Bijeenkomst  6    

In  hoofdstuk  5  behandelen  we  de  theorie  van  het  modulorekenen.  Deze  theorie  is  van  wezenlijk  belang  voor  de  getaltheorie,  en  komt  dan  ook  in  veel  toepassingen  terug.      Bijvoorbeeld  in  de  cryptologie:  het  versleutelen  van  berichten  om  deze  te  beschermen  tegen  oneigenlijk  gebruik.  Berichten  worden  ver-­‐  en  ontcijferd  met  behulp  van  priemgetallen  en  modulorekenen.    Modulorekenen  is  een  techniek  om  eigenschappen  van  getallen  te  kunnen  benoemen.            

Om  duidelijk  te  maken  wat  het  idee  van  modulorekenen  is,  hanteren  we  de  vergelijking  met  klokrekenen.    Of  het  nu  overdag  3  uur  is  of  3  uur  ‘s  nachts,  of  het  nu  9  uur  in  de  ochtend  is  of  9  uur  in  de  avond,  op  de  klok  zijn  de  verschillen  niet  te  zien.    Hoewel  getallen  een  andere  betekenis  kunnen  hebben,  maken  we  geen  onderscheid  meer  als  ze  een  veelvoud  van  elkaar  verschillen.  We  beschouwen  ze  als  gelijk  modulo  12.  Je  kunt  ook  zeggen:    De  getallen  vertonen  ‘een  zelfde  gedrag’    21  uur  is  gelijk  aan  9  uur  want  21  en  9  verschillen  een  12-­‐voud.  NotaOe:                

21 ≡ 9(mod12)

Wanneer  we  in  de  verzameling    de  bewerking  gedeeld  door  bekijken,  onderscheiden  we  twee  situaOes.    1.  De  deling  ‘gaat  op’.  

 We  zeggen:  de  rest  =  0    2.  Delen  met  rest.  

 Als  je  60  deelt  door  7  dan  krijg  je  rest  =  4.    Kijk  maar:    Je  had  ook  kunnen  zeggen:              Maar  dat  doen  we  niet.  We  bekijken  enkel  posiOeve  resten.      

     

60 = 8 ⋅ 7 + 4

60 = 9 ⋅7 + −3

n |m⇒ m = k ⋅n (k ∈!)

m = k ⋅n + r

Als  je  60  deelt  door  7  krijg  je  dus  als  rest  4.  Als  je  32  deelt  door  7  krijg  je  ook  rest  4.      Omdat  60  en  32  dezelfde  rest  opleveren  bij  deling  door  7,  verschillen  ze  onderling  een  zevenvoud  van  elkaar  (                )  We  zeggen  dan  dat  ze  gelijk  zijn  aan  elkaar  modulo  7.    Dus:      Ieder  geheel  getal  m  levert  bij  deling  door  7  een  rest  op  die  gelijk  is  aan  één  van  de  getallen  0,  1,  2,  3,  4,  5  of  6.  Dat  betekent  dat  ieder  geheel  getal  m  op  een  veelvoud  van  7  na  gelijk  is  aan  0,  1,  2,  3,  4,  5  of  6.  

60 ≡ 32(mod7)

60 − 32 = 28 = 4 ⋅7

 Getallen  die  dezelfde  rest  opleveren  bij  deling  door  7,  verschillen  onderling  een  7-­‐voud  van  elkaar.  We  noemen  dat  ook  wel  dat  al  die  getallen  in  de  zelfde  restklasse  ziZen.      Zo  heb  je  dus  de  restklasse  {…  -­‐7,  0,  7,  14,  21,  …..}  In  deze  restklasse  ziZen  alle  getallen  m  die  bij  deling  door  7  rest  0  geven:  Dus  alle  getallen  m  waarvoor  geldt:    De  andere  restklassen  bij  deling  door  7  zijn:  {…  -­‐6,  1,  8,  15,  22,  ….}  {…  -­‐5,  2,  9,  16,  23,  ….}  

   etc.      60  en  32  ‘ziZen’  in  de  restklasse  waar  4  de  vertegenwoordiger  van  is.      

m ≡ 0(mod7)

m ≡ 1(mod7)m ≡ 2(mod7)

DefiniOe  van  ‘modulo’:                •  Als  k  <  n:        Wanneer  je  m  deelt  door  n  krijg  je  rest  k

•  m  en  k  hebben  dezelfde  rest  bij  deling  door  n.    Dus    m  =  pn  +  r  en                              k  =  qn  +  r

•  m  en  k  ‘ziZen  in  dezelfde  restklasse’  

   

Stelling  1:    Als  m  en  k  dezelfde  rest  hebben  na  deling  door  n  dan  geldt      Bewijs:    

             dus          Te  bewijzen:                                

m ≡ k(modn)

m :n = q rest rk :n = p rest r

m = qn + rk = pn + r

m ≡ k(modn) → (m − k) = vnm − k = (qn + r) − (pn + r) = qn − pn = (q − p)n = vn

Stelling  2:    Als                  dan  geldt    m  en  k  hebben  dezelfde  rest  na  deling  door  n      Aanpak:  Gebruik  dat            ,  neem  aan  dat  m  bij  deling  door  n    

     rest  r  heed  en  toon  aan  dat  dan  ook  k  bij  deling  door  n  rest  r  heed.    Bewijs:    m    heed  bij  deling  door  n  rest  r,    dus  

               dus          

           Dus  k  heed  bij  deling  door  n  rest  r.                  

m ≡ k(modn)

m = qn + rm ≡ k(modn)

m − k = (qn + r) − k = ank = (qn + r) − an = (q − a)n + r = bn + r

m ≡ k(modn)

m − k = an

               5.2.7      

a)  Een  getal  is  deelbaar  door  4  als  het  getal  gevormd  door  de  laatste  twee  cijfers  deelbaar  is  door  4.  

   Dus    c)      

   Bewering  is  juist  want  bij  deling  door  2  dezelfde  rest  (=rest  1)    f)    

   Juist  nl.  573  –  12  =  561  =  17-­‐voud              

12345 ≡ 1(mod4)

12345 ≡ 54321(mod2)

12 ≡ 573(mod17)