a entropia e a sua interpretação microscópica
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Aula 7 A entropia e a sua interpretação microscópica
Física II UNICAMP 2012
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O teorema de Clausius
T2
|Q´1| W
|Q´2|
I
T1
Se uma máquina irreversível (I ) opera entre as temperaturas T1 e T2 vimos que o seu rendimento é sempre menor que o de uma máquina reversível (R).
A igualdade vale no caso de (I ) ser também reversível.
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O teorema de Clausius
T2
|Q´1| W
|Q´2|
I
T1
Vemos , então, que
A igualdade vale no caso de (I ) ser também reversível.
Este resultado é extremamente importante e pode ser generalizado para qualquer processo cíclico!
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O teorema de Clausius
Podemos substituir qualquer processo cíclico por uma sucessão de ciclos que contêm os trechos do ciclo original limitados por adiabáticas.
V
P
i
1 3
4
2
5 6
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O teorema de Clausius
i
a f
P
V
adiabáticas
b
isoterma
Por outro lado, podemos sempre substituir um trecho qualquer do ciclo pelas mesmas duas adiabáticas e uma isoterma (iabf ). Por construção,
trecho do ciclo
é o mesmo pelos dois caminhos e
0 0
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V
P
i
O teorema de Clausius
Assim, qualquer processo cíclico pode ser operado por inúmeros ciclos de Carnot
Desigualdade de Clausius
isotermas
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Entropia Num ciclo geral vimos que vale a desigualdade de Clausius
e a igualdade só é válida para processos reversíveis.
V
i
P
Ciclo reversível
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Entropia
i
f
Ciclo reversível
V
P
2
1
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Entropia
i
f
V
P
2
1
Ciclo reversível
Como a integral independe do caminho podemos definir uma nova variável de estado, a entropia S
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Entropia Num processo reversível infinitesimal podemos escrever
1a lei da termodinâmica
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Entropia Numa transformação adiabática reversível
V
P i
f
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Entropia Numa transição de fase
V
P
como i f
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Exemplo O calor latente de fusão do gelo à pressão de 1 atm é de 79,6 cal/g. Qual a variação de entropia de 1 kg de gelo?
E quando a água congela?
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Entropia De um gás ideal
1a lei
Para 1 mol do gás e
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Entropia
se CV constante
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Como podemos ainda calcular
Entropia Ou, para n moles
e
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Revisitando a eficiência das máquinas térmicas
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Diagramas T x S
W
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Comparando Carnot com outro ciclo reversível
W´ < W
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Entropia Em processos irreversíveis
i
f
V
P
I
R Como a variação de entropia depende apenas dos pontos inicial e final do processo (em equilíbrio, por hipótese), pode-se escolher qualquer caminho reversível para calculá-la
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i
f
V
P
I
R
Entropia
Expansão livre
Como
podemos escolher uma expansão isotérmica (note que )
1
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Entropia O princípio do aumento da entropia
i
f
V
P
I
R
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Entropia Mas...
i
f
V
P
I
R
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Entropia
Num processo adiabático e irreversível
A entropia de um sistema termicamente isolado nunca pode decrescer: não se altera quando o processo é reversível mas aumenta quando o processo é irreversível!
i
f
V
P
I
R
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Entropia
Degradação da energia
i
f
V
P
I
R A variação de entropia do sistema é a mesma quer seja por um processo reversível quer seja por um irreversível. Qual a vantagem de se usar um processo ou outro?
Aumento da entropia do universo!
universo = sistema + reservatório
Suniverso= Ssistema + Sreservatório
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Entropia
Degradação da energia: exemplo
Na expansão isotérmica de um gás ideal ( )
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Entropia
Degradação da energia: exemplo
No processo irreversível (expansão livre)
Mas...
T
P
V
i
f
...e a energia que poderia ser convertida em trabalho é perdida!
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Pi, Vi, Ti Pf, Vf, Tf
Entropia
T
Ti = Tf
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Exemplo
Dois blocos de cobre de massa 1,5 kg são postos a temperaturas
TiL TiR Tf Tf
TiL = 60oC e TiR = 20oC em ambientes isolados.
Removendo a divisória os corpos entram em equilíbrio térmico a temperatura Tf = 40oC. Qual a mudança de entropia do sistema sabendo-se que o calor específico do cobre é 386J/kg.K?
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Exemplo Temos que imaginar dois processos reversíveis para calcular a variação de entropia de cada bloco. Isso pode ser feito trazendo-se cada um dos corpos, quase estaticamente, ao equilíbrio com um reservatório de Tf =40oC.
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Exemplo O calor latente de fusão do gelo à pressão de 1 atm é de 79,6 cal/g. Qual a variação de entropia de 1 kg de gelo?
E quando a água congela?
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Fusão do gelo
Q
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Congelando a água
Q
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Refrigerador ideal
Q
Q
TQ
TF
Viola a segunda lei!
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Refrigerador real
Q Q
Q F
TQ
TF
W
Implica em:
!
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Terceira lei da termodinâmica
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Entropia
Interpretação microscópica
Como vimos o estado termodinâmico (macroscópico ) de um sistema pode ser descrito por um conjunto de variáveis de estado como (P,V,T). A estas variáveis damos o nome de macroestados. Mas, há inúmeras configurações moleculares que são compatíveis com um determinado macroestado. A estas damos o nome de microestados
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Entropia
A expansão livre: o nosso paradigma
Por quê o sistema não retorna à sua configuração original espontaneamente? Como podemos entender o aumento de entropia microscopicamente?
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Entropia Exemplo simples
12 3
4
1 2 3
4
1
2
3
4
1
2 3 4
1
2 3
4
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1 2 3
4
Macroestado
Microestados correspondentes
1
4
2
3
2
4
1
3
3
4
2
1
4
1
2
3
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1 2 3 4 nE nD Número de microestados Ω
Probabilidade P(nE,nD)
E E E E 4 0
D E E E
E D E E
E E D E
E E E D
3 1
D D D E E E
D E E D D E
E D E D E D
E E D E D D
2 2
D D D E
D D E D
D E D D
E D D D
1 3
D D D D 0 4
Totais 16 1
N + 1 macroestados
2N microestados hipótese: equiprobabilidade de microestados
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Entropia
No caso geral de N moléculas
Onde n é , por exemplo, o número de moléculas na direita.
Portanto vemos que a probabilidade de todas as partículas ocuparem o volume da direita ou da esquerda é
que é extremamente pequena se N = NA.
Probabilidade de um macroestado
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Entropia Peso estatístico de um macroestado
é o número de microestados (ou o seu peso estatístico), compatíveis com um dado macroestado
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Entropia
Consideremos que um gás passa de Vi para Vf (e.g., expansão livre)
Podemos sub-dividir os volumes em células de volume Vm
Para N moléculas o no de microestados possíveis será, em cada caso,
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Entropia De modo que
Obs: lembrar que kNA = R
Termodinâmica
Mecânica estatística