บทที่ 1...
TRANSCRIPT
1
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
ลมตของฟงกชน
ตวอยางท 1 พจารณาฟงกชน 2( ) 2 1f x x เมอ x มคาเขาใกล 3 แลวคาของ
f(x) เปนเทาไร
วธท า ใชวธแทนคา x ทมคาใกลเคยง 3 ซง x อาจมคานอยกวา 3 หรอ มากกวา 3
ดงตาราง
จากตาราง จะเหนวา
เมอ x มคานอยกวา 3 เลกนอย หรอกลาววา “x มคาเขาใกล 3 ทาง
ดานซาย” แลวคาของ f(x) จะมคาเขาใกล 19 (ดงตาราง) และเราจะเรยกคา
นวา “ลมตทางซายของ f(x)” และแทนดวยสญลกษณ 3
lim ( ) 19
x
f x
เครองหมาย “–” หมายถงการเขาใกลจากทางดานซายเพยงทางเดยว
เมอ x มคามากกวา 3 เลกนอย หรอกลาววา “x มคาเขาใกล 3 ทางดานขวา”
แลวคาของ f(x) จะมคาเขาใกล 19 (ดงตาราง) และเราจะเรยกคานวา “ลมต
ทางขวาของ f(x)” และแทนดวยสญลกษณ 3
lim ( ) 19
x
f x
เครองหมาย “+” หมายถงการเขาใกลจากทางดานขวาเพยงทางเดยว
2
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
ดงนน เมอ x มคาเขาใกล 3 (แตไมเทากบ 3) แลวคาของ f(x) มคาเขาใกล 19 หรอ
กลาววา “ลมตของ f(x) เมอ x มคาเขาใกล 3 คอ 19” และแทนดวยสญลกษณ
3lim ( ) 19
xf x ดงรป
บทนยาม คาท f(x) เขาใกลเมอ x เขาใกล a ทางดานทนอยกวา a หรอ ทางซาย
ของ a เรยกคานนวา “ลมตซายของ f(x)” และเขยนแทนดวยสญลกษณ แทนดวย
สญลกษณ lim ( )x a
f x เครองหมาย “–” หมายถงการเขาใกลจากทางดานซายเพยงทางเดยว
คาท f(x) เขาใกลเมอ x เขาใกล a ทางดานทมากกวา a หรอ ทางขวาของ a เรยกคา
นนวา “ลมตขวาของ f(x)” และเขยนแทนดวยสญลกษณ แทนดวยสญลกษณ lim ( )
x af x เครองหมาย “+” หมายถงการเขาใกลจากทางดานซายเพยงทางเดยว
3
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
ให f เปนฟงชนทนยามไดบนชวงเปดทม a แตไมจ าเปนตองนยามไดท x=a
ลมต (limit) ของ f(x) ขณะท x เขาใกล a (xa) มคาเทากบ จ านวนจรง L
กตอเมอ f(x) มคาเขาใกลหรอเทากบ L ขณะท xa แทนดวยสญลกษณ lim ( )
x af x
ทฤษฎบท ให f เปนฟงกชน a และ L เปนจ านวนจรง
ถา lim ( ) lim ( )
x a x a
f x L f x แลว lim ( )
x a
f x L
และถา lim ( ) lim ( )
x a x a
f x f x แลว lim ( )x a
f x ไมมลมต (ชวตเกนรอย)
หรอกลาววา ลมตหาคาไมได
ตวอยางท 2 ก าหนดให | |
( )x
f xx
จงหาลมตของ f(x) เมอ x 0 (ถาหา
ได)
วธท า เนองจาก
ดงนน
; 0 | |
; 0
x xx
x x
=1 ; 0| |
( )
=-1 ; 0
xx
x xf x
xxx
x
X = 0 ไมได เพราะจะท าให f(x) มสวนเปน 0
4
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
นนคอ 1 ; 0
( )1 ; 0
xf x
x
เขยนรปไดเปน
ดงนน เมอ x มคาเขาใกล 0 ทางซาย (x<0) จะไดวา f(x) มคาเขาใกล -1 กลาววา
0lim ( ) 1
xf x
และเมอ x มคาเขาใกล 0 ทางขวา (x>0) จะไดวา f(x) มคาเขาใกล 1 กลาววา
0lim ( ) 1x
f x
เพราะฉะนน 0 0
lim ( ) lim ( )x x
f x f x
จงไดวา 0
lim ( )x
f x
ไมมลมต
เพราะวา เราไมสามารถสรปไดวา เมอ x 0 แลว f(x) มคาเขาใกลคาใด
บทนยามทางคณตศาสตรของลมตของฟงกชนและการพสจน
บทนยาม lim ( )x a
f x L
(อานวา ลมตของ f(x) เมอ x a เทากบ L) โดยท
L เปนจ านวนจรง กตอเมอ ส าหรบทก ๆ 0 ทก าหนดให จะม 0 ทท าให
| ( ) |f x L ส าหรบทกคา 0 | |x a
5
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
หรอกลาววา
บทนยาม lim ( )x a
f x L
กตอเมอ ส าหรบทก ๆ 0 ทก าหนดให จะม
0 ซง
ถา 0 | |x a แลว | ( ) |f x L
ขนตอนการพสจน lim ( )x a
f x L
1. ให 0
2. จะตองหา 0 ทท าให | ( ) |f x L ส าหรบทกคา0 | |x a
ซงโดยสวนใหญแลว ( 0)
ตวอยางท 3 จงพสจนวา 3
lim(2 4) 10x
x
วธคด ให 0
จะตองหา 0 ทท าให | ( ) |f x L ส าหรบทกคา
0 | |x a
นนคอ จะตองหา 0 ทท าให | (2 4) 10 |x ส าหรบทกคา
0 | 3|x
เหต ผล
แทนคา f(x), L, a ใหถกตอง!!
พยายามจดรปใหอยในรป |x-3| ใหได
6
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
ดงนน
| (2 4) 10 | | 2 6 | | 2( 3) | | 2 || 3 | 2 | 3 |x x x x x
นนคอ ถาเราตองการให 2 | 3 |x เปนจรง เราควรจะเลอก
2
พสจน ให 0
เลอก 2
ซง > 0
ส าหรบทกคา 0 | 3|x
ดงนน พจารณาคา | ( ) |f x L นนคอ
| (2 4) 10 | | 2 6 | | 2( 3) | | 2 || 3 | 2 | 3 | 2 2( )2
x x x x x
เพราะฉะนน | (2 4) 10 |x
นนคอ 3
lim(2 4) 10x
x
ทดเพอหาคา จากการ
สมมตใหผลเปนจรง 2 | 3 |x
แตเรารวา | 3 |x
เพราะฉะนนมองเปน
2
2
เราจะตองแสดงวา | ( ) |f x L
เรารวา | 3 |x และ 2
ขนตอนการพสจน
7
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
ทฤษฎบทตาง ๆ ของลมตของฟงกชน
ฟงกชนพหนามระดบขน n คอ ฟงกชนทอยในรป
1
1 1 0( ) ...
n n
n nf x a x a x a x a
เมอ n เปนจ านวนเตมทไมเปนลบ และ 0 1, ,..., na a a เปนจ านวนจรงใด ๆ ท 0na
ถา n = 1 แลว 1 0( ) f x a x a เรยกวา ฟงกชนพหนามเชงเสน (linear
polynomial) หรอ ฟงกชนเชงเสน (linear function)
ถา n = 2 แลว 2
2 1 0( ) f x a x a x a เรยกวา ฟงกชนพหนามก าลงสอง
(quadratic polynomial) หรอ ฟงกชนก าลงสอง (quadratic function)
ฟงกชนทอยในรป 1
1 1 01
1 1 0
...( )( )
( ) ...
n nn n
n nn n
a x a x a x af xR x
g x b x b x b x b
เมอ f(x) และ g(x) เปนฟงกชนพหนามท g(x) ≠ 0 จะเรยกวา ฟงกชนตรรกยะ
(rational function)
8
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
ให n เปนจ านวนเตมบวก
k เปนคาคงตว
f และ g เปนฟงกชนทมลมต เมอ x a
ทบ. 1. limx a
k k
ทบ. 2. limx a
x a
ทบ. 3. lim ( ) lim ( )x a x a
kf x k f x
ทบ. 4. lim[ ( ) ( )] [lim ( )] [lim ( )]x a x a x a
f x g x f x g x
ทบ. 5. lim[ ( ) ( )] [lim ( )] [lim ( )]x a x a x a
f x g x f x g x
ทบ. 6. lim[ ( ) ( )] [lim ( )] [lim ( )]x a x a x a
f x g x f x g x
ทบ. 7. lim ( )( )
lim[ ]( ) lim ( )
x a
x a
x a
f xf x
g x g x
เมอ lim ( ) 0x a
g x
ทบ. 8. lim[ ( )] [lim ( )]n n
x a x af x f x
ทบ. 9. lim ( ) lim ( )n nx a x a
f x f x
ถา n เปนเลขค lim ( ) 0x a
f x
ทบ. 10. (substitution Theorem)
ถา f เปนฟงกชนพหนาม หรอ ฟงกชนตรรกยะแลว lim ( ) ( )x a
f x f a
ในกรณทเปนฟงกชนตรรกยะ ลมตของตวสวนตอง ≠ 0 เมอ x a
ลมตของคาคงทคอคาคงท
9
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
ตวอยาง 4 จงหาคาลมตตอไปน
1. 2
4lim(5 2 3)x
x x
2. 2 5
2lim( 1)x
x x
3. 1
lim 1x
x
วธท า
1. 2 2
4lim(5 2 3) 5(4) 2(4) 3 80 8 3 75x
x x
2. 2 5 2 5 2 5
2 2
5 5
lim( 1) [ lim( 1)] [( 2) ( 2) 1]
[4 2 1] 3
x xx x x x
3. 1
lim 1x
x
ตองแบงคดเปนลมตซายและลมตขวา ทงนเนองจากวา 1x หาคาได
กตอเมอ x – 1 0
1lim 1x
x
หาคาไมได (เพราะวา x1- หรอ x < 1 เพราะฉะนน x – 1 < 0)
1lim 1 0x
x
ดงนน 1 1
lim 1 lim 1x x
x x
จงไดวา 1
lim 1x
x
หาคาไมได
พจารณากราฟ
10
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
11
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
การหาคาลมตแบบตาง ๆ
ลมตของฟงกชนตรรกยะเมอ x a
ให 1
1 1 01
1 1 0
...( )
( ) ...
n nn n
n nn n
a x a x a x af x
g x b x b x b x b
เปนฟงกชนตรรกยะ
การหาลมตของฟงกชนตรรกยะดงกลาว เราจะแบงออกเปนกรณตอไปน
กรณท 1 เมอ g(a) ≠ 0
จะไดวา
limlim ( )( ) ( )
( ) lim ( ) ( )
x ax a
x a
f xf x f a
g x g x g a
ตวอยางเชน
ตวอยางท 5 จงหาลมตตอไปน 2
3
4 3lim
2 4 9
2x
x x
x x
วธท า 2
33 3
24 3 4 3 4 3
2
limlim(2 4 9)2 4 9 2(2) 4(2) 9 5
= = 22 lim( 2) (2) (2) 2
xx
x
x xx x
x x x x
กรณท 2 เมอ f(a) = g(a) = 0
จะไดวา
lim( )
( )
x a
f x
g x
จะอยในรป 0
0 ซงเปนรปแบบไมก าหนด เราตองจดรปกอน
โดยการแยกตวประกอบเปนสวนใหญ อกวธคอการใชสงยคคณทงตวเศษและตว
สวน
ตวอยางเชน
12
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
ตวอยางท 6 จงหาคาของ -1
2
3lim
1
1x
x
x
วธท า เราจะเหนวาลมตของตวเศษ นนคอ 2
-11lim x
x
มคาเทากบ 0 และลมตของ
ตวสวน 3
-11lim x
x
มคาเทากบ 0 เชนกน
ดงนน -1
2
3lim
1
1x
x
x
อยในรปแบบ 0
0 ซงเปนรปแบบไมก าหนด เราจะก าจดโดย
การแยกตวประกอบ
นนคอ -1 -1 -1
2
3 2 2lim lim lim
1 ( 1)( 1) ( 1) 2
31 ( 1)( 1) ( 1)x x x
x x x x
x x x x x x
ตวอยางท 7 จงหาคาของลมต
3 32
2lim
42x
xx
ถาลมตมคา
วธท า เราจะเหนวาลมตของตวเศษ นนคอ
3 32
2lim 4x
x
มคาเทากบ 0 และ
ลมตของตวสวน 2
lim 2x
x
มคาเทากบ 0 เชนกน
ดงนน
3 32
2lim
42x
xx
อยในรปแบบ 0
0 ซงเปนรปแบบไมก าหนด เราจะก าจด
โดยการแยกตวประกอบ
พจารณา
333 3
33
222
33
24 2
2
xxx
x
3 3 2 2
3 3 2 2
( )( )
( )( )
u a u a u ua a
u a u a u ua a
2 2 ( )( )u a u a u a
2 2
3 3 2 2
( )( )
( )( )
u a u a u a
u a u a u ua a
13
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
3 33 3
3 3 33 3 3
33
3 33 3
22
22
2 2
2 2 2
2 2 2
x x
x x x
x
x x
ดงนน
3 3 33
3 33 3
2
22 2 2lim lim
4 2 2
2 2x x
x xx
x x
3 3 3
33 3 3 3 3
2 2 2
2 2 2 2 2 3 22 2 2 2 3 2
ตอไปจะเปนตวอยางของ
lim( )
( )
x a
f x
g x
ทอยในรป 0
0 ซงเปนรปแบบไมก าหนด
แตเราไมสามารถแยกตวประกอบเพอก าจดตวสวนไมใหเปน 0 ได การหาลมต
ในลกษณะน เราจะใชสงยคของตวเศษ (หรอตวสวน) คณทงเศษและสวน โดยท
พจนทมเครองหมายรากอยทเศษ กใหใชสงยคของตวเศษ ในท านองเดยวกน ถา
พจนทมเครองหมายรากอยทสวน กใหใชสงยคของตวสวน
(สงยคของ a b คอ a b )
ตวอยางเชน
14
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
ตวอยางท 8 จงหาคาของลมต 0
lim4 16
x
xx
ถาลมตมคา
วธท า เราจะเหนวาลมตของตวเศษ นนคอ 0
lim 4 16x
x
มคาเทากบ 0
และลมตของตวสวน 0
limx
x
มคาเทากบ 0 เชนกน
ดงนน 0
lim4 16
x
xx
อยในรปแบบ 0
0 ซงเปนรปแบบไมก าหนด
พจารณา 4 16 4 16 4 16 4 16
x x xx x x
16 (16 )
(4 16 )
1 (4 16 ) 4 16
x
x x
x
x x x
ดงนน
0 0lim lim
4 16 1 1 1 84 16 4 16 0x x
xx x
2 2 ( )( )u a u a u a
สงยคคอ ???
15
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
ตวอยางท 9 จงหาคาของลมต
2
2 2lim
| | 6
4 9 5x
x x
x
ถาลมตมคา
วธท า เนองจาก
และเนองจากเราพจารณาคาเมอ x เขาใกล -2 ทางซายและทางขวา ดงนน x < 0
เสมอ เพราะฉะนน |x| = - x
จะไดวา 2 2
2 2
6 6 4 9 5 4 9 5
| |x x
x
x x
x
และเราจะเหนวาลมตของตวเศษ นนคอ
2
2lim 6
xx x
มคาเทากบ 0 และ
ลมตของตวสวน
2
2lim 4 9 5
xx
มคาเทากบ 0 เชนกน
ดงนน
2
2 2lim
| | 6
4 9 5x
x x
x
อยในรปแบบ 0
0 ซงเปนรปแบบไมก าหนด
พจารณา
2 2 2 2
2 2 2 2
| | 6 6 6 4 9 5 4 9 5 4 9 5 4 9 5 4 9 5
x x x x x x x
x x x x
; 0 | |
; 0
x xx
x x
สงยคคอ ???
16
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
2 2
2
2
2
6 4 9 5
4 9 25
2 3 4 9 5
4 2 2
3 4 9 5
4 2
x x x
x
x x x
x x
x x
x
ดงนน
22
2 22lim lim
3 4 9 56
4 24 9 5x x
x xx x
xx
22 3 4( 2) 9 525 84 2 2
กรณท 3 เมอ f(a) ≠ 0 แต g(a) = 0
จะไดวา
lim( )
( )
x a
f x
g x
อาจจะมคาเปน +∞ หรอ -∞ หรอ ไมมลมต
Note:- การท
lim( )
( )
x a
f x
g x
ไมมลมตนน เนองจาก
lim( )
( )x a
f x
g x
= +∞ (หรอ -∞)
และ
lim( )
( )x a
f x
g x
= -∞ (หรอ +∞)
2 2 ( )( )u a u a u a
17
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
+∞ หมายความวา คามคาเพมขนเรอย ๆ โดยไมมขอบเขต
จะเหนวา 1
( )lim f xx
= +∞ และ 1
( )lim f xx
= +∞
ดงนน 1
( )lim f xx
= +∞
-∞ หมายความวา คามคาลดลงเรอย ๆ โดยไมมขอบเขต
จะเหนวา 1
( )lim f xx
= -∞ และ 1
( )lim f xx
= -∞ ดงนน
1( )lim f x
x= -∞
จะเหนวา 1
( )lim f xx
= -∞ และ 1
( )lim f xx
= +∞
ดงนน 1
( )lim f xx
ไมมลมต
กราฟพงขนฟา !!!
กราฟพงลงดน !!!
18
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
จะเหนวา 1
( )lim f xx
= +∞ และ 1
( )lim f xx
= -∞
ดงนน 1
( )lim f xx
ไมมลมต
ถา ( ) 0f x เมอ x เขาใกล a และ lim1
0( )x a f x
แลว
lim ( )x a
f x
ถา ( ) 0f x เมอ x a + และ lim1
0( )x a f x
แลว lim ( )
x af x
ถา ( ) 0f x เมอ x a - และ lim1
0( )x a f x
แลว lim ( )
x af x
ถา lim lim( ) ( )x a x a
f x f x
แลว lim ( )x a
f x
19
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
ถา ( ) 0f x เมอ x a และ lim1
0( )x a f x
แลว lim ( )
x af x
ถา ( ) 0f x เมอ x a + และ lim1
0( )x a f x
แลว lim ( )
x af x
ถา ( ) 0f x เมอ x a - และ lim1
0( )x a f x
แลว
lim ( )x a
f x
ถา lim lim( ) ( )x a x a
f x f x
แลว lim ( )x a
f x
การพจารณา
lim( )
( )
x a
f x
g x
วาเปน +∞ หรอ -∞ เราจะพจารณาเครองหมายของ
ทงตวเศษและตวสวน นนคอ
1. ถาเปน
หรอ
เราจะไดวา
lim( )
( )
x a
f x
g x
= +∞
2. ถาเปน
หรอ
เราจะไดวา
lim( )
( )
x a
f x
g x
= -∞
แตถา
lim( )
( )x a
f x
g x
= +∞ (หรอ -∞) และ
lim( )
( )x a
f x
g x
= -∞ (หรอ +∞) เราจะ
ไดวา
lim( )
( )
x a
f x
g x
ไมมลมต
20
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
ตวอยางท 10 จงหาของลมตตอไปน
1. 3
lim2
( 3)( 1)x
x
x x
2. 3
lim2
( 3)( 1)x
x
x x
3. 3
lim2
( 3)( 1)
x
x
x x
วธท า พจารณาเครองหมายจะไดวา
1. เราพจารณา x3- นนคอ x<3 ดงนน x – 3 มคาเขาใกล 0 ทางซาย 0-
ดงนน 3
lim2 5
=( 3)( 1) (0 )(4)x
x
x x
-∞ ##
2. เราพจารณา x3+ นนคอ x>3 ดงนน x – 3 มคาเขาใกล 0 ทางขวา 0+
ดงนน 3
lim2 5
=( 3)( 1) (0 )(4)x
x
x x
+∞ ##
3. 3
lim2
( 3)( 1)
x
x
x x
ไมมลมต เพราะวา ลมตซาย ไมเทากบลมตขวา
21
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
การหาลมตของฟงกชนทนยามเปนชวง ๆ
ในการหาลมตสองทางของฟงกชนทนยามเปนชวงๆ เราอาจจะตองแยกหาลมตทละดาน ถาตองการหาลมต เมอ x a โดยท a เปนจดเปลยนฟงกชน เชน ตวอยางท 11 ก าหนดให
2 5 ; 3( )
13 ; 3
x xf x
x x
จงหา 3
lim ( )x
f x
วธท า เนองจาก x = 3 เปนจดเปลยนฟงกชน ดงนนตองแยกคดลมตทละดาน
2 2
3 3lim lim( ) ( 5) (3) 5 4x x
f x x
และ
3 33
lim lim( ) 13 lim ( 13) 3 13 16 4x x
x
f x x x
ดงนน 3
lim ( ) 4x
f x
จดเปลยนฟงกชนกอน ในทน คอ 3
22
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
ตวอยางท 12 ก าหนดให
4; 4
( ) 2
2 ; 4
xx
f x x
x
จงหา
4lim ( )x
f x
วธท า ขอนไมจ าเปนตองแยกหาลมตทละดาน ดงนน
(2 ) 2 4 44 4 4 4
lim lim lim lim4 (2 )(2 )
( )2 (2 )
xx x x x
x x xf x
x x
ดงนน
4lim ( ) 4x
f x
จงหาคาของ 2
lim | 2|
x
x
(ตอบ 2
lim | 2| 0x
x
)
อยาโดนเขาหลอกนะ ตองดชวงท ไมเทากบ !!
HW
23
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
ทบ. 11. (Squeeze Theorem)
ให f, g และ h เปนฟงกชน ( ) ( ) ( )f x g x h x ทกคา x a
ถา lim ( ) lim ( )x a x a
f x L h x
แลว lim ( )x a
g x L
ตวอยางท 13 จงค านวณหาวา 2
4 5 / 20lim
1 (1 )x
x
x มคาเปน 0 โดยใช
Squeeze Theorem
วธท า เนองจาก 4 5/ 2(1 ) 0x ส าหรบทก ๆ x
ดงนน 4 5/ 21 (1 ) 1x ส าหรบทก ๆ x
นนคอ 4 5/ 2
10 1
1 (1 )x
ส าหรบทก ๆ x
เพราะฉะนน 2
2
4 5 / 20
1 (1 )
xx
x
ให f(x) = 0, g(x) = 2
4 5 / 21 (1 )
x
x และ h(x) = x2
ดงนน 0
lim ( ) 0x
f x
และ 0
lim ( ) 0x
h x
โดยทบ. 11 (Squeeze Theorem ) เราจะไดวา 0
lim ( ) 0x
g x
นนคอ 2
4 5/ 20lim 0
1 (1 )x
x
x
ทบ. แซนวช!!
f(x) g(x) h(x)
24
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
ลมตอนนต
พจารณาฟงกชน f(x) = 1
𝑥 เมอ x ≠ 0 จะไดวา
นนคอ
+ - 0 0
lim lim lim lim1 1 1 1
0, 0, ,x x x xx x x x
และมกราฟ ดงรป
สมบตของลมตกรณท xa จะเปนจรงส าหรบกรณท x+∞ หรอ x -∞
0-
25
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
ตอไปพจารณา f(x) = 1
𝑥𝑛 ถา n เปนจ านวนค จะไดกราฟ
ถา n เปนจ านวนค จะไดกราฟ
ดงนน ส าหรบจ านวนเตมบวก n ใด ๆ จะไดวา
1 1 1 1lim ( lim ) 0, lim ( lim ) 0n n
n nx x x xx x x x
เกบผลทไดเอาไวกอน!!!
26
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
ตอไปนจะกลาวถงลมตของพหนามทอยในรป xn เมอ n = 1, 2, …
พจารณากราฟของ y = x, y = x2, y = x3 และ y = x4 ดงรป
และมลมต ดงน
สรปไดวา
lim , 1,2,...
, 2,4,...lim
, 1,3,...
n
n
n
n
x n
nx
n
เมอเราคณ xn ดวยจ านวนจรงบวกใด ๆ กจะไมมผลตอลมตของ f(x) = xn แตถา
เราคณดวยจ านวนจรงลบ คาลมตทไดจะสลบเครองหมายกน เชน
5 5 5 5
6 6 6 6
lim 5 ( )( ) lim 5 ( )( )
lim ( 5) ( )( ) lim ( 5) ( )( )
x x
x x
x x
x x
27
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
ลมตของฟงกชนพหนาม เมอ x และ x-
เราจะอาศยความจรง
1 1 1 1lim ( lim ) 0, lim ( lim ) 0n n
n nx x x xx x x x
เพอชวยในการหาคาลมตของฟงกชนพหนาม
ให 1
1 1 0( ) ... n n
n nf x a x a x a x a
เปนฟงกชนพหนาม
ถา an ≠ 0 และจะไดวา
1
1 1 0 + +
+ +
01( ... )1
lim lim
lim lim
( ... )
( )
n n
n n
na x a x a x ax x n n n
n nx xn n
aax a
x x
x a a x
ดงนนสรปวา
1
1 1 0 + +
( ... )lim limn n
n n
na x a x a x ax x n
a x
1
1 1 0 - -
( ... )lim limn n
n n
na x a x a x ax x n
a x
ตวอยางเชน
28
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
ตวอยางท 14 จงหาคาของ
1. 5 4 2lim (10 3 2 8)x
x x x
2. 7 3lim ( 3 20 7 9)x
x x x
วธท า
1. 5 4 2 5 5lim (10 3 2 8) lim 10 ( )( )x x
x x x x
2. 7 3 7 7lim ( 3 20 7 9) lim 3 ( )( )
( )( )
x xx x x x
อยาลม!!!! ตองดก าลงค และก าลงคของ x และดเครองหมายของสมประสทธ
หนา xดวย
กลาวคอ ถา ( )(+∞)ค = ∞, ( ) (-∞)ค = ∞ แต ( ) (-∞)ค = ∓∞
ก าลงสงสดคออะไร ???
29
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
วธการหาลมตของฟงกชนพหนามเมอ x- โดยการเปลยนตวแปร x = -u
ตวอยางท 15 จงหาคาของ 7 3lim ( 3 20 7 9)x
x x x
วธท า
7 3
7 3
7 3
7
7
lim ( 3 20 7 9)
lim ( 3( ) 20( ) 7( ) 9)
lim(3 20 7 9)
lim(3 )
3( )
x
u
u
u
x x x
u u u
u u u
u
30
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
ลมตของฟงกชนตรรกยะเมอ x และ x-
หลกการหาลมตท : น า พจนทม เลขชก าลงของ x ทมากทสดของตวสวน
ไปหารทงเศษและสวน และอาศยความจรงทวา
1 1 1 1lim ( lim ) 0, lim ( lim ) 0n n
n nx x x xx x x x
ตวอยางท 16
+ +
+
3
23 2
2 2
2
lim lim lim
lim
3 4 43
3 4
55 5 1
(3 ) ( )( )
x x x
x
xx
xx x
x x x xxx
x
ก าลงสงสดของสวนคอ x2
31
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
ตวอยางท 17
4
3
4
3 1/ 6
3 3
7 / 6
lim lim lim
21 1
2( )2 0 2(0)
01 5 05 5 5
x x x
x x
x xx x xx
x x x x x xxx x
วธการหาลมตของฟงกชนพหนามเมอ x- โดยการเปลยนตวแปร x = -u
ตวอยาง 18
ก าลงสงสดตวสวนคอ 𝑥 𝑥
32
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
การหาลมตของฟงกชนตรรกยะ เมอ x หรอ x-
ดวยวธลด
ลมตของฟงกชนตรรกยะ
11 1 0
11 1 0
...( )
( ) ...
n nn n
m mm m
c x c x c x cf x
g x d x d x d x d
เมอ x +∞ หรอ x -∞ จะไมขนกบพจนอน ๆ เลย แตจะขนกบพจนทม
ดกรสงสดของตวเศษและตวสวนเทานน ดงน
ถา cn≠0 และ dn≠0 แลวจะไดวา
11 1 0lim lim
11 1 0
...
...
n
n
mx xm
n nc xn n
m m d xm m
c x c x c x c
d x d x d x d
11 1 0lim lim
11 1 0
...
...
n
n
mx xm
n nc xn n
m m d xm m
c x c x c x c
d x d x d x d
33
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
ตวอยางท 19 จากตวอยางท 19 และ 20 เราจะไดวา
+ +
+
3 3
2 2lim lim
lim
3 4 3
5
3 ( )( )
x x
x
x x
x x x
x
และ
+ + + +
4 44 3 1
3 33 2 6
3lim lim lim lim
2 1 1 0
5 55 5x x x x
x x xx x
x x x x x
การหาลมตของฟงกชนทเกยวกบรากท n
ตวอยางท 20 จงหา
3lim6 5
7 8x
x
x
วธท า อาศยสมบตของลมต จะไดวา
+
3 3 3 3
+ +lim
6 5 6 5 6 6lim lim
7 8 7 8 7 7x x x
x x x
x x x
ถาก าลงของ x ของตวเศษเทากบก าลงของ x ของตวสวน คาของลมต ก
คอ ส.ป.ส. ของ x นนเอง (เอามนมาหารกน)
34
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
ตวอยางท 21 จงหาคาของ 2lim [ 1 ]x
x x
วธท า 2lim [ 1 ]x
x x
2
2 2
2
2 2 2
2
2 2
2 2
2 2
2
2
2
2lim [ 1 ]
[ 1 ][ 1 ]lim
[ 1 ]
( 1) ( )lim
1
1 1lim lim
1 1
1 1
lim lim1 1
1
1
0 0lim 0
21 1
[ 1 ]
]
1
1
0 11
[x
x
x
x x
x x
x
x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
x x x x
x x
x x x
x
x x
x x
x
x
x
สงยคคออะไร ???
ก าลงสงสดของตวสวน คอ x
35
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
ตวอยางท 22 จงหา
2
2
21.lim
3 6
22.lim
3 6
x
x
x
x
x
x
วธท า ทงสองขอ เราจะหารทงตวเศษและตวสวนดวย |x| และใชความจรงทวา
2; 0
| |, | |; 0
x xx x x
x x
36
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
22
อกวธของตวอยางท 22
37
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
38
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
39
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
40
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
41
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
42
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
แบบฝกหด เรอง ลมต
43
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
44
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
เฉลย
45
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
แบบฝกหด เรอง ลมต 2
46
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
เฉลย
47
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
การหาลมตของฟงกชนตรโกณมต ฟงกชนตรโกณมตส าหรบรปสามเหลยม
ดานประชดมม = x
ดานตรงขามมม = y
ดานตรงขามมมฉาก = r
ดงนน sin = ดานตรงขามมม / ดานตรงขามมมฉาก = y/r
cos = ดานประชดมม / ดานตรงขามมมฉาก = x/r
tan = ดานตรงขามมม / ดานประชดมม = y/x
ถา r = 1 แลว sin = y และ cos = x
ดงนน
sin 1 costan ,cot
cos tan sin
1 1sec ,csc
cos sin
r
y
x
48
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
ตารางของคาของฟงกชนตรโกณมตทงหมดของแตละคาของ (0 )
0 6
4
3
2
2
3
3
4
5
6
sin 0 1
2 2
2 3
2 1 3
2 2
2 1
2 0
cos 1 3
2 2
2 1
2 0 1
2 2
2 3
2 -1
tan 0 1
3 1 3 - 3 -1 1
3 0
ความหมายของฟงกชนตรโกณมตของมมถกก าหนดโดยจตภาคทดานปลายของมมซง
ปรากฎไดดงรป
ตอไปพจารณาคาของ f() = sin
เมอ 0 จากตารางดงตอไปน
2
1.57 4
0.79 6
0.52 12
0.26 36
0.09 …
sin
0.63662 0.90032 0.95494 0.98865 0.99885 …
จากตาราง จะเหนวา เมอ 0 คาของ f() = sin
มคาเขาใกล 1
All + sin +
tan + cos +
49
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
B
C
นนคอ 0
sinlim 1
ตอไปเราจะพสจนวา 0
sinlim 1
โดยใช ทบ. แซนวช
พสจน สรางวงกลมจดศนยกลางทจด 0 และมรศม 1 หนวย
สมมตให 02
ใหจด A และจด D เปนจดทอยบนวงกลม 1 หนวย
ดงนน OA = OD = 1 หนวย ตามรป
ลากสวนของเสนตรง OA ไปยงจด B และเลอกจด C บนสวนของเสนตรง OD ซง
ท าใหสวนของเสนตรง AC ตงฉากกบสวนของเสนตรง OD และสวนของเสนตรง BD ตง
ฉากกบสวนของเสนตรง OD ตามรป
D
A
0
D
A
0
50
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
จะไดวา พนทรปสามเหลยม OAC < พนทของสามเหลยมฐานโคง OAD < พนท
รปสามเหลยม OBD
21 1 1cos sin (1) tan
2 2 2
น า 1 sin2
หารตลอดอสมการ จะได
1cos
sin cos
นนคอ
sin 1cos
cos
ให sin 1( ) cos , ( ) , ( )
cosf g h
ขณะท 0 จะไดวา
0 0
0 0
lim ( ) limcos cos0 1,
1 1lim ( ) lim 1
cos cos0
f
h
ดงนน 0 0
lim ( ) 1 lim ( )f h
โดยทฤษฎบทแซนวช จะไดวา 0 0
sinlim ( ) lim 1g
51
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
จากตวอยางทผานมา เรารแลววา 0
limsin
1x
x
x ซงเราจะเอาดงกลาวมาชวยหาลมต
ของฟงกชนตรโกณมต
ถา
lim ( ) 0x a
f x
และ ( ) 0f x เมอ xa แลว
lim
sin( ( ))1
( )x a
f x
f x
52
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
ตวอยางท 23 จงหาคา 0
limsin5
x
x
x
วธท า จะเหนวา 0
limsin5
x
x
x อยในรป
0
0 ดงนนเราพยายามจดรปใหอยในรป sin
และใชความจรงทวา 0
limsin ( )
1( )x
f x
f x มาชวยในการค านวณหาคาลมตดงกลาว
0 0
0 0
lim lim
lim lim
sin5 sin5 5
5sin5 sin5
5 5 5(1) 55 5
x x
x x
x x
x xx x
x x
ตวอยางท 24 จงหาคา 0
limtan
3x
x
x
วธท า จะเหนวา 0
limtan
3x
x
x อยในรป
0
0 ดงนนเราพยายามจดรปใหอยในรป
sin x
x
และใชความจรงทวา
0lim
sin1
x
x
x มาชวยในการค านวณหาคาลมต
ดงกลาว
1 1 1 1(1)
0 0 0 03 3cos 3(1) 3lim lim lim lim
tan sin sin
3 cosx x x xx x
x x x
x x x
53
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
ตวอยางท 25 จงหาคาของลมต 30
limtan sin
x
x x
x
ถาลมตมคา
วธท า จะเหนวา 30
limtan sin
x
x x
x
อยในรป 0
0 ดงนนเราพยายามจดรปใหอยในรป
sin x
x
และใชความจรงทวาจะใช
0lim
sin ( )1
( )x
f x
f x มาชวยในการค านวณหาคา
ลมตดงกลาว
3 30 0lim lim
tan sin (1 cos ) tanx x
x x x x
x x
2
30lim
2sin tan2
x
xx
x
2
0lim
sinsin 12
2cos
2
x
xx
x x x
2
0 0 0lim lim lim
sinsin 12
2cos
2
x x x
xx
x x x
sin22
0 0 0
2
lim lim limsin 1
( )2cos
x
xx x x
x
x x
1 121 (1)( )2 2
( )
2cos2 1 2sin A A
HW
54
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
ตวอยางท 29 จงหาคาของ 0
lim1 sin 1 sin
x
x x
x
วธท า จะเหนวา 0
lim1 sin 1 sin
x
x x
x
อยในรป 0
0 ดงนนเราจะใช
0lim
sin1
x
x
x มาชวยในการค านวณหาคาลมตดงกลาว
แตเราจะสงเกตวา อยในรปเครองหมาย ∎ ดงนนเราตองก าจดดวยการคณสงยคทงเศษ
และสวนกอน
0 0
0
lim lim
lim
lim
1 sin 1 sin1 sin 1 sin 1 sin 1 sin
1 sin 1 sin
(1 sin ) (1 sin )
( 1 sin 1 sin )
=
x x
x
x
x xx x x x
x xx x
x x
x x x
0
0 0lim lim
2sin
( 1 sin 1 sin )
sin 1 1 = 2 2(1)( ) 1
21 sin 1 sinx x
x
x x x
x
x x x
สงยคคอ ???
55
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
ตวอยาง 30 ก าหนดให
2 1 ; 0
( ) 2sin3 cos; 0
x x
f x x xx
x
จงหาคาของ 0
lim ( )x
f x
วธท า เมอ 0x แลว 2( ) 1f x x
ดงนน 2
0 0lim ( ) lim( 1) 0 1 1x x
f x x
เมอ 0x แลว 2sin3 cos( )
x xf x
x
ดงนน
0 0
0 0
3
2sin3 coslim ( ) lim
sin32lim lim
3cos
2(3)(1)(cos0) 6
x x
x x
x xf x
x
xx
x
จะไดวา
0 0
lim ( ) lim ( )x x
f x f x
นนคอ 0
lim ( )x
f x
หาคาไมได
56
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
ตวอยาง 31 จงหาคาของ 1lim2 sin( )x
xx
วธท า
1 12sin( ) sin( )
1lim2 sin( ) lim 2lim
1 1x x x
x xxx
x x
ให 1u
x
ดงนน เมอ xจะไดวา 10u
x
จะไดวา
0
1sin( )
1lim2 sin( ) 2lim
1
sin( )2lim
2(1) 2
x x
u
xxx
x
u
u
57
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
ตวอยางท 32 จงหาคาของ 2
coslim
2
x
x
x
วธท า เนองจาก cos sin( )2
x x
ดงนน 2 2 2
sin( ) sin( )cos 2 2lim lim lim
( )2 2 2
x x x
x xx
x x x
ให 2
u x
ดงนน เมอ 2
x
จะไดวา 02
u x
เพราะฉะนน จะไดวา
0 0
2
cos sin( ) sin( )lim lim lim (1) 1
( )
2
u ux
x u u
u ux
58
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
ความตอเนองของฟงกชน
กอนทจะใหนยามความตอเนองของฟงกชน พจารณากราฟของ f(x) ทจด x = c
ดงรปขางลาง
(1) (2)
(3) (4)
(5)
กราฟมรอยรว!!!
กราฟกระโดด !!!
กราฟมรอยรว!!!
59
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
จากกราฟทง 5 เราจะเหนวา
รปท (1) lim ( )x c
f x L
แตฟงกชน f(x) ไมนยามท x = c
รปท (2) lim ( )x c
f x ไมมคา แตฟงกชน f(x) นยามท x = c ซง f(c) = L2
รปท (3) lim ( )x c
f x
และฟงกชน f(x) นยามท x = c ซง f(c) = L
รปท (4) 1
lim ( )x c
f x L
แต f(c) = L2 ซง lim ( ) ( )x c
f x f c
รปท (5) lim ( )x c
f x L
และ f(c) = L ดงนน lim ( ) ( )x c
f x f c
ขอสงเกต จากรปท (1) – (4) จะเหนวากราฟของ y = f(x) ขาดตอนหรอไม
ตอเนอง (มรอยรว !!!) ทจด x = c และเกดเหตการณดงน
ฟงกชน f ไมนยาม ท x = c
lim ( )
x cf x
หาคาไมได
ฟงกชน f นยามท x = c และ lim ( )x c
f x หาคาไมได แตคาทงสองไม
เทากน
สวนรปท (5) ไดวา กราฟของ y = f(x) ทจด x = c ตอกนตลอดหรอตอเนองทจด
x = c
สรปเปนนยามความตอเนอง ดงน
60
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
บทนยาม จะกลาววาฟงกชน f มความตอเนองทจด x = c กตอเมอ
lim ( ) ( )x c
f x f c
หรออาจกลาวไดอกแบบวา
f มความตอเนองทจด x = c กตอเมอ
1. f(c) นยาม (define) หรอหาคาได
2. lim ( )x c
f x หาคาได (exist)
3. lim ( ) ( )x c
f x f c
แตถา f ขาดเงอนไขขอใดขอหนงจะกลาววา f ไมมความตอเนองท x = c
ถา f มความตอเนองทกจดบนชวงเปด (a, b) แลวเราจะกลาววา f มความตอเนอง
บนชวง (a, b) และฟงกชน f ทมความตอเนองบนชวง (-∞, +∞) เราจะกลาว
สน ๆ วา f เปนฟงกชนตอเนอง
61
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
ตวอยางท 33 ให
2 4( )
2
xf x
x
และ
2 4, 2
( ) 2
3 , 2
xx
g x x
x
จงพจารณาวา f และ g มความตอเนองท x = 2 หรอไม
วธท า พจารณาฟงกชน f : เนองจาก f(2) ไมนยาม (เพราะท าใหตวสวน
เปนศนย)
ดงนน f ไมมความตอเนองท x = 2
พจารณาฟงกชน g : เนองจาก g(2) = 3 และ
2
2 2 2 2
4 ( 2)( 2)lim ( ) lim lim lim( 2) 2 2 4
2 2x x x x
x x xg x x
x x
ดงนน 2lim ( ) (2)x
g x g
นนคอ g ไมมความตอเนองท x = 2
กราฟของ f และ g แสดงได ดงรป
หมายเหต จากตวอยางท 1 เราอาจสรปไดวา ฟงกชน f และ ฟงกชน g ตอเนอง
ทกจด ยกเวนทจด x = 2
กราฟมรอยรว !!!
62
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
ตวอยางท 34 ก าหนดให
4, 4
3( 2)( )
4, 4
3
xx
xf x
x
จงพจารณาวา f มความตอเนองท x = 4 หรอไม
วธท า เนองจาก f(4) = 4/3
ตอไปพจารณาคาของลมต
2 2
4 4 4 4
4
4 ( ) (2) ( 2)( 2)lim ( ) lim lim lim
3( 2) 3( 2) 3( 2)
2 4 2 4lim
3 3 3
x x x x
x
x x x xf x
x x x
x
ดงนน 4lim ( ) (4)x
f x f
นนคอ f มความตอเนองท x = 4
63
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
ตวอยางท 35 ก าหนดให
2 , 22
( ) 2 1 , 1 2
1 , 1
xx
f x x x
x x
จงพจารณาวา f ไมมความตอเนองทจดใดบาง (ถาม)
วธท า พจารณาความตอเนองท x = 1
เนองจาก f(1) = - (1) – 1 = -2
ตอไปพจารณาคาลมต (เพราะวาฟงกชนนยามเปนชวง ๆ ดงนนเรา
ดทงลมตซาย และลมตขวา)
1lim( 1) (1) 1 2x
x
1lim(2 1) 2(1) 1 1x
x
ดงนน 1lim ( )
xf x
หาคาไมได
สรปไดวา f ไมตอเนองทจด x = 1
พจารณาความตอเนองท x = 2
เนองจาก f(2) = (2/2) + 2 = 3
ตอไปพจารณาคาลมต (เพราะวาฟงกชนนยามเปนชวง ๆ ดงนนเรา
ดทงลมตซาย และลมตขวา)
พจารณาทจดขอบ กพอ!!!
64
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
2lim(2 1) 2(2) 1 3x
x
2
2lim( 2) 2 3
2 2x
x
ดงนน 2lim ( ) 3x
f x
ซงมคาเทากบ f(2)
สรปไดวา f มความตอเนองท x = 2
ดงนน f ไมตอเนองทจด x = 1
ก าหนดให
tan 2, 0
( )
5 , 0
xx
f x x
x
จงพจารณาวา f ตอเนองท x = 0 หรอไม (ตอบ ไม)
HW
65
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
ตวอยางท 36 จงหาคา k ทท าใหฟงกชน
2 , 2( )
3 , 2
x xf x
x k x
ตอเนองท x = 2
วธท า f ตอเนองท x = 2 กตอเมอ 2lim ( ) (2)x
f x f
หรอ
2 2lim ( ) lim ( ) (2)x x
f x f x f
ในทนใช 2lim ( ) (2)x
f x f
นนคอ
2
2
2
lim 3(2)
(2) - 6
6 4 10
xx k
k
k
ดงนน f ตอเนองท x = 2 เมอ k = 10
จงหาคา k ทท าใหฟงกชน
7 2 6 4 2, , 2
( ) 2 7
, 2
x xx x
f x x
k x
ตอเนองบนชวงทก าหนด (ตอบ k = 1/16)
HW
66
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
ตวอยางท 37 จงหาคา A, B ทท าให f(x) มความตอเนองทกจด เมอก าหนดให
2sin ,2
( ) sin ,2 2
cos ,2
x x
f x A x B x
x x
วธท า เราจะพจารณาทจด x ทเปนขอบ นนคอ ,2 2
x x
พจารณาความตอเนองท 2x
( ) 2sin( ) 2( 1) 22 2
f
2 2
lim ( ) lim ( 2sin ) 2x x
f x x
และ
2 2
lim ( ) lim ( sin )x x
f x A x B A B
เนองจากวา f มความตอเนองทกจด
ดงนน 2 2
lim ( ) lim ( ) ( )2x x
f x f x f
นนคอ 2A B ------------- (1)
พจารณาความตอเนองท 2x
( ) cos( ) 02 2
f
67
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
2 2
lim ( ) lim(cos ) 0x x
f x x
และ
2 2
lim ( ) lim( sin )x x
f x A x B A B
เนองจากวา f มความตอเนองทกจด ดงนน 2 2
lim ( ) lim ( ) ( )2x x
f x f x f
นนคอ 0A B ------------- (2)
(1)+(2) จะไดวา 2B = 2 นนคอ B = 1
แทนคา B = 1 ลงในสมการท (2) เราจะไดวา A = -1
สรป A = -1 และ B = 1 ท าใหฟงกชน f มความตอเนองทกจด
จงหาคา A, B ทท าให f(x) มความตอเนองทจด x= 1 และไมมความตอเนองท x =
2 เมอก าหนดให
2
, 1
( ) 3 , 1 2
, 2
Ax B x
f x x x
Bx A x
HW
68
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
ฟงกชน f ทไมมความตอเนองทจด x = c จะเรยกวาเปนภาวะความไมตอเนองท
ขจดได (removable discontinuity) ท x = c กตอเมอ lim ( )x c
f x มคา แต
lim ( ) ( )x c
f x f c
ซงอาจจะเปนไปไดวาท x = c ไมนยาม
แตถา lim ( )x c
f x ไมมคา จะเรยกวา ภาวะความไมตอเนองทขจดไมได (non-
removable discontinuity) ท x = c
ในการขจดภาวะความไมตอเนอง ท าไดโดย ก าหนดคาคงท ท x = c ขนมา
เพอใหสอดคลองกบคณสมบตความตอเนองทจด x = c นนคอlim ( ) ( )
x cf x f c
ตวอยางท 38 พจารณาจดทท าใหฟงกชน f ไมมความตอเนองของตวอยางท 1
และตวอยางท 3
วาอยในภาวะความไมตอเนองทขจดได หรอไม ถาขจดไดจะขจดอยางไร
วธท า จากตวอยางท 1 เราจะไดวา f ไมตอเนองท x = 2 และ f(2) ไมนยาม
แต 2
2 2 2
4lim ( ) lim lim( 2) 4
2x x x
xf x x
x
เพราะฉะนน ทจด x = 2 อยในภาวะความไมตอเนองทขจดได โดย
เราจะก าหนดให f(2) = 4
ดงน
69
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
2 4, 2
( ) 2
4 , 2
xx
f x x
x
ท าในท านองเดยวกนส าหรบฟงกชน g
จากตวอยางท 3 เราจะไดวา f ไมตอเนองท x = 1 และ f(1) = -2
แต 1lim ( )
xf x
ไมมคา
ดงนน ทจด x = 1 อยในภาวะความไมตอเนองทขจดไมได
จงพจารณาฟงกชนทก าหนดใหตอไปนวาไมตอเนองทจดใดบาง และจดเหลานน
สามารถขจดความไมตอเนองไดหรอไม ถาไดจะขจดอยางไร
1. 2( )
1
xf x
x
2.
3, 4
( ) 1
3 , 4
xf x x
x
3.
2
3
5 , 2
( ) 10 , 2
1 , 2
x x
f x x
x x
4. 2
sin, 0
( )
1 , 0
xx
f x x
x x
HW
70
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
ทบ. ถาฟงกชน f และ g มความตอเนองท x = c แลวจะไดวา
1. f + g มความตอเนองท x = c
2. f - g มความตอเนองท x = c
3. f g มความตอเนองท x = c
4. f / g มความตอเนองท x = c ถา g(c) ≠ 0
f / g ไมมความตอเนองท x = c ถา g(c) = 0
5. kf มความตอเนองท x = c เมอ k เปนคาคงท
6. ฟงกชนพหนามเปนฟงกชนตอเนอง
7. ฟงกชนตรรกยะมความตอเนองทกจดยกเวนจดทท าใหตวสวนเปน
ศนย
ตวอยางท 39 จงแสดงวา f(x) = |x| เปนฟงกชนตอเนอง
วธท า เนองจาก
, 0
( ) | | 0 , 0
, 0
x x
f x x x
x x
และจาก ทบ. ขอ 6 จะไดวา f(x) = |x| เปนฟงกชนตอเนอง ท x>0 หรอ
x<0 เพราะวา f เปนฟงกชนพหนาม (x และ –x ตามล าดบ) ดงนนเหลอเพยง
พจารณาท x = 0 เทานน
71
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
เนองจาก 0 0 0lim ( ) lim | | lim 0x x x
f x x x
และ 0 0 0lim ( ) lim | | lim 0x x x
f x x x
จงไดวา 0lim ( ) 0x
f x
ดงนน f มความตอเนองท x = 0 เพราะวา 0lim ( ) 0 (0)x
f x f
นนคอ f เปนฟงกชนตอเนองทกจด
ตวอยางท 40 จงพจารณาวาฟงกชน 2
5( )
2 8
xf x
x x
มความตอเนองท
ใดบาง
วธท า เนองจาก f(x) เปนฟงกชนตรรกยะ ดงนนเพยงพอทจะพจารณาจด x ทท า
ใหตวสวนเปนศนย
2 2 8 0
( 4)( 2) 0
x x
x x
ดงนน x = 4, -2
เพราะฉะนน f ไมตอเนองท x = 4 และ x = -2
72
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
HW
ก าหนดให
2
2sin( 3); 3
( 3)
| 3 |( ) ; 3 4
1 4
9; 4 5
3
xx
x
xf x x
x
xx
x
จงพจารณาวา f มความตอเนองทจด x = 3 และทจด x = 4 หรอไม ถาไมมความ
ตอเนองสามารถแกไขไดหรอไม ถาไดจงแกไข
73
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
ความตอเนองทางซายและความตอเนองทางขวา
พจารณาความตอเนองบนชวงปด [a,b] จากรป
จากรปท 1 จะเหนวาทจด x = a ซงเปนจดปลายทางดานซายเปนจดทฟงกชนไมตอเนอง
ในท านองเดยวกน รปท 2 ฟงกชนกไมมความตอเนองทจด b ซงเปนจดปลายทางขวา
สวนรปท 3 ฟงกชนมความตอเนองทจดปลายทงสองดาน ซงท าใหไดวานยามความ
ตอเนองทจดใด ๆ ตามบทนยามทไดศกษาไปนน ใชไมไดกบจดปลายชวงของฟงกชนท
น ยามบนชวงปด เพราะวาเปนลมตสองดาน จงท าใหเราตองนยามความตอเนองทจดปลาย
ของฟงกชนใหมในลกษณะลมตดานเดยว
74
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
บทนยาม ฟงกชน f จะเรยกวามความตอเนองทางซายทจด x = c ถา f สอดคลองกบ
1 .f(c) หาคาได
2 . lim ( )x c
f x
มคา และ
3 . lim ( ) ( )x c
f x f c
บทนยาม ฟงกชน f จะเรยกวามความตอเนองทางขวาทจด x = c ถา f สอดคลองกบ
1 .f(c) หาคาได
2 . lim ( )x c
f x
มคา และ
3 . lim ( ) ( )x c
f x f c
บทนยาม ฟงกชน f จะเรยกวามความตอเนองบนชวง (a,b] ถา f สอดคลองกบ
1 .f มความตอเนองบนชวงเปด (a,b)
2 .f มความตอเนองทางซายทจด x = b
บทนยาม ฟงกชน f จะเรยกวามความตอเนองบนชวง [a,b) ถา f สอดคลองกบ
1 .f มความตอเนองบนชวงเปด (a,b)
2 .f มความตอเนองทางขวาทจด x = a
75
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
บทนยาม ฟงกชน f จะเรยกวามความตอเนองบนชวง [a,b] ถา f สอดคลองกบ
1 .f มความตอเนองบนชวงเปด (a,b)
2 .f มความตอเนองทางขวาทจด x = a
3. f มความตอเนองทางซายทจด x = b
กลบไปพจารณากราฟ
จะเหนวา รปท 1 lim ( ) ( )x a
f x f a
และ lim ( ) ( )x b
f x f b
ดงนน f ไมมความตอเนองทางขวาทจด x = a แต f มความตอเนองทางซายทจด x = bท า
ใหไดวา f มความตอเนองบนชวง (a,b]
ส าหรบรปท 2 และ รปท 3 เรากพจารณาในท านองเดยวกน จะไดวา f มความตอเนองบน
ชวง [a,b) และ [a,b] ตามล าดบ
76
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
ตวอยางท 41 จงแสดงวา 2( ) 9f x x มความตอเนองบนชวงปด [-3,3]
วธท า f มความตอเนองบนชวงปด [-3,3] หมายความวา
1 .f มความตอเนองบนชวงเปด )-3,3(
2 .f มความตอเนองทางขวาทจด x = -3
3 .f มความตอเนองทางซายทจด x = 3
1. เราจะแสดงวา f มความตอเนองบนชวงเปด (-3,3)
ให c เปนจดใด ๆ ในชวงเปด (-3,3) เราตองการแสดงวา f มความตอเนองท
จด x = c นนคอ จะตองแสดงวา lim ( ) ( )x c
f x f c
เนองจาก
2 2 2lim ( ) lim 9 lim(9 ) 9 ( )x c x c x c
f x x x c f c
ดงนน f มความตอเนองทจด x = c แต c เปนจดใด ๆ บนชวง (-3,3) ท าให
ไดวา f มความตอเนองบนชวง (-3,3) ##
2. เราจะแสดงวา f มความตอเนองทางขวาทจด x = -3
เนองจาก2 2 2
3 3 3lim ( ) lim 9 lim(9 ) 9 ( 3) 0 ( 3)x x x
f x x x f
ดงนน f มความตอเนองทางขวาท x = -3 ##
3. เราจะแสดงวา f มความตอเนองทางซายทจด x = 3
เนองจาก
77
เอกสารประกอบการสอนวชา ค. 111 : แคลคลสวศวกรรม 1: อาจารย ดร. จรนทรทพย เฮงคราวทย บทท 1 ลมตและความตอเนองของฟงกชน
2 2 2
3 3 3lim ( ) lim 9 lim(9 ) 9 (3) 0 (3)x x x
f x x x f
ดงนน f มความตอเนองทางซายทจด x = 3 ##
จากขอ 1, 2, 3 สรปไดวา มความตอเนองบนชวง [-3, 3]
แผนบริหารการสอนประจ าบทที่ 6 จิตวิทยาเด็กที่มีความต้องการพิเศษelearning.psru.ac.th/courses/317/บทที่
บทที่ 3 จุลินทรีย ที่มีความส ําคัญในอาหารelearning.psru.ac.th/courses/192/11_บทที่ 3-จุลินทรีย์... ·
จิตวิทยาการเรียนรู้ (Learning)elearning.psru.ac.th/courses/47/บทที่ 3.pdfบทที่ 3 จิตวิทยาการเรียนรู้