Método Numérico Act 11 Reconocimiento Unidad 3

1. Deacuerdo a la lectura : El nivel de exactitud requerido puede variar enormemente de unos casos a otros. correcponde al concepto

Seleccione una respuesta.

a. Exactitud

b. Precisión

c. Aproximación

d. Redondeo

2. Métodos de Runge-Kutta Los Runge-Kutta no es solo un método sino una importante familia de métodos iterativos tanto implícitos como explícitos para aproximar las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O´s), estas técnicas fueron desarrolladas alrededor de 1900 por los matemáticos alemanes Carl David Tolmé Runge y Martin Wilhelm Kutta

El clásico método Runge-Kutta de cuarto orden

Un miembro de la familia de los métodos Runge-Kutta es usado tan comúnmente que a menudo es referenciado como “RK4” o como “el método Runge-Kutta”.

Definamos un problema de valor inicial como:

y’ = f(t,y), y(t0) = y0

Entonces el método RK4 para este problema está dado por la siguiente ecuación:

Así, el siguiente valor (yn+1) es determinado por el presente valor yn mas el producto del tamaño del intervalo ( h ) por una pendiente estimada. La pendiente es un promedio ponderado de pendientes:

k1 es la pendiente al principio del intervalo;

k2 es la pendiente en el punto medio del intervalo, usando k1 para determinar el valor de y en el punto tn + h/2 usando el método de Euler

k3 es otra vez la pendiente del punto medio, pero ahora usando k2 para determinar el valor de y

k4 es la pendiente al final del intervalo, con el valor de y determinado por k3

Promediando las cuatro pendientes, se le asigna mayor peso a las pendientes en el punto medio:

El método RK4 es un método de cuarto orden lo cual significa que el error por paso es del orden de h5, mientras que el error total acumulado tiene el orden h4

PREGUNTA:

El método RK4 es un método de cuarto orden lo cual significa que el error por paso es del orden de h5, mientras que el error total acumulado tiene el orden

Seleccione una respuesta.

a. h dos

b. h tres

c. h cinco

d. h cuatro

3. En análisis numérico , el Método de Romberg genera una matriz triangular cuyos elementos son estimaciones numéricas de la integral definida siguiente:

Usando la extrapolación de Richardson de forma reiterada en la regla del trapecio . El método de Romberg evalúa el integrando en puntos equiespaciados del intervalo de integración estudiado. Para que este método funcione, el integrando debe ser suficientemente derivable en el intervalo, aunque se obtienen resultados bastante buenos incluso para integrandos poco derivables. Aunque es posible evaluar el integrando en puntos no equiespaciados, en ese caso otros métodos como la cuadratura gaussiana o la cuadratura de Clenshaw–Curtis son más adecuados.

Método

El método se define de forma recursiva así:

o

donde

La cota superior asintótica del error de R(n,m) es:

O (hn2m+1)

La extrapolación a orden cero R(n,0) es equivalente a la Regla del trapecio con n + 2 puntos. a orden uno R(n,1) es equivalente a la Regla de Simpson con n + 2 puntos.

Cuando la evaluación del integrando es numéricamente costosa, es preferible reemplazar la interpolación polinómica de Richardson por la interpolación racional propuesta por Bulirsch & Stoer.

Ejemplo

Como ejemplo, la se integra la función gaussiana en el intervalo [0,1], esto es la función error evaluada en 1, cuyo valor es erf (1) = 0,842700792949715. Se calculan los elementos de la matriz triangular fila a fila, terminando los cálculos cuando la diferencia entre las dos últimas filas es menor que 1x10-8

0.77174333

0.82526296 0.84310283

0.83836778 0.84273605 0.84271160

0.84161922 0.84270304 0.84270083 0.84270066

0.84243051 0.84270093 0.84270079 0.84270079 0.84270079

El resultado en la esquina inferior derecha de la matriz triangular es el resultado correcto con la precisión deseada. Nótese que este resultado se deriva de aproximaciones mucho peores obtenidas con la regla del trapecio mostrado aquí en la primera columna de la matriz triangular.

PREGUNTA:

Para que este método de Romberg funcione, el integrando debe ser suficientemente:

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a. Integrable

b. Sumable

c. Antidiferenciable

d. Diferenciable

4. REGLAS DE SIMPSON.

Además de aplicar la regla trapezoidal con segmentos cada vez más finos, otra manera de obtener una estimación más exacta de una integral, es la de usar polinomios de orden superior para conectar los puntos.

A las fórmulas resultantes de calcular la integral bajo estos polinomios se les llama reglas de Simpson.

REGLA DE SIMPSON DE 1/3.

La regla de Simpson de 1/3 resulta cuando se sustituye un polinomio de segundo orden en la ecuación:

Si a y b se denominan como x0 y x2, y f2 (x) se representa mediante un polinomio de Lagrange de segundo orden, entonces la integral es:

Después de integrar y de reordenar términos, resulta la siguiente ecuación:

REGLA DE SIMPSON 1/3 DE SEGMENTOS MULTIPLES.

Así como la regla trapezoidal, la regla de Simpson se mejora dividiendo el intervalo de integración en segmentos de igual anchura.

h=(b-a)/n

La integral total se representa como:

Sustituyendo la regla de Simpson en cada una de las integrales individuales se obtiene:

reordenando los términos, se obtiene:

REGLA DE SIMPSON DE 3/8.

De manera similar a la derivación de la regla trapezoidal y a la regla de Simpson de 1/3, se ajustan polinomios de Lagrange de tercer orden a cuatro puntos a integrar;

para obtener

En donde h=(b-a)/3. A esta ecuación se le llama regla de Simpson de 3/8 porque h es un múltiplo de 3/8. Esta es la tercera regla cerrada de integración de Newton-Cotes.

REGLA DE SIMPSON 3/8 MULTIPLES.

La regla de Simpson de 1/3 es, en general, el método de preferencia ya que alcanza exactitud de tercer orden con tres puntos en vez de los de cuatro puntos necesarios para la versión de 3/8.

No obstante, la regla de 3/8 tiene utilidad en aplicaciones de segmentos múltiples cuando el número de segmentos es impar.

Para una estimación de cinco segmentos una alternativa es la de aplicar la regla de Simpson de 1/3 a los primeros segmentos y la regla de Simpson de 3/8 a los últimos tres.

De esta manera, se obtiene una estimación con exactitud de tercer orden a través del intervalo completo

PREGUNTA:

Teniendo en cuenta la lectura anterior se conoce que:

La regla de Simpson 1/3 de segmentos múltiples, así como la regla trapezoidal, la regla de Simpson se mejora dividiendo el intervalo de integración en segmentos de igual:

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a. Anchura

b. Separación

c. Espacio

d. Trayecto

5. INTEGRACIÓN NUMÉRICA

INTRODUCCIÓN

En ingeniería se presenta con frecuencia la necesidad de integrar una función que sería, en general, de una de las tres formas siguientes:

Una función simple y continua tal como un polinomio, una función exponencial o una función trigonométrica.

Una función complicada y continua que es difícil o imposible de integrar directamente.

Una función tabulada en donde los valores de X y f(X) se dan en un conjunto de puntos discretos, como es el caso a menudo, de datos experimentales.

En el primer caso, la integral simplemente es una función que se puede evaluar fácilmente usando métodos analíticos aprendidos en el cálculo. En los dos últimos casos, sin embargo, se deben emplear métodos aproximados.

Las fórmulas de integración de Newton-Cotes son los esquemas más comunes dentro de la integración numérica. Se basan en la estrategia de reemplazar una función complicada o un conjunto de datos tabulares con alguna función aproximada que sea más fácil de integrar.

La integral se puede aproximar usando una serie de polinomios aplicados por partes a la función o a los datos sobre intervalos de longitud constante.

Se dispone de las formas abierta y cerrada de las fórmulas de Newton-Cotes. Las formas cerradas son aquellas en donde los puntos al principio y al final de los límites de integración se conocen. Las fórmulas abiertas tienen los límites de integración extendidos más allá del rango de los datos. Las fórmulas abiertas de Newton-Cotes, en general, no se usan en la integración definida. Sin embargo, se usan extensamente en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias.

REGLA DEL TRAPECIO

La regla del trapecio o regla trapezoidal es una de las fórmulas cerradas de Newton-Cotes.

Considérese la función f(X), cuya gráfica entre los extremos X = a y X = b se muestra en la fig. 1. Una aproximación suficiente al área bajo la curva se obtiene dividiéndola en n fajas de ancho ?X y aproximando el área de cada faja mediante un trapecio, como se indica en la figura.

Fig. 1

Llamando a las ordenadas Yi (i = 1, 2, 3,..., n+1), las áreas de los trapecios son:

El área total comprendida entre X = a y X = b está dada por:

Sustituyendo las ecuaciones. (1) en esta expresión se obtiene:

La cual recibe el nombre de Fórmula Trapezoidal, y se puede expresar como:

En esencia, la técnica consiste en dividir el intervalo total en intervalos pequeños y aproximar la curva Y = f(X) en los diversos intervalos pequeños mediante alguna curva más simple cuya integral puede calcularse utilizando solamente las ordenadas de los puntos extremos de los intervalos.

PREGUNTA:

La integral es igual a

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a. 2

b. Cero

c. e

d. 1

6. De acuerdo a la lectura anterior responda:

Las fórmulas de integración de Newton-Cotes son los esquemas más comunes dentro de la integración numérica, porque se basan en: la estrategia de reemplazar una función fácil o un conjunto de datos tabulares con alguna función aproximada que sea más dificil de integrar

Seleccione una respuesta.

a. La estrategia de reemplazar una función no facil sino complicada o un conjunto de datos tabulares con alguna función aproximada que sea más fácil (y no dificil) de integrar

b. La estrategia de reemplazar una función no facil sino complicada o un conjunto de datos tabulares con alguna función aproximada que sea más dificil de integrar

c. La estrategia de reemplazar una función facil o un conjunto de datos tabulares con alguna función aproximada que sea más dificil de integrar

d. La estrategia de reemplazar una función facil menos complicada o un conjunto de datos tabulares con alguna función aproximada que sea más fácil (y no dificil) de integrar