes - bukkanókat.

- 9 -

5. Egy kerékpár 5 m/s nagyságú sebességgel halad. Mit mondhatunk az első kerékszelepének talajhoz viszonyított sebességéről abban a pillanatban, amikor a szeleppályájának legfelső pontján halad át? (A kerekek tisztán, csúszás nélkül gördülnek.)A) A szelep sebessége zérus. B) A szelep sebessége kisebb, mint 5 m/s.C) A szelep sebessége 5 m/s. D) A szelep sebessége nagyobb, mint 5 m/s.(2006. február)

Megoldás:Nézzük meg az S szelep helyét a feladatban kicsivel jelzett legfelső P pont előtt és után.

5a.ábra

Az ábrát szemlélve megállapítható, hogy a vizsgált időintervallumban a szelep megelőzte a kerék tengelyét. A kerékpár sebessége megegyezik a kerék tengelyének sebességével, tehát a helyes válasz a D.

A feladatot egy kicsit „feljavítjuk” Megkérdezzük a szelep sebességét is. A szükséges adatok: Legyen a kerék 28 colos. Ez azt jelenti, hogy átmérője d= 28 coll 71 cm.

(1 coll=25,4 mm), a sugara tehát:

A szelep távolsága a tengelytől r=29 cm.

Megoldás:

5 b.ábra

A keréknek forgás közben mindig más pontja érintkezik a talajjal. A feladat szerint a kerék csúszás nélkül gördül. Ez azt jelenti, hogy a keréknek a talajjal éppen érintkező C pontjának sebessége 0, függetlenül attól, hogy a kerék mekkora sebességgel mozog. A C pontot ezért pillanatnyi középpontnak is szoktuk nevezni. A kerék mozgása egy vizsgált időpillanatban: az adott pillanatban éppen álló C pont körüli forgó mozgás. A forgó mozgás jellemző adata: az

szögsebesség. Ha a kerék tetszőleges A pontjának távolsága C-től , akkor az A pont

- 10 -

S S

P

A

K

Ra

v1vK

C

vP

sebessége: . A vektor iránya az AC szakaszra merőleges. A kerék K

középpontjának távolsága a C ponttól a kerék sugara, tehát KC= =R. A K pont sebessége

így . vektor iránya merőleges a függőleges KC szakaszra, tehát vízszintes. Mivel K a kerék tengelye, ez a sebesség éppen a bicikli sebessége.

A fenti gondolatmenet szerint a kerék legfelső P pontjának sebessége éppen a középpont sebességének kétszerese. Legfelső helyzetében az S szelep távolsága C-től , így a szelep sebessége ebben a pillanatban: . A szelep sebessége a bicikli sebességénél nagyobb,

annak - szerese.

Numerikusan: = =1,82.

A szelep sebessége a pálya legfelső pontjában tehát a bicikli sebességének 1,82-szerese; tehát majdnem 2-szerese. Azért kisebb, mint 2-szerese, mert a szelep nem a kerék kerületén, hanem annál beljebb helyezkedik el.

Egy kézenfekvő kiegészítő kérdés A bicikli sebessége , a kerék kerületén lévő pontok különböző sebességgel mozognak. Legkisebb sebességgel az éppen a talajjal érintkező C pont, , legnagyobb sebességgel a kerület éppen legfelső P pontja: A kézenfekvő kérdés: van-e a keréknek – a tengelyén kívül - olyan pontja, amely éppen a bicikli sebességével mozog?

Megoldás:

5c ábra

Láttuk, hogy a kerék egy tetszőleges X pontjának sebessége az távolságtól függ.Az X pont sebessége, akkor egyenlő a bicikli sebességével, ha ugyanolyan távol van C ponttól, mint a kerék tengelye: XC=KC. Az ábrán látható szerkesztéssel kereshető meg a megfelelő X pont. A kerék kerületén két ilyen pont is található. és .

Kiegészítés:Érdekes lehet megnézni azt is, hogy a kerék kerületének egy adott pontja milyen pályán mozog.A pálya alakja ilyen:

- 11 -

K

R

C

R R

vK

x1 x2

5d ábra

A pálya , , ... pontjában az adott pont éppen a talajjal érintkezik, a sebessége ezekben a pontokban nulla.A pálya , ... pontjaiban az adott pont éppen felül van a pálya legmagasabb pontján, sebessége ezekben a pontokban kétszerese a bicikli sebességének.

Újabb kérdés adódik: Milyen távol vannak egymástól a d átmérőjű kerék esetén a szomszédos A jelű pontok?Megoldás: Két szomszédos A jelű pont között a kerék pontosan egy fordulatot tesz meg, a feltétel szerint tisztán gördül (nem csúszik) ezért egy fordulat alatt éppen a kerék k kerületével egyenlő utat tesz meg:

Megjegyzés:Amikor a biciklink sebességét mérő miniszámítógépet vásárolunk, a szerkezetet kalibrálni kell a megfelelő kerékmérethez. A szerelési útmutatóban éppen az előző pontban leírt módszert javasolják a kerék kerületének megállapításához.

- 12 -

S

B

A1 A2

d · p

6. Egy nem elhanyagolható belső ellenállású feszültségforrásra változtathatóellenállást kapcsolunk. Hogyan változik a feszültségforrás kapocsfeszültsége, ha a külső ellenállást növeljük?A) A kapocsfeszültség csökken. B) A kapocsfeszültség állandó marad.C) A kapocsfeszültség növekszik. D) A kapocsfeszültség egy bizonyos értékig növekszik, majd csökken.(2006. február)

Megoldás:Aki nem ismeri kapásból a megfelelő összefüggéseket, az rögtönözhet egy konkrét numerikus feladatot, és abból következethet a helyes válaszra. Például: Legyen a feszültségforrás elektromotoros ereje V, belső ellenállása . A külső ellenállás legyen három különböző érték: A számított adatokat tartalmazza a táblázat:

Elektromotoros erő 3,6 V 3,6 V 3,6 VBelső ellenállás, rKülső ellenállás, R

Eredő ellenállás

Áramerősség

Kapocsfeszültség. 2,88V 3,46V 3,53V

A táblázat adatai azt sugallják, hogy a helyes válasz a C.

Megjegyzés: Az utolsó sor adatai szerint növekszik a kapocsfeszültség, de nem minden határon túl. Arra kell gondolnunk, hogy a kapocsfeszültség igen nagy külső ellenállás esetén közeledik a feszültségforrás üresjárati feszültségéhez. Mélyebb elemzés

Legyen a feszültségforrás elektromotoros ereje (üresjárati feszültsége) , belső ellenállása r, a külső ellenállás R. Az kapocsfeszültség az R külső ellenállásom eső feszültség, az áramkör I áramának és a külső R ellenállásnak a szorzata: (1)

Azt is tudjuk, hogy az kapocsfeszültség az r belső ellenálláson eső értékkel kisebb.,mint az elektromotoros erő: (2)

Az I áramerősség a telep elektromotoros erejének és az áramkör eredő ellenállásának: R+r-nek a hányadosa:

(3)

(Ez Ohm törvénye a teljes áramkörre)

- 13 -

A fenti (3) összefüggés I értékét az (1)-be helyettesítve kapjuk az kapocsfeszültséget az R külső ellenállás függvényében

Vizsgáljuk ezt a függvényt a fenti numerikus adatok esetén:

Az összefüggés vizsgálatához jó, ha felelevenítjük a matematikában tanult

függvény grafikonját. Alkalmazva a tanult átalakítást:

Az f(x)= függvény grafikonja nem negatív x-ekre

6a. ábra

Az általunk vizsgált függvény értékeit az előző függvény értékeiből

3,6V-tal való szorzással kapjuk.:

- 14 -

1

x

f(x)

6b. ábra

Megállapítható, hogy a kapocsfeszültség a külső ellenállás növelésével növekszik, de nem minden határon túl, hanem közelít az áramforrás V elektromotoros erejéhez.

Megjegyzések:1. Az állapotot úgy állíthatjuk elő, hogy a feszültségforrás két pólusát egy elhanyagolható ellenállású vezetékkel kötjük össze. (Az ilyen állapot neve rövidzárlat, a körben igen nagy áram folyik, rongálja a feszültségforrást, és tűzveszélyes helyzetet eredményezhet, ezért kerülendő)

2. Az állapotban az áramkör nyitott, nem folyik áram; üresjárási állapotnak nevezzük. Ekkor a kapocsfeszültség egyenlő az elektromotoros erővel. Az elektromotoros erő másik neve ezért: üresjárási feszültség.

A feladat továbbgondolása: Vizsgáljuk meg az áramkör I áramerősségét is az R külső ellenállás függvényében.Az előző numerikus feladattal dolgozzunk! Ohm törvénye szerint:

Először vizsgáljuk a függvényt néhány konkrét R külső ellenállás esetén:

R=0 (rövidzárlat) (üresjárat)

Elektromotoros erő 3,6 V 3,6 V 3,6 V 3,6 V 3,6 VBelső ellenállás rEredő ellenállás

Áramerősség 1800 mA(rövidzárlati áram)

0

- 15 -

3,6 V

R [Ω]

Uk[V]

Ábrázoljuk a függvényt!

6c. ábra

Látható, hogy az áramkörben folyó I áram a külső R ellenállást növelve az 1,8 A rövidzárlati áramról 0-ra csökken. A csökkenés nem lineáris, a 0-t aszimptotikusan éri el

A feladat még tovább gondolása:Az áramkör I árama átfolyik a külső R ellenálláson, az kapocsfeszültség pedig az R külső ellenálláson eső feszültség. Az áramerősség és feszültség szorzata az ellenállás P teljesítménye. A külső ellenállás teljesítménye tehát Vizsgáljuk meg hogyan változik a külső ellenállás teljesítménye a külső ellenállás függvényében, tehát a kapcsolatot. Láttuk, hogy a külső R ellenállást a 0-tól -ig növelve

- az kapocsfeszültség 0-ról -ra nő - az áramkör I árama pedig az áramról 0-ra csökken.

Ezek szerint a P teljesítmény egy növekvő ( ) és egy csökkenő (I) tényező szorzata. A teljesítmény értéke a két szélső esetben: (R=0 és R= )

R=0 (rövidzárlat) R= (üresjárat) kapocsfeszültség 0 (üresjárási feszültség)

I áramerősség (rövidzárlati áram) 0

0 0

Látható, hogy a két szélső esetben a teljesítmény 0. Okunk van arra gondolni, hogy létezik egy olyan R külső ellenállás érték, aminek a teljesítménye adott feszültségforrás esetén maximális..

Használjuk fel a és összefüggéseket!

Ekkor az ellenállás teljesítménye:

- 16 -

1800

R [Ω]

I[mA]

= =

Dolgozzunk ismét numerikus adatokkal!

=

Kövessük az egyszer már bevált eljárást. A függvény vizsgálatához először az

függvény maximumhelyét keressük meg!

. Osszuk el a tört számlálóját és nevezőjét is x-szel:

. Belátható, hogy a függvénynek akkor van

maximuma, ha az M= érték minimális.

Számítsuk ki a két tagnak – vagyis x-nek és -nek - S számtani és G mértani közepét!

és

Alkalmazzuk a két pozitív szám S számtani és G mértani közepe közti kapcsolatot: , egyenlőség akkor áll fenn, ha a két szám egyenlő.

, tehát:

Az érték minimuma tehát 4. Akkor veszi ezt fel, ha a két szám egyenlő:

, tehát , amiből x=2

az x=2 az M érték minimumhelye, és egyben f(x) függvény maximumhelye.

Számítsuk ki az maximumértékét is, tehát f(2)-t:

=0,125

Ábrázoljuk az f(x) függvényt:

- 17 -

6d. ábra

A keresett függvény értékeit az f(x) függvény értékeinek -

tel való szorzásával kapjuk. A függvény maximumhelye R=r helyen, tehát -nál van

6e ábra

A függvény maximum értékét is kiszámítjuk:

Az adott 3,6 V elektromotoros erejű 2 belső ellenállású feszültségforrásból kivehető legnagyobb teljesítmény: . Ezt akkor érjük el, ha a telep belső ellenállásával egyenlő nagyságú külső ellenállást használunk.

Kiegészítés

- 18 -

x

f(x)

2

f(x) =

P[W]

2

1,62

R [Ω]

Azok akik tanultak differenciálszámítást, gyorsabban is megkaphatják a

függvény maximumhelyét:Meghatározzuk a függvény deriváltját:

A hányados függvény deriválási szabálya: .

Eszerint járunk el: =

A függvény szélsőértéke a derivált zérushelyénél van: =0

Rendezve az egyenletet: alakot kapunk, amiből R=rTehát egy adott feszültségforrásból kivehető teljesítmény akkor a legnagyobb, ha a feszültségforrás belső ellenállával egyenlő nagyságú külső ellenállást alkalmazunk.

- 19 -

7. Két darab, fonállal összekötött kiskocsi vízszintes, súrlódásmentes felületen állandó gyorsulással mozog, mert az egyikre vízszintes irányú, 2 newton nagyságú húzóerő hat. Mit állíthatunk eközben a kocsikat összekötő fonál által kifejtett erő nagyságáról?

7a. ábra

A) A fonálerő nagysága 2 newtonnál kisebb.B) A fonálerő nagysága 2 newton.C) A fonálerő nagysága 2 newtonnál nagyobb.(2006. május)

Megoldás:Rövid gondolkodás után az A megoldást választjuk: az első kiskocsit a húzóerő és a fonálerő nagyságának különbsége gyorsítja, ezért a fonálerő nyilván kisebb, mint 2N.

Határozzuk meg a fonálban ébredő erő nagyságát! Ehhez meg kell adnunk a két tömeg nagyságát is: , . A húzóerő nagysága H=2N .

Oldjuk meg paraméteresen a feladatot! Vizsgáljuk a kiskocsikra ható erőket:A fonálerőt K-val jelöljük

7b. ábra

Írjuk fel a kiskocsik mozgásegyenletét:Első kiskocsi: (1)Második kiskocsi: (2)A két egyenletet összeadva:

A kiskocsik közös gyorsulása:

Ezt behelyettesítve (2)-be: (3)

Mivel az tört nevezője nagyobb, mint a számláló, értéke 1-nél kisebb.

Ezzel szorozzuk meg a H húzóerő nagyságát, ezért H-nál kisebb értéket kapunk, tehát a K fonálerő csakugyan kisebb, mint a húzóerő.

Használjuk ki a paraméteres megoldásnak azt az előnyét, hogy diszkutálható:

- 20 -

F = 2 N

HK K

A (3) összefüggésben az tényező esetén olyan tört melynek a nevezője

jóval nagyobb, mint a számlálója, értéke tehát jóval kisebb, mint 1. Ebből K<<H következik. Csakugyan: ha az elől haladó kocsi jóval nagyobb tömegű, mint a másik, akkor az összekötő fonálban ébredő K erő kicsi a H húzóerőhöz képest.

Fordított esetben, azaz ha akkor , tehát a fonálban ébredő K erő

majdnem akkora, mint a H húzóerő. Ezt józan megfontolással matematikai okoskodás nélkül is így gondolnánk.

- 21 -

8. Lehet-e egy síkkondenzátor energiáját úgy növelni, hogy töltését és a lemezek (fegyverzetek) méretét nem változtatjuk meg?

8a. ábra

A) Lehet, mégpedig úgy, hogy a lemezeket közelítjük.B) Lehet, mégpedig úgy, hogy a lemezeket távolítjuk.C) Nem lehet, mert a térerősség nem változik, s akkor az energia sem.D) Nem lehet, mert energiát csak töltéssel lehet a rendszerbe juttatni.(2006. május)

A helyes válasz a B.A kondenzátor lemezek ellentétesen töltöttek, tehát vonzzák egymást. Távolításukkor

valamekkora erőt fejtünk ki valamekkora úton, tehát munkát végzünk. Ez a munka növeli a kondenzátor energiáját.

Kiegészítések1. Kondenzátor energiáját éppen a feladatban leírt gondolatkísérlettel lehet maghatározni:Hozzuk létre töltött kondenzátor terét úgy, hogy egy -Q töltésű fémlemezt távolítunk a rögzített +Q töltésűtől, távolságukat végtelenül kicsiről d-re növelve

8b. Ábra

A lemezek különnemű töltése miatt a távolításhoz erőt kell kifejtenünk. A vonzóerő ellenében végzett munka eredménye a felépült elektromos mező.

Számítsuk ki a munka nagyságát! A növekvő térfogatú erőtér (párhuzamos) erővonalainak sűrűsége állandó marad, mert a lemezek töltése nem változik. A lemezek között tehát állandó térerősségű (homogén) mező épül fel. A kifejtett erő - a térerő és lemez töltésének szorzata-a lemezek távolítása közben nem változik. Határozzuk meg az erő és a végzett munka

- 22 -

+Q -Q

+Q

-QA

Ad+Q

nagyságát! A kondenzátorlemezek közötti térerősséget a két töltött lemez együttesen, azonos mértékben kelti: =

8c. ábra

A lemezek az erővonalak létrehozásában is fele-fele arányban osztoznak. A mozgatott lemez által keltett erővonalak vele együtt mozognak, így erőt csak a másik lemez erőtere ellen kell

kifejteni: = . Ennek munkája Felhasználva az

összefüggést, a munkavégzés lesz. A végzett munka nagysága a mező energiáját

adja. Felhasználva a összefüggést a feltöltött kondenzátor W energiája a következő formákban adható meg:

2. A fenti gondolatmenetet felhasználva állapítsuk meg, hogy a kondenzátor energiája milyen összefüggés szerint növekszik a lemezek távolításakor.

Láttuk, hogy a munkavégzés állandó nagyságú F erővel történik. Ilyenkor a W munka nagysága egyenesen arányos az elmozdulással. A kondenzátor energiája tehát a lemezek távolításakor a lemezek d távolságával egyenesen arányos.

A lemezek közti elektromos tér V térfogata: . A lemezek távolításakor a V térfogat is egyenesen arányosan nő a lemezek távolságával Azt is mondhatjuk tehát, hogy a lemezek távolításakor végzett munka „jutalma” a lemezek közti egyre növekvő homogén elektromos tér .

3. Az eredeti feladat szerint a lemezek távolításakor nem változott a kondenzátor töltéseVizsgáljuk meg, hogy a lemezek távolításakor hogyan változik a kondenzátor U feszültsége.Tudjuk, hogy a C kapacitású U feszültségű kondenzátor Q töltése: . Tudjuk,

továbbá, hogy a kondenzátor C kapacitása: , ha a lemezek felülete A távolsága d

- 23 -

++++++++

--------

++++++++

--------

E+ + E- E=

Ezekből Q = és adódik. A kondenzátor U feszültsége tehát egy

állandónak és a lemezek d távolságának szorzata. A kondenzátor U feszültség tehát szintén egyenesen arányos a lemezek d távolságával.

4. A feladat feltételezte, hogy a lemezek távolításakor a kondenzátor töltése nem változik. Ez csak úgy lehetséges, ha a kondenzátort szigetelt nyelű eszközzel lekapcsoltuk a feltöltő telepről (akkumulátorról).

Most nézzük meg azt az esetet, ha a feltöltött kondenzátort nem kapcsoljuk le a feltöltő akkumulátorról. Hogyan változik ekkor a kondenzátor

- a. feszültsége- b. kapacitása- c. töltése- d. energiája?

e. Mennyi munkát végzünk a lemezek távolításakor?

Megoldás:a. Mivel nem kapcsoltuk le a feltöltő akkumulátorról a kondenzátor feszültsége a lemezek

távolítása közben állandó marad, és megegyezik az akkumulátor U feszültségével

b. A lemezek távolítása közben a kondenzátor C kapacitása a összefüggésnek

megfelelően csökken.

c. A kondenzátor Q töltése az U feszültség, és a csökkenő C kapacitás szorzata:

= . A kondenzátor Q töltése tehát fordítottan arányos a

lemezek távolságával. A lemezeket távolítva egymástól, csökken a lemezek töltése. Adódik a kérdés: a lemezekről hova vándorolnak a töltések? Hamarosan megválaszoljuk.

d. A kondenzátor energiája a = = összefüggés

alapján szintén fordítottan arányos a lemezek d távolságával. A lemezeket távolítva tehát csökken a kondenzátor energiája.

e. Az ellentétes töltéssel rendelkező kondenzátorlemezek vonzzák egymást. Távolításukhoz tehát munkát kell végeznünk. Ez a megállapításunk azzal együtt, hogy a kondenzátor energiája csökken a folyamat közben meghökkentő lehet. Úgy tűnik, hogy egy rendszeren munkát végeztünk, és ez azt eredményezi, hogy csökken a rendszer energiája. Hová lett a végzett munka és hova a kondenzátor energiája?

A folyamatnak van még egy „szereplője”: az akkumulátor. Láttuk, hogy csökken a kondenzátor töltése. Nyilvánvaló a megoldás: A lemezek távolításakor a kondenzátorról töltések kerülnek vissza az akkumulátorba, és ezzel nő annak töltöttsége és energiája is. Az akkumulátor energianövekedésének oka részben a lemezek távolításakor végzett W munka, és a kondenzátor energiájának csökkenése:

- 24 -

(1)A kérdésre adott válaszunk újabb kérdést szül:

Az akkumulátor energiájának növekedéséért milyen arányban felelős a két összetevő:

W és ?

A kondenzátor energiájának első összefüggését - - használjuk.

A kondenzátor energia csökkenése, ha állandó U feszültség mellett a töltéscsökkenés:

(2)

Az U feszültségű akkumulátor energianövekedése, töltés-növekedés esetén = (3)

(3) és (2) összefüggést (1)-be beírva azt kapjuk, hogy .

Vagyis

A feszültségforrás energianövekedését tehát azonos mértékben okozza a lemezek távolításakor végzett W munkavégzés, és a kondenzátor energiacsökkenése.

- 25 -

9. Két kiskocsi tökéletesen rugalmatlanul ütközik egymással. Mikor lesz a közös sebességük a legnagyobb?A) Ha kezdetben egymással szemben mozogtak. B) Ha kezdetben egy irányba haladtak.C) Ha kezdetben egymásra merőleges pályán haladtak.(2006. október)

Megoldás: A legtöbben valószínűleg józan „paraszti észre” hivatkozva a B választ gondolják

helyesnek. Jól teszik. Választásukban valószínűleg szerepet játszik a tapasztalat: például kiskori

emlékek a játékautók ütközéséről. Oldjuk meg egy kis matematikai apparátus felhasználásával: Tökéletesen rugalmatlan ütközésről akkor beszélünk, ha az ütköző testek ütközés utáni

sebessége közös, azaz ha a testek összeragadnak.

Tökéletesen rugalmatlan ütközésekkor az impulzus megmaradó mennyiség: a rendszer tagjainak ütközés előtti összes impulzusa egyenlő az ütközés utáni impulzussal.

A testek tömege és , ütközés előtti sebessége és , ütközés utáni közös sebességük

Ekkor az impulzus-megmaradás: vektor-egyenlet alakban írható.A kérdés most az, hogy az vektor milyen és irány esetén a legnagyobb abszolút

értékű. A vektor-egyenlet baloldalán lévő két vektor összegének abszolút értéke akkor a

legnagyobb, ha a két összeadandó vektor azonos irányú.

Tegyük numerikussá a feladatot!

Az = 1 kg és az =2 kg tömegű test tökéletesen rugalmatlanul ütközik , illetve

sebességgel. Mekkora a testek ütközés utáni sebessége, ha kezdetben

a. egy iránybanb. egymással szembenc. egymásra merőlegesen mozogtak?Az a. és b. esetben az ütközés előtti sebességek közös hatásvonalúak. Az impulzus-

megmaradást leíró vektor-egyenlet helyettesíthető skalár- egyenlettel. A vektorok irányát ilyenkor a skalárok előjelével vesszük figyelembe

Egyirányú mozgás: Ellentétes irányú mozgás

Impulzus megmaradás

Ütközés utáni

sebesség

- 26 -

Numerikusan=1

c.

Az impulzusvektorok nagysága: =2 kg és =1kg

Ezek egymásra merőlegesek, ezért eredőjük I nagysága:

kg kg

Az ütközés utáni impulzus egyenlő az ütközés előttivel:

kg

Ebből a keresett u sebesség nagysága:

- 27 -

10. Az alábbi három áramkör mindegyike 3-3 azonos értékű ellenállást, valamint Uegyenfeszültséget adó generátort tartalmaz. (Az összesen 9 db ellenállás mindegyike azonos nagyságú.)

10. ábra

Melyik áramkörben lesz a legnagyobb az ellenállásokon átfolyó áram összteljesítménye?A) Az 1-es áramkörben. B) A 2-es áramkörben.C) A 3-as áramkörben. D) Mindegyikben ugyanakkora lesz.(2006. október)

A feladatbeli feszültséggenerátorok állandó nagyságú U feszültséggel táplálják az

áramkört. Ezért érdemes az áramkör teljesítményét a összefüggéssel számolni. Annak

az áramkörnek nagyobb a teljesítménye, amelyben a legkisebb eredő ellenállás, vagyis a 3. áramkör. A helyes válasz a C.

Számítsuk ki a teljesítmények arányát:

Az eredő ellenállások az egyes áramkörökben , , és

A teljesítmények aránya az eredő ellenállások reciprokának arányával egyenlő:

- 28 -

R R

R

R

RR

RR

R

21 3

11. Homogén mágneses térbe, a mágneses indukcióvonalakkal párhuzamosan belövünk egy elektront. Milyen pályán fog mozogni, ha a gravitáció elhanyagolható?A) Körpályán. B) Egyenes vonalú pályán.C) Parabolapályán. D) Csavarvonal mentén.(2006. október)

Tudjuk, hogy az elektron töltéssel rendelkező részecske. Mozgó töltéseket körpályára kényszerít a mágneses mező, ha a töltés sebesség-vektorának iránya merőleges az indukcióvonalakra. Feladatunkban párhuzamos a sebesség és az indukció-vektor; ilyen esetben nem hat erő a mozgó töltésre, tehát a B válasz a helyes. (azt is tudhatjuk, hogy a mozgás egyenletes lesz)

Járjuk körül a jelenséget!Adott m tömegű és q töltésű részecskét adott nagyságú sebességgel lövünk be B

indukciójú térbe úgy, hogy

a. és vektorok merőlegesek egymásrab. és vektorok szöget zárnak be egymással.Milyen pályán mozog a részecske, és adjuk meg a pálya adatait!

a) Ha és vektorok merőlegesek egymásra, akkor körpályán mozog a töltött

részecske, mert a mágneses mezőben fellépő nagyságú Lorentz-erő

minden pillanatban merőleges a részecske sebesség-vektorára.

11 a ábra

A körpálya sugarát abból a feltételből kapjuk meg, hogy a körpályán történő mozgáshoz

szükséges = centripetális erőt az Lorentz erő szolgáltatja:

=

=

Ebből:

Számítsuk ki a körmozgás periódusidejét is:

- 29 -

FL

r

v

Figyelemre méltó, hogy a T periódusidő független a részecske sebességétől.

b) és vektorok szöget zárnak be egymással

Bontsuk fel a sebesség-vektort a vektorral párhuzamos és a -ra merőleges komponensekre.

11.b ábra

Az eddigiek alapján töltöttük ki a táblázatot:

A részecske belövésének iránya az indukcióvonalakhoz

képest

A pálya alakja A mozgás fajtája

párhuzamos ( egyenes egyenletes mozgás sebességgel

merőleges ( sugarú köregyenletes körmozgás

T= periódusidővel

Esetünkben a részecske a két mozgást egyszerre végzi. A két mozgás szuperpozíciója állandó nagyságú sebességgel egy állandó menetemelkedésű csavarvonal mentén történő mozgás.Számítsuk ki a pálya adatait!

A csavarvonal egy henger felületére illeszkedik, ennek sugara =

A csavarvonal menetemelkedése:

- 30 -

a

xvx

vy

v0

s

s a

12. Egy lézer fotonjai elektronokat váltanak ki egy fémből. Hogyan változik a kilépőelektronok mozgási energiája, ha a fény frekvenciáját megduplázzuk?A) Kevesebb mint kétszerese lesz. B) Kétszerese lesz.C) Több mint kétszerese lesz.(2006. október)

A fényelektromos jelenségről szóló feladatot nem lehet hétköznapi tapasztalatainkra építve megoldani.

Ha f frekvenciájú foton elektronokat vált ki egy fémből, akkor egy foton energiájának

egy része egy elektronnak a fémből való kilépésére fordítódik; ez a kilépési munka, a

fémre jellemző állandó

másik része a fémből kilépett elektron mozgási energiáját adja.

Az Einstein-féle fényelektromos egyenlet ezek kapcsolatát írja le. (h a Planck állandó)

Legyen a feladatbeli első lézer fotonjának frekvenciája , a másodiké , a kilépett elektron mozgási energiája a két esetben , illetve .

Írjuk fel a fényelektromos egyenletet mindkét fotonra: (1) (2)A (2) összefüggésbe beírva az (1)-t a megfelelő helyre: Ebből A helyes válasz tehát a C.

Felvetődik a kérdés: hogyan lehet megmérni a fémből kilépő elektronok mozgási energiáját?A mérési módszer neve: ellentér módszer. Fotocella katódjából kilépő elektronok mozgási

energiájának meghatározására alkalmas A mérés elve megérthető a fotocellák szokásos kapcsolási rajza segítségével:

- 31 -

12a. ábra

A fény hatására a fémből kilépett negatív töltésű elektronokra a feszültségforrás pozitív pólusára kötött anód vonzóerőt gyakorol, ami az elektronok sebességét növeli. A gyorsító feszültség nagyágát a változtatni tudjuk a tolóellenállás segítségével. A kilépett, majd felgyorsított elektronok okozzák az anódáramot, amit az ampermérővel mérünk. Olyasmi ez, mintha egy dobozból kilépő golyókat egy - változtatható meredekségű - ejtőn gyorsítanánk lefelé, majd a lejtő alján számlálnánk őket.

Ha kikapcsoljuk a feszültségforrást, akkor az elektronokat nem gyorsítjuk, ezért azok a kilépés után állandó nagyságú és irányú sebességgel mozognak tovább. Egy részük így is eljut az anódra, mérünk az előzőnél kisebb anódáramot. Mechanikai hasonlatunkban most a dobozból kilépő golyók egy vízszintes terepen mozognak tovább, gyorsulás nélkül.

Ha a feszültségforrást fordított polaritással kötjük be, akkor a kilépő elektronokat lassító ú.n. ellenteret hoztunk létre.

- 32 -

A

K

A

V

+ -

12b ábra

Mechanikai hasonlatunk: a dobozból kilépő golyók útjába egy emelkedőt helyezünk. Ha ennek az emelkedőnek a magassága megfelelően nagy, akkor a golyók nem jutnak el a „hegy” tetejére. A legkisebb „megfelelő” magasságot úgy állíthatjuk be, hogy az emelkedő meredekségét nulláról fokozatosan növeljük. A golyók egyre kisebb sebességgel érik el a hegytetőt. Amikor azt tapasztaljuk, hogy a golyók már éppen nem jutnak fel a csúcsra, megmérjük a hegy H magasságát. Az energia egyenletből meghatározható az induló golyók mozgási energiája.

12c ábra

Hasonlóan a fotócellánál is: a lassító feszültség növelését akkor állítjuk le, amikor az ampermérő először mutat nullát. Az ekkor megmért ellenfeszültség az e töltésű elektronon

munkát végezve emészti fel annak mozgási energiáját: összefüggésből a kilépő elektronok mozgási energiája meghatározható.

- 33 -

A

K

A

V

+-

v0

v = 0

H

Ekin

13. Egy műhold körpályán kering a Föld körül. Hogyan befolyásolná a keringési idejétváltozatlan sugarú körpályán, ha a Föld tömegváltozás nélkül összezsugorodna?A) A műhold keringési ideje lecsökkenne. B) A műhold keringési ideje nem változna.C) A műhold keringési ideje megnőne.(2007. május)

Megoldás:Ez ismét olyan feladat, amit kapásból tapasztalatra hivatkozva nehéz lenne megoldani.Azt azonban tanultuk, hogy a műhold mozgásához szükséges centripetális erőt a tömegvonzási erő biztosítja. Két pontszerűnek tekinthető test közti tömegvonzási erő a tömegek nagyságán kívül kizárólag a két test távolságától függ. Esetünkben - bármilyen meglepő - a Földet is pontszerű testnek tekinthetjük. Gömb alakú testek közti gravitációs erőhatások nem változnak, ha őket a tömegközéppontjukban elképzelt pontszerű testekkel helyettesítjük.Az erőhatások tehát egy tömegváltozás nélkül összezsugorodott Föld esetén nem változnának. A műhold az egész zsugorodásból nem „venne észre” semmit. A helyes válasz a B

Egy kicsit matematikailag kifejtve:Az R sugarú körpályán szögsebességgel keringő, m tömegű műholdra a Föld által kifejtett gravitációs erő biztosítja a szükséges centripetális erőt:

A feladat a T periódus idő változását vizsgálja. Tudjuk, hogy .

Az egyenlet így alakul:

T periódusidőre rendezve: (*)

Látható,hogy az összefüggésben nem szerepel a Föld mérete.(R a műhold pályasugara) A keringési idő tehát nem változna a Föld összezsugorodásakor.

Ha (*) összefüggést nem egy műholdra, hanem a Föld felszínéhez közel keringő testre alkalmazzuk akkor R egyben a Föld sugara. (Az ilyen test sebessége az ú.n. első kozmikus sebesség). Vezessük be a Föld átlagsűrűségét:

Ebből .

Ezt beírva (*) –ba. =

Ezek szerint az első kozmikus sebességhez tartozó keringési idő csak a bolygó sűrűségétől függ: annak négyzetgyökével fordítottan arányos.

Térjünk vissza az eredeti „zsugorodós” feladathoz:

- 34 -

Változna-e a Föld felszínén a g nehézségi gyorsulás érétke a feladatbeli zsugorodás esetén Most a Föld felszínén észlelt erőt azonosítjuk a gravitációs erővel:

Ebből a g nehézségi gyorsulás értéke:

Esetünkben a tört számlálója állandó, nevezője pedig csökken. A nehézségi gyorsulás

értéke tehát a Föld zsugorodása esetén növekedne, mégpedig a Föld sugara négyzetével fordított arányban. Ha tehát például a felére csökkenne Földünk sugara, akkor a testek súlya a négyszeresére nőne. Ezen kívül a Föld felszíne is a negyedére csökkenne, ezért például a népsűrűség a négyszeresére nőne. Ilyen fejlemények bekövetkezése természetesen nem túl valószínű.

- 35 -

14. Egy téglalap alakú nehéz üveglapot két munkás visz fel egy lépcsőn. Az üveglapot az alsó sarkain fogják meg, és függőleges irányú erővel tartják. (Lásd az ábrát!)

14a . ábra

Melyik ember fejt ki nagyobb erőt, az első vagy a hátsó?A) Az első ember fejt ki nagyobb erőt. B) Egyenlő erőket fejtenek ki.C) A hátsó ember fejt ki nagyobb erőt.(2007. május)

Akinek a feladatbeli szituációról vannak személyes élményei, emlékezhet hogy a két szállító között nem „igazságos” a teherelosztás: a hátsó ember fejt ki nagyobb erőt. (C válasz) Mitől függ az „igazságtalanság” mértéke?Rajzoljuk be a testre ható erőket

14b ábra

Írjuk fel az erők egyensúlyát. leíró egyenletet: Az emelőerők összege a teher súlyával egyenlő. Ami változhat az az erők aránya. Írjuk fel a forgatónyomatékok egyensúlyát leíró egyenletet is (a forgatónyomatékokat célszerűen az X pontra vonatkoztatjuk):

- 36 -

F1

F2

hátsó ember

első ember

F1

F2

hátsó ember

első ember

G

k1 k2

b

X

Ahányszorosa szakasz a -nek annyiszorosa az -nek, a aránytól függ tehát

mennyivel nehezebb az alul lévő terhe.Belátható, hogy ez az arány a lépcső meredekségének növekedésével, illetve a teher b méretének növekedésekor nő.

Szélsőséges esetben akár is előfordulhat. Ilyenkor a hátsó erő lesz, tehát az egész terhet a hátsó ember viszi. Ügyesen egyensúlyozva egyedül is felviheti a terhet. Ilyen eset fordul elő például ha négyzet alakú a teher, és 45°-os a lépcső emelkedése.

- 37 -

15. A geostacionárius műholdak úgy keringenek a Föld körül, hogy mindig a Föld egy adott pontja fölött vannak. (A Földhöz képest állandó helyzetűek.)Hol lehet egy ilyen műhold az alábbi esetek közül?A) A Föld bármely pontja felett lehetséges.B) Csak az Egyenlítő felett.C) Csak a sarkok felett.(2007. május)

A geostacionárius műholdak távközlési, műsorszóró, meteorológiai, GPS helymeghatározó rendszerek műholdjai. A Földhöz képest nyugalomban vannak, ezért nem igényelnek a műholdat „látó” antennák részére bonyolult mozgató berendezéseket. A műhold körmozgásához szükséges centripetális erőt a gravitációs erő biztosítja. Ez a műhold és a Föld középpontját összekötő egyenes mentén hat, tehát a műhold pályájának tengelye egybeesik a Föld forgástengelyével. A fenti két feltétel együtt csak az Egyenlítő síkjában lévő körpályára teljesül (B válasz)

Számítsuk ki azt is, hogy a geostacionárius műholdak milyen magasan keringenek a Föld felszíne fölött!

Az m tömegű műhold az R km sugarú, kg tömegű Föld felszíne fölött h magasságban, sugarú körpályán kering. A mozgását leíró erőtani egyenlet szerint az centripetális erőt az gravitációs erő biztosítja:

Tudjuk, hogy ill. .

Így:

Ebből a körpálya sugara.

A feltétel szerint a műhold keringési ideje megegyezik a Földével, 24 órával

Így:

Ha a műhold pályájának a Föld felszíne fölötti távolságot keressük:

Ha behelyettesítjük az adatokat, megkapjuk a 35 786 km távolságot.

Kiegészítés: A fenti adatokból kiszámítható, hogy egy ilyen magasságban keringő műhold a Föld felszínének 42%-áról látható. Három geostacionárius pályára állított hold az egész Földet lefedné.

1945-ben Arthur C. Clarke angol író vetette fel az ilyen műholdak kommunikációs célokra való felhasználását, ezért az ilyen műholdakat Clark-műholdaknak is nevezték.

- 38 -

16. Egy D rugóállandójú rugóra m tömegű testet akasztva, az 2 cm-t nyúlik meg. Ha két ilyen rugót akasztunk egymás alá, és két testet akasztunk az alsóra, mekkora lesz a teljes megnyúlás? (Azaz a két rugó együttes megnyúlása?)

16. ábra

A) 2 cm lesz a teljes megnyúlás.B) 4 cm lesz a teljes megnyúlás.C) 8 cm lesz a teljes megnyúlás.D) 16 cm lesz a teljes megnyúlás(2007. október)

Könnyű belátni, hogy egymás után kapcsolt rúgókban egyenlő nagyságú erők ébrednek. Ezért ha egyetlen m tömegű test hatására 2 cm-t nyúlik egy rúgó, akkor a másik is 2 cm-t, így összesen 4cm a megnyúlás. Kétszer ekkora tömeg hatására kétszer ekkora, tehát 8 cm a megnyúlás. A C válasz a helyes megoldás.

Érdemes megvizsgálni. hogy két egymás után azaz sorba kapcsolt rúgó, milyen rúgóállandójú rúgóval helyettesíthető.

A „helyettesítés” a következőt jelenti: Egymás után kapcsolunk egy és egy rúgóállandójú rúgót és egyik szabad végüket F erővel húzzuk. A rúgók megnyúlása legyen, illetve , összesen tehát . Ha ugyanekkora F erő hatására egy D rúgóállandójú rúgó megnyúlása , akkor ez az utóbbi rúgó helyettesíti az előző két rúgót.

és ismeretében számítsuk ki a helyettesítő rúgó D rúgóállandóját! A illetve rúgóban egyaránt F erő ébred, ezért megnyúlásuk

illetve .

A D rúgóállandójú rúgó x megnyúlása F erő hatására:

Az összefüggésbe behelyettesítve az előző három összefüggést:

Ebből: , illetve:

- 39 -

Megjegyzések1. A levezetett összefüggések érdekes formai egyezést mutatnak a párhuzamosan kapcsolt ellenállásokat helyettesítő eredő ellenállás-képletével

2. Könnyen be lehet látni – akár egy numerikus feladat segítségével- hogy a

összefüggéssel kapott D rúgóállandó a és rúgóállandók mindegyikénél kisebb.Ez azt jelenti, hogy sorba kapcsolt rúgókkal kapott rúgó, a rúgólánc leggyengébb rúgójánál is gyengébb.

Érdekes lehet megvizsgálni a tárgyalt eljárás megfordítását is. Milyen rúgóállandójú rúgókat kapunk, ha egy adott rúgóállandójú rúgót kettévágunk?A válasz nyilván függ attól, hogy hol vágjuk el a rúgót. Legyen az eredeti D rúgóállandójú rúgó hossza l, a vágással kapott illetve rúgóállandójú rúgók hossza illetve .Adott: és , (így l is), valamint D. Keressük -t és -t.Az F erővel nyújtott rúgó és hosszúságú darabjaiban szintén F erő ébred. Ezek

megnyúlása ennek hatására legyen és =

A két rúgódarab és megnyúlásának aránya egyenlő a rúgódarabok eredeti hosszúságával:

Fenti összefüggésekből kapjuk, hogy a két rúgódarab és rúgóállandója fordítottan arányos a rúgók eredeti és hosszával:

A fenti összefüggés azt a tapasztalatot írja le, hogy a rövidebb rúgó keményebb, mint a hosszabbik.Gondolatmenetünket alkalmazva az l hosszúságú D rúgóállandójú, és az hosszúságú rúgóállandójú rúgóra:

Ebből és ugyanígy:

Érdemes észrevenni, hogy és miatt és így és

A rúgó kettévágásával tehát két olyan rúgót kapunk, melyek az eredetinél nagyobb rúgóállandójúak- keményebbek

- 40 -

17. Egy testre hat a csúszási súrlódási erő. Melyik állításunk helyes?A) A csúszási súrlódási erő minden körülmények között lassítja a testet.B) A csúszási súrlódási erő általában lassítja a testet, ha nem egyenlíti ki a csúszási súrlódási erő ellenereje.C) A csúszási súrlódási erő akár gyorsíthat is egy testet.(2007. október)

Ha pontosan megtanultuk a súrlódási erő tulajdonságait, akkor tudjuk, hogy két felület között lép fel, és a felületek relatív elmozdulását „igyekszik” akadályozni. Ez leggyakrabban úgy valósul meg, hogy a súrlódási erő lassít egy testet, ezért kísértést érezhetünk az A válasz elfogadására.

A helyes válasz azonban a C. Vizsgáljuk meg a következő elrendezést

17a . ábra

Ha a kocsit elég nagy H erővel húzzuk, akkor a rajta lévő láda megcsúszik és elmozdul a kocsihoz képest hátra felé, de a talajhoz képest a kocsival azonos irányban mozogva gyorsul. A ládát ilyenkor a csúszási súrlódási erő gyorsítja. (Így „igyekszik” akadályozni a felületek relatív elmozdulását)

A jelenség mélyebb megértését szolgálja a következő feladat:Az M=8 kg tömegű kocsi és az m=2kg tömegű láda közti súrlódási tényező =0,1. A kocsit H erővel húzzuk. Vizsgáljuk a kocsi és a láda mozgását különböző H húzóerő esetén!Amíg a láda nem csúszik meg kocsin, addig tekinthetjük a két tömeget együtt M+m tömegű

testnek, melyet H erő gyorsít gyorsulással.

Numerikusan: = ; ha a H húzóerőt newtonban helyettesítjük,

akkor ennyi a kocsi és a láda közös gyorsulása, amíg a láda nem csúszik meg.Ha a láda megcsúszik a kocsin, akkor külön kell vizsgálnunk két testre ható erőket:

A kocsira illetve a ládára ható erőket függőleges-vízszintes csoportosításban, az irányukat is jelezve tartalmazza az alábbi táblázat. (Az erő=ellenerő egyenlőség miatt azonos nagyságú, különböző irányú és különböző testre ható erőket azonos betűvel jelöltük.)

Kocsira LádáraVízszintesirányban

H húzóerő →S súrlódási erővel hat a kocsira a láda ←

súrlódási erővel hat a ládára a kocsi →

- 41 -

G1

G2S

N1

G3 SH

N2

A labdára ható erőkA kocsira ható erők

Függőlegesirányban

gravitációs erő ↓A talaj által kifejtett nyomóerő ↑A láda súlya ↓

gravitációs erő ↓ nyomóerővel nyomja a kocsi a

ládát ↑ Mozgásegyenletek:A kocsira ható függőleges erők kiegyenlítik egymást: A vízszintes irányú erők eredője gyorsítja a kocsit gyorsulással: A ládára ható függőleges erők kiegyenlítik egymást: A ládára ható vízszintes erők eredője gyorsítja a ládát gyorsulással: A megcsúszás határhelyzetében a tapadási súrlódási erő: : A megcsúszás után a csúszási súrlódási erő: . Esetünkben , ezért elegendő megtartani az utóbbi egyenletet.

A megoldandó egyenletrendszer: .

Behelyettesítésekkel:

Kifejezzük a gyorsulásokat: és

A láda megcsúszás utáni gyorsulására kapott érték a H húzóerőtől független.Numerikusan folytatva:

= , ha a húzóerőt newtonban mérjük

=1

(A láda megcsúszás utáni gyorsulása a H húzóerőtől független).

Összefoglalva:

Amíg nem csúszik meg a láda, addig

A láda legnagyobb gyorsulása ezután hiába növeljük a H húzóerőt a láda nem

gyorsul jobban.

A kocsi gyorsulása a láda megcsúszása után:

Számoljuk ki azt a húzóerőt amelynél a láda éppen megcsúszik:

- 42 -

, azaz: 1 = . Ebből =10N

Ábrázoljuk, és tanulmányozzuk a kocsi és a láda gyorsulását a H húzóerő függvényében

17b. ábra

- 43 -

a1

a2

HHx = 10 N

a1 a2

18. Az alábbi rajz két rögzített pontszerű töltést ábrázol. Hova kellene elhelyezni egy harmadik, pozitív pontszerű töltést, hogy az egyensúlyban legyen? (Q > 0)

18. ábra

A) Az „A” pontba.B) A „B” pontba.C) A „C” pontba.D) A „D” pontba.(2008. május)

Két töltés közötti erő nagysága a töltések nagyságának szorzatával arányosan növekszik, a távolságuk négyzetével fordítottan arányos.

Az erő iránya azonos előjelű töltések között taszító, ellentétes előjelűek között vonzó erőA két töltés közötti szakasz pontjaiba ( B és C) helyezett bármilyen előjelű töltésre azonos irányú erővel hat a két töltés tehát itt nem lehet egyensúly.

Az A vagy D jelű pontba helyezett pozitív előjelű töltést a 4Q töltés taszítja, a –Q töltés vonzza. A két erő olyan pontban lehet egyensúlyban, amelyik a nagyobb töltéstől van távolabb. Ez a D jelű pont.

Számítsuk ki azt is, hogy a D pont és a 4Q töltés x távolsága hányszorosa, a D pont és –Q töltés y távolságának. A D pontba helyezett töltést q-val jelöljük.Felírjuk a két erő egyenlőségét, felhasználva Coulomb törvényéti:

Ebből x = 2y.Figyelemre méltó, hogy a két távolság aránya független q töltéstől

- 44 -

A B C D

+ 4 Q - Q

19. Egy nagyobb és egy kisebb tömegű test ugyanazon egyenes mentén, azonos irányban, egyenletesen mozog. A kisebb tömegű test utoléri a nagyobb tömegűt, s tökéletesen rugalmatlanul ütköznek. Mit mondhatunk a közös sebességről?A) A közös sebesség a két test ütközés előtti sebességének számtani közepe.B) A közös sebesség a kisebb tömegű test ütközés előtti sebességéhez esik közelebb.C) A közös sebesség a nagyobb tömegű test ütközés előtti sebességéhez esik közelebb.(2008. október)

Minden matematikai apparátus nélkül, józan megfontolással kiválasztható a helyes válasz.Például úgy, hogy az ütköző testek tömegét gondolatban szélsőségesen eltérőnek választjuk, akkor rájövünk, hogy a nagyobb tömegű test jobban „beleszól” az ütközés utáni közös sebességbe, mint a kisebbik. Tehát a C a jó válasz.

Matematikai módszerekkel is erre jutunk. Nézzük:Az tömegű, sebességű kocsit utoléri az tömegű sebességű kocsi. Ütközéskor összekapcsolódnak, és közös sebességgel haladnak tovább. Mekkora a közös u sebesség?A két ütköző test zárt rendszert alkot; ezért a rendszer ütközés előtt impulzusa ugyanannyi, mint az ütközés utáni impulzus.

Ebből az ütközés utáni közös u sebesség:

Matematikából műveltebb tanulók ebben az összefüggésben ráismernek a súlyozott közép képletére. A közös u sebesség nem és sebességek számtani közepe, hanem ezeknek a tömegekkel súlyozott számtani közepe. A súlyozott középről pedig tudjuk, hogy a nagyobb súlyúhoz (sebességhez) van közelebb.

Kevésbé képzett tanulók sincsenek reménytelen helyzetben: Villámgyorsan rögtönözhetnek egy numerikus feladatot, azt megoldva megkapják a helyes választ.

- 45 -

20. Egy testet felfelé lökünk egy súrlódásos lejtőn, majd hagyjuk visszacsúszni az eredeti helyére. Melyik útszakasz megtétele tart tovább?A) A felfelé mozgás tart tovább.B) A lefelé mozgás tart tovább. C) Egyenlő ideig tart a két útszakasz megtétele.(2008. október)

Először válaszoljuk meg a kérdést súrlódásmentes lejtő esetén!

Felfelé menet lassuló, lefelé gyorsuló mozgást végez a test. A felfelé lassulás mértéke ugyanakkora, mint a lefelé lassulásé, a mozgás időben szimmetrikus, megfordítható.A két menetidő ilyenkor egyenlő.

Súrlódásos lejtő esetén a mozgás nem szimmetrikus.

felfelé a mozgás lassulását a lejtőirányú erő és a súrlódási erő összege okozza. lefelé a mozgás gyorsulását a lejtőirányú erő és a súrlódási erő különbsége okozza.

Lefelé tehát kevésbé gyorsul, mint felfelé lassul, ezért lefelé nagyobb a menetidő, mint felfelé.(Elég nagy súrlódás esetén az is lehet, hogy a test le sem csúszik a lejtőn, tehát végtelen nagy a menetideje)

Pontosabb elemzést tesz lehetővé, ha matematikai összefüggésekkel dolgozunk.Illik tudni, hogy az hajlásszögű lejtőn mozgó m tömegű testre ható lejtő irányú erők, ha a test és a lejtő közötti súrlódási tényező . az lefelé irányuló erő az súrlódási erő, a test sebességével ellentétes irányú erő.

A felfelé mozgó test lassulása.

A lefelé mozgó test gyorsulása:.

A zérus kezdő- vagy végsebességű testekre érvényes négyzetes úttörvény: szerint az

azonos s utak esetén a két menetidő aránya .

A gyökjel alatti kifejezés számlálója kisebb, mint a nevező, tehát : lefelé nagyobb a menetidő, mint felfelé. A feladat egyszerűbben diszkutálható, ha a gyökjel törtet cos -val egyszerűsítjük:

=

Diszkusszió:1. Súrlódásmentes ( ) esetben a tört értéke 1, a két menetidő egyenlő2. Súrlódásos esetben a feladatnak csak akkor van értelme, ha a tört pozitív. Ennek feltétele:

Ha ez nem teljesül, akkor a test nem csúszik le a lejtőn

- 46 -

21. A grafikon A és B pontja adott mennyiségű oxigéngáz két állapotát jellemzi. Melyik állapotban magasabb a hőmérséklet?

21a. ábra

A) Az A pontban.B) A B pontban.C) Azonos.D) Kevés az adat, nem dönthető el.(2005. május)

A p-V diagramban az állandó hőmérsékletű helyek egyenlőszárú hiperbolák mentén találhatók: ezek az izotermák. A magasabb hőmérséklethez tartozó izotermák a diagramban feljebb találhatók, tehát a B a helyes válasz.

Ha megadjuk az A és B pontok koordinátáit, akkor megkérdezhetjük a két ponthoz tartozó hőmérsékletetek arányát is. Legyenek az egyes pontokhoz tartozó nyomás és térfogat adatok:

bar liter, bar, liter.

21b ábra.

Keressük a két állapothoz tartozó és hőmérsékletek arányát.

- 47 -

p

A

B

V

p

A

B

V

PB

PA

VBVA

Az egyesített gáztörvényt felírva:

Ebből a keresett arány:

- 48 -