acerca de la clasificacion

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XVIIIColoquiodelaSociedadMatematicaPeruana9-13deagostode2010AcercadelaClasicaci onTopologicayDiferenciabledeSuperciesCompactasJesus Zapata SamanezDimas Percy Abanto SilvaLima-2010PonticiaUniversidadCatolicadelPer uEstetrabajovadedicadoamispadres.Introducci onEsta notas son de un minicurso dado en el XXVIII Coloquiode la Sociedad Matem atica Peruana llevada a cabo del 9 al 13 deagostode2010enlaPonticiaUniversidadCatolicadelPer u.El objetivodel presentetrabajoesel desarrollocompletoyautocontenidosobrelaclasicaci ontopologicaydiferenciabledelas supercies compactas, asuntodeinteres primarioenel areadeTopologayconaplicacionesfundamentalesyvariadasentodaslasareasdelaMatem aticayFsica.Laclasicaci ontopol ogicadelassuperciescompactascon-tenidas en el espacio tridimensional fue dada por Riemann y Jor-dan, aunque sus demostraciones no fueron satisfactorias. Ellos sebasabanenresultadosqueparecanevidentesqueluegoniellosni muchos matematicos podan demostrarlos con la matem aticaquehabahastaesosmomentos.Tuvoquepasarmuchotiempoparaquesellegar aatenerlamaquinaranecesariaparapoderdemostrarlaclasicaci ontopol ogicaymayortiempoa unparalaclasicaciondiferenciable.Elpresentetrabajodaunaclasicaci ondiferenciabledelassuperciescompactas(conbordeono)siguiendometodosmassosticados dentro de la Topologa Diferencial. La Teora deMorse que trata del estudio de curvas de nivel de funciones y laTeoradeecuacionessobresuperciesnosproveendelasherra-mientasnecesariasparalapruebacompletadelaclasicacion34desuperciescompactas.El teoremadelaclasicaci ontopologicaes encontradoenmuchas partes de la literatura matem atica. Sin embargo lo mis-monoocurreconel teoremadeclasicaciondiferenciable, endonde las pruebas que aparecenacostumbranaestar incom-pletasdebidoalassosticacionesdescritasanteriormente.Esasdicultadessonsuperadasenestetrabajo.IndicegeneralIntroducci on 31. Topologacociente 91.1. Espacioscocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2. Aplicacionesdeidenticaci on . . . . . . . . . . . 101.3. Ejemplosdeespacioscocientes. . . . . . . . . . . 131.4. Homotopa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4.1. Caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4.2. Primergrupodehomotopa . . . . . . . . 201.5. Equivalenciashomot opicas . . . . . . . . . . . . . 221.5.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.6. Adjunci ondeespaciostopologicos . . . . . . . . . 231.7. LemasdeWhitehead . . . . . . . . . . . . . . . . 242. Variedadesdiferenciables 312.1. Variedadessuaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2. Ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3. Aplicacionesdiferenciables . . . . . . . . . . . . . 332.4. Espaciotangenteaunavariedadenunpunto . . 342.5. Fibradotangentedeunavariedad . . . . . . . . . 352.6. Laderivadadeunaaplicaci ondiferenciable. . . . 362.7. Orientacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3756INDICEGENERAL2.8. Variedadesconborde . . . . . . . . . . . . . . . . 402.9. El Pull-backdeunaorientacionapartir deundifeomorsmolocalentrevariedades. . . . . . . . 422.10. Vectoresqueapuntanhaciaafuera . . . . . . . . . 432.11. Orientaci oninducida . . . . . . . . . . . . . . . . 462.12. Orientaci ondelproducto. . . . . . . . . . . . . . 482.13. Partici ondelaunidad . . . . . . . . . . . . . . . 542.14. Subvariedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.15. Transversalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.16. Variedadcompactas . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.17. Cubrimientodobleorientado. . . . . . . . . . . . 663. TeoradeMorse 713.1. LemadeMorse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.2. Gradientedeunafuncionsuave . . . . . . . . . . 773.3. ExistenciadefuncionesdeMorse . . . . . . . . . 783.4. FuncionesdeMorse. . . . . . . . . . . . . . . . . 853.5. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.6. ModicandofuncionesdeMorse . . . . . . . . . . 964. Isotopa 1014.1. Isotopa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1014.2. Pegandovariedades . . . . . . . . . . . . . . . . .1054.3. Isotopasdediscos . . . . . . . . . . . . . . . . .1084.4. TeoremadeReeb . . . . . . . . . . . . . . . . . .1115. Teoremadeclasicaci on 1155.1. Modelosdesupercies . . . . . . . . . . . . . . .1155.2. Superciesorientablesdegenerog. . . . . . . . .1185.3. Sumaconexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1195.4. Supercieno-orientabledegenero . . . . . . . . .1205.5. Teoremadeldisco. . . . . . . . . . . . . . . . . .122INDICEGENERAL 75.5.1. Extensiondedifeomorsmos . . . . . . . .1255.6. Teoremadeclasicaci ondesupercies . . . . . .137Conclusiones 147Recomendaciones 149Bibliografa 151Captulo1Topologacociente1.1. EspacioscocientesSeanXunespaciotopol ogicoy unarelaci ondeequiva-lenciaenel. Denotaremos por X/ el conjuntodeclases deequivalenciasdenidasporestarelaci ondeequivalenciasobreX.Quisieramos dar a X/ una topologa lo sucientemente na-tural para que la aplicaci on proyeccion : X X/ ((x) eslaclasedex X)seacontinua,claramentelatopologatrivialhara esto y sera la topologa mas peque na que cumple con esterequerimiento. Si vamos en busca de la topologa m as grande (silo hubiese) que hace a continua, una propiedad que se pediraquetuvieraestatopologaseralasiguiente: si A (X/ )estalque1(A)esunconjuntoabiertodeXentoncesAest aenestatopologa.Resultapues que esapropiedadcaracterizaunatopologa910 CAPITULO1. TOPOLOGIACOCIENTEsobreX/ ,estoeslacoleccion_A (X/ )_1(A)esabiertoenX_es una topologa sobre X/ . Ademas es la topologa m as grandesobreX/ quehaceacontinua,enotraspalabras,cualquiertopologasobreX/ quehaceacontinuaest acontenidaenlacolecciondearriba.De ahora en adelante trabajaremos con esta topologa sobreX/ , llamada topologa cociente. El espacio (X/ ) es llamadoespaciocociente.Seguiremosllamandoa:X (X/ )unaaplicaci onco-ciente.Debido a la sobreyectividad de una aplicacion cociente tene-moslasiguienteproposici on.Proposicion1.1SiXesconexo,arco-conexoocompactoen-toncesX/ tambienloes.1.2. Aplicacionesdeidenticaci onNotemosquelaaplicaci onvista: X (X/ )tienelassiguientespropiedades:continuidad,sobreyectividad,ademassiA (X/ )estal que1(A)esabiertoenXentoncesAesabiertoen(X/ ).Conestotenemoslasiguientedenici on.Denici on1.1SeaX, Y espaciostopologicosyf : X Yunaaplicacioncontinua, diremos que f es unaaplicaciondeidenticacion si es sobreyectiva y cumple la siguiente propiedad:si A Yes tal que f1(A) es un conjunto abierto de XentoncesAesabiertoenY .1.2. APLICACIONESDEIDENTIFICACION 11Claramentetodaaplicacioncocienteesunaaplicaci ondeiden-ticaci on.Adem asdadaaplicaciondeidenticacionf : X Y , Ytiene latopologam as grande que hace alacorrespondenciaf: X Y continua(conlatopologasobreXja).Esm assepuedemostrarqueexisteunarelaci ondeequiva-lencia sobreXyunhomeomorsmoh : Y (X/ )talqueh f: X (X/ )es: X (X/ ).As enesenciaunaaplicaci ondeidenticaci onesunaapli-caci oncocienteyelespaciodellegadaesunespaciocociente.Lema1.1Unaaplicaciondeidenticacionf : X Y esenesenciaunaaplicacioncociente,estoes,existeunarelaciondeequivalencia sobreXyunhomeomorsmoh:Y(X/ )tal queh f= .Prueba:Denimos sobre Xlasiguiente relacion: dados x, yXdiremos que x z si ys olosi f(x) =f(z). Claramente larelaci onanterioresdeequivalencia.Denimosh : Y (X/ )como:dadoy Y existex Xtalquef(x) = y,asdenimosh(y)=(x);pordenici onh f=,ademashesinyectivaycomoessobreyectivahtambienloes. Porloexpuesto, hesunabiyecci on.Veamosquehesunaaplicaci onabierta.SeaA Y abiertoentoncesapartirdef=h1 tenemos1(h(A))=f1(A)esabiertoenX, luegoh(A)esabierto. Ahoraveamoslacon-tinuidaddeh;siAesunconjuntoabiertode(X/ )entoncesf1[h1(A)] =1(A) es abiertodeX, deall comof es deidenticaci onh1(A)esabiertoenY .Porlotantohesunho-meomorsmo.12 CAPITULO1. TOPOLOGIACOCIENTE

Es por ello que utilizaremos aplicacion cociente para nombrar aaplicacionesdeidenticaci onf:X Y , adem asdiremosqueY esunespaciococienteoquetienelatopologacociente.ApartirdeloanteriortenemoselsiguienteteoremaTeorema1.1Seaf: X Y unaaplicaciondeidenticacionysea larelaciondeequivalenciageneradapor f, entonces(X/ )eshomeomorfoaY .Existeuncriterio utilparasabercuandounaaplicaci ong:YZentreespacios topologicos conY espaciocociente, escontinuo.Proposicion1.2Seaf : XY unaaplicacionde identi-cacionyg : YZotraaplicaciondondeZes unespaciotopologico. Si g f:X Zescontinua, entoncesgesconti-nua.Prueba:EnefectoseA Zabiertoentonces(g f)1(A)esabiertoenX, quees equivalenteaquef1[g1(A)] es abiertoenX,comofesunaaplicaciondeidenticaci onsesiguequeg1(A)esabiertoenY ,estodemuestraquegescontinuo.

Observaci on: Enladenici ondeaplicaci ondeidenticaci onsepuedecambiarabiertoporcerradodandoas unadenicionequivalente.EstoesUnaaplicacionf: X Y continuaysobreyectivaesdeidenticacionsi:f1(A)esunconjuntocerradodeX queAescerradoenY .1.3. EJEMPLOSDEESPACIOSCOCIENTES 13Existen muchas aplicaciones continuas sobreyectivas que son co-cientes.Proposicion1.3Seaf : X Y unaaplicacioncontinuaysobreyectiva. Si f esabiertaocerradaentoncesf esunaapli-caciondeidenticacion.Prueba:ComoparatodoA Y setienequef[f1(A)] = A,debidoaquefessobreyectiva.Enelprimercasocuandofesabiertatenemos, si f1(A)esabiertoentoncesAesabierto; enel se-gundocuandofescerrada,sif1(A)escerradoentoncesAescerrado.Asencualquiercasofesunaaplicaci oncociente.

Unaaplicaci ondeidenticaci onbiyectivaesunhomeomor-smo.Proposicion1.4Seaf: X Y unaaplicacionbiyectivaydeidenticacion,entoncesfesunhomeomorsmo.Prueba:Veamos que fes una aplicaci on abierta. Sea A Xabierto,como fes inyectiva f1[f(A)] = A, luego debido a que fes unaaplicaci ondeidenticacionf(A)esabiertoenY , porlotantofesunhomeomorsmo.

1.3. EjemplosdeespacioscocientesRecordemos que si f : XY es unaaplicacioncociente entonces Yes homeomorfo al espacio X/ .14 CAPITULO1. TOPOLOGIACOCIENTESeaD2:discounitariocerradode R2.Denotaremos e1(u) = (cos(u), sen(u), 0),paratodou R,ye3= (0, 0, 1).1. Laesferaeshomeomorfaal espaciococienteobtenidodeD2porlarelaciongeneradapor(x, y) (x, y)paratodo(x, y) S1.Deniendof: D2 S2comof(x, y) =____1 y2e1_x1y2_+ ye3siy ,= 1(0, 0, y) siy= 1,Como fes una aplicaci on sobreyectiva,