Inecuaciones

Valor Absoluto

Silvestre García O.

APRENDIZAJES ESPERADOS

• Aplicar las propiedades de las desigualdades en la resolución de ejercicios de inecuaciones.

• Representar soluciones de una inecuación a través de intervalos, conjuntos y representación gráfica.

• Resolver inecuaciones con valor absoluto con una incógnita.

Contenidos1. Desigualdades

1.1 Definición1.2 Propiedades

2. Intervalos

2.1 Intervalo abierto2.2 Intervalo cerrado

2.3 Intervalo semi-abierto o semi-cerrado2.4 Intervalos indeterminados

3. Inecuaciones lineales y cuadráticas4. Inecuaciones con valor absoluto

1.3 Operaciones

1. Desigualdades

Una desigualdad es una comparación entre "a" y "b" tal que:

1.1. Definición:

a > b Se lee "a" mayor que "b", cuando la diferenciaa - b es positiva

a < b Se lee "a" menor que "b", cuando la diferencia a - b es negativa.

La simbología utilizada es: < Menor que> Mayor que≤ Menor o igual que≥ Mayor o igual que

1.2. Propiedades (1) • Una desigualdad mantiene su sentido cuando se suma o

se resta un mismo número a cada miembro de la desigualdad.

Ejemplos:

Si a ≤ bentonces:

a + c ≤ b + c

(Sumando 2 a cada lado de la desigualdad)

5 < 85 + 2 < 8 + 2

a)

7 < 10

(Restando 3 a cada lado de la desigualdad)

12 > 8b)12 - 3 > 8 - 3

9 > 5

Es decir:

• Una desigualdad mantiene su sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor positivo, o se dividen por un mismo divisor, también positivo. Es decir:

Ejemplos:a) < (Multiplicando por 2 cada lado de la

desigualdad) <∙ 2 ∙ 2

37

65

65

37

67

12 5

<

b) 160 > 24(Dividiendo por 8 cada lado de la desigualdad) 24

8160 8

>

20 > 3

1.2. Propiedades (2)

a ≤ bentonces:

a . c ≤ b . c

Si: c > 0y

• Una desigualdad cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor negativo, o se dividen por un mismo divisor, también negativo.

Ejemplos:a) <

(Multiplicando por -2 cada lado de la desigualdad) >∙ -2 ∙ -2

6565

37

-6 7

-12 5

>

37

b) 160 > 24 (Dividiendo por -8 cada lado de la desigualdad) 24

-8160 -8

<

-20 < -3

1.2. Propiedades (3)

a ≤ bentonces:

a . c ≥ b . c

Si: c < 0y

2. IntervalosLos intervalos son subconjuntos de los números reales que se pueden representar gráficamente en la recta numérica.

2.1. Intervalo abierto

Incluye a todos los reales comprendidos entre a y b, sin incluir a “a”, ni “b”.

] a,b [ = { x Є IR / a < x < b }

a b-∞ +∞

Gráficamente:

Observación: ] a,b [ = (a,b)

2.2. Intervalo cerrado

Incluye a todos los reales comprendidos entre a y b, incluyendo a “a” y “b”.

[ a,b ] = { x Є IR / a ≤ x ≤ b }

a b-∞ +∞

Gráficamente:

2.3. Intervalo semi-abierto o semi-cerrado

Incluye a todos los reales comprendidos entre a y b, incluyendo a “a” pero no a “b”.Gráficamente:

I. [ a,b [ = { x Є IR / a ≤ x < b }

Incluye a todos los reales comprendidos entre a y b, no incluyendo a “a”, pero sí a “b”.Gráficamente:

II. ] a,b ] = { x Є IR / a < x ≤ b }

a b-∞ +∞

a b-∞ +∞

2.4. Intervalos indeterminados

Incluye a todos los reales mayores o iguales que “a”

I. [ a,+∞ [ = { x Є IR / x ≥ a }

a-∞ +∞

Incluye a todos los reales mayores que “a”

II. ] a,+∞ [ = { x Є IR / x > a }

a-∞ +∞

Incluye a todos los reales menores o iguales que “b”

III. ]-∞, b ] = { x Є IR / x ≤ b }

b-∞ +∞

IV. ]-∞, b [ = { x Є IR / x < b }

Incluye a todos los reales menores que “b”

b-∞ +∞

V. ]-∞, +∞ [ = IR

+∞-∞IR

El infinito nunca se incluye dentro de un intervalo y además nunca se escribe en la desigualdad.

3. Inecuación linealCorresponde a una desigualdad condicionada, es decir, se busca el conjunto de valores que al reemplazarlos en la variable, cumpla con la desigualdad.

Ejemplos:a) 7

√5-xLa expresión representa un número real si:

5 - x > 05 > x

El conjunto solución será:

5-∞ +∞

C.S.= ] -∞, 5 [Gráficamente:

x2

6x -2 5

≥ 1- (Multiplicando por 10)b)

6x -2 5

≥ x2

-10 ∙ 1010 ∙

2(6x – 2) ≥ 5x - 10

12x – 4 ≥ 5x - 10

(Simplificando)

(Desarrollando)

12x – 5x ≥ 4 - 10

7x ≥ -6

7x ≥ -6

,+∞C.S.= 7 -6

-∞ +∞

7 -6

Gráficamente:

c) 7x – 8 ≥ 4x – 16 + 3x + 47x – 8 ≥ 7x - 12

– 8 ≥ - 12

En este caso, la incógnita se ha eliminado. Sin embargo, la desigualdad resultante es verdadera. Esto significa que la inecuación se cumple para cualquier x en los reales.

+∞-∞IR

Gráficamente:

d) 6x + 11 2

< 3x / ∙ 2

6x + 11 < 6x

11 < 0

En este caso, la incógnita también se ha eliminado; pero la desigualdad resultante es FALSA.

Esto significa que la desigualdad no se cumple, ya que NO existe un x real que satisfaga la inecuación.El conjunto solución de la inecuación es el conjunto vacío:

En algunos casos, puede interesar conocer la diferencia entre los datos recogidos y un número en particular, sin importar que esta diferencia sea positiva o negativa.

Por ejemplo, se puede obtener la distancia de los siguientes puntos al valor de 2:

4. Inecuaciones con valor absoluto

0 4-∞ +∞

x=2

La distancia se expresa de la forma: |x – 2|

Definición de Valor Absoluto

0 si ,0 si ,

xxxx

x

Utilizando definición, es posible resolver ecuaciones con valor absoluto. No obstante, es necesario comprobar si el conjunto solución satisface la ecuación resuelta.

Ejemplos:

xx

xx

x

x

243 .4

331 .3

14

2 .2

312 .1

1.

0

a b

b b a b

Propiedades del Valor Absoluto

a b

a b a b

2.

22

22

baba

baba

3.

Si

Entonces:

Si

Entonces:

Si

Entonces:

Ejemplo 1

• Resuelve: | x + 5 | ≤ 10-10 ≤ x + 5 ≤ 10

-10 + - 5 ≤ x ≤ 10 + – 5- 15 ≤ x ≤ 5

• La solución gráfica será:

-15 -10 -5 0 5 10 15

Ejemplo 2

• Resuelve: | -3x + 6 | > 18

-3x + 6 < -18 ó -3x + 6 > 18 -3x < -24 -3x > 12 x > 8 x < -4

• La solución gráfica será:

-4 -2 0 2 4 6 8