เอกสารประกอบการเรียนรู้...

เอกสารประกอบการเรยนร รายวชาคณตศาสตร 3 (ค32101)

ชนมธยมศกษาปท 5

หนวยการเรยนรท 1 เรอง ล าดบและอนกรม

โดย

นางสาวนงคเพญ ทองเลศ ต าแหนง คร วทยฐานะ ครช านาญการ

โรงเรยนศกษานาร ส านกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษา เขต 1 ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน

กระทรวงศกษาธการ

2

ค าน า

เอกสารประกอบการเรยนรรายวชาคณตศาสตร 3 (ค32101) ชนมธยมศกษาปท 5 จดท าขนเพอใชประกอบการจดกจกรรมการเรยนรรายวชาคณตศาสตร 3 (ค32101) ส าหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 5 โรงเรยนศกษานาร ใหมประสทธภาพ สอดคลองกบหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551 ทมงพฒนาผเรยนทกคน ซงเปนก าลงของชาต ใหเปนมนษยทมความสมดลทงดานรางกาย ความร คณธรรม มจตส านกในความเปนพลเมองไทย และเปนพลโลก ยดมนในการปกครองตามระบอบประชาธปไตยอนมพระมหากษตรยทรงเปนประมข มความรและทกษะพนฐาน รวมทง เจตคต ทจ าเปนตอการศกษาตอ การประกอบอาชพ และการศกษาตลอดชวต เอกสารประกอบการเรยนรรายวชาคณตศาสตร 3 (ค32101) ชนมธยมศกษาปท 5 ประกอบดวยหนวยการเรยนรจ านวน 2 หนวย ดงน หนวยการเรยนรท 1 : ล าดบและอนกรม หนวยการเรยนรท 2 : ความนาจะเปน ภายในแตละหนวยการเรยนรประกอบดวย เนอหา ตวอยาง แบบฝกทกษะ กจกรรมจ าลองสถานการณ เพอใหนกเรยนไดฝกทกษะทางคณตศาสตรและเชอมโยงความรไปใชในชวตประจ าวนนอกจากนตอนทายบทเรยนของแตละหวขอ แตละหนวยการเรยนรจะมแบบทดสอบพรอมเฉลยวธท าอยางละเอยด เพอใหนกเรยนไดทดสอบความร ตรวจสอบความถกตอง และท าความเขาใจไดดวยตนเอง ผจดท าหวงเปนอยางยงวาเอกสารประกอบการเรยนรรายวชาคณตศาสตร 3 (ค32101) ชนมธยมศกษาปท 5 จะท าใหนกเรยนตระหนกถงคณคาของวชาคณตศาสตรมากยงขน เรยนวชาคณตศาสตรอยางมความสข สามารถพฒนาตนเองโดยเฉพาะวชาคณตศาสตร และน าความรไปใชแกปญหา สถานการณตาง ๆ ทพบในชวตประจ าวนได

นงคเพญ ทองเลศ

3

สมรรถนะส าคญของผเรยน และคณลกษณะอนพงประสงค

หลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน มงใหผเรยนเกดสมรรถนะส าคญ 5 ประการ ดงน 1. ความสามารถในการสอสาร 2. ความสามารถในการคด 3. ความสามารถในการแกปญหา 4. ความสามารถในการใชทกษะชวต 5. ความสามารถในการใชเทคโนโลย หลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน มงพฒนาผเรยนใหมคณลกษณะอนพงประสงค เพอใหสามารถอยรวมกบผอนในสงคมไดอยางมความสข ในฐานะเปนพลเมองไทยและพลโลกดงน 1. รกชาต ศาสน กษตรย 2. ซอสตยสจรต 3. มวนย 4. ใฝเรยนร 5. อยอยางพอเพยง 6. มงมนในการท างาน 7. รกความเปนไทย 8. มจตสาธารณะ

4

สาระและมาตรฐานการเรยนร (ทเกยวของ)

สาระท 4 พชคณต มาตรฐาน ค 4.1 เขาใจและวเคราะหแบบรป (pattern) ความสมพนธ และฟงกชน มาตรฐาน ค 4.2 ใชนพจน สมการ อสมการ กราฟ และตวแบบเชงคณตศาสตร (mathematical model) อนๆ แทนสถานการณตางๆ ตลอดจนแปลความหมาย และน าไปใช แกปญหา สาระท 5 การวเคราะหขอมลและความนาจะเปน มาตรฐาน ค 5.2 ใชวธการทางสถตและความรเกยวกบความนาจะเปนในการคาดการณไดอยาง สมเหตสมผล มาตรฐาน ค 5.3 ใชความรเกยวกบสถตและความนาจะเปนชวยในการตดสนใจและแกปญหา สาระท 6 ทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตร มาตรฐาน ค 6.1 มความสามารถในการแกปญหา การใหเหตผล การสอสาร การสอความหมาย ทางคณตศาสตรและการน าเสนอ การเชอมโยงความรตาง ๆ ทางคณตศาสตร และ เชอมโยงคณตศาสตรกบศาสตรอน ๆ และมความคดรเรมสรางสรรค

5

ตวชวดและสาระการเรยนรแกนกลาง (ทเกยวของ)

รหสตวชวด ชวงชน

ตวชวด

ค 4.1 ม.4-6/4 เขาใจความหมายของล าดบและหาพจนทวไปของล าดบจ ากด ค 4.1 ม.4-6/5 เขาใจความหมายของล าดบเลขคณต และล าดบเรขาคณต หาพจนตางๆ ของล าดบ

เลขคณตและล าดบเรขาคณต และน าไปใช ค 4.2 ม.4-6/6 เขาใจความหมายของผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณตและอนกรมเรขาคณต

หาผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณตและอนกรมเรขาคณตโดยใชสตรและน าไปใช

ค 5.2 ม.4-6/2 อธบายการทดลองสม เหตการณ ความนาจะเปนของเหตการณ และน าผลทไดไปใชคาดการณในสถานการณทก าหนดให

ค 5.3 ม.4-6/2 ใชความรเกยวกบความนาจะเปนชวยในการตดสนใจและแกปญหา ค 6.1 ม.4-6/1 ใชวธการทหลากหลายแกปญหา ค 6.1 ม.4-6/2 ใชความร ทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตร และเทคโนโลยในการแกปญหา

ในสถานการณตางๆ ไดอยางเหมาะสม ค 6.1 ม.4-6/3 ใหเหตผลประกอบการตดสนใจ และสรปผลไดอยางเหมาะสม ค 6.1 ม.4-6/4 ใชภาษาและสญลกษณทางคณตศาสตรในการสอสาร การสอความหมาย และการ

น าเสนอ ไดอยางถกตอง และชดเจน ค 6.1 ม.4-6/5 เชอมโยงความรตางๆ ในคณตศาสตร และน าความร หลกการ กระบวนการทาง

คณตศาสตรไปเชอมโยงกบศาสตรอนๆ ค 6.1 ม.4-6/6 มความคดรเรมสรางสรรค

6

ค าแนะน าการใชส าหรบคร

ค าชแจง เอกสารประกอบการเรยนรวชาคณตศาสตร 3 (ค32101) ชนมธยมศกษาปท 5 ใชประกอบการกจกรรมการเรยนรรายวชาคณตศาสตร 3 (ค32101) ในรปแบบการเรยนรแบบมสวนรวมระหวางคร และนกเรยนโดยยดนกเรยนเปนศนยกลางแหงการเรยนร มวธใชดงน 1. เอกสารประกอบการเรยนรรายวชาคณตศาสตร 3 (ค32101) ชนมธยมศกษาปท 5สามารถใชไดหลายลกษณะดวยกนคอ สอนเพอความรใหม สอนเพอทบทวนบทเรยน หรอสอนเพอซอมเสรม 2. การจดการเรยนรเนนใหนกเรยนเรยนรดวยตนเอง โดยครมหนาทจดหา สอการเรยนร ออกแบบกจกรรมการเรยนรทเหมาะสมสอดคลองกบหลกสตร ตรวจสอบความเขาใจของนกเรยน พรอมใหค าปรกษาเมอนกเรยนประสบปญหาในการเรยนร 3. ในการน าเอกสารประกอบการเรยนรวชาคณตศาสตร 3 (ค32101) ชนมธยมศกษา ปท 5 มาใชในการจดกจกรรมการเรยนร ครผสอนควรแนะน าถงลกษณะทวๆ ไปของเอกสารใหนกเรยนเขาใจกอนน ามาใช ดงน 3.1 เอกสารประกอบการเรยนรรายวชาคณตศาสตร 3 (ค32101) ชนมธยมศกษา ปท 5 ประกอบดวยหนวยการเรยนรจ านวน 2 หนวย ดงน 1) หนวยการเรยนรท 1 : ล าดบและอนกรม 2) หนวยการเรยนรท 2 : ความนาจะเปน 3.2 ภายในแตละหนวยการเรยนรประกอบดวย 1) เนอหา และ ตวอยาง 2) แบบฝกทกษะ 3) กจกรรมจ าลองสถานการณ 4) แบบทดสอบแตละหวขอ และแบบทดสอบทายหนวย 4. กอนเรมเรยนการเรยนรใหนกเรยนท าการทดสอบความรกอนเรยนเพอวดและประเมนผล การเรยนรกอนการจดกจกรรมการเรยนร โดยใชแบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยนรายวชาคณตศาสตร 3 (ค32101) ชนมธยมศกษาปท 5 5. เมอนกเรยนศกษาเนอหา และตวอยางแลวครผสอนตองตรวจสอบความเขาใจของนกเรยนโดยการถามตอบ ใหนกเรยนรวมกนสรปเนอหาใหถกตอง ชดเจน เมอเหนวานกเรยนเขาใจเนอหาดแลวจงใหนกเรยนท าแบบฝกทกษะในแตละหวขอ จากนนสมาชกในหองเรยนทกคนชวยกนตรวจค าตอบกบค าตอบของตนเองและเฉลยในภาคผนวก

7

6. การท ากจกรรมจ าลองสถานการณ จดใหมการแบงกลม 2 ลกษณะดงน 6.1 ท าเปนค ใชการสมจบคระหวางนกเรยนในกลมเกงและกลมออน 6.2 ท าเปนกลมๆ ละ 4 คน โดยแตละกลมประกอบดวยนกเรยนกลมเกง กลม ปานกลาง และกลมออน ในอตราสวน 1:2:1 ตามล าดบ โดยใหนกเรยนในกลมเกงท าหนาทเปนพเลยง จากนนสมใหนกเรยนในกลมออนท าหนาทเฉลยและอธบายเพอนหนาชนเรยนโดยสมาชกในหองเรยนทกคน และคร รวมกนตรวจกบค าตอบกบเฉลยในภาคผนวก 7. เมอเรยนจบแตละหวขอใหนกเรยนท าแบบทดสอบแตละหวขอดวยตนเองแลว ตรวจสอบค าตอบกบเฉลยในภาคผนวก 8. เมอเรยนจบแตละหนวยการเรยนรใหนกเรยนท าแบบทดสอบทายหนวยการเรยน ดวยตนเองแลวตรวจสอบค าตอบกบเฉลยในภาคผนวก 9. เมอจบกจกรรมการเรยนรใหนกเรยนท าการทดสอบความรหลงเรยน เพอวดและประเมนผลการเรยนรหลงการจดกจกรรมการเรยนร โดยใชแบบทดสอบวดผลสมฤทธทางการเรยนรายวชาคณตศาสตร 3 (ค32101) ชนมธยมศกษาปท 5 10. ตรวจสอบความกาวหนาของนกเรยนจากคะแนนการท าแบบทดสอบวดผลสมฤทธ ทางการเรยนรายวชาคณตศาสตร 3 (ค32101) ชนมธยมศกษาปท 5 กอนและหลงเรยน

8

ค าชแจงส าหรบนกเรยนในการเรยนรดวยตนเอง ภายในเอกสารประกอบการเรยนรวชาคณตศาสตร 3 (ค32101) ชนมธยมศกษาปท 5 ประกอบดวยหนวยการเรยนร 2 หนวย ดงน หนวยการเรยนรท 1 ล าดบและอนกรม หนวยการเรยนรท 2 ความนาจะเปน การเรยนรดวยตนเองใหนกเรยนปฏบต ดงน 1. ศกษาเนอหา ตวอยาง 2. ท าแบบฝกทกษะ (ตรวจค าตอบกบเฉลยในภาคผนวก ในกรณทมขอทท าไมถกตองใหกลบไปท าความเขาใจเนอหาและตวอยางของหวขอนนๆ แลวแกไขใหถกตอง) 3. ท ากจกรรมจ าลองสถานการณ (ตรวจค าตอบกบเฉลยในภาคผนวก ในกรณทมขอทท าไมถกตองใหกลบไปท าความเขาใจเนอหาและตวอยางของหวขอนนๆ แลวแกไขใหถกตอง) 4. เมอจบแตละหวขอท าแบบทดสอบยอย (ตรวจค าตอบกบเฉลยในภาคผนวก ในกรณทมขอทท าไมถกตองใหกลบไปท าความเขาใจเนอหาและตวอยางของหวขอนนๆ แลวแกไขใหถกตอง) 5. เมอจบแตละหนวยท าแบบทดสอบทายหนวย (ตรวจค าตอบกบเฉลยในภาคผนวก ในกรณทมขอทท าไมถกตองใหกลบไปท าความเขาใจเนอหาและตวอยางของหนวยนนๆ แลวแกไขใหถกตอง)

9

จงพจารณาความสมพนธตอไปนเปนฟงกชนหรอไม 1) r = {(5, 1), (6, 2), (7, 3), (8, 4)} เปนฟงกชน 2) r = {(3, 4), (3, 5), (5, 6), (6, 8)} ไมเปนฟงกชน 3) r = {(-3, 4), (-4, 5), (3, 6), (4, 8)} เปนฟงกชน

4) r = {(x, y)N×N y = 2x + 2} = {(1, 4), (2, 6), (3, 8), …} เปนฟงกชน

5) r = {(x, y)N×N y = 2x }

= {(2, 1), (4, 2), (6, 3), …} เปนฟงกชน

จงหาโดเมนและเรนจของฟงกชนตอไปน

1) f = {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8)} โดเมน คอ {1, 2, 3, 4} และ เรนจ คอ {2, 4, 6, 8} 2) f = {(2, 8), (3, 12), (4, 16), (5, 20)} โดเมน คอ {2, 3, 4, 5} และ เรนจ คอ {8, 12, 16, 20}

f = {(x, y)N×N y = 4x + 2} 3) ถา x = 1 จะได y = 4(1) + 2 = 6 ถา x = 2 จะได y = 4(2) + 2 = 10 ถา x = 3 จะได y = 4(3) + 2 = 14

ดงนน f = {(1, 6), (2, 10), (3, 14), …} โดเมน คอ {1, 2, 3, …} และ คอ {6, 10, 14, …} เรนจ

ฟงกชน คอ ความสมพนธซงส าหรบคอนดบสองคใดๆ ของความสมพนธนน

ถามสมาชกตวหนาเหมอนกนแลวสมาชกตวหลงตองไมตางกน

โดเมนของฟงกชน คอ เซตของสมาชกตวหนาของคอนดบในฟงกชน เรนจของฟงกชน คอ เซตของสมาชกตวหลงของคอนดบในฟงกชน

10

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

1. จงพจารณาความสมพนธตอไปนเปนฟงกชนหรอไม 1) r = {(2, 6), (2, 7), (8, 9), (10, 11)} ………..…………………… 2) r = {(-1, 1), (-2, 2), (-3, 3), (-4, 4)} ………..…………………… 3) r = {(3, 4), (-3, 5), (5, 6), (6, 8)} ………..……………………

4) r = {(x, y)N×N y = -2x + 5} = {(1, 3), (2, 1)} ………..……………………

5) r = {(x, y)N×N y = 4x }

= {(4, 1), (8, 2), (12, 3), …} ………..……………………

2. จงหาโดเมนและเรนจของฟงกชน

ฟงกชน โดเมน เรนจ

1) f = {(1, 2), (2, 4), (3, 8), (4, 16), (5, 32)}

2) f = {(3, 8), (4, 16), (5, 32)}

3) f = {(x, y)N×N y = 5x + 1}

4) f = {(x, y)N×N y = 3x }

5) f = {(x, y)N×N y = 3x }

3. ก าหนด f(x) = {(x, y)N×N y = 2x + 3} จงหา 1) f(1) = ………..…………………… = ………..…………………… 2) f(2) = ………..…………………… = ………..…………………… 3) f(3) = ………..…………………… = ………..…………………… 4) f(n + 1) = ………..…………………… = ………..……………………

แบบฝกทกษะทบทวนฟงกชน

11

ฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจ านวนเตมบวก หรอสบเซตของจ านวนเตมบวกในรป {1, 2, 3, …, n} เรยกวา ล าดบ

พจารณาสถานการณตอไปน ชางกอสรางตองการตดกระเบองบนผนงบานตามแบบรปดานลางน

(รปท 1) (รปท 2) (รปท 3) (รปท 4)

ก าหนดให แทนพนทตดกระเบอง 1 ตารางหนวย จะพบวาล าดบของรป และพนทตดกระเบองในแตละรปมความสมพนธกนดงน

รปท 1 2 3 4 พนทตดกระเบอง (ตารางหนวย) 1 4 9 16

จะเหนวา ความสมพนธระหวางล าดบของรปและพนทตดกระเบองในแตละรปเปนฟงกชน {(1,1), (2, 4), (3, 9), (4, 16)} ทมโดเมนเปน {1, 2, 3, 4} และมเรนจเปน {1, 4, 9, 16}

12

รกชาตออมเงนทกเดอน เดอนละ 100 บาท ท าใหเขามจ านวนเงนออมสะสมในแตละเดอนดงแบบรปของจ านวน 100, 200, 300, 400, … จะพบวาล าดบของเดอนทออมและจ านวนเงนออมสะสมในแตละเดอนมความสมพนธกนดงน

เดอนท 1 2 3 4 …

เงนออมสะสม (บาท) 100 200 300 400 ...

จะเหนวา ความสมพนธระหวางล าดบของเดอนทออมและจ านวนเงนออมสะสมใน แตละเดอนเปนฟงกชน {(1,100), (2, 200), (3, 300), (4, 400), …} ทมโดเมนเปน {1, 2, 3, 4, …}และมเรนจเปน {100, 200, 300, 400, …}

ล าดบ (sequence) คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนเซต {1, 2, 3, …, n} หรอ มโดเมนเปนเซตของจ านวนเตมบวก เรยกล าดบทมโดเมนเปนเซต {1, 2, 3, …, n} วา ล าดบจ ากด (finite sequence) และ เรยกล าดบทมโดเมนเปนเซตของ จ านวนเตมบวกวา ล าดบอนนต (infinite sequence) ล าดบทมโดเมนเทากบ {1, 2, 3, …, n} จะเรยก และ ล าดบทมโดเมนเทากบ {1, 2, 3, …} จะเรยก

13

ในการเขยนล าดบ จะเขยนเฉพาะสมาชกของเรนจเรยงกนไป กลาวคอ ถา a เปน

ล าดบจ ากดจะเขยนแทนดวย n321 a...,,a,a,a และในกรณท a เปนล าดบอนนตจะเขยนแทน

ดวย ...,a...,,a,a,a n321

เรยก 1a วาพจนท 1 ของล าดบ 2a วาพจนท 2 ของล าดบ

3a วาพจนท 3 ของล าดบ

na วาพจนท n หรอ พจนทวไป (general term) ของล าดบ

1, 3, 6, 10 เปนล าดบจ ากดทม 1a = 1, 2a = 3, 3a = 6 และ 4a = 10

100, 200, 300, 400, … เปนล าดบอนนตทม 1a = 100, 2a = 200, 3a = 300,

4a = 400 และ na = 100n

ค าสง ใหนกเรยนยกตวอยางล าดบจ ากด และล าดบอนนต……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ตวอยางเพมเตมโดยนกเรยน

14

จงหาพจนทสามของล าดบ na = )2-( 1-n

แทนคา n = 3 ใน na = )2-( 1-n

จากโจทย na =

)2-( 1-n วธท า จะได 3a = )2-( 1-3 = 2)2-( = 4 พจนทสามของล าดบ na คอ 4 ดงนน

จงหาสพจนแรกของล าดบ na =

ตมบวกคเปนจ านวนเ n เมอ 2n


หา 1a โดยแทนคา n = 1 ใน na = 2n หา 2a โดยแทนคา n = 2 ใน na = 2

n

หา 3a โดยแทนคา n = 3 ใน na = 2n

หา 4a โดยแทนคา n = 4 ใน na = 2n

จากโจทย na =


ตมบวกคเปนจ านวนเ n เมอ 2n วธท า

จะได 1a = 2n = 2(1) = 2

2a = 2n = 2

2 = 1

3a = 2n = 2(3) = 6

4a = 2n

= 2

4 = 2

สพจนแรกของล าดบ na คอ 2, 1, 6, 2 ดงนน

15

จงเขยนล าดบจ ากด na = 1 + nn เมอ n{1, 2, 3, 4} โดยการแจงพจน

แทนคา n = 1, 2, 3, 4 ใน na = 1 + nn

จากโจทย na = 1 + n

n เมอ n{1, 2, 3, 4} วธท า

จะได 1a = 1 + 11 = 2

1

2a = 1 + 22 = 3

2

3a = 1 + 33 = 4

3

4a = 1 + 44 = 5

4

เขยนล าดบ na โดยการแจงพจนได 54,4

3,32,2

1 ดงนน

จงเขยนล าดบอนนต na = 3n + 1 โดยการแจงพจน

แทนคา n = 1, 2, 3, 4, … ใน na = 3n + 1

จากโจทย na = 3n + 1 วธท า จะได 1a = 3(1) + 1 = 4

2a = 3(2) + 1 = 7 3a = 3(3) + 1 = 10 4a = 3(4) + 1

= 13

เขยนล าดบ na โดยการแจงพจนได 4, 7, 10, 13, …, 3n + 1, … ดงนน

1. ในกรณทก าหนดล าดบโดยพจนทวไป ถาไมไดระบสมาชกในโดเมนใหถอวาล าดบนนเปนล าดบอนนต 2. ในการก าหนดล าดบอนนตโดยการแจงพจนจะเขยนพจนทวไปก ากบไวกบการ

เขยนล าดบเสมอ เชน ...,32...,,27

8,94,3

2,11-n

ยกเวนในกรณทระบไดวาล าดบอนนตมสมบต

เฉพาะททราบกน เชน 2, 4, 6, 8, … ซงการหาพจนทวไปของล าดบจะอยใน หวขอ 1.1.2 ตอไป

16

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

1. จงเขยนล าดบจ ากด na = 2n - 1 เมอ n{1, 2, 3} โดยการแจงพจน

……………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………. 2. จงเขยนล าดบอนนต na = )3-( 1-n โดยการแจงพจน

……………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………….

3. จงเขยนล าดบตอไปนโดยการแจงพจน พจนทวไป ล าดบโดยการแจงพจน

1) na = 3n - 1 เมอ n = 1, 2, 3, 4

2) na = 2)-( n

3) na = -3n + 1

4) na = 5n - 1 เมอ n = 1, 2, 3, …, 100

5) na = n22n

6) na = 2)-(2n

n

7) na = 1 + 3n-1 - 3n

8) na = 1 - 5n1 - 3n

แบบฝกทกษะชดท 1.1.1 (ก)

17

ล าดบฟโบนกซ เปนล าดบของจ านวนเตมบวกซงมความสมพนธดงน na = 2-n1-n a +a เมอ n ≥ 3

เชน ล าดบ 1, 1, 2, 3, 5, …

ผทคนพบความสมพนธของจ านวนในล าดบน คอ เลโอนาโดแหงปซา (Leonardo de Pisa) พอคาชาวอตาล ซงมสมญานามวา ฟโบนกซ (Fibonacci)

จงหาหาพจนแรกของล าดบ na = 2-n1-n a +a เมอ n ≥ 3, 1a = 5 และ

2a = 6

หา na เมอ n ≥ 3 โดยหาผลบวกสองพจนตดกนทอยกอนหนา จาก na = 2-n1-n a +a เมอ 1a = 5 และ 2a = 6 วธท า

จะได 3a = 2-31-3 a+a = 12 a +a = 6 + 5 = 11

4a = 2-41-4 a +a = 23 a +a = 11 + 6 = 17

5a = 2-51-5 a +a = 34 a +a = 17 + 11 = 28

หาพจนแรกของล าดบ na คอ 5, 6, 11, 17, 28 ดงนน

จงเขยนล าดบ na = 2-n1-n a +a เมอ n ≥ 3, 1a = 1 และ 2a = 2

โดยการแจงพจน

หา na เมอ n ≥ 3 โดยหาผลบวกสองพจนตดกนทอยกอนหนา

จาก na = 2-n1-n a +a เมอ 1a = 1 และ 2a = 2 วธท า

จะได 3a = 2-31-3 a+a = 12 a +a = 2 + 1 = 3

4a = 2-41-4 a +a = 23 a +a = 3 + 2 = 5

5a = 2-51-5 a +a = 34 a +a = 5 + 3 = 8

เขยนล าดบ na โดยการแจงพจนได 1, 2, 3, 5, 8, … ดงนน

18

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

1. จงหาหกพจนแรกของล าดบ na = 2-n1-n a +a เมอ n ≥ 3, 1a = 1 และ 2a = 1

……………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………….

2. จงเขยนล าดบ na = 2-n1-n a +a เมอ n ≥ 3, 1a = 5 และ 2a = 5


……………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………….

3. จงยกตวอยางล าดบฟโบนกซ เชน 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, … ……………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………….

แบบฝกทกษะชดท 1.1.1 (ข)

19

จดประสงค : พฒนาสมรรถนะส าคญ และคณลกษณะอนพงประสงค เนอหา : ความหมายของล าดบ การแบงกลม : ท าเปนค วธปฏบต : ศกษาเนอหาและตวอยาง ในหวขอ 1.1.1 และ ท ากจกรรมท 1.1.1 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

นกออกแบบคนหนงออกแบบการตดกระเบองดงแบบรปดานลางน

(รปท 1) (รปท 2) (รปท 3) (รปท 4)

ก าหนดให แทนกระเบองจ านวน 4 แผน จงเตมจ านวนหรอขอความลงชองวางใหสมบรณ

รปท 1 2 3 4 5 6

จ านวนกระเบอง (แผน)

สามารถเขยนแสดงจ านวนกระเบองในแตละรปตงแตรป 1 ถงรปท 6 ดงนน เปนล าดบจ ากด …………………………………………………………………………………

ผจดการแสดงจดทนงส าหรบผเขาชมการแสดงในโรงละครแหงหนง ดงน แถวทหนง 20 ทนง แถวทสอง 22 ทนง แถวทสาม 24 ทนง และเพมทนงแถวละ 2 ทนง เชนนไปเรอยๆ จงเตมจ านวนหรอขอความลงชองวางใหสมบรณ

แถวท 1 2 3 4 5 …

จ านวนทนง (ทนง)

สามารถเขยนแสดงจ านวนทนงในแตละแถวตงแตแถวท 1 ไปเรอยๆ ดงนน เปนล าดบอนนต …………………………………………………………………………………

20

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

1. จงพจารณาความสมพนธตอไปนเปนฟงกชนหรอไม 1) r = {(2, 6), (2, 7), (8, 9), (10, 11)} ไมเปนฟงกชน 2) r = {(-1, 1), (-2, 2), (-3, 3), (-4, 4)} เปนฟงกชน 3) r = {(3, 4), (-3, 5), (5, 6), (6, 8)} เปนฟงกชน

4) r = {(x, y)N×N y = -2x + 5} = {(1, 3), (2, 1)} เปนฟงกชน

5) r = {(x, y)N×N y = 4x }

= {(4, 1), (8, 2), (12, 3), …} เปนฟงกชน

2. จงหาโดเมนและเรนจของฟงกชน

ฟงกชน โดเมน เรนจ

1) f = {(1, 2), (2, 4), (3, 8), (4, 16), (5, 32)} {1, 2, 3, 4, 5} {2, 4, 8, 16, 32}

2) f = {(3, 8), (4, 16), (5, 32)} {3, 4, 5} {8, 16, 32}

3) f = {(x, y)N×N y = 5x + 1} {1, 2, 3, 4, …} {6, 11, 16, 21, …}

4) f = {(x, y)N×N y = 3x } {1, 2, 3, 4, …} {1, 8, 27, 64, …}

5) f = {(x, y)N×N y = 3x } {3, 6, 9, 12, …} {1, 2, 3, 4, …}

3. ก าหนด f(x) = {(x, y)N×N y = 2x + 3} จงหา 1) f(1) = 2(1) + 3 = 5 2) f(2) = 2(2) + 3 = 7

3) f(3) = 2(3) + 3 = 9

4) f(n + 1) = 2(n + 1) + 3 = 2n + 2 + 3

= 2n + 5

เฉลย แบบฝกทกษะทบทวนฟงกชน

21

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

1. จงเขยนล าดบจ ากด na = 2n - 1 เมอ n{1, 2, 3} โดยการแจงพจน

จากโจทย na = 2n - 1 วธท า จะได 1a = 2(1) - 1 = 2 - 1 = 1

2a = 2(2) - 1 = 4 - 1 = 3 3a = 2(3) - 1 = 6 - 1 = 5 เขยนล าดบ na โดยการแจงพจนได 1, 3, 5 ดงนน

2. จงเขยนล าดบอนนต na = )3-( 1-n โดยการแจงพจน

จากโจทย na = )3-( 1-n วธท า จะได 1a = )3-( 1-1 = )3-( 0 = 1 2a = )3-( 1-2 = )3-( 1 = -3 3a = )3-( 1-3 = )3-( 2 = 9

เขยนล าดบ na โดยการแจงพจนได 1, -3, 9, ...,(-3)..., 1-n ดงนน

3. จงเขยนล าดบตอไปนโดยการแจงพจน พจนทวไป ล าดบโดยการแจงพจน

1) na = 3n - 1 เมอ n = 1, 2, 3, 4 2, 5, 8, 11

2) na = 2)-( n -2, 4, -8, 16, ...,(-2)..., n

3) na = -3n + 1 -2, -5, -8, -11, …, -3n + 1, …

4) na = 5n - 1 เมอ n = 1, 2, 3, …, 100 4, 9, 14, 19, …, 499

5) na = n22n

...,2n2...,,2

1,43,1,1 n

6) na = 2)-(2n

n ...,2)-(2n...,,2

1,43-,1,1- n

7) na = 1 + 3n-1 - 3n -1, -1, -1, -1, …,

1 + 3n-1 - 3n , …

8) na = 1 - 5n1 - 3n ...,1 - 5n

1 - 3n...,,1911,7

4,95,2

1

เฉลย แบบฝกทกษะชดท 1.1.1 (ก)

22

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

1. จงหาหกพจนแรกของล าดบ na = 2-n1-n a +a เมอ n ≥ 3, 1a = 1 และ 2a = 1


จะได 3a = 2-31-3 a+a = 12 a +a = 1 + 1 = 2

4a = 2-41-4 a +a = 23 a +a = 2 + 1 = 3

5a = 2-51-5 a +a = 34 a +a = 3 + 2 = 5

6a = 2-61-6 a +a = 45 a +a = 5 + 3 = 8

หกพจนแรกของล าดบ na คอ 1, 1, 2, 3, 5, 8 ดงนน

2. จงเขยนล าดบ na = 2-n1-n a +a เมอ n ≥ 3, 1a = 5 และ 2a = 5



จะได 3a = 2-31-3 a+a = 12 a +a = 5 + 5 = 10

4a = 2-41-4 a +a = 23 a +a = 10 + 5 = 15

5a = 2-51-5 a +a = 34 a +a = 15 + 10 = 25

เขยนล าดบ na โดยการแจงพจนได 5, 5, 10, 15, 25, … ดงนน

3. จงยกตวอยางล าดบฟโบนกซ เชน 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, … เฉลยในชนเรยน

เฉลย แบบฝกทกษะชดท 1.1.1 (ข)

23

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

นกออกแบบคนหนงออกแบบการตดกระเบองดงแบบรปดานลางน

(รปท 1) (รปท 2) (รปท 3) (รปท 4)

ก าหนดให แทนกระเบองจ านวน 4 แผน จงเตมจ านวนหรอขอความลงชองวางใหสมบรณ

รปท 1 2 3 4 5 6

จ านวนกระเบอง (แผน) 4 12 24 40 60 84

สามารถเขยนแสดงจ านวนกระเบองในแตละรปตงแตรป 1 ถงรปท 6 ดงนน เปนล าดบจ ากด 4, 12, 24, 40, 60, 84

ผจดการแสดงจดทนงส าหรบผเขาชมการแสดงในโรงละครแหงหนง ดงน แถวทหนง 20 ทนง แถวทสอง 22 ทนง แถวทสาม 24 ทนง และเพมทนงแถวละ 2 ทนง เชนนไปเรอยๆ จงเตมจ านวนหรอขอความลงชองวางใหสมบรณ

แถวท 1 2 3 4 5 …

จ านวนทนง (ทนง) 20 22 24 26 28 ...

สามารถเขยนแสดงจ านวนทนงในแตละแถวตงแตแถวท 1 ไปเรอยๆ ดงนน เปนล าดบอนนต 20, 22, 24, 26, 28, …

24

การหาพจนทวไปของล าดบ คอ การเขยนแสดงพจนทวไปในรปทม n เปนตวแปร และ เมอแทน n ในเซตของสมาชก {1, 2, 3, …, n} แลวไดพจนท 1, 2, 3, …, n ของล าดบตามทก าหนด

พจารณาการหาสองพจนถดไปของล าดบทก าหนดใหตอไปน 1) 4, 7, 10, 13, …

พจารณา 4 7 10 13 16 19

+3 +3 +3 +3 +3

พบวา พจนทอยถดไปของล าดบนจะเพมขนคงททละ 3

จะได พจนสองพจนถดไปของล าดบนจะเพมขน 3

สองพจนถดไปของล าดบ 4, 7, 10, 13, … คอ 16 และ 19 ดงนน

ตามล าดบ

2) 45, 90, 180, 360, …

พจารณา 45 90 180 360 720 1,440

×2 ×2 ×2 ×2 ×2

พบวา พจนทอยถดไปของล าดบนจะเพมขนเปน 2 เทาของพจนทอย

ขางหนา

จะได พจนสองพจนถดไปของล าดบนจะเพมขนเปน 2 เทาของพจนทอย

ขางหนา

สองพจนถดไปของล าดบ 45, 90, 180, 360, … คอ 720 และ ดงนน

1440 ตามล าดบ

25

3) 50, 48, 44, 38, …

พจารณา 50 48 44 38 30 20

-2 -4 -6 -8 -10

พบวา พจนทอยถดไปของล าดบนจะลดลง 2, 4, 6 ตามล าดบ

จะได พจนสองพจนถดไปของล าดบนจะลดลง 8 และ 10 ตามล าดบ

สองพจนถดไปของล าดบ 50, 48, 44, 38 คอ 30 และ 20 ดงนน


4) 1, 2, 6, 24, …

พจารณา 1 2 6 24 120 720

×2 ×3 ×4 ×5 ×6

พบวา พจนทอยถดไปของล าดบนจะเพมขนเปน 2, 3, 4 เทาของพจนทอย

ขางหนาตามล าดบ

จะได พจนสองพจนถดไปของล าดบนจะเพมขนเปน 5 และ 6 เทาของ

พจนทอยขางหนาตามล าดบ

สองพจนถดไปของล าดบ 1, 2, 6, 24, … คอ 120 และ 720 ดงนน


26

การหาพจนทวไปของล าดบโดยใชการสงเกต จะใชการสงเกตความสมพนธของ แตละพจนกบล าดบของพจน

เอกสารนใช na แทนพจนทวไป หรอ พจนท n ของล าดบ

จงหาพจนทวไปของล าดบจ ากดตอไปน

1) 6, 11, 16, 21, 26, 31

พจารณาความสมพนธของพจนในล าดบ 6, 11, 16, 21, 26, 31

พบวา พจนทอยถดไปจะมากกวาพจนทอยขางหนาอย 5 เสมอ

พจารณาหาความสมพนธของล าดบทของพจนกบพจนทก าหนดใหดงน

1a 2a 3a 4a 5a 6a

6 11 16 21 26 31

(5×1) +1 (5×2) +1 (5×3) +1 (5×4) +1 (5×5) +1 (5×6) +1

พจนทวไปของล าดบ หรอ na = 5n + 1 จะได

เมอ n{1, 2, 3, 4, 5, 6}

2) 2, 4, 8, 16, 32, 64

พจารณาความสมพนธของพจนในล าดบ 2, 4, 8, 16, 32, 64

พบวา พจนทอยถดไปจะเปน 2 เทาของพจนทอยขางหนาเสมอ


1a 2a 3a 4a 5a 6a

2 4 8 16 32 64 12 22 32 42 52 62

พจนทวไปของล าดบ หรอ na = n2 เมอ n{1, 2, 3, 4, 5, 6} จะได

27

3) 2, -6, 18, -54, 162

พจารณาความสมพนธของพจนในล าดบ 2, -6, 18, -54, 162

พบวา พจนทอยถดไปจะเปน -3 เทาของพจนทอยขางหนาเสมอ พจารณาหาความสมพนธของล าดบทของพจนกบพจนทก าหนดใหดงน

1a 2a 3a 4a 5a

2 -6 18 -54 162 1-1)3-(×2 1-2)3-(×2 1-3)3-(×2 1-4)3-(×2 1-5)3-(×2

พจนทวไปของล าดบ หรอ na = 1-n)3-(×2 จะได

เมอ n{1, 2, 3, 4, 5}

4) 256040...,,20

12,108,5

4

ตวเศษ พจารณาความสมพนธของพจนในล าดบ 4, 8, 12, …, 40

พบวา พจนทอยถดไปจะมากกวาพจนทอยขางหนาอย 4 เสมอ


1a 2a 3a … 10a …

4 8 12 … 40 …

4 × 1 4 × 2 4 × 3 … 4 × 10 …

ตวสวน พจารณาความสมพนธของพจนในล าดบ 5, 10, 20, …, 2560

พบวา พจนทอยถดไปจะเปน 2 เทาของพจนทอยขางหนาเสมอ


1a 2a 3a … 10a …

5 10 20 … 2560 … 1-12×5 1-22×5 1-32×5 … 1-102×5 …

พจนทวไปของล าดบ หรอ na = 1-n2 × 54n จะได

เมอ n{1, 2, 3, …, 10}

28

จงหาพจนทวไปของล าดบอนนต

1) 9, 3, -3, -9, -15, …

พจารณาความสมพนธของพจนในล าดบ 9, 3, -3, -9, -15, … พบวา พจนทอยถดไปจะนอยกวาพจนทอยขางหนาอย 6 เสมอ พจารณาหาความสมพนธของล าดบทของพจนกบพจนทก าหนดใหดงน

1a 2a 3a 4a 5a …

9 3 -3 -9 -15 …

(-6)(1) + 15 (-6)(2) + 15 (-6)(3) + 15 (-6)(4) + 15 (-6)(5) + 15 …

พจนทวไปของล าดบ หรอ na = -6n + 15 จะได

2) 3, -6, 12, -24, 48, …

พจารณาความสมพนธของพจนในล าดบ 3, -6, 12, -24, 48, … พบวา พจนทอยถดไปจะเปน -2 เทาของพจนทอยขางหนาเสมอ พจารณาหาความสมพนธของล าดบทของพจนกบพจนทก าหนดให ดงน

1a 2a 3a 4a 5a …

3 -6 12 -24 48 … 1-1)2-(×3 1-2)2-(×3 1-3)2-(×3 1-4)2-(×3 1-5)2-(×3 …

พจนทวไปของล าดบ หรอ na = 1-n)2-(×3 จะได

การหาพจนทวไปของล าดบในตวอยางทกลาวมาขางตนเปนการหาโดยใชการสงเกต ความสมพนธของแตละพจนกบล าดบของพจน ซงในบางครงอาจจะไมสะดวกทจะใชวธดงกลาว อกวธหนงทนยมใชหาพจนทวไป คอ การใชฟงกชนพหนาม ซงจะกลาวในล าดบตอไป

29

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

1. จงหาพจนถดไปของล าดบทก าหนดใหตอไปน

1) -3, 1, 5, 9, 13, …

……………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………….

2) 1, -3, 9, -27, 81, …

……………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………….

3) 1, 2, 4, 7, 11, …

……………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………….

4) 50, 47, 43, 38, 32, …

……………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………….

5) 2, 2, 4, 12, 48, …

……………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………. 2. จงหาสองพจนถดไปของล าดบตอไปนพรอมบอกเหตผล

ล าดบ สองพจนถดไป เหตผล

1) 4, 7, 10, 13, …

2) 5, 5, 5, 5, 5, …

3) -2, -4, -6, -8, …

4) 5, 5, 10, 30, 120, …

แบบฝกทกษะชดท 1.1.2 (ก)

30

3. จงหาพจนทวไปของล าดบจ ากดตอไปน

1) 4, 2, 0, -2, -4

พจารณาความสมพนธของพจนในล าดบ 4, 2, 0, -2, -4 พบวา …………………………………………………………………………………………………………………


1a 2a 3a 4a 5a

พจนทวไปของล าดบ หรอ na = …………………………………………………………….. จะได

2) 2, 6, 18, 54, 162, 486 พจารณาความสมพนธของพจนในล าดบ 2, 6, 18, 54, 162, 486 พบวา …………………………………………………………………………………………………………………


1a 2a 3a 4a 5a 6a


3) 6, -12, 24, -48, 96, -192 พจารณาความสมพนธของพจนในล าดบ 6, -12, 24, -48, 96, -192 พบวา …………………………………………………………………………………………………………………


1a 2a 3a 4a 5a 6a


31

4. จงหาพจนทวไปของล าดบอนนตตอไปน 1) 7, 14, 28, 56, …

พจารณาความสมพนธของพจนในล าดบ 7, 14, 28, 56, …

พบวา …………………………………………………………………………………………………………………


1a 2a 3a 4a …


2) ...,2924,22

12,156,8

3

ตวเศษ พจารณาความสมพนธของพจนในล าดบ 3, 6, 12, 24, … พบวา …………………………………………………………………………………………………………………

พจารณาหาความสมพนธของล าดบทของพจนกบพจนทก าหนดให ดงน

1a 2a 3a 4a …

ตวสวน พจารณาความสมพนธของพจนในล าดบ 8, 15, 22, 29, … พบวา …………………………………………………………………………………………………………………

พจารณาหาความสมพนธของล าดบทของพจนกบพจนทก าหนดให ดงน

1a 2a 3a 4a …


32

พจารณา 1) ให f(x) = 2x + 1

พจารณาคาของ f(x) และผลตางของ f(x) เมอ x = 1, 2, 3, 4, 5 ดงน x 1 2 3 4 5 f(x) 3 5 7 9 11

ผลตางครงท 1 2 2 2 2 จะเหนวา f(x) = 2x + 1 เปนฟงกชนพหนามดกร 1 และมผลตางครงท 1 เปนคาคงตวทเทากบ 2 ซงไมเทากบศนย

2) ให f(x) = 1 + x + 2x2

พจารณาคาของ f(x) และผลตางของ f(x) เมอ x = -2, -1, 0, 1, 2 ดงน x -2 -1 0 1 2 f(x) 7 2 1 4 11

ผลตางครงท 1 -5 -1 3 7

ผลตางครงท 2 4 4 4 จะเหนวา f(x) = 1 + x + 2x2 เปนฟงกชนพหนามดกร 2 และมผลตาง

ครงท 2 เปนคาคงตวทเทากบ 4 ซงไมเทากบศนย

3) ให f(x) = 1 + 2x3 พจารณาคาของ f(x) และผลตางของ f(x) เมอ x = -1, 0, 1, 2, 3 ดงน x -1 0 1 2 3 f(x) -1 1 3 17 55

ผลตางครงท 1 2 2 14 38

ผลตางครงท 2 0 12 24

ผลตางครงท 3 12 12 จะเหนวา f(x) = 1 + 2x3 เปนฟงกชนพหนามดกร 3 และมผลตางครงท 3 เปนคาคงตวทเทากบ 12 ซงไมเทากบศนย

33

วธการหาพจนทวไปทเปนพหนาม ท าไดโดยหาผลตางระหวางสองพจนของล าดบ และหาผลตางของผลตางจนไดคาคงตว แลวนบวาหาผลตางครงทเทาใดจงจะไดคาคงตว ถาเปนผลตางครงท n พหนามทใชเปนพจนทวไปจะเปนพหนามดกร n

จงหาพจนทวไปของล าดบ 3, 5, 7, 9, … ทเปนฟงกชนพหนาม

หาผลตางระหวางสองพจนของล าดบ ไดคาคงตวดงน วธท า

3 5 7 9


พบวา ผลตางครงท 1 เปนคาคงตว และมคาเทากบ 2

ให พจนทวไปของล าดบนอยในรป na = an + b

จะได 1a = 3 = a + b ……..(1)

2a = 5 = 2a + b ……..(2)

3a = 7 = 3a + b ……..(3)

4a = 9 = 4a + b ……..(4)

(2) - (1)

จะได

5 - 3 = (2a + b) - (a + b)

2 = a

แทนคา a = 2 ใน (1), (2), (3) หรอ (4) จะได b = 1

แทนคา a = 2 และ b = 1 ใน na = an + b

จะได na = 2n + 1

พจนทวไปของล าดบ หรอ na = 2n + 1 ดงนน

34

จงหาพจนทวไปของล าดบ 3, 5, 9, 15, … ทเปนฟงกชนพหนาม

หาผลตางระหวางสองพจนของล าดบ และหาผลตางของผลตางจนไดคาคงตวดงน วธท า

3 5 9 15


ผลตางครงท 2 2 2


ให พจนทวไปของล าดบนอยในรป na = c+bn+an2

จะได 1a = 3 = a + b + c ……..(1)

2a = 5 = 4a + 2b + c ……..(2) 3a = 9 = 9a + 3b + c ……..(3) 4a = 15 = 16a + 4b + c ……..(4) (2) - (1) ไดสมการ 2 = 3a + b ……..(5) (3) - (2) ไดสมการ 4 = 5a + b ……..(6) (6) - (5) จะได 2 = 2a a = 1 แทนคา a = 1 ใน (5) หรอ (6) จะได b = -1 แทนคา a = 1 และ b = -1 ใน (1), (2), (3) หรอ (4) จะได c = 3 แทนคา a = 1, b = -1 และ c = 3 ใน na = c+bn+an2

จะได na = 3+n-n2

พจนทวไปของล าดบ หรอ na = 3+n-n2 ดงนน

35

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

1. จงหาพจนทวไปของล าดบ 4, 2, 0, -2, … ทเปนฟงกชนพหนาม

……………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………. 2. จงหาพจนทวไปของล าดบ -4, -3, -1, 2, … ทเปนฟงกชนพหนาม

……………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………. 3. จงหาพจนทวไปของล าดบ 4, 2, -4, -14, … ทเปนฟงกชนพหนาม

……………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………….

แบบฝกทกษะชดท 1.1.2 (ข)

36

จดประสงค : พฒนาสมรรถนะส าคญ และคณลกษณะอนพงประสงค เนอหา : การหาพจนทวไปของล าดบ การแบงกลม : ท าเปนกลมๆ ละ 4 คน วธปฏบต : ศกษาเนอหาและตวอยาง ในหวขอ 1.1.2 และ ท ากจกรรมท 1.1.2 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

ตอนท 1 : การแกปญหาดวยการหาพจนทวไปของล าดบโดยใชการสงเกต

ผจดการแสดงจดทนงส าหรบผเขาชมการแสดงในโรงละครแหงหนงดงน แถวทหนง 20 ทนง แถวทสอง 22 ทนง แถวทสาม 24 ทนง และเพมทนงแถวละ 2 ทนง เชนนไปเรอยๆ จนเตมพนทในโรงละคร จงหาจ านวนทนงทจดในแถวท n

จ านวนทนงทจดในแตละแถวสามารถเขยนเปนล าดบ ……………………………………….. วธท า พจารณาความสมพนธของพจนในล าดบ …………………………………………………………..

พบวา ……………………………………………………………………………………………………………


1a 2a 3a …

na = ……………………………………………………….. จะได

จ านวนทนงทจดในแถวท n เทากบ ……………………………………………. ทนง ดงนน

37

ถา นกเรยนตงใจออมเงนทกวนดงน วนทหนง 20 บาท วนทสอง 23 บาท วนทสาม 26 บาท และออมเพมวนละ 3 บาท เชนนไปเรอยๆ จงหาจ านวนเงน ออมในวนท n

จ านวนเงนออมในแตละวนสามารถเขยนเปนล าดบ ……….………………………………….. วธท า พจารณาความสมพนธของพจนในล าดบ …………………………………………………………..

พบวา ……………………………………………………………………………………………………………


1a 2a 3a …

na = ……………………………………………………….. จะได

จ านวนเงนออมในวนท n เทากบ …………………………………………….. บาท ดงนน

38

ตอนท 2 : การแกปญหาดวยการหาพจนทวไปของล าดบโดยใชฟงกชนพหนาม

วศวกรคนหนงตองการหาจ านวนเหลกเสนทใชท าโครงสรางตามแบบรปดานลางน

(รปท 1) (รปท 2) (รปท 3) (รปท 4) … ก าหนดให แทนเหลกเสนจ านวน 1 เสน จงหาจ านวนเหลกเสนทใชท าโครงสรางตามรปท n

จ านวนเหลกเสนทใชท าตามแตละรปสามารถเขยนเปนล าดบ …………………………….. วธท า…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………… จ านวนเหลกเสนทใชท าโครงสรางตามรปท n เทากบ ………………………… เสน ดงนน

39

ชางเชอมโลหะคนหนงตองการหาจ านวนจดทตองเชอมเหลกตามแบบรปดานลางน

(รปท 1) (รปท 2) (รปท 3) (รปท 4) … ก าหนดให แทนจดทตองเชอมเหลกจ านวน 1 จด จงหาจ านวนจดทตองเชอมเหลกตามรปท n

จ านวนจดทตองเชอมเหลกตามแตละรปสามารถเขยนเปนล าดบ ……………………….. วธท า…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………… …………………………………………………………………………………………………………………….……………………… จ านวนจดทตองเชอมเหลกตามรปท n เทากบ ………………………………. จด ดงนน

40

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

1. จงหาพจนถดไปของล าดบทก าหนดใหตอไปน

1) -3, 1, 5, 9, 13, …

พจารณา -3 1 5 9 13 17

+4 +4 +4 +4 +4

พบวา พจนทอยถดไปของล าดบนจะเพมขนคงททละ 4 จะได พจนถดไปของล าดบนจะเพมขน 4

พจนถดไปของล าดบ -3, 1, 5, 9, 13 … คอ 17 ดงนน

2) 1, -3, 9, -27, 81, …

พจารณา 1 -3 9 -27 81 -243

×(-3) ×(-3) ×(-3) ×(-3) ×(-3)

พบวา พจนทอยถดไปของล าดบนจะเปน -3 เทาของพจนทอยขางหนา จะได พจนถดไปของล าดบนจะลดลงเปน -3 เทาของพจนทอยขางหนา

พจนถดไปของล าดบ 1, -3, 9, -27, 81, … คอ -243 ดงนน

3) 1, 2, 4, 7, 11, …

พจารณา 1 2 4 7 11 16

+1 +2 +3 +4 +5

พบวา พจนทอยถดไปของล าดบนจะเพมขน 1, 2, 3, 4 ตามล าดบ จะได พจนถดไปของล าดบนจะเพมขน 5

พจนถดไปของล าดบ 1, 2, 4, 7, 11 คอ 16 ดงนน

เฉลย แบบฝกทกษะชดท 1.1.2 (ก)

41

4) 50, 47, 43, 38, 32, …

พจารณา 50 47 43 38 32 25

-3 -4 -5 -6 -7

พบวา พจนทอยถดไปของล าดบนจะลดลง 3, 4, 5, 6 ตามล าดบ

จะได พจนถดไปของล าดบนจะลดลง 7

พจนถดไปของล าดบ 50, 47, 43, 38, 32, … คอ 25 ดงนน

5) 2, 2, 4, 12, 48, …

พจารณา 2 2 4 12 48 240

×1 ×2 ×3 ×4 ×5

พบวา พจนทอยถดไปของล าดบนจะเพมขนเปน 1, 2, 3, 4 เทาของพจนทอยขางหนา


จะได พจนถดไปของล าดบนจะเพมขนเปน 5 เทาของพจนทอยขางหนา

พจนถดไปของล าดบ 2, 2, 4, 12, 48, … คอ 240 ดงนน

2. จงหาสองพจนถดไปของล าดบตอไปนพรอมบอกเหตผล

ล าดบ สองพจนถดไป เหตผล

1) 4, 7, 10, 13, … 16, 19 พจนทอยถดไปของล าดบนจะเพมขนทละ 3

2) 5, 5, 5, 5, 5, … 5, 5 พจนทอยถดไปของล าดบนจะเปน 1 เทาของพจนทอยขางหนา

3) -2, -4, -6, -8, … -10, -12 พจนทอยถดไปของล าดบนจะลดลงคงททละ 2

4) 5, 5, 10, 30, 120, … 600, 3600 พจนทอยถดไปของล าดบนจะเพมขนเปน 1, 2, 3,

4, … เทาของพจนทอยขางหนาตามล าดบ

42

3. จงหาพจนทวไปของล าดบจ ากดตอไปน

1) 4, 2, 0, -2, -4

พจารณาความสมพนธของพจนในล าดบ 4, 2, 0, -2, -4 พบวา พจนถดไปจะนอยกวาพจนทอยขางหนาอย 2 เสมอ


1a 2a 3a 4a 5a

4 2 0 -2 -4

(-2)(1) + 6 (-2)(2) + 6 (-2)(3) + 6 (-2)(4) + 6 (-2)(5) + 6

พจนทวไปของล าดบ หรอ na = -2n + 6 เมอ n{1, 2, 3, 4, 5} จะได

2) 2, 6, 18, 54, 162, 486 พจารณาความสมพนธของพจนในล าดบ 2, 6, 18, 54, 162, 486 พบวา พจนถดไปจะเปน 3 เทาของพจนทอยขางหนาเสมอ พจารณาหาความสมพนธของล าดบทของพจนกบพจนทก าหนดใหดงน

1a 2a 3a 4a 5a 6a

2 6 18 54 162 486 1-13×2 1-23×2 1-33×2 1-43×2 1-53×2 1-63×2

พจนทวไปของล าดบ หรอ na = 1-n3×2 เมอ n{1, 2, 3, 4, 5, 6} จะได

3) 6, -12, 24, -48, 96, -192 พจารณาความสมพนธของพจนในล าดบ 6, -12, 24, -48, 96, -192 พบวา พจนถดไปจะเปน -2 เทาของพจนทอยขางหนาเสมอ พจารณาหาความสมพนธของล าดบทของพจนกบพจนทก าหนดใหดงน

1a 2a 3a 4a 5a 6a

6 -12 24 -48 96 -192 1-1)2-(×6 1-2)2-(×6 1-3)2-(×6 1-4)2-(×6 1-5)2-(×6 1-6)2-(×6

พจนทวไปของล าดบ หรอ na = 1-n)2-(×6 เมอ n{1, 2, 3, 4, 5, 6} จะได

43

4. จงหาพจนทวไปของล าดบอนนตตอไปน 1) 7, 14, 28, 56, …

พจารณาความสมพนธของพจนในล าดบ 7, 14, 28, 56, …

พบวา พจนถดไปจะเปน 2 เทาของพจนทอยขางหนาเสมอ


1a 2a 3a 4a …

7 14 28 56 … 1-12×7 1-22×7 1-32×7 1-42×7 ..

พจนทวไปของล าดบ หรอ na = 1-n2×7 จะได

2) ...,2924,22

12,156,8

3

ตวเศษ พจารณาความสมพนธของพจนในล าดบ 3, 6, 12, 24, … พบวา พจนถดไปจะเปน 2 เทาของพจนทอยขางหนาเสมอ พจารณาหาความสมพนธของล าดบทของพจนกบพจนทก าหนดให ดงน

1a 2a 3a 4a …

3 6 12 24 … 1-12×3 1-22×3 1-32×3 1-42×3 …

ตวสวน พจารณาความสมพนธของพจนในล าดบ 8, 15, 22, 29, … พบวา พจนถดไปจะมากกวาพจนทอยขางหนาอย 7 เสมอ พจารณาหาความสมพนธของล าดบทของพจนกบพจนทก าหนดให ดงน

1a 2a 3a 4a …

8 15 22 29 …

(7×1) + 1 (7×2) + 1 (7×3) + 1 (7×4) + 1 …

พจนทวไปของล าดบ หรอ na = 1 + 7n)2( × 3 1-n จะได

44

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

1. จงหาพจนทวไปของล าดบ 4, 2, 0, -2, … ทเปนฟงกชนพหนาม

หาผลตางระหวางสองพจนของล าดบ ไดคาคงตวดงน วธท า

4 2 0 -2

ผลตางครงท 1 -2 -2 -2

พบวา ผลตางครงท 1 เปนคาคงตว และมคาเทากบ -2

ให พจนทวไปของล าดบนอยในรป na = an + b

จะได 1a = 4 = a + b ……..(1)

2a = 2 = 2a + b ……..(2)

3a = 0 = 3a + b ……..(3)

4a = -2 = 4a + b ……..(4)

(2) - (1)

จะได

2 - 4 = (2a + b) - (a + b)

-2 = a

แทนคา a = -2 ใน (1), (2), (3) หรอ (4) จะได b = 6

แทนคา a = -2 และ b = 6 ใน na = an + b

จะได na = -2n + 6

พจนทวไปของล าดบ หรอ na = -2n + 6 ดงนน

เฉลย แบบฝกทกษะชดท 1.1.2 (ข)

45

2. จงหาพจนทวไปของล าดบ -4, -3, -1, 2, … ทเปนฟงกชนพหนาม


-4 -3 -1 2





จะได

1a = -4 = a + b + c ……..(1)

2a = -3 = 4a + 2b + c ……..(2)

3a = -1 = 9a + 3b + c ……..(3)

4a = 2 = 16a + 4b + c ……..(4)

(2) - (1) ไดสมการ 1 = 3a + b ……..(5)

(3) - (2) ไดสมการ 2 = 5a + b ……..(6)

(6) - (5)

จะได 1 = 2a

a = 21

แทนคา a = 21 ใน (5) หรอ (6) จะได b = 2

1-

แทนคา a = 21 และ b = 2

1- ใน (1), (2), (3) หรอ (4) จะได c = -4

แทนคา a = 21 , b = 2

1- และ c = -4 ใน na = c+bn+an2

จะได na = 4-2n-2

n2

พจนทวไปของล าดบ หรอ na = 4-2n-2

n2

ดงนน

46

3. จงหาพจนทวไปของล าดบ 4, 2, -4, -14, … ทเปนฟงกชนพหนาม


4 2 -4 -14

ผลตางครงท 1 -2 -6 -10

ผลตางครงท 2 -4 -4

พบวา ผลตางครงท 2 เปนคาคงตว และมคาเทากบ -4


จะได 1a = 4 = a + b + c ……..(1)

2a = 2 = 4a + 2b + c ……..(2)

3a = -4 = 9a + 3b + c ……..(3)

4a = -14 = 16a + 4b + c ……..(4)

(2) - (1) ไดสมการ -2 = 3a + b ……..(5)

(3) - (2) ไดสมการ -6 = 5a + b ……..(6)

(6) - (5)

จะได -4 = 2a

a = -2

แทนคา a = -2 ใน (5) หรอ (6) จะได b = 4

แทนคา a = -2 และ b = 4 ใน (1), (2), (3) หรอ (4) จะได c = 2

แทนคา a = -2, b = 4 และ c = 2 ใน na = c+bn+an2

จะได na = 2+4n+2n- 2

พจนทวไปของล าดบ หรอ na = 2+4n+2n- 2 ดงนน

47

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

ตอนท 1 : การแกปญหาดวยการหาพจนทวไปของล าดบโดยใชการสงเกต ผจดการแสดงจดทนงส าหรบผเขาชมการแสดงในโรงละครแหงหนงดงน แถวทหนง

20 ทนง แถวทสอง 22 ทนง แถวทสาม 24 ทนง และเพมทนงแถวละ 2 ทนง เชนนไปเรอยๆ จนเตมพนทในโรงละคร จงหาจ านวนทนงทจดในแถวท n

จ านวนทนงทจดในแตละแถวสามารถเขยนเปนล าดบ 20, 22, 24, … วธท า พจารณาความสมพนธของพจนในล าดบ 20, 22, 24, …

พบวา พจนถดไปจะมากกวาพจนทอยขางหนาอย 2 เสมอ


1a 2a 3a …

20 22 24 …

(2×1) +18 (2×2) +18 (2×3) +18 …

จะได na = 2n +18 จ านวนทนงทจดในแถวท n เทากบ 2n + 18 ทนง ดงนน

ถา นกเรยนตงใจออมเงนทกวนดงน วนทหนง 20 บาท วนทสอง 23 บาท วนทสาม 26 บาท และออมเพมวนละ 3 บาท เชนนไปเรอยๆ จงหาจ านวนเงน ออมในวนท n

จ านวนเงนทออมในแตละวนสามารถเขยนเปนล าดบ 20, 23, 26, … วธท า พจารณาความสมพนธของพจนในล าดบ 20, 23, 26, … พบวา พจนถดไปจะมากกวาพจนทอยขางหนาอย 3 เสมอ พจารณาหาความสมพนธของล าดบทของพจนกบพจนทก าหนดใหดงน

1a 2a 3a …

20 23 26 …

3(1) + 17 3(2) + 17 3(3) + 17 …

จะได na = 3n + 17 จ านวนเงนออมในวนท n เทากบ 3n + 17 บาท ดงนน

48

ตอนท 2 : การแกปญหาดวยการหาพจนทวไปของล าดบโดยใชฟงกชนพหนาม วศวกรคนหนงตองการหาจ านวนเหลกเสนทใชท าโครงสรางตามแบบรปดานลางน

(รปท 1) (รปท 2) (รปท 3) (รปท 4) … ก าหนดให แทนเหลกเสนจ านวน 1 เสน จงหาจ านวนเหลกเสนทใชท าโครงสรางตามรปท n

จ านวนเหลกเสนทใชท าตามแตละรปสามารถเขยนเปนล าดบ 4, 10, 18, 28, … วธท า หาผลตางระหวางสองพจนของล าดบ และหาผลตางของผลตางจนไดคาคงตวดงน 4 10 18 28



พบวา ผลตางครงท 2 เปนคาคงตว และมคาเทากบ 2 พจนทวไปของล าดบอยในรป na = c+bn+an2 ให

จะได 1a = 4 = a + b + c ……..(1)

2a = 10 = 4a + 2b + c ……..(2) 3a = 18 = 9a + 3b + c ……..(3) (2) - (1) ไดสมการ 6 = 3a + b ……..(4) (3) - (2) ไดสมการ 8 = 5a + b ……..(5) (5) - (4) จะได a = 1 แทนคา a = 1 ใน (4) หรอ (5) จะได b = 3

แทนคา a = 1 และ b = 3 ใน (1), (2) หรอ (3) จะได c = 0 แทนคา a = 1 , b = 3 และ c = 0 ใน na = c+bn+an2

จะได na = n3+n2

จ านวนเหลกเสนทใชท าโครงสรางตามรปท n เทากบ n3+n2 เสน ดงนน

49

ชางเชอมโลหะคนหนงตองการหาจ านวนจดทตองเชอมเหลกตามแบบรปดานลางน

(รปท 1) (รปท 2) (รปท 3) (รปท 4) … ก าหนดให แทนจดทตองเชอมเหลกจ านวน 1 จด จงหาจ านวนจดทตองเชอมเหลกตามรปท n

จ านวนจดทตองเชอมเหลกตามแตละรปสามารถเขยนเปนล าดบ 3, 6, 10, 15, … วธท า หาผลตางระหวางสองพจนของล าดบ และหาผลตางของผลตางจนไดคาคงตวดงน

3 6 10 15



พบวา ผลตางครงท 2 เปนคาคงตว และมคาเทากบ 1 พจนทวไปของล าดบนอยในรป na = c+bn+an2 ให

จะได 1a = 3 = a + b + c ……..(1)

2a = 6 = 4a + 2b + c ……..(2) 3a = 10 = 9a + 3b + c ……..(3) (2) - (1) ไดสมการ 3 = 3a + b ……..(4) (3) - (2) ไดสมการ 4 = 5a + b ……..(5) (5) - (4)

จะได a = 21

แทนคา a = 21 ใน (4) หรอ (5) จะได b = 2

3

แทนคา a = 21 และ b = 2

3 ใน (1), (2) หรอ (3) จะได c = 1

แทนคา a = 21 , b = 2

3 และ c = 1 ใน na = c+bn+an2

จะได na = 1+2

n3+2n2

จ านวนจดทตองเชอมเหลกตามรปท n เทากบ 1+2n3+2

n2 จด ดงนน

50

ในการจดการแขงขนกฬาบาสเกตบอลในกจกรรมกฬาสประจ าปของโรงเรยนศกษานาร ส าหรบนกเรยนระดบชนมธยมศกษาตอนปลาย 4 ส ไดแก สแดง สเขยว สฟา และสมวง โดยจดการแขงขนใหแตละสแขงกบสอนทกส สามารถใชแผนภาพตนไมจดคแขงขนไดดงน

จากรปพบวา จดคแขงขนไดทงหมด 6 ค ไดแก แดง-เขยว, แดง-ฟา, แดง-มวง, เขยว-ฟา, เขยว-มวง และ ฟา-มวง

แดง-เขยว

แดง-ฟา

แดง-มวง

เขยว-ฟา

เขยว-มวง

มวง ฟา-มวง

เขยว

แดง

เขยว

ฟา

ฟา

ฟา มวง

มวง

มวง

51

แผนภาพตนไมอาจแบงไดเปน 2 กลม ดงน

จงเขยนแผนภาพตนไมสรางจ านวนคบวกสามหลกทเลขโดดประจ าแตละหลกเปน 0, 1 หรอ 2

หลกรอย หลกสบ หลกหนวย

เปนแผนภาพตนไมทแตกกงอยางเปนระเบยบ

มจ านวนทสรางไดทงหมด 12 จ านวน ไดแก 100, 102, 110, 112, 120, พบวา 122, 200, 202, 210, 212, 220 และ 222

1

0 0 100 2 102

1 0 110 2 112

2 0 120 2 122

2

0 0 200 2 202

1 0 210 2 212

2 0 220 2 222

กลมท 1 แผนภาพตนไมทแตกกงอยางเปนระเบยบ หมายถง แผนภาพตนไมซง แตละกงทแตกออกไปแลวจะแตกกงตอกงละเทาๆกน

กลมท 2 แผนภาพตนไมทแตกกงอยางไมเปนระเบยบ หมายถง แผนภาพตนไมซง มบางกงทแตกกงตอไมเทากบการแตกกงของกงอน

อยาลม! หลกแรกของจ านวนตงแตสองหลกขนไปตองไมเปนศนย

52

จงเขยนแผนภาพตนไมสรางจ านวนคบวกสามหลกทเลขโดดประจ าแตละหลกเปน 0, 1, 2 หรอ 3 ใหแตละหลกไมซ ากน

หลกรอย หลกสบ หลกหนวย

เปนแผนภาพตนไมทแตกกงอยางไมเปนระเบยบ

มจ านวนทสรางไดทงหมด 10 จ านวน ไดแก 102, 120, 130, 132, 210, พบวา 230, 302, 310, 312 และ 320

1

2 102 0

2 0 120 2

3 0 130

2 132 3

2

1 0 210

3 0 230 3

3

0 2 302 0

1 0 310

2 312

2 0 320

53

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

1. จงเขยนแผนภาพตนไมสรางจ านวนคบวกสองหลกทเลขโดดประจ าแตละหลกเปน 0, 1, 2 หรอ 3

มจ านวนทสรางไดทงหมด ……….. จ านวน ไดแก ……………………..………......................... พบวา

2. จงเขยนแผนภาพตนไมสรางจ านวนคบวกสองหลกทเลขโดดประจ าแตละหลกเปน 0, 1, 2, 3 หรอ 4 ใหแตละหลกไมซ ากน

มจ านวนทสรางไดทงหมด ……….. จ านวน ไดแก ……………………..……………………………. พบวา

3. ก าหนดให A = {1, 2, 3} และ B = {0, 5} จงเขยนแผนภาพตนไมสรางคอนดบ (a, b) โดยท a เปนสมาชกของ A และ b เปนสมาชกของ B

มคอนดบทสรางไดทงหมด ……….. ค ไดแก …………………………….…………………………… พบวา

แบบฝกทกษะชดท 2.1.1

54

4. การแขงขนตอบปญหาระหวางทม A และ ทม B มกตกาวาทมใดชนะครบ 2 เกมกอนเปน ฝายชนะ เชน AA จงเขยนแผนภาพตนไมหาผลการแขงขนทไดทมชนะ

มผลการแขงขนทไดทมชนะทงหมด ……….. วธ ไดแก …….………………………………...…… พบวา

ในการรบพนกงาน 2 คน เขาท างานพรอมกน จากผสมคร 6 คน ไดแก ผสมครหมายเลข 5. 1, 2, 3, …, 6 จงเขยนแผนภาพตนไมหาจ านวนวธรบพนกงานทงหมด

จ านวนวธรบพนกงานทงหมดเทากบ ……………………………………………………………… วธ พบวา

55

จดประสงค : พฒนาสมรรถนะส าคญ และคณลกษณะอนพงประสงค เนอหา : แผนภาพตนไม การแบงกลม : ท าเปนค วธปฏบต : ศกษาเนอหาและตวอยาง ในหวขอ 2.1.1 และ ท ากจกรรมท 2.1.1 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

นกเรยนคนหนง เกดวนท 24 เดอน 10 เขาตองการน าเลขโดดจากเลขวนเกด และเดอนเกดมาสรางรหส ATM เปนเลขโดด 4 ตวไมซ ากน โดยตวทหนงเปนเลข ศนย เชน 0124 จงเขยนแผนภาพตนไมหารหส ATM ทนกเรยนคนนจะสรางได ทงหมด

รหส ATM ทนกเรยนคนนจะสรางไดมทงหมด ……….. รหส พบวา ไดแก ………………………………………………………………………………………………....

56

ผจดการหอพกแหงหนงตองการหาหมายเลขหองพกทเปนจ านวนเตมบวกสามหลก ทมากกวา 300 และเลขโดดประจ าแตละหลกเปน 1, 2 หรอ 3 เชน 311 จงเขยนแผนภาพตนไม หาหมายเลขหองทผจดการหอพกคนนจะหาไดทงหมด

หมายเลขหองทผจดการคนนหาไดมทงหมด ……….. หมายเลข พบวา ไดแก ………………………………………………………………………………………………....

ทหารนายหนงจะเดนผานสะพานขามไปยงเกาะ A B C และ D ใหครบทกเกาะ ไมใหซ าสะพานและเกาะเดม โดยเรมไปทเกาะ A หรอเกาะ C เชน ABCD จงเขยนแผนภาพตนไม หาวธเดนทางของทหารนายนทงหมด

จากภาพ ให A, B, C และ D แทนเกาะ และ เสนทลากเชอมระหวางเกาะ แทนสะพาน

วธเดนทางของทหารนายนมทงหมด ……….. วธ พบวาไดแก ………………………………………………………………………………………………....

57

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

1. จงเขยนแผนภาพตนไมสรางจ านวนคบวกสองหลกทเลขโดดประจ าแตละหลกเปน 0, 1, 2 หรอ 3 หลกสบ หลกหนวย


มจ านวนทสรางไดทงหมด 6 จ านวน ไดแก 10, 12, 20, 22, 30 และ 32 พบวา

2. จงเขยนแผนภาพตนไมสรางจ านวนคบวกสองหลกทเลขโดดประจ าแตละหลกเปน 0, 1, 2, 3 หรอ 4 ใหแตละหลกไมซ ากน

หลกสบ หลกหนวย

เปนแผนภาพตนไมทแตกกงอยางไมเปนระเบยบ มจ านวนทสรางไดทงหมด 10 จ านวน ไดแก 10, 12, 14, 20, 24, 30, 32, 34, 40 พบวา และ 42

1 0 10 2 12

2 0 20 2 22

3 0 30 2 32

1 0 10 2 12 4 14

2 0 20 4 24

3 0 30 2 32 4 34

4 0 40 2 42

เฉลย แบบฝกทกษะชดท 2.1.1

58

3. ก าหนดให A = {1, 2, 3} และ B = {0, 5} จงเขยนแผนภาพตนไมสรางคอนดบ (a, b) โดยท a เปนสมาชกของ A และ b เปนสมาชกของ B

a b


มคอนดบทสรางไดทงหมด 6 ค ไดแก (1, 0), (1, 5), (2, 0), (2, 5), (3, 0) และ (3, 5) พบวา

4. การแขงขนตอบปญหาระหวางทม A และ ทม B มกตกาวาทมใดชนะครบ 2 เกมกอนเปน ฝายชนะ เชน AA จงเขยนแผนภาพตนไมหาผลการแขงขนทไดทมชนะ

เกมทหนง เกมทสอง เกมทสาม


มผลการแขงขนทไดทมชนะทงหมด 6 วธ ไดแก AA, ABA, ABB, BAA, BAB และ BB พบวา

1 0 (1, 0)

5 (1, 5)

2 0 (2, 0)

5 (2, 5)

3 0 (3, 0)

5 (3, 5)

A A AA

B A ABA

B ABB

B A

A BAA

B BAB

B BB

59

ในการรบพนกงาน 2 คน เขาท างานพรอมกน จากผสมคร 6 คน ไดแก ผสมครหมายเลข 5. 1, 2, 3, …, 6 จงเขยนแผนภาพตนไมหาจ านวนวธรบพนกงานทงหมด

คนทหนง คนทสอง


จ านวนวธรบพนกงานทงหมดเทากบ 15 วธ พบวา

1

2 1 และ 2 3 1 และ 3 4 1 และ 4 5 1 และ 5 6 1 และ 6

2

3 2 และ 3 4 2 และ 4 5 2 และ 5 6 2 และ 6

3

4 3 และ 4 5 3 และ 5 6 3 และ 6

4 5 4 และ 5 6 4 และ 6

5 6 5 และ 6

60

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

นกเรยนคนหนง เกดวนท 24 เดอน 10 เขาตองการน าเลขโดดจากเลขวนเกด และเดอนเกดมาสรางรหส ATM เปนเลขโดด 4 ตวไมซ ากน โดยตวทหนงเปนเลข ศนย เชน 0124 จงเขยนแผนภาพตนไมหารหส ATM ทนกเรยนคนนจะสรางได ทงหมด

วนท 24 เดอน 10 ประกอบดวยเลขโดด 4 ตวตางกน ไดแก 0, 1, 2 และ 4

ตวทหนง ตวทสอง ตวทสาม ตวทส


รหส ATM ทนกเรยนคนนจะสรางไดมทงหมด 6 รหส ไดแก 0124, พบวา 0142, 0214, 0241, 0412 และ 0421

0

1 2 4 0124

4 2 0142

2 1 4 0214

4 1 0241

4 1 2 0412

2 1 0421

61

ผจดการหอพกแหงหนงตองการหาหมายเลขหองพกทเปนจ านวนเตมบวกสามหลก ทมากกวา 300 และเลขโดดประจ าแตละหลกเปน 1, 2 หรอ 3 เชน 311 จงเขยนแผนภาพตนไม หาหมายเลขหองทผจดการหอพกคนนจะหาไดทงหมด หลกรอย หลกสบ หลกหนวย


หมายเลขหองทผจดการคนนหาไดมทงหมด 9 หมายเลข ไดแก 311, 312, พบวา313, 321, 322, 323, 331, 332 และ 333

3

1 1 311

2 312

3 313

2 1 321

2 322

3 323

3 1 331

2 332

3 333

62

ทหารนายหนงจะเดนผานสะพานขามไปยงเกาะ A B C และ D ใหครบทกเกาะ ไมใหซ าสะพานและเกาะเดม โดยเรมไปทเกาะ A หรอเกาะ C เชน ABCD จงเขยนแผนภาพตนไม หาวธเดนทางของทหารนายนทงหมด

จากภาพ ให A, B, C และ D แทนเกาะ และ เสนทลากเชอมระหวางเกาะ แทนสะพาน

เกาะท 1 เกาะท 2 เกาะท 3 เกาะท 4


วธเดนทางของทหารนายนมทงหมด 8 วธ ไดแก ABCD, ABDC, ADBC, พบวา ADCB, CBAD, CBDA, CDAB และ CDBA

A B

C D ABCD D C ABDC

D B C ADBC C B ADCB

C B

A D CBAD D A CBDA

D A B CDAB B A CDBA

63

บรรณานกรม

กมล เอกไทยเจรญ. คณตศาสตร ม.6 เลม 5 ค015. กรงเทพฯ : ไฮเอดพบลชซง, ม.ป.ป. กระทรวงศกษาธการ. (2552). ตวชวดและสาระการเรยนรแกนกลางกลมสาระการเรยนร คณตศาสตรตามหลกสตร แกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551. กรงเทพฯ : โรงพมพชมนมสหกรณการเกษตรแหงประเทศไทย. กระทรวงศกษาธการ. (2553). แนวทางการจดกจกรรมการเรยนรเพอพฒนาทกษะการคดตาม หลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตรระดบมธยมศกษา. กรงเทพฯ : โรงพมพชมนมสหกรณการเกษตรแหง ประเทศไทย. กระทรวงศกษาธการ. (2552). หลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551. กรงเทพฯ : โรงพมพชมนมสหกรณการเกษตรแหงประเทศไทย. สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย. (2553). หนงสอเรยนรายวชาพนฐาน คณตศาสตร เลม 2 ชนมธยมศกษาปท 4-6. พมพครงท 2. กรงเทพฯ : โรงพมพครสภา ลาดพราว. สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย. (2553). หนงสอเรยนรายวชาพนฐาน คณตศาสตร เลม 3 ชนมธยมศกษาปท 4-6. พมพครงท 2. กรงเทพฯ : โรงพมพครสภา ลาดพราว สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย. (2552). หนงสอเรยนรายวชาเพมเตม คณตศาสตร เลม 2 ชนมธยมศกษาปท 4-6. พมพครงท 1. กรงเทพฯ : โรงพมพครสภา ลาดพราว สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย. (2553). หนงสอเรยนรายวชาเพมเตม คณตศาสตร เลม 4 ชนมธยมศกษาปท 4-6. พมพครงท 1. กรงเทพฯ : โรงพมพครสภา ลาดพราว สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย. (2552). หนงสอเรยนรายวชาเพมเตม คณตศาสตร เลม 2 ชนมธยมศกษาปท 6. พมพครงท 1. กรงเทพฯ : โรงพมพ สกสค. ลาดพราว สมย เหลาวานชย และพวพรรณ เหลาวานชย. คณตศาสตร ม.6 เลม 5 ค015. กรงเทพฯ : ไฮเอดพบลชซง, ม.ป.ป. สวด ทองประศร. (2553) เอกสารประกอบการเรยนรดวยตนเองเรองล าดบและอนกรม. กรงเทพฯ : โรงเรยนศกษานาร, (อดส าเนา)

64

ภาคผนวก

65

รายชอผทรงคณวฒ และผเชยวชาญ ดานเนอหาสาระของเอกสารประกอบการเรยนรรายวชาคณตศาสตร 3 (ค 32101)

ชนมธยมศกษาปท 5 ผทรงคณวฒ ตรวจสอบความถกตองของเนอหาสาระในเอกสารประกอบการเรยนร รายวชาคณตศาสตร 3 (ค 32101) ชนมธยมศกษาปท 5 ดงน 1. อาจารย ดร. ขวญ เพยซาย อาจารย ภาควชาคณตศาสตร คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ ผเชยวชาญ ตรวจสอบความถกตองของเนอหาสาระในเอกสารประกอบการเรยนร รายวชาคณตศาสตร 3 (ค 32101) ชนมธยมศกษาปท 5 ดงน 1. นางสนนทา ตนตวณชย ครช านาญการพเศษ กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนศกษาร 2. นางสวด ทองประศร ครช านาญการพเศษ กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนศกษาร 3. นางสาวสธนนท บญพฒนาภรณ อาจารย กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสาธตมหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ (ฝายมธยม)

66

ประวตยอผจดท า ชอ – ชอสกล นางสาวนงคเพญ ทองเลศ สถานทอยปจจบน 11/274 ม.1 ถนนสขสวสด แขวงบางปะกอก เขตราษฎรบรณะ กรงเทพฯ 10140 สถานทท างานปจจบน โรงเรยนศกษานาร เขตธนบร กรงเทพฯ 10600 การศกษา การศกษาบณฑต (กศบ.) วชาเอกคณตศาสตร จากมหาวทยาลยศรนครนทรวโรฒ พ.ศ. 2546

เอกสารประกอบการเรียนรู้...

Documents