Bijeenkomst7

Bijdelendoor4zijnervier‘restklassen’(deverzamelingvandegehelegetallenwordtinvierklassenverdeeld)

Klasse:rest=0 {…..,-8,-4,0,4,8,12,……}Klasse:rest=1 {…..,-7,-3,1,5,9,13,……}Klasse:rest=2 {…..,-6,-2,2,6,10,14,……}Klasse:rest=3 {…..,-5,-1,3,7,11,15,……}

0,1,2en3hetenderepresentantenvanderespectievelijkeklassen.Iedergeheelgetalm isopeenveelvoudvan4na,gelijkaan0,1,2of3.

Indeklasse1zittendeelementenm welkevoldoenaan:

m ≡ 1(mod4)

a ≡ 1(mod7)a ≡ 0(mod)11 ⇔ 11 a

Bewijs: ∀a∈O

a2 ≡ 1(mod8)⎡⎣ ⎤⎦

Wat is het laatste cijfer van het getal 1781 ?

Bepaal de rest van 5125 bij deling door 7.

n 5n mod7

0 1 1

1 5 5

2 25 4

3 125 -1

Wat is het laatste cijfer van het getal 1781 ?

§3.3Rekenregels

‘Optellenmetmodulo’:Als enDan

‘Vermenigvuldigenmetmodulo’:Als enDan

Uitbreidingvermenigvuldigingsregel:AlsDan en

m ≡ k(modn) a ≡ b(modn)m + a ≡ (k + b)(modn)

m ≡ k(modn) a ≡ b(modn)m ⋅a ≡ (k ⋅b)(modn)

m ≡ k(modn)cm ≡ ck(modn) mc ≡ kc (modn)

Bewijsofweerleg:

isdeelbaardoor5.

Omdatbenjeeigenlijkgeïnteresseerdof deelbaarisdoor5.

Jeweetechterdatgeldt:EndusConclusie:

77 = 75 + 2 ≡ 0(mod5)+ 2(mod5) ≡ 2(mod5)

2700 −1

24 =16 ≡1(mod5)

2700 = (24 )175 ≡ 1175 (mod5) ≡ 1(mod5)

77700 −1≡ 2700 (mod5)−1≡ 1(mod5)−1(mod5) ≡ 0(mod5)

Dus geldt: 5 77700 −1

77700 −1

Voorbeeld8blz.57

Toonaandat deelbaarisdoor

Bewijs:

Jouwberedeneringmagniet zijn:Beweringisjuistomdat ofomdat

Datzoubetekenendatbijvoorbeeldookgeldt: isdeelbaardoor

2500 −1

25 −1= 31

25 −1

25 25005 500

210 − 2 25 − 2

2500 −1= (25 )100 −1= 32100 −1≡ 1100 −1≡ 0(mod31)

5.3.4

c) Derestvan2100 +2101 +2102 bijdelingdoor7.dus

Dus

e) Derestvan bijdelingdoor32.

23 ≡ 1(mod7)

2100 + 2101 + 2102 ≡ (2 + 4 +1)(mod7) ≡ 0(mod7)

46 ⋅115 ⋅ 33 ⋅29 ⋅ 31 ⋅ 45 ⋅97

(23)33 = 299 ≡ 1(mod7)2100 = 2 ⋅299 ≡ 2(mod7)2101 = 4 ⋅299 ≡ 4(mod7)2102 = (23)34 ≡ 1(mod7)

14 ⋅19 ⋅1 ⋅ −3 ⋅ −1 ⋅13 ⋅114 ⋅19 ⋅ 39 =14 ⋅19 ⋅ 7 =98 ⋅19 =2 ⋅19 = 38 ≡ 6(mod32)

n 2n mod7

0 1 1

1 2 2

2 4 4

3 8 1

n 5n mod7

0 1 1

1 2 5

2 4 4

3 8 -1

5.3.4f

5.3.5

Toonaandat deelbaarisdoor

Bewijs:

Dus geldt:n isdelervanoftewel: isdelervan

31000 −1 38 −1

38 −1 = n⇒ 38 ≡ 1(modn)

31000 = (38 )125 ≡ 1(modn)31000 −1 ≡ 0(modn)

31000 −138 −1 31000 −1

5.3.9

Toonaandathetproductvanvijfopeenvolgendegehelegetallenaltijddeelbaarisdoor5.Duslaatziendat: deelbaarisdoor5

Bewijs.Kieseenwillekeuriggetalm.Omdatwedeelbaarheiddoor5onderzoekenzijnervijfmogelijkheden:1.2.3.4.5.

Inallegevallenontstaatnasubstitutieeen5-voud.Of:Inallegevallengeldt

m(m +1)(m + 2)(m + 3)(m + 4)

m ≡ 0(mod5)m ≡ 1(mod5)m ≡ 2(mod5)m ≡ 3(mod5)m ≡ 4(mod5)

m(m +1)(m + 2)(m + 3)(m + 4) ≡ 0(mod5)

5.3.11

Erbestaatgeen geheelgetalm waarvoorgeldtdat deelbaarisdoor7.

Bewijs:Beschouwallegehelegetallenm.Bijdeelbaarheiddoor7zijnerzevenrestklassen.1. Getallenm waarvoorgeldt:2. Allegetallendienadelingdoor7rest1geven:3.4. etc.

Nasubstitutievanderepresentantenin krijgjegeenenkelekeerrest0.Kijkmaar:

m2 − 3

m2 − 3

m ≡ 0(mod7)m ≡ 1(mod7)

m ≡ 2(mod7)

Dusingeenvandegevallenietsvandevorm: ............ ≡ 0(mod7)

Definitievan‘modulo’:

•

• Alsk <n: Wanneerjem deeltdoorn krijgjerestk

• m enk hebbendezelfderestbijdelingdoorn. Dusm =pn +r enk =qn +r

• m enk ‘zittenindezelfderestklasse’

m ≡ 0(modn) ⇒ n m

Stelling1:Alsm enk dezelfderesthebbennadelingdoorn dangeldt

Bewijs:

dus

Tebewijzen:

m ≡ k(modn)

m :n = q rest rk :n = p rest r

m = qn + rk = pn + r

m ≡ k(modn) → (m − k) = vnm − k = (qn + r) − (pn + r) = qn − pn = (q − p)n = vn

Stelling2:Als dangeldtm enk hebbendezelfderestnadelingdoorn

Aanpak: Gebruikdat ,neemaandatm bijdelingdoornrestr heeftentoonaandatdanookk bijdelingdoorn restr heeft.

Bewijs: m heeftbijdelingdoorn restr,dusdus

Dusk heeftbijdelingdoorn restr.

m ≡ k(modn)

m = qn + rm ≡ k(modn)

m − k = (qn + r) − k = ank = (qn + r) − an = (q − a)n + r = bn + r

m ≡ k(modn)

m − k = an