a matematika i - unizg.hr...4. pocetna kultura bakterija sadrži 100 stanica i raste brzinom koja je...
TRANSCRIPT
A MATEMATIKA I(treci kolokvij 23.01.2015.)
1. Funkcija y = y(x) je implicitno zadana jednadžbom
x2y = yx + 8.
Ako je y(3) = 1, korištenjem logaritamske derivacije odredite y′(3).(15 bodova)
2. Zadana je funkcija y =x
(ln x)2 .
a) Odredite domenu funkcije.b) Ispitajte ima li funkcija vertikane i horizontalne asimptote.c) Odredite intevale rasta i pada funkcije.
(20 bodova)
3.U polukružnicu radijusa r upisan je trapez (vidjeti sliku). Koliki je kut ϕ akoje površina trapeza maksimalna. Koliki je omjer x :r u tom slucaju?
(Uputa: izraziti površinu polutrapeza kao sumu površina dva trokuta.)rr
h
xx
(15 bodova)
4. Pocetna kultura bakterija sadrži 100 stanica i raste brzinom koja je proporcionalna njezinoj velicini. Nakon sat vremenaje bilo 420 bakterija.
a) Napišite formulu za broj bakterija nakon t sati.b) Odredite broj bakterija nakon 3 sata i brzinu rasta u tom trenutku.c) Kada ce broj bakterija biti 10 000?d) Skicirajte graf broja bakterija tijekom vremena.
(20 bodova)
5. Zadan je red:∞∑
n=0
(x − 1)n
(n + 1)!3n .
a) Napišite prva tri clana reda.b) Odredite radijus konvergencije reda i napišite interval konvergencije.
(15 bodova)
6.a) Koristeci se poznatim razvojima razvijte u red potencija funkciju f (x) =
ln(1 + x2)3 + x
. (Napišite prva cetiri clana).b) Ima li red sumu za x1 = 0.1, x2 = 1.4?c) Koliko iznosi f ′′(0) ?
(15 bodova)
OKRENI!
A MATEMATIKA I(Rješenje treceg kolokvija 23.01.2015.)
1.e2y ln x = ex ln y + 8
Deriviranjem
e2y ln x(2y′ ln x +
2yx
)= ex ln y
(ln y +
xy′
y
)tj.
x2y(2y′ ln x +
2yx
)= yx
(ln y +
xy′
y
)uz y(3) = 1
⇒ 9(2y′(3) ln 3 +
23
)= 3y′(3)
⇒ y′(3) = −2
6 ln 3 − 1
2.(a) D f = (0, 1) ∪ (1,+∞)(b) Kandidati za V.A.: x = 0, x = 1.Racunamo: lim
x→0+x
(ln x)2 = ( 0+∞
) = 0⇒ x = 0 nije V.A.
limx→1−
x(ln x)2 = lim
x→1+x
(ln x)2 = ( 10+ ) = +∞ ⇒ x = 1 je V.A. (obostrana)
H.A.:lim
x→+∞
x(ln x)2 =
(+∞
+∞
)L′H= lim
x→+∞
12 ln x
x
= limx→+∞
x2 ln x
L′H=
12
limx→+∞
11x
=12
limx→+∞
x = +∞
⇒ nema H.A.(c)
y′ =(ln x)2 − 2 ln x
(ln x)4 =ln x − 2
ln3 x= 0⇒ x = e2 ⇒
funkcija raste na (0, 1) ∪ (e2,+∞) pada na (1, e2).
3.
P = 2 · P1
P1 =h · x
2+
r · h2
=r2
2(sin(ϕ) cos(ϕ) + sin(ϕ))
=r2
2
(12
sin(2ϕ) + sin(ϕ))
d P1
dϕ=
r2
2(cos(2ϕ) + cos(ϕ))
d P1
dϕ= 0
⇒ cos(2ϕ) = − cos(ϕ) (= cos(π − ϕ))⇒ 2ϕ = π − ϕ; 0 ≤ ϕ ≤ π/2⇒ ϕ = π/3
ϕ 0 π/3 π/2P1 0 3
√3r2/8 ≈ 0.65r2 r2/2 = 0.5r2
Za ϕ = π/3 površina je maksimalna.xr=
r cos(π/3)r
= 1/2
4.
a) P(t) = P(0)ekt = 100ekt
P(1) = 100ek = 420 ⇒ ek =420100
⇒ k = ln(4.2)
P(t) = 100et ln(4.2) ⇒ P(t) = 100 · 4.2t
b) P(3) = 100 · 4.23 ≈ 7409 bakterija
dPdt= kP = ln(4.2)P ⇒ P′(3) = ln(4.2)P(3) = ln(4.2) · 100 · 4.23 ≈ 10.632 bakterija/h
c) P(t1) = 100 · 4.2t1 = 10000 ⇒ 4.2t1 = 100 ⇒ t1 =ln 100ln 4.2
≈ 3.2 h
d)
5. a)∞∑
n=0
(x − 1)n
(n + 1)!3n = 1 +x − 1
6+
(x − 1)2
54. . .
b) | an |=1
(n + 1)!3n , | an+1 |=1
(n + 2)!3n+1 R = limn→∞
1(n+1)!3n
1(n+2)!3n+1
= limn→∞
3(n + 2) = ∞
x ∈ 〈−∞,+∞〉
6. a)ln(1 + x2)
3 + x= ln(1 + x2) ·
13(1 + x/3)
=13
ln(1 + x2) ·1
1 + x/3
x2 −x4/2 x6/31 x2 −x4/2 x6/3−x/3 −x3/3 x5/6 −x7/9x2/9 x4/9 −x6/18 x8/27−x3/27 −x5/27 x7/54 x9/81x4/81 x6/81 −x8/162 x10/243
13
ln(1 + x2) ·1
1 + x/3=
x2
3−
x3
9+
1154
x4 + (1
18−
181
)x5 + . . .
b) R = 1, f (0.1) =ln(1.01)
3.1, f (1.4) nema
c) f ′′(0)2! =
13 , f ′′(0) = 2
3
3
A MATEMATIKA I(Završni zadaci)
1. Zadana su dva pravca
p1 . . . x = 2 − 3t, y = 6t, z = 3 + t
p2 . . . x = −1 + t, y = 2 − 2t, z = −t/3
a) Pokažite da su p1 i p2 paralelni.b) Nadite jednadžbu ravnine koja sadrži zadane pravce.
(25 bodova)
2. Nadite rješenje sustava linearnih jednadžbi iz njegove ešalonske forme:
a)
1 0 2 −1 30 3 0 2 10 0 1 0 40 0 0 −2 0
b)
1 1 0 4 −20 2 1 −1 30 0 0 0 0
(25 bodova)
3. Skicirajte graf funkcije y = f (x) za koju su poznati sljedeci podaci:
• limx→+∞ f (x) = +∞, limx→−∞ f (x) = 1
• limx→1+ f (x) = +∞, limx→1− f (x) = 3
• f ′(x) > 0, x ∈ (−∞, 1) ∪ (4,+∞), f ′(x) < 0, x ∈ (1, 4)
• f ′(4) = 0, f (4) = −1
(20 bodova)
4. a) Naditedydx
funkcije zadane implicitno: sin(3xy) − ln(2 + x2) = y√
y.
b) Nadite nagib u tocki t = 1 krivulje zadane parametarski: x =t − 4t3
2 + t2 , y =5
(t + 1)2 .
(30 bodova)
Tablica redova
ex = 1 + x +x2
2!+
x3
3!+
x4
4!+
x5
4!+ · · · , x ∈ R
sin x = x −x3
3!+
x5
5!−
x7
7!+
x9
9!−
x11
11!+ · · · , x ∈ R
cos x = 1 −x2
2!+
x4
4!−
x6
6!+
x8
8!−
x10
10!+ · · · , x ∈ R
sh x = x +x3
3!+
x5
5!+
x7
7!+
x9
9!+
x11
11!+ · · · , x ∈ R
ch x = 1 +x2
2!+
x4
4!+
x6
6!+
x8
8!+
x10
10!+ · · · , x ∈ R
ln(1 + x) = x −x2
2+
x3
3−
x4
4+
x5
5−
x6
6+ · · · , |x| < 1
11 − x
= 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + · · · , |x| < 1
(1 + x)α = 1 + α x +(α
2
)x2 +
(α
3
)x3 +
(α
4
)x4 +
(α
5
)x5 + · · · , |x| < 1
B MATEMATIKA I(treci kolokvij 23.01.2015.)
1. Funkcija y = y(x) je implicitno zadana jednadžbom
xy = yx − 1.
Ako je y(2) = 3, korištenjem logaritamske derivacije odredite y′(2).(15 bodova)
2. Zadana je funkcija y =ln(x2)
x.
a) Odredite domenu funkcije.b) Ispitajte ima li funkcija vertikane i horizontalne asimptote.c) Odredite intevale rasta i pada funkcije.
(20 bodova)
3.U polukružnicu radijusa r upisan je trapez (vidjeti sliku). Koliki je kut α akoje površina trapeza maksimalna. Koliki je omjer d :r u tom slucaju?
(Uputa: izraziti površinu polutrapeza kao sumu površina dva trokuta.)
rr
h
dd
(15 bodova)
4. Izotop stroncij-90 ima vrijeme poluraspada 28 godina. (Ta tvar raspada se brzinom koja je proporcionalna kolicini tvariu danom trenutku.)
a) Ako je u pocetku bilo 50 mg tvari, napišite formulu za kolicine tvari koja ostaje nakon t godina.b) Koliko tvari ce ostati nakon 40 godina i kolika je brzina raspadanja u tom trenutku?c) Koliko je vremena potrebno da se raspadne 49 mg tvari?d) Skicirajte graf odgovarajuce kolicine tvari kroz vrijeme.
(20 bodova)
5. Zadan je red:∞∑
n=0
(x + 1)n
n!4n+1 .
a) Napišite prva tri clana reda.b) Odredite radijus konvergencije reda i napišite interval konvergencije.
(15 bodova)
6.a) Koristeci se poznatim razvojima razvijte u red potencija funkciju f (x) =
ln(1 − x2)4 − x
. (Napišite prva cetiri clana).b) Ima li red sumu za x1 = −0.1, x2 = −1.8?c) Koliko iznosi f ′′′(0) ?
(15 bodova)
OKRENI!
B MATEMATIKA I(Rješenje treceg kolokvija 23.01.2015.)
1.ey ln x = ex ln y − 1.
Deriviranjem
ey ln x(y′ ln x +
yx
)= ex ln y
(ln y +
xy′
y
)tj.
xy(y′ ln x +
yx
)= yx
(ln y +
xy′
y
)y(2) = 3⇒
8(y′(2) ln 2 +
32
)= 9
(ln 3 +
23
y′(2))
y′(2) =9 ln 3 − 128 ln 2 − 6
2.(a) D f = R \ {0}(b) Kandidat za V.A.: x = 0
limx→0−
ln(x2)x=
(−∞
0−
)= +∞
limx→0+
ln(x2)x=
(−∞
0+
)= −∞
x = 0 je V.A. (obostrana)H.A.:
limx→±∞
ln(x2)x
L′H= lim
x→±∞
2xx2
1= 0
⇒ y = 0 je H.A. (obostrana)(c)
y′ =2 − ln(x2)
x2 = 0⇔ x = ±e
funkcija pada na (−∞,−e) ∪ (e,+∞), raste na (−e, 0) ∪ (0, e).
3.
P = 2 · P1
P1 =h · d
2+
r · h2
=r2
2(sin(α) cos(α) + sin(α))
=r2
2
(12
sin(2α) + sin(α))
d P1
dα=
r2
2(cos(2α) + cos(α))
d P1
dα= 0
⇒ cos(2α) = − cos(α) (= cos(π − α))⇒ 2α = π − α; 0 ≤ α ≤ π/2⇒ α = π/3
α 0 π/3 π/2P1 0 3
√3r2/8 ≈ 0.65r2 r2/2 = 0.5r2
Za α = π/3 površina je maksimalna.dr=
r cos(π/3)r
= 1/2
4.
a) R(t) = R(0)ekt = 50ekt
R(28) = 50e28k = 50/2 ⇒ e28k =12⇒ k = −(ln 2)/28
R(t) = 50e−(ln 2)t/28 ⇒ R(t) = 50 · 2−t/28
b) R(40) = 50 · 2−10/7 mg
dRdt= kR = −(ln 2)R/28 ⇒ R′(40) = −(ln 2) · 50 · 2−4/3/28 = −25(ln 2)/(28
3√2) ≈ −0.49 mg/godina
c) R(t1) = 50e−(ln 2)t/28 = 50 − 49 = 1 ⇒ −(ln 2)t1/28 = ln(1/50) ⇒ t1 = 28ln 50ln 2
≈ 158 godina
d)
5. a)∞∑
n=0
(x + 1)n
n!4n+1 =14+
x + 116+
(x + 1)2
128. . .
b) | an |=1
n!4n+1 , | an+1 |=1
(n + 1)!4n+2 R = limn→∞
1n!4n+1
1(n+1)!4n+2
= limn→∞
4(n + 1) = ∞
x ∈ 〈−∞,+∞〉
6. a)ln(1 − x2)
4 − x= ln(1 − x2) ·
14(1 − x/4)
=14
ln(1 − x2) ·1
1 − x/4
−x2 −x4/2 −x6/31 −x2 −x4/2 −x6/3
x/4 −x3/4 −x5/8 −x7/12x2/16 −x4/16 −x6/32 −x8/48x3/64 −x5/64 x7/128 −x9/172
x4/256 −x6/256 −x8/512 −x10/768
14
ln(1 − x2) ·1
1 − x/4= −
x2
4−
x3
16−
964
x4 + (−1
32−
1256
)x5 + . . .
b) R = 1, f (−0.1) =ln(0.99)
4.1, f (−1.8) nema
c) f ′′′(0)3! = −
116 , f ′′(0) = − 3
8
7
B MATEMATIKA I(Završni zadaci)
1. Zadana su dva pravca
p1 . . . x = −1 − 2t, y = t/2, z = 1 − t
p2 . . . x = 2 + 8t, y = 3 − 2t, z = 4t
a) Pokažite da su p1 i p2 paralelni.b) Nadite jednadžbu ravnine koja sadrži zadane pravce.
(25 bodova)
2. Nadite rješenje sustava linearnih jednadžbi iz njegove ešalonske forme:
a)
1 0 −1 3 30 1 0 −2 10 0 2 0 40 0 0 −3 0
b)
1 1 0 2 20 3 −2 1 −30 0 0 0 0
(25 bodova)
3. Skicirajte graf funkcije y = f (x) za koju su poznati sljedeci podaci:
• limx→+∞ f (x) = 3, limx→−∞ f (x) = −∞
• limx→2+ f (x) = 1, limx→2− f (x) = −∞
• f ′(x) > 0, x ∈ (−∞,−1) ∪ (2,+∞), f ′(x) < 0, x ∈ (−1, 2)
• f ′(−1) = 0, f (−1) = 2
(20 bodova)
4. a) Naditedydx
funkcije zadane implicitno: y√
y + cos(4xy) = ln(x3 + 2).
b) Nadite nagib u tocki t = 2 krivulje zadane parametarski: x =3
(2 + t)2 , y =2t − t3
t2 − 1.
(30 bodova)
Tablica redova
ex = 1 + x +x2
2!+
x3
3!+
x4
4!+
x5
4!+ · · · , x ∈ R
sin x = x −x3
3!+
x5
5!−
x7
7!+
x9
9!−
x11
11!+ · · · , x ∈ R
cos x = 1 −x2
2!+
x4
4!−
x6
6!+
x8
8!−
x10
10!+ · · · , x ∈ R
sh x = x +x3
3!+
x5
5!+
x7
7!+
x9
9!+
x11
11!+ · · · , x ∈ R
ch x = 1 +x2
2!+
x4
4!+
x6
6!+
x8
8!+
x10
10!+ · · · , x ∈ R
ln(1 + x) = x −x2
2+
x3
3−
x4
4+
x5
5−
x6
6+ · · · , |x| < 1
11 − x
= 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + · · · , |x| < 1
(1 + x)α = 1 + α x +(α
2
)x2 +
(α
3
)x3 +
(α
4
)x4 +
(α
5
)x5 + · · · , |x| < 1
C MATEMATIKA I(treci kolokvij 23.01.2015.)
1. Funkcija y = y(x) je implicitno zadana jednadžbom
arctg y = xy +π
4− ey.
Ako je y(e) = 1, korištenjem logaritamske derivacije odredite y′(e).(15 bodova)
2. Zadana je funkcija y =2x − 2−x
4x − 4−x .
a) Ispitajte ima li funkcija vertikane asimptote.b) Ispitajte ima li funkcija horizontalne asimptote.c) Nadite intervale rasta i pada funkcije.
(20 bodova)
3.
U polukružnicu radijusa r upisan je pravokutnik (vidjeti sliku). Koliki je kutϕ ako je površina pravokutnika maksimalna. Koliki je omjer x : y u tomslucaju?
r y
x
(15 bodova)
4. Kultura bakterija raste brzinom koja je proporcionalna njezinoj velicini. Nakon 2 sata bilo je 400 bakterija, a nakon 6sati bilo ih je 25 600.
a) Odredite pocetni broj bakterija.b) Napišite formulu za broj bakterija nakon t sati.c) Kada ce broj bakterija biti 50 000?d) Skicirajte graf broja bakterija tijekom vremena.
(20 bodova)
5. Zadan je red: 1 −x + 22! · 5
+(x + 2)2
3! · 52 −(x + 2)3
4! · 53 +(x + 2)4
5! · 54 −(x + 2)5
6! · 55 + . . . .
a) Napišite opci clan reda i zapišite red pomocu∑
.b) Odredite radijus konvergencije reda i napišite interval konvergencije.
(15 bodova)
6.a) Koristeci se poznatim razvojima razvijte u red potencija funkciju f (x) =
sh(2x)2 + x
. (Napišite prva cetiri clana).b) Ima li red sumu za x1 = 0.2, x2 = 3.4?c) Koliko iznosi f ′′(0) ?
(15 bodova)
OKRENI!
C MATEMATIKA I(Rješenje treceg kolokvija 23.01.2015.)
1.arctg y = ey ln x +
π
4− ey
⇒y′
1 + y2 = xy(y′ ln x +
yx
)− eyy′
⇒y′(e)
2= e
(y′(e) +
1e
)− ey′(e)
y′(e) = 2
2.(a) 4x − 4−x = 0⇒ x = 0, D f = R \ {0} ⇒ kandidat za V.A. je x = 0.
limx→0−
2x − 2−x
4x − 4−x =
(00
)L′H= lim
x→0−
(2x + 2−x) ln 2(4x + 4−x) ln 4
=12
Isto
limx→0+
2x − 2−x
4x − 4−x =12⇒ x = 0 nije V.A.
(b)
limx→+∞
2x − 2−x
4x − 4−x
/ : 4x
/ : 4x = limx→+∞
2−x − 8−x
1 − 16−x =0 − 01 − 0
= 0
limx→−∞
2x − 2−x
4x − 4−x
/ · 4x
/ · 4x = limx→−∞
8x − 2x
16x − 1=
0 − 00 − 1
= 0
y = 0 je H.A. asimptota (obostrana)(c) 4x − 4−x = (2x + 2−x)(2x − 2−x)⇒
y =1
2x + 2−x
⇒ y′ =−(2x − 2−x) ln 2
(2x + 2−x)2 = 0⇒ x = 0 < D f
⇒ funkcija raste na (−∞, 0), pada na (0,∞).
(Funkcija je parna pa se racun može skratiti!)
3.
P = 2 · x · y= 2r2 sin(α) cos(α)= r2 sin(2α)
d Pdα
= 2r2 cos(2α)
d Pdα
= 0
⇒ cos(2α) = 0; 0 ≤ α ≤ π/2⇒ 2α = π/2⇒ α = π/4
α 0 π/4 π/2P 0 r2 0
Za α = π/4 površina je maksimalna.xy=
r sin(π/4)r cos(π/4)
= 1
4.
a) P(t) = P0ekt
P(2) = P0e2k = 400, P(6) = P0e6k = 25600 ⇒ e4k =25600
400= 64 = 26 ⇒ k =
14
ln 64 = 3 ln(2)/2
P(t) = P0e3t ln(2)/2 ⇒ P(2) = P0e6 ln(2)/2 = 8 · P0 = 400 ⇒ P0 = 50
b) P(t) = 50e3t ln(2)/2 = 50 · 23t/2
c) P(t1) = 50 · 23t1/2 = 50000 ⇒ 23t1/2 = 1000 ⇒ t1 =23
ln 1000ln 2
=2 ln 10
ln 2≈ 6.6 h
d)
5. a) an = (−1)n 1(n + 1)! · 5n ,
∞∑n=0
(−1)n (x + 2)n
(n + 1)! · 5n
b) | an |=1
(n + 1)! · 5n , | an+1 |=1
(n + 2)! · 5n+1 R = limn→∞
1(n+1)!·5n
1(n+2)!·5n+1
= limn→∞
5(n + 2) = ∞
x ∈ 〈−∞,+∞〉
6. a)sh(2x)2 + x
= sh(2x) ·1
2(1 + x/2)=
12
sh(2x) ·1
1 + x/2
2x 4/3x3 4/15x5
1 2x 4/3x3 4/15x5
−x/2 −x2 −1/3x4 −2/15x6
x2/4 x3/2 x5/3 x7/15−x3/8 −x4/4 −x6/6 −x8/30x4/16 x5/8 x7/12 x9/60
12
sh(2x) ·1
1 + x/2= x −
x2
2+
1112
x3 −7
24x4 + . . .
b) R = 2, f (0.2) =sh(0.4)
2.2, f (3.4) nema
c) f ′′(0)2! = −
12 , f ′′(0) = −1
11
C MATEMATIKA I(Završni zadaci)
1. Zadana su dvije ravnine
π1 . . . 4x − 2y + 6z + 7 = 0π2 . . . − 2x + y − 3z + 1 = 0
a) Pokažite da su π1 i π2 paralelne.b) Nadite jednadžbu ravnine koja je okomita na zadane ravnine i sadrži pravac r(t) = (−1, 0, 3) + t(2, 3,−1).
(25 bodova)
2. Nadite rješenje sustava linearnih jednadžbi iz njegove ešalonske forme:
a)
1 0 −1 3 10 −2 1 0 −20 0 0 0 0
b)
1 0 0 −2 30 4 1 0 10 0 −1 0 40 0 0 2 0
(25 bodova)
3. Skicirajte graf funkcije y = f (x) za koju su poznati sljedeci podaci:
• limx→+∞ f (x) = 2, limx→−∞ f (x) = −∞
• limx→1+ f (x) = +∞, limx→1− f (x) = −3
• f ′(x) < 0, x ∈ (−1, 1) ∪ (1,+∞), f ′(x) > 0, x ∈ (−∞,−1)
• f ′(−1) = 0, f (−1) = 3
(20 bodova)
4. a) Nadite nagib u tocki T (2, 1) krivulje zadane implicitno: 3xy2 − x3 + 3y =y√
y.
b) Naditedydx
krivulje zadane parametarski: x = ln(4t2 + 1), y =sin(2t)1 − t3 .
(30 bodova)
Tablica redova
ex = 1 + x +x2
2!+
x3
3!+
x4
4!+
x5
4!+ · · · , x ∈ R
sin x = x −x3
3!+
x5
5!−
x7
7!+
x9
9!−
x11
11!+ · · · , x ∈ R
cos x = 1 −x2
2!+
x4
4!−
x6
6!+
x8
8!−
x10
10!+ · · · , x ∈ R
sh x = x +x3
3!+
x5
5!+
x7
7!+
x9
9!+
x11
11!+ · · · , x ∈ R
ch x = 1 +x2
2!+
x4
4!+
x6
6!+
x8
8!+
x10
10!+ · · · , x ∈ R
ln(1 + x) = x −x2
2+
x3
3−
x4
4+
x5
5−
x6
6+ · · · , |x| < 1
11 − x
= 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + · · · , |x| < 1
(1 + x)α = 1 + α x +(α
2
)x2 +
(α
3
)x3 +
(α
4
)x4 +
(α
5
)x5 + · · · , |x| < 1
D MATEMATIKA I(treci kolokvij 23.01.2015.)
1. Funkcija y = y(x) je implicitno zadana jednadžbom
ln(1 + y + y2) = xy+1 − x.
Ako je y(e) = 0, korištenjem logaritamske derivacije odredite y′(e).(15 bodova)
2. Zadana je funkcija y =3x − 3−x
9x − 9−x .
a) Ispitajte ima li funkcija vertikane asimptote.b) Ispitajte ima li funkcija horizontalne asimptote.c) Nadite intervale rasta i pada funkcije.
(20 bodova)
3.
U polukružnicu radijusa r upisan je pravokutnik (vidjeti sliku). Koliki je kutα ako je površina pravokutnika maksimalna. Koliki je omjer a : b u tomslucaju?
r b
a
(15 bodova)
4. Radioaktivni cezij-137 ima vrijeme poluraspada 30 godina. (Ta tvar raspada se brzinom koja je proporcionalna kolicinitvari u danom trenutku.)
a) Ako je u pocetku bilo 100 mg tvari, napišite formulu za kolicine tvari koja ostaje nakon t godina.b) Koliko tvari ce ostati nakon 100 godina i kolika je brzina raspadanja u tom trenutku?c) Koliko je vremena potrebno da se raspadne 99 mg tvari?d) Skicirajte graf odgovarajuce kolicine tvari kroz vrijeme.
(20 bodova)
5. Zadan je red: 1 −x − 2
3+
(x − 2)2
2! · 32 −(x − 2)3
3! · 33 +(x − 2)4
4! · 34 −(x − 2)5
5! · 35 + . . . .
a) Napišite opci clan reda i zapišite red pomocu∑
.b) Odredite radijus konvergencije reda i napišite interval konvergencije.
(15 bodova)
6.a) Koristeci se poznatim razvojima razvijte u red potencija funkciju f (x) =
ch(3x)3 − x
. (Napišite prva cetiri clana).b) Ima li red sumu za x1 = −0.2, x2 = 4.4?c) Koliko iznosi f ′′′(0) ?
(15 bodova)
OKRENI!
D MATEMATIKA I(Rješenje treceg kolokvija 23.01.2015.)
1.ln(1 + y + y2) = e(y+1) ln x − x
y′ + 2yy′
(1 + y + y2)2 = xy+1(y′ ln x +
y + 1x
)− 1
y′(e) = e(y′(e) +
1e
)− 1
⇒ y′(e) = 0
2.(a) 9x − 9−x = 0⇒ x = 0, D f = R \ {0} ⇒ kandidat za V.A. je x = 0.
limx→0−
3x − 3−x
9x − 9−x =
(00
)L′H= lim
x→0−
(3x + 3−x) ln 3(9x + 9−x) ln 9
=12
Isto
limx→0+
3x − 3−x
9x − 9−x =12⇒ x = 0 nije V.A.
(b)
limx→+∞
3x − 3−x
9x − 9−x
/ : 9x
/ : 9x = limx→+∞
3−x − 27−x
1 − 81−x =0 − 01 − 0
= 0
limx→−∞
3x − 3−x
9x − 9−x
/ · 9x
/ · 9x = limx→−∞
27x − 3x
81x − 1=
0 − 00 − 1
= 0
y = 0 je H.A. asimptota (obostrana)(c) 9x − 9−x = (3x + 3−x)(3x − 3−x)⇒
y =1
3x + 3−x
⇒ y′ =−(3x − 3−x) ln 3
(3x + 3−x)2 = 0⇒ x = 0 < D f
⇒ funkcija raste na (−∞, 0), pada na (0,∞).
(Funkcija je parna pa se racun može skratiti!)
3.
P = 2 · a · b= 2r2 sin(α) cos(α)= r2 sin(2α)
d Pdα
= 2r2 cos(2α)
d Pdα
= 0
⇒ cos(2α) = 0; 0 ≤ α ≤ π/2⇒ 2α = π/2⇒ α = π/4
α 0 π/4 π/2P 0 r2 0
Za α = π/4 površina je maksimalna.ab=
r sin(π/4)r cos(π/4)
= 1
4.
a) R(t) = R(0)ekt = 100ekt
R(30) = 100e30k = 100/2 ⇒ e30k =12⇒ k = −(ln 2)/30
R(t) = 100e−(ln 2)t/30 ⇒ R(t) = 100 · 2−t/30
b) R(100) = 100 · 2−100/30 ≈ 9.92 mg
dRdt= kR = −(ln 2)R/30 ⇒ R′(100) = −(ln 2) · 100 · 2−10/3/30 = −5(ln 2)/(12
3√2) ≈ −0.23 mg/godina
c) R(t1) = 100e−(ln 2)t1/30 = 100−99 = 1 ⇒ −(ln 2)t1/30 = ln(1/100) ⇒ t1 = 302 ln 10
ln 2= 60
ln 10ln 2
≈ 199.3 godina
d)
5. a) an = (−1)n 1n! · 3n ,
∞∑n=0
(−1)n (x − 2)n
n! · 3n
b) | an |=1
n! · 3n , | an+1 |=1
(n + 1)! · 3n+1 R = limn→∞
1n!·3n
1(n+1)!·3n+1
= limn→∞
3(n + 1) = ∞
x ∈ 〈−∞,+∞〉
6. a)ch(3x)3 − x
= ch(3x) ·1
3(1 − x/3)=
13
ch(3x) ·1
1 − x/3
1 9/2x2 27/8x4
1 1 9/2x2 27/8x4
x/3 x/3 3/2x3 9/8x5
x2/9 x2/9 x4/2 3/8x6
x3/27 x3/27 x5/6 x7/8x4/81 x4/81 x6/18 x8/24
13
ch(3x) ·1
1 − x/3=
13+
x9+
8354
x2 +83162
x3 + . . .
b) R = 3, f (−0.2) =ch(−0.6)
3.2, f (4.4) nema
c) f ′′′(0)3! =
83162 , f ′′′(0) = 83
27
15
D MATEMATIKA I(Završni zadaci)
1. Zadana su dvije ravnine
π1 . . . − x + 2y + 3z − 4 = 0π2 . . . 3x − 6y − 9z + 1 = 0
a) Pokažite da su π1 i π2 paralelne.b) Nadite jednadžbu ravnine koja je okomita na zadane ravnine i sadrži pravac r(t) = (3,−1, 0) + t(1,−3, 2).
(25 bodova)
2. Nadite rješenje sustava linearnih jednadžbi iz njegove ešalonske forme:
a)
1 0 3 1 −30 4 −2 0 10 0 0 0 0
b)
1 0 0 2 30 −1 3 0 10 0 2 0 40 0 0 3 0
(25 bodova)
3. Skicirajte graf funkcije y = f (x) za koju su poznati sljedeci podaci:
• limx→+∞ f (x) = +∞, limx→−∞ f (x) = 2
• limx→2+ f (x) = 4, limx→2− f (x) = −∞
• f ′(x) < 0, x ∈ (−∞, 2) ∪ (2, 4), f ′(x) > 0, x ∈ (4,+∞)
• f ′(4) = 0, f (4) = −1
(20 bodova)
4. a) Nadite nagib u tocki T (−1, 1) krivulje zadane implicitno: x4 + 2y + 2xy2 =
√y
y.
b) Naditedydx
krivulje zadane parametarski: x =cos(3t)2t3 − 1
, y = ln(1 + 3t2).(30 bodova)
Tablica redova
ex = 1 + x +x2
2!+
x3
3!+
x4
4!+
x5
4!+ · · · , x ∈ R
sin x = x −x3
3!+
x5
5!−
x7
7!+
x9
9!−
x11
11!+ · · · , x ∈ R
cos x = 1 −x2
2!+
x4
4!−
x6
6!+
x8
8!−
x10
10!+ · · · , x ∈ R
sh x = x +x3
3!+
x5
5!+
x7
7!+
x9
9!+
x11
11!+ · · · , x ∈ R
ch x = 1 +x2
2!+
x4
4!+
x6
6!+
x8
8!+
x10
10!+ · · · , x ∈ R
ln(1 + x) = x −x2
2+
x3
3−
x4
4+
x5
5−
x6
6+ · · · , |x| < 1
11 − x
= 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + · · · , |x| < 1
(1 + x)α = 1 + α x +(α
2
)x2 +
(α
3
)x3 +
(α
4
)x4 +
(α
5
)x5 + · · · , |x| < 1