Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ flávia jacinto

119

Upload: dangduong

Post on 07-Jan-2017

222 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

��������� � ������ � ���������� � ������ ���������

������ �������

������ ����� ��� �� �����������

��� ����� ����� �

���� ���� �����

������ ����� ���� �� ��

!��� "��#��$ ��� ��

!���� �%%�� �����

!�#�� &�%��'�� ���� �

���� � ���� ��� ������ � �� ��������� ��������� �� ���������� ������ ���������� ����������� ��� ���������

�� ������� ��� ��������� ��������� �� ���������� ����� ����� ��������� ��� � ����� ���� ��� ��������� �� ���( ��')�*��� �' ��+�(���%, -./�0 �% 1����% �' �)%�

� ����� ���� ��� �������� �� ����� ���� � ������������ � ����� � ���(���*��% ���� � ���� ��� � �� �������!����" �� �� �� ���� ���#����

$�%� ������ ������&�� �� ���" �� ������� ������ ��� �� �������� ��������

���������������� ��������

��������� �������� �� ���� �����

-234

Page 2: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto
Page 3: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

���������� �� ��� � ��������

����� ���

����'����������

(����������� �� ����������)�������� �� ��*����� ������

+����������� ,����� �� -��!����

� ��� � �����

���������������'����������

����+����������� ,����� �� -��

��������� �������� �� ���� �����

.�� �� /������ 0 ./" �����1234

Page 4: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

��������� � ��������5

�������5 ���

)������� �� 6�� ��5

����5 7 7 7

8�����#���5 ���

���9���:� �©1234 9 ������ ���� ��� ������ ��������(������� ����������" 1234 ��� ����

������5, ���#���� )��� �#����� 666 �#��������7 6666

����" ��������������" ������

)������� � ; ����� ���������� < .�� �� /������" ./ 5���" 1234" 77 ��" 12�= �� 0 >��������� ������� ?���� 1234@ �� 77A

)��? 777707777

3� 6�������� -��#����� 1� B���� �� ��C���� D� B���� 6����������)� ����" ������� ))� ���������" ������� )))� E#���� )$� ������

�(( 0 =3

Page 5: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

�� ��������� ����� � ���� �� �����

Page 6: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto
Page 7: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

������������

$����� ������� �������#��� ���� ��� ����� ����� �� ��������� ����0����" � �����" ������ �������� ��������������� �� �������" � ������������ �������� ��� ����� ������ .����� ��� ������� ��� ���*���� ��������������" ��� �����:� � ����*����" � ��� ������� � � ������� ������������� �������� ���� ������ �� �������� � ����� ������ � �������� ������������� ��� ���#�� ��� ��� ����� � ���F���� ;� ������ :���� �� ���0���*���� �������� ���� � ����:� �� ������ � �� ����� � ; ����� �����6��� �" ����0�������� �� )�������� �� ��*����� ������ �� +����������� ,�0���� �� -��!����" ��� ��������� ��!��" �������������" � ��������� ������ ������&�� ���������������� � �������� ����� �������� ����� � ��0����� �������� �� �?8� � �� ,-8�-�" ��� ���� �� 8������� �� -����� ?F���� �� ����*���� >8.�?�GA" ���%��� 6�������� ��� )����&�� )��0��������� ,��������" ����������� ��� ������!������ �� ������� �� ��0�������� �� .��� � ?���� ��� ������������ �� ���������� ���� ����:� ���� ����*���� �� ��� ��! �������� ��� ���!�� ���� � ������� ������ ������

Page 8: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto
Page 9: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

���� �������� � �� �� ��������� ����� �� ����� � ��� �������� �������� ����������� �� ������

������ �� ��������� �����

���

Page 10: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto
Page 11: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

�����

���8��� 39

3 ����% 3:3�3 .��� � �� ������*���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 3=3�1 ��������� ����������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 3H3�D $������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 133�4 $������ � 6�������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 1=3�= ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 1I3�J �������� �� ����������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � D13�K � 8������ )������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � D4�����#���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 42

- �����% � "������% 4:1�3 ��������� � E��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 4=1�1 � 8������ �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 4I1�D -��� � �� ��������� � E���������� � � � � � � � � � � � � � � � � =11�4 � 8������ �������� � ����� ������������ � � � � � � � � � � � =J�����#���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � J2

9 ;���#�� <�'=���� � ���� >9D�3 � 8������ 6��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � J4D�1 ?F����� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � JKD�D 8����� � .���� �� 8���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � JHD�4 E������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � K1D�= .�L��&�� � .����&�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � K4D�J 8����� �� (��� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � KJ�����#���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � KI

33

Page 12: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

31

4 ;���#�� <�'=���� � ?%)�5 ?�������� @94�3 8������ 6��������� �� ����������� � � � � � � � � � � � � � � H44�1 ��������" M���������� � 8������� � � � � � � � � � � � � � � I34�D .���� � 8���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � I14�4 .�L��&�� � .����&�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 3224�= ��������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 321�����#���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 32=

�#�����1� 32A

)B����� 339������� �� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 33D�������� � �� 8���������� � 8������#����� � � � � � � � � � � � � 334

Page 13: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

��������

- B���� 6��������� ������� ��� �������� ������� ��� ��������������� �� ����� �������" ��� ���� � ��������� ������ ��������������� ������� ����������" ������������ �� ��� ������� ��������� ��������#���� ���� ������" ����� � ������

- �������� � �� ����������� �� ������ ��������� � �����:������������ ��� ������� ������� �� ����������" ���� ������� ��� �� ����!� ��������� �� B���� ���� ������� ������� �� ���������� ����������"�������������� ������ ������������ ����������� ��� ��������� ��������� �����&�� ��� �� ���������" �� ������� � ������������ �� ���������� ����� ����� �������������� -� ������� ����� ������������ � ����� �����������" � B���� 6��������� ������� � ����������� � ��������� ������������ ����������� �� ����� ����� ��������� � �������" �������������������� � ��� ������������ ���� ���� �� ������� ���� ������E���0�� ���� ������ � ����� ������ ��� ��� �� �F����� �������������� ����� ��������� ����������������" ������ ��������� ��� ��*������ � ��������� ��� ��������� ���������� �� ���������� 8�� ������" �� ,#����"�����" ��������� � ������� � � � ������������� ��� �������� - B����6��������� ������� ���������� ����� ��������� �� ����� ���� ��������� ��������

�� �����#���� �� B���� 6��������� ����� �������!���� ��� N������6� 6�������� �� 3H44 � 3HJ1 �� � ���� �� E����� �� ������ � >���������������A� � ���� B���� 6��������� ��� �������!��� ��� O���� P���C��� �� ������ ����������� �� ����������� ��������� ������ >��C���"3HH1" �� 1JJA� - ��� ���������� �� 6��������" ��%� ���������� � �������� ������������������ �������" ��� ����������� ������������ ��� ������0���� ���������� � ����� ���:� ��������� ����������� �� ������ ����N������ N��Q�" 6������� 8����" -���� ?� O:���:���" ,��� ��P��� �R�� ������" ��� �� ��� ����!��� �� ������ ������&�� �� ������ ��*������ ��� ����������" �������� ����� ��� ������� �� ������������" �������� ������������� ����������� ������ ��� ������ �� ��*����� ������� -��������"

3D

Page 14: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

34

:� �� ������ �F���� �� ����������" ����� �� ����� �� ������� � �#���� ���0������ (���� N�������" ��� ����&�� ��� ������� � ���� �������� ����������� �� ������ ���������" ��������� �� �����:����� ����� ����� � � ���������� ��������� � � ���� ������� ������� �� ������� ��

�� �#�� ��������" ����0�� �������!�� �� ��������� �� B���� 6����0����� �� ���� ��������� ?� ��������" � ������ ��� ������� �� ������������������" ���������0�� �� ��������� ������������ �� ������ � ������ ������������ ����������� �� �����" ��������" ����������� � �������#�����?� �������" ����������0�� �� ��������� �� ����� �� ����� ����������" ��0������ �� ��� ����������� � ������ ��� ��������� �� ���������� - ������������� � ���� ���������" ��� ������� �� ������ �������������� - �������� � ������ ������� � �� ������ �" ��� ���� ���������� ����� �� �������� ��������� � �� ����� ����� ���������� ��� ���� ���� �� �������������� ���� �� ��������� ���:�� ������ ����������" � �������� ��������� �����*���� �� ����� ���������" ��� ���� ��! �" ������� ��� ���

�� ���0���������� ���� �� ����� ����� � � �#�����" �������0�� � ���:�0������� ������������ �� 6�������� ��������� �� �#�� �� ������ ������� ����� ����������� �� ��� ���������� � ��������" ����� �����������" ��6�������� ��������� ���� �������� ������ >3II4A� 8��� �� ������&��� ���������� ���� ���:�������� �� ������

������" 11 �� ������� �� 1234�

������ ���� � ������ ��������

Page 15: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

�������� �

������

?���� ���#��� �������������� � �������� � �� ��� ��������� ��������:����� ������ ������� � ������ �� ��� � �� ������ ���������� �����!������������������ ��� ������� >∼ D22 -�A �� ��� ��� �� ��������� -���� � �� ������� ���� ����!��� ���� ��� ��������� �� ��������� ��������� ���" ������ >3II4A� � ������ ������� ��������� � �������#������������� � ������ �� ��������� ��������� ��� ���� �� ��������� ���0�������� ������ ��� ��������� ���� ���� ���� �������� �" ��� ������>3IK2A � �� ������� � ����� >122=A" ��� ����" ��� ���������� � ����0���� �� ���������� �� ���&�� � ��������� ��� ������� ���������� ����� ������������&���

��� � ����� � ������������

- ��������� � �� �������� �� ���� � �� ������*���� � ���������� ���������� � ��� ���������� �%���� ����������� ������ �����" ��� ���� ������0����� ���� ������� �� ���������0�" ����� �� ����� ��������" ���������� ��� ���� �� ����� ������� ������� - ������� � ���� ������� � ���� ������� �� ���������� ��� ����� ��� ������ �� ����� �� �#���� �� ����0������� -���������� ���� ���� ��� � ��� � ����� ���� ��������!��� ��� ��������� �� ������ �� ���%������

)���������� ����� ������� � ��� � �������� ������ � :���������� )��������� �� ��������� �� ���������� �� ��� ��� ��� �������� ����� ����%�������� �� ������ ���� ������������ �������� �� ���S������ ��� �" �� ��0���:� �� ���S���� ��%�� ���� ����� D " 4 � = �� ������ ����� � ���������� �� ����� ����� � ����� �� ���� ��������� R ���� ��� ������� ���S�0���� �����:���� �� ������ ���������� � �������� ����� ���������" �����"

Page 16: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

����� ��� ����������� �� ������� �� ���� ���� �" ����������������" ������ S����� ���������������� (���� �����" ����� �� ����&�� ��������" ��������� ����" ������ ��� ������ ��������" ���#����� � ������ ������" ���0��� ��� ��������� �� ��� ���S���� �����:��� �� ������ ����� ��� � ���������� �� ���S����� �����:���� ���� ������ ������ �5 �� �������������� ���%���� ������� ��� ����� �� ���S����� �� ������ ������� ������ �������%���� ��� ������ ��%�� ������� ��� ���� � �" D " 4 � = � ���� ������ ���� ���� ������ ������� ���� �� ������ ���S����� ���� ����� ��������� �� ������ �� ����� �����%�����

�������� ���� ��:� �� ������#���" ������� ������� ���" �� ����� ������� �������" ���� ���S����� ���� �� ����� � ����#�� ��������� ��� ���0�������*���� ����� �� ���� �� �� ���� ��� ���� ��������������� ��������� ������ �������" ���� �" ������!����" � � ��*������� 8�������" ������������������ � ���%���� �� ����� �� ���S����� �� �����%����� �� �� ������� ���� �� ������ �����%����� ������ �� ���S����� ������������ -����"���� ���������� ��������#������ �������� ��� ���S����� ���� ���������� ��F���� ���� �� ���� �� ������ �����%������

$�%���� � ��� ������� ������� �� ������ � �������� ������ ���������0��� � ���%���� T ������� ��� ����� �� ���S����� �� ������� ����:������� ��������#����� ��� ���S����� < ����� ����" �� ������� ��� ���� < ��������� � ��������0��� ,�������� ��� ����� � ���� ������� ������ ��������� ��� �� ���������5 ���� ∆1, ∆2 ∈ T ����������� ��� ∆1 ∼ ∆2 �� �������� �� ������ ��� ����������*���� ����� �� ���� ��� ���S����� ∆1 �∆2 �� �� ���� ��� ���� ��������������� �*� �� ������ �������" ���� �" ∼������ � ������*���� �� ���S������ ���� ��� �� ���� � ������ �� ����������� ������� �� ���� ���������������" � ���� � ∼ :���� �� �������������� ��������" � ����" ��L���������" �������� � ��������������� 8�� ����" ��0!���� ��� � ������*���� �� ���S����� � ��� ����"� � �#����!���� �" ��∆1 ∼ ∆2 , ��!���� ��� ∆1 � ���������� � ∆2 . 8��� ���� ∆1 �� T �� ��0��� ���%���� ∆1 = {∆ ∈ T : ∆ ∼ ∆1}, ��� � �:����� �� ����� �� ������0*���� �� ∆1" �� ��%�" ∆1 � ������� ��� ����� �� �������� �� ���%���� T��� � � ����������� � ∆1� � ���%���� �� ����� �� ������ �� ������*���� ��:����� �� ���$���� #��������� R ����" � ������ �� ����� ���� �� ������ ���� � ∼, ��� ���� ������ �� ������*���� �� ���S����� � � �� ������ ��� � ���%������ ���� �����" �� ���S����� �� ���� ����� �� ������*���� � �������������� �� �������

� �������� �%����� �� �������� � �� ��� ���� � �� ������*���� ���� ���%���� � ������� �� ������ �� �������� ��� �*� �� ������ ������0�#������" ����:���� � ������" �� ����� ��� ���� ����� ��%� ������������ ����� �� ���� ��������� - �� ��� � ������� �

��1��5, 3.3. %�$� A �� ���$����& ��� ����"� ∼ �� A ' ��� ����"�

Page 17: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

���� ������� � ��� ������� 3K

� �#����!���� �� �� � �� ����������(

!�C�(��� ��� ��� a ∈ A& a ∼ a ;

��'=���� %� a ∼ b& ���"� b ∼ a )�

"���%���� %� a ∼ b � b ∼ c& ���"� a ∼ c�

- ��L��������� ��� � ��������� �� �������� ��� � ����� �� ������*������ ���� ������� �� ���%���� � � � ��!��� /� � �������� � � ����������������������" ���� ������� �����" ��� �� ������ �� � � ������ �� ���%������)��� � �� ������ ���� �������� ��� ���� ������� �� ��� ����� � ����������

��)%�5, 3.3. %�$� ∼ ��� ����"� � �#����!���� �� �� ���$���� A� ��� ��� x ∈ A, ���#�� ��� x � ����� � �#����!���� � x, ���"� a ∼ b�� � ������� �� a = b� �'� ����& a � b �� �"� ��$����� �� �"� �������

- ����� � ������������ ������ � ����� ��� ��*� ������������ ��� ��0 ��� ��� ���� � �� ������*����� �� �� ������ �� a � b � � ������ ������������������ ��� � ������� a �������� � ����� �� ������*���� �� b � ����� ��� � a ∼ b� -���� �� a ∼ b ��� � ���� ������� �� ����� �� ������0*���� �� a ���� ���������� ��� � ������� a � ��� �������������� ����������� ���������� ��� b" ��� � ����� �� ������*���� �� a ���� ������� ������� �� b� +����� � �������� ���� ������� ��� b ∼ a" � ����� � �������������� �� ����� ������ 8��� ��������� � ������� � ���� � �� �������� ������:� ��� c ∈ a∩b� ?���� ���� c ∼ a � c ∼ b" ����� �� �������� ��� a ∼ c� �����" ��� ��������������" a ∼ b� 8������� a = b�

?(�')� 3.3. ��������� ��������� � ���%���� R �� ����� �� ������� ������� (�!���� ��� ���� ����� � � ������� ������ � � �� ���!�� ������� �� ���� ��� �� ������:�� ���� �� ��� � � � ����� � ��������� ������� ��� ���� � �� ������*���� �� R" ���� � � �������! � ����������� ����L���������� �������" ������� �� ��� � ���� � �� ������*���� ��������� ���� �� �� ����� ����� ������������� ?���� ����" r ∼ s ⇐⇒ r ‖ s �� r =s� -� ������������ �� ��L��������� � �������� ������ ���������" ��������� ��� � ��������������� �����:� r ∼ s � s ∼ t� �� r = s � ��������� ����� �� �� ��*� ����� ��� � �� �� ����� ���� � �������� ������������������ �� ������ ��� �������� ��������� ����� � ���� �� ��� ����*� ����� � � � � ���������� ��%�� P �� ����� ������� �� ���� t" α ����� ����������� ��� r � � ����� P " β � ���� ����������� ���� ����� r �s" � γ � ���� ����������� ���� ����� s � t� ?��� ��� P ∈ α∩γ" ��������"������ ��� ���� x = α∩ γ� 8������ ������� � ������ ��# ��� x ‖ r � x ‖ s"���� β∩γ = s � s � � ���������� � ���� α� �����0�� ��� �� ����� t � x � �������� ; ���� s �������� ��� ����� P � T���" x = t �" ����������������"r ‖ t .

Page 18: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

?(�')� 3.-. �������� � ��������� � ������ ��������� � ���%������ ����� �� ��������� �� ���� �� ������� 8��� ���� ��������� AB � CD,������� ��� AB ∼ CD �� � ������� �� ��� �*� � ����� ���������������� ������� ����������� ���� ��������� ��� ���� �� ��� ������������" ���������" � ���� � �� �������� �������! �� ��*� ������������ ��� �� 0��� ��� ���� � �� ������*����" ��� �" � ���� � ����� � ��� ���� � ��������*�����

?(�')� 3.9. ������!���� � *������ ��������� � ���%����A �� ����� ��S������ 8��� ���� S����� A � B, ������� ��� A ∼ B �� ��� �*� � ������������ ���� ��� ��!" ������� ������ ��� ���� � �� �������� ������ ��� � ���� � ����� �� �%����" ��������" ∼ � ��� ���� � �� ������*�����

?(�')� 3.4. ������������ ���� � �� ������ �� ��� ���� � ���������� ��� � � � ��� ���� � �� ������*����� (� ����" ��� ���� � � ������� �������� � �� ������

��� � �� ���� ��� �������

)���������� � ������ �������� ��� ���� E. +� �������� ��������� �� �������� ���� � ��� �� ����:�� ��� ����� >�� �� �����A �������� ������������� �� � �������� ��� ���� ������������ �� ������ A �B, ������� ������ A ���� ����� ������ � B ���� ����� +��� 8�������":� ���� ������������ ���� �������� �� ��������� )���������� ��� AB ��������� ��������� �� ����� ������ A � ����� �� B ���� ������!�� ����������� �� � �������� < � � ��������� < ��� �� ������ ������������ ������������ ��� AB. - ����� � �� �������� ��������� ����� �� ����*���� ����� AB �= BA �� ������ � � ������ �� ��������� AB = BA. � ����������������� BA ���� �:����� �� �������� ������ � AB� 8��� ������� �����A �� ������ E" AA ���� �:����� �� �������� ����

��5, �� %��'��% ������%. (��� ��������� ���������� AB � BC���������� �� ���� �������� ��������� AC. (� ����� AB+BC := AC�?��� ��� � ����� �� �� �������� �������� ��������� ���� ��������� ���� ����� ������ �� �������" ,����� 3�3� - ���� � �� ��������� ������������!� �� ����������� �����������5 ��AB, BC � CD � � ��������� ����������"��� �

AD = (AB +BC) + CD

= AB + (BC + CD) .

Page 19: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

���� ��������� ���������� 3I

A

B

C

D

A

B

C

������ ���� ������ �� ���� ������������ ��� � �������� �� ����� ��� �

�D��� � �')��'��. ��,�� �� ����������� � ��������� �������� AB, �������� ���|AB|, � � ����������� �� ��������AB.

���� �� �E'�� ���� )�%��'�� ������. (���� ���F���� ��� α �� �������� �����0���� AB, � �0���" ������� �� ����������� �� AB ���� ������" B′ �B′′, �� ��� � �������� ���� ����0!��� �� ����0���� ����������� ���AB �� ������ A ��� ������ B �� ������� ���� ����!��� �� ����0���� �� ������ A ��� � � ������B � ���� ��� |AB′| = |α||AB| =

|AB′′|. �� α ≥ 0, �� ��0�� αAB := AB′, ���� ���������" αAB := AB′′.�� α = 0, �� ��0�� αAB := AA.

B′

AB

B′′ α ≥ 0

α < 0

������ ���� ������� �� � ���� �� ���� � ������ ����� ���

� ������� �� �F���� ��� ����������� ��������� ��!� ��� ���0���������5

|αAB| = |α||AB|

α(βAB) = (αβ)AB .

� ���%���� ��� ��������� �����0�����" ��� � ������ � �� ���� � � ������� ��� �F���� ��� ����� �� �����"����� � � � � ��������� ������� ��� ����������" ��� ��! ��� � � ���������������� ���� ��������� ���������� ���������� 8��� ����" ������� ��� ��0������ �� ����!�� � ������� ��� ��������� ����������" �����������0:�� ������������ ��������#������5 �����������& ����"� � ������" ��%�� �� ���&������������� � �������

����5,. �� AB � CD � � ��������� ���������� � �0����" ��!���� ������ ������� � ����� ����"� < �� � � ������� < ������ �� ����� ��� ���������� � � ������� �� �������������

Page 20: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

A

B

C

D

C

D

A

B

���

���

������ ���� ������� ����� ��� ����� ������ � � � ������� �������������

�����. ��%�� AB � CD ���0������ ���������� � �0���� ��� ������ ����� �� �� ��� �*� ��0��� �������� ���������" ��!���� ������ �*� � ����� ������ < ������� ��������"� < ������ �� ���0������ AC � BD � � �� ��������0���" ���� ���������" ��!���� ����*� �������� �������" ,����� 3�D����� �� ��������� ���������� ���0���� � ����� ���� �������" ����0��� r, ��%�� A′ �� ����� ���� ���� s � ���� ������ � r �������� ���A′� �� s, ���� ����� ����� B′ ����� � �������� ��������� A′B′ ��0�:� � ����� ������� �� AB� ?��������" �� A′B′ ��� � ����� ��������� CD, ��!���� ��� AB � CD �*�� ����� �������" ���� ���������" ��0!���� ���� �*� �������� ��������

- ������ ������ �� ���&�� �����������" ������� �� ��� ��� ���� ��� ������*���� �� ���%���� �� ����� �� ��������� ���������� �� ������E, ������ ����� ������ �� ����� �����������" ����� � � �������� ����������������5

?F��)�B����. (�!���� ��� �� ��������� ���������� AB � CD � � �#���������� ������ � � ���� ���� ��" ���� ���������" ������ ���� �������� ����� �����������" ������� � ����� �� )���������� � ������*���� ������ ��������� ��� AB ∼ CD�

- ���� � �� ������*���� � ��� ���� � �� ������*���� �� ���%���� ������������ ����������" ���� �" ��!� ��� ��������� ������������5

-�.�������( AB ∼ AB@

������������( AB ∼ CD =⇒ CD ∼ AB@

/�����������( AB ∼ CD � CD ∼ EF =⇒ AB ∼ EF .

- ����� �� ������*���� �� �������� ��������� AB, ���� �" � ���%����������� ��� ����� �� ��������� ���������� ����������� � AB, ���� �����������

−−→AB. �� �������� �� ��� ����� �� ������*���� � � �:������ ������

��������� �� �����" ����� � �������� ��������� AB � �� ������������� ��

Page 21: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

���� ������� 13

−−→AB. +�� ����������� ���������� ��� ������ �� ������*����" ����� �� ��� ���������" � ��� ���� ������ �� ������*���� � � ������ �� � � �� ������������-����"

−−→AB =

−−→CD �� � ������� �� AB � ���������� � CD.

�� ! ��� ��

B′A

B

C

D

������ ���� �� ������ � � ���� �� ������� � �� � ����� v � � ���� A,������ � ��������� �� v �� ����� �A.

���� ����� �� ������*���� ��0 ���� ��� ���� � �� ������*�������� �:����� �� ������ M������ � ��� ���������� ������!�� �� ��0��������� ������������� �� �� ��0���" �������� ��� ���� �������� ������� ���� ����������0�" ��������� v. - ����� �� ������*������� ��������� ���������� ���� �����:����� �� ����� ��� �� ��� ����� �������� ��� 0, ���� �" 0 =

−→AA.

� ���%���� �� ����� �� ������� ������������ ��� V.

u

vu + v

A B

D C

������ ���� ���� �� � � ������ � ����� ����� �� � ����� �� ��������

��5, �� ����%. - ������ ��0 ������� ���� � �� �������� 8������� ���������� �� ��� � ����������� ������ � �������5 ����� ������� v ∈ V � �� ����� A ∈ E���������" ������ �� F���� �����0�������� �� v ��� ������ �� A. (�����" �� v �= 0, ��%� CD �� �����0�������� ������� �� v ��� ���� ��0����� s, ,����� 3�4� ��%� r � ���� ��0���� � s, ��������A. ��%�� B �B′

������ �� ���� �� ��� ����0������� r ������������ ��� A ���� ��� |AB| = |AB′| = |CD|. ��� � AB ∼ CD

�� AB′ ∼ CD, �� ���������������" v =−−→AB �� v =

−−→AB′.

(���� ���� ������� ��������� u � v, �� ����� u+ v �� �������� �����5��������� AB �� ������������� ������� �� u � BC � F���� ��������������� v ��� ������ �� B" ��� �

u+ v :=−→AC =

−−−−−−−→AB +BC .

Page 22: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

- ���������� � �� ��� � ���� � �� ������� ���� �� �� ���� � �������� ����� �� ������ - ���� � �� ������� :���� � ����������� ������������� ���� � �� ��������� ����������� 8������ ����� ���� � ���� ������ ������� � ������ �� �������������� ��%� �� ������ �������� ���������",����� 3�=� )��� �" �� �������" � ����� �� ����������� ���� ���� ���������" ��� ���������� � �������

-���� � ������������ ��%�� AB � AC ��������� ���������� �����������0��� ��� ������� � �0������� u � v" ���������������� ��� � ������ �� F��������� D �� E ��� ����� � ����������� ABDC �� ������������ -�������" AD � �� ������������� �� ���� u+ v� +�� �������*���� ���������� ����� �� ����������� � � �������������� �� ���� �� ��������

- ���� � �� ������� ��� �� ��������� ������������5 ���� ����� �� �������u, v � w ����5

3 �������������( (u+ v) +w = u+ (v +w) ;

- ������������( u+ v = v + u ;

9 ������� ������( � ����� ��� � �� ��� u+ 0 = 0 + u = u ;

4 ������� ������( �� u =−−→AB, ��� �" � ����� u :=

−−→BA � �� ��� u+u =

u+ u = 0 .

8�� ��!&�� ��� ��� � ���� ���� � ������" ����������� � ������ �� �����u ��� −u.

���� �� �E'�� ���� )� ���. 8�� �" ������������� ���� ������� ������������ � ��������� � �� �� �F���� ��� ��� �� �����5 �� α ��� �F���� � u =

−−→AB � �� �����" �� ��0��

αu :=−−−→αAB .

� ������� �� ��� �F���� ��� ��� �� ����� ��!� �� ��������� ������0������" ��� ���������� ��� ���������� �5 ���� ����� �� ������� u, v ��F����� ����� α, β ����5

�3 α(u+ v) = αu+ αv ;

�- (α+ β)u = αu+ βu ;

�9 1u = u ;

�4 (αβ)u = α(βu) .

-���� ���������� � ��������� ������ ����&�� ����� ������� ��� ��L�0��� ������������ ����������� ��� ��������� ���������� ��� �� ����������������������� �� ����� �����& ����"� � ������ � ��������

Page 23: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

���� ������� 1D

&�'�0 ����5, � %���� �� ����%. �� ������� :����� �� ���&�� �������������" ����� � � ������� �� ���� ��������������5 >3A � �����������&

�,�� �� ����� �� u =−−→AB � �� ���� ��� ‖u‖ := |AB|; >1A �� v =

−−→CD, �

u � v � � � �0����" ��� � u � v �*� � ����� ����"� �� ���� ��������������AB � CD ��� � �� ����� ������� �� ������������@ � >DA �� u � v � � ��������� ����� ����� �" ��� �*� �� ����� ������ �� ���� �������������� AB �CD ��� � ����� �������� - ���� � �� ������*���� ������� ��� �� ���&���� ����� � � ������� ���� ������� ��� � �� �� ������ (�!���� ��� u �����0��� �� ‖u‖ = 1.

� ������� ��� �F���� ��� ������� ���������!�� ������������ �� ��0�&�� �� ����� � � ������� �� �������5 u � v �*� � ����� ����� � �� �������� �� ��� ������� �������������� � �0���� ���� ��� ����� ������ � ������� �� ������ �� �F���� ��� α �= 0 �� ��� u = αv. -�� �����"α > 0 �� � ������� �� u � v �*� � ����� �������" ���������������" α < 0�� � ������� ��� �*� ������� �������

��� � �� ��� � �� �����" ������� ��������� ��:�� � �� � ��� �F��0��� ����� �� ���%���� ��� �������5 � ����������� � ���������� ���� � ��������� �F���� �������� α ��� ����� u � �� ��� ������ � �� ��� �������� ��� ����� �� ����� u �������� � ��� ����� � � �������� /� ���� �� �F���������� ���������" �������� ������� �� ��� � �� � �� −1. (���� ����" −1u ����� �� ������ �� ����� u" �� ��%�" −1u = −u� 6�������������� ���� ��0������� � � ��� ������ � �� ������� �� ����� u� ��� �" ���� �F����� �����α ��������� ����� ��� αu = |α|(−u)" �� ��%�" � ������� � ��� ������ � ���������" ������� �� ��� ������ � �� �������� � �� ����� u ��� ����� |α|�,��������" 0u = 0�

��������%' � ���������� �� ����%. (�!���� ��� ���� ������� u� v � � ������� �� ��������� � ���������� u ‖ v, ������ �� ��������������� u � ������ � ���� ������������� �� v. M�������� ���� ���������������� �� ����� � � ������� ����� ��" ��� � ��� � �� ��������� � � ���������� �������������� ������������� (��� ������� u � v � � ���������� < �����0������� ��� u ⊥ v < ������ �� ������������� �� u � �������� � ����������������� �� v. ���� ����� �� �������������� �� v � � ������� �������" �� �� ������������� AB �� u � �������� � ���� ������������� �� v��� � �� � �������� � ����� �� �������������� �� v, ��������� ��� � �� 0��� � �� ������������� �� ������� ���� �� �� ����� ���������0�� � �������� ������ � �������� � ������� ����� �����" ��� �� ��� ��

-� ���&�� �� ��������� � ����� � �� ������� ������� ������ ��� ��0���� � �� ����� ��� �� �� ��� � �� ���������� � ������� �� �F������� ��� ����� ���� ��� ����� ���� ���������!�� ������������ � ���� ������ ������� ����� �������5 ���� ������� u � v � � ������� ��" ������� ��

Page 24: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

������ �� �F���� ��� α �� ��� u = αv �� v = αu. ��� ������" ������������� ������� � �0���� u � v �������� ��� � ��� �*� � ����� ����� � �"��������" ������ �� �F���� ��� α �� ��� v = αu. �� �� ���� � ���" ��������� � �������� ��� α = 0�

- ��������� ������� �������!��� ��� ���� � � � ���������� ���� �����0����!�� ������������ � ������������� �� �������� )��� ���� ����� �� F������� � ����� ���#����

����������5, � )��� )� �E'�� ����. -� ������������ � ��0���� ���������!�� � ������� �� �� �F���� ��� α ��� �� ����� u :

�� αu = 0 �� � ������� �� α = 0 �� u = 0;

#� αu � ������ � u;

�� αu � u �*� � ����� ������� �� α > 0 � �������� ��������� �� α < 0;

�� ‖αu‖ = |α|‖u‖;

?%)�5% ������%. +� ���%���� ������ �� ��� ������ � �� ���� � ���� ������ � �� ������� ��� �F���� ��� ��� ���:�� �� ������������ 3� 4 ��3 ��4 � �:����� �� ������ �������� (���� ����" � ���%���� ��������� ������ ��� ������&�� �� ���� � � ������� ��� �F���� ��� ����������������� � �� ������ �������� ?����� ����� �������������� ������ ��0����� ���������" ��� ����� � ������ ������� V ���� ��� ����������� ������������ -���� ����� ����� ������ �� ������ ������� ���������� ���������� ����������

?(�')� 3.:. ��������� � ���%���� R3 = {(x, y, z) | x, y, z ∈ R} ������

��� �� ��������� ������&�� �� ���� � ��������� � ��� �F���� ���5

�� (x, y, z) + (x, y, z) := (x+ x, y + y, z + z) ;

#� α(x, y, z) = (αx, αy, αz) .

� ���%���� R3 ������ ������ ������&�� ��� ��������� �� ������ ��������

- ���� ��� � ��� ������������ 3 � 4 ��3 ��4 ������ ��������� ��������������� �� ���� � ������� �� �F����� ������ $������ ������� ������� ������ ������� ���� ���������� ���������� ��� � ��� ��� �������#������� ��� ��

Page 25: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

���� ������ � ��������� 1=

��" ! ��� � � �� ����

+���!������ �� �������� �� ������ ������� V ���� ����������� �����0������� �%���� ����������� ���� ���� ����� � �����" �#�����" ��#������(� ����" � �%����� ������ �� ���� � �������� � ����� � ����������� �����0������� �%���� ����������� �" � ������ ��#" ���� ��������� �� ������������ ���� �� ��������&�� ��������� ���� ������� ��� ������� � ������"�� ���&�� �� ���� � � ������� ��� �F���� ��� �� ��������� ����������"������������ �� ����� �������" � � ��� ���������� �������� ���� �� ��0�������� ��������� ������������

?(�')� 3.>. �� ���� �� �� ���S���� ABC � � ������������� ����������� u =

−−→AB, v =

−−→BC � w =

−→CA; ����� ������� � � � �0������� �

�������!�� � ��������

u+ v +w = 0 . >3�3A

.�������������" ��*� ������� � �0������� u, v � w ��� �������!�� � ����0� � >3�3A ���������� �� ���S�����

?(�')� 3./. � �������� #�� ��� �� ������ �'��� � ��� ��� � �����*���� ' ������ �� �������� �� � ��� ����� ����� ��%� ABC �����S���� � ��%�� D � E �� ������ ������ ��� ���� AB � AC" ����������0������ (� ����" �����

−−→AD =

−→AE +

−−→ED

−−→AB =

−→AC +

−−→CB

�−−→AB = 2

−−→AD

−→AC = 2

−→AE .

����������� �� ���� F����� �����&�� �� ������� ������−−→CB = 2

−−→ED .

?(�')� 3.@. �� �������� � �� ����������� �� ������ �� ����� (�����" ��%� ABCD �� ����������� � M � ����� �� ��������� � ��� �����0����� ��� �"

−−→AM +

−−→MB =

−−→AB =

−−→DC =

−−→DM +

−−→MC .

T���"

−−→AM −−−→

MC =−−→DM −−−→

MB

Page 26: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

��� �� ������� �� �������� ����� �� ����� � ����� ������� �����������0��� �� ���� ����������� ��� ������� AC, �������� �� ������� �� ������������ ������� �������������� �� ���� ����������� ��� DB. ���� ���������� � � � � �������" �� ������ �� �������� � � ����� 8�������"

−−→AM =

−−→MC �

−−→DM =

−−→MB .

?(�')� 3.A. �� ������� �� ��� � �� ���*���� �� ��� �� �� ��1���� ����� #�� �� ���� �� �������"� � 2 ���� 3� ��������� �� ���0S���� ABC � MAB,MBC � MCB �� ������ ������ ��� ���� AB,BC �CA ���������������� ��%� G � ����� �� ���!������ ��� ��������� BMCA

� CMAB� ����� ���������� ���−−−−→AMBC = α

−−−−→GMBC � ��� � ���#�� ��

������ �������� �����

−−−−→AMBC =

1

2

−−→AB +

1

2

−→AC

−−−−→BMCA =

1

2

−−→BA+

1

2

−−→BC

−−−−→CMAB =

1

2

−→CA+

1

2

−−→CB

-�� �����" ������� �F����� ����� β, γ ���� ���

−−→BG = β

−−−−→BMCA

−−→CG = γ

−−−−→CMAB .

8������� ����������� ��� β = γ =2

3� (� ����"

−→AG =

−−→AB +

−−→BG

=−−→AB + γ

−−−−→BMCA

=−−→AB + γ

(12

−−→BA+

1

2

−−→BC

)=

−−→AB + γ

[− 1

2

−−→AB +

1

2

(−−→AC +

−−→AB

)]= (1− γ)

−−→AB +

γ

2

−→AC

>3�1A

Page 27: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

���� ������ � ��������� 1K

(� ����� �����"

−→AG =

−→AC +

−−→CG

=−→AC + β

−−−−→CMAB

=−→AC + β

(12

−→CA+

1

2

−−→CB

)=

−→AC + β

[− 1

2

−→AC +

1

2

(−−→AC +

−−→AB

)]= (1− β)

−→AC +

β

2

−−→AB .

>3�DA

���� �������*���� �� ����� �� ����������� ����� 1−γ = β2 � 1−β = γ

2 �8������� ���� � ������� {

γ + 12β = 1

12γ + β = 1

��%� � ���� � � β = γ = 23 � 8�� �" ����� ��� ���������� α� 8��� ����

���� ��������� γ �� ����� � 1.2 � ������� ��� �� ��������� �� �����0������ �� ���!�� �� ��� ����� �����" ��� ������ 3�H� -����

−→AG =

13 (−→AC +

−−→AB) = 2

3

−−→AM �

A

PB

������ ���� � ���� P ������� ��� �� � ����� �� AP � AB ��� ����� ����

?F��5, )���'=���� �� ���.+�� ���������!�� � ������� ������ ������ �� ��� ���� ���� ��� �0���� ��������� ��� ���� �� ����������������� ��� ����� ��� ������"��%� r � ���� ����������� ���� ���0��� A � B. ��� � �� ����� P ���0����� ; r � �� ������� ��

−→AP ‖ −−→

AB"���� �" �� � ������� �� ������ �� �F���� ��� t �� ��� ��� � ����������

−→AP = t

−−→AB .

��� � ���:����� ���� �#���"� �����'����� � ����� ���� ����� � ����������" �� t > 0, � ����� P ���� ����!��� � ��� ����S���� t|AB| �� A, ������� � � �� ������� �� AB. �� t < 0, � ������� �� ����������� � � �� BA.� ����� d :=

−−→AB �:���0�� ����� ����"� �� ���� �" �������������" � � �

F����� ��%�� a � b �� ������� ����� � �� ���� ����� � �0������������� ��� ���� � � ������� �� � ������� �� �� ������� a � b �*� � ����� ����� � �� �������� �� ������ �� �F���� ��� α �= 0 �� ��� a = αb. E���� ����� ������������!�� � ������� �� ��� � �� ��������� �� ������

Page 28: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

?(�')� 3.32. ��������� �� ���S���� ABC� $���� ���������� � ����0� � ����������� �� ���� ��� ������ � ������� ��������� �� ��� BC� -��������� �� ���� �

−−→AB +

−→AC ���������� � ��� BC �� ����� �����" ���

� ����� � �� ���� ����%��� � ���������� ���� ������ 8������� � ����� � ������ �

−→AP = t(

−−→AB +

−→AC)�

B

R

A

CS

P

������ ���� � ���� P ������� � �� ��� � ����� �� AP, AB � AC ��� ���� ! ����

?F��5, )���'=���� � )���.$���� ���� � ��������� ����� ������� ������� � ������� ��� ����0��� ���������!�� ����� �� ������ ������ ������������� 8��� ���� ��0�����!������ �� ����� ���� �� ��0��� �5 �� ����� u � ������ � ������� r �� �� ������ �� ��������0����� AB �� u. -���������� ������� u � ������ � �� ���� π������ ������ �� ������������� ��u ������� �� π�

6�������������� �� ���� π �� ������������ ����������� ���

��*� ������" ������� A, B � C, � �0���������� ��%�� r � s �� ����� �������0����� ���� ����� �� ������ A � B � A � C, ���������������� -��� �� �������� � ������������ �������� �� π. ��%� P �� ����� �� π. ���� �� ��*� ���0��� ��� ������������ � ���� � � � �0���������" � ���� r′ �������� ��� P� ������ ; r ���������� s �� ����� S. �����������" � ���� s′ �������� ���P � ������ ; s ���������� r �� R. -� �����&�� ������������ ��� ����� r � s���������� ; ����� �� ����������� ��� � �

−→AP =

−→AR+

−→AS = t

−−→AB+s

−→AC

���� ���� ��� �� �F����� ����� t, s. )��� �5

−→AP = t

−−→AB + s

−→AC . >3�4A

.�������������" �� �� ����� P � �� ��� ��� � ����� � �����" ������ ������� R �� ���� π �� ��� AR � �� ������������� �� r

−−→AB � RP � ��

������������� s−−→AB. 8������� RP � ������ ��� �������� ��������� AB.

����� A, B � R ��� � �� ���� π, ������0�� ��� P ����� ���� ���������� 8�������" �� ����� P �������� �� ���� π �� � ������� �� ��������F����� ����� t � s �� �� ����� ��� ��� � ����� � >3�4A�

-� �����&�� ������������ �� ���� � �� ���� ����� ��� ����!���� �������� ��� �� ������������ ������ �� ������ � � ��������� �� ���������"����������������

Page 29: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

���� ����� 1I

?(�')� 3.33. $���� ���� ��� ��� � ������ �� �� ��� �������� � ������ ����������� ��� ��� ������ � ��� ������� �� ���� ��� ������ ������� �������� ��%�� ABCDA′B′C′D′ �� ��� � AB′ � AD � ������� �

� ������� 8��� ���� ����:� ����� ������� ��� � �������� ���������−−→AC′"

��� ������ � ������ �� ���" ���� ������� �� ���� ������ ��� DAB′������ ��������

−−→AC′ ���� ������� � ����� ��

−−→AB′ �

−−→AD� (� ����"

−−→AC′ =−−→

AB′ +−−−→B′C′ =

−−→AB′ +

−−→AD.

��# $�� �

� ��������� ����� ���� ���������!�� �� ������ �� ��� ���� � �� ������ ���� ��� ��������� �������� ���� ���������!�� ������������ �������� �� ���� � ������ E. (� ����" ��%�� A, B, C � D ������ ������� �0��������� � P � �� ����� ������� �� ������� ��%� π � ���� ��0��������� ��� A, B � C. ���� D � � �������� � π � �����

−−→AD � � ���0

��� ������������� �� π. T���" � ���� r ��� ����� ��� P � � ������ �������

−−→AD ���������� � ���� π �� �� F���� �����" ������� P ′. ��� �"

−→AP =

−−→AP ′ +

−−→P ′P. ���� P ′ �������� �� ���� π �

−−→P ′P � ������ �� �����−−→

AD, ������0�� ��� ������� �F����� ����� t, s � r ���� ���

−→AP = t

−−→AB + s

−→AC + r

−−→AD . >3�=A

����� ���������� ������� ����� ����� � �����−→AP � ��� ����" ��0

����� ��� �F����� �����" �� ������� ������� �� �%��� ���������� ������� � � �� ��� ������� � � ���������� ������������� +�� �������� ���0��� �����&�� ��� �������� ��� ���� ����� ������ � ��� ���� � � ��������� �� �F���� ��� ��� �� ����� ���������@ ���� ����� ������ � �� ����� � ����" ������� ��� �F����� �����" �� ���� ������� �����������@ � ��������� � ����" ������� ��� �F����� �����" �� ��*� ������� ������������ �"�� ����� �� �����" �� ��� ������� � � ���������� ������������� ���� ������������� ������� ������ ���������" ��� �������!������ � �������

�'#���5, ������. (�!���� ��� � ����� v � ������� � ����� ���������� {v1,v2, ...,vn} ������ ������� �F����� ����� α1, ...αn ���� ���

v = α1v1 + α2v2 + ...+ αnvn.

?(�')� 3.3-. ��������� �� ����������� ABCD" �� ����� E ���� ���� AB �� ����� ��� |EB| = 3|AE| � �� ����� F ���� � ��� DC �� ���

|DF | = |FC|� $�%���� ���� �������� � �����−−→FE ���� ������� � �����

Page 30: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

��−−→AB �

−−→AD� 8������� ������ ���

−−→FE =

−−→FD +

−−→DA+

−→AE,

−−→FD = − 1

2

−−→AB

�−→AE = 1

4

−−→AB� 8�������

−−→FE = −1

2

−−→AB −−−→

AD +1

4

−−→AB

= −1

4

−−→AB −−−→

AD .

��)���B���� � ����)���B���� ������. (�!���� ��� �� ���%���� ��������� {v1,v2, ...,vn} � ���������� ���������� >T)A ������ � ����� �

α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn = 0

������ ������ � ���� � α1 = α2 = ...αn = 0� ���� ���������" � ���%���� ��:����� ���������� �������� >T(A�

8�� �� ��� �" � ���%���� �������� ������ � ����� ��� � ��������������������" ���� α0 = 0 ������� ��� ��%� � �F���� ��� α. 8�� ����� ��0! �" ������� ���%���� ��� ������:� � ����� ��� � ���������� �����������8�� ����� ��� ������� ���%���� �������� ������ �� ����� v � �0��� ����������� ������������" ���� ����� ���� αv = 0 � �� ������� �� α = 0.����� ����� �� �� ��� � ��� �� �� �� ���� ���%���� �� ����� �������� ������� ���� ������� � ����� �� ������ �� ����� ���%����" ��� � �������%���� � ���������� �����������

?(�')� 3.39. ��������� ��� ���S���� OACB �� ��� �� ����� ��� ���� ����� O � � ����� �������� ��� ���S����� ����������� ���S����� ��O� $���� ������� ���

−−→DA,

−−→OB,

−−→OC,

−→OA" �� ��� D � � ����� ����� ��

��� CB � � ���������� ������������ 8��� ����" ����� �������� � �����−−→DA

���� ������� � ����� ��� �������−→OA,

−−→OB,

−−→OC� (� ����"

−−→DA =

−−→DO+

−→OA�

���� D � ����� ����� �� BC � � � ���#�� ��� ���−−→DO = − 1

2 (−−→OB +

−−→OC) .

8�������"−−→DA = − 1

2

−−→OB− 1

2

−−→OC+

−→OA ��" �����"

−−→DA+ 1

2

−−→OB+ 1

2

−−→OC−−→

OA = 0�

��G�� ������. (�!���� ��� �� ���%���� �� ������� {v1,v2, ...,vn}���� V �� ���� ����� �� ������� ���� ������� � ����� �� �������� ��������%����" ���� �" �� ���� ���� ����� v ������� �F����� ����� α1, ...αn �������

v = α1v1 + α2v2 + ...+ αnvn.

Page 31: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

���� ����� D3

�%�%. (�!���� ��� �� ���%���� �� ������� β = {v1,v2, ...,vn} � ������� �� V �� �� � ���������� ������������ � ���� V. �� �� ������� ��β � � ���� � ���� ����������" ��!���� ��� � ��� � ��������� �� ����� ���������� ����� ��" ����� �� ������� �� β � � ���������" ��!���� ��� ���� � ���������� -� ���� ������ �����" {e1, e2, e3} �������� ��� �������������

��%� v �� ����� � �0���� -� �������&�� ������� �� v � � �� �������tv, �� ��� t � �� �F���� ���� (��� �� ����� A �� E �������" ����������� ������ B � P ���� ��� v =

−−→AB � tv =

−→AP. T���" ���0��

−→AP = t

−−→AB,

���� �" ���� ���� ���� �� t, � ����� P ���� ���� � ����� ����������� ���������� A � B. 8�� ���� ��! �" ��!���� ��� �� ����� � �0��� ���� ��������

�� ���� ������� v1 � v2 � � ���������� �������������" ��� � ��� � ������ ��� �������������� �� ��� ����� ����� (� ����" �� ����� � ���������"��������� �� �F���� ��� λ �� ��� v1 = λv2 �� v2 = λv1. �� ������� ����� ����� � α1v1+α2v2 = 0 ��������� ��� ���� � �� ��� �� ��� ������� � ������� ����� ����" ������������ � :������� �� ��������*���� ����� ������� ������� v1 � v2. ������������ �� �������&�� ������� v = tv1 + sv2.���� �� ������� v1 � v2 � � � � ���������" ���� �� ����� A ������� �������� ��������� ������� ������ B, C � P ���� ��� v1 =

−−→AB, v2 =

−→AC �

v =−→AP . ��� �

−→AP = t

−−→AB + s

−→AC. )��� �" � ����� P �������� �� ����

������ ���� ������ A, B � C. 8�� ����" ��!���� ��� ���� ������� ����������������������� ����� �� �����

8������ ���������� ����� ���� ���� ������� ��� ��*� ������� v1, v2

� v3 ���������� ������������� ����� V. 8��� ����" �������� �������������� �� ��*� ������� �� ����� � � � ������� �������������� �� �� ���������� �� ������� v1 � v2 � � T) >������UA � �������� ����� �� ����� ��v3 ������� ������������� ����� ���� ���#���� v3 = tv1 + sv2 ���� ������� �� �F����� ����� t � s. ����������������" �� ��*� ������� ������ T(�8�������" ���� �� ����� ������� A �� ������ E, ������ ������ B, C �D, � �0��������� ��� A, ���� ��� v1 =

−−→AB, v2 =

−→AC � v3 =

−−→AD. 8���

�� ����� v ������� ������ �� ����� P �� E, �� ��� v =−→AP. 8�������"

������� ��*� �F����� ����� t, s � r ���� ���

v =−→AP = t

−−→AB + s

−→AC + r

−−→AD = tv1 + sv2 + rv3.

- ������� � ����� ������� ����� ���5 �� � ���%���� {v1,v2, . . . ,vn}���� � ������ ������� V, ��� � n ≥ 3; �� � ���%���� {v1,v2, . . . ,vn} � T)"��� � n ≤ 3. 8������" �������� ������� ��� ���

��)%�5, 3.-. 4��#��� ���$���� � ������� {v1,v2,v3} 56 ' ��� ����� V � ��� ���� � V �!� ���������� ��!� ��������

Page 32: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

���� ���� ��� �� V ��� ��*� ��������" ��!���� ��� � �����"� ��V >� �� EA � ��*�� - ������� � ����� ������� ������� ����� ���5 >3A ����������� T) ����� ����� ��� ����" ���� ��� ����� �� ����@ � >1A ��*�������� T) ����� ����� �� ����" ���� ��� ����� � ������� 8������� �����%����� T) ��� ����� ����� �*� ���������� �� ������� � �� ���%����� T)��� ����� ����� �*� ���������� ���� ��������� 8�� ���� ��! � ��!������� � ������ � ��� ����� � ���� � � ������ � ��� ����� � ��� �� ���%�����T) ��� ����� ����� � ����� ����� � � �:������ ���� ��� ����� � ���������������������

�%�% �������%. +�� ���� ������ � ��� ��� �� ��� �� ����:����� ����� ���� �� ��� ��������� �� β = {v1,v2,v3} � ��� ��� ���������� V, ��� ������� �� ����� ��� �������� �� �������� �����! ����� ������������ -����" � ��� �������� γ = {v2,v1,v3} � ��������� �� ����������� β.

��% ���� ��� � &���� �����

?� ��� � 3�4 ������ ������� ���� ����!�� �� ����� ���� ��� ����" ������ �� ����� �� ������ � ������ �� �� ����� ���:����� ������ �%������� O � �� ����� �� ������" � �����

−−→OP ��� �� � ����� �" � ������� � �

����S���� �� ��� �� ���� ������� ���� �� �:���� �� ����� P, ����!����"��������" � ����� P � ������ �� O. 8�� ���� ��! �" �������0�� �:���� � �����−−→OP �� ����� �����"� �� ����� ����������� ?���� ��� � ������������������ ����� �� ����� �����

��%�'�% �� ��������%. +� ������� � ��������� ���� � ������������� V � ��� ����:� �� ��� ��� �������� ���� V. ����:��� ������ �������� β = {v1,v2,v3}, ������� ����� v � ����������� �� �����F���� ��� ��� ����� �������� �� �F����� ����� (v1, v2, v3)T =: vβ �� ���v = v1v1+v2v2+v3v3� � T ���������� ������ � ���������� �� ��� �����!���� ����" �������������� ��� � ����� �������� ��� ���������� �� ������0����� �� ����� v �� ��� β ���� ������������ ��� ��� �����! ������ ? � ����#�� ������� ���" ���� ��� ��� ���� � ������ V " � ���� � �� ������� �� ������� ��� �F���� ��� �� � � ���������� � ����������� ���� ���� ��������� � ���� � ����� � ������ ������� V � � ������ R

3 ����������� ������0�������� �� ������� � ������ ������� ���� ����� �������� ����� ���� �"���� ���� �������������� ��� ��� �������� β = {v1,v2,v3} �����

?(�')� 3.34. -� ����������� �� ����� ��� �� V � � ����� ������ �!���" �� ��%�" 0 = 0v1 + 0v2 + 0v3" ��� 0β = (0, 0, 0)T �

Page 33: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

���� �������� � ��������� DD

?(�')� 3.3:. (���� ��*� ������� u1 = v1 + v2 + v3, u2 = 2v1 + v3 �u3 = v1 − 2v2 − v3 ����������� �� ��� � � ���������� ������������� ��� �� $�%���� ����� � � �� ����&�� �� ����� � α1u1 + α2u2 + α3u3 = 0�

α1u1 = α1v1 + α1v2 + α1v3

α2u2 = 2α2v1 + α2v3

α3u3 = α3v1 − 2α3v2 − α3v3

������� ����� � �����" �����

0 = (α1 + 2α2 + α3)v1 + (α1 − 2α3)v2 + (α1 + α2 − α3)v3.

T���" ⎧⎪⎨⎪⎩α1 + 2α2 + α3 = 0

α1 − 2α3 = 0

α1 + α2 − α3 = 0

������ ��� �� ����������� ��� ������� � � [u1]β = (1, 1, 1)T , [u2]β =(2, 0, 1)T � [u3]β = (1,−2,−1)T � � ������� ����� ���� ��� ��������� ���������� �����5

α1

⎛⎝111

⎞⎠+ α2

⎛⎝201

⎞⎠+ α3

⎛⎝ 1−2−1

⎞⎠ =

⎛⎝000

⎞⎠ .

8�������" ������� �� �� ������� u1,u2 � u3 � � ���������� ������������� ����������� � ������� �� �� ������ ��������� ��� ����������� ���� ������0

xv1

O

P

zv3

yv2

������ ���� ����� �� ������ � � � �!���� ��

����� � � ���������� ����������0��� ������ ���� ������� �� ������������� R3�

��������% ����%����%. (������ ������" �� ��0�� �� ���0���� �� ����������� ���� � ������E" ������� ���� ���� ����:�� ������� O" ��� ���� �:����� �� ���0���" � ��� ��� �������� β ={v1,v2,v3} ���� V. ��� ����" ���0���� ����� P �� E � ������������� ����� F���� ��� ��� ����� ����0���� �� �F����� ����� (x, y, z)O,β

Page 34: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

��� ���#�� �� ����� �−−→OP = xv1 + yv2 + zv3, ,����� 3�H� +� ������� ��

����������� ����������� ���� � ������ ��������� E, ���� �" �� ��� {O,β}�� ��� O � ����� �� E � β � ��� ��� �������� ��������� �� V, �:���0��������� � ��������� ������������

8��� �� ������� ����� �������������� �� ������� �� �����������{O,v1,v2,v3} ���� E�

?(�')� 3.3>. (������������� � ����� � ����������� �� ���� ��� �������� � v = 4v1 − 2v2 + v3 � ����� ��� ����� P0(3, 1, 2) �� ���� � ��������� �� ����������� ����������� ����� ������ ��� �� ����� P (x, y, z)

�������� � ���� �� � ������� ��−−→P0P = tv� )��� �"

(x− 3)v1 + (y − 1)v2 + (z − 2)v3 = t(4v1 − 2v2 + v3).

T���" ⎧⎪⎨⎪⎩x = 4t+ 3

y = −2t+ 1

z = t+ 2 .

?(�')� 3.3/. ��%� π � ���� ��� ����� ��� ����� A(−1, 2, 2) � � ��������� ������� u = v1 + 2v2 − v3, v = −v1 + 3v2 − 2v3� ������ ��� ������� P (x, y, z) �������� � π �� � ������� ��

−→AP = tu+ sv� ������ ���

−→AP =(x+ 1)v1 + (y − 2)v2 + (z − 2)v3

tu+ sv =t(v1 + 2v2 − v3) + s(−v1 + 3v2 − 2v3)

=(t− s)v1 + (2t+ 3s)v2 + (−t− 2s)v3

T���" � ����� � ����������� �� π �

⎧⎪⎨⎪⎩x = t− s− 1

y = −2t+ 3s+ 2

z = − t− 2s+ 2 .

��' � (������ ��� ���

- ��������� ������� ����������� ��� ����� ��L��� ������ ��������������� �%���� ������������ -� ������������ �������� �� ������ ���������"

Page 35: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

���� � ������ ������� D=

���� ����������� � ����" ��� � ���� ����� �� ��� � �� ����� �� �� ����������������" � ����� � � ������ ��� ������������ ��������" ��� ������"� ���� � ����� ‖u+ v‖ � �� ������ ‖u‖ � ‖v‖ � � � ��������� 8���������"��������" ����� �� �������� ��� ��L��� �� ������������ �������� �� ��������������� E � �� ����� ����� ���:� ��� ������������ ��������� )������� ���������� ��� �������� ��� � �� ������� �� ������� � ��� �������!���"� ����" � ������ ��������

- ����� ���� ����� �� �� ���������� � ������� ������� ����� �������� �������� ���������� �� ������� �� ����������� ����������� ���� � ������� ��� �� ��� � ������� ��� ��� ������ ��� ������� �� ��� �����- �������� �������� ����� �������� � � ����������� �� ������ ���0���� ����� ���� �� ��� � ������� �������� - ����������� � � ������������� ������� ��� ���� �� ��� � � � ������� �� ��� ����������� ����:����?����� �����" ���������� � �������� ���������� ��� ��� ����������� �����!� �� ����������� ��

A B

C

D

D′C ′

������ ���� � ������ ����� �� AC′

" ���#���� ������ � �� AC ����� AB.

���� �����. ��%�� u � v������� ��� �������������� AB �CD, ���������������� �� u � � �0���" ��%�� C′ � D′ �� ���$��7�� ����������� �� C � D ���� � ���� ��0����� �� AB, ���� �" �� ��� ��� ���0����������� ; ���� ������� �� AB��� ������ ��� C � D, ����������0�����" ,����� 3�I� (� ��0�� � ���0���� ������� ����� �� ������� u � v���

u · v =

⎧⎪⎨⎪⎩

|AB| |C′D′| �� u �= 0 � AB � C′D′ �*� � ����� �������@

−|AB| |C′D′| �� u �= 0 � AB � C′D′ �*� �������� �������@

0 ���� ����������

- ���� � �� ������*���� ����� �� �������������� ��� ������� ��������� ���� ��� � �� ������� ������� �� ������� ������� �������� ��� ���� ������ ����� �� �� ����� � 8������ ������� ��!� �� ��� ������������ ��������5� ����������" �����������" :����*��� � ��L��� �� ������������ �������� ������� ���� �� ���� ��� � �������

��������� � ������ �������� 8��� ����� �� ������� u, v � w � �����F���� ��� α ���5

�3 ������������( u · v = v · u;

Page 36: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

�- 8�������������( u · (v +w) = u · v + u ·w;

�9 9����������( (αu) · v = u · (αv) = α(u · v);

�4 u · u = ‖u‖2 .

A B

B′

C

C ′

������ ����� �� ���$����� ABB′ �ACC′ ��� ���� ����

8��� ���������� ����� �������0����� � F�� ������� ��� �� α � ���F���� ��� �� ��� C′D′ = αAB,��� � u · v = α|AB|2. 8����0�� �3��� ����:���� �� ���S������ ��0%�� u � v ������� � �0������������� �������������� AB � AC, ���0������������" ,����� 3�32� ��%��B′ � C′ �� ���%��&�� ���������� �������� B � C ���� � ���� ��������� AC � AB, ���������������� ��0%�� α � β �F����� ����� ���� ���AC′ = αAB � AB′ = βAC. ��0� �" � S���� BAC � ����� ������S����� ABB′ � ACC′; �� S���0

�� AB′B � AC′C � � ������ T��� �� ���S����� ABB′ � ACC′ � � ����0:����� �" ��������

|AC||AB| =

|AC′||AB′| =

α|AB|β|AC| .

- ������� �������� �� ����� � ����� ������� �� α � β ����� ���� ������0��� �� ���� ���������" �������� ��%� � S���� BAC ����� �� �����" ���0������������� 8�������" α|AB|2 = β|AC|2 �� ��������������� u·v = v·u.�� �� ������� � � ����������" � �������� ��� ������������

C

D

BD′C ′A

������ ����� AD′ = AC′ +C′D′�

8��������� ����� �-5 ��%� CD�� ������������� �� ����� w � D′ ����%�� � �� D ���� � ���� ��������� AB, ,����� 3�33� ��� � �����AD′ = AC′ +C′D′. ��%�� α, β � γ�F����� ����� ���� ��� AC′ = αAB,C′D′ = βAB � AD′ = γAB. ��� �

γ−−→AB =

−−−→γAB

=−−−→αAB +

−−−→βAB

= α−−→AB + β

−−→AB

= (α+ β)−−→AB .

Page 37: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

���� � ������ ������� DK

T���" γ = α+ β. 8�������"

u · (v +w) = γ|AB|2

= (α+ β)|AB|2

= u · v + u ·w.

�� ������� �� ��� ������� � !���" � �������� � ������� (��������� ������������&�� ��� ������������ �9 � �4 ���� � ������

���� ����� � ��'����. - ����������� �4 ������� ��� � �������������� ���� �� �� ������������ �������� �� ������ ��������� E. 8�� ����0��" ������ ��� ������� � �0������� u, v � w, ��%� ���� � !���" ��������0��� �� ���� �� �� ���S����@ �� ����� ��������" ������ �� ������������"������ ���� �� ������������ ��� ���� ����� ���S���� �� ���������5

‖w‖2 = ‖u+ v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 + 2u · v . >3�JA

+� ����� ���� ���������� � ��� � ������� ������� ������� ����� ���������������� ������� ���� � ��� � ���������� �� ������������� �� ���������� ������ � �������5

u ⊥ v ⇐⇒ u · v = 0 .

-����" �� u · v = 0, � ���S���� � ���S����" u + v � � :��������� � ������ � >3�JA ����������� �� /������ � ��0�����

‖u+ v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 . >3�KA

?(�')� 3.3@. +����� � ����� � >3�JA ������� ������ � ������� ��0����� ��� ������� ������� ���� ���� �� �� ���S���� ���������� ��%��ABC � ���S���� ��������� �� ��� l � u :=

−−→AB, v :=

−→AC� ��� �"

l2 = l2 + l2 − 2u · v ,

��� u · v =l2

2�

?(�')� 3.3A. +���!������ � ������� ������� ���� ������� ��� �� ��0������� ��� ������� �� ���!�� �������������� (� ����" �� � ������ ������������ ���� ������� u � v" ��� � ‖u‖ = ‖v‖ � ���� ��������� � ������������� ���� ������� u+ v � u− v� �����

(u+ v) · (u− v) = ‖u‖2 − ‖v‖2 = 0 .

Page 38: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

��G�5, �����. ��%�� u �� ����� � �0��� � v �������� 6����0�#���� �� ��������

v = αu+w

�� ���w � �������� � u. E������ � ������� ������� �� ���� �� �������� �������� ��� � ����� u,

v · u = α‖u‖2 .

T���"

α =v · u‖u‖2 .

(� ����� � ���%�� � �������� �� v ���� � u ���

Proju v := αu =v · u‖u‖2u .

+���!���� �� ������������ �� ������� ������� ������� ���������� � ���%�0� � �������� �� �������� �����5

Proju v =(v · u

‖u‖) u

‖u‖ .

� ����� u/‖u‖ � � ����� �������� ������ � u" �� ��%�" �� ����� ����������� ����� � �� u@ � ����� Proju v � � ���������� �� v �� ����� � �� u� -�������" w = v − Proju v � �������� � u�

������� � ���������� ��"� � �����%������ - ���%�� � �������� ���� ������ ������� ���� �� ���� ��� ��� ��������� � ������ �� ������ ������� �� V. - ����� � ������" ������ ��� ��*� ������� ����������������������� u,v � w" ������

u1 := u

u2 := v − Proju v .

��� � �� ������� u1 � u2 � � ����������� E��� � ����� w � ������� ��� �����%��&�� ���� �� ������� u1 � u2" ���� �" � �������� ����� �

u3 := w − Proju1w − Proju2

w

8�� �" ������5 ei := ui/‖ui‖, ���� i = 1, 2, 3. - ��� {e1, e2, e3} ���������� � ����������

Page 39: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

���� � ������ ������� DI

?(�')� 3.-2. ��%�� {v1,v2,v3} ������� ��������� ��� ���������� ������S���� ������� -��������� � �������� �� 6���0��:���� ���� ����� ��0������ 8������� ������ ���" v1 · v2 = v1 · v3 = v2 · v3 = 1

2 � ���������� ��������� �� ����������!�� �" �����

u1 = v1

u2 = v2 −1

2u1 ,

T���" ‖u2‖2 =3

4� v3 · u2 =

1

4� 8�������"

u3 = v3 −1

3u2 −

1

2u1

� ‖u3‖ =

√6

3�

� )��� ����� � #�%�% ���'��%. ��%� β = {e1, e2, e3} ����� �� ������ ������� V. - ���������!�� � �� ������������� � �����" ������� �� ������� �������" ������� ��� ei � �������� � ej �� � ������� ��ei · ej = 0 � ei � �������� �� � ������� �� ei · ei = 1. 8�������" � ��� β ��������� �� ������� ��

e1 · e2 = e1 · e3 = e2 · e3 = 0

� ��������� �� � ������� ��" ��� �����"

e1 · e1 = e2 · e2 = e3 · e3 = 1 .

- ���������!�� � �� ���� ����������� ����� ������� �������� � �������������� ���������������5 ��%�� u = u1e1+u2e2+u3e3 � v = v1e1+v2e2+v3e3, ��� �

u · v = (u1e1 + u2e2 + u3e3) · (v1e1 + v2e2 + v3e3)

= u1v1e1 · e1 + u2v2e2 · e2 + u3v3e3 · e3 + u1v2e1 · e2 + · · ·

���� ei · ei = 1 � ����� �� ������ � ������ �� u1v2e1 · e2, ��������" � �����" �����

u · v = u1v1 + u2v2 + u3v3 .

�� ���������" ��� ���� � ����� �� �������"

‖u‖2 = u · u = u21 + u22 + u33 .

Page 40: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

-�� �����" ������� ����������� �� ����������� �� ����� u ����!���� �������� �������" u = (u · e1)e1 + (u · e2)e2 + (u · e3)e3�

?���� ��� � ������������ � �� ��� � �� ������� ������� �� ����� ����0����� ����������� ?� ��� � �������� ������� � ����� ��� � ������� ����0���� �� �������� ����� ���� �� �������� ������ ����� ��� ����������������!���� � ������ �� �������� �� ��� ��������� �� ������ �������"�������� ���� �������� ���� ������!�� � ����������� � ���������� �������������� � ���������%�� � ��� ��������� ��� �������� �� ������������

�) ��*����

3�3� ��%� S � ���%���� ��� ��������� ����������� ������ ���5

>�A - ����"� � ��� ���� � �� ������*���� �� S;

>A � ������ � ��� ���� � �� ������*���� �� S;

>�A - �#����!���� � ��� ���� � �� ������*���� �� S.

3�1� ��%� w �� ����� � �0���� ��������� � �������� ���� � �� V " v ∼u ⇐⇒ v − u = λw ���� ���� λ ∈ R�

�� ������ ��� ∼ � ��� ���� � �� ������*���� �� V ;

#� (� �� �� ��������� ������&�� �� ���%���� V/ ∼ ��� ������ ��������*�����5

u+ v := u+ v

αu := αu .

������ ��� �� ������&�� �� ���� � ������� ��� �F���� ��� ��� ��� �� ����� � �������� �� ��������� �� ������ ������� ���� ����%���� ��� ������@

�� (�������� � ������ � �� V/∼�

3�D� ��%� X �� ���%���� � �0��!�� �� ������� ���������� �������������������� ��� ������� �����%���� � � ��!�� �� X � ���������� ����0���������

3�4� ��������� � ���%���� R3 = {(x1, x2, x3) : xi ∈ R, ∀i = 1, 2, 3} ������

��� �� ��������� ������&�� �� ���� � � ��������� � ��� �F���� ���5

�� (x1, x2, x3) + (y1, y2, y3) := (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3) ;

��� α(x1, x2, x3) = (αx1, αx2, αx3) .

Page 41: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

���� � ������ ������� 43

������ ���5

�� R3 ������ ��� ������&�� ����� � �� ������ �������@

#� �� ������� e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) � � �����0����� ������������� � ����� R

3� ������ ��� � ������ � ����������� ������� � 3 .

3�=� ��%� π �� ���� �� E� ��%� W =W (π) � �����%���� �� V �� ������� W = {w ∈ V |w ������ �������������� �� π}� ������ ��� ����� �� ��������� ���� ������� �� W ����� �������� � W � ������� ������� ����� �� W � ������� ��� ��� ������� �F���� �������� �������� � W �

3�J� ������ ��� �� ������ ������ ��� ���� �� �� ����������� �������� � �� �������� �� �� ������������

3�K� ������ ��� �� ������ �� �� ��������� ������ �� ���!�� �� ���������� P � �������� �� ��� ������� � P ������ � ����� �� ����������

3�H� ��%�α = {e1, e2, e3} ��� ��� ��������� ���� V � u = 2e1−e2+3e3 .(�������� ������� x � y ���� ���5

�� u = x+y" ����� x ������ � v := −3e1+2e2− 5e3 � y ��������� v ;

#� u = x+y , ����� x ������ �� ����� z = e1+e2+e3 � y ��������� e3�

3�I� .����� � �������� ����!��� ���� ���� ��� ������ ������� ���� �������� ������� �� ���� � �� ��� ��� ��������� ���� ���� ���������� � ������� ���� � ������� ������� ������������ ��� ��� ��0��������� ��� ������� �� �� ��������� ������ ��� ������ �� �������������

3�32� ��%�� u,v ������� ���������� � �0���� � A �� ����� �� E� ��������� �� ������ P ∈ E ���� ���

−→AP · u = ‖u‖ � −→

AP · v = 0 ������������� �����

3�33� ������ ��� �� ����� r, ����������� ��� Pr(2,−5, 1), vr = 3e1− 2e2−e3, � s, ����������� ��� Ps(4, 2,−4), vs = 2e1 + 3e2 − 5e3, �� �����0�������

3�31� +� ����� n � �������� � �� ���� α �� � �������� � ���� ����� ���������������� ����� ����� ��%� α �� ���� �������� ��� ����� A �P �� ����� �������� ������ ���5

Page 42: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

>�A �� n � �� ����� �������� � α, ��� � P �������� � ���� ���� ��� ������� ��

n · −→AP = 0 ;

>A �� r � ��� ���� �������� � α, ��� ����� ����� � d, ��� �" ��� �P �������� � ���� ���� �� � ������� ��

d · −→AP = 0 .

3�3D� +�� � �����#��� �������� ���� ������� ��� ��� ����� � ���� � ������� ����� ��� ����� P (x0, y0, z0) � ��� ����� ����� nβ = (a, b, c)T

� ���� ��� ax+ by + cz = d �� ��� d = ax0 + by0 + cz0�

3�34� (�������� � ����� �� �������� �� ���� π, ����������� ��� �����A(1, 0, 2) � ��� ����� ����� n = −3e1 + 2e2 − e3, ��� � ���� r,����������� ��� ����� B(1, 1, 1) � ����� ����� � v = 2e1 .

3�3=� ������ � �� � �����������(

‖u+ v‖2 + ‖u− v‖2 = 2(‖u‖2 + ‖v‖2

).

3�3J� ������ � ������� � ����� ��"�(

u · v =1

4

(‖u+ v‖2 − ‖u− v‖2

).

3�3K� ��%�� u � v ������� � �0���� � θ � S����� ����� ���" �� �� cos θ ������� �� ����� � u · v = ‖u‖‖v‖ cosθ . ��%�� α, β, γ �� S����� �����v � e1" v � e2" v � e3 ���������������� ������ ��� cos2 α + cos2 β +cos2 γ = 1�

3�3H� ��%�� u, v, w �������" ��� u �= 0, � α �� �F���� ���� ������ ���� ���%�� � �������� ���� u ��!� ��� ��������� ������������5

>�A Proju(v +w) = Proju v + Proju w;

>A Proju αv = αProju v;

>�A Proju(Proju v) = Proju v;

>�A Projαu v = Proju v, ���� α �= 0 .

3�3I� �� u � �� ����� � �0��� � v �� ����� �������" �� �� Paralu v :=v − Proju v. ������ ���5

>�A Paralu(v +w) = Paralu v + Paralu w;

Page 43: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

���� � ������ ������� 4D

>A Paralu αv = αParalu v

>�A Paralu(Paralu v) = Paralu v;

>�A Paralu v · Proju v = 0;

>�A Paralu(Proju v) = 0;

>�A Proju(Paralu v) = 0;

>�A v = Proju v + Paralu v;

>:A �* ��� ����������� � ���������� ���� Paralu v .

Page 44: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto
Page 45: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

��������

�������� � ���������

- ������ ��� ��������� ���������� �� ������ ���������" ���������0�� ����%���� V ������ �� ��� ��������� ������� ������� ��� ���� �����0�&��5 ���� � � ������� ��� �F���� ��� ?���� ���#��� ����������� ������������� ���� ����� ������� ���������" � �������� � ������ �� �������� ������������� �������� >�������� ��������� �� ����A � � ������� � �������� �������:���� ��������� >��������� ���������� �� ������A�

��� $�� ��� � +��� ��� �

D

C

A

B

������ ���� � � ������ � ����� �� ������� ABCD�

� ������������ ���� �������0� � �� ������� ��������� � ��������� ������������ � ��� �����0��#����� � ������������ ������ ;�������� � ��� ������� � ������ ������������ ����������� ��������0��� ����������� � ��� �� ���������� ������������ � �������#��0��� �����������

����������'% ������%. +������������ �������� � �� ����0������� �� ��� �� ����:�� ��������� ���� ��������� �� ���� ����"���� �" �� A,B,C � D � � �� ������ ������������ �� �� �����������" ��0����� �������0� �� ���� ������ �� ABCD �� ADCB, ,����� 1�3� ?��� ��� � �� ����������� ���������" ����������� ������������ �� ���

Page 46: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

���� ������� ����� ��� ����������� !���" �� ��%�" ������ � ��������� � �������� ���� ������������� ?���� ���� ������� ��� ��� � � ������������M������ �������� � ������� �� ����*���� A,B,C,D �� �� � ����� ����0������� ���������� -����" �� ������������ ���������� ABCD � BCDA� � �������

B

C

D

C ′

B′D′

A′

A

������ ���� � � ���%���� ����� ��� ����� ��� �� � & �� ������ ����!� ��� � � ���� ��

��������)*)��% ������% .8��� �������� �� ��������������� ����:�� �� �� ���� ���� ��������0�� - �������� � ����� ������������ ��������������� ����������� � ���� ����� �� ������ �0���� +������� ���� ��������������� �������� �� �������#�����5����:� ��� ���� �� �������#����� � �������@ � �������� � ����� ������������� ��� �������� � ���� ��0��� �� ������ ����� �� ���� ���������� ������ ;� ����� ��%��������*� �������� � �� ��� ���� ������0��� ; �������� � ��� ����� �� ��0��� ����" ��%� ,����� 1�1� $��� ��0��������������� ��� �� �������#��0

��� ������� ���������� ���� ��������&��� - ������ ��� ������������"����������� �������#����� �����������" ���� �" ������" ��������� � ��0���������� � � ��������� ���� �������#����� �� ����� !���� -�������������� �� ��� ����� � ��������� ������ ���� ������������ �����0����� ������� ����� ����� � � ����� �������� �� 8��� �������#��������������� ���� ��������� ������ ���� ���� ������� � ����� �������� �"���� ������ ��� � ������ ��������� ���� �������#����� � �� ���� ������������ -��������� ���� ����� � ���� ��������

�D���. � �,�� �� 0��� � �� ����������� �������� � � ���� ������������� ��������������@ � �,�� �� ����� � �� �������:����������� � ����� �� �������#���� ��������������� 8����������� ��������#����� ���������� ����������� ������� ����� ���� � !���" ����� ��� ��

����5,. (��� ������������ ���������� � �0����������� ������� � ���0�� ����"� �� ��� � �� ����� ��������

Page 47: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

���� �� ������ � ��� ������ 4K

������ ���� �� �� ���� ����� �� � ����� � � � ������ � ������� �� ����!� ��� ������ ���� � '� ������ �� ��(���� �

������5,. (� ��� ������ ����������������" �� ���� �������#0����� ����������" �*� � ����� ���0����� � � � � � � �������� �������� ���� �� ��������� �����������)�������������" �� ��������� �� �0��� �� �� ����������� ����������� ������� �� �������� � �� ��������" � ���� � ������� ��� �� �� ; ������� �� ; ��������" ��%�,����� 1�D" ��� � �����#���� ��0!�� ��� ���� ������������ �����0�����" �� ����� ����� �" �������� ����� �������� � �� �� ��������0�� �� ������� �� �������� � �� ��������" �� ����&�� �������� ��� �� ��� ���� ; ������� �� ���� ; ��������� ���� ���������" ���#���� ������ �*� �������� � ������� M����� ��� �������#����� ������� ������� ����� �*� � ����� �������� � ��� ����� � �"� ������( ���� �� �����0��#���� ��������� P, ����:� �� ������� ������� � �:���0� �� B, �������� � � ������� ���� B � ���� �� ����� �����" ��������� � ������ ����������� �� �������� ��%������� � B, �:��� �� A � C �� �������� ���� � ������������ �� ����� ����� � ���������" ���������������� �� � ���� �������0���� ���� ������ A, B � C ���� ��������� �� ������� ABC, ��!���� ��� P���� ��������� ������� � ����� �� � � �������" ,����� 1�4� ���� ���������"��!���� ��� P ���� ��������� ��� �������� � ������ ; ����� �� � �0��������

A

B

C

D

C ′

B′D′

A′

������ ���� � � �����%���� ����� �� �� ����� �� ���� � �� ������ �

(�!���� ��� ���� �������#������*� � ����� �������� � �� ��� ����0��� � ����� �������� � �� ���� �; ���� �����" ���� ���������" ��!�0��� ��� ��� �*� ��������&�� ����0���� ?� -�*����� ������������ ��0 ���&�� ��������� �� �������� �� ���0����� � ���� � ����� ���� ���������

?F�����B���� �� )����������'% � )�������)*)��% �������%. ������� �� ������&�� �� ��0 ��� � ����� �� ������������ � ��������:���� ��������� �#���������� ���� !���� ���� �� ������0

Page 48: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

B −B αB, α > 0

������ ���� ������� ��� ���� �� � ��� � ������� B.

��� ����������� (�!���� ��� ���� ������������ � � ����������� ������������ ���� ����� ����������� �� ���� �����#��� � ����� ����" ����0� � � �������� �� (�!���� ��� ���� �������#����� ���������� � � ������0����� �� ��� �����#��� � ����� ����� � � ����� �������� ��

�����% � ������%. (��� �� ����������� ��������� B" �:�����0��� �� ������� B � ���%���� ������� ��� ����� �� ������������ �����0����� ���������� � B� (��� �� �������#���� ��������� T " �:���������� �������� T � ���%���� �� ����� �� �������#����� ���������� ����������� T. )���������� �� �������� � ���������� ��� ����� ������ ���F����� ���������� � ���%���� ��� �������� ���� �������� ��� B � � ���%���� ������������� ��� T. - ������ �� �������" �� �������� :����� �� ��� �����0��������� �� ���&�� �� ����"�" ��������"� � ����� >�,�� �� 0���A� -����� �� �� ������ B" ���� ������ ��� ‖B‖. �� ���������� :����� �� ������������������ �� ���&�� �� ����� >�,�� �� �����A � ��������"�� -����� �� �� �������� T ���� �������� ��� ‖T‖.

-���� ���� �� �������" �� �������� ��� ������������ ��� �� �� ������������������ �� ��� ������ ��� � �� ��� ����� �" ����� � �������� �� (�����5 >3A ��� ����� � ������ �� �� ��� ����� � ������ ������ �����������0���@ >1A ����:���� �� ������ �����" �������� ��� ������� �������������%� ���� ��%� � ���� �� ������@ � >DA � ���������� �������� � �������� ����� ���� ���� �� ������������� �� ������� �� ���������� ��� �������0����� ������ �����0�� ��� �������� � � ������

���� �� �E'�� ���� )� #���� � )� �' �����. ��%�� B�� ������ � α �� �F���� ���� � ������� αB � �� ���� ��� ������ ��� ��� ��� ����� �" ����� � �������� �� ����������� ����������� � ������ ��������� ��� −1, �� ���� � ����� ���� � ��� ���:� �� ���� �� �������"��������� � �������� � �� ������" ,����� 1�=� 8�������" −B ��� � ���������� � � ����� ��� B, ��� ��� �������� � ������� � ������� ��� ��

Page 49: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

���� � ������ �������� 4I

�F���� ��� �������� ���� ��������� ������ ���� ��� ������ � �� ������� ������" ,����� 1�=� �� ��%�" � ������ αB ���� �� ������ ����� � ��������� � �� B, �������� ��� ����� ���� ���� ��� ‖αB‖ = α‖B‖. 8�� �" �� α � ��������" αB := −α(−B). )��� �" � ������� ��� �� �F���� ����������� � ��� ������� �� �������� �" ������� �� ��� ������ �� �� α ��B � ���" �� ��0�� αB = 0. � ������� �� �� �F���� ��� ��� �� ��������� �� ���� ��� ��������

��������� ��"� � ������ � �1���� ��� ��� �������� (������ ��� ������������ � � ������� �� �� ���� � ��� ��" ���� ���������" �� ��� �*�� ����� ����� �� -� ��������� ������������ ���������!�� � ������� ���F���� ��� α ��� ������ B :

>�A αB = 0 �� � ������� �� α = 0 �� B = 0;

>A αB � ������ � B;

>�A �� B � � �0���" αB � B �*� � ����� ������� �� α > 0 � ��������������� �� α < 0;

>�A ‖αB‖ = |α|‖B‖.

�������� ��"� � ������ � �1���� ��� ��� ��������� � ������� �� �F������� α ��� �������� T � ���������!��� ���� ������������5

>�A αT = 0 �� � ������� �� α = 0 �� T = 0;

>�A �� T � � �0���" αT � T �*� � ����� ������� �� α > 0 � ��������������� �� α < 0;

>�A ‖αT‖ = |α|‖T‖.

��� � (������ �)� ����

����������� ����� ���� �������� � ���� ��� �� ������� �� ��������:�������� ���� ������ � �� ������ ��������" �� ������� ���������������� ������ � �� ���� � ������ ����#�� ������ �� ����� ��� �� ������ �����0������

���� �(���� �� #�����%. ��%�� u � v �������� �� u =−−→AB,

������� ��������� �� ����� C �� ��� v =−−→BC, ,����� 1�J� ��%� D ��

����� �� ��� ABCD � �� ����������� ���������� (� �����

u ∧ v = � ������ ��%� ������������� � ABCD. >1�3A

Page 50: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

B

C

u

vu ∧ v

A

D

������ ���� ������� �������� ��� �������u � v�

� ����������� ��������� ABCD� �:����� �� ����������� �������� u � v. - ���� � �� ������*����������� ��� �� ������������ ��0����� ���� ������� u � v � � ����0������� ����� ��" ��������" � ���0���� �� >1�3A ���� �� �� ����� -������ �� ������� �������" � ���0���� �������� ��� ��� ���������0��� ���������

��������� � ������ ���������8��� ����� �������� u,v � �F������� α ���5

?3 9����������( αu ∧ v = (αu) ∧ v = u ∧ (αv);

?- ����������������( u ∧ v = −v ∧ u .

8��� ���������� � �������� �������� �� ?3" ��������� A := u ∧ v� B := (αu) ∧ v. �� A � � �0���" ��������� A � B ������� � ���������� � � � ����� �������� � �� α > 0 > � ��������&�� ������� �� α < 0A�8��� ��������� �� ������" ���� ��� ���� �� �������� ������� � ���������� ������� ; ��� �� ����� � u. ���� �� ���� ��� � �� ������� � |α|,����� ��� ‖B‖ = |α|‖A‖. T���" B = αA, ��� � � �������� ���%���� �� α�� B � ��� � �������� � ��������� - ���������� � �� ������� ��������� ������������ ������� - ����������� ?- ������� ������������� ���� ��� � ��� ��! ��� �� ������������ ���������� ABCD � ADCB �*���������&�� ��������

�������� �� ������� ������� ���� �� ������������ � ��� � �� ����0��������� �� �������" � ������� �������� � ��! ���� � ��� � �� ���������"���� �

u ‖ v ⇐⇒ u ∧ v = 0 ,

�� ��� � ������ 0 ���������� � ����� �� ������*���� ��� ������������������������ � ������� �������� �� ������� � ��������� ����%������ 8������ ��! � �������������� ��� ����������� � �� ������ �� ����� B = u∧v.- �������� � � ������ ��� ������� ������ � ����� �� ������� �������� ������� �� ���� ��������

��)%�5, -.3. %�$�� u � v ������� ���"�(

‖u ∧ v‖2 + (u · v)2 = ‖u‖2‖v‖2 .

Page 51: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

���� � ������ �������� =3

8���������"�� �����:� u �= 0 � ��%� h := v−Proju v. ��� � h ����������� �����" ������� � u, �� ����������� ������ ���� ������� u � v. T���"

‖u ∧ v‖2 = ‖u‖2‖h‖2 >1�1A

��%� α := (u · v)/‖u‖2. ��� �" Proju v = v − αu �

‖h‖2 = ‖v‖2 − 2αu · v + α2‖u‖2

= ‖v‖2 − (u · v)2‖u‖2 .

����������� � ���� �� ‖h‖2 �� ����� � 1�1" ����0��

‖u ∧ v‖2 = ‖u‖2(‖v‖2 − (u · v)2‖u‖2 )

= ‖u‖2‖v‖2 − (u · v)2 ,

��� � � �������� ����%����

?(�')� -.3. 8������ ���� �� �������� � ����� ��� ����������� ���������������" ���:����� ���� �������� � �����;�%��<�� � (� ����"���� ‖u ∧ v‖2 ≥ 0" ����� �� �������� � ���

|u · v| ≤ ‖u‖‖v‖ .

?(�')� -.-. (��� �� ����������� ABCD ����� ���������� ��� �0���� h ������� �� ��� AB� 8������ ������ � ���� �� ����������� ������ ������ A = h‖−−→AB‖ � A = ‖−−→AB ∧−→

AC‖ . T���

h =‖−−→AB ∧−→

AC‖‖−−→AB‖

.

���� �(���� �� ����% )� #�����%. ��%�� u =−−→AB �� �����

� B = v ∧w �� ������� 8������ ����:�� �������������� ��� ������� v �

w ���� v =−−→BC � w =

−−→CC′. (���� ����" �� ������� u, v � w ����������

�� ����������� ��������� �" ��������" �� �������� T, ��%� ,����� 1�K�(� �����

u ∧B = T .

8��� ��� ���� �� ��� � ��%� ��" � ���������� ������� ��� �� B = v ∧ w��� � �������� � �������� ������������� ��������" � �������� T �����������

Page 52: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

A

B

C

C ′

v

w

u

������ ���� ������� �������� �� ����� u���� ������� B = v ∧w�

���� ������� u, v � w � ���� � T.)�������������" ������� ��������� ��� �� ������� v ,w �� ��� �� ��0����� v , w ��� ������ � ������ B�" ��������" ��� ������ � ��������T�" ��������" T = T . ��������������� ��� ��� ������� � ����� ��0���" � ���������� � �� ��� ���0�� ������� � ����� �������� � ������ �� -�*������ ��%� π � ������� ����� ��� ����� B �� ����� ��� ������ B � ��%� h = dist(A,π),��� �

‖T‖ = h‖B‖ = ‖T′‖ .

� ������� �� �� ������ ��� �� ����� �� �� �� ������������ �����0��������������� ��� �� ���&�� ���" ��������� ��� ��%�� � �F���� ��� α, ��������� u, v, w � � ������ B, ���� �� ��������� ���������5

?3H 9����������( α(u ∧B) = (αu) ∧B = u ∧ (αB);

?-H ������������( u ∧B = B ∧ u;

?9 �������������( u ∧ (v ∧w) = (u ∧ v) ∧w;

?4 �� � ����� w � �������� �� ���� �� B, ��� �

u ∧B = Projw(u) ∧B

B ∧ u = B ∧ Projw(u).

�� ,����� � $�� ��� � +��� ��� ��

6�����#���� �� �� ��� ��� ��� � �� ���� � �� �������� >� �� �����0�����A ���� !���� ���� �� �������� -���� ���� � ��� � �� �������� �"� ��� � �� ���� � �� �������� � � � � � ��������� )��� �������� �������������������� ��� �������" �� �������� � � �*� ��� ����� ������������� ����5 ������� �������� � ������� �� ����������� ��������� ����� ���� ��� � ������" ����� ��� � � �������� ��� ���� � ��� �������� �"��� ��� � ������ �������������� �� ������ 8��� �� ��� A+B ����� ���0������� ������������� �� ����� �� ��� �� �������� � �5 >�A �������@ � >A� �0��������

Page 53: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

���� ����� � �� ������ � ��� ������� =D

-���� �� ��������� ;� �� ���&��" ����������� �� ����&��" �� ���������x, �� ����� �

u ∧ v = x ∧ v. >1�DA

��%� h � ����� ����� �� ���� � ; ��� v. ��� � h = u − Projv u =x − Projv x. T���" x − u = Projv(x − u). 8�������" x − u � ������ � v,���� �" �� ����&�� �� ����� � 1�D � � � �������

x = u+ λv

�� ��� � �F���� ��� λ � �� ���S������

B

AD

C

E

F

������ ���� ������ �� ����������

���"� � ��������� �"������������%�� α � β ����� �� ��� �� ���0����� A � B ������� �����������0���� ����� ����� � � � �0��������" ���������" � �0������������"��� ��� �� ����������� ���������� ���� r. ��%�� B � E ���� ���0��� ��������� ����� ����� ��%� A ������� �� α � F �� ������ �� β

���� ���5 A =−−→AB ∧ −−→

BE � B =−−→EB ∧ −−→

BC. ��������� a :=−−→AB,

b :=−−→BC � c :=

−−→BE. ��� �"

A = a ∧ c

B = (−c) ∧ b = b ∧ c .

(� �����

A+B = a ∧ c+ b ∧ c := (a+ b) ∧ c .

+�� ��! ��� ������� �������� �������� �� ����������� � ������ A > �B A �� ����� A = a∧b, � ���������� ������� ��� � ���� � �� �������� � �������� �� ��� ����������� � ���������" ���� �" ���������� ������� ���

A = a ∧ c = u ∧w

B = b ∧ c = v ∧w

}=⇒ (a+ b) ∧ c = (u+ v) ∧w

(� ����" ����� ���� � ����� w ������ ������������� �� ���� r. T��� w = αc,���� ���� �F���� ��� α. 8��� ������������ �� ������� ��� �F���� ���"�����

a ∧ c = u ∧ (αc) = (αu) ∧ c

Page 54: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

T���" αu = a+ λ′c. �����������" αv = b+ λ′′c. 8�������"

(u+ v) ∧w = (αu+ αv) ∧ c

=[a+ b+ (λ′ + λ′′)c

]∧ c

= (a+ b) ∧ c .

������0�� ��� � ���� � �� �������� ���� �� �� ���� ����� �����

���"� � ��������� �������� ��%� π �� ���� �� ��� A � B ��������������������� � ��%� i �� ������ �� ����� �� ����� ����� ��� �" ��������F����� ����� α � β ���� ��� A = αi � B = βi. (� ��

A+B := (α+ β)i .

�� i′ � ����� ������ �� ����� �� ��������� �� i" ��� � i′ = −i. (�# �����0��"���������" ��� � ���� � �� �������� ���� �� �� ���� ����� ����� ������������ ����� ����� � �������� � �������� ����������� �� ������� ���������� ��������5 ���� ����� �������� u,v � w ���

?: 8�������������( u ∧ (v +w) = u ∧ v + u ∧w .

�� �� ������� u,v �w � � � � ��������� ���� ����������� ����� �� �� ��� ��� ���� � �� ��������� (������� ���� � ����� ���� ��� ��� �� ������������� �� �� ��*� ������� ����� ����������

��5, �� ������%. - ���� � �� ���������� ��0�� �� ����� ������ ;���� � �� �������� �������5 �� A, B � � ���������� � I � �� ����������������" ��� �" ������� �F����� α � β ���� ��� A = αI � B = βI. (� ��0��

A+B := (α+ β)I

- ���� � � �������� � � ������� �� �F���� ��� ��� ������ ��!�� ������������ ������������5

3 A+B = B+A;

- A+ (B+C) = (A+B) +C;

9 A+ 0 = 0 +A = A;

4 A+ (−A) = −A+A = 0;

�3 α(A+B) = αA+ αB;

�- (α+ β)A = αA+ βA;

Page 55: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

���� ����� � �� ������ � ��� ������� ==

�9 α(βA) = (αβ)A;

�4 1A = A .

-� ������������ ����� ����� � � ������ ���� � ���� � �� �������0��� � ������� �� �F���� ��� ��� ��������� -� ����������&�� ������������������� ������ ������������� ��� �� ���&�� � ��� ������������ �����0��� �� �F����� ������ 8��� ��������" ��� ����� � � ������ �� �������"������ ��� ������� ����������� ��� � �� ����� ���� ����� 8�� ����" ����0���������� ������ � ���������� � �� ������� ����������� ���� ���������8��� ����" � ������������ ��� �� ������ ����� ��� ���� ��������� ����� u ��������� A � B, ���

u ∧ (A+B) = u ∧A+ u ∧B

(� ����" �����:� ��� A = v∧a � B = v∧b. ��� � A+B = v∧ (a+b)�" ��������" u ∧ (A +B) = u ∧ v ∧ (a + b). ��%� w �� ����� �������� ������ �� u ∧ v. �� a = αw � b = βw, ��� �

u ∧ (A+B) = u ∧ v ∧ (a+ b)

= u ∧ v ∧ (αw + βw)

= u ∧ v ∧[(α+ β)w

]= (α+ β)u ∧ v ∧w

= αu ∧ v ∧w + βu ∧ v ∧w

= u ∧ v ∧ (αw) + u ∧ v ∧ (βw)

= u ∧ v ∧ a+ u ∧ v ∧ b

= u ∧A+ u ∧B

�� �������*����" ���0�� �� ����

u ∧ (A+B) = u ∧ v ∧ (a+ b)

= u ∧ v ∧ Projw(a + b)

= u ∧ v ∧(Projw(a) + Projw(b)

)= u ∧ v ∧ Projw(a) + u ∧ v ∧ Projw(b)

= u ∧ v ∧ a+ u ∧ v ∧ b

= u ∧A+ u ∧B

(�# �����0�� ��������� ��� u ∧ A = u ∧ B, ���� ���� u, ��� � A = B.����������� ����� ��� A + (B +C) = (A +B) +C. (� ����" ���� �����

Page 56: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

u, ���

u ∧[A+ (B+C)

]= u ∧A+ u ∧ (B+C)

= u ∧A+ (u ∧B+ u ∧C)

= (u ∧A+ u ∧B) + u ∧C

= u ∧ (A+B) + u ∧C

= u ∧[(A+B) +C

]�� ��� � �������� �������� ������� �� ����������� ����������� ���� � ���� ��� ����������� T���" � ����������� ����������� ����� ��� ���� � ���� ��� ���������

��" � (������ �)� ���� $�� � ������������

��� � �%����� �� ����������� ��:�� � ��������� �� ������� ��������������� ��� ������ �� ��� � ������ �� �� ����� ��%� {e1, e2} ��� ������������ ���� �� ���� ���� π� (���� �����" ���� ��������� ���� �������u = u1e1 + u2e2 � v = v1e1 + v2e2 �� π �����

u ∧ v = (u1e1 + u2e2) ∧ (v1e1 + v2e2)

= u1v1e1 ∧ e1 + u1v2e1 ∧ e2 + u2v1e2 ∧ e1 + u2v2e2 ∧ e2

= (u1v2 − u2v1)e1 ∧ e2.

���� ��������" ���������� ������ ��� ������������ �� ������� ��������" ���������� ��������" ���� �" � ������ ��������� �� ������� �������� ��������� ������� ��������� �� ���� π � �� �F���� �� ������ ������ ������� +�� ������ ������ ��� ������ ��� � �F���� ��� ��� ������� ������� ������ �� ������ e1 ∧ e2 � " � ����� �� �� ����" � ������ �� ���� ��0��������� ���� ������� u � v� (� ����" ����� �� �� ��� � �� ��������� ��� ������ ��� �F���� ��� ���

‖u ∧ v‖ = ‖(u1v2 − u2v1)e1 ∧ e2‖ = |u1v2 − u2v1|‖e1 ∧ e2‖

� ‖e1∧e2‖ = 1" %� ��� � ��� � ���������� /� � ���� �� �F���� u1v2−u2v1��� ��! �� � ������ u ∧ v � e1 ∧ e2 ������� � ����� �������� �� - ����0������ u1v2 − u2v1 ��������� �� ������� �������� ������� ���� ����������� ������ �� �����!��� ?� ������� �� � ���������� � ������������∣∣∣∣u1 u2

v1 v2

∣∣∣∣ .

Page 57: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

���� � ������ �������� � ����� ������������ =K

-���������� ����� � ������� �������� �� ������ �� ��� ��� �������0�� �� V � 8��� ����� ��� �� �����&��" �������� � ����� �

i = e3 ∧ e2 = −e2 ∧ e3

j = e1 ∧ e3 = −e3 ∧ e1

k = e2 ∧ e1 = −e1 ∧ e2.

>1�4A

��%�� u = u1e1+u2e2+u3e3 � v = v1e1+v2e2+v3e3 ������� ������������������� � ������� �������� ����� ���" ������

u ∧ v = (u1e1 + u2e2 + u3e3) ∧ (v1e1 + v2e2 + v3e3)

= u1v1e1 ∧ e1 + u1v2e1 ∧ e2 + u1v3e1 ∧ e3

+ u2v1e2 ∧ e1 + u2v2e2 ∧ e2 + u2v3e2 ∧ e3

+ u3v1e3 ∧ e1 + u3v2e3 ∧ e2 + u3v3e3 ∧ e3 .

����������� �� .���&�� >1�4A %��������� ��� ei∧ei = 0 �� F���� ������� ����� � ����� � ��������� �� ������ ������" �����

u ∧ v = (u3v2 − u2v3)i+ (u1v3 − u3v1)j+ (u2v1 − u1v2)k

= αi+ βj+ γk .>1�=A

8�������" �� �������� i, j � k ����� � ������ ��� ��������� R ����#�� ����� ����� �� u ∧ v � ������ ��� ��� ������� α, β, � γ, ��%� �����#��� 1�1�

?(�')� -.9. ��������� �� ������� �� ����������� {O,β} ���� � ��0���� E� +���!���� � ������� �������� � ���� ������� �� ����������� �0������� ��� ������� � ���� � ���� �� �� ���S���� ABC �� ���� � ��������������� �� ���� ��������� (� ����" � ���� ���� ��� ������� ����A = 1

2‖−−→AB ∧−→

AC‖� ������ ��� �� ����������� �� �� ����� P (x, y, z) ��

E � � ���� ���−−→OP = xv1 + yv2 + zv3" ��� �����" ���� ������� ��������

��������� ���0��−−→AB =

−−→OB − −→

OA� (� ��� ���� �� ��� ������� � ��� �������������� �� ������� �������� ���0��

A =1

2‖−→OA ∧ −−→

OB +−−→OB ∧ −−→

OC +−−→OC ∧ −→

OA‖.

-���� �� �������� �� ��� ��� ��������� ���� V, �������� ���� �������� �������� ��� ������� ����� ���" � ����� � I = e1 ∧ e2 ∧ e3. -����"����� �� ��������� ����&�� ����� �������� ����������

I = −i ∧ e1 = −j ∧ e2 − k ∧ e3 .

Page 58: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

�� w = w1e1 + w2e2 + w3e3, ��� �

u ∧ v ∧w =[(u3v2 − u2v3)i + (u1v3 − u3v1)j+ (u2v1 − u1v2)k

]∧ (w1e1 + w2e2 + w3e3)

= [u,v,w]I ,

�� ���

[u,v,w] := (u2v3 − u3v2)w1 − (u1v3 − u3v1)w2 + (u1v2 − u2v1)w3 .

� �F���� [u,v,w], ��� � � ����� �� ���� � ����� �� �������� u ∧ v ∧w�� ����� � ����� �� �������#���� �� ����������� ���� ������� u, v �w, � ������������� �����:����� ���� ����� � ������������

[u,v,w] =

∣∣∣∣∣∣u1 u2 u3v1 v2 v3w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣ .?(�')� -.4. E��� ����� P �� E �� ����������� ��� ����� ����� �−−→OP = xe1 + ye2 + ze3" �� ��%�" � ����� �������� P (x, y, z) ��������� ������ � �� P � (������������� � ���� � ����� �� ����������� ���� ����� ����� P (x, y, z) �������� � �� ���� π ������ ��� u = e1 − e2 + e3 �v = 2e1 + e3 � ��� ����� ��� ����� A(1, 1, 1)� ������ ��� �� P ��������

� π ��� � u ∧ v ∧−→AP = 0" ��� ����� ��� u ∧ v ∧−→

AP = [u,v,−→AP ]I, . T���

������� ��� [u,v,−→AP ] = 0, ���� �"∣∣∣∣∣∣

1 −1 12 0 1

x− 1 y − 1 z − 1

∣∣∣∣∣∣ = 0 .

���������� �� ������" �����

−3x+ 2y + 2z − 4 = 0.

?(�')� -.:. 8������ ���� � ������� �������� ���� ���������� �� ������ ����� v ���� ��� ������� ���� ������� � ����� ��� ������� v1, v2 �v3� �� v = xv1 + yv2 + zv3 ��� �

v ∧ v2 ∧ v3 = xv1 ∧ v2 ∧ v3

v1 ∧ v ∧ v3 = y v1 ∧ v2 ∧ v3

v1 ∧ v2 ∧ v = z v1 ∧ v2 ∧ v3 .

����� �����&�� ������� ����� � ����� � ��� ��������� ������ ��� �����v1 ∧ v2 ∧ v3, ��� � � ������� ��!*0� ���� ���� ����� � � � �� �F���� <

Page 59: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

���� � ������ �������� � ����� ������������ =I

������� ��� ���#���� ��������� ���� ������ ���� ����#��� 8�� ��������"������������� � ������ � ��������� ��� ���� �� ��� �������� ������������� ������� ��� �����&�� ����� � � �F����� �� ����� �������� ��������I" ���

[v,v2,v3] = x [v1,v2,v3]

[v1,v,v3] = y [v1,v2,v3]

[v1,v2,v] = z [v1,v2,v3] .

���� ������ � ���:����� ���� -���� � �������

?(�')� -.>. � ������������ �� ��� �����! A3×3 ������� ���� ����� ���� �� �������� �����5 ��!����

v1 = a11e1 + a12e2 + a13e3

v2 = a21e1 + a22e2 + a23e3

v3 = a31e1 + a32e2 + a33e3

�� ����� detA := [v1,v2,v3] . 8���0�� ������ ����� �� ������������ �������������� � ������ ��� ������������ �� ������� ��������� $�%����" ���������" ���� ������ ��� det(BA) = detB detA� (� �� �� ������� v1, v2,v3 ���� ����� � �����

u1 = b11v1 + b12v2 + b13v3

u2 = b21v1 + b22v2 + b23v3

u3 = b31v1 + b32v2 + b33v3 .

(�� ����� ���

u1 ∧ u2 ∧ u3 = detB v1 ∧ v2 ∧ v3

= detB detA I.

-���� ����������� �� �������&�� ��� ������� v1,v2,v3 ��� �����&�� �����"������� �� ������� u1,u2,u3 �������� ���� ������� � ����� ��� ��������� ��� {e1, e2, e3}" �� ��� �� ��� ������� �� ���� �� ���� ��� � �� ��0������ ��� ��:�� �� �����! ������� BA" ��� u1 ∧ u2 ∧ u3 = det(BA) I����������� �� ���� ��������� ������ ���� � ������� �������� ��� �������u1,u2,u3 ����� det(BA) = detB detA .

� ������� �������� ������� ��� ����������� � ����� ���� ���������������� � �������� �� ������������" ��� ���������� � ����!��� ������ ����

Page 60: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

���������� ������� �� ������ � �� �������� �� �����&�� �������� ��� ��0�� � ��� �� ��������� �� ���� � ����� ��!0�� ����" �������� ��� ����������� ���� ������ � ��������� -� ������������ �� ������������� �������� �������� � ������ ��� ������������ �� ������� ��������" �������� ���������!�� �� ����� ����� ��� ��*��

�) ��*����

1�3� ������ � �������� ���*����� 5 �� u � v � � �������" ��� �

‖u+ v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖ .

1�1� +�� � 8������� � 1�3 ���� ������� ��� ���� ������� u = u1e1+u2e2+u3e3 � v = v1e1 + v2e2 + v3e3, ���

‖u ∧ v‖2 = α2 + β2 + γ2 ,

�� ��� α = u3v2 − u2v3, β = u1v3 − u3v1 � γ = u2v1 − u1v2 .

1�D� ��%�� u = u1e1 + u2e2 + u3e3 � v = v1e1 + v2e2 + v3e3 ������ ��� �������� �������� ����� ��� ���� ��� ������� ������������ ����

u ∧ v = −

∣∣∣∣∣∣i j ku1 u2 u3v1 v2 v3

∣∣∣∣∣∣ .

1�4� ��%�� u � v ������� � �0���� � θ � S���� ����� ���� ������ ���| cos θ| ≤ 1 .

1�=� )��������� � ������� ����� ���� ��� ������� � ����� �� ��������� ������ V � ������0� ����!���� � ������� ���������⎧⎪⎨

⎪⎩2x+ y − 3z = 1

x− 2y + z = −1

3x− y + 2z = 0 .

1�J� ������ ��� � ���� �� �� ��#���� A1A2A3 . . . An �� n �������� ������� ������� ���

A =1

2‖−−→OA1 ∧

−−→OA2 +

−−→OA2 ∧

−−→OA3 + · · ·+−−→

OAn ∧ −−→OA1‖ .

Page 61: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

���� � ������ �������� � ����� ������������ J3

1�K� ��%�� u � v ������� ���������� �������������� ������ ��� � ���%�������� � �� ����� � u ∧ v ∧ x = 0 � � ���� ������ ��� u � v�

1�H� (������ � ��� ������� ������� �� ������� u1 ∧ u2 ∧ u3 ∧ u4 ������������

1�I� ������ ��� � ����� �� ��������� ����������� ���� ������� v1,v2,v3

� ���� ��� V = 16‖v1 ∧ v2 ∧ v3‖ .

1�32� ������ ��� �� u ⊥ v � u ⊥ w" ��� � ���� ���� ��� ������ �� �����0�������� �� u � �������� � ���� ���� ��� ������ ��� ��������������� v ∧w�

1�33� ������ ��� �� u · v = 0 � u ∧ v = 0 " ��� � �� u = 0 �� v = 0�

1�31� ������ ��� detAT = detA" �� ��� A � ��� �����! 3× 3�

1�3D� ��%�� v1,v2,v3 ������� � A" B �����!�� �� ����� ��� aij = vi · ej �bkl = vk · vl, ���������������� ������ ��� B = ATA � ������ ���||v1 ∧ v2 ∧ v3||2 = detB� ���� �����#��� �������!� � �������� ���������� � 1�3 ���� �����������

�� ��� �� � ���!��� �������� � ������ �� ��������� ����������� "

���� E�

1�34� (�������� � ���� �� ���S���� ����������� ���� ������ A(1, 2,−1),B(0,−2, 4) � C(−3, 1, 1)� (�������� � ����������� �� ����� �������������

1�3=� ��%�� u � v ���� ��� ‖u‖ = 2, ‖v‖ = 3 � ‖u+ v‖ = 4� ����� � ����

�� ���S���� ABC ������ ���−−→AB = 2u+ 3v �

−→AC = u− 4v�

1�3J� �� ������ A(0, 0, 0), B(1, 4, 3), C(1, 2, 2) � D(1, 0, 1) � � �� ���������� �� ���������� �����5

�� � ����� �� ���������@

#� - ���� �� ���� ��� � � ������ � ������� D ;

�� - ����� ������� �� ������� D .

1�3K� (���� �� ������� v1 = 2e1 + 2e2 + 4e3,v2 = e1 + e2,v3 = e1 −e2 + 2e3 ��������� ��� ��� ��������� � ������ ���� � �������� ������������� �� ����� u = e1 ����� ����

1�3H� (�������� � ����� �� ��������� ����������� ���� �������−−→AB =

e1 + e2 + e3,−→AC = e1 + e3 �

−→AC = e1 − e2 + e3 � �������� � �����

������� �� ������� -�

Page 62: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto
Page 63: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

��������

� ������� ��������� ������

8��� ��������� � ������� ���������� ���������� �������� � ���%���� ��������� �� ���� � ������� �F�����" �������" �������� � ���������� �� ��F���� �������� ,������ ���� ��� ������" ����������� ��������� �F�����"������� � ��������" ���� ���� ���� �� ������ ���� � ������ �� ��������� ��������� ��%� π �� ����" ���� ���� ����� α,u,A �� ��� α � �� �F�������" u � A � � �� ����� � �� ������ �� π" �� ����� �� ���� �������

R := α+ u+A .

)���������� � ���%���� �� ����� ����� �������� ��� A2 = A2(π). � ���0���� ���������� ���� �� ���� ���� �%���� ����� ���%����� �� ���������� A2 ����� ��� ���������� ���� �%���� �������� ��*� ��������&��5 �����������" ��� ������� � ��� ��������� 8����#���� ����������� ���� �0%���� ��� ����� �������� (α,u,A)" ������� " ���� ������� � ������" ������ � �� ���� �" ����� ����� ������ �����" ����� ���� ���������� ��������� � �� ������� ���������� ����� ���� ���� ���%���� ������ ������������ ������ �� ������ ������� �� ���� ���5 �� λ � �� �F���� ��� �S := β + v +B, ��� �

R+ S := (α+ β) + (u+ v) + (A+B)

λR := λα+ λu+ λA

Page 64: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

�� � (������ � ��������

u

v

������ ���� )�&������ ���������� ���� � � � � ������ � �� � ��� u � v, ��!*����� � ������� ���"����� uv : ��� � �� $����� '� ������ ����

�� u � v � � �������" �� ������ ������� ���������� ����� ��� ���

uv := u · v + u ∧ v

� ������� ���������� �� ���� ��0����� �� ����" ��������" � � ��� ���� ����� �� ����" ��� ��������� �� A2 ������� ��� ��������������� �� ��� � �������� �� �F���� ��� u · v � ������� � ������� u ∧ v. ����� ���� �����0������ ���� ��� � ���� �" �� ����������� � ��������� �� ���� �������:���" � S���� ��������� ������� ���� �� ����������� �������������������� ���� ������� u � v.

8�������" ���� ���������� ������������ ���� �����������" � ����� ���� ��������� �#���� �� ����" � �� ������ ���:���� � ������� � ����� ��������" ��%� ,����� D�3�

� ������� ���������� � ������� � :����*��� � �����������" ���� �" ��������� �F���� ��� λ � ������� u, v � w, ����5

<3 (λu)v = u(λv) = λ(uv);

<- u(v +w) = uv + uw;

<9 (u+ v)w = uw + vw.

�� ���� � ������� ���������� �� ���� ������� � � ������ ��� ��! ���uv = u · v+ u ∧ v ���� ��� ��������� �� vu = u · v− u ∧ v. ?��� ��� ����e1 � e2 � � �����������" �*�0��

e21 = e22 = 1 � e1e2 = e1 ∧ e2 = −e2e1 .

+� ������ ������ ��� �������&�� ���� uv � vu ������� ���������� ��������� ������� � �������� �� ������ �� ������� ����������5

u · v =1

2(uv + vu)

Page 65: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

���� � ������ ���������� J=

u ∧ v =1

2(uv − vu) ,

�� ��� �� ���� ������� ��� u ‖ v ⇐⇒ uv = vu � u ⊥ v ⇐⇒ uv = −vu�M������� �������� � ������� ���������� �� ������� �� ���� π � ��0

��� �� �������� �� A2 �� ���� � ������ �� ������������ ������������ �:����*��� ������� 8��� ����" ���� �� ��� �� �������� �� ������� ��� ����������" � �0�������������� �������" �� ���%���� {1, e1, e2, e1 ∧ e2} >�������� �� ���� ������� %� ���� �� ����A" ���� ��� ��! ��� ����� ������������� �� �����" �� ����������� �� ��������������� � :������������ ��0����� ���" �� �������" ����� �� �������� ����� �� ���� �� ������ N�"��������" ������ ������������ ���� �������� � ������� ���������� �� ��0������ ����������" �� ��������� ��� ���� ������� ��%� ����� ����������� ���� � �F���� ��� 3 �%�" ��������������" ���� �������" ���� �" � ����������������� �� �� �F���� ��� ��� �� ������� �� A2 � ����������� ���������� � ��� �F���� ��� ����� ������ �������" ��� � � ������ � ��������� ���������� ���� A2 � F����� - E��� D�3 ������ � ������� ���0������� ���� �� ���%���� ��������� �� ��������� �� A2.

���� �������" ����������� � ������� ���������� ����� ����� ��0������ ��� ������� ���������

����� � �� ����� ��� �� ������ �� u � �� �����" ��� � ��� �� ��� �

u2 = u · u = ‖u‖2 .

����� � �� ����� ��� �� �������� ��%�� u � B �� ����� � �� ���0���" ���������������" ��� �������������� �� π. ��� �" ������ �� ����� v�������� � u �� ��� B = u ∧ v. - ������������� ����� u � v ������uv = u ∧ v. ��� �"

uB = u(u ∧ v) = u(uv) = ‖u‖2v

��� uB � �� ����� ������ �� ����� v �" �������� ��������" �� ����� u.-�� �����

u ∧ (uB) = ‖u‖2u ∧ v = ‖u‖2B

�� ��� �� ������ ���" �� u � B � � � �0����" ��� � {u,uB} � ��� ����������� ��� � ����� �������� � �� {u,v}.

Page 66: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

1 e1 e2 e1 ∧ e2

1 1 e1 e2 e1 ∧ e2

e1 e1 1 e1 ∧ e2 e2

e2 e2 −e1 ∧ e2 1 −e1

e1 ∧ e2 e1 ∧ e2 −e2 e1 −1

����� ���� ���� �� �������� ���"������ � � ��� ����� ������ �� ��A2.

����� � �� ������� ��� �� ������ ��%� B = u ∧ v �� ������" ��� �

B2 = (� ∧ �)2 = −(� ∧ �)(� ∧ �)= −(��− � · �)(��− � · �)= −��2�− (� · �)2 + � · �(��+ ��)

= (� · �)2 − �2�2 = −‖u ∧ v‖2

= −‖B‖2,

�� ��� � ����� �������� ������� �� 8������� � 1�3� (�# ������� ��������������� �������������5

B2 = −‖B‖2

(� · �)2 = �2�2 + (� ∧ �)2 .

- �������� ���������� �������" �� ���������" ��� �� B � ��������" ��� �B2 = −1, ���� �" B ��!� �� ����������� �� ������� ����������� - ����������������� � � 8������� � 1�3 ��������� �� ������ �� ������� ������������ ���������

?��'��% �����%*���%. +� ������� S �� A2 � ���� ������#�� �� �������� ������� S−1 �� A2 �� ��� SS−1 = S−1S = 1. �� R � S ������� �S � ������#��" ��� � � ����� �������� ��� R � S−1. ?���� ���� ���������������

RS−1 = S−1R =R

S

Page 67: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

���� ������� ��������� JK

���" ����� �" �� ���� ���� � � � ����#��� - ����� A2 ������ �������������� ������#����� �� ��������� � � ������#���� �� ������� � ��������� �0���� ��� �������� ��������

u−1 =u

‖u‖2 � B−1 = − B

‖B‖2 ,

����������������

?(�')� 9.3. �� �������� �� ����� u+B" �� ��� u � B � � ���������"� � � � ������#����" ����

(u+B)(u+B) = u2 + uB+Bu+B2

= uB+Bu

= uB− uB

= 0 .

�� ���� ���� �� �������� ������#���� �������� ��� ������ �����&�������� ��� ��������� ���������" ���� ������� ����� ��

?(�')� 9.-. - ���� � �� ����� � Bx + u = 0 � ����� �� �������������5

Bx+ u = 0

Bx = −u

B−1(Bx) = B−1(−u)

x =B

‖B‖2u .

�� -.� ��� &��/� )��

$���� ��� �� �������� i ��������������� ��� ������������ ������������ ���� �� ��!�� �� ����������� �� ������� ����������5 i2 = −1. 8���0���" ��������" ����������� � ���%���� R[i] = {U |U = α + βi; α, β ∈ R} ⊂A2 ���� ��� ����� �� ���%����� ��� �F����� �������� ����������� ���0���� �� A2.

- ����� ������0��� i ��!� ��� ��������� ������������5 ���� ������� u� v �� π ���

�3 vi � �������� � v;

�- vi = −iv;

Page 68: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

�9 ‖vi‖ = ‖v‖;

�4 u ∧ (vi) = (u · v)i;

�: u · (vi) = (u ∧ v)i .

-� ������������ C1, C2 � C3 ������� ��� �� ���������&�� �� �� ����� u��� i, ; ������� �� ; ��������" ����� ������� ���������� ; u �����������0:�� ������ -� ������������ C2, C4 � C5 ������� ���� ������ ��� i ������� A2, �� ���������" �- ������ ��� uU = Uu ������� ��� ��%�� ������ u � � ������� U = α + βi. ?��� ���" � ��������� � ��� i ����������� ��� ��� �������� {u,ui} �� ���� π � ������ �� �� F���� ������ �0��� u.

?(�')� 9.9. ��������� ��� ��� ��������� {e1, e2} ���� �� ���� ���� ���� � ��������� � �� ������ i = e1e2 ��� �� ����� ���������u = u1e1 + u2e2 �������

ui = (u1e1 + u2e2)e1e2

= u1e1e1e2 + u2e2e1e2

= −u2e1 + u1e2 .

�� ������ �� �����������" � ��������� � ��� i ���������� � ����� (u1, u2)T

�� ����� (−u2, u1)T .

� (����� � ��� �� (�����

?���� ��� � ���������� �� ������ ����&�� ����� ������ � ����� � ���0�� ����� ����� � ����� �� �� ����� �����

?F��5I�% �� ��� ������B���� �� �' )� � �'� ���.� +������ �� ����������� ��� ���� ������ ���������" ������� A � B. +� �������������" ������� X, ���� ���� ���� ����" �� � ������� �� �� �������

−−→AX �

−−→AB

� � ���������� �����������" ���� �" ������ �� �F���� ��� t �� ���

−−→AX = t

−−→AB . >D�3A

- ����� � ����� � �:����� �� ����� � ����������� �� ���� ��������������� ������ A � B. (� ������ ��� ���� ����� �" ���������� �� �� ���������� P �������� ; ���� ����������� ��� A � B ������� � ������� ������ �

−→AP = t

−−→AB ���� t. $������ � ������ ��� ���� ������ ���� ��� ����0

!��� ��� �����*���� �� ���S������

Page 69: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

���� ������ � ����� �� ������ JI

+�� ���� ����� � �������������� ����������� ��� �� ����� � �������� � �� ��� �� ����� � ��� ����� � ����� � ��� ����� � �" ��� ������"�� ����� �� ��� ����� ���������� � ���������� ��� ���� ���:������ �� ������ ������ � ��� ���� ������ �� ��� ���� �������� � ��� - ����� ��� ��� ���� �� ��� ����� � ����� � �� � � ����������� ���� ����� ������� �� �������" ��� ������" �� � ���� � ����������� ��� ������ A � B���� �����" � ������� d :=

−−→AB � n = di ���� ��� ��� ����� � � � ����� �

����� � ��" ���������������� - ����� � >D�3A" ��������" � ���������� ;����� �

d ∧ −−→AX = 0

��� � � ����� � ���������� �� ����� +�� ����� � d � ��� ����� � ����� ��� n ��� � ����������� ��� n ∝ di � d ∝ in. -����" ���� �� ������ �� �������� � �� ���� ; ��� ����� � �����" � ����0�����" � �� ������ ���������� ����� � ���:����� ��� ������ i. 8��� ���� ��� �� �� ����������� �����P �������� ; ��� ���� ��%� ����� � � d ∧ −−→

AX = 0 ���� ������ d ∧ −→AP.

?(�')� 9.4. .�������������� � ���� d ∧ −→AP = 0" ������� �� �������

�������� +����� � ����������� ������� �� i, ���0��

(di) · −−→AX = (d ∧ −−→AX)i = 0 ,

���" n · −−→AX = (di) · −−→AX = 0�

?(�')� 9.:. ��������� �� ������� �� ����������� ����������� ���� ����� π �� ����� ��� A(x0, y0) � d = ae1 + be2� ��� �"

d ∧−→AP =

∣∣∣∣ a bx− x0 y − y0

∣∣∣∣ iT���" �� �����������" � ����� � �� ���� r ����������� ��� A � d �∣∣∣∣ a b

x− x0 y − y0

∣∣∣∣ =∣∣∣∣a bx y

∣∣∣∣−∣∣∣∣ a bx0 y0

∣∣∣∣ = 0 ,

�� ���" �� �� ��!���� c = bx0 − ay0 , ����0��

−bx+ ay + c = 0 .

?��� ��� � ����� ����� ; ���� ���� ��� ������ ���� �� ����� �" n =−be1 + ae2 �" ���������" � ����� � �� 90◦ �� ����� ����� � d .

Page 70: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

r

P

Ad

h

������ ���� � ����$�� �� ���� P ��� r " ��� � ���� h �� � � ������ ��� � ��� AP � d.

��%J���� �� �' )� � �'����. ��%�� r ��� ���� ���� ��0����������� � P �� ������ (������� � ��� � �� ��� � �� ���0���� ��������" � ����� �� d ∧ −→

AP� � ���� �� >�������A �� �����0

������ ����������� ���−→AP � d.

�� �������� ‖d‖ ���� � �������� ��� ����� �����������" ����0��� ‖d ∧ −→

AP‖ = ‖d‖h, �� ��� h� ����� �� �����������" ���� �"dist(P, r) = h. (�# �� ������ ���

dist(P, r) =‖d ∧−→

AP ‖‖d‖ .

?(�')� 9.>. ��%� r ���� �� ������ �������� � P (x1, y1) . ��� �"

d ∧ −→AP = −bx1 + ay1 + c .

T���" � ������� � �� ����������� ����������� ���� � ����S���� ����� P � r�

dist(P, r) =| − bx1 + ay1 + c|√

a2 + b2

�%�5I�% �������% ���� ���% ���%. �����:� ��� � � ����� ���� ������� �����&��

−−→AX ∧ a = 0 �

−−→BY ∧ b = 0. M������� ���������� � ����� �

������� ����� ��� >������������" �������" �������������� �� �#����A�

8��� ���� ���� ������−−→AB ∧ a � ab = a · b + a ∧ b. E*�0�� �� ���������

����������*�����5

D�3� ��−−→AB ∧ a = 0 � a ∧ b = 0 �� ����� � � ������������@

D�1� ��−−→AB ∧ a �= 0 � a ∧ b = 0 �� ����� � � �������@

D�D� �� a · b = 0 �� ����� � � ��������������@

D�4� �� a ∧ b �= 0 � a · b �= 0 �� ����� � � �#�����

- ����������*���� n ∝ di ����� �� ������� ����� � � ����� �� ��� ����������� �����:���� ������������� �� ������� ����������� ���� ��� ����>�� ����A ��%�� ���� � ������ �� �� ����� ����� � ���

Page 71: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

���� ������ � ����� �� ������ K3

AB

P

������ ���� +��������� �� �� � ��� �� ����� P '� ��� ��, �� � ���� �� ����A, -(� ��� #$�$%�

����%��5, �� ���% ���%.���� �� ����� ��%�� �#���� �� ���0����������� ������� ���� � ��0������� � ����� ���� �� �� �����P �������� � ���� �� ����� ��� �−→AP ∧ a = 0 �

−−→BP ∧ b = 0. ��� �"

��� �� ���" ������ �� �F���� ���t0 �� ���

−→AP = t0a . >D�1A

8�� ����� ���"

−−→BP =

−−→BA+

−→AP

=−−→BA+ t0a

���" �����������−−→BP �� ����� � �� ������� ���� ���0��

(−−→BA+ t0a) ∧ b = 0

���" ���������0�� ���� t0 � �������0����0�� �� ����� � >D�1A" ������

−→AP =

−−→AB ∧ b

a ∧ ba >D�DA

�" ��������" � ����� �� ��������� � ��� �����" P, �� ����!��� � ������ ������� A ��� ���� ��

−→AP. ?��� ��� � ����� � �� �������� ����� �� �����

������� �� ����� � ����� � ����#��" ���� �� �������� ������� ����� ��" � ���������� � �� �F���� ���� 8��� ��������!�� � ������ ��%���� �

?(�')� 9./. ��������� �� ������� �� ����������� ����������� {O, e1, e2}���� �� ���� π� ��%�� r � ���� ����������� ��� ����� A(1,−1) � ���������� � a = 2e1−e2 � s � ���� ���� ��� B(1, 2) � ����� ����� � b = e1+e2�8�������" ���� ���

a ∧ b = (2e1 − e2) ∧ (e1 + e2)

= 3i ,

��� �� ����� � � ������������� (������������� �� ����������� �� ������� �������� �5

−−→AB = 3e2

−−→AB ∧ b = (3e2) ∧ (e1 + e2) = −3i .

Page 72: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

T���"

−−→AB ∧ b

a ∧ b=

−3i

3i= −1 .

8�������"

−→AP = −a = −2e1 + e2 .

8��� ������� �� ����������� �� ����� P ���� ������� ���−−→OP =

−→OA+−→

AP , ��� P (−1, 0)�

�" +������� ����

r

s

θ(r, s)θ(s, r)

������ ���� .����� ����� �� � �� ��

�� ������ �� ������� �� ����0� � �� ���� π" ������� ����� S�0���� �� �������� [0, 2π). )��������0�����" ������� ������������ ��� �������� �������� �� ����� � � �������� ����� � �#���� ; �������� ���� ����� ��� �� ���� ���� � ���0������*����� ���� �������������"�� ������ �� B���� 6���������A2, ���� ������� � ������� � ����0:�� �� ������ �������� i �� π. +�S���� ������ �� ���� ������� ��� �:��� *���� �������� �

���5I�% ����'=����% . ��%� θ = θ(r, s) � S���� ��������� �������0���� ��� ���� ��������� r � s �� ������ O. ?������ ���" �� �� ���������� S����� ����������" θ(r, s) �= θ(s, r), ,����� D�4� ��%�� u � v ������� ���0������ ��� �������������� �� r � s, ���������������� (� ����� �� ����&����������������� sin θ � cos θ ��� ���� �� ��������

uv = cos θ + sin θ i .

-� ����&�� sin θ � cos θ ����� �� ����� �������� ������ ��� ���������� S����� ���������� � � � ��� S����� �� �� ������� (� ����" ��%��θ(r, s) � θ′(r′, s′) S����� ���������� ����������� � u,v,u′,v′ ������� �����0���� ��� �������������� �� r, s, r′, s′, ���������������� ��� �" �� ������0������ ���������� ������������ ���� ����� u,v � u′,v′ � � ����������� �

Page 73: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

���� ������������� KD

θ′

v′

u′

θ

v

u

������ ���� .����� ���������� ���!�$�� � ���� �� �������� �# ����� � $!���� θ " ��� � ����$�� ���� �� �"�!����� �# ����� � $���� θ′ � � �"��� ��� �� �� � � ������ �� ����� ��� ��!���� ��� ����� � ��� �� ������� u,v �u′,v′.

������� ����� �������� �� ���������*���� �� ����S����� ����� ���������� ��%������� ��� S����� ���0�������� ����� � � ������ � ������������� �������� ����� � �������" ,����� D�=� )��� �"

‖u− v‖ = ‖u′ − v′‖u ∧ v = u′ ∧ v′

���� ����� �� ������� ������0��� � � ���������" � �������� ����0���� ������� ������� ��� u · v =u′ · v′. 8�������"

cos θ + sin θ i = uv

= u′v′

= cos θ′ + sin θ′ i .

�" ����������������" cos θ = cos θ′

� sin θ = sin θ′.- �������� ��� ����&�� sin θ � cos θ ������ ����������� �� �������� ��

������� ������� � ����0�������� �� ������� �������" ����

cos θ + sin θi = uv

= u · v + u ∧ v

= v · u− v ∧ u

= cos(−θ)− sin(−θ)i .

8�������" cos(−θ) = cos θ � sin(−θ) = − sin θ .

-� ������ ����&�� ��������������� �� �� ��� ���� �� �������� -������������� �� B���� 6��������� ����� ��� � ��!����� ����!���� �������� ��� ����&�� ��������������� �������� ������� �� ������� � �������

?(�')� 9.@. ������ ��� � ��������� � ; ������� ��� i ���� ��� ��0��� � �� π

2 " ��� � ���� �� ����� u �������� ����� uui = i" ��� ����� ���uui = cos π

2 + sin π2 i� 8�������" cos

π2 = 0 � sin π

2 = 1 .

?(�')� 9.A. ����������� ��� sin(π2 − θ) = cos θ . ��%�� u,v ���������������� � θ � S���� ��������� ����������� ��� ���� �� ������ �� ���� �

Page 74: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

������� ��π

2− θ ����� ��� ������ ���

cos(π

2− θ) + sin(

π

2− θ)i = viu

= −vui

= −(cos(−θ) + sin(−θ)i)i= sin θ + cos θi .

?(�')� 9.32. 5�� �� ������ ��%�� A � ���� �� ���S���� u+v+w = 0� θ1, θ2, θ3 �� S����� ������������ ���� ����� �� ������� v ,u; w ,v; u ,w,���������������� ��� �"

2A = ‖v ∧ u‖ = ‖v‖‖u‖ sin θ12A = ‖w ∧ v‖ = ‖w‖‖v‖ sin θ22A = ‖u ∧w‖ = ‖u‖‖w‖ sin θ3 .

8�������"

sin θ1‖w‖ =

sin θ2‖u‖ =

sin θ3‖v‖ .

K���� ���� ���%. (��� ����� � �0������� �� ���� ���������� ���0���� S�����" �� S����� ������� ��� ������� � � ����������� � �� S�������%������� � � �������������� (� ��0�� ���� � S���� ����� �� ����� ������ ������ S������ �� �� ����� � � ������� �� ������������" �� ������ S���� ����� ��� ���� ����� !���� �� �� ����� �*� ������� ����� � a � b� θ � � S���� ����� ��� ��� ��

cos θ =|a · b|‖a‖ ‖b‖

���������������" �� �� ����� � � � � ��������������"

tan θ =‖a ∧ b‖|a · b|

8��� ������ ������&��" ��� ������ �� ����������������� ����������"� ������� ����� � ���� ��� ���� ������������ ��� ��! ��� �� �� ����������&�� � �������� �� �F����� ������ - ����� � �������� ������ ������ ������ � �� ��#!�� ����������

�# � 0 )1 � �����1 �

?���� ��� � �������������� ������� ���� �� �����������&�� ��������� ��L�� � � ����� � � ���������� ��������� ����������� �������

Page 75: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

���� �� ���!�� � �����!�� K=

d

u‖

u

u′

u⊥

−u⊥

������ ���� ��/���� �� ����� u � ��!� ��� ������� d.

!�C�(I�%. ��%� d ��� ����� �"��� �������� ����� ��� ����� ������������� ��� �� ����� ��������"� u �� ������ �� �����������

u = u‖ + u⊥

�� ��� �� ��� ������� �� ���0�� ������� �� �������� � � �� ���0�������� ������ � �������� � d,� ��L�� � u′ �� u �� ���������0!��� ��� u′ = u‖ − u⊥ , ��� u‖ =(u · d)d . T���"

u′ = (u · d)d− u⊥= 2(u · d)d− u

= (ud+ du)d− u

= ud2 + dud− u

= dud

�� ��� � F���� �������� ������� �� d ��� ���������

!�5I�% � )���. ��%� u �� ����� � �0��� �� ���� π" ��� � ��������� �� ��� � D�3 u � ui � � ����������� -�� �����" � ������� �� ����� ��� u ���� ui � ������ � �����" ��� ��! ��� u ∧ (ui) = u(ui) = |u|2i. ��Rθu ���������� � ����� � �� ����� u ��� �� �� S����" ��� �

Rθu = cos θ u+ sin θ ui = u(cos θ + sin θ i) = ueθi

�� ���" ��� �� ��� �" eθi = cos θ + sin θ i. �� ��������� U := e−θ2 i, ��� �

� ����� � �� �������� ����� ���� ��� ��������� ����

Rθu = UuU >D�4A

�� ��� � ���� ������ � ������� ���%����� �� U. .����������� � �������� ����� � ����� ������� ���� ������ ������������� ��� � ������ ������� � �� ������� ��%��m � n ������� ��������� ���� ��� � S���� �������������� ��� ��%� θ/2, ��� �

mn = cosθ

2+ sin

θ

2i = U

Page 76: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

nm = cosθ

2− sin

θ

2i = U

������0�� ��� � ����� � D�4 ���������0�� �� ������ ��� ������� m � n����

Rθu = nmumn . >D�=A

?(�')� 9.33. +���!������ � �������� �� ����� � �� ������� ���� �������� ������� �� ���� � �� ����� ���� �� ����&�� ���� � �������� ���������� ����� �������� u � ���� �����&�� Rθ � Rθ′ � � S���� ����� u � Rθ′Rθu �θ + θ′, ���

uRθ′(Rθu) = uu(cos θ + sin θi)(cos θ′ + sin θ′i)= (cos θ cos θ′ − sin θ sin θ′) + (sin θ cos θ′ + sin θ cos θ′)i .

T���"

cos(θ + θ′) = cos θ cos θ′ − sin θ sin θ′

sin(θ + θ′) = sin θ cos θ′ + cos θ sin θ′ .

��������% )����%. M������ ������� ������� U = α + βi ������� A2 ���� ��� ������� �� ����� U = ρ2eθi. 8��� ���� ���� �����tan θ = β/α, �� α �= 0. �� α = 0, ��� � θ = π/2. 8���0��" ��������" ���������� � ������� ���������� �� �� ����� e1 ��� U ����������� � ��� ����� ��� e1 ��� S���� θ, ������� �� �� �������������� ����� �������� ��� ρ2.?� ���#���� �� ��������� ��������" ������� �������� ������� ����� u ������ �� ��������� ������

u = Ue1U = U2e1

�� ��� e1 � �� ����� ��������" ������� ���������" � U = ρe−θ2 i.

�% (���� �� � 2��� &��/��

?���� ��� �" ���� ������ � ��� ��������� ���������� ��� �����" �������0����� � ������ ������� �� ����� ��� �� ������ �� ����� � ����������

mx′′ = −µ x

r3>D�JA

�� ��� r = |x|. ���� ����� � ����� �� ����� ��V������� �� ������� ������������� ����� ���� ������� �� ���������" �� ���� �� ��� � ����� ��

Page 77: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

���� �������� � ��� ������ KK

e1

x

������ ���� � ����� x ���� ��������� ����� �� ��� �� � ��� ��� ������ �� ��� �� � ������� e1 " ��!���*�� ����� �� ��� � �� � � 0���� � ��� '� �

�� ���� � ����� ����� ��� � �����m �� �����" � ������ �� ��������� ����������� ���� ��� ���������� � ������ �� ����� �� ������� ����� �����" ,����� D�K� ����� ��� ������ � ���� �� �� � ��������" �� �� E���� �� ���� � ��� ��������

- ������ � �#���� ��� �� ������� ����� � >D�JA ������ �� ��������������� �� ������ � ��*�" ��0�������� � ����� � ��! ������� ��������� ������ �� 8��� ������� ��������� ��� ��������� �� B����6���������" � ������ � ������ � ������ �� ����� � ������ � �� ��0���� �� ��� � ����� � ���� �� ����� � �������� ����� � ���������� ��� �������� � � �������� 8��� ���� ��%� t �→ x(t) ��� ���� � �� ����� � >D�JA��� x0 := x(t0) � v0 := x′(t0). (� �� L := x∧x′ >������� ������A ��� �

L′ = x′ ∧ x′ + x ∧ x′′ = 0,

�� ��� � �������� ������ �� ���� ���� �� ������� � � ������ � � ��������� ���� ���� � ����� � >D�JA ������ ��� x � x′′ � � ���������� T���"L = x0 ∧ v0 � ��������� � �������� x(t) ��������� �� ���� α ��������� x0 � v0 ���� ���� t. ��%�� e1 � e2 ������� ����������� �� ���� α.8������" ��������" �������� � ����� ����� � �� ����������� ������ ��������� ���� x = Ue1U = U2e1, ���� �" r = UU = |U|2. � �%����� � ������� ����� � ���������� ���� U. 8�� ���� �� ������� �" ������

x′ = 2UU′e1

�� �����

x′e1U = 2UU′U = 2rU′

8����������� �������!���� � ������� �� ��������� dtds = r ��� �%����� �

���� ��� ���� �� ��� � ����� � >D�JA � � ���� �� ���� �� ������� �������" ������������

x′e1U = 2rU′ = 2dU

ds

Page 78: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

(�������� ��� ���� � � s, ����������� � ���� �� r � �������%���� ��������� �� ���� ������5

2d2U

ds2= x′′ dt

dse1U+ x′e1U′ dt

ds= x′′re1U+ x′e1U′r

= x′′UUe1U+ x′e1U′UU

= x′′Ue1UU+ x′UU′e1U

��#" ������0�� ��� Ue1U = x � UU′e1 = x′/2, ��*�0��

2d2U

ds2= (x′′x+

x′2

2)U

������ � ����� � >D�JA ���� ���� x′′ � ����������� �� ����� � �����"����������� � ����� � ���������� ���� U :

d2U

ds2=

1

2m(m

2x′2 − µ

r)U =

E

2mU

�� ��� E := m2 x

′2 − µr � ���������" ���� ���� �� ��� ��� ������� �

E′ = (mx′′ + µx

r3) · x′ = 0.

8�������U, �� ������� s, �������! �� ����� � ���������� �����" �� ������������ ��� ��� ������� ���������� �" ����������������" ���� ��� ���������������������� 8�������" ����� � ��������

��)%�5, 9.3. %�$� x : R → E ��� ����"� � �#���"�

mx′′ = −µ x

r3�� #�� r = |x|.

���"�

x(t) = U2(s)e1

t =

∫ s

0

|U(α)|2dα.

%� E = 0 : U(s) = sA + B =� ,����� ' ��� ���0��� �� ��� ���������>)

%� E < 0 : U(s) = Aesi√

− E2m +Be−si

√− E

2m =� ,����� ' ��� �����>)

%� E > 0 : U(s) = Aes√

E2m +Be−s

√E2m =� ,����� ' ��� ������,�>�

Page 79: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

���� �������� � ��� ������ KI

�) ��*����

D�3� 8��� �� ������� u = e1 − 2e2,v = 3e1 + 2e2,w = 5e1 + 2e2 �����5

�� uv ;

#� uvw ;

�� (u ∧ v)(w ∧ v) ;

�� (1 + u)vw .

D�1� ������ ���5

�� (x ∧ y)(z ∧w) = [(x ∧ y)z] ·w ;

#� (x ∧ y)(z ∧w) + (x ∧ z)(w ∧ y) + (x ∧w)(y ∧ z) = 0 .

D�D� ��%�� u, v, w ��*� ������� ��������� � u ·v = α, u ·w = β � v ·w = γ������ ���

α2 + β2 + γ2 = 1 + 2αβγ .

D�4� ��%�� u1, u2, u3 � �0��������� �� �� ���� π ���� ��� u1 + u2 +u3 = 0 ������ ��� ���� ���� v �� π, ������� F����� α, β, γ ���� ���v = αu1 + βu2 + γu3 � α+ β + γ = 1.

D�=� ������ �� ������������ �3 � �:�

D�J� (�������� � ����� �� �������� � ��� ����� r � s ������������ ���������� A(−1, 4), B(2, 1) � ���� �����&�� a = 2e1+ e2, b = 3e1+5e2,����������������

D�K� ��%� r � ���� �� ����� � 2x− 3y = 1 � s , t �� ����� ��� ������ ���A(1,−2) � � � ������ � ������������ ; r, ����������������

>�A �������� � ����� � �� s ;

>A �������� � ����� � �� t � ��������� �� ����������� �� ������� ��������� � �� r � t .

D�H� ��%�� r � ���� ����������� ��� ����� A ��� �����0����� � d � BC�� ��������� �����:� ��� r � BC � � ���������� ������ ���5

>�A r ���������� BC �� � ������� �� (d ∧ −−→AB)(d ∧ −→

AC) ≥ 0 ;

>A r ���������� BC �� �� ����� �������� �� �������� �� � �������

�� (d ∧ −−→AB)(d ∧ −→

AC) > 0 .

Page 80: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

D�I� ��������� �� �#���� �������� �� A �� ���� r � ��%� P �� ��������� ���5 (�������� �� �������0����� � � �� ������ �� �������� � ���#����� ��� ���� ����� ��������� ��� ������ ��� P.

D�32� 6������ ��������� � �������������� +�� � �� ��� � ���� ������ ����&�� ���� � ������� ���� ���������� ��� ���� ���� S���� θ��� cos2 θ + sin2 θ = 1.

D�33� (�������� �� ������ �� ������� � �� ���� ���� �� S����� π3 ,

π4 ,

π6 , π

� 32π ������ � ������� ���������� �� ������� ����������

D�31� ������ �� ��������� ����������� ��������������� ������ ������� ���0�������5

�� sinx = − sin(x− π) � cosx = − cos(x− π) ;

#� sinx = − sin(2π − x) � cosx = cos(2π − x) ;

�� sinx = sin(π − x) � cosx = − cos(π − x) .

D�3D� 5�� �� ��������� ������ ��� ���� �� ���S���� ABC ������� ���

|BC|2 = |AB|2 + |AC|2 − 2|AB||AC| cos θ

�� ��� θ � � S���� ��������� �� ������� A�

D�34� ��%�� d � i ����� � ������ ���������� (�������� ����� �� ������ X�� E ���� ��� � �����

−−→AX � ���� � �� ����� � (id) · −−→AX = 1 .

D�3=� ��%�� d � i ����� � ������ ���������� (�������� ����� �� ����&�� ������� � d ∧ u = 2i" ���� ��� ‖u‖ = 1 .

D�3J� ������ ��� � ����S���� �� �� ����� P � ��� ���� r, ����������� ���d � A, ���� ��� ������� ���

dist(P, r) =|(id) · −→AP |

‖d‖ .

D�3K� ��%� R = α+ u" �� ��� α � �� �F���� ��� � u � �� ������

�� (�������� ������&�� ���� α � u ���� ��� R ��%� ������#��@

#� ������ ��� �� R−1 � � ������" ��� � R ���� ��� ������!��� ������� ��� R2 = R� E��� ����������� � � �:������ �� ������0������@

�� ������ ��� �� R �= 1 � ����������� ��� � � ������� ��� ���������� ��������� � � � ������#���

Page 81: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

���� �������� � ��� ������ H3

�� �������� �� R ����������� ��� ������ �� ��������

D�3H� ������" ������ � ������� ����������" � ����������

tan(θ + θ′) =tan θ + tan θ′

1− tan θ′ tan θ.

D�3I� ��%�� u , v ������� ��������� � θ � S���� ����� ���� ������ ���

eθ2 i =

1 + uv√2(1 + u · v)

.

Page 82: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto
Page 83: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

�������� �

� ������� ��������� �������� ���������

$���� �� ���#��� �������� ��� � �� ��� � �� ������� ���������� ��������� � �� ������ ���� ���������� � ������� ��� �������� �� ����� α+� + ��%�� ����������� ������� � �������� ������� �������������� ���� ����� ���� π. �������� ����� ��� ����� ��� ��� ��������������� ���������� �� ����� ������������ ���� ����� ���� ���� � ���������������� - ����� � ���� ������������� � �����" ����� � �����*���� ���%���� ���� ���� �������� ��� �����&�� ��������� � ���������� ��! ����� �������� ���� ���� � ���� � ������ �� ������ � �� ������� ����������� ����*� ������&��� � ���%���� A3 ������� �F����� �����" �������" �������� ����������� �� ��� ��������� ������� ������ � �� A2� )��� �" ���� �������S ∈ A3 ���� �� ����� S = α+�+ +" �� ��� α � �� �F���� ���" � �������" �� ������ � " �� ��������� �� �������� �� A3 � � ����������������������� � ������� ���������� %� ���� �� ���� ���� ���� ��� �� �������u,v ��� ������

�� = � · �+ � ∧ �. >4�3A

���� ������ � � ��������� ����� �� �������� �� �����������" ��� ���&������� �������&�� ���� ����� ��������� $���� ������� ���� ������ � � ������� �������� � ������� ���������� �� ������� � ����� �� ������������

Page 84: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

"�� (������ � �������� � 3����� ��� �

B

u

u‖

u⊥

������ ���� )���������� �� ����� u ��������� � � ��� � �� � � �� � ��������� B.

-���� �� �� ������ � ����������������� �� ������� ��� ��������"����%���� � �� ��� � ��� ��������������� � �������� � ������ �� ���0���� ���������� �� �������� �� u� v �= 0 � � �������" ������� ��0������ u ���� ���� �� ��������0��� ������ � �������� � v, ���� �"u = u‖ + u⊥. �� �������*����"

u · v = u‖vu ∧ v = u⊥v

>4�1A

8�������"

�� = � · �+ � ∧ �= u‖v + u⊥v.

>4�DA

��%�� u �� ����� � B �= 0 �� ������� �����:� ��� ������ �� ��� �������� ���������� uB. ��� � ���������� u = u‖ + u⊥, �� ��� ����� ������������� � � ������ � ����� �� ������ B, ,����� 4�3" �����

uB = u‖B+ u⊥B . >4�4A

- �������� ������ �� ����� � ����� %� ���� �� ����" ��� ��! ��� u‖ � B� � ���������� -�� �����" ���� ����� �� ��� � D�3" u‖B � �� ����� ������ ����������� ��� B. 8�� ������� ��� � ����� � >4�1A" �� ����� �������� ������� �� ����� ��� ������ ���

u ·B := u‖B . >4�=A

��� ���� �� ��� �" � ����� � >4�4A �� ��������� ����

uB = u ·B+ u⊥B ,

��� �������������" ����� ��� ������� ��� � ����� � >4�DA" ������ �� ���

u⊥B := u ∧B

��" ���������������"

uB := u ·B+ u ∧B . >4�JA

Page 85: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

���� ������ ���������� � ����� ������ H=

��� �" ��� �� ��� �" � ������� �� ����� ��� ������ ��� ��� ����������������� � ����� �����������

8��� ��������� ����� ���� � �������*���� �� �� ��� � �� uB ��� ������ ����� � >4�JA" ����������� ��� u⊥B � � ������� ��� �F���� ��� ������� �� ����� ������� �� v � �� ����� �������" ������� �������� v =v‖ + αu⊥. (�# �����

v(u⊥B) = (v‖ + αu⊥)u⊥B= v‖u⊥B+ αu⊥u⊥B

= −u⊥v‖B+ αu2⊥B

= u⊥Bv‖ + αu2⊥B .

���" Bv‖ � �� ����� �� ���� �� B, �" ��������" �������� � u⊥. T���"u⊥Bv‖ = u∧(Bv‖) � �� ������� ���� � ���� � �� �������� � �� ������"� ����� ������� �� �������� ����� � �� ������� )��� ������ ��� v(u⊥B)������ � �� ������" ����������������� �� ����� v. 8�������" � �������u⊥B � � ���� ��� �� ������" %� ��� ���� ������� ������������ �� ���������� ��� �� ������� ��� ����� ����� � ���� ������� ��� � ������������� � ������ �� ������� ��������� � � ���� ��� �� �F���� ����8��� ������ ��� � � ���� ��� �� ����� ���� ����� ��� � ���������� ����� �������� � ���" ��� �� u⊥B ����� �� ����� �� ����� �������� � ������� ������� �� ������" �� ��%�" ����� � ����� ����

- �� ��� � �� ������� �� ����� ��� ������ ������ � �� ��� � �� ��������������� �� ������� (� ����" ���� �� ��� ���������" ����� �� ����������� ��������� �� A3, {1; �1, �2, �3; i, j,k; I}, �� ���

i := �3�2 = �3 ∧ �2j := �1�3 = �1 ∧ �3k := �2�1 = �2 ∧ �1I := �1�2�3 = �1 ∧ �2 ∧ �3,

��� � �� ����� �" ��������" ����� �� �������� �� �������� �� A3 ��� ��� ������

���� ����� �� '�������%. 8�� �� ��� �" �� ����������� ��0��� ��� �������� �� �����

R = 〈R〉0 + 〈R〉1 + 〈R〉2 + 〈R〉3

�� ��� 〈R〉0, 〈R〉1, 〈R〉2, 〈R〉3 � � �� ����������� ���" �������" ��������� ���������� �� R, ���������������� ,����" ��������" �� ����� ������&��

Page 86: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

〈〉m : A3 �→ A3, m = 1, 2, 3, ��� ��!�� ��� ��������� ������������

〈R+ S〉m = 〈R〉m + 〈S〉m〈αR〉m = α〈R〉m

>4�KA

���� ����� �F����� ����� α � ����������� R � S. M����� � � :� ����� �������� �" ���������� �����������Rm �� ��! �� 〈R〉m. �� u, v � � �������� B � �� ������" ��� � ��� �� ��� � �����

uv = u · v + u ∧ v = 〈uv〉0 + 〈uv〉2uB = u ·B+ u ∧B = 〈uB〉1 + 〈uB〉3 .

T���"

u · v = 〈uv〉0 � u ·B = 〈uB〉1 .

8�� ���������" �� ����� � ������� ������� �� Rm � Sn ���

Rm · Sn :=

{〈RmSn〉|m−n| �� m,n �= 0.

0 �� m = 0 �� n = 0.

?(�')� 4.3. � ������� ������� ����� ����������� � � � ��������� ������ ���� �� ������� ������� ����� �������� (� ����" ��������� � ������ i � ������� u ��� ������������� �� ���� �� i . ��� � u · i = ui = −iu = −i · u .

,����� �� ��� �������" � �������� ������� :���� �� ������������ ��������� ����� � >4�KA < ���������� < � ���� ��� ��������� � ����� �� �������������� ���� ����" �����#��� 4�3=�

��������%' � ����������. -� ���&�� �� ��������� � ��������0����� ����� ������� �� �������� ����������� ���� ���&�� �������� ������������ � �������� � ����� �������� � ��������� -����" ��!���� ��� � �����u � ������ �� ������ B �� ���� ������� �������������� �� �� ���������" ����

�������� � ����������� ����� ������� � ���������� - ������ ��� ��0�����" �� �������� ������� � ��������" �������� ���������!�� �������������� ��������� �� ��������� � ������������� �� ����� (���� ����" �� u ��� ����� � B � �� ������" �� �����&�� >4�=A � >4�JA ������� ���

u ⊥ B ⇐⇒ u ·B = 0 ⇐⇒ uB = u ∧B

u ‖ B ⇐⇒ u ∧B = 0 ⇐⇒ uB = u ·B .

Page 87: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

���� ������ ���������� � ����� ������ HK

?(�')� 4.-. ��%�� P (1, 2, 1) � B = e1e2+e2e3� .���������� � ����� �−−→PX ·B = 0 �� ������ �� ������������ E��0��"

−−→PXB = [(x− 1)e1 + (y − 2)e2 + (z − 1)e3](e1e2 + e2e3)

= (2− y)e1 + (x − z)e2 + (y − 2)e3 + (x+ z − 2)e1e2e3 .

T���−−→PX ·B = (2 − y)e1 + (x− z)e2 + (y − 2)e3 .

8�������" �� ����������� �� ���� � X(x, y, z) ��� ���������!���� ���x = z � y = 2 . ���� ������� �������������� ��� ���� � ���� ���� ����� ���� �����*����� ; ������������

�������� � ����������� ����� ���������� �� B � C � � ��������" ����0��� ��������� ������� u, v � w, ��� v �������� ��� ������ ����" ���� ���B = u ∧ v = uv � C = v ∧w = vw. ��� �"

BC = (u ∧ v)(v ∧w) = uv2w = v2uw = v2(u ·w + u ∧w) . >4�HA

T���"

B ·C = v2 u ·w .

)���������� � ������� ������ �� ����� � >4�HA ��� ������� [B,C] . ������� ����� �" ����������

BC = B ·C+ [B,C] .

������� ����� �� ������&�� �� ������� ������������ �� �����&�� ��0������ ��� �������� B � C. 8�� �� ���" �� �������� B � C � � ����������� � ������� �� ������� u � w � � �������" ��������"

B ‖ C ⇐⇒ BC = B ·C ⇐⇒ [B,C] = 0 .

8�� ����� ���" �� �������� B � C � � ���������� �� � ������� �� �������u � w � � ����������" ��������"

B ⊥ C ⇐⇒ B ·C = 0 ⇐⇒ BC = [B,C] .

� ������� [B,C] � �� ������ �������� ��� �������� B � C. .��0�����" � ���������� � �0�������� �� ������� ����� �� ����� � >4�HA� �� ������" ��� [B,C] � �� ������� -�� �����"

B[B,C] = B2C− (B ·C)B

� ��� ���� � �� �������� �" ��������" ����� � �� ������� T��� B ·[B,C] = 0 . -���������� �� ������ ��� C · [B,C] = 0 .

� ���� �� [B,C] �������� �� ��� �� �������� � ����� ������ � ������� ���� ��:�� �������� ��� �����#���� 4�3J � 4�3K�

Page 88: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

�����% � #�%�% ���'��%. $�%���� � ��� ������ �� ���� ��������� �� �������� ������ � ������ ������� ������������ �� {e1, e2, e3}� ��� ��� ���������" ��� �" ���� ����� �� ��� � 1�4" � ������ ����������� � ������ ��� i = �3 ∧ �2 = �3�2" j = �1 ∧ �3 = �1�3 � k =�2 ∧ �1 = �2�1 . ����������� ����� �������� ���� � ���� ������

ij = k = −ji

jk = i = −kj

ki = j = −ik

i2 = j2 = k2 = −1 .

>4�IA

� ��#

i · j = j · k = k · i = 0

‖i‖2 = ‖j‖2 = ‖k‖2 = 1 .

������0�� ��# ��� � ���%���� {i, j, k} � ��������� �" ��������" ��� ������� � ������ ��� ��������" �����#��� 4�I� �� ���������" � ������ � ����������� � ���� � ������ � �� ������ ��� ��������

- ������ ��� �������" � �������������� ��� �������� i, j, k ���������� �� �������� � ������� ������� �� �������� �� ����� ����������� (� ����"��%�� = αi + βj+ γk � ��%�� � = α′i+ β′j+ γ′k, ��� �

B ·C = −(αα′ + ββ′ + γγ′) .

�� ���������" � ����� �� �� ������ ���� ��� ����� ��� ���� �� ��������� 8��������5

‖B‖2 = −B2 = −B ·B = α2 + β2 + γ2 . >4�32A

-� ����������&�� ������ ������� � � ������������ �������� ;� ���� ������0��������� ���� ������� �" ��� ����" ��� � ���������

$���� ����������� � �������� ����� ���������������5 �� B = u ∧ v,���������� u = u1e1 + u2e2 + u3e3 � v = v1e1 + v2e2 + v3e3. ��� �"

u1 = u2e2 + u3e3 v1 = v2e2 + v3e3

u2 = u1e1 + u3e3 v2 = v1e1 + v3e3

u3 = u1e1 + u2e2 v3 = v1e1 + v2e2

� � �� ���%��&�� �� u � v ��� ����� ��� �������� i, j � k, ����������������

Page 89: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

���� ������ ���������� � ����� ������ HI

+� ����� ������ ��� �� ����� ���

u ∧ v = αi+ βj+ γk

u1 ∧ v1 = αi

u2 ∧ v2 = βj

u3 ∧ v3 = γk .

T���" �� ��� ������� α, β � γ � �" � ����� �� ����" �� ����� ��� ���%��&������������ �� ����������� �� ���� u � v ��� �����" ���� � ���� ��������������� ��" ������������ ��� i, j � k. 8�������" � ����� � >4�32A ������� ���� #����� � 0��� � �� ����������� ' ���� � ���� �� #������ ��0���� � ���� ���$��7�� ���������� ��� ����� ���������� ���� ���� ����:����� ���� E������ �� �� 6�� � �� ������ ������ ��� ��� �������α, β � γ �������� �� ����� � >1�=A" ��� � � ����������� �����

?(�')� 4.9. ���������� � ���:��� �� ���� �������� �������� �� ������ ���������� ��������� �� �������� B = 5i+ 3j− 2k � C = 2i+ j− k�8��� ��������� � �������� �� ���:��� ���� ������ � ������� ��������������� ��� � ����� � ����� ��������� (� ����"

BC = (5i+ 3j− 2k)(2i+ j− k)

= −10− 3− 2 + 5ij− 5ik+ 6ji− jk− 4ki− kj

= −15 + j− k .

8�������" [B,C] = j− k .

����% ��'=���% �' ������%. - ������������������ �� ��0���� ��������� E ��! ��� ��� � ������ ��� ���������� ��%� ����������������%� I �� ������� �������� ����� ������� .�������� ��� � ����� �� ���������� � � ����� ����������� ��� ������� �� �� ���� ���������������-���������� � �� � �� ������� I ��� ������� ��� ������� � ��� �������������%� u �� �����" ��� � ������� ������� v � w ���������� ����� �� � � u, ������� I = u ∧ v ∧w = uvw. 8������� ������� � ������� �� I ��� �� �����5

I2 = (uvw)2 = −u2v2w2 = −(‖u‖‖v‖‖w‖)2 = −‖I‖2 = −1 .

-����" ��������� � ������� �� u ��� I" ���0��

uI = u(u ∧ v ∧w) = u(v ∧w ∧ u) = u(vwu) = (uvw)u = Iu .

T���" I ������ ��� ����� �� ������� �" �� �������*����" ����� ��������� ����� �� ������������ .���!���� � ����� �����

uI = u(uvw) = u2(vw) = u2(v ∧w) = u · I .

Page 90: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

- �������� �������� ������ ��� uI � �� ������ �������� �� ����� u.-����������" �� B = u ∧ v � �� ������" ������� ��������� �� ����� w�������� �� ���� �� B �� ��� I = u ∧ v ∧w = Bw. 8�������"

BI = B2w = B · I .

T���" BI � �� ����� �������� �� ������ B. ������0�� ��# ��� � ������0��� � ��� I ��! ������������ � ���� ����� �� ������ ��� :� � �������� �����0������ ���� I2 = −1, ���� ����������*���� � ���#���� � ��� �������� � ��������� � ��� −I. $�%���� �� ����� ����5

−(uI) · (vI) = −〈uIvI〉0 = 〈uv〉0 = u · v .

)��� �" � ��������� � �������� � ������� ������� � ����� �� �� ���� �"��������" �������� �������

?(�')� 4.4. ��%�� A � B ���� �� ������ 4�1" ����������� � ����� �−−→AX ·B = 0 ��� � ���#�� �� ������������ (� ���� � ����� BI � ��������� B �" ����������������" ������ �

−−→AX . 8�������" �� ����&�� ����������

� �−−→AX = tBI, �� ��� � ���S����� t � �� �F���� ����8��� �� ��������� � ���� � �� �����������" ���� ������� �� ������5

BI = −e1 − e3 ,

T���" �� �����������" X(x, y, z) � ���� ���

x = 1− t

y = 2

z = 1− t .

?��� ��� � ���%���� ���� � � ��� ���� �������� ��� A � ������������ ������ �� B . ������� ��� � ���� � ����� ��������������

/��������� � ����� ������������ ��%� β := {e1, e2, e3} ��� ��� ����������� V � I := �1�2�3 �� �������� ��������� �� β := {e1, e2, e3} � �������� ���������" ��� � I = ± e1e2e3, �� ��� � ���� ������� �� �� ��������� �� � � � ����� �������� �� 8�������" � �������� I �� ���������� ������� ������ ��� �F����� ����� �" ��� ����" � �:����� �� ������0��������������� � ������� ���������� ��� �������� �� ��� β ��� I �����

�1I = −i, �2I = −j �3I = −k

�" ��������������"

iI = e1, jI = e2, iI = e3 .

Page 91: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

���� ���������" ���������� � ��������� I3

8�������" � �������� �� ������� �� �������� I ��� �� ������� �� ��������! �� ������ �������� ��� ���� � ���� �������� �� ����� ��� ��������� �����������

?(�')� 4.:. ������� � ���������� ��"� � �����%������ ��%� β ={v1 ,v2 v3} ��� ��� �� V. �������� �� ��� ��������� � ������ ��β ������ �� �������� ���������!���� ��� ������� ����������� ,������e1 = v1/‖v1‖ . ��%� i = v1 ∧ v2/‖v1 ∧ v2‖ , ��� �" e2 = e1i � e3 = iI, ����� � �������� I � ����:��� ��� � ����� �������� � �� v1 ∧ v2 ∧ v3 .

"�� &��/� )��4 5���������� ( �/� )��

- ����� ���������� ����� ���� �������� ������ ��� �F���� �����0���" ��������W����� � ��������� -����" �� ��� �� � ������� ��*� ���������������� ����������� ����� �� ����� �� ����� �� ������ ������ ��� ���0���&��� -�� �����" ����* �����������&�� ����������� ���� ����� �������������������� ������������ ������ ��� ���� ������������ ���������

&E'��% �')��(%. ��%�� I �� �������� �������� � R[I] = {α+βI | α, β∈ R}. ���� I2 = −1, � ���%���� R[I] � ��� ����� ��� �F����� ������������� ����� ��������� ��� �� ������ R[i], ��� ��! ��� ��� ������� �����0�����" � �������� I, ������ ��� ����� �� �����������" �������� � ������ i������ ���������� ��� �� ������� �� ��� ������� �����

L��=����%. ��%�� e1, e3, e3 ������� ������������ /� ����� ��� ij = k,����� � >4�IA� T���"

i2 = j2 = k2 = ijk = −1 .

����� � � ����&�� ��� ���������!�� � 0����� �� #���'������ �� N�������

���)��(%. ��%� u �� ����� �������� �������" ��� u2 = 1, � R[u] ={α+ βu |α, β ∈ R}. ��%�� Z = α+ βu � W = δ + γu, ��� �

Z+W = (α+ δ) + (β + γ)u

ZW = (αδ + βγ) + (αγ + βδ)u .>4�33A

8�������" R[u] � ��� ������� ���������� �� ����� ����������� -� ���0���&�� �� >4�33A ���������!�� ��� ��������� ������� ������� ���:��������� 0����� �� �1����� ���������

Page 92: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

"� � ��� (�����

?���� ��� � ���������� �� ������ ����&�� ����� ������" ����� � �����"���� ��� ������" ����S����� � S������

?F��5I�% )���'=���� � ����%���� �� ��� ������B���� �� �')� � �'� ���.� ?� �������� �� ����� � �� ����� � �� ��� ��������������� ��� ���� ������ ��������� �� ����" � � �� ����" �� �������"��� �� ������ ���� �������� 8�� ���� ��! �" � ����� ����� � ������������ ����� �� ������5

−−→AX = t

−−→AB >4�31A

�� ��� A � B � � �� ������ ������ 8������ ������� � ���S����� t ���������� � � ���� ��� ����� � ����������

d ∧−−→AX = 0 >4�3DA

�� ��� d =−−→AB. $���� ����� �� ������ �� ���� ���� �������� �����������

��� ����� � �� ��� ���� ���:������ �� �� ���� ������ � � ����� � �� ������� ������������ � ��� ?� ������" � ������ � � �� ����� ���������" �����! ��� � ����� � �� ��� ���� � � ��������� � ����� � �� ����� ������0������ � ��" ���� ���� � ��������:��� ��� ������ 8������ ���������������� ����������� ��� ����� � ���������� �� ��� ���� ���:������ ���� ���� ������" ������� A � �� ���� α ������������ � ��� 8��� �������������� �� �� ������ � �0��� D ��� ������������� �� α :

D · −−→AX = 0

-���� ���� �� ����" ��� ����� � d �� ��� ���� � ��� ����� � ����� ��� D ��� � ����������� ��� D ∝ dI � d ∝ DI.

��%J���� �� �' )� � �'� ���. -���� ���� �� ���� �� ����0�&�� >4�31A � >4�3DA" � ������

dist(P, r) =‖d ∧ −→

AP‖‖d‖ .

� ���� ���� � ����� �� ����S���� �� �� ����� P ; ���� r ����������� �������� A ��� ����� ����� � d.

Page 93: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

���� ����� � ������ ID

K���� ���� ���%. �� �� ����" ���� ����� � �0������� ����������������� S������ ?� ������ ���� ������ � �� ���� � � �� ���� �� � �������� �� ����� �� ������������ 8���������" ��������" �� ��� � ��� ������������� S���� ����� ���� ����� ��������� ��%�� r � s ���� ����� ��������" ���������� ����� �� s, �����0�� �� ���� r′ ������ � r. � S���� ����� r′ � s� � ����� ���� ������� ���� r′ ����� �������#��� (� ��0�� � S���� ������� ����� r � s ��� ����� � S���� ����� ��� �� r′ � s. -� ������� �������������� � �� S���� ����� ����� ������� �� ������� �� �� ����� r � s�*� ������� ����� � a � b, ���������������" � θ � � ����� S���� ����� ������ ��

cos(θ) =|a · b|‖a‖ ‖b‖

���������������" �� �� ����� � � � � ����������"

tan(θ) =‖a ∧ b‖|a · b| .

�������������" �� ������� � � ������ ����������������� �� �� ����� ������������� �� � ��

�%�5I�% �������% ���� ���% ���%. - ������� � ���� ���� �������0��� �� ����#���� �����&�� �� ���� ����� �� ������" � ������ ��� ����� ������ ����� � ��� �� ����������" � ����:���� �� ���� �� ����" ����������:� �� �F���� ����� �� �����" �� ��! � �� ������������ �� ����� ��������� �� ����� ����������� �������0�� ��� ����� ���������� ���� ����� ���������� ��� � ������� �����&�� � � ����������� (������� � ������� �� ����� ������#���� ����� ���� �����#��� ���� � ������

?F��5I�% � )���. +� ���� �� ����������� ��� ��*� ������ � �0���������" ������� A, B � C. +� ����� X �������� � ���� ���� �� �������� �� �� �������

−−→AB,

−→AC �

−−→AX � � ���������� �����������" ���� �"

������� �F���� ����� m � n ���� ���

−−→AX = m

−−→AB + n

−→AC >4�34A

��� � � ����� � ����������� �� ����� - ������ �� ����" � ����� ������������ � �� ���� ��������� � ����" ��� � � � � ����� ���� � ���������� �� ���� ��� �� �� ����������� �����" ������� P, �������� �� � � � ��������" ��� ��! ��� ���� ���� � ���������� ������ �������

−−→AX = m

−−→AB+n

−→AC

Page 94: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

���� m � n. 8��� ������� �� ���������m � n �� ����� �" � �� ������ ������� ������� ����"� �� ���� D =

−−→AB ∧−→

AC. - ����� � >4�34A � ���������� �

D ∧−−→AX = 0

��� � � ����� � ���������� �� ����� - ������ �� ��� ���� �� ����"������ ��!�� ���:������ �� ����� A �� ���� � ��� ���� ������������� ��� ?���� ���� ����� � ����#�� �������� ������������� � ����� � ������� �� n � � ����� ����� � �� ���� ������������ �� ����" ��� �

n · −−→AX = 0

� � ����� � ���������� �� ���� �� ����� ��

K���� ���� ��% )���%. ��%�� α � β ���� ����� ��� ��������0����� � A � B, ���������������� �� ��� � � ������� �� �������������� ��0�� � S���� ����� ��� ���� ����� !���� ���� ���������" ��� �� ��0��������� ������� ��� ����" ������� l� ��%� P �� ����� ������� ��l; �� ���� �������� ��� P � �������� � l, �� �� �� ����" ������� r,�� α � ����� ����" ������� s, �� β. �� S����� �������� ��� ����� ��0��� ��������� �� P. (� ��0�� � S���� ����� α � β ���� ����� � S��������� �� ����� r � s. ��%�� u = AI � v = BI. � ����� u � ���������� ������ A �" ��������" �������� ; ���� r. -����������" ������0����� � ����� v � �������� ; ���� s. ��%� θ � S���� ����� r � s, ��� �

α

B

A

D

h

������ ���� )���$�� �� � ���� ��� ��

cos(θ) =|u · v|‖u‖‖v‖ =

|A ·B|‖A‖‖B‖

��"���������������"

tan(θ) =‖u ∧ v‖|u · v| =

‖[A,B]‖|A ·B|

�� �� ����� � � � � �����������8��� � ������� �������� �� F��������� �" ��%� �����#��� 4�1D�

��%J���� �� �' )� � �')���. - ����� � �� ������ ������S���� �� �� ����� � �� ���� ������� ;���� �� �� ����� ; �������� ��%�� P �� ����� � α ��

Page 95: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

���� ����� � ������ I=

���� ����������� ��� ����� A � ��� ������0����� � D. - ����� ���������� D ∧ −→

AP � ����� �� �������#���� ����������� ���−→AP � ���0

���� ����������� ������������� �� ������ D �� ���� α. ��� � ��0��� �� �� ����������� � � ������� �� ��� ����� h ��� ���� �� ������� E������ ���� ��� � ����������� D, ����� h = dist(P,α). T���

‖D ∧ −→AP‖ = ‖D‖h = ‖D‖ dist(P,α). �� ��%�"

dist(P,α) =‖D ∧ −→

AP‖‖D‖

��� � ������������ ������ ; ������ �� ����S���� �� �� ����� ; ��������

B

A

s

r

n

m

γα

B′

A′

β

������ ���� )���$�� ���� �� � ��� ������� ��

��%J���� ���� ���% ���%. ?������� ������� � ������������ ������� ��������" ���� �" ����� � �0������� ��� � � �� ������������?���� ���� � �������� �� ����S��������� ����� �����0�� ��������� ��0%�� r � s ����� �������� �������0����� ��� ������ A, B � �������0����� � a, b, ���������������� ��%�β � ���� ����������� ��� �����B � ��� ������ a ∧ b. ���� ������ B �������� �� ���� β �� ����� b ��� ������������� ���������" � ���� s ���� ������������������� �� β. �����������" ����� ����� b ���� ������������ ������ β, � ���� r � � ���������� ���� ����" ���� ���� ���������" ������������������� ������� ���" ��������!���� � :������� �� ��� �� ����� r � s� � ��������� ��%�� α � γ ����� �������� �� ����� r � s, ���������������" ����������� �� ���� β. ���� � � ����������" �� ����� α ���������� � ����β ������� ��� ����" ������� m. -� ����� r � m � � �������" ���� �������������" ��� ������� �� �� ����� ����" ��� �� �������������� �" ���0�������������" r ����� �� ����� ����� ��� � ���� β, ����������� ����%� ����������� -� ����� s � m � � � � �������" ���� s ������ � m � m������ � r ��������� s ������ �m, ��������!���� ���� �� ��! � :��������� ������ � ����� �� ����� r � s. T���" m � s � � ����� � �0�������" ���������� ����� ���� β �" ��������" �� �����������" ������� �� ����� B′. ��%�n � ���� ��� ������ � ����� B′ � � �������� �� ���� β. - ���� n ����

Page 96: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

������� �� ���� α, ���� ���� ��������� ���������� ���� ����� ���������� ������ β �������� � ���� m. ���� m � ������ � r � n � ������������ �m, ����� ��� n ����������" �����������������" � ���� r �� �� �����" ��0����� A′. ���� � �������� A′B′ � ������������ � ���� �� �����" ���0��dist(A′, B′) ≤ dist(X,B′) ≤ dist(X,Y ), ��������� ��� ��%�� �� ������ X �Y ��� ����� r � s, ���������������� (� ��0�� � ����S���� ����� �� ����� r � s��� dist(r, s) = dist(A′, B′). ���� �� ����� m � r � � ������� � �� �����α � β � � ����������" ���0��

dist(A,β) = dist(A′, B′) = dist(r, s) .

8�������" ������ � ������ �� ����S���� ����� �� ����� � �� ���� ���D = a ∧ b, ����0��

dist(r, s) =‖D ∧ −−→

AB‖‖D‖ .

�� �� ����� � � �������" �� ��0�� dist(r, s) = dist(A, s). �� ��� � � � �������� ��� ��������" ��� � ��� �� ����������� � �� ��0�� dist(r, s) = 0.?���� F���� ����" � ������ ����� �������� ������ ������ � �������������� ������ ����� �� ������ �� ����S���� ����� �� ����� � ��� ���� � ������� ���������� ���� � ����S���� ����� ������

?(�')� 4.>. ��%�� r � s �� ����� ������������ ���� ������ A(2, 0,−5)� B(1,−6,−3) � �������0����� � a = e1 � b = −2e2 + e3 , ����������������8��� ������ � ����S���� ����� r � s ���������� ��

D = a ∧ b = e1 ∧ (−2e2 + e3) = −2e1 ∧ e2 + e1 ∧ e3 ,

D ∧ −−→AB = (−2e1 ∧ e2 + e1 ∧ e3) ∧ (−e1 − 6e2 + 2e3)

= 2e1 ∧ e2 ∧ e3 .

8�������"

dist(r, s) =‖D ∧ −−→

AB‖‖D‖ =

2√5.

����%��5, �� �'� ��� �' �'� )���. �� ��� ���� � �� ������� � �� ����� � ����" ���� �" � ���� � � ���� ������� �� ���� � ��� ������� � ��" � ��������� � ����� ��� � �� ������ 8������ �������������� �����" � ������ �� ���� ����� �� ����� (������ ��� � ���� ��������������� ��� ����� A � ��� ����� ����� � d � � ���� ���� �����������

Page 97: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

���� ����� � ������ IK

D

A

d

B

P

������ ���� +��������� �� � ��� ��� �� ��

��� ����� B � ��� ������ ����0� � D. - ����� � �� ������ ������� ������ ������ �� ����� �� ��0������� � ����� ���� ����� �� ������� �� ����� P �������� ��������0������ ; ���� � �� ���� �����" ��0� �

−→AP∧d = 0 �

−−→BP∧D = 0. ��� �

��� �� ���" ������ �� �F���� ���t0 �� ���

−→AP = t0d . >4�3=A

8�� ����� ���"

−−→BP =

−−→BA+

−→AP =

−−→BA+ t0d .

T���" �����������−−→BP �� ����� � ���������� �� ����" ���0��

(−−→BA+ t0d) ∧D = 0

� ��������� ���� t0 � ����������� �� ����� � >4�3=A" ����0��

−→AP =

−−→AB ∧D

d ∧Dd , >4�3JA

��� ��������� � ����� � �� ����� P � ������ �� ����� A. ?��� ��� � ��������d ∧D � � �0��� �� � ������� �� � ���� � � ���� �� ��������� �� ����� ������

?(�')� 4./. ��%�� r � π � ���� � � ���� ������������ ���� ������A(3, 4,−3), B(2, 3, 1) � ���� ������� ����� � d = −e1 + 2e2 � ����� n =e1 + e2 + e3 , ���������������� (������������� � ��������� � �� r � π . ������� D = nI � �������� �� ����� n" ��� ������ ������������� �� π .8������� ��� ������5

−−→AB ∧D = (−e1 − e2 + 4e3) ∧ (e2 ∧ e3 − e1 ∧ e3 + e1 ∧ e2)

= 4e1 ∧ e2 ∧ e3 = 4I

d ∧D = (−e1 + 2e2) ∧ (e2 ∧ e3 − e1 ∧ e3 + e1 ∧ e2)

= e1 ∧ e2 ∧ e3 = I .

����� ���

−−→AB ∧D

d ∧D=

4I

I= 4 .

Page 98: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

T���"−→AP = −4e1 + 8e2 �" ��������" P (−1, 12,−3). ?��� ��� �� ������

��������� ������ ����� ��� �� ������� �� ����������� � � ��%� �������0���

d

P

B

A

������ ���� +��������� �� ���� �� ���

����%��5, �� ��% )���%.8��� ������� ���� ���� �" ������0����� ���� ���� � ��������� � ������ ������ ��%�� α � β ���� ��0���" �� ����� � ����" ���������0��� ��� ������ A, B � ��������0����� � A, B, ���������������� -��������� � ����� α � β � ��� ����@��%� r ���� ����� 8��� ���� r � ��0 ������ ���� ��� ����� � � �� ������ ������� ��%�

a = [A,B]I .

������ ��� a � ������������ � [A,B] �" ��������" ������ � ���� ���������� A � B . T��� a � ��� ����� � �� r . .����" �������� ���� ������� P ������� �� r� ���� � ����� a � ������ �� ������ A, ���0�� ���� ����� d := aA ������ ������������� �� ���� α. ���� d � �������� �a � � F���� � � ����� � �� ���� r, �����0�� ��� � ���� s ����������� �������� A � ��� ����� ����� � d ���������� � ���� β < � � ���� r < �� ��F���� �����" ������� P, ����" ���� ���������" �� ����� ������ �������������8�������" � ������ �� ����!��� � �� ��������� � ��������� � ����� ������� � �� ����@ ������ ���� %� �������5

−→AP =

−−→AB ∧B

d ∧Bd.

$���� ���������� � ������� ����� �� ����� � �����5 ��� �� ���"

2d ∧B = dB+Bd = aAB+BaA .

���� � ����� a � ������ ��� �������� A � B, �� ���������� ��� ������ ��������� T���"

2d ∧B = (AB−BA)a = 2 [A,B]2I ;

��� ����� ���"

d = aA = [A,B]IA ;

Page 99: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

���� ����� � ������ II

���� ���� �� ��������−−→AB ∧ B � d ∧ B � � ����������" ��� �������

��� ����� �� ����������� ���������" ��������" ������� ������� ���" ������� ��� ��������0����� � A � B, � ����� P �� ����!��� � ������ ������� A ���

−→AP =

−−→AB ∧B

[A,B]A .

?(�')� 4.@. (������������� �� ����������� ����������� ��� ����� ������������ ���� � ���� ����������� ��� �������� � �� ���� ����� ��������%�� π1 � π2 ����� ������������ ���� ������ A(1, 0, 1), B(0, 1, 1) � ������������ A = 2e1e2 + e2e3 , B = e1e3 + e2e1 , ���������������� - ����� ��� ���� � ���� ��� [A,B]I . ����

AB = (2e1e2 + e2e3)(e1e3 + e2e1)

= 2− 2e2e3 + e1e2 − e3e1 ,

� ����� � ��������� �

[A,B]I = (−2e2e3 + e1e2 − e3e1)e1e2e3

= 2e1 + e2 − e3.

8��� ���������� �� ����� �� ���� ���������� ��−−→AB ∧B = (−e1 + e2) ∧ (e1e3 + e2e1) = −I−−→AB ∧B

[A,B]= − [A,B]

‖[A,B]‖2 (−I)

=1

6(2e1 + e2 − e3) .

����� ���

−→AP =

1

6(2e1 + e2 − e3)(2e1e2 + e2e3)

=1

6(−2e1 + 5e2 + e3) .

T���" P (13 ,56 ,

76 )� 8������� ��� ����� � ����������� ���� � ���� ���������

x =1

3+ 2t

y =5

6+ t

z =7

6− t .

Page 100: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

"�" � 0 )1 � �����1 �

- ����� ���������� ������� ����������� �� ��L��&�� �� ����� �� ������ � �� �����&�� �� ������� ����� ������ � ��������

!�C�(I�% �' �� �� �' )���. ��������� �� ������ ���������������� $���� �� ��� � �������� ��� � ����� � = − I � �� ����� ���������������� �� ���� ������ ��� � (��� �� ����� � ������� �����

� = �2� = �(��) = �(� · �+ � ∧ �) = �(� · �) + �(� ∧ �).

���������� � ����� � �������� � ������ ����� ��� ���� ��������� ��� �|| =�(�·�) � �⊥ = �(�∧�), �� ��%�" �� ������� �� F���� ����� �� ����*������ ��������� ����� � � ���������� �� ���%��&�� ������� � ���������� ������� �� 8�������" ������� ��� ��� � ��L�� � �� � � ���� ��� �����

�′ = �⊥ − �||= �(� ∧ �)− �(� · �)= −(� · �)�− (� ∧ �)�= −(� · �+ � ∧ �)�= −���.

$���� ���� ��� ��� � ��L�� � �������� S����� ����� �������� .�������"

(���) · (���) = 1

2(������+ ������)

=1

2(����+ ����)

= �1

2(��+ ��)�

= � · �.

!�5I�%. +�� ����� � R �� ������������ ����������� ����0�� ��0���� � ���� �� ��� �� ������" ��� ������� � � ��������� �� S���� ������� � θ" ,����� 4�J� 8�������" ������� ������� ��� � ���:�������� ���������&�� �� ���� � �� ������ ���� ������������� �� �����&�� �� �������(� ����" ���� ������� �����" � ���������� ���� ��� � ������ ��%�� m � n���� ������� ��������� �� ���� �� ����� � �� R � ��%� S���� ��%� θ/2. E������ ���������� ������� � ��� � ���������� �������� �� ���� �� ����� ��� �� ����� u � ������� �� ��� ����������� � u �→ nmumn" ���� %������� ��� �� ����������� � �����! ��� ����� � �� �� S���� ���� ��

Page 101: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

���� �� ���!�� � �����!�� 323

���� �� S���� ����� m � n �� ������� �� m ���� n, ��� �� ����� � >D�=A�8������� ������� ��� � ���������� �������� �� ���� ������ ��� m∧n� ���� ��� (w · u)w, �� ��� w = −(m ∧ n)I . -����

nm[(w · u)w

]mn = (w · u)nm

[− (m ∧ n)I

]mn

= −(w · u)nm1

2(mn− nm)mnI

= −(w · u)12(nmmn− nmnm)mnI

= −(w · u)12(mn− nm)I

= −(w · u)(m ∧ n)I

= (w · u)w.

u

Ru‖

Ru

u⊥

θ2

n

u‖

m

������ ���� ��� ��� �� ����� u � ������ ���� ���������� � � �� � �� m ∧ n.

8�������" �� �����&�� �� ������� � ������������� ���������� ������� ����� ��� �� ���� R(u) =mnunm�

- ������� � ����� ���� �� ��0���&�� ������� �������" ���� E,�� ���������� �������� ���� ��0�������!�� � �� �����&�� ���:�0���� ���� E������ �� ������0(��������5 /�� �����"� ' ����� ��������"� � ��� ��.��7���� ����� � ����� ���������� � �������� � ���� ��� ������ � ������"�& ������ >3IJJA �

?(�')� 4.A. (��� ���� ������� ��������� u � v ������������� ��� ����� ���� ��� u ���� v� 8��� ���� ���� ��������� ���� ������� �� ���� ��������� u � v ��%� � S���� ��������� ��%� ������ �� S���� ������� ��� �������� � � ������� ��������� ��� ���� ���� �� �������! �� S���� ���������� ���" ��� � �� ��

n =u+ v

‖u+ v‖ .

��� ���� � ����� � ����%��� � ���� ���

nv =u+ v

‖u+ v‖v

=1 + uv√

2(1 + u · v).

Page 102: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

.�������"

Ru = vnunv

=1 + vu√

2(1 + u · v)u

1 + uv√2(1 + u · v)

=u+ v√

2(1 + u · v)1 + uv√2(1 + u · v)

=2v + u+ vuv

2(1 + u · v)

=2v + v(vu+ uv)

2(1 + u · v)

=v

1 + u · v(1 +

vu+ uv

2

)= v .

"�# �� ������� �����

?���� ��� � �����������" ��� ���� �� ������" � ����� �� �#����� ����������� �� ����� ����������5 �� �����&�� �� ���V� ���� � �����0���������� ��� � ��������� �� ��� F���� ����� � ��� ���� ��� �������������������� �� ���� ������ ������ ? � � ����� ������ � ���������� ����0:�� ��� ��������� �#����� ��������� ��� �����&��" ����� � ����� �����0����� ������ ��!�� ������0�� ���� �������� ���� ��������� ����� ������������ � ����� ������� �������� � ������� ���� � ������ ���������� �� ����0�&�� �� ��������������� ������ �� �������� ���������!���� ��� ���������������� 8��� ���� ��� � � ���������� ���� ���:�������� ���� ����0������� � �� ����&�� � ������ �� �������" ��� �� ���:��������� �������� ,#����" ��� ����� � ����� ��������� �� ���������� ������������ ��0������� ���� ��������� �� �����&�� ������ � ��� ��� ����� �� ���� ��������#����

M����� �������� �� �����������" �� ��� �� ��������������� � � ���0������ ��� �� ���%���� �� ���� �����&��� �� �������� ��� ���� �� ������������ ������� � � ����������� ������ 4 �����&��5

∇ · ? = 4πρ >4�3KA

∇ · = 0 >4�3HA

∇×? = −1

c

∂ ∂t

>4�3IA

∇× =4π

c�+

1

c

∂?∂t, >4�12A

Page 103: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

���� ���������������� 32D

�� ��� ? � ����� �������" � � ����� ���������" ρ � � ��������� ������� �������" � � ��������� �� �������� ������� ��� � c � ��������� �� �!�� ������ - �� ��� � �� �������� ∇ ���� � �������

� )����� ∇. -� �� ���&�� ��������� � �������� ∇ ��� � ���������0��� ��� ���� �� �� ������� �� �� ����������� ����������� {O, e1, e2, e3}���� � ������ E. ����� ���� �������� ����� ��� �� ���� ��� �����*����� ����������� N������� � ���!9Q >3IH4A" ������� ��� ����� ��!*0� ������� �� ���0���������� �� ����� ������ �� ���� ������ ����#����� 8������"��������" ��� ������� � �� ����� P (x, y, z) �� E ���������0:� �� ��������0���� ?���� ��������" ����������� �� ���������� ��������� ��������" ���� ���������" ��� ∂

∂x ,∂∂y ,

∂∂z . � �������� ∇ ���� �� ���� �� ���� � ��� �� ���0

��� ��������� ��������� ; ��������� � ��� ������� �� ����� �����������-����" ����������" ����������

∇ := e1∂

∂x+ e2

∂y+ e3

∂z

�" �� �������" ����������� � ����� ���� �� ����� ������� �� �������������� (���� ����" ���� ��� ���� � f : E → R, �� ��0��

∇f := e1∂f

∂x+ e2

∂f

∂y+ e3

∂f

∂z

��� � �� ����� �� ������� ���:����� ���� �������� �� ���� � f. 8����� ����� � �������" ���� �" �� ������ � ψ : E → V, �������!������ �������������� �������������� ����� �� �� ��� � ��������∇. 8��� ���� �������0��ψ �� ������� �� �����������" ���� �" ψ = ψ1e1 + ψ2e2 + ψ2e2 � �� ��0��

∇ · ψ :=∂ψ1

∂x+∂ψ2

∂y+∂ψ3

∂z.

∇ ∧ ψ := (∂ψ2

∂z− ∂ψ3

∂y)i + (

∂ψ3

∂x− ∂ψ1

∂z)j+ (

∂ψ1

∂y− ∂ψ2

∂x)k .

��� ����� �� ���&��" ������� ������� ���� �� ��� ���� � �������� ∇ ������� ������ �� �������5

∇ψ = ∇ · ψ +∇ ∧ ψ .

������ ��� - ������ ����� �������� ��� ��������� � ����� �� �������

∇ψ =(�1

∂x+ �2

∂y+ �3

∂z

)(ψ1�1 + ψ2�2 + ψ3�3

).

Page 104: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

-� ����������� divψ := ∇·ψ � rotψ = ∇×ψ := −(∇∧ψ)I � � ���:���������� ������*���� � ��������� �� ����� ψ" ����������������

���� ���������" �� : E → A3 ��� �� ����� �� ����������� �����0����" ���� �" ��� ������ � ��� � ���� ����� �� E ������� �� ������� ������� ���������� A3, �� ��0��

∇A = �1∂A

∂x+ �2

∂A

∂y+ �3

∂A

∂z.

��� ����� �� ���&�� � �������� ∇ ������ ����� �� ������������ �� ��������

% �F��5I�% �� ��(M��� �� ;���#�� <�'=����. -� �� ���&�� ������� ����� ���������� �� �������� �� ����� ���������� �������� ����0��� ����������� �� �����&�� �� ���V� �� ��� F���� ����� �� 8������������������� � ����� �>4�3IA5

∇ ∧E = (∇×E)I = −1

c

∂t( I)

�� ��� BI ����� � � ����� �� �������� ��� ����������� �� ����� ���0������� ������� � �������� ����� ��� � ����� � >4�3KA �����

∇E = (4πρ− 1

c

∂t

( I)

). >4�13A

.���� ����� ���������� � �������� ��� �����&�� �� ���� � �� I� ��� �������� ���� ������

∇( I) = (∇ )I = (∇ · )I+ (∇ ∧ )I = −∇× .

T���" ������0�� �� �����&�� >4�3HA � >4�12A ���0��

∇( I) = −(4πc�+

1

c

∂E

∂t

). >4�11A

,��������" �������0�� �� �����&�� >4�13A � >4�11A ���0��

∇(E+ I) +1

c

∂t(E+ I) = 4π(ρ− �

c) .

��" ���������������"

(∇+1

c

∂t)(E+ I) = 4π(ρ− �

c) .

-� �����&�� �� ���V� ���� � ��������������� ��� ����� ��������0����� ��� ���� �� ����� ���������� ��� ������ ��� ����� � ���������������� � ���������

Page 105: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

���� ���������������� 32=

�) ��*����

4�3� ��%�� u �� ����� � B �� ������� ������ ��� �� u � �������� ������ �� B, ��� �5

>�A uB = Bu;

>A (uB)2 = −‖u ∧B‖2.

4�1� ��%� B = v ∧w, ����:� �� ����������� ������� � ���������� �� uB�� ������ �� u, v � w.

4�D� ��%�� v �� ����� � B �� ������� ������ ��� ���� �� �������������������5

>�A � · = 12 (� − �) = − · � ;

>A � ∧ = 12 (� + �) = ∧ � .

4�4� (�������� ��������������� ����� �� ����&�� �� ����� �

−−→AXB+B

−−→XA = 0 .

4�=� (�������� �� ����������� ����������� �� ����&�� ���� � ������� �������&�� { −−→

AX ∧B = 0;

(−−→AX)2 = 1 .

(������� � ���%���� ���� � ����������������

4�J� (�������� � �������� � ��� ����� ������������ ���� ������A(0, 1, 0),B(1, 0, 1), C(0, 2, 3) � �������� A = i+ j+k , B = i+k , C = −j+k�

4�K� (������� � ���%���� ���� � �� ������� �� �����&��{x ∧A = 0

x ∧B = 0 ,

�� ��� A,B � � ���������

4�H� ����� � ����� �� ��������� OABC" ������ ��� OA, OB, OC����� ��������������� 2, 3, 4 � �� S�����AOB, BOC, COA�������������������� π

6 ,π4 ,

π3 �

4�I� ������ ��� {i, j, k} � ��� ��� ��������� ���� � ������ ��� �����0����

Page 106: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

4�32� ��%�� π � ���� ����������� ��� A(3,−1,−2) � � ����� ����� n =5e1 − 3e2 + 2e3@ r � s �� ����� ������������ ���� ������ B(0, 5,−1),C(4, 2, 1) � ������� �����&�� d1 = e3, d2 = e1 + 2e2 − e3 , ������0���������@ � �� ����� P (2, 3, 1)� - �������� ��� �%���� �� ������������� �� ����� �����5

>�A ����� � ����S���� ����� � ����� P � � ���� π ;

>A ����� � ����S���� ����� �� ����� r � s ;

>�A (�������� � ����� �� �������� � �� ���� r ��� � ���� π .

4�33� ������ ���

α+ βi+ δj+ γk = (α+ βi) + (δ + γi)j .

4�31� ��%� T �� ��������� ������ ���

T ·T = T2 = −‖T‖2 .

4�3D� ��%�� u �� �����" B, C �������� � R, S ����������� ������ ���5

>�A uR = 〈uR〉2 = u ·R ;

>A BC = B ·C+ 〈BC〉2 ;>�A BR = 〈BR〉1 = B ·R ;

>�A RS = 〈RS〉0 = R · S ;

4�34� ��%�� R = Rm � S = Sn (�������� ���

RS = R · S+ 〈RS〉|m−n|+2 .

4�3=� (� �� ������� ������� ����� ���� ����������� R � S ���

R · S :=

3∑m,n=0

Rm · Sn

������ ��� �� α � �� �F���� ��� � R, S � T � � �����������" ��� �

(R + S) ·T = R ·T+ S ·TR · (S+T) = R · S+R ·T(αR) · S = R · (αS) = α(R · S) .

Page 107: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

���� ���������������� 32K

4�3J� ��%�� A � B ��������� +�� ��� [A,B] = AB−A ·B ���� ����������

[A,B]2 = (A ·B)2 −A2B2 .

������� ��� � 8������� � 1�3�

4�3K� ������ ��� ���� ��������� �F���� ��� α � �������� A, B, C ����5

�3 [αA,B] = [A, αB] = α[A,B];

�- [A+B,C] = [A,C] + [B,C];

�9 [A,B] = −[B,A];

�4 [A, [B,C]] + [C, [A,B]] + [B, [C,A]] = 0 .

4�3H� ��%�� A = a1i+a2j+a3k � B = b1i+b2j+b3k , ������ ��� � ���:�������� ��� ���� ��� ������� ������������ ����

[A,B] =

∣∣∣∣∣∣i j ka1 a2 a3b1 b2 b3

∣∣∣∣∣∣ .4�3I� (� �� � ������ ������� ����� �� ������� u � v ��� u×v := −(u∧v)I .

������ ���5

>�A u× v � �� ����� �������� ��� ������� u � v ;

>A ‖u× v‖ = ‖u ∧ v‖ .

4�12� (�������� �� ����� �������� �������� ��� ������� u = e1 + e3 �v = e1 + 3e2 − e3 .

4�13� ������ ��� ���� ��������� �F���� ��� α � ������� u, v, w ����5

�3 (αu) × v = u× (αv) = α(u× v);

�- (u+ v)×w = u×w + v ×w;

�9 u× v = −v × u;

�4 u× (v ×w) +w × (u× v) + v × (w × u) = 0 .

4�11� ������ ��� � ������� ������� ����� �� ������� u = u1e1+u2e2+u3e3� v = v1e1 + v2e2 + v3e3 ���� ��� ������� ������������ ���

u× v =

∣∣∣∣∣∣e1 e2 e3u1 u2 u3v1 v2 v3

∣∣∣∣∣∣ .

Page 108: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

4�1D� ��%�� u �� v �������� ������ A := uI � B := vI. ������ ���

>�A [A,B] = −u ∧ v ;

>A [A,B] = −(u× v)I .

4�14� ��%� A � B ��������� ������ u = AI � v = BI. ������ ���

>�A u · v = −A ·B ;

>A u ∧ v = −[A,B];

>�A u× v = [A,B]I .

4�1=� � ������ ����� ����� �� ������� u, v � w � � ���������� [u,v,w],�� ���� ���

u ∧ v ∧w = [u,v,w]I .

������ ��� ���� ����� �F���� ��� α � ������� u, v, w, z ����5

>�A [αu,v,w] = [u, αv,w] = [u,v, αw] = α[u,v,w];

>A [u,v,w] = −[v,u,w] = −[u,w,v] = −[w,v,u];

>�A [u+ v,w, z] = [u,w, z] + [v,w, z];

>�A |[u,v,w]| = ‖u ∧ v ∧w‖ .

4�1J� ��%�� u, v � w �������" ������ ���

[u,v,w] = (u× v) ·w .

4�1K� (�!���� ��� ��� ��� �������� β = {u, v, w} � �������� �� [u,v,w] >0 � �������� ���� ���� ���������� ������ ���

>�A [u,v,u × v] = ‖u× v‖2 ;>A �� u � v � � ������� ���������� �������������" ��� � � ���0

%���� �������� β = {u, v, u× v} � ������ ��� ��� �����������������

4�1H� ��%�� r � s �� ����� ������������ ���� ������ A, B � ���� �������a, b , ���������������� ������ ��� r � s � � ��������� �� � ��������� [a,b,

−−→AB] = 0 .

4�1I� ��%� r � ���� ����������� ��� ����� A � ����� ����� � d � B ������� �������� (�������� C �� r �� ��� � ���� ����������� ��� B� C ��%� ������������ � r .

Page 109: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

���� ���������������� 32I

4�D2� +�� �� ������������ ������� �� ������� ���������� ���� ������� ���

∆ := (e1∂

∂x+ e2

∂y+ e3

∂z)(e1

∂x+ e2

∂y+ e3

∂z)

=∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2.

4�D3� ��%�� U : E × R → R, A : E × R → V ������&�� �������������� �ϕ := −U +A� �����:� ���

E = −∇U − ∂A

∂tB = ∇×A

∇ ·A+1

c

∂U

∂t= 0 .

������ ���

(∇− 1

c

∂t

)ϕ = E+BI

(∆− 1

c2∂2

∂t2)ϕ = 4π(ρ− �

c) .

Page 110: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto
Page 111: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

�����������

������" /� T� �� >3II4A� ��������� �������� ���� ��������� ����������� �����������

������" �� >3IJJA� /�� /����; �� %������� �)E 8�����

��C���" O� P� >3HH1A� ����������� ������ ������� ��� ���

�� �������" )� � �����" 8� >122=A� ��������� ���:����( ?� /���������@������� 8������� N�" � � 8���" D ��������

(����" �� � T����9" -� >122KA� ��������� ������ ��� �;�������� ���0����� +��������9 8�����

��� ������" ?� �� >3IK2A� @������ � ����� ��� T����� E������� � ������ ����

������� >122IA� �� ��������� +?��8� E����� � � )������� � �� )������������

6��������" N� >3II=A� � A�< B����� �� �����������( /�� -����:�����0�:�� �� 3CDD �� ����� ���E�� ���� ������

6��������" N� >1222A� ��������� /����;� -������� ���:������� ������9�

N�������" (� >3IIIA� A�< F��������� ��� ������� ���������" ����� II����������

N�������" (� � ���!9Q" 6� >3IH4A� ��G�� ������ �� ��������� ������(� ?��+� 5������� ��� ����������� �� �;����" ����� = �� F��������� /������� �� �;����� ���������

Page 112: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto
Page 113: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

�� ����

3������ � ��� �

��%� α = {u1,u2,u3} ��� ��� ��������" ����� ��������� vα =:(u1, u2, u3)

T ��� vβ =: (v1, v2, v3)T . 8��� ���� ���������� �� ������� ��

α ���� ������� � ����� ��� ������� �� β = {v1,v2,v3} :

u1 = α11v1 + α21v2 + α31v3

u2 = α12v1 + α22v2 + α32v3

u3 = α13v1 + α23v2 + α33v3 .

����������� �� �����&�� ����� ��� u1, u2 � u3, ���������������

u1u1 = u1α11v1 + u1α21v2 + u1α31v3

u2u2 = u2α12v1 + u2α22v2 + u2α32v3

u3u3 = u3α13v1 + u3α23v2 + u3α33v3 .

������� �� ��*� �����&�� ����� � ����� v ������� ���� ������� ������ ��� ������� �� ��� β

v =(α11u1 + α12u2 + α13u3)v1

+ (α21u1 + α22u2 + α23u3)v2

+ (α31u1 + α32u2 + α33u3)v3 .

(�# ������0�� ���

v1 = α11u1 + α12u2 + α13u3

v2 = α21u1 + α22u2 + α23u3

v3 = α31u1 + α32u2 + α33u3

Page 114: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

�" ��������" ⎛⎝v1v2v3

⎞⎠ =

⎛⎝α11 α12 α13

α21 α22 α23

α31 α32 α33

⎞⎠

⎛⎝u1u2u3

⎞⎠

��� ���������� �� ����� �������� ����

vβ =Mαβ vα

�� ��� Mαβ := (αij)3×3 � � �:����� ����� � ������ � ���� α ���� �

��� β.

?(�')� 4.32. ��%� ABCDA′B′C′D′ �� ��� �� ��� 1� ��%�� α =

{−−→AB,−−→AD,−−→AA′} � β = {

−−→AB′,

−→AC,

−−→AD′} ���� ���� � ������ V � $����

���������� � �����! ������� �� ��� �� ��� β ���� � ��� α� 8��� �������� �������� ���� ����� �� ��� β ���� ������� � ����� �� ��� α������� ���

−−→AB′ =

−−→AB +

−−→AA′

−→AC =

−−→AB +

−−→AD

−−→AD′ =

−−→AD +

−−→AA′

���−−→AB′

α = (1, 0, 1)T ,−→ACα = (1, 1, 0)T �

−−→AD′

α = (0, 1, 1)T � 8�������"

Mβα =

⎛⎝1 1 00 1 11 0 1

⎞⎠ .

-� �����!�� �� ������� �� ��� ��!�� ��� ��������� ������������" ��%������������&�� ���������� ���� ����#���5

�A Mαα = Id;

A Mαγ =Mβ

γMαβ .

��� ������ � (�� �������� (���� � /*/ ���

� ���:�������� ���� ������� �� ���� ����������� �� ��� � ��������������� ��� ��� �� ��� � ������� ������� �� ��� � �� ������*���� ���������� � �� ������������ � �� �������#����� �����������

Page 115: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

��������� �� 33=

?F�����B���� �� �����5, )��� )���������'% ������%. ��0%�� ABCD � A′B′C′D′ ���� ������������ ���������� � �0������������� ����� ����� �� ������

u1 :=−−→AB u2 :=

−−→BC

v1 :=−−−→A′B′, v2 :=

−−−→B′C′ .

��� � ���� �� ����� ��� ����*� �� ������������ � � �������" �� ��������� α = {u1,u2} � �� β = {v1,v2} ����� � ����� ����" �� ��� α � β� � ����� -� �����!�� �� ������� �� ���" �������!��

Id =Mαα =Mβ

αMαβ .

T���"

det(Mβα) det(M

αβ ) = det(Mβ

αMαβ ) = 1

�����#��� ��# ��� �� ������������� ������ �����!�� �� ������� �� ���� � ���� ��������� �� ���� ���������� (������ ��� �� ������������ABCD � A′B′C′D′ �*� � ����� �������� � �� det(Mα

β ) < �" ��������"����� det(Mβ

α) < ��� ��������� ����" ���������" ������� ��� ��� �*��������� � �������

8��� ������� ��� � ��� � ������� ��������"� ����� ������������ ���0������� ���� �� �� ����" ���������� ������� ��� �� ������������ �������� B �� ��! �� A, � ������������ �� �����! �� ������� �� ��� ���0�����������" Mα′

β , ��� � ����� ���� �� Mαβ , �� ��� α′ := {u′

1,u′2} �

u′1 :=

−−→BC = u2, u′

2 :=−−→CD = −u1 .

(� ����"

Mα′α =

(0 −11 0

)

�" ��������"

det(Mα′β ) = det(Mα

β Mα′α ) = det(Mα

β ) .

- ��� � �� �������� � � ��� ���� � �� ������*���� ���� �����������������������

Page 116: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

?F�����B���� �� �����5, )��� )�������)*)��% ������%. ?���� ����� ����������� ��� ABCDA′B′C′D′ �� �������#���� ���������"� �0����������" �� ��� ABCD � � ���� >�����������A ��������� ��� ��0������� � �������� � �� �������#���� � AA′, BB′, CC′ � DD′ � � �� ����0��� ��������� �� ���� ABCD, ,������ 1�1 � 1�4� ��%�� ABCDA′B′C′D′

� EFGHE′F ′G′H ′ �������#����� ����������� (� ��5

u1 :=−−→AB, u2 :=

−−→BC u3 :=

−−→CC′

v1 :=−−→EF, v2 :=

−−→FG v3 :=

−−→GG′ .

��� �" α = {u1,u2,u3} � β = {v1,v2,v3} � � ��� �� V. ���� �� ������� ������������ ����������" �� ����� � ��� � �� ��� � ����� �������� ����� �������#����� � ������ �� ���� ��� ������������� ��� �����!�� ��������� �� ���� ?��� ��� �� ������������ ��� ����� ����" �������AA′B′B, ���#����

u′1 :=

−−→AA′ = u3, u′

2 :=−−−→A′B′ = u1 u′

3 :=−−−→B′C′ = u2 .

8�������" ���� α′ := {u′1,u

′2,u

′3} �����"

Mα′α =

⎛⎝0 1 00 0 11 0 0

⎞⎠

��� ��� ������������ ��� T���" det(Mα′β ) = det(Mα

β ). � T����� �������� ��� �� ������ ����� � ������� ��� ��� � ����� ��������"� � �� ���������� �� ���� ����� ���� �������#����� �����������

� ��1��5, � )��� �(���� �� ��� )� #���� N ������5,. ��� � ����� � �� ������ =3" ���������� ������� ��� �� ����α := {u,v,w} � α′ := {u, v, w} ������� � ����� �������� �� (� ����"��%�� β = {v,w} � β′ = {v, w}, ��� � ��

β′ =

(a11 a12a21 a22

)

�*�0�� ���

Mαα′ =

⎛⎝1 0 00 a11 a120 a21 a22

⎞⎠

Page 117: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

��������� �� 33K

�" ��������"

detMαα′ = detMβ

β′ = 1 .

)��� ������ ��� � ������ B ��������� � ����� �������� � ���� T � T′,����������������� �� ���� ��������

8�������" �� ���������� T � T′ ������� ����� �������� � � ����������" ��� � ������� �� �� ����� ��� �� ������ ���� �� �� �����

Page 118: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

!����

S��������� �����" I4����� �����" K4" ID����� �������" 41���������" K1

���" D3��������" D1��������" 32H

��������" D3���������" D3

������" 4H���� �" =1���:���" HK����� �" 4H�����" 4H�������� �" 4H��������" HJ������" HJ������� ��� �F���� ���" 4H

������" ������� ��" 323���:��� �� ��������" HK������� � �����" 1I������" ����� ��" =I

�� 6��" ������� ��" HI�����������

�� ����:90��:V��!" =3���������" J2

������������ �� ��� �����!" =I(��������" ������� ��" 323����� � ����� � ��� ����" JI

����S������ ����� � ����" I4�� ����� � ����" JI" I1����� �����" I=

�������� ������#����" JJ������*����" ���� � ��" 12������ �������" 14

���� ��������" K1����" K1

6���0��:����" �������� �� �������0���!�� �" DH" I3

������������ �����!�� �" 41���������� �� �������������" H2

���������������������" JJ�������" JK" I3

���� �����������" 41��� ��������" H2��� �����" K4

���V������&�� ��" 321" 324

���������" HD������� �������" H=

�F����� ��������" JK" I3

Page 119: Å Ò ÙÖ×Ó ÓÐ ÕÙ Ó Å Ø Ñ Ø Ê Ó ÆÓÖØ ¾¼½ Flávia Jacinto

#���� 33I

�����������" 4H" HH��������" 4H" =H�����" 1D" DI

�������#���� ���������" 4J����������" 4K�����" 4J����� �� � � �������" 4K

����������� ���������" 4=����� �" 4J����������" 4H�����" 4J

��������" I38��������" ������� ��" DK����

������ ����� �" I4����� � ����������" I4����� � �����������" 1H" ID��������� �" IH

�������� �� ����������!�� � ��6���0��:����" DH" I3

������� ���������� ����� ��� ������" =3�� ��� ���������" =K" =H����� �������" 4I

������� ������������ ������ ��� �� �����" JJ�� ����� ��� ������" J=�� ����� ��� �� �����" J=

������� ��������� ����� ��� ������" H4����� ��������" HH����� �����������" H=����� �������" D=" DI

������� �����" 32H������� �������" 32K���%�� � ��������" DH

�����������" I3

��L�� �" K=" 322

������� � � �������" 4K�� ������" =I�� �����������" 11

���� � �� ������*����" 12����

����� � ����������" JI" I1����� � �����������" 1K" JH" I1�������� �" K2��������� � ��� ����" IJ����� � �������" K2����� ����� �" 1K

����� �" K=" 322

�������� �������������� �" 3I������*����" 12�������" 12

������� �� �����������" D1����������" D4����" KJ

��������� ������0(��������" 323�� �� 6��" HI�� 8��������" DK

��������" 4H���� �" =4����� �" 4H�����" 4H�������� �" 4H������� ��� �F���� ���" 4H

�����" 13���� �" 13������*���� �����" D2����� �" 1D�����" 1D��������" 1D������" 1D������� ��� �F���� ���" 11�������" 1D