a határérték

A határérték

Digitális tananyag

Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Határérték

•A határérték fogalma

•A határértékek kiszámítása

•Határértékek a végtelenben


A határérték

• Az f(x) határértéke, ha x tart az a számhoz egyenlő az L számmal, ha f(x) értéke L-hez közelít, miközben x közelít a-hoz.

lim ( ) x a

f x L

a

L( )y f x


1. példa

• Készítsünk táblázatot!

x 2,5 2,9 2,99 2,999 3,001 3,01 3,1 3,5

2x 5 5,8 5,98 5,998 6,002 6,02 6,2 7

?2lim3

xx

x3

6 62lim3

xx


2. példa

?4

4lim

4

x

x

x

x 3,5 3,9 3,99 3,999 4,001 4,01 4,1 4,5

f(x) 1 1 1 1 1 1 1 1

A kifejezés nem értelmezett x=4-re!

A függvény határértékét vizsgálhatjuk olyan x0 pontban is, ahol a függvény nem értelmezett (de a pont környezetében igen).

14

4lim

4

x

x

x


Feladatok

• Táblázat segítségével becsüld meg a határértékeket:

103lim 2

2

xx

x

2

4lim

2

2

x

x

x

1

12lim

7

x

x

x

1

12lim

1

x

x

x


A „táblázatos” módszer hiányossága

?10100

lim2

0

x

x

x

x f(x)

±1 0,049876

±0,5 0,049969

±0,1 0,049999

±0,01 0,050000

±0,0005 0,080000

±0,0001 0,000000

±0,00001 0,000000

±0,000001 0,000000

?010100

lim2

0

x

x

x

?05,010100

lim2

0

x

x

x


Egyszerűbb határértékek

ccax

lim 55lim3

x

3)3(lim x

axax

lim 10lim10

xx

3lim3

xx

0,lim

nax nn

ax9)3(lim 22

3

x

x


A határérték szabályai

)(lim)(lim)()(lim xgxfxgxfaxaxax

)(lim)(lim)()(lim xgxfxgxfaxaxax

)(lim)(lim xfcxfcaxax

0)(limha,)(lim

)(lim

)(

)(lim

xgxg

xf

xg

xf

axax

ax

ax

)(lim xgax

)(lim xfax

Ha léteznek a következő határértékek: és


A szabályok alkalmazása

972lim 2

2xx

x

9limlim7limlim2lim222

2

22 xxxxxxx

3192722 2

1.


A szabályok alkalmazása

1

132lim

2

2

1 x

xx

x

)1(lim

)132(lim

2

1

2

1

x

xx

x

x

1limlim

1limlim3limlim2lim

1

2

1

111

2

11

xx

xxxxx

x

xx

2.

2

5

1)1(

1)1(3)1(22

2


Behelyettesítés

• Vegyük észre: sok esetben elegendő, ha a közelítés határát behelyettesítjük a függvény képletébe!

3192722 2

972lim 2

2xx

x1.

1

132lim

2

2

1 x

xx

x2.

2

5

1)1(

1)1(3)1(22

2


Ellenpélda

1

1lim

2

1

x

x

x

A hányadosra vonatkozó szabályt használva azt kapjuk, hogy:

011)1(lim 22

1

x

x011)1(lim

1

x

xés

Tehát a számláló és a nevező is 0-val egyenlő.


Az ellenpélda megoldása

1

1lim

2

1 x

x

x

Az f függvényt olyan g függvénnyel helyettesítjük, amely a közelítés határát kivéve mindenütt egyenlő az f függvénnyel.

211)1(lim1

xx

az f függvény

a helyettesítő g függvény

1

)1()1(lim

1 x

xx

x


Gyakorló feladatok

32

2

2 2

4lim

xx

x

x

2

)4(4lim

2

2 x

x

x

25

5lim

25

x

x

x

65

3lim

2

2

3 xx

xx

x


Ismét egy példa

x

x

x

10100lim

2

0

10100

1010010100lim

2

22

0 x

x

x

x

x

10100

100100lim

2

2

0 xx

x

x

10100lim

2

2

0 xx

x

x

020

0

10100lim

20

x

x

x

Nem tudunk tényezőkre bontani, egyszerűsíteni


Gyakorló feladatok

x

x

x

11lim

0

3

21lim

3

x

x

x

xx

x

x 6

2lim

2

12

520lim

5 x

x

x


Nem minden határérték létezik...

2

2lim

2 xx

x 1,9 1,99 1,999 1,9999 2,0001 2,001 2,01 2,1

f(x) -20 -200 -2000 -20000 20000 2000 200 20

xx

1lim

0

x →2 2 ←x

f(x) →-∞ ∞ ←f(x)

20

1lim

xx


Bal és jobb oldali határérték

• A bal oldali határérték keresésekor azt vizsgáljuk, mihez közelít az f függvény értéke, miközben a független változó (x) értékei bal oldalról tartanak a közelítés határához.

)(lim0

xfax


Bal és jobb oldali határérték

• A jobb oldali határérték keresésekor azt vizsgáljuk, mihez közelít az f függvény értéke, miközben a független változó (x) értékei jobb oldalról tartanak a közelítés határához.

)(lim0

xfax


Példa

2ha,3

2ha,)(

2

xx

xxxf

1)3(lim)(lim0202

xxfxx

4lim)(lim 2

0202

xxf

xx


Keresd meg a határértékeket:

Gyakorlás

)(lim0

xfx

0ha,1

0ha,1)(

xx

xxxf

1101lim0

xx

)(lim0

xfx

1101lim0

xx

)(lim01

xfx

2111lim01

xx

)(lim01

xfx

2111lim01

xx


A határérték létezése

)(lim xfax

)(lim0

xfax

A határérték létezik, ha léteznek a

)(lim0

xfax

és

határértékek és ezek egyenlő valós számok.

)(lim)(lim)(lim00

xfxfxfaxaxax


A határérték ε-δ definíciója

)(lim xfax

ax

A értéke az L valós szám, ha minden ε pozitív

valós számhoz található olyan δ pozitív valós szám, hogy az

Lxf )(egyenlőtlenségből következzék


Példa

10)(xf 1013x

10)13(lim3

xx

Igazoljuk:

Tegyük fel, hogy ε egy adott pozitív szám. Ekkor:

93x 33 x 3

tehát ε értékére 3·δ értéket kell vennünk, azaz 3


Néhány fontosabb határérték

x

x

x

sinlim

0xxx tgsin

x

xxx

cos

sinsin

xx

x

cos

1

sin1

1sin

cos x

xx

1sin

lim11coslim00

x

xx

xx1

sinlim

0

x

x

x


Példa

x

x

x 2

3sinlim

0 2

3

x

x

x

32

3sin3lim

01


Feladatok

x

x

x

2sinlim

0 x

x

x

4sin

lim0

x

x

x 5

4sinlim

0 x

x

x 4sin

3sinlim

0

2

2

0 6

3sinlim

x

x

x x

x

x

tglim

0

x

x

x

4tglim

0



ex xx

11

0lim

x xx

311

0lim

x xx

31 33

0lim

33

31

031lim ex x

x

Feladatok:

x xx

312

0lim

21

1

0lim

x x

x

32

141

0lim

x x

x



x

x

x

1)1(lim

03

1)1(lim

3

0

x

x

x

x

x

x

11lim

3

0 3

11)1(lim

31

0

x

x

x

x

x

x

1)21(lim

43

0

2

3

4

32

2

1)21(2lim

43

0

x

x

x


Határértékek a végtelenben

)(lim xfx


Határértékek a végtelenben

01

lim xx

01

lim2

xx

0,01

lim

xx


Példa

132

2lim

2

23

xx

xx

x

22

22

132

223

lim

xxx

xxx

x 2

313

2

223

lim

2

2

xx

xx

x

54

3lim

23

2

xx

xx

x

132

223lim

2

2

xx

xx

x

Feladatok:


Egyszerűbben

132

2lim

2

23

xx

xx

x0

54

3lim

23

2

xx

xx

x

2

3

132

223lim

2

2

xx

xx

x

Például:

nm

nmb

anm

bxbxbxb

axaxaxan

nn

n

mm

mm

xha0

ha

ha

lim011

011


További példák, feladatok

xxxx

x

22 3lim

xxxx

xxxxxxxx

x 22

2222

3

33lim

xxxx

xxxx

x

22

22

3

3lim

xx

xx

xxxx

x 11

31

3lim

22

22

22

4

11

31

4lim

xxx

x

x



xxxx

x

22 3lim

xxxx

xxxxxxxx

x 22

2222

3

33lim

xxxx

xxxx

x

22

22

3

3lim

xx

xx

xxxx

x 11

31

3lim

22

22

22

4

11

31

4lim

11

31

4lim

xxx

x

xxx

x

xx

xx 2



3124lim 22 xxx

x

xxx

x3lim 2

314lim 22 xxx

x


Fontos határérték

x

x x

3

21lim

x

x x

2

3

21lim

x

x x

x

13

23lim e

x

x x

x

2

14

32lim

ex

x

x

11lim


Alkalmazás

• A határérték-számítás az elkövetkező anyagrészek alapja.

• A továbbiakban az alapfogalmakat a határérték segítségével vezetjük be.– Folytonosság– Aszimptoták– Differenciálszámítás– Integrálszámítás

a határérték

Documents