Aclaración de la Aclaración de la Paradoja de RussellParadoja de Russelly sus Variantesy sus Variantes, , concon Verdades Verdades LógicasLógicas

José Alfredo AmorJosé Alfredo AmorFacultad de Ciencias UNAMFacultad de Ciencias UNAM

jaam@fciencias.unam.mxjaam@fciencias.unam.mx

Si todos los maestros de lógica de Si todos los maestros de lógica de Huauchinango enseñan lógica a toda Huauchinango enseñan lógica a toda la gente de aquí que no se enseña la gente de aquí que no se enseña lógica a sí misma y sólo a esa . . .lógica a sí misma y sólo a esa . . .

¡Entonces, no hay maestros de ¡Entonces, no hay maestros de lógica en Huauchinango!lógica en Huauchinango!

TEMASTEMAS• ACLARAR

• PARADOJAS

• VERDADES LÓGICAS

• LA PARADOJA DE RUSSELL

• ACLARACIÓN DE LA PARADOJA

(una verdad lógica muy especial)

• VARIANTES DE LA PARADOJA

• TEOREMA DE CANTOR

• CONCLUSIONES

ACLARARACLARAR

VOLVER CLARO O TRANSPARENTE ALGO.

PONER EN CLARO ALGO O HACERLO MÁS PERCEPTIBLE

PARA COMPRENDERLO MEJOR.

PARADOJAPARADOJA

COSA EXTRAÑA O CONTRADICTORIA COSA EXTRAÑA O CONTRADICTORIA CON LA OPINIÓN COMÚN O CON LA OPINIÓN COMÚN O AAL L SENTIDO COMÚN DE LA GENTESENTIDO COMÚN DE LA GENTE

AFIRMACIÓN INVEROSÍMIL O AFIRMACIÓN INVEROSÍMIL O ABSURDA PARA LA INTUICIÓN ABSURDA PARA LA INTUICIÓN

QUE SE PRESENTA CON APARIENCIA QUE SE PRESENTA CON APARIENCIA DE VERDADERADE VERDADERA

Las paradojas son resultados contrarios a la Las paradojas son resultados contrarios a la opinión comúnopinión común. A primera vista parecían no . A primera vista parecían no problemáticos pero con un razonamiento problemáticos pero con un razonamiento adecuado nos llevan a una contradicción. adecuado nos llevan a una contradicción.

Son como los acertijosSon como los acertijos: parecen problemas : parecen problemas insolubles, pero siempre tienen solución, insolubles, pero siempre tienen solución, sólo es necesario entenderlas y aclararlas.sólo es necesario entenderlas y aclararlas.

Son argumentosSon argumentos que nos llevan a una que nos llevan a una contradicción con alguna suposición que contradicción con alguna suposición que inocentemente parecía correcta y clara a la inocentemente parecía correcta y clara a la intuición.intuición.

La intuición como facultad humana La intuición como facultad humana ayuda mucho en muchísimos casos,ayuda mucho en muchísimos casos,

pero obstaculiza en otrospero obstaculiza en otros Si un razonamiento impecable conduce a Si un razonamiento impecable conduce a

contradecir una intuición particular que uno tiene contradecir una intuición particular que uno tiene sobre algo, probablemente estará mal la intuición sobre algo, probablemente estará mal la intuición particularparticular. .

En un principio las paradojas pueden parecer En un principio las paradojas pueden parecer inexplicables, pero analizadas, entendidas y inexplicables, pero analizadas, entendidas y aclaradas, encontramos que son pruebas aclaradas, encontramos que son pruebas fehacientes de que nuestro patrón de intuición era fehacientes de que nuestro patrón de intuición era erróneo y debe ser modificado.erróneo y debe ser modificado.

Así pues, las paradojas son inferencias correctas Así pues, las paradojas son inferencias correctas en una teoría, pero que chocan fuertemente con en una teoría, pero que chocan fuertemente con

nuestra intuición o sentido común.nuestra intuición o sentido común.No son afirmaciones erróneas, sólo contradicen No son afirmaciones erróneas, sólo contradicen nuestras intuiciones pero serán estas últimas, las nuestras intuiciones pero serán estas últimas, las intuiciones, las equivocadas y las que tendremos intuiciones, las equivocadas y las que tendremos que cambiar. que cambiar. Esto puede ser difícil por dos razones: primero, Esto puede ser difícil por dos razones: primero, porque generalmente no está claro cuál de las porque generalmente no está claro cuál de las intuiciones supuestas nos llevó a la contradicción.intuiciones supuestas nos llevó a la contradicción.Segundo, porque generalmente no queremos Segundo, porque generalmente no queremos aceptar que nuestra clara intuición está aceptar que nuestra clara intuición está equivocada. Pero descubrir las intuiciones equivocada. Pero descubrir las intuiciones equivocadas y eliminarlas . . . .equivocadas y eliminarlas . . . .

¡¡Mejorará nuestra intuición!Mejorará nuestra intuición!

Muchas paradojas son germen de Muchas paradojas son germen de nuevas ideasnuevas ideas

Sólo necesitamos poder “ver más allá” para Sólo necesitamos poder “ver más allá” para aclararlas y mejorar nuestra intuición, logrando con aclararlas y mejorar nuestra intuición, logrando con ello un proceso heurístico que nos llevará a nuevos ello un proceso heurístico que nos llevará a nuevos descubrimientos. descubrimientos.

En general, convertir una aparente imposibilidad En general, convertir una aparente imposibilidad paradójica en una nueva posibilidad creativa, paradójica en una nueva posibilidad creativa, aclarando y desechando la concepción equivocada aclarando y desechando la concepción equivocada y cambiando la intuición, puede llevarnos a un y cambiando la intuición, puede llevarnos a un descubrimientodescubrimiento

Algunos ejemplos históricos de este proceso heurístico Algunos ejemplos históricos de este proceso heurístico son los siguientes:son los siguientes:

1. 1. La existencia de los inconmensurablesLa existencia de los inconmensurables:: a partir de la a partir de la paradoja, para los pitagóricos, de que el lado del cuadrado paradoja, para los pitagóricos, de que el lado del cuadrado fuera inconmensurable con su diagonal.fuera inconmensurable con su diagonal.

2. 2. La aceptación de las geometrías no euclidianasLa aceptación de las geometrías no euclidianas:: a partir a partir de las paradojas antieuclidianas en la geometría de las de las paradojas antieuclidianas en la geometría de las superficies curvas; cambiando la intuición equivocada de superficies curvas; cambiando la intuición equivocada de que la única geometría verdadera y posible era la euclidiana, que la única geometría verdadera y posible era la euclidiana, por el nuevo criterio de por el nuevo criterio de existenciaexistencia como equivalente de como equivalente de no no contradicción.contradicción.

3. 3. El concepto de conjunto infinito de DedekindEl concepto de conjunto infinito de Dedekind:: tomando tomando como definición, precisamente lo que se había considerado como definición, precisamente lo que se había considerado una paradoja desde Galileo hasta Bolzano: que un conjunto una paradoja desde Galileo hasta Bolzano: que un conjunto (infinito) fuera biyectable con un subconjunto propio.(infinito) fuera biyectable con un subconjunto propio.

4. 4. El concepto de verdad respecto a una interpretaciónEl concepto de verdad respecto a una interpretación que indica que un enunciado es verdadero si su que indica que un enunciado es verdadero si su significado se refiere a un hecho en la interpretación. significado se refiere a un hecho en la interpretación. Pero la verdad siempre se refiere al significado y debe Pero la verdad siempre se refiere al significado y debe excluirse la intuición equivocada de que el significado excluirse la intuición equivocada de que el significado pudiera referirse a su propia verdad, en cuyo caso se tiene pudiera referirse a su propia verdad, en cuyo caso se tiene la paradoja del mentiroso.la paradoja del mentiroso.

5. 5. La prueba del teorema de Gödel de incompletud de la La prueba del teorema de Gödel de incompletud de la aritmética formalaritmética formal, cambiando en la paradoja del , cambiando en la paradoja del mentiroso, el concepto “falso” por el de “indemostrable”, mentiroso, el concepto “falso” por el de “indemostrable”, con lo cual es posible construir un enunciado verdadero con lo cual es posible construir un enunciado verdadero en el modelo estándar de la aritmética, pero en el modelo estándar de la aritmética, pero indemostrable en la aritmética formal.indemostrable en la aritmética formal.

6. 6. El concepto iterativo de conjuntoEl concepto iterativo de conjunto, base intuitiva de la , base intuitiva de la axiomática de Zermelo-Fraenkel, cambiando la errónea axiomática de Zermelo-Fraenkel, cambiando la errónea concepción extensional de Russell, por la concepción concepción extensional de Russell, por la concepción iterativa o constructiva de conjuntoiterativa o constructiva de conjunto

VERDADES LÓGICASVERDADES LÓGICAS

• SON ENUNCIADOS VERDADEROS SON ENUNCIADOS VERDADEROS CON CUALQUIER SIGNIFICADOCON CUALQUIER SIGNIFICADO

• ES DECIR, SON VERDADES QUE NO ES DECIR, SON VERDADES QUE NO DEPENDEN DEL SIGNIFICADODEPENDEN DEL SIGNIFICADO

• SÓLO DEPENDEN DE SU FORMA SÓLO DEPENDEN DE SU FORMA LÓGICALÓGICA

EJEMPLOS DE VERDADES LÓGICASEJEMPLOS DE VERDADES LÓGICAS

•SI HAY UN PAYASO TODOS RÍEN O SI HAY UN PAYASO TODOS RÍEN O

SI TODOS RÍEN HAY UN PAYASO.SI TODOS RÍEN HAY UN PAYASO.

•TODOS LOS HOMBRES SON TODOS LOS HOMBRES SON CASADOS O NO SON CASADOS.CASADOS O NO SON CASADOS.

•CUALQUIER NIÑO ES IGUAL A SÍ CUALQUIER NIÑO ES IGUAL A SÍ MISMO.MISMO.

•SI HAY ALGUIEN RELACIONADO CON SI HAY ALGUIEN RELACIONADO CON TODOS, ENTONCES PARA TODOS HAY TODOS, ENTONCES PARA TODOS HAY ALGUIEN RELACIONADO CON ÉL.ALGUIEN RELACIONADO CON ÉL.

UNA PARADOJA EN UNA PARADOJA EN MATEMÁTICASMATEMÁTICAS

EL CONCEPTO DE CONJUNTO:EL CONCEPTO DE CONJUNTO:INTUITIVAMENTE, UN CONJUNTO ES INTUITIVAMENTE, UN CONJUNTO ES

UNA COLECCIÓN DE OBJETOSUNA COLECCIÓN DE OBJETOSESCRIBIMOS ESCRIBIMOS AA BB Y LEEMOS “ Y LEEMOS “AA ES ES

ELEMENTO DE ELEMENTO DE BB” SI ” SI AA ES UNO DE ES UNO DE LOS OBJETOS QUE FORMAN EL LOS OBJETOS QUE FORMAN EL CONJUNTO CONJUNTO BB. .

EN CASO CONTRARIO SE DENOTA EN CASO CONTRARIO SE DENOTA AABB..

El concepto ingenuo de conjunto:El concepto ingenuo de conjunto:Cualquier propiedad determina un conjunto, el Cualquier propiedad determina un conjunto, el conjunto de todos los objetos que la cumplen.conjunto de todos los objetos que la cumplen.

Así, si Así, si PP es una propiedad es una propiedad cualquiera, entonces la colección de cualquiera, entonces la colección de los objetos X tales que X cumple la los objetos X tales que X cumple la propiedad propiedad PP

{X / X cumple {X / X cumple PP } es un conjunto.} es un conjunto.

ÉÉsta es una concepción intuitiva, sta es una concepción intuitiva, clara y útil, del concepto de conjuntoclara y útil, del concepto de conjunto

EJEMPLOSEJEMPLOS

{X / X es número par menor que 10} {X / X es número par menor que 10}

= {2,4,6,8}= {2,4,6,8}

Álvaro ObregónÁlvaro Obregón{X / X fue presidente {X / X fue presidente de México}de México}

{a, b} = { X / X = a o X = b }{a, b} = { X / X = a o X = b }

DADO UN CONJUNTO DE DADO UN CONJUNTO DE OBJETOS OBJETOS BB, PUEDE OCURRIR , PUEDE OCURRIR

QUE:QUE: BB PERTENCE A PERTENCE A B B

(ES DECIR (ES DECIR BBBB) )

o bien que:o bien que:BB NO PERTENECE A NO PERTENECE A BB

(ES DECIR (ES DECIR BBBB).).

POR EJEMPLO:POR EJEMPLO:SI EL CONJUNTO SI EL CONJUNTO II DE TODAS LAS DE TODAS LAS

IDEAS ES UNA IDEA ENTONCES IDEAS ES UNA IDEA ENTONCES PERTENECE A PERTENECE A II, ES DECIR , ES DECIR I I II

EL CONJUNTO EL CONJUNTO SS DE TODAS LAS SILLAS DE TODAS LAS SILLAS NONO ES UNA SILLA, ENTONCES NO ES UNA SILLA, ENTONCES NO PERTENECE A S, PERTENECE A S,

ES DECIR ES DECIR SSSS..

ASÍ, ASÍ, ““NO PERTENECERSE A SÍ MISMO”, ES NO PERTENECERSE A SÍ MISMO”, ES

UNA PROPIEDAD ACERCA DE UNA PROPIEDAD ACERCA DE CONJUNTOSCONJUNTOS

SI CUALQUIER COLECCIÓN DETERMINADA SI CUALQUIER COLECCIÓN DETERMINADA POR UNA PROPIEDAD ES UN CONJUNTO POR UNA PROPIEDAD ES UN CONJUNTO

Y CONSIDERAMOS LA PROPIEDAD:Y CONSIDERAMOS LA PROPIEDAD:

““SER UN CONJUNTO Y NO SER UN CONJUNTO Y NO PERTENECERSE A SÍ MISMO”PERTENECERSE A SÍ MISMO”

EntoncesEntonces

BB = {X / X es un conjunto y X = {X / X es un conjunto y XXX} } ES UN CONJUNTOES UN CONJUNTO

ASASÍÍ, PARA CUALQUIER , PARA CUALQUIER OBJETOOBJETO X X

XXB B SI Y SÓLO SI SI Y SÓLO SI

X es un conjunto y XX es un conjunto y XX.X.

Entonces para cualquier Entonces para cualquier conjuntoconjunto X: X: X X BB SI Y SÓLO SI X SI Y SÓLO SI X X X

Ahora, si Ahora, si BB es realmente un conjunto, en es realmente un conjunto, en particular para particular para B tenemos que:B tenemos que:

B B BB SI Y SÓLO SI SI Y SÓLO SI BB BB

¡¡Pero eso es absurdo !Pero eso es absurdo !

Si suponemos que Si suponemos que BB = {x / x es un conjunto y x = {x / x es un conjunto y xx} x} es un conjunto, entonces tenemos una contradicción.es un conjunto, entonces tenemos una contradicción.

Tenemos que concluir entonces que BTenemos que concluir entonces que B no no es un es un conjunto. Esto contradice la concepción ingenua, tan conjunto. Esto contradice la concepción ingenua, tan intuitiva, tan clara y útil. intuitiva, tan clara y útil.

Pero entonces esa intuición está mal y tenemos Pero entonces esa intuición está mal y tenemos que desecharla.que desecharla.

Pero ¿por qué está mal?Pero ¿por qué está mal? ¿Cuál es la razón de fondo para que esto sea así? ¿Cuál es la razón de fondo para que esto sea así?

¿Hay alguna explicación, además del argumento ¿Hay alguna explicación, además del argumento anterior?anterior?

Aclaración de la ParadojaAclaración de la Paradojacon una verdad lógica muy especialcon una verdad lógica muy especial**

En cualquier universo de objetos yEn cualquier universo de objetos y

para cualquier relación para cualquier relación RR entre entre objetos de ese universo: objetos de ese universo:

No hayNo hay ahí en ese universo objeto alguno ahí en ese universo objeto alguno que tenga esa relación que tenga esa relación RR exactamente exactamente con todos aquellos objetos que con todos aquellos objetos que nono tengan tengan esa relación esa relación RR consigo mismos, y consigo mismos, y sólamente con esos.sólamente con esos.

** Se puede demostrar fácilmente que este enunciado es una verdad lógica Se puede demostrar fácilmente que este enunciado es una verdad lógica

OCHO EJEMPLOS DE LA VERDAD OCHO EJEMPLOS DE LA VERDAD LÓGICA MUY ESPECIALLÓGICA MUY ESPECIAL

• UNIVERSO: LOS HOMBRES DE HUAUCHINANGO

• RELACIÓN R: X RASURA A Y• VERDAD LÓGICA:

NO HAY BARBERO EN HUAUCHINANGO QUE RASURE A TODOS LOS HOMBRES DE HUAUCHINANGO QUE NO SE RASURAN A SÍ MISMOS, Y SÓLO A ESOS

UNIVERSOUNIVERSO: LOS SOCIOS DE CLUBES CON : LOS SOCIOS DE CLUBES CON NOMBRES DE SOCIOSNOMBRES DE SOCIOS

• RELACIÓN R: X ES SOCIO DEL CLUB CON EL NOMBRE DE Y.

• VERDAD LÓGICA: NO HAY PERSONA TAL QUE LOS SOCIOS DEL CLUB CON SU NOMBRE SEAN EXACTAMENTE LOS QUE NO SON SOCIOS DEL CLUB CON SU NOMBRE Y SÓLO ESOS.

UNIVERSOUNIVERSO: LOS CATÁLOGOS DE : LOS CATÁLOGOS DE CATÁLOGOSCATÁLOGOS

• RELACIÓN R: X CATALOGA A Y.

• VERDAD LÓGICA: NO HAY UN CATÁLOGO QUE CATALOGUE A TODOS LOS CATÁLOGOS QUE NO SE CATALOGAN A SÍ MISMOS Y SÓLO A ESOS.

UNIVERSOUNIVERSO: LOS VÉRTICES DE UNA : LOS VÉRTICES DE UNA GRAFICA DIRIGIDA GGRAFICA DIRIGIDA G

• RELACIÓN R: X ESTÁ CONECTADO CON UNA ARISTA HACIA Y.

• VERDAD LÓGICA: NO HAY VÉRTICE EN G QUE ESTÉ CONECTADO HACIA TODOS LOS VÉRTICES QUE NO ESTÉN CONECTADOS HACIA SÍ MISMOS Y SÓLO HACIA ESOS.

UNIVERSOUNIVERSO: LOS ADJETIVOS: LOS ADJETIVOS

• RELACIÓN R: X DENOTA A Y.

• VERDAD LÓGICA: NO HAY ADJETIVO QUE DENOTE A TODOS LOS ADJETIVOS QUE NO SE DENOTAN A SÍ MISMOS Y SÓLO A ESOS. (ES DECIR, NO EXISTE EL ADJETIVO HETEROLÓGICO).

UNIVERSOUNIVERSO: LOS PRESIDENTES : LOS PRESIDENTES MUNICIPALESMUNICIPALES

• RELACIÓN R: X ES EL PRESIDENTE MUNICIPAL DEL MUNICIPIO DONDE VIVE EL PRESIDENTE MUNICIPAL Y.

• VERDAD LÓGICA: NO HAY PRESIDENTE MUNICIPAL DEL MUNICIPIO DE TODOS LOS PRESIDENTES MUNICIPALES QUE NO VIVEN EN EL MUNICIPIO DEL QUE SON PRESIDENTES MUNICIPALES.

UNIVERSO: LOS HABITANTES DE HUAUCHINANGO

RELACIÓN R: X ENSEÑA LOGICA A Y

• VERDAD LÓGICA: NO HAY PROFESORES DE LOGICA EN HUAUCHINANGO QUE ENSEÑEN LOGICA A TODOS LOS HABITANTES DE HUAUCHINANGO QUE NO SE ENSEÑAN LOGICA A SÍ MISMOS, Y SÓLO A ESOS.

UNIVERSO:UNIVERSO: LOS CONJUNTOS LOS CONJUNTOS

• RELACION R: Y ES ELEMENTO DE X O Y PERTENECE A X (Y X).

• VERDAD LÓGICA: NO HAY UN CONJUNTO AL QUE LE PERTENEZCAN TODOS LOS CONJUNTOS QUE NO SE PERTENECEN A SÍ MISMOS, Y SÓLO ESOS.

• ES DECIR, NO HAY UN CONJUNTO

B = { Y / Y Y }

LA VERDAD LÓGICA MUY ESPECIAL EN EL LA VERDAD LÓGICA MUY ESPECIAL EN EL

CASO DE LOS CONJUNTOSCASO DE LOS CONJUNTOS En el universo de los conjuntos con la relación En el universo de los conjuntos con la relación

pertenencia entre conjuntos (ser elemento de).pertenencia entre conjuntos (ser elemento de). No existeNo existe un conjunto cuyos elementos sean un conjunto cuyos elementos sean

exactamente todos aquellos conjuntos que no exactamente todos aquellos conjuntos que no son elementos de sí mismos, y sólo esos.son elementos de sí mismos, y sólo esos.

Así pues B = {x / x Así pues B = {x / x x }, x }, no existeno existe (en el (en el universo de los conjuntos) o bienuniverso de los conjuntos) o bien

Tal Tal B B no esno es un conjunto. ¡ un conjunto. ¡Esto es una verdad Esto es una verdad lógica!lógica!

Concluimos la aclaración de la Concluimos la aclaración de la paradojaparadoja

El concepto ingenuo de conjunto como El concepto ingenuo de conjunto como colección de objetos que cumplen una colección de objetos que cumplen una propiedad, aunque es intuitivo, claro y propiedad, aunque es intuitivo, claro y útil es erróneo.útil es erróneo.

Porque es contradictorio con una verdad Porque es contradictorio con una verdad lógica, para el caso de la propiedad lógica, para el caso de la propiedad

““Ser un conjunto y no pertenecerse a sí Ser un conjunto y no pertenecerse a sí mismo”.mismo”.

ES CLARO AHORA, EL PORQUÉ DE LA ES CLARO AHORA, EL PORQUÉ DE LA PARADOJA DE RUSSELL: ¡ ES UN PARADOJA DE RUSSELL: ¡ ES UN

CONCEPTO QUE CONTRADICE A UNA CONCEPTO QUE CONTRADICE A UNA VERDAD LÓGICA !VERDAD LÓGICA !

CONCEPTO INGENUOCONCEPTO INGENUO: EXISTE UN : EXISTE UN CONJUNTO CUYOS ELEMENTOS SON CONJUNTO CUYOS ELEMENTOS SON AQUELLOS CONJUNTOS QUE NO SE AQUELLOS CONJUNTOS QUE NO SE PERTENECEN A SÍ MISMOS.PERTENECEN A SÍ MISMOS.

VERDAD LÓGICAVERDAD LÓGICA: NO EXISTE UN : NO EXISTE UN CONJUNTO CUYOS ELEMENTOS SON CONJUNTO CUYOS ELEMENTOS SON AQUELLOS CONJUNTOS QUE NO SE AQUELLOS CONJUNTOS QUE NO SE PERTENECEN A SÍ MISMOS.PERTENECEN A SÍ MISMOS.

EQUIPOTENCIAEQUIPOTENCIA DEFINICION: Un conjunto A es DEFINICION: Un conjunto A es

equipotente a un conjunto B si y sólo si equipotente a un conjunto B si y sólo si hay una biyección de A sobre B.hay una biyección de A sobre B.

NOTACION: Si A es equipotente a B, lo NOTACION: Si A es equipotente a B, lo denotamos A ~ B.denotamos A ~ B.

Ejemplos:Ejemplos: ℕℕ~ℕxℕ ~ℤ~ℚ ~ℕxℕ ~ℤ~ℚ ℕ≁ℝℕ≁ℝ ℝℝ~ℝxℝ ~ℝxℝ

¿El conjunto de los espectadores de un ¿El conjunto de los espectadores de un teatro tiene el teatro tiene el mismo númeromismo número de de elementos que el conjunto de los elementos que el conjunto de los asientos del teatro? asientos del teatro?

Para saber la respuesta, el acomodador Para saber la respuesta, el acomodador ¡¡no necesita contar a los espectadores no necesita contar a los espectadores ni a los asientosni a los asientos!!

Podemos definir las relaciones “los conjuntos A y B Podemos definir las relaciones “los conjuntos A y B tienen tienen el mismo númeroel mismo número de elementos”, o “el de elementos”, o “el conjunto A tiene conjunto A tiene estrictamente menor númeroestrictamente menor número de de elementos que el conjunto B”. Todo elementos que el conjunto B”. Todo sin sabersin saber nadanada acerca de números. acerca de números.

Lo único que necesitamos hacer en el primer caso es Lo único que necesitamos hacer en el primer caso es establecer una establecer una biyecciónbiyección entre todos los elementos entre todos los elementos de A y todos los elementos de B. de A y todos los elementos de B.

En el segundo caso establecer una función En el segundo caso establecer una función inyectivainyectiva de todos los elementos de A a elementos de B y de todos los elementos de A a elementos de B y mostrar que mostrar que no hay biyecciónno hay biyección entre los dos entre los dos conjuntos.conjuntos.

TEOREMA DE CANTORTEOREMA DE CANTOR Para todo conjunto A, A≁Para todo conjunto A, A≁PP(A)(A)

Sea g: A → Sea g: A → PP(A) cualquier función(A) cualquier función

Sea B = {Sea B = {y∈Ay∈A / y∉g(y)} B / y∉g(y)} B∈∈PP(A)(A) Pero B∉im(g) pues si B = g(z) para Pero B∉im(g) pues si B = g(z) para

algún zalgún z∈∈A, tendríamos que A, tendríamos que

zz∈∈B B z∉g(z) z∉g(z) z∉B ! z∉B ! Así pues g no es suprayectiva y como Así pues g no es suprayectiva y como

fue arbitraria, no hay biyección entre A y fue arbitraria, no hay biyección entre A y PP(A).(A).

ObservaciónObservación. Hay f: A→. Hay f: A→PP(A) inyectiva, (A) inyectiva, por ejemplo tal que por ejemplo tal que xx∈∈A, f(x)={x} A, f(x)={x} ∈ ∈ PP(A)(A)

Una Observación LógicaUna Observación Lógica La afirmación La afirmación

¬¬zzw [w R g(z) w [w R g(z) ¬(w R g(w))] ¬(w R g(w))]

Es lógicamente válida, en todo universo, paraEs lógicamente válida, en todo universo, para

toda g función y toda R relación binaria. toda g función y toda R relación binaria.

Como caso particular, con la interpretación enComo caso particular, con la interpretación en

el universo de los conjuntos, la relación Rel universo de los conjuntos, la relación R

como como ∈∈, y g como cualquier función, se , y g como cualquier función, se afirma:afirma:

No hay un conjunto tal que su imagen bajo No hay un conjunto tal que su imagen bajo g sea el conjunto de todos los conjuntos que g sea el conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen a su propia imagen bajo g: no pertenecen a su propia imagen bajo g:

¬¬z g(z)={w / w∉g(w)}. z g(z)={w / w∉g(w)}.

¿Es el Teorema de Cantor una ¿Es el Teorema de Cantor una Verdad Lógica?Verdad Lógica?

Una fórmula lógicamente válida, relacionada con el Una fórmula lógicamente válida, relacionada con el Teorema de Cantor es la siguiente:Teorema de Cantor es la siguiente:

AAg[F(g)g[F(g)D(g,A)D(g,A) z ( R(z,A) z ( R(z,A) w(R(w,A)w(R(w,A) [R(w,f(g,z)) [R(w,f(g,z)) R(w,f(g,w))]))]R(w,f(g,w))]))]

El lenguaje es: El lenguaje es: FF predicado de un argumento; predicado de un argumento; DD, , RR predicados de dos argumentos; predicados de dos argumentos; ff símbolo de función símbolo de función de dos argumentos. Las variables son: A, g, z, w.de dos argumentos. Las variables son: A, g, z, w.

Esta fórmula es lógicamente válida:Esta fórmula es lógicamente válida: dados A y g dados A y g tales que tales que FF(g)(g)DD(g,A) por reducción al absurdo (g,A) por reducción al absurdo mostrar  mostrar  z (.....), suponiendo z (.....), suponiendo z (.....).z (.....).

Considero la siguiente interpretación para el lenguaje:Considero la siguiente interpretación para el lenguaje: DominioDominio V: los conjuntos (de aquí que A, g, z, w  V: los conjuntos (de aquí que A, g, z, w 

representan conjuntos)representan conjuntos)FF V, se interpreta como F(g): g es una función V, se interpreta como F(g): g es una función (conjunto de pares ordenados donde no hay dos (conjunto de pares ordenados donde no hay dos pares con igual izquierdo y diferente derecho).pares con igual izquierdo y diferente derecho).DD VxV, se interpreta como D(g, A): g es función VxV, se interpreta como D(g, A): g es función y A es su dominio (A es el conjunto de los y A es su dominio (A es el conjunto de los elementos izquierdos de los pares ordenados de g).elementos izquierdos de los pares ordenados de g).RR VxV, se interpreta como R(z, A): z VxV, se interpreta como R(z, A): z A (R es la A (R es la relación de pertenencia entre conjuntos).relación de pertenencia entre conjuntos).ff : VxV -------> V es una función binaria sobre el : VxV -------> V es una función binaria sobre el conjunto V, tal que para todo g, z conjunto V, tal que para todo g, z V:V:

i) f(g, z) = g(z)   si g es función y z está en el i) f(g, z) = g(z)   si g es función y z está en el dominio de g dominio de g

  ii) f(g, z) = Vacío, en otro caso.ii) f(g, z) = Vacío, en otro caso.

Sean A cualquier conjunto y g cualquier conjunto-Sean A cualquier conjunto y g cualquier conjunto-

función cuyo dominio es A.función cuyo dominio es A. Se concluye que Se concluye que no hayno hay z z A tal que A tal que

g(z) = {w g(z) = {w A / w A / w g(w)} g(w)}por lo que el conjunto {w por lo que el conjunto {w A / w A / w g(w)} g(w)} no está en la imagen de A bajo g. no está en la imagen de A bajo g.

Pero ese conjunto {w Pero ese conjunto {w A / w A / w g(w)} es g(w)} es subconjunto de A por lo que pertenece al subconjunto de A por lo que pertenece al conjunto Potencia de A.conjunto Potencia de A.

Concluimos que g Concluimos que g no esno es suprayectiva suprayectiva sobre Potencia de A. Y como g fue sobre Potencia de A. Y como g fue arbitraria, no hay biyección posible entre arbitraria, no hay biyección posible entre A y Potencia de A (Teorema de Cantor).A y Potencia de A (Teorema de Cantor).

ObservacionesObservaciones

En el penúltimo renglón del párrafo En el penúltimo renglón del párrafo anterior es donde para decir que anterior es donde para decir que {w {w A / w A / w g(w)} es un conjunto g(w)} es un conjunto necesito el Axioma de Separación.necesito el Axioma de Separación.

Y para hablar de que {w Y para hablar de que {w A / w A / w g(w)} es elemento del conjunto g(w)} es elemento del conjunto Potencia de A, necesito el Axioma Potencia de A, necesito el Axioma de Potencia.de Potencia.

BIBLIOGRAFIABIBLIOGRAFIA► 1. AMOR J. A., “PARADOJAS, INTUICIÓN Y LÓGICA”, 1. AMOR J. A., “PARADOJAS, INTUICIÓN Y LÓGICA”,

REVISTA CIENCIAS No.29, ENE. 1993, FACULTAD DE REVISTA CIENCIAS No.29, ENE. 1993, FACULTAD DE CIENCIAS, UNAM.CIENCIAS, UNAM.

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► SMULLYAN RAYMOND, “¿CÓMO SE LLAMA ESTE SMULLYAN RAYMOND, “¿CÓMO SE LLAMA ESTE LIBRO?”, ED. CÁTEDRA COL. TEOREMA, 1978.LIBRO?”, ED. CÁTEDRA COL. TEOREMA, 1978.

► TARSKI ALFRED, “TRUTH AND PROOF”, SCIENTIFIC TARSKI ALFRED, “TRUTH AND PROOF”, SCIENTIFIC AMERICAN, JUN. 1969.AMERICAN, JUN. 1969.