ACTIVADOR COGNITIVO

GUIA DE APRENDIZAJE

Saber- Saber: identifica las propiedades de la potenciación y la radicación, además

reconoce las líneas notables del triángulo y las expresiones algebraicas y como

resolver problemas con ellas.

Saber Hacer: resuelve situaciones que impliquen el uso de las propiedades de la potenciación-radicación, líneas notables y expresiones algebraicas.

Saber Ser: resuelve situaciones de contexto que impliquen el uso de los temas

vistos en clase.

En alguna ocasión, un profesor propone a sus estudiantes un trato al estar cansados de hacer

aseo: les colaboraría a estos haciendo el aseo, le pagaban ente todos $50, se comenzaron a

entusiasmar con el trato, pero el profesor añadió algo más a la condición: comenzaría el lunes y la

forma en que le pagarían seria así:

lunes martes miércoles jueves viernes lunes Martes miércoles

50 100 200 400 800 1600 3200 6400

Y así sucesivamente, los estudiantes todavía estaban convencidos de que el trato los

podría beneficiar pero

a. ¿El trato tiene alguna trampa?

b. ¿Cuál es?

c. ¿Cómo se presentaría los primeros 10 valores en forma de potencia?

Prerrequisitos y preconceptos:

Para trabajar esta guia, el estudiante debe manejar como minimo:

Potenciacion y radicacion basica.

Propiedades de la suma y multiplicacion.

La clasificacion de los triangulos.

Construccion de triangulos.

Nueva Información:

Y DE NUEVO POTENCIA

La potenciación es el producto de varios factores iguales. Para abreviar la escritura, se escribe el factor que se repite y en la parte superior derecha del mismo se coloca el número de veces que se multiplica.

Subdirección de Educación Departamento de Educación Contratada Colegio CAFAM “Bellavista” CED

Guía No: 2

Docente: JUAN CARLOS RIAÑO

Asignatura:

matemáticas

Pensamiento:

Lógico- matemático

Grado: séptimo A

Cuando se multiplica un número natural por sí

mismo, por ejemplo, , hay otra manera de

expresar ese producto:

Y se lee "3 al cuadrado", o "3 a la 2".

La costumbre de decir "3 al cuadrado" es muy antigua, y la razón por la cual se dice así, tiene que ver con la geometría.

Si se tiene un cuadrado cuyo lado mide 3

unidades, su área es :

El área de cualquier cuadrado es igual al lado multiplicado por sí mismo, es decir, al cuadrado de la medida de su lado.

En los tiempos de la Grecia Antigua, gran parte de las ideas matemáticas eran estudiadas a través de la Geometría, y por eso, cuando se quería encontrar una representación geométrica de algo tan

sencillo como el producto de dos números, digamos, , lo que hacían era dibujar un rectángulo

de lados y , y así, veían el producto como el área del rectángulo que acababan de dibujar.

De la misma manera, el producto era visto como el área de un cuadrado de lado , y esta

manera de ver las cosas continuó por mucho tiempo, de manera que el número , se siguió llamando "el cuadrado de 5", o "5 al cuadrado".

También se tiene que , que es igual a , se lee: "2 al cubo", y la razón para esto proviene también de la visión que tenían los griegos de la Matemática asociada a la Geometría.

Si tenemos un cubo de arista 2:

su volumen es igual a . Es por esto que aún hoy se lee "2 al cubo", o " 2 elevado al cubo''. El proceso de multiplicar a un número por sí mismo una cierta cantidad de veces, se

llama potenciación.

En el caso de , se tiene que es llamado la BASE, y es el número que se multiplica por sí mismo.

es el EXPONENTE, el número de veces que se multiplica a la base por sí misma.

Debe observarse con cuidado que :

pues

y La potenciación tiene unas propiedades muy importantes que se estudiarán a continuación. Propiedad 1

Si se multiplican dos potencias con igual base,

como por ejemplo: se está realizando lo siguiente:

Como el producto es asociativo, esto se puede expresar así:

y esto es igual a Por eso, se puede decir que

Propiedad 2

La segunda propiedad se refiere a la potencia de una potencia, es decir, la operación de elevar un número a una potencia, y el resultado se eleva a otra potencia, por ejemplo:

Según la primera propiedad ya vista,

En resumen,

Propiedad 3

Al realizar el siguiente producto, elevado a una potencia:

se tiene que la última igualdad es cierta porque el producto es conmutativo y asociativo, y finalmente

De manera que se tiene:

Propiedad 4 La propiedad que sigue ahora es muy sencilla, pero muy importante:

Todo número elevado al exponente es igual a . Por ejemplo:

No importa cuál sea la base, si el exponente

es , se obtiene como resultado.

La razón es muy sencilla: si debe cumplirse siempre la propiedad 1, entonces , por

ejemplo:

Es decir, multiplicar a por es lo mismo que multiplicarlo por , porque al final se obtiene

como resultado el mismo número . Eso quiere

decir que . Se puede observar ahora lo que ocurre cuando se multiplican potencias con distintas bases y distintos exponentes.

En este caso, no hay ninguna propiedad especial de la potenciación que permita escribir este producto de potencias de otra manera que facilite el cálculo.

Sin embargo, hay casos de multiplicación de potencias de distinta base, en los cuales sí se puede aplicar alguna propiedad de la potenciación, como el siguiente:

Aún siendo distintas las bases, una de ellas es potencia de la otra ( ), entonces la expresión sí se puede escribir de una manera más sencilla, utilizando las propiedades de la potenciación:

Ahora te invitamos a que tomes una hoja de papel y escribas las siguientes expresiones de manera distinta a la dada, usando las propiedades de la potenciación estudiadas hasta ahora:

Se han visto hasta ahora propiedades de la potenciación que se refieren a productos de potencias. Se mostró cómo una expresión se puede escribir de una manera más sencilla usando estas propiedades. Es muy natural que se puedan hacer esos cambios, porque la potenciación no es más que una forma abreviada de expresar una multiplicación, y al multiplicar potencias, lo que se hace es multiplicar productos, es decir se está siempre multiplicando.

En cambio, cuando se combina la potenciación con la suma o la resta, se están realizando operaciones diferentes y NO siempre se puede aplicar alguna de las propiedades vistas hasta ahora. Por ejemplo:

Si se quieren sumar dos potencias de igual base:

Se observa que esta operación indica lo siguiente:

Aquí están expresadas dos operaciones: la suma y el producto. La manera más sencilla y directa de realizar estas operaciones es simplemente calcular primero las potencias y luego sumarlas. De manera que la expresión más sencilla para la operación anterior es

EN LA VIDA EXISTEN LOS OPUESTOS: LA RADICACION.

Se llama radicación a la operación indicada por toda expresión matemática que consista en una potencia

con exponente racional, no entero. Se utiliza el símbolo , al cual se llama raíz. En los siguientes ejemplos se observa cómo será utilizado este símbolo: Toda la expresión que se ubica dentro del símbolo de raíz es llamada cantidad subradical, y el número que se ubica arriba y a la izquierda de la raíz es llamado el índice.

Por ejemplo, en la expresión se tiene Índice=3 y Cantidad subradical=2

Cuando el índice es 2, por lo general éste se omite. Es decir, significa y se lee "raíz cuadrada de 7''. Es importante recordar (potenciación con base en Q y exponente en Z ) que siempre podemos expresar una potencia con exponente negativo como el inverso de una potencia con exponente positivo.

Por ejemplo:

(¿Por qué?)

(¿Por qué?)

tal como se escribió al principio.

Otro caso en el que debe tenerse cuidado es en la suma de potencias como las siguientes:

Es muy importante convencerse para siempre de que

La manera más segura de convencerse es calculando ambas operaciones:

En general, dados cualesquiera números racionales a,b,m,n, las siguientes igualdades son válidas:

Así, algunos de los ejemplos anteriores se pueden escribir de diferentes maneras:

1.

2.

3.

ó

Las expresiones radicales como la del ejercicio 2 de la interactividad anterior pueden simplificarse transformando el exponente, que es una fracción impropia, en suma de una fracción propia más un número entero. Por ejemplo:

Es decir

Hay muchos casos de expresiones radicales que se pueden simplificar hasta el punto en que la raíz desaparece; por ejemplo:

Pero como , se tiene que .

En casos como estos, se dice que se trata de una raíz exacta. Y AHORA UNA NUEVA IDEA: EL ALGEBRA

En lenguaje álgebraico nace en la civilización musulmana en el período de al–khwarizmi, al cual se le considera el padre del álgebra. el lenguaje álgebraico consta principalmente de las letras de alfabeto y algunos vocablos griegos. La principal función de lenguaje álgebraico es estructurar un idioma que ayude a generalizar las diferentes operaciones que se desarrollan dentro de la aritmética, por ejemplo: si queremos sumar dos números cualesquiera basta con decir a + b; donde la letra a indique que es un número cualquiera de la numeración que conocemos, b de la misma manera que a significa un número cualquiera de la numeración.

También el lenguaje álgebraico ayuda mantener relaciones generales para razonamiento de problemas a los que se puede enfrentar cualquier ser humano en la vida cotidiana.

Lenguaje Álgebraico.

Para poder manejar el lenguaje algebraico es necesario comprender lo siguiente:

Se usan todas las letras del alfabeto. Las primeras letras del alfabeto se determinan por regla general como constantes, es

decir, cualquier número o constante como el vocablo pi. Por lo regular las letras X., Y y Z se utilizan como las incógnitas o variables de la

función o expresión algebraica.

Qué es una ecuación

Una ecuación dice que dos cosas son iguales. Tendrá un signo de igualdad "=", por ejemplo:

x + 2 = 6

Lo que esta ecuación dice: lo que está a la izquierda (x + 2) es igual que lo que está en la

derecha (6)

Así que una ecuación es como una afirmación "esto es igual a aquello"

Partes de una ecuación

Para que la gente pueda hablar de ecuaciones, hay nombres para las diferentes partes (¡mejor que

decir "esta cosa de aquí"!)

Aquí tienes una ecuación que dice 4x-7 es igual a 5, y todas sus partes:

Una variable es un símbolo para un número

que todavía no conocemos. Normalmente es

una letra como x o y.

Un número solo se llama una constante.

Un coeficiente es un número que está

multiplicando a una variable (4x significa 4 por

x, así que 4 es un coeficiente)

Un operador es un símbolo (como +, ×, etc)

que representa una operación (es decir, algo

que quieres hacer con los valores).

Un término es o bien un número o variable

solo, o números y variables multiplicados

juntos.

Una expresión es un grupo de términos (los

términos están separados por signos + o -)

Ahora podemos decir cosas como "esa expresión sólo tiene dos términos", o "el segundo término

es constante", o incluso "¿estás seguro de que el coeficiente es 4?"

¡Exponente!

El exponente (como el 2 en x2) dice cuántas veces usar el valor

en una multiplicación.

Ejemplos:

82 = 8 × 8 = 64

y3 = y × y × y

y2z = y × y × z

Los exponentes hacen más fácil escribir y usar muchas multiplicaciones

Ejemplo: y4z

2 es más fácil que y × y × y × y × z × z, o incluso yyyyzz

Polinomio

Un ejemplo de un polinomio: 3x2 + x - 2

Un polinomio puede tener constantes, variables y los exponentes 0,1,2,3,...

Y se puede combinar haciendo sumas, restas y multiplicaciones... ¡pero no divisiones!

Monomio, binomio, trinomio

Hay nombres especiales para polinomios con 1, 2 o 3 términos:

Términos similares

"Términos similares" son términos cuyas variables (y sus exponentes como el 2 en x2) son los

mismos.

En otras palabras, términos que "se parecen". (Nota: los coeficientes pueden ser distintos)

Ejemplos:

Términos Por qué son "similares"

7x x -2x porque las variables son todas x

(1/3)xy2 -2xy

2 6xy

2 porque las variables son todas xy

2

Puedes sumar los términos similares para hacer un solo término:

Ejemplo: 7x + x = 8x

Términos no similares

Si no son términos similares, simplemente se les llama "términos no similares":

Términos Por qué no son "similares"

-3xy -3y 12y2

← estos son términos no similares

(xy, y e y2 son todos diferentes)

Todo lo que necesitas saber...

Todas las "Leyes de los Exponentes" (o también "reglas de los exponentes") vienen de tres ideas:

ACCESO A LA INFORMACION

El exponente de un número dice multiplica el número por sí mismo tantas veces

Lo contrario de multiplicar es dividir, así que un exponente negativo significa dividir

Un exponente fraccionario como 1/n quiere decir hacer la raíz n-

ésima:

Y DE NUEVO EL TRIANGULO

Líneas notables del triángulo:

Integración: Describe investiga ejemplos en donde se usen las expresiones algebraicas

Recordación:

Con tus propias palabras, escribe un resumen sobre los temas vistos en esta guía

Refinamiento:

Construye un friso sobre los triángulos (clasificación, líneas notables y teorema de Pitágoras)

APLICACIÓN

TRABAJO INDIVIDUAL

1. Resuelve los siguientes problemas usando las propiedades de la potenciación.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

2. Resuelve los siguientes ejercicios aplicando las propiedades de la radicación

3. Expresa en forma algebraica las siguientes frases:

a. La suma de dos números.

b. La diferencia de dos números aumentados en 18.

c. El triple de un número menos 6.

d. Un numero par más 100.

f. Las dos terceras partes de la raíz cuadrada de un número.

g. La raíz cuadrada del triple de un número.

h. L raíz cúbica de la suma de los cuadrados de dos números.

4. Completa la siguiente tabla:

Monomio signo coeficiente Parte literal Grado absoluto

√

5. Escribe una expresión algebraica que represente el perímetro y el área para cada figura:

6. determina el perímetro de cada figura sabiendo que a=3, b= 2 y c= ½

Construcción en Pequeño Grupo:

ACCESO A LA INFORMACION

Lee el siguiente texto y responde las preguntas:

RECAPITULACIÓN

Socialización al Gran Grupo:

1. Cada relator del pequeño grupo presenta sus relatos y explica.

2. Por medio de una mesa redonda, se da respuesta a los puntos del taller de preguntas

trabajado en clase, de tal manera que cada estudiante registre en su cuaderno las

correcciones pertinentes.

Verificación:

1. Revisión de los puntos de la guía

2. Revisión del taller trabajado en grupo, al azar se escogerá un cuaderno por cada pequeño

grupo y la valoración alcanzada será para todo el equipo.

3. Revisión de la coevaluación, reflexión y regulación

Coevaluación: Puntos a considerar en la coevaluación a tus compañeros. Anota el nombre

de cada uno de tus compañeros de equipo y evalúalos (Sí/No) tomando en consideración los

siguientes aspectos:

1. Estuvo al pendiente del proceso de la tarea del equipo, comunicándose oportunamente y participando activamente sugiriendo ideas, compartiendo conocimientos e ideas. 2. Demostró responsabilidad en el desempeño del grupo, colocando sus avances oportunamente, y preocupándose por el enriquecimiento y mejora de la tarea. 3. Se comunicaba en forma clara, concisa y cordial con el grupo, aceptando las diferencias de opinión y estableciendo sus propios puntos de vista. 4. Estimulo la reflexión acerca del proceso del grupo haciendo un análisis del desempeño del equipo con el propósito de mejorarlo.

Reflexión: resuelve

1. Tres aspectos nuevos que he aprendido en esta unidad son.... 2.- Identifica al menos dos dificultades que tuviste, desde tu perspectiva, para el buen

desarrollo de tu aprendizaje. 3.- Identifica al menos un área de oportunidad, en cuanto a tu desempeño como persona, (o

un aspecto en el que debas mejorar). 4. Tres valores que considero haber trabajado en este tiempo son... 5. Mi participación en el equipo la considero....

Regulación:

1. Escribe los aspectos a mejorar en la guía 2. Identifica las fortalezas de la guía 3. Los comentarios generales que quisiera expresar al maestro “He lamentado profundamente no haber avanzado al menos lo suficiente como para comprender algo de

los grandes principios fundamentales de las matemáticas, pues los hombres que los dominan

parecen poseer un sexto sentido” -Charles Darwin.