บทที4...

บทท 4สมการเชงอนพนธเชงเสนอนดบสง

4.1 ทฤษฎสมการเชงเสนอนดบสง

ในหวขอนเราจะศกษานยามและทฤษฎบททเปนพนฐานในการหาผลเฉลยทวไปของสมการเชงเสนอนดบสง

4.1.1 ปญหาคาเรมตนและปญหาคาขอบ

ในบทท 1 เราไดกลาวถงปญหาคาเรมตน (initial-value problem)

an(x)dny

dxn+ an−1(x)

dn−1y

dxn−1+ · · ·+ a1(x)

dy

dx+ a0(x)y = g(x),

โดยท y(x0) = y0, y′(x0) = y1, . . . , y

(n−1)(x0) = yn−1

ซงเราสามารถยนยนการมอยจรงเพยงหนงเดยวของผลเฉลยของปญหาคา เรมตนนในกรณท n = 1 ไดดงทฤษฎบท 1.1 ในทน เราสามารถยนยนการมอยจรงของเพยงหนงเดยวของผลเฉลยของปญหาคาเรมตนไดดงทฤษฎบทตอไปน

101

102 4 สมการเชงอนพนธเชงเสนอนดบสง

ทฤษฎบท 4.1 (การมอยจรงเพยงหนงเดยวของผลเฉลย)พจารณาปญหาคาเรมตน

an(x)dny

dxn+ an−1(x)

dn−1y

dxn−1+ · · ·+ a1(x)

dy

dx+ a0(x)y = g(x),

โดยท y(x0) = y0, y′(x0) = y1, . . . , y

(n−1)(x0) = yn−1

กาหนด ให I เปน ชวง ใด ๆ ท x0 ∈ I ถาan(x), an−1(x), . . . , a1(x), a0(x) และ g(x) เปน ฟงกชนตอเนองบนชวง I และ an(x) = 0 สาหรบทก x ∈ I แลวสาหรบทกเงอนไขเรมตน y0, y1, . . . , yn จะมผลเฉลย y(x) ของปญหาคาเรมตนนเพยงหนงเดยวบนชวง I

ตวอยาง 4.1 จงแสดงวาปญหาคาเรมตน3y′′′ + 5y′′ − y′ + 7y = 0,

y(1) = 0, y′(1) = 0 และ y′′(1) = 0

มผลเฉลยเพยงหนงเดยววธทา

4.1 ทฤษฎสมการเชงเสนอนดบสง 103

ตวอยาง 4.2 จงแสดงวาฟงกชน y = 3e2x+e−2x−3x เปนผลเฉลยเพยงหนงเดยวของปญหาคาเรมตน

y′′ − 4y = 12x, y(0) = 4, y′(0) = 1

วธทา


สงเกตวา เงอนไข ai(x), i = 1, 2, . . . , n เปนฟงกชน ตอ เนองและan(x) = 0 สาหรบทก x ∈ I มความสาคญกบการมมเพยงหนงเดยวของผลเฉลยเปนอยางมาก ตวอยางเชน สาหรบทกคาคงตว c ∈ R จะไดวาฟงกชน y = cx2 + x+ 3 เปนผลเฉลยของปญหาคาเรมตน

x2y′′ − 2xy′ + 2y = 6, y(0) = 3, y′(0) = 1

บนชวง (−∞,∞) (Verify!) ซงทาใหไดวาปญหาคาเรมตนนมผลเฉลยเปนอนนต ทงนหากเราพจารณาปญหาคาเรมตนนเทยบกบเงอนไขในทฤษฎบท 4.1 จะพบวาปญหาคาเรมตนนไมสอดคลองกบทฤษฎบท4.1 กลาวคอ คาฟงกชน a2(0) มคาเปนศนยนนเอง

ปญหาอกชนดหนงซงเกยวของกบการหาผลเฉลยของสมการเชงเสนอนดบสงทมความสาคญอยางมากเชนเดยวกบปญหาคาเรมตนคอปญหาคาขอบ (boundary-value problem, BVP)

a2(x)d2y

dx2+ a1(x)

dy

dx+ a0(x)y = g(x),

โดยท y(a) = y0 และ y′(b) = y1

ซงเราจะเรยก y(a) = y0 และ y(b) = y1 ทกาหนดใหนวา เงอนไขขอบ(boundary condition) นอกจากนเงอนไขขอบอาจเขยนอยในรปแบบอน เชน

y′(a) = y0 และ y(b) = y1

y(a) = y0 และ y′(b) = y1

y′(a) = y0 และ y′(b) = y1

โดยท y0 และ y1 เปนคาคงตว


ถง แมวา เงอนไขใน ปญหา คาขอบจะสอดคลองกบทฤษฎบท 4.1อยางไรกตาม เราไมสามารถยนยนไดวาผลเฉลยของปญหาคาขอบจะมเพยงหนงเดยวเทานนหรอไม ซงในบางครงปญหาคาขอบอาจไมมผลเฉลยกเปนไดตวอยาง 4.3 พจารณาวงศของฟงกชน x = c1 cos t + c2 sin t ซงเปนผลเฉลยของสมการเชงอนพนธ

x′′ + 16x = 0 (Verify!)

จงพจารณาวาปญหาคาขอบทมเงอนไขขอบซงกาหนดใหตอไปนมผลเฉลยหรอไม1. เงอนไขขอบ x(0) = 0 และ x (π/2) = 0

2. เงอนไขขอบ x(0) = 0 และ x (π/8) = 0

3. เงอนไขขอบ x(0) = 0 และ x (π/2) = 1

วธทา


4.1.2 สมการเชงเสนเอกพนธ

บทนยาม 4.1 เราจะเรยกสมการเชงเสนอนดบ n

an(x)dny

dxn+ · · ·+ a1(x)

dy

dx+ a0(x)y = 0 (4.1)

วา สมการเอกพนธ (homogeneous equation) และจะเรยกสมการเชงเสนอนดบ n

an(x)dny

dxn+ · · ·+ a1(x)

dy

dx+ a0(x)y = g(x) (4.2)

โดยท g(x) = 0 วา สมการไมเอกพนธ (nonhomogeneous equa-tion)ตวอยางเชน สมการเชงเสนอนดบสอง

2y′′ + y′ − 7y = 0

เปนสมการเอกพนธ แตสมการเชงเสนอนดบสาม

x2y′′′ + 5y = ex

เปนสมการไมเอกพนธในการศกษาการหาผลเฉลยของสมการเอกพนธและไมเอกพนธนน

เราจะสมมตใหสมมตฐานตอไปนเปนจรงบนชวง I ใด ๆ เสมอ1. ฟงกชนสมประสทธ ai(x), i = 1, . . . , n และ g(x) เปนฟงกชนตอ

เนอง2. an(x) = 0 สาหรบทก x ∈ I


โดยปกตแลว เราจะใชสญลกษณ Dy แทนอนพนธ dydx

ซง ตอไปนสญลกษณ D จะ ถก เรยกวา ตวดาเนนการ เชงอนพนธ (differentialoperator) ตวอยางเชน

D(cos 2x) = −2 sin 2x

และD(5x4 − 3x2) = 20x3 − 6x

ในทานองเดยวกนน เราสามารถเขยนอนพนธอนดบสงใหอยในรปของตวดาเนนการเชงอนพนธได เชน

d2y

dx2=

d

dx

(dy

dx

)= D(Dy) =: D2(y)

และในกรณทวไปDny :=

dny

dxn

โดยท y เปนฟงกชนหาอนพนธไดอนดบ n

ทงน นพจนเชงพหนามของตวดาเนนการเชงอนพนธ D ยงคงเปนตวดาเนนการเชงอนพนธ เชน

D + 2

D2 + 3D − 1

และ5x3D3 − 6x2D2 + 4xD + 7

เปนตน ซงในกรณทวไป เราสามารถนยาม ตวดาเนนการเชงอนพนธอนดบ n (nth-order differential operator) หรอ ตวดาเนนการพหนาม(polynomial operator) เปน


L := an(x)Dn + an−1(x)D

n−1 + · · ·+ a1(x)D + a0(x) (4.3)

สงเกตวาตวดาเนนการเชงอนพนธ D สอดคลองกบสมบตเชงเสน(linearity) กลาวคอ สาหรบคาคงตว c ใด ๆ จะได

D(cf(x)) = cDf(x)

และD(f(x) + g(x)) = Df(x) +Dg(x)

(Verify!) ซงสงผลใหตวดาเนนการพหนาม L สอดคลองกบสมบตเชงเสนตามไปดวย (Verify!) นนคอ หากเรากลาวถงตวดาเนนการพหนามL พงระลกเสมอวา L เปนตวดาเนนการเชงเสน อนง เราสามารถเขยนสมการเชงเสน (4.1) และ (4.2) ในรปของตวดาเนนการพหนามไดเปน

L(y) = 0

และL(y) = g(x)

ตามลาดบ และแนนอนวาเราสามารถเขยนสมการเชงเสนใหอยในรปของตวดาเนนการเชงอนพนธได เชน

y′′ + 5y′ + 6y = 5x− 3

เขยนไดเปนD2y + 5Dy + 6y = 5x− 3

หรอ(D2 + 5D + 6)y = 5x− 3

นนเองในสวนตอไปน เราจะกลาวถงการสรางผลเฉลยของสมการเอกพนธ

จากผลเฉลยททราบกอนแลว กลาวคอ ถาเรานาผลเฉลยของสมการเอก


พนธตงแต 2 ตวขนไปมารวมกน แลวผลรวมของผลเฉลยเหลานนยงคงเปนผลเฉลยของสมการเอกพนธนนดวย ซงเราจะเรยกวธการนวา หลกการทบซอน (superposition principle) ดงทฤษฎบทตอไปน

ทฤษฎบท 4.2 (หลกการทบซอนของสมการเอกพนธ)ให y1, y2, . . . , yn เปนผลเฉลยของสมการเอกพนธอนดบ n (4.1)บนชวง I แลวผลรวมเชงเสน

y = c1y1(x) + c2y2(x) + · · ·+ cnyn(x)

โดยท ci, i = 1 . . . , n เปน คาคงตว ใด ๆ จะ เปนผล เฉลยของสมการเอกพนธ (4.1) ดวยสงเกตวาผลเฉลยชด (trivial solution) y = 0 เปนผลเฉลยของสมการ

เอกพนธเสมอ (Why?)ตวอยาง 4.4 เนองจาก y1 = x2 และ y2 = x2 ln x เปนผล เฉลยของสมการเอกพนธ

x3y′′′ − 2xy′ + 4y = 0

จงแสดงวาฟงกชน y = c1x2 + c2x ln x เปนผลเฉลยของสมการเอก

พนธนวธทา


ในสวนตอไป เราจะกลาวถงสมบตของผลเฉลยทสาคญมากในการศกษาสมการเชงเสนเอกพนธดงน

บทนยาม 4.2 เซต ของ ฟงกชน f1(x), f2(x), . . . , fn(x) จะ ถกกลาววา ไม อสระ เชง เสน (linearly dependent) บนชวง I ถา มคาคงตว c1, c2, . . . , cn ทไมเปนศนยพรอมกนและทาให

c1f1(x) + c2f2(x) + · · ·+ cnfn(x) = 0

สาหรบทก x ∈ I และถาเซตของฟงกชนไมเปนเซตไมอสระเชงเสนบนชวง I แลวเราจะกลาววาเซตดงกลาวนอสระเชงเสน(linearly independent)

ตวอยาง 4.5 (1) จง แสดง วา เซต ของ ฟงกชน f1(x) = sin 2x และf2(x) = sin x cosx ไมอสระเชงเสนบน (−∞,∞)

(2) จงแสดงวาเซตของฟงกชน f1(x) = x และ f2(x) = |x| อสระเชงเสนบน (−∞,∞)

วธทา


สงเกตวา ถาเซตของฟงกชน f1(x) และ f2(x) อสระเชงเสนบนชวงI แลว f2(x)

f1(x)จะไมเปนคาคงตวบนชวง I (Why?)

ตวอยาง 4.6 จง แสดง วา เซต ของ ฟงกชน f1(x) = cos2 x, f2(x) =

sin2 x, f3(x) = sec2 x และ f4(x) = tan2 x ไมอสระเชง เสนบนชวง(−π/2, π/2)


สงเกตวา ถามฟงกชนอยางนอยหนงฟงกชนทเขยนอยในรปของผลรวมเชงเสนของฟงกชนอน ๆ ในเซตของฟงกชนทพจารณาได แลวเซตของฟงกชนนน ๆ จะไมอสระเชงเสนตวอยาง 4.7 จงแสดงวา เซตของ ฟงกชน f1(x) =

√x + 5, f2(x) =√

x+ 5x, f3(x) = x− 1 และ f4(x) = x4 ไมอสระเชงเสนบน (0,∞)


ตอไปจะกลาวถงเครองมอทสาคญในการตรวจสอบวาเซตของผลเฉลยของสมการเชงเสนเอกพนธเปนเซตอสระเชงเสนหรอไมดงน

บทนยาม 4.3 (รอนสเกยน)ให f1(x), f2(x), . . . , fn(x) เปนฟงกชนหาอนพนธไดอนดบ n−

1 ขนไป เราจะเรยกตวกาหนด (determinant)

W (f1, f2, . . . , fn) :=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣f1 f2 · · · fnf ′1 f ′

2 · · · f ′n... ... . . . ...

f(n−1)1 f

(n−1)2 · · · f (n−1)

n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣วา รอนสเกยน (Wronskian) ของฟงกชน

ทฤษฎบท 4.3 (ผลเฉลยอสระเชงเสน)ให {y1, y2, . . . , yn} เปนเซตของผลเฉลยของสมการเชงเสนเอกพนธอนดบ n (4.1) บนชวง I แลว เซตของผลเฉลยอสระเชงเสนบนชวง I กตอเมอ รอนสเกยนของฟงกชน

W (f1, f2, . . . , fn) = 0

สาหรบทก x ∈ I

ในทน เราจะนยามเซตของผลเฉลยอสระเชงเสนของสมการเชงเสนเอกพนธอนดบ n ดงนยามตอไปน

บทนยาม 4.4 (เซตผลเฉลยหลกมล)เราจะเรยกเซตของผลเฉลยอสระเชงเสน {y1, y2, . . . , yn} ใด ๆของสมการเชงเสนเอกพนธอนดบ n (4.1) บนชวง I วา เซตผลเฉลยหลกมล (fundamental solution set) บนชวง I


แนนอนวา คาถามทจะตองเกดขนคอ เซตผลเฉลยหลกมลนมอยจรงหรอไม ซงเราสามารถยนยนการมอยจรงของเซตผลเฉลยหลกมลสาหรบสมการเชงเสนเอกพนธไดดงน

ทฤษฎบท 4.4 (การมอยจรงของเซตผลเฉลยหลกมล)สาหรบสมการเชงเสนเอกพนธอนดบ n (4.1) ทนยามบนชวง Iใด ๆ จะมเซตผลเฉลยหลกมลเสมอ

ถาเราทราบเซตผลเฉลยหลกมลของสมการเชงเสนเอกพนธบนชวงI ใด ๆ แลวเราสามารถหาผลเฉลยทวไป (general solution) ของสมการนน ๆ ไดดงทฤษฎบทตอไปน

ทฤษฎบท 4.5 (ผลเฉลยทวไปของสมการเชงเสนเอกพนธ)ให {y1, y2, . . . , yn} เปนเซตของผลเฉลยหลกมลของสมการเชงเสนเอกพนธอนดบ n (4.1) บนชวง I แลว ผลเฉลยทวไปของสมการนบนชวง I คอ

y = c1y1(x) + c2y2(x) + · · ·+ cnyn(x)

โดยท c1, i = 1, . . . , n เปนคาคงตวจากทฤษฎบทขางตน เราจะพบวา ถา y(x) เปนผลเฉลยใด ๆ ของ

(4.1) บนชวง I ใด ๆ แลว เราจะสามารถหาคาคงตว c1, c2, . . . , cn ททาให

y = c1y1(x) + c2y2(x) + · · ·+ cnyn(x)

ไดเสมอตวอยาง 4.8 จง แสดง วา {e3x, e−3x} เปน เซต ผล เฉลย หลก มล ของสมการเชงเสนเอกพนธ


y′′ − 9y = 0

และจงหาผลเฉลยทวไปของสมการเชงเสนเอกพนธนวธทา


ตวอยาง 4.9 จง แสดง วา {ex, e2x, e3x} เปน เซต ผล เฉลยหลก มล ของสมการเชงเสนเอกพนธอนดบสาม

y′′′ − 6y′′ + 11y′ − 6y = 0

และจงหาผลเฉลยทวไปของสมการเชงเสนเอกพนธนวธทา


4.1.3 สมการเชงเสนไมเอกพนธพจารณาสมการเชงเสนไมเอกพนธอนดบ n

an(x)dny

dxn+ an−1(x)

dn−1y

dxn−1+ · · ·+ a1(x)

dy

dx+ a0(x)y = g(x)(4.4)

ถา เราสามารถหาฟงกชน yp ทสอดคลองกบสมการ เชง เสน นได เราจะเรยกฟงกชน yp นน ๆ วา ผลเฉลยเฉพาะ (particular solution) ของสมการเชงเสนไมเอกพนธ ตวอยางเชน ฟงกชนคาคงตว yp = 3 เปนผลเฉลยเฉพาะของสมการเชงเสนไมเอกพนธ

y′′ − 9y = 27 (Verify!)

หากเราทราบเซตผลเฉลยหลกมล {y1, y2, . . . , yn} ของสมการเชงเสนเอกพนธอนดบ n

an(x)dny

dxn+ an−1(x)

dn−1y

dxn−1+ · · ·+ a1(x)

dy

dx+ a0(x)y = 0 (4.5)

และทราบวา yp เปนผลเฉลยเฉพาะใด ๆ ของสมการเชงเสนไมเอกพนธ(4.4) แลว เราจะไดวาผลรวมเชงเสนของทกผลเฉลยในเซตผลเฉลยหลกมลกบผลเฉลยเฉพาะนน ๆ จะเปนผลเฉลยทวไปของสมการเชงเสนไมเอกพนธดงทฤษฎบทตอไปน


ทฤษฎบท 4.6 (ผลเฉลยทวไปของสมการเชงเสนไมเอกพนธ)ให yp เปนผลเฉลยเฉพาะใด ๆ ของสมการเชงเสนไมเอกพนธ(4.4) บนชวง I และให {y1, y2, . . . , yn} เปน เซตของผล เฉลยหลกมลของสมการ เชง เสน เอกพนธ อนดบ n (4.5) บน ชวง I

แลว ผลเฉลยทวไปของสมการเชงเสนไมเอกพนธนบนชวง Iคอ

y = c1y1(x) + c2y2(x) + · · ·+ cnyn(x) + yp

โดยท c1, i = 1, . . . , n เปนคาคงตว

จากทฤษฎบทขางตนน เราพบวาผลเฉลยทวไปของสมการเชงเสนไมเอกพนธเกดจากผลรวมของฟงกชน yc := c1y1(x)+c2y2(x)+ · · ·+cnyn(x) ซงเปนผลเฉลยทวไปของสมการเอกพนธ (4.5) กบฟงกชน yp

ซงเปนผลเฉลยเฉพาะ นนคอ ผลเฉลยทวไปของสมการเชงเสนไมเอกพนธคอ

y = yc + yp

และเราจะเรยกฟงกชน yc นวา ฟงกชนเตมเตม (complementary func-tion) หรอ ผลเฉลยเตมเตม (complementary solution) ของสมการเชงเสนไมเอกพนธ (4.4)ตวอยาง 4.10 จงแสดงวา yp = −11

12− 1

2x เปนผลเฉลยของสมการไม

เอกพนธy′′′ − 6y′′ + 11y′ − 6y = 3x

และจงใชผลเฉลยหลกมลในตวอยาง 4.9 หาผลเฉลยทวไปของสมการเชงเสนไมเอกพนธนวธทา


ทฤษฎบทตอไปนจะเปนเครองมอในการหาผลเฉลยเฉพาะสาหรบสมการเชงเสนไมเอกพนธทมประโยชนอยางมาก

ทฤษฎบท 4.7 (หลกการทบซอนสาหรบสมการไมเอกพนธ)ให ypi เปนผลเฉลยเฉพาะของสมการเชงเสนไมเอกพนธ

an(x)dny

dxn+ · · ·+ a1(x)

dy

dx+ a0(x)y = gi(x)

สาหรบทก i = 1, 2, . . . , k แลว

yp := yp1 + yp2 + · · ·+ ypk

เปนผลเฉลยเฉพาะของสมการเชงเสนไมเอกพนธ

an(x)dny

dxn+ · · ·+ a1(x)

dy

dx+ a0(x)y =

k∑i=1

gi(x)

ตวอยาง 4.11 จงแสดงวา• yp1 = −4x2 เปนผลเฉลยเฉพาะของ y′′ − 3y′ + 4y = −16x2 +

24x− 8

• yp2 = e2x เปนผลเฉลยเฉพาะของ y′′ − 3y′ + 4y = 2e2x

• yp1 = xex เปนผลเฉลยเฉพาะของ y′′ − 3y′ + 4y = 2xex − ex

และจงใชหลกการทบซอนของสมการเชงเสนไมเอกพนธหาผลเฉลยเฉพาะของ

y′′ − 3y′ + 4y = −16x2 + 24x− 8 + 2e2x + 2xex − ex


แบบฝกหดพจารณาวงศของฟงกชนซงเปนผลเแลยทวไปของสมการเชงเสนท

กาหนดใหในขอ 1 - 3 จงหาสมาชกของวงศทเปนเฉลยของปญหาคาเรมตนในขอนน ๆ(1) y = c1e

x + c2e−x, (−∞,∞); y′′ − y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 1

(2) y = c1e4x+c2e

−x, (−∞,∞); y′′−3y′−4y = 0, y(0) = 1, y′(0) =2

(3) y = c1x+ c2x ln x, (0,∞); x2y′′ − xy′ + y = 0, y(1) = 3, y′(1) =−1

กาหนดให y = c1ex cosx + c2e

x sin x เปนวงศของฟงกชนทเปนผลเฉลยของสมการเชงเสน y′′ − 2y′ + 2y = 0 บนชวง (−∞,∞) จงพจารณาวามฟงกชนในวงศทสอดคลองกบเงอนไขขอบทกาหนดใหในขอ 4-7 หรอไม ถาม จงระบสมาชกนน(4) y(0) = 1, y′(π) = 0(5) y(0) = 1, y(π) = −1(6) y(0) = 1, y(π/2) = 1(7) y(0) = 0, y(π) = 0

จงแสดงวา เซตของฟงกชนทกาหนดใหในขอ 8 - 15 เปนเซตผลเฉลยหลกมลของสมการเชงเสนเอกพนธบนชวงทกาหนดให และจงหาผลเฉลยทวไปของสมการเชงเสนเอกพนธในขอนน ๆ(8) {e−3x, e4x}, y′′ − y′ − 12y = 0, (−∞,∞)(9) {cosh 2x, sinh 2x}, y′′ − 4y = 0, (−∞,∞)(10) {ex cos 2x, ex sin 2x}, y′′ − 2y′ + 5y = 0, (−∞,∞)(11) {ex/2, xex/2}, 4y′′ − 4y′ + y = 0, (∞,∞)(12) {x3, x4}, x2y′′ − 6xy′ + 12y = 0, (0,∞)(13) {cos(ln x), sin(ln x)}, x2y′′ + xy′ + y = 0, (0,∞)(14) {x, x−2, x−2 ln x}, x3y′′′ + 6x2y′′ + 4xy′ − 4y = 0, (0,∞)(15) {1, x, cosx, sinx}, y(4) + y′′ = 0, (−∞,∞)

จงแสดงวาวงศของฟงกชนทกาหนดใหในขอ 16 - 18 เปนผลเฉลยทวไปของสมการเชงเสนไมเอกพนธบนชวงทกาหนดใหในขอนน ๆ


(16) y = c1e2x + c2e

5x + 6ex, y′′ − 7y′ + 10y = 24ex, (−∞,∞)(17) y = c1 cosx + c2 sin x + x sinx + (cos x) ln(cosx), y′′ + y =

secx, (−π/2, π/2)(18) y = c1x

−1/2 + c2x−1 +115x2 − 1

6x, 2x2y′′ + 5xy′ + y = x2 −

x, (0,∞)

(19) จงแสดงวาฟงกชน yp1 = 3e2x และ yp2 = x2 + 3x เปนผลเฉลยเฉพาะของ

y′′ − 6y′ + 5y = −9e2x

และy′′ − 6y′ + 5y = 5x2 + 3x− 16

(20) จากขอ (19) จงหาผลเฉลยเฉพาะของ

y′′ − 6y′ + 5y = 5x2 + 3x− 16− 9e2x

และy′′ − 6y′ + 5y = −10x2 − 6x+ 32 + e2x

บทที4...

Documents