ฟังก์ชันประกอบ...ตัวอย่างที่5 ก าหนด...
TRANSCRIPT
ฟงกชนประกอบ
ให f และ g เปนฟงกชน
1 2 3
a b c
p q r
A B C f g
จากแผนภาพจะได f(1) = f(2) = f(3) = a c b
g(f(1)) = g(a) = p g(c) = g(f(2)) = q
g(f(3)) = g(b) = p
ฟงกชนทสรางใหมเปนฟงกชนจาก A ไป C
ฟงกชน gof (อานวา จโอเอฟ)
ฟงกชนประกอบของ f และ g แบบเรยนหนา 109
gof(1) = g(f(1)) = p
gof(2) = g(f(2)) = q
gof(3) = g(f(3)) = p
นนคอ gof = {(1,p) , (2,q) ,(3,p) }
x ∙
A B C f g
∙ y =f(x)
∙ z =g(y) =g(f(x))
gof บทนยาม ให f และ g เปนฟงกชน และ Rf ∩ Dg ≠ ∅ ฟงกชนประกอบของ f และ g เขยนแทนดวย gof คอฟงกชนทมโดเมนคอ Dgof = {x ∈ Df f(x) ∈ Dg }
โดย gof(x) = g(f(x)) ส าหรบทก x ∈ Dgof
ตวอยางท1 ให f(x) = 𝒙𝟐- 3 และ g(x) = x+2 จงหาฟงกชน gof และ fog พรอมทงโดเมนของฟงกชนทงสอง
วธท า สงเกตวา Df = R และ Rf = [-3,∞) Dg = R และ Rg = R
เนองจาก Rf ∩ Dg =[-3,∞) ≠ ∅ จงม gof
Rg ∩ Df = R ≠ ∅ จงม fog
gof(x) =
ตวอยางท2 ให f(x) = x+1 และ g(x) = 𝒙 จงหาฟงกชน gof และ fog พรอมทงโดเมนของฟงกชนทงสอง
วธท า สงเกตวา Df = และ Rf = Dg = และ Rg =
R R [0,∞ ) [0,∞ )
ในการหา gof พจารณา Rf ∩ Dg = [0,∞ ) ไมใชเซตวาง
หา gof ได
Dgof = {x ∈ Df f(x) ∈ Dg } = {x ∈ R x+1 ∈ [0,∞ ) } = {x ∈ R x ∈ [-1,∞ ) } = [-1,∞ )
ตวอยางท2 ให f(x) = x+1 และ g(x) = 𝒙 จงหาฟงกชน gof และ fog พรอมทงโดเมนของฟงกชนทงสอง
วธท า สงเกตวา Df = และ Rf = Dg = และ Rg =
R R [0,∞ ) [0,∞ )
ในการหา fog พจารณา Rg ∩ Df = [0,∞ ) ไมใชเซตวาง
หา fog ได
Dfog = {x ∈ Dg g(x) ∈ Df } = {x ∈ [0,∞) 𝑥 ∈ R } = [0,∞ )
ตวอยางท3 ให f(x) = 𝒙 และ g(x) = 𝒙𝟐 จงหาฟงกชน gof และ fog พรอมทงโดเมนของฟงกชนทงสอง
วธท า สงเกตวา Df = และ Rf = Dg = และ Rg =
[0,∞ )
[0,∞ ) [0,∞ ) R
ในการหา fog พจารณา Rg ∩ Df = [0,∞ ) ไมใชเซตวาง
หา fog ได
Dfog = {x ∈ Dg g(x) ∈ Df } = {x ∈ R 𝑥
2 ∈ [0,∞ )} = R
ตวอยางท3 ให f(x) = 𝒙 และ g(x) = 𝒙𝟐 จงหาฟงกชน gof และ fog พรอมทงโดเมนของฟงกชนทงสอง
วธท า สงเกตวา Df = และ Rf = Dg = และ Rg =
[0,∞ )
[0,∞ ) [0,∞ ) R
ในการหา gof พจารณา Rf ∩ Dg = [0,∞ ) ไมใชเซตวาง
หา gof ได
Dgof = {x ∈ Df f(x) ∈ Dg } = {x ∈ [0,∞ ) 𝒙 ∈ R} = [0,∞ )
ตวอยางท4 ให f= {(1,5),(2,4),(3,6)}และ g= {(3,8),(4,10),(5,9)} จงหาฟงกชน gof และ fog พรอมทงโดเมนของฟงกชนทงสอง
วธท า สงเกตวา Df = และ Rf = {1,2,3} Dg = และ Rg =
{4,5,6} {3,4,5} {8,9,10}
ในการหา gof พจารณา Rf ∩ Dg ={4,5} ไมเปนเซตวาง
หา gof ได เนองจาก f(2) = 4 และ g(4) = 10 ดงนน gof(2) = g(f(2)) = g(4) = 10
เนองจาก f(1) = 5 และ g(5) = 9
ดงนน gof(1) = g(f(1)) = g(5) = 9
ดงนน gof= {(2,10) , (1,9)}
ตวอยางท4 ให f= {(1,5),(2,4),(3,6)}และ g= {(3,8),(4,10),(5,9)} จงหาฟงกชน gof และ fog พรอมทงโดเมนของฟงกชนทงสอง
วธท า สงเกตวา Df = และ Rf = {1,2,3} Dg = และ Rg =
{4,5,6} {3,4,5} {8,9,10}
ในการหา fog พจารณา Rg ∩ Df =∅
ไมสามารถหา fog ได
ตวอยางท5 ก าหนด F(x)= (𝟐𝒙 − 𝟑)𝟏𝟎 จงเขยน F ใหอยในรปของฟงกชนประกอบของฟงกชนสองฟงกชน
วธท า สงเกต F ไดจากการหาคา 2x-3 แลวยกก าลง 10 ฉะนน ก าหนด f(x) = และ g(x) = 2x-3 𝑥10
จะไดวา gof(x) =g(f(x)) = g(2x-3) = (𝟐𝒙 − 𝟑)𝟏𝟎
ดงนน F = gof
เขยนใหอยในรปฟงกชนประกอบอนไดไหม
ตวอยางท5 ก าหนด F(x)= (𝟐𝒙 − 𝟑)𝟏𝟎 จงเขยน F ใหอยในรปของฟงกชนประกอบของฟงกชนสองฟงกชน
วธท า ใชการสงเกตและวเคราะห ฉะนน ก าหนด h(x) = และ k(x) = 2x (𝑥 − 3)10
จะไดวา koh(x) =k(h(x)) = g(2x) = (𝟐𝒙 − 𝟑)𝟏𝟎
ดงนน F = koh
โจทยการด าเนนการของฟงกชน
แบบฝกหด 2.3.2 หนา 115
1.5 f(x) = 𝑥2 + 1 , g(x)= 1 − 𝑥 จงหา f+g, f-g , fg และ
𝑓
𝑔 พรอมทงหาโดเมน
วธท า 𝐷𝑓 = 𝐷𝑔 = R (-∞, 1] โดเมน ของ f+g, f-g และ fg คอ 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 = (-∞, 1] โดเมน ของ
𝑓
𝑔 คอ (-∞, 1)
( f + g)(x) = f(x) + g(x) = 𝑥2 + 1 + 1 − 𝑥
( f - g)(x) = f(x) - g(x) = 𝑥2 + 1 - 1 − 𝑥
(fg)(x) = f(x)g(x) =( 𝑥2 + 1 )( 1 − 𝑥 )
𝑓
𝑔 x =
𝑥2 + 1
1 − 𝑥
2. จงหาโดเมนของฟงกชน
1) f(x) = 𝑥 + 2 − 𝑥 วธท า 𝑥 จะหาคาได เมอ x ≥ 0 2 − 𝑥 จะหาคาได เมอ 2-x ≥ 0 x ≤ 2
0 2
ดงนน Df = {x | 0 ≤ x ≤ 2 }
ดงนน Df = [0 , 2 ]
3. ให f(x) = 3x-5 และ g(x) = 1- x2 จงหาคาของ
1. f(g(0)) และ g(f(0))
4. fof(-1) และ gog(2)
6. จงหา (fog)oh และ fo(goh) 1) f(x) = x+1 , g(x) = 𝒙 และ h(x) = x-1
วธท า (fog)(x) = f(g(x)) = f( 𝒙 ) = 𝒙 + 1 [(fog)oh](x) = (fog)(h(x)) = (fog)(x-1) = 𝒙 − 𝟏 + 1
วธท า (goh)(x) = g(h(x)) = g(x-1) = 𝒙 − 𝟏 [fo(goh)](x) = f( 𝒙 − 𝟏) = 𝒙 − 𝟏 + 1
งานใหม
งานใหม เสนกราฟการเรยนรดานเทคโนโลย
สรป
• ก าหนดสงททาทายคณ – ทงดานเทคโนโลยและดานสวนตว
• ก าหนดความคาดหวงทเปนจรงได – ความเชยวชาญไมอาจบรรลไดเพยงชวขามคน
• จบตาอยทเปาหมายเสมอ – โปรแกรมการใหค าปรกษา
ทรพยากร
• <ใสขอความไซตอนทราเนตทน> <ใสการเชอมโยงหลายมตทน>
• <ใสขอความเกยวกบเอกสารอานเพมเตมทน> <ใสการเชอมโยงหลายมตทน>
• ชดภาพนงนและทรพยากรทเกยวของ: <ใสการเชอมโยงหลายมตทน>
ถาม/ตอบ